PRACTICA DIRIGIDA IV
1. De una población normal N (6,6 (6,62) se selecciona la muestra aleatoria:
X 1 , X 2 ,, X 9 de
tamaño 9. Sea
X
la media media de la muestra
aleatoria a) Describa la distribución de probabilidades de X . 985 . b) Determine el valor de c tal que P [ X c ] 0.985 c) Si
Y
3 X
5,
calcular
P [Y
28] .
2. Una población finita X consiste consiste de los valores: 0, 2, 5, 8. Determine la distribución muestral de la media tamaño dos escogidas de esta población: a) con sustitución, b) sin sustitución.
X
para las muestras de
3. Suponga que los sueldos en en cientos de dólares, en una región, es una variable aleatoria X cuya distribución distribución de probabilidades probabilidades es : x f ( x)
P [ X x]
1
2
3
4
5
0.1
0.2
0.4
0.2
0.1
Si se toman al azar 30 sueldos de igual número de personas, a) halle la media y la varianza de la media muestral. b) calcule la probabilidad de que que la media media muestral esté entre 260 y 330 dólares. 4. La demanda diaria de un producto puede ser 0, 1, 2, 3, 4 con probabilidades respectivas 0.3, 0.3, 0.2, 0.1, 0.1. a) Describa la distribución de probabilidades aproximada de la demanda promedio de 36 días. b) Calcular la probabilidad de que la la media de la demanda de 36 días esté entre 1 y 2 inclusive. 5. De la historia sacada de los registros de la Universidad se ha determinado que las calificaciones del curso de MATE1 y de FILO1 se distribuyen normalmente con las medias respectivas 12 y 15 y con varianzas homogéneas igual a 4. ¿Cuál es la probabilidad de que el promedio promedio las notas de un un alumno en tales cursos esté, entre 13 y 16?. 6. La vida útil (en miles de horas) de una batería es una una variable aleatoria X con con función de densidad: 0 x 1 2 2 x 7. f ( x) en el resto 0 Si
X 36
8. Sea
es la media de la muestra aleatoria
X 40
X 1 , X 2 ,, X 36
escogida de X , ¿con qué probabilidad
la media de la muestra aleatoria X 1 , X 2 ,, X 40 de tamaño
n
40 escogida
X 36 es
mayor que 420 horas?
de una población X cuya cuya distribución es
geométrica con función de probabilidad: x 1
f ( x)
1 4
, x 1, 2, 5 5 Hallar la probabilidad de que la media muestral difiera de la media poblacional en a lo más el 10% del valor de la varianza de la población
9. La utilidad (en miles de soles) por la venta de cierto artículo, es una variable aleatoria con distribución normal. Se estima que en el 5% de las ventas la utilidad serían menos de 6.71, mientras que el 1% de las ventas serían mayores que 14.66. Si se realizan 16 operaciones de ventas, ¿cuál es la probabilidad de que el promedio de la utilidad por cada operación esté entre $10,000 y $11,000?. 10. En cierta población de matrimonios el peso peso en kilogramos de esposos y esposas se se distribuye normalmente N (80,100) (80,100) y N (64,69) (64,69) respectivamente y son independientes. independientes. Si se eligen 25 matrimonios al azar azar de esa población calcular calcular la probabilidad de que la media de los pesos pesos sea a lo más 137 Kg. 11. Una empresa vende bloques de mármol cuyo peso se distribuye normalmente con una media de 200 kilogramos. a) Calcular la varianza del peso de los bloques, si la probabilidad de que el peso esté entre 165 Kg. Kg. y 235 Kg. es 0.9876. b) ¿Que tan grande debe ser la muestra para que haya una probabilidad de 0.9938 de que el peso medio de la muestra sea inferior a 205 Kg.?
12. La calificación en una prueba de aptitud es una variable aleatoria X que tiene tiene distribución normal con media igual igual a 100. a) Si se supone que la desviación estándar de todas las calificaciones es 15, ¿cuántas calificaciones se deben escoger para que la media muestral esté en el intervalo de 90.2 a 109.8 con probabilidad 0.95?. b) Si se escogen al azar 16 calificaciones y se encuentra que la desviación estándar media muestral se encuentre entre 92.194 y 104.023?.
s
ˆ
12 ,
¿cuál es la probabilidad de que la
13. El gerente de producción afirma que las baterías que produce duran en promedio tres años. En el control de calidad se verifican 16 baterías y si el valor de t calculado:
t c
( x
3) /( s / ˆ
n)
está entre
t0.05 y
t 0.05,
el fabricante está satisfecho con su
afirmación. ¿Qué conclusión sacará el fabricante si la muestra da una media de 3.8 años y una desviación estándar
s
15 . años?.
14. Se estima que el 40% de los votos de los electores de la ciudad favorecen al candidato Sr. Díaz. Si se selecciona una muestra aleatoria de 600 electores de la ciudad, ¿qué probabilidad hay de que la proporción muestral de votos a favor del Sr. Díaz esté entre 37% y 45%? 15. ¿Qué tamaño de muestra se debería escoger si se quiere tener una probabilidad igual a 0.97 de que la proporción de votos a favor del Sr. Díaz en la muestra no se diferencie de su proporción estimada en más del 2%?. 16. Una empresa que hace estudios de mercado quiere obtener una muestra aleatoria suficientemente grande de manera que la probabilidad de que la proporción obtenida a favor de un cierto producto resulte inferior al 35% sea igual a 0.0062. p
a) Calcular el tamaño de la muestra a tomar si se supone que la verdadera proporción a favor del producto es 0.4. b) Con el tamaño de muestra calculado en a) y si se supone verdadero el valor del parámetro p 0.2, determinar el intervalo
[a, b] centrado en p tal que
P [a, b] con
probabilidad 0.95
17. Un fabricante afirma que a lo más el 2% de todas las piezas producidas son defectuosas. Al parecer esta información es exagerada, por lo que se selecciona una muestra aleatoria de 400 de tales piezas. Si la proporción muestral de defectuosos es mayor que 3% se rechaza la afirmación, en caso contrario se acepta la afirmación. a) ¿Cuál es la probabilidad de rechazar la afirmación cuando realmente el 2% de todas las piezas producidas son defectuosas? b) ¿Cuál es la probabilidad de aceptar la afirmación cuando realmente el 4% de todas las piezas producidas son defectuosas? 18. El director de la bolsa de trabajo de la universidad afirma que el 60% de los egresados consigue empleo con una remuneración mayor a los $500. Para comprobar esta afirmación se escoge una muestra aleatoria de 600 egresados de la universidad. Si 330 o más pero no más de 390 de la muestra consiguen trabajo con remuneración mayor a los $500, se aceptará la afirmación. En caso contrario se rechazará tal afirmación. a) ¿Cuál es la probabilidad de rechazar la afirmación cuando ésta es realmente verdadera.?. b) ¿Cuál es la probabilidad de aceptar la afirmación cuando realmente el 70% de todos los egresados consiguen trabajo con remuneración mayor a los $500?. 19. Para controlar la calidad en un proceso de producción de cierto bien de consumo, se seleccionan al azar 46 unidades del bien cada día. Si la proporción de objetos defectuosos en la muestra es al menos p 0 , se detiene el proceso, de otro modo se continua con el proceso. Determine aproximadamente el valor de p 0 para que con probabilidad de 0.9332 no se continúe con el proceso, cuando la producción total contenga 8% de objetos defectuosos. 20. Un nuevo producto va a salir al mercado si por lo menos el los valores de n y
p 0
p 0
(100%) de n personas encuestadas, aceptan el producto. Calcular
de manera que haya una probabilidad de 0.1112 de que el producto no saldrá al mercado cuando realmente
el 58% lo aceptan y una probabilidad de 0.0228 de que el producto saldrá al mercado cuando realmente el 50% lo aceptan. 21. Por experiencia el departamento de créditos de una tienda comercial sabe que sus ventas se pagan con: dinero en efectivo, con cheque o al crédito, con probabilidades respectivas; 0.3, 0.3, y 0.4.. La probabilidad de que una venta sea por más de $50 es igual a 0.2 si ésta es en efectivo, es igual a 0.9 si ésta es con cheque y es igual a 0.6 si ésta es al crédito.
22. Si se escoge una muestra aleatoria de 256 personas que ingresan a la tienda, ¿cuál es la probabilidad de que el porcentaje de personas que hayan comprado por más de $50 sea al menos 50%?. 23. De 3000 empleados de una empresa se escoge una muestra aleatoria de 300 empleados para una encuesta sobre condiciones laborales. ¿Cuál es la probabilidad de que la proporción muestral a favor de las condiciones laborales esté comprendido en el intervalo 0.76 y 0.84, si se estima en 80% del total de empleados el porcentaje a favor de las condiciones laborales?. 24. Si
2 ,..., X 8 son X 1 , X
ocho variables aleatorias independientes y distribuidas cada una normal N (10,32), calcular la probabilidad
de que la varianza muestral
2
S
( X i X )
2
8 sea menor o igual que 56.28.
25. Calcular la probabilidad de que una muestra aleatoria de tamaño 13 escogida de una población normal con varianza
2
4 tenga
una varianza muestral S 2 , a) menor que 7.01, b) entre 1.19 y 2.1. ˆ
26.
Si
X 1 , X 2 ,..., X 9 2
son 9 variables aleatorias independientes y con distribución normal,
P [1.09 S 10 .045 , ˆ
7
X 9]
( X y
S ˆ
2
son independientes).
N (8,4) ,
calcular la probabilidad
