Universidad Nacional Mayor de San Marcos
Facultad de Ing. Electrónica y Eléctrica
TERCERA práctica califcada de Ecuaciones Dierenciales Proesor Castro !idal Ra"l. Curso Ecuaciones Dierenciales #rupo $ Integrantes AR+A C%&A C'RDE(A) * AR+A ,-,/$01 C%ET2 )A+A3AR 4E))ICA ,-,/$$5 6A(ER2
6ARA++A(2 +%I)
,-,/,07
6IRA(DA )A+A3AR 8E(R9 ,-,/,$ (A!ARR2 E)PI(23A DIA(A
,-,/,7
PA%CAR A 9++2( C8RI)TIA(
,-,//5
)2+:) !');%E3 4AI6E
,-,//$0
!A+E(CIA ,7,/$,-
+%(A +%I) '(#E+
$/,0 A+%6(2 +%I) A(#E+ !A+E(CIA +%(A C2DI#2 ,7,/$,Pro
{ } cos √ t t
t √ t
Como:
+ ¿¿ 0
{ F ' ( t ) } =SL { F L F F ( t ) }− F ¿ + ¿¿ 0
¿ ' ( (t )
F ( t )= sen √ t t ⇒ F
L
L
=
cos √ t t
t √ t
y F ¿ ¿
−1
{ } cos √ t t 2 √ t t
=SL { sen √ t t }−0 ,dondeL { sen √ t t }=
{ } t cos √ t √ t t
=
π e 4 S 2S
5 √ π 3
S2
−1
√
3 2
−1
π e = e 4 S S 4S
A+%6(2 +%I) 6A(ER2 6ARA++A(2 C2DI#2 ,-,/,07 Pro
es:
Encuentre la transformada de la función de la siguiente gráca sinusoidal
Solución: 1, si 0 ≤ t < a !t" #
$1 si
s i a ≤ t < 2 a
%ara este caso tenemos g t!t" # sent −sentu ( t − π ) y el &eriodo es ' # ( *uego
L { g ( t ) }=
L { g ( t ) }=
1 −2 πs
1− e
1 −2 πs
1− e
2 π
∫ e−
st
g ( t ) dt
st
sen ( t ) dt
0
2 π
∫ e− 0
+ntegramos &or &artes: u#e
$st
du#-se
$st
dv#sen!t"dtv# -cos!t"
∫ e−
st
−s ∫ e−st cos ( t ) dt
− st
=−cos ( t ) e sen ( t ) dt =−
+ntegrando &or &artes: $st $st u#e du#-se dv#cos!t"dtv#sen!t"
∫ e−
st
−s ( e−st sen (t ) +∫ e−st sen ( t ) dt )
− st
=−cos ( t ) e sen ( t ) dt =−
π )
( s +1 )∫ e−st sen ( t ) dt = e−st (−s sen sen ( t ) −cos ( t )) 2
∫e
− st
− st
sen ( t ) dt =
(−s sen sen ( t ) −cos ( t )) ( s 2+ 1 )
e
.eem&la/ando:
L { g ( t ) }=
L { g ( t ) }=
1 −2 πs
1− e
1 −2 πs
1− e
{ ( {( ) } (
e−st (−ssen ( t ) −cos ( t )) s2 + 1 )
− πs
1+ e
s 2+ 1
=
}|
de 0 a x
1
s 2+ 1 ) ( 1−e−πs )
A+%6(2 (A!ARR2 (A!ARR2 E)PI(23A DIA(A C2DI#2 ,-,/,7 Pro
&licando transformada transformada de la l a *a&lace: L { y y ' ' ' }+ 4 L + 5 L { y y ' }+ 2 L { y }=10 L { cos ( t ) }
Entonces:
L { y y ' ' ' }=s Y ( ( s ) −s y ( 0 ) −s ' y ' ( 0 )− y ' ' ( 0 ) =s Y ( ( s )− 3 3
2
L { y y ' ' }=s 2 Y ( ( s )− sy ( 0 ) − y ' ( 0 ) =s 2 Y ( ( s ) L { y y ' }=sY ( ( s ) − y ( 0 )= sY ( ( s ) L { y y }=Y ( ( s ) L { cos (t ) }=
s 2
s +1
3
.eem&la/ando las transformadas:
( s Y ( s )−3 ) + 4 ( s Y ( s ) ) + 5 ( sY ( s) ) +2 Y ( s )=10 3
s
2
( s + 4 s + 5 s + 2 ) Y ( s )= 10 3
s
2
( s + 1 ) ( s + 2 ) Y ( s )= 2
Y ( s )=
3s
2
2 s +1
2
s +1
+ 10 s + 3 2 s +1
2
+ 10 s + 3 A B C Ds + E = + + + 2 ( s2 + 1 ) ( s +1 ) ( s + 2 ) ( s + 2 ) ( s + 1 ) ( s + 1 )2 s2 + 1 3s
2 2 → 3 s + 10 s + 3 = A ( s + 1 ) ( s + 1 ) + B ( s + 1 ) ! 2
s + 1 ¿ ( s + 2 ) + C ( s + 1 ) ( s + 2 )+( Ds + E ) ( s + 1 ) ( s + 2 ) 2
3s
2
2
2
+ 10 s + 3 =( A + B + D ) s 4 + ( 2 A + 3 B + C + 4 D + E ) s 3 + ( 2 A +3 B + 2 C + 5 D + 4 E ) s2 + ( 2 A + 3 B + C + 2 D+ 5
2tenemos el sgte) Sistema de Ecuaciones:
A + B + D= 0 2 A + 3 B + C + 4 D+ E=0 2 A + 3 B + 2 C + 5 D + 4 E =3 2 A + 3 B + C + 2 D+ 5 E =10
A + 2 B + 2 C + 2 E =3 En donde: A =−1, B =2, C =−2, D =−1, E=2 3!s"#!$1"4!s5("5(4!s51"$(4!s51"6( 5!$s5("4!s6(51"
y (t )= L−1 { Y ( s ) }= L−1
{
−1 2 −s + 2 2 + − + s + 2 s + 1 ( s + 1 )2 s2 + 1
− 2 t
y (t )=−e
+ 2 e−t −2 t e−t −cos ( t )+ 2 sen (t )
A+%6(2 6IRA(DA )A+A3AR 8E(R9 C2DI#2 ,-,/,$ Pro
}
Encuentre la solución de la siguiente ecuación integro $ diferencial: 3
t
y (u ) y ( t −u ) du= 2 y ( t )+¿ − δ ( t ) 6
t
∫¿ 0
&licando la transformada de *a&lace
{∫ t
L
y (u ) y ( t −u ) d u }=2 L { y ( t )} + L
0
{} 3
t
6
− L { δ ( t )}
Encuentro las transformadas necesarias:
L
{
}
t
∫ y (u ) y (t −u )du = L { y ( t )∗ y (t )} =Y (s ) 0
2
L { y ( t ) }=Y ( s )
{} 3
L
t
6
3 1 = !4 = 4 6s
s
L { δ ( t ) }=1
.eem&la/ando
Y 2 ( s )=2 Y ( s ) +
1
s
4
−1
( )
s 4 −1 =0 Y ( s )−2 Y ( s ) + s4 2
Y 1,2 ( s )=
√
( )
s 4 −1 2 ± 4 −4 4 s
Y 1 ( s ) =1 +
1
Y 2 ( s )=1 +
1
2
s
2
s
2
2±
=
→ y 2 (t )= δ ( t )−t
→ y 2 ( t )= δ ( t )−t
√
4 s
4
−4 s 4 + 4 s
2
4
A+%6(2 C%&A CARDE(A) *AR+A C2DI#2 ,-,/$01 Pro
t y ' ' + ( 1 − 2 t ) y ' −2 y =0 , y ( 0 )=1, y ' ( 0 )= 2 &licando la transformada de *a&lace '' ' L [ t y ]+ L [ ( 1−2 t ) y ]− 2 L [ y ]= 0
Encuentro las transformadas: '' L [ t y ] =
−d ds
' ' L [ y ]=
d 2 ' ' 2 s Y ( s )− sy ( 0 )− y ( 0 ) ] =− s Y ( s ) −2 sY ( s ) + 1 [ ds
L [ ( 1 −2 t ) y ' ]={ sY ( s )−Y ( 0 ) } +2
d [ sY ( s )− y ( 0 ) ] ds
L [ ( 1 −2 t ) y ' ]={ sY ( s )−1 } + 2 ( Y ( s )+ s y ' ( s )+ ( s + 2 ) y ) −1 ¿ L ( y ) =Y ( s )
.eem&la/ando:
(−s
2
Y ' ( s )−2 sY ( s ) + 1 ) + ( 2 s Y ' ( s )+ ( s + 2 ) Y ( s )−1 ) −2 Y ( s )=0
(−s 2+ 2 s ) Y ' ( s )+ (−2 s + s + 2 ) Y ( s )=0 −s ( s −2 ) Y ' ' ( s ) =s Y ' ( s ) ' s Y ( s ) Y ( s ) # − s ( s −2 )
+ntegrando: ln ( Y ( s ) )=−ln ( s −2 )+ ln ( k )
Y ( s )=
s −2 2 t
Y ( t )= k e
y ( 0 )=k e
2 (0 )
=1
&or lo tanto 2 t
y (t )= e
A+%6(2 PA%CAR A9++2( C8RI)TIA( C2DI#2 ,-,//5 Pro
{
x − 3 x + 2 y = sent"x ( 0 )=0 " ( 1) 4 x − y − y =#ost " y ( 0 ) =0 " ( 2)
.esolución: &licando ') de *a&lace
L
{ {
{
{
x ! −3 x + 2 y = sent L ' #ost 4 x − y − y 1
sx ( s)− 3 x (s ) + 2 y ( s) =
2 s +1 s 4 x ( s)− s y ( s)− y ( s) = 2 s +1
1
x ( s ) ( s− 3 )+ 2 y ( s ) =
s2 + 1 s 4 x( s )− y ( s) ( s + 1 ) = 2 s +1
|
$ = s −3 4
2
|
−( s + 1 )
=−( s 2−2 s + 5 )
| | 1
2
2
s +1 s 7 1 7 11 − s −1 2 − − s s s +1 + 10 = 2 3 s2 1 = 10 2 10 − 10 x( s) = 2 $ ( s + 1 )( s −2 s + 5 ) s +1 s −2 s + 5 x (t ) =
7 10
#ost −
10
sent −
| |( s
2
s
2
$
−3 10
10
e t cos2 t +
11 10
et sen 2 t
+1
s
4
y( t )=
7
1
s −3
y ( s )=
1
t
+1
2
−3 s − 4 ( s −2 s + 5 )( s 2+ 1 ) s
=−
e sen 2 t +
2
)
11 7 11 t #ost + sent − e cos2 t 10 10 10
A+%6(2 )2+:) !');%E3 4AI6E C2DI#2,-,//$0 PR2&+E6A > .esolver: − t ' ' ' % + Y + 3 x =15 e ' ' ' Y −4 % + 3 Y =15 t
Con las condiciones 8!0"#0, 89!0"#0, 3!0"#0, 39!0"#0) Solución: &licando transformada de *a&lace:
L [ % + Y + 3 % ] = L [ 15 e ''
'
]
−t
Y '
L [¿ ¿ ' ' − 4 % + 3 Y ]= L [ 15 t ]
¿
s
[¿ ¿ 2 % ( s )− s% ( 0 ) − % ' ( 0 ) ]+[ sY ( s )−Y ( 0 )]− % ( s )= ¿
15 s+1
s
[¿ ¿ 2 Y ( s )− sY ( 0 )− y ' ( 0 )]− 4 [ s% ( s )− x ( 0 )]−Y ( s )= 152 s
¿
[ s % ( s ) ]+ [ sY ( s ) ] − % ( s )= s15 +1 2
[ s Y ( s ) ] −4 [ s% ( s ) ]−Y ( s )= 15 2
s2
( s2−1 ) % ( s) + sY ( s )=
15 s +1
−4 s% ( s )+ ( s 2−1 ) Y ( s )=
15
s
2
%or regla de Crammer:
| | 15
s
s +1 15
% ( s )=
s
15 ( s
2
s −1
2
|
=
|
s2−1 s 2 −4 s s − 1
2
−1 )
−
15
1 s+ 1 = 2 2 ( s −1 ) + 4 s 2
15 ( s −1 )( s + 1)
s +1 s 4 + 2 s 2+ 1
−
s
'enemos 8!s" como una serie de fracciones &arciales: 15 ( s
− s −1 ) A Bs + # Ds + e =15 [ + 2 2 + 2 ] 2 s ( s +1) s ( s + 1 )( s + 1) s +1 2
% ( s )=
2
*o valores de las constantes son los siguientes: # $1, #(, C#$1, ;#1, E#0 Entonces
15 ( s
15
=
2
− s ) −15 s
(s + 1)2 2
% ( s )=15
[
−1
+
s
2 s−1
s
+ 2
( s 2 + 1 ) ( s2 + 1 )2
]
cos t "
%ara o2tener =!t", a&licamos transformada inversa de *a&lace a 8!s":
x ( t )=15 L−1 15
L− 1
−1
L
L− 1
[ ] −1 s
[
−1 s
+
2 s −1 2
s
+
2
( s 2+ 1 ) ( s2 + 1 )
]
=15 L−1
[ ] −1 s
+ 15 L−1
[( ) ] 2 s−1
s 2+ 1
=−1
[( ) ] [( ) ] [( ) ] [( ) ] 2 s −1
s2 + 1
2
2 s −1
s2 + 1
2
=cos t
s
=2 L−1
s2 + 1
1
− L−1
2
s 2+ 1
2
t sent ∗cos ¿ "
L− 1
[( ) ] [( 1
2 s +1
2
= L−1
s 2
2
2 2 s +1) ( s +1 )
]
=¿
t t
t
sent ∗cos ¿=∫ sen ( u ) cos ( t −u ) du =∫ 0
sent ∗cos ¿=
L− 1
[
t sen ( t ) 2
s +1 2
2
−
t cos t
cos (−t )
4
4
− 0+
= L−1
1 2
s + 1 ) ( s +1 2
2
t
o
0
[( ) ] [ 2 s +1
2
=
sen ( 2 u −t ) 4
du
=( tsent )/ 2
=( sent ∗ sent )
( sent ∗sent )=∫ sen ( u ) sen ( t −u ) du =∫ 1
]
]
)] 2
t
L− 1
2
¿
[( ) ] [( 1
o
¿
[
sent + sen ( 2 u −t )
]
[
−cos t + cos ( 2 u −t ) 2
− − u cos t = sent cos t 2
2
]
du
2
+ 15 L−1
[( ) ] s
s2 + 1
2
−1
L
[( ) ] 2 s −1
s2 + 1
=
2
2 (tsent ) 2
−
sent −cos t
=t sen t −
2
( sent ) t#ost + 2
2
>ora 8!t":
% ( t )=15 L−
1
[ ] −1 s
+ 15 L−1
[( ) ] 2 s −1
s2 + 1
2
+15 L−1
[( ) ] s
s 2 +1
2
% ( t )=−15 + 15 sent −7.5 t cos t + 15 cos t >ora encontraremos 3!t" usando una ecuación del sistema: − t ' ' ' % + Y + 3 x =15 e − t ' '' → y =15 e − x −3 x
x =−15 + 15 sent −7.5 t cos t + 15cos t '
x =15 t cos t + 15 sent −7.5 #ost −7.5 #ost −15 sent =15 t #ost −7.5 tsent ' ' x =−15 t sentt + 15cos t −7.5 t cos t −7.5 sent
¿ t + 7.5 sent −3 (¿−15 + 15 sent −7.5 t ) t + 7,5cos ¿ −t ' y =15 e + 15 tsent − 15cos ¿ y =15 e− −30 t sent −15 t cos t − 60cos t + 30 sent '
t
y =∫ 15 e− − 30 t sent −15 t cos t −60cos t + 30 sent t
−t y =−15 e + 30 t cos t −30 sent −15 tsent −15cos t −60 sent −30cos t + #
3!0"#0 &or lo tanto C#?@A *a solución está dada &or:
% ( t )=−15 + 15 sent −7.5 t cos t + 15cos t y ( t )=−15 e−t + 30 t cos t − 30 sent −15 t sent −15cos t −60 sent −30cos t + 45
A+%6(2 C%ET2 )A+A3AR 4E))ICA C2DI2,-,/$$5
PR2&+E6A ,/ Una masa de 1 Bilogramo sueta a un resorte con una constante D#m4seg se suelta del re&oso 1 metro de2ao de la &osición de e
π 2
segundos, la masa es
gol&eada >acia arri2a &or un martillo
π 4
segundos y t#
π
segundos)
Como no e=iste un amortiguador: C# 0A Como en el tiem&o
t =
π 2
s A >ay un im&ulso >acia arri2a de F neGtons,
entonces >ay &ertur2ación e=&resada como:
( )
& ( t )=−3 δ t −
π 2
*a ecuación diferencial del sistema re&resentado es:
( )
2
d y + 9 k y =−3 δ t − π 2 2 d t
%ara resolver esta ecuación diferencial &rimero recurrimos a la transformada de *a&lace:
[
2
] [ ( )]
d y π + 9 k y = L −3 δ t − L 2 2 d t
.esolviendo: '
s Y ( s )− sY ( 0 ) −Y ( 0 )+ 9 Y ( s ) =3 e 2
−π s 2
SegJn condiciones iniciales y!0" # 1 metro, y velocidad inicial y9!0" # 0 2
s Y ( s )− s + 9 Y ( s )=−3 e
( s + 9 ) Y ( s )= s −3 e 2
s Y ( s )=
−π s 2
−π s 2
− π s
−π s
−3 e 3e 2 s = 2 − 2 2 s +9 s +9 s + 9 2
&licamos la transformada inversa de *a&lace a am2os lado de la ecuación:
Y ( t )= L
−1
[ ] s
2
s +9
[ ] −π
− L−1
3e
2
s
s 2+ 9
( )( )
Y ( t )= cos3 t −sen 3 t −
π 2
π u t − " 2
a" cos3 t
y (t )={
2"
y
() π 4
cos3 t − sen 3
=cos
(− ) t
t <
π 2
t
π 2
π 2
3 π −√ 2 = (, 4 2
( )=− −(− )=
y ( π ) =cos3 π − sen 3 π −
π 2
1
1
0(
A+%6(2 !A+E(CIA +%(A +%I) '(#E+ C2DI#2 ,7,/$,-
Proerido una 2ola metálica de (0 NeGton de &eso) ;etermine la forma en
& ( t )=
{
100 t "t ∈ ¿ 400 −100 t " t ∈ ¿
*a ecuación diferencial
d y dy ( 2 + # + y = & ( t ) dt d t sumiendo
10 ( / s
2
:
) 20 ( = = =2 g g 10 2
d y dy 2 + 6 + 4 y =& ( t ) 2 dt d t ntes de resolver la ecuación diferencial a&licando la transformada de *a&lace, se recomienda e=&resar la función f!t" en t7rminos de funciones escalone multi&licadas &or las funciones
& ( t )=100 tu ( t )−100 tu ( t −2 ) + ( 400−100 t ) u ( t −2 )− ( 400−100 t ) u ( t − 4 ) " & ( t )=100 tu ( t )−100 ( t ) u ( t −2 ) + ( 400 ) u ( t −2 )−100 tu ( t −2 ) −( 400 ) u ( t −4 ) + 100 tu( t − 4 ) "
& ( t )=100 tu ( t )−200 ( t ) u ( t −2 ) + ( 400 ) u ( t −2 )−( 400 ) u ( t − 4 )+ 100 tu (t −4 ) " & ( t )=100 tu ( t )−200 ( t −2 + 2 ) u ( t −2 )+ ( 400 ) u ( t − 2 )−( 400 ) u ( t −4 ) + 100 ( t −4 + 4 ) u ( t −4 ) "
& ( t )=100 tu ( t )−200 ( t −2 ) u ( t −2 )−400 u ( t −2 ) + ( 400 ) u ( t −2 )−( 400 ) u ( t − 4 ) + 100 ( t − 4 ) u ( t − 4 )+ 400 u ( t − & ( t )=100 tu ( t )−200 ( t −2 ) u ( t −2 )+100 ( t − 4 ) u ( t −4 ) " *a ecuación diferencial
2
d y dy 2 + 6 + 4 y =100 tu ( t ) −200 ( t − 2 ) u ( t −2 ) + 100 ( t − 4 )u ( t −4 ) 2 dt d t
>ora se &uede &roceder a resolver la ecuación diferencial mediante la transformada de *a&lace:
[
]
2
d y dy L 2 2 + 6 + 4 y = L [ 100 tu ( t )−200 ( t −2 ) u (t − 2 )+ 100 ( t −4 ) u ( t − 4 ) ] dt d t
[
]
2
d y dy + 3 + 2 y = L [ 50 tu ( t )−100 ( t −2 ) u ( t −2 )+ 50 ( t −4 )u ( t − 4 )] L 2 dt d t
*a &osición inicial del sistema es y!0"#0 metro, y la velocidad inicial es y !0"#0
[ s y ( s )− sy ( 0 )− y ( 0 )+3 sy ( s )−3 y ( 0 ) +2 y ( s ) ]= 50 − 100 e−
2s
2
s
2
s y ( s ) + 3 sy ( s ) + 2 y ( s )= y ( s ) [ s + 3 s + 2 ] = 2
y ( s )=
y ( s )=
50 2
s
−
50 2
2
s ( s + 3 s + 2)
−
50 2
s ( s + 2)( s + 1 )
50
100
s
s
− 2
2
e
−2 s
+
50 2
s
2
2
s
50
+ 2 e−4 s s
−4 s
e
100 −2 s 50 −4 s
s
2
+
e
s
2
100 2
−2 s
2
s ( s + 3 s + 2)
−
e
e
100 2
s (s + 2)( s + 1)
+
−2 s
e
50 2
2
s (s + 3 s + 2)
+
−4 s
e
50
−4 s
2
s ( s + 2 )( s + 1)
y 2(
y 1( y 1 ( t )= L
−1
[
y 3( 50
2
e
s ( s + 2)( s + 1 )
]
%ara encontrar y 1 ( t ) , se &rocede a usar el teorema de la interal de la transformada de *a&lace:
L−1
Si
[
50
( s + 2)( s + 1 )
]
= & (t )
Entonces −1
L
−1
L
[ [
] ∫∫ ] [ t u
50
=
s2 ( s + 2 )( s + 1 ) 50
( s + 2)( s + 1 )
0
& ( * ) d*du
0
= L−1
A
+
B
( s + 2) ( s + 1 )
] [ = L−1
A ( s + 1 ) + B ( s + 2 ) ( s + 2 )( s + 1)
]
{
A + B =0 A + 2 B =50
.esolviendo el sistema de ecuaciones se o2tiene: #@0
L− 1
[
50
( s + 2)( s +1 )
] [ = L−1
50
−
50
( s + 1) ( s + 2)
#$@0
]
=50 e−t −50 e−2 t
Entonces: −1
L
[
50 2
s ( s + 2 )( s + 1 )
t
∫ [−50 e
−*
] ]
0
t u
0
0
=∫ ∫ & ( * ) d*du =∫∫ ( 50 e−* −50 e−2 * ) d*du
−2 * u
+ 25 e
t u
0
0
0
t
du =∫ [ −50 e + 25 e −u
−2 u
0
−u
50 e
∫ [−50 e− +25 e− u
−12.5 e−2 u+ 25 u
2u
+ 25 ] du= [ ¿ ]0t =[ 50 e−t −12.5 e−2 t +25 t −(50 −12.5 ) ]
2u
+ 25 ] du=50 e−t −12.5 e−2 t + 25 t −37.5
0
t
∫ [−50 e− +25 e− u
0
%or lo tanto −1
L
[
50 2
t
−(−50 + 25 ) ]0 du =∫ [ −50 e−u+ 25 e−2 u + 25 ] du
0
t
u
s ( s + 2 )( s + 1 )
]
=50 e−t −12.5 e−2t + 25 t − 37.5
t t y 1 ( t )=50 e− − 12.5 e−2 + 25 t −37.5
−1
y 2 ( t )= L
−( t −2)
50 e
[
100 2
s ( s + 2)( s + 1 )
−1
−( t −4 )
−2 s
] [ =2 L−1
50 2
s ( s + 2)( s + 1 )
−2 s
e
]
−12.5 e−2 (t −2)+ 25 ( t −2 )−37.5 u (t −2 )
y 2 ( t )=2 L
50 e
e
[
50 2
s ( s + 2 )( s + 1)
−2 s
e
]
=2 ¿
−12.5 e−2( t −4 ) + 25 ( t − 4 )−37.5 u ( t − 4 ) −1
y 3 ( t )= L
[
50 2
s ( s + 2 )( s + 1 )
−4 s
e
]
=¿
>ora y!t" es:
y (t )= y1 ( t )+ y 2 ( t )+ y 3 ( t )
¿( 50 e−(t − 4)−12.5 e−2 (t −4) + 25 ( t −4 )−37.5 u ( t −4 ) ) ¿ −( t − 2 ) −2 ( t − 2) + 25 ( t −2 )−37.5 u ( t −2 ) ) +¿ ( 50 e −12.5 e −t − 2 t y ( t )=50 e −12.5 e + 25 t −37.5 + 2 ¿ Se &uede re&resentar y!t" en como una función con regla de corres&ondencia:
{
−t
−12.5 e−2t + 25 t − 37.50 ≤ t < 2 y ( t ) 50 e−t ( 1+ 2 e 2 )−12.5 e−2 t ( 1 + 2 e 4 ) + 75 t −212.52 ≤ t < 4 . 2 4 4 8 −t − 2t 50 e ( 1 + 2 e + e )−12.5 e ( 1+ 2 e + e ) + 100 t −350 t 4 50 e
A+%6(2 6A(ER2 6ARA++A(2 +%I) C2DI#2 ,-,/,07 Proo y ocasiona acia arri2a de 14F m4seg) ;etermine: a" *a ecuación del movimiento armónico sim&le de la masa 2" *a &osición del o2eto en
t =
π 4
segundos)
Como no >ay amortiguador C # 0, además no e=iste fuer/a &ertur2adora acia arri2a la &osición inicial de la masa será 1 metro) 3 la velocidad inicial es v0 # !14F" m)4seg)
a? emos
1 2
y2
( ( y 2 − y 1 )=−∫ k+ y +dy ' 2
' 2
y1
Esta integral es una e=&resión &articular del Pteorema de la conservación de la energLaQ) *a ecuación diferencial
d y + k + y =0 5 2 d t sL &ues, se de2e encontrar el valor de B) Como la masa es de @ Dg) y sise asume la aceleración de la gravedad a&ro=imadamente 9R1 10 m)4seg(, el&eso será de: % # mOg # @O10 # @0 NeGton) l suetar el resorte la masa seestira ( metros, lo
50 k = = = 25 - / ( 2
2
%ara resolver a
[
]
2
d y L 5 2 + 25 y = L [ 0 ] " 5 s 2 Y ( s )−5 sy ( 0 )−5 y ' ( 0 )+ 25 y ( s )= 0 dt
*a &osición inicial del sistema es y!0" # 1 metro, y la velocidad inicial esy9!0" # !14F" m)4seg) .eem&la/ando las condiciones iniciales dadas se o2tiene:
5s
5
5
3
3
y ( s )−5 s − + 25 y ( s )=0 " ( 5 s 2 + 25 ) y ( s )=5 s + "
2
( s2 +5 ) y ( s )= s + 1 " y ( s )= 3
y (t )= L
−1
[(
s
( s +5 )
1
s + 5) 3 ( s +5) 2
¿ cos √ 5 t + L−1
¿ cos √ 5 t +
+
s 2
[
1 3 √ 5
2
+
1 3( s
2
+5)
"
] [( ) ] [ ( )] = L−1
s
2
s +5
+ L−1
]
1 2
3 s
+5
=¿
[ ]
1 √ 5 −1 √ 5 = + =¿ cos 5 t L √ 2 2 3 5 s +5 √ 3 √ 5 ( s + 5 )
sen √ 5 t
<" l ca2o de ?@ segundos, la &osición del o2eto será: y =cos 45 √ 5+
1 3 √ 5
sen 45 √ 5=1.6754 metros
A+%6(2 (A!ARR2 E)PI(23A DIA(A
C2DI#2 ,-,/,7 Promios, *#1, C#0)01 faradios se conecta a una 2aterLa ay carga en el condensador y la corriente inicial es cero, determine: a" *a carga acumulada en los tiem&os t#@s y t#(0s)
2" *a intensidad de corriente
1
' ' ' L. + /. + . =0 ( t )=20 u ( t −10 )−20 u ( t − 30) C
1 [ L. ' ' ] + 1 [ /.' ] + 1
[ ] 1
. =1 [ 0 ( t ) ] C
s . ( s ) + 12 s. ( s ) + 100 . ( s )=20 2
s
[
[
−10 s
e
−e−30 s s
e− s e− (¿¿ 2 + 12 s + 100) . ( s )=20 − s s
¿
10
30 s
]
]
s s s (¿¿ 2 + 12 s + 100 ) e−30 s s (¿¿ 2 + 12 s + 100 )− ¿ e−10 s
¿ . ( s )=20 ¿ A Bs + C 2 2 + 2 ⇒ A s + 12 As + 100 A + B s + Cs=1 s s + 12 s +100
A =
−1 −12 1 B = C = 100 100 100
1 100
s
−
. ( s )=
1
(
s + 12
100 s 2 + 12 s + 100
)
[ (
+ 1 10 s 1 6 − s 26 − e 5 s ( s + 6 ) + 64 ( s + 6 )2 + 64
) ( − e−30 s
1
s
−
s+ 6 2
−
6
( s + 6 ) + 64 ( s + 6 )2 + 64
)]
. (t )=1−1 [ . ( s ) ] . (t )=
1 5
[(
−6 ( t − 10)
1 −e
) ] [(
3 −6 ( t − 10) cos8 ( t − 10 )− e sen 8 ( t −10) 2 10 ( t ) 4
Cuando t#@s
. (5 )=0 Condensado3 des#a3gado Cuando t#(0s 1 5
1 5
. (t )= − e−6 (t −10) cos 8 ( t −10 )− 1 5
1 5
− 60 . (20 )= − e cos80 −
3 −6 ( t −10 ) e sen 8 ( t −10 ) 20
3 −60 e sen 80 20
1
1
3
5
5
20
60 . (t )= − e− (−0.110 )−
. (20 )=2.08 4 10−25 #ou1u(5s
60 e− (−0.993)
−
1 5
−6 ( t − 30)
1− e
3 − 6 ( t − 3 cos8 ( t −30 )− e 4
A+%6(2 6IRA(DA )A+A3AR 8E(R9 C2DI#2 ,-,/,$ Promios, *#1 Ienrio, C # 0)000( faradios en t#0 se le a&lica un voltae ay carga en el condensador y la corriente inicial es cero: a"*a carga en cual
. ( 0 )=0
.#1@0r *#1I −4
C#( 10
. ( 0 )= 0
1
L. + / . + . =6 ( t ) C . + 150 . + 5000 . =10 t ( 7 0 ( t )− 710 ( t ))
. + 150 . + 5000 . =10 t 70 ( t )−10 t 710 ( t ) + 100 7 10 ( t )−100 710 ( t ) ¿
. ! ! + 150 .! + 5000 .=10 t 70 ( t )−10 ( t −10 ) 710 ( t )−100 7 10 ( t ) Encontrando la transformada:
S . ( s )− s. ( 0 ) −. ( 0 )+ 150 s. ( s )−150 . ( 0 ) + 5000 . ( s )= 2
( s +150 s + 5000 ) . ( s ) = 10 − e−
10 s
2
s
2
10
s
− e−10 s
10
s2
−
100
2
s
( s + 50 ) ( s + 100 ) . ( s )= 102 − e− 10 s 102 − e−10 s 100 s
. ( s )=
10 2 s ( s + 50)( s + 100)
s
s
−10 s
−
10 e
2 s ( s + 50 ) ( s +100 )
−10 s
−
−10 s
10 e
10 0 e
s ( s + 50 )( s + 100 )
s2
−10 s
−
100 e
s
{
A =1 / 500 A B C D → B=−3 /50000 D=−1 / 50000 = + + + s 2( s + 50)( s + 100 ) s2 s s + 50 s +100 C =1 / 12500 10
{
A =1 / 50 A B C so1u#i8n B=−1 / 25 = + + s ( s + 50 )( s + 100) s s + 50 s +100 C =1 / 50 100
1
. ( s )=
50000
−e−10 s 50000
−e−10 s 50
. ( s )=
[ [
100
s 1
s
2
2
[
100
s 3
2
− +
−
s
3
4
s
s + 50
− +
−
1
s + 100
4 1 − s + 50 s + 100
2 1 + s + 50 y + 100
]
]
]
1 −50 t −e−100 t 100 t − 3 + 4 e 50000
[
]
−1
− 100 ( t −10 )−3 + 4 e [ 50000
50 ( t − 10 )
− e−100 (t −10 ) ] 710 (t )
−1 [ 1 −2 e−50 (t −10)+ e−100( t −100) ] 710 ( t ) 50
. (t )=
{
[
1
− [ 100 t −3 + 4 e 50000
. (t )=
{
1 − 50t −e−100t t < 10 100 t −3 + 4 e 50000
]
−e−100t ]−
50 t
1
− 100 ( t −10 )−3 + 4 e [ 50000
50 ( t −10 )
−e−100 (t −10) ]−
1 50
[ 100 t −2 e−50 (t −10) +
1 − 50t −e−100t t < 10 100 t −3 + 4 e 50000
[
]
}
1 −50t − 4 e−50( t −10)− e−100 t +e−100( t −10) − 1 [1 −2 e−50 (t −10 )+ e−100( t −10) ] , t 10 1000 + 4 e 50000 50
[
T!(0segundos"#0
i ( t )=
9 . ( t ) 9 t
]
A+%6(2 C%&A CARDE(A) *AR+A C2DI#2 ,-,/$01 t
∫
f (t ) + (t − r ) f (r )dr
= t
0
t L [ f (t )] + L ∫ (t − r ) f (r )dr = L [ t ] 0 f ( s ) + L [ f (r ) * g (t ) ] f ( s ) + L [ f (r ) ] L [ t ]
=
=
1
s 2 1
s 2
1 = 1 ÷ s 2 s 2 1 1 f ( s ) 1 + 2÷ = 2 s s f ( s ) + f ( s)
f ( s ) =
1 s 2 + 1
Pro
a?
&licando la inversa de *a&lace −
L 1 [ f (s ) ]
= L−1 21 s + 1
f (t ) = sent
t
f (t ) = tet + ∫ rf (t − r )dr 0
t t L [ f (t )] = L te + L ∫ rf (t − r )dr 0 f ( s ) = f ( s ) = f ( s ) =
1 ( s − 1)2 1 ( s − 1)2 1 ( s − 1)
f ( s ) 1 − f ( s ) =
2
+ L [ g (t ) * f (t )] + L [ t ] L [ f (t )] 1 + 2 ÷ s
1
f (s )
1
÷= s 2 ( s − 1) 2 s 2
( s 2 − 1)( s − 1)2
−1/ 2 (−3 / 2) s − 1 + s − 1 ( s − 1) 2 s2 −1 1 1 1 1 3 s 1 − − 2 ÷ − 2 ÷ f ( s ) = ÷ 2÷ 2 s − 1 2 ( s − 1) 2 s − 1 s − 1 f ( s ) =
1/ 2
+
2"
&licando la inversa de *a&lace L−1 [ f ( s )] f (t ) =
1 2
e
1 1 1 1 3 = L−1 ÷ − − 2÷ − − 2 s 1 2 ( s 1) 2 −t
−
1 2
te
t
−
3 2
cosh t − sinh t
− 1 ÷ s 2 −÷1 2 s − 1 s
t
f (t ) +
∫ f (r)dr = 1 0
t L [ f (t ) ] + L ∫ f ( r ) dr = L [ 1] 0 f ( s) +
f ( s) s 1
f ( s) 1 + f ( s) =
=
1 s 1
÷ =s
s
1 s + 1
c"
&licando la inversa de *a&lace L−
1
[
f (s )]
f (t ) = e − t
1 = L−1 s + 1
t
∫
y ′(t ) = 1 − sin t − y ( r ) dr 0
y (0) = 0 t L [ y ′(t )] = L 1 − sin t − ∫ y (r ) dr 0
sy ( s ) − 0 =
y ( s ) s + y ( s ) =
1 s
1
1
−
y( s)
s2 + 1 1 1
s
÷ = s − s2 + 1
s 1
s 2 + 1
L−1 [ y (s )]
−
−
s ( s 2 + 1) 2
1 s = L−1 2 − 2 2 s + 1 ( s + 1)
d"
s s 1 = L−1 2 . 2 2 2 s + 1 s + 1 ( s + 1) s s g ( s ) = 2 ........... g ( t ) = L−1 2 = cos t s + 1 s + 1 1 1 f ( s ) = 2 .......... f ( s) = L−1 2 = sin t s + 1 s + 1 t t s −1 L 2 = ∫ f (u ) g (t − u ) = ∫ sin u.cos(t − u)du 2 ( s + 1) 0 0 t s L−1 2 = ∫ sin u.(cos t cos u + sin t sin u) du 2 ( s + 1) 0 t t s −1 L 2 = cos t ∫ sin u cos udu + sin t ∫ sin 2 udu 2 ( s + 1) 0 0 t t sin 2 u s u sin u cos u −1 L 2 = cos t ÷ + sin t 2 − ÷ 2 ( s 1) s 2 + 0 0 s cos t sin 2 t t sin t sin 2 t cos t t sin t −1 L 2 = + − = 2 2 2 2 2 ( s + 1) L−1
>ora rem&la/ando en la inversa de *a&lac:
L−1 [ y (s )]
1 s = L−1 2 − 2 2 s + 1 ( s + 1)
y (t ) = sin t −
t sin t 2
A+%6(2 PA%CAR A9++2( C8RI)TIA( C2DI#2 ,-,//5 Pro
3 ( x ) =∫ t
x − 1 − t
e d t , x >0
0
i" ii"
r!1" # r!(" # 1A r!14(" # V6!14(" r!=51" # =r!="
( 2 n)! iii"
Si n E N, r!n 5 W" #
2n
2 n!
; π
Solución: 1" Utili/aremos la denición :
3 ( 1 )=∫ e− t dt =−e−:+ e0 =1 0
− t −: −: −0 −0 e tdt =−¿ : e −e + 0 e + e =1 :
3 ( 2 )=∫ ¿ 0
−1
( )
:
π e t dt =2∫ e−u du=¿ 2 √ = ; π −t
2
2
2
0
3
:
( )=∫ ¿ 1 2
0
:
(" r!=51"
¿∫ e−t t x −1 dt 0
:
¿ x ∫ e−t t x −1 dt 0
# = r!="
F" r!n514(" # !n$14(" r!n$14(" # !n$14("!n$F4(" r!n$F4(" ) ) ) # !n X W"!n X F4("!n X @4("Y14(r!14(" #
(
2 n −1 2
)(
2 n− 3 2
)(
)
2 n −5 1 < ; π 2 2
;e donde
( )
3 n+
1 2
=
1.3.5 < + ( 2 n− 1) n
2
√ π =
(2 n) ! 2n
2 n!
; π
A+%6(2 )2+:) !');%E3 4AI6E C2DI#2,-,//$0 Pro
a y ' ' + 5 y ' ( t ) + #y ( t )= x (t ) , t > 0, viene dada &or: 1
I!s" #
2 as + 5s + #
SeZalar !t" #
1 L− [ = ( s ) ]
, se le llama res&uesta im&ulsional del sistema) ;el
mismo modo !t" de&ende solamente del sistema) En &articular, si =!t" # [!t" !delta de ;irac" se tiene I!s" #3!s" y &or lo tanto >!t" # y!t"
Solución: %or teorLa tenemos
Iallamos la función de transferencia del &ro2lema *\ayQ!t" 5 2y9!t" 5 cy!t"] # *\8!t"] 2
\ s 3!s" X s3!0" X 39!0"] 5 2\s3!s" X 3!0"] 5 c3!s" # 8!s" 2
a s 3!s" 5 2s3!s" 5 c3!s" # 8!s" 3!s"\a s
2
5 2s 5 c ] # 8!s"
Y ( s ) 8!s" # a s 2+ 5s + # Com&arando con la ecuación !i" 1
8!s" #
2
a s + 5s + #
Y ( s )
1
I!s" #
a s 2+ 5s + #
*a función de transferencia no de&ende de la entrada ni de la salida, solo de&ende de los &arámetros del sistema !a, 2, c") 1
I!s" #
a s 2+ 5s + #
Si 8!t" # [!t" *\ayQ!t" 5 2y9!t" 5 cy!t"] # *\[!t"] 3!s"\a s
2
5 2s 5 c] # 1 1
3!s" #
a s 2+ 5s + #
3!s" # I!s"
%or lo tanto 3!t" # I!t")
A+%6(2 C%ET2 )A+A3AR 4E))ICA
C2DI#2 ,-,/$$5 Pro
= 60Ω , R2 = 60Ω , C = 10−3 F 120 , 0 < t < 4 E (t ) = −4t 120e cos 3t , t ≥ 4
L = 6 H , R1
;I1 (0) =I2 (0)= I3 (0) = 0 ,Q (0) = 0 y
Iallemos L ( E ( t ) ) : +:
L ( E ( t ) )=∫ e−st + E ( t ) dt 0
+:
4
¿∫ e
−st
.120 dt +
∫ e−
st
0
−4 t
.120 e
+ cos3 t dt
4
+:
4
¿ 120∫ e dt + 120 ∫ e−st + e−4 t cos3 t dt − st
0
4
t =( + 4
(
)
+:
e− s ¿ 120 − + 120 ∫ e−(s +4 )( + e−4 s−16 + cos ( 3 (+ 12 ) d( s s 0 4
1
.esolvemos +:
∫ e−( + )
s 4 (
0
+ cos ( 3 (+ 12 ) d(
du
v
+:
e−( s+ 4) ( e− (s +4 ) ( ¿ cos ( 3 (+ 12 ) + −∫ + (−sen ( 3 ( + 12 ) ) 3 d( −(s + 4 ) 0 −( s + 4 )
¿
cos ( 12 ) 4
−
3
+:
e−( + ) ∫ s+ 4
s 4 (
0
du
− sen ( 3 (+ 12 ) d( v
− (s + 4 ) (
e
+:
+ sen ( 3 ( + 12 ) −∫
−( s+ 4 )
¿
cos ( 12 ) 4
cos (12 ) 4
⇒
∫e
#od ( 3 ( + 12 ) d(=
0
(
−
(
3
( s+ 4 )
¿
∫ e−( + )
s 4 (
+ cos ( 3 ( + 12 ) d(
0
cos ( 12 ) 4
)
+ cos (3 ( + 12 ) 3 d(
+:
3 9 − sen (12 ) − (s +4 )² 4
+s
−( s + 4 ) (
−( s + 4 )
0
¿
−( s+ 4 ) (
e
)(
( s + 4 )2 − sen ( 12 ) + 4 ( s + 4 )2 + 9 3
)(
(
)
( s+ 4 ) cos ( 12 ) 3 e−4 s L ( E ( t ) )=120 − + 120. e−4 s−16 + − sen ( 12 ) + s s 4 4 ( s + 4 ) 2+ 9 1
t
2
)
E ( t ) =60 > 1 + 10³∫ > 2 ( s ) ds→/ −C(a11a 1
;el gráco tenemos:
0
t
'
∫
0 =6 > 3 + 60 > 3+ 10³ > 2 ( s ) ds→(a11a 2 0
&lico transformada
L ( E )=60 L ( > 1 ) + 10³
L( > 2 ) ⟹ s L ( E ) = 60 s L ( > 1 ) +10³ L( > 2) s
0 =6 s L ( > 3 )−6 > 3( 0) + 60 L ( > 3 ) + 10³
⇒0
L ( > 2) s
=6 s 2 L ( > 3 ) + 60 sL ( > 3 ) +10³ L( > 2 )
e3o#o(o > 1 = > 2 + > 3 → L ( > 1 )= L ( > 2 ) + L ( > 3 )
sL ( E ) =60 sL ( > 3 ) + ( 103 + 60 s ) L ( > 2) 0 =( 6 s
2
+ 60 s ) L ( > 3 ) + 10³ L ( > 2 )
6 s + L ( > 3 )=
sL ( E ) =
10³ L ( > 2)
( s +10 )
10³ L ( > 2 )
( s + 10)
+ ( 103 + 60 s ) L ( > 2)
.eem&la/ando tenemos: 3
10³ 10 s + +( 2 ) 60 L ( > 2 )= s + 10 s ² + 60 s + 60
−10 t
3
> 2 =10 e
+ cos ( √ 60 t ) + 60 x 103 +
1
√ 60
sen ( √ 60 t )
A+%6(2 !A+E(CIA +%(A +%I) '(#E+ C2DI#2 ,7,/$,Pro .esuelva el siguiente sistema integro diferencial
{
t
y ( t )+ y ( t ) + 4 ∫ ? ( u ) du + 10= 0 0
y ( t ) + ? ( t ) + ? ( t )=0 y ( 0 )=12 ? ( 0 ) =−6
*
(
t
)
y ( t ) + y ( t ) + 4 ∫ ? ( u ) du = −10 L 0 y ( t ) + ? ( t ) + ? ( t )
( ) 0
sy ( s )− y ( 0 ) + y ( s )+
4 ? ( s )
s
=
−10
s ¿ sy ( s )− y ( 0 ) + s? ( s )− ? ( 0 )+ ? ( s )= 0
(¿
)
.em&la/ando t7rminos y acomodando el sistema de ecuaciones, tenemos)
(
( s + 1 ) y ( s ) +
4 ? ( s )
)( )
s = s y ( s ) + ( s + 1 ) ? ( s )
−10 s
+ 12
6
Iallamos y!s" y /!s" del sistema de ecuaciones, &or el m7todo de cramer)
^ #
−10 s
+ 12
y ( s )=
4
s
s+ 1
2 s =( s + 1 ) − 4
4
s s +1
6
s +1
@
2
=
+2 s −34 s ( s + 3 )( s −1 )
12 s
.esolviendo &or fracciones &arciales, tenemos) 2
+ 2 s −34 A B C = + + s ( s + 3 )( s −1 ) s s + 3 s −1
12 s
.esolviendo o2tenemos los valores de , y C #F?4F
y ( s )=
#1_4F
() ( )
34 1 3 s
+
L− 1 { y ( s ) }= L−1
y (t )=
17 1 3 s +3
+(− 5)(
1
s− 1
C#$@
)
{ ( )} { ( )} { 34 1 3 s
34 17 −3 t + e −5 et 3 3
+ L−1
17 1 3 s +3
+ L−1 (−5 )(
1
s −1
)
}
s+1 ? ( s ) =
10
12−
s
s
6
=
@
s ( 16 −6 s ) s ( s + 3 )( s −1)
.esolviendo &or fracciones &arciales, tenemos) 16 −6 s
A
=
+
B
( s +3 )( s −1 ) s + 3 s−1 .esolviendo o2tenemos los valores de 3 #@4(
#$1_4(
? ( s ) =
−17 2
(+) 1
s 3
L− 1 { ? ( s ) }= L−1
? ( t )=
−17 2
e
5
1
2
s −1
+( )(
)
{ ( )} {
−3 t
−17
1
2
s+3
+ L−1 ( 5 )( 2
1
s −1
)
}
5 2
+ e t
A+%6(26A(ER2 6ARA++A(2 +%I) C@DI#2 ,-,/,07 Pro
y ( t ) #
−t
2
t
sen ( 4 t )+ t e + t e + 8 δ 2 π ( t )
y ( 0 )=2 ,
y ( 0 ) =1
Solución:
L { y ( t ), , + 2 y ( t ), + y ( t ) }= L { sen ( 4 t )+ t e−t + t 2 e t + 8 δ 2 π ( t ) }
s L { y ( t ) } −sy ( t )− y ( 0 ) + 2 ( S L { y ( t ) } − y ( 0 ) ) + L { y ( t ) }=
4
,
2
L { y ( t ) } ( s + 2 s + 1 ) −( 2 s + 5 )=
4
2
2
S +4
2
+
2
S +4
1
+
2
1 2
( S + 1)
+
2 3
( S −1 )
+ 8 e−2 πs
2
+8 e−2 πs A ( S +1 ) ( S −1) +
2
3
S
¿ 2
(¿ 2 + 4 ¿¿ 2)( S + 1) +
1 4
( S +1 )
−2 πs
2
+
3
+
8e
2
( S −1 ) ( S + 1 ) ¿ 4 L { y ( t ) }= ¿
+( 2 s +5 ) ( S + 1 )2 A
S
¿
S
¿
(¿ 2 + 4 ¿¿ 2 )+ ¿
(d ) (S + 1 )2 A
(¿ 2 + 4 ¿¿ 2)( S + 1)2= + S +1 ¿
( BS + C ) ¿
4
¿ 4 +4
(d ) (+ 1 )2 A (+ C ) (¿¿ 2 )( 1)2= + ¿ 1 (¿¿ 2)+
S#0:
4
¿
S
¿
S
¿
'odo &or
( S + 1 )2 :
( d )( S + 1 )2 (¿ 2 + 4 ¿¿ 2 )+ ( S + 1)2 A ¿ 2 2 A ( S + 1 ) ( BS + C )( S + 1) (¿ 2 + 4 ¿ ¿ 2)( S + 1)2= + ¿ S +1 ¿ 2 4( S +1) ¿
2
A .0 ( BS + C )( 0 )
4
S#$1:
(17 )
=
+
1
( 17)
+
( d) (+ 1)2
4
A
( 17 )
=
d 1 A
S
¿
S
¿
S
¿
S
¿
S
¿
S
¿
'odo &or
(¿ 2 + 4 ¿¿ 2 ) ( S + 1 )2 ( d )¿ (¿ 2 + 4 ¿¿ 2)+¿ ¿ (¿ 2 + 4 ¿¿ 2 ) ¿ ( BS +C ) ¿ (¿ 2 + 4 ¿¿ 2) +¿ S +1 A ¿ (¿ 2 + 4 ¿¿ 2)( S + 1)2=¿ ¿ (¿ 2 + 4 ¿¿ 2 ) ¿ 4¿ ¿
( S 2 + 4 2) :
( S 2 + 4 2) #0A S#
A ( 0 ) ( B 4 i + C ) ( d ) ( 0) = + + 1 ( 4 i+1 )2 S + 1 ( S +1 )2 A 4
4i :
4
(8 i−15 )
=
( B 4 i+ C ) 1
A
C =
− 4 ( 8 i + 15 ) ( B 4 i+ C ) = 17
−60 17
A
1
−8
A B = 17 A
:
¿
:
¿
( ¿ 2+ 4 ¿ ¿ 2 )+ S# : :
¿
( d) ( : +1 )2 A
(¿ 2 + 4 ¿¿ 2)( :+ 1 )2= + : +1 ¿
A
( B : + C ) ¿
4
¿
: A ( B : ) (d ) (¿¿ 2 )( :)2= + + : ( : )2 ( : )2 A
: A ( B ) ( d ) A ( B ) + " = " A =−B : : ( : )2 : :
(¿¿ 2 )( :)2= +
4
4
¿
¿ S
¿
S
¿
(
4
) (17 ) (¿ 2 + 4 ¿¿ 2)+ ( S + 1)2 ¿ −8 −60 S+ ( ) 8 1 17 17 2 (¿ 2 + 4 ¿¿ 2)( S + 1) = + + ¿ 17 S + 1 ¿ 4
¿ S
¿ 2 (¿ 2 + 4 ¿¿ 2) ( S + 1 ) ¿ −t 4 8 −t −8cos ( 4 t ) − 15 sen ( 4 t ) 4 t e + + ¿ = 17 + e + 17 17 ( 17 ) −1 L ¿ 2 3
2
(S −1 ) ( S + 1 )
=
A 1
( S + 1)
+
B
C 2
( S + 1)
5 ( S −1 )
1
+
D 2
( S −1 )
+
E
( S−1 )3
2
2
2
A ( S +1 ) B ( S + 1 ) = + (S −1 )3 ( S + 1 )2 ( S + 1)1 (S + 1)2
(S +1 ) :
'odo &or
2
2 ( S + 1)
2
2
5
2
C ( S + 1 ) D ( S + 1 ) E ( S + 1 ) + + ( S −1)1 ( S −1)2 ( S −1)3
1
2
S#$1 :
3
(−1−1 )
=
A (−1 + 1 ) 1
2
2
2
C ( 0 ) D (0 ) E ( 0) + 5 + + 1 ( S −1 )1 ( S −1 )2 ( S−1 )3 A B
2 B = −8 1 3
A ( S −1 )3 B ( S −1 )3 = + ( S −1 )3 ( S + 1 )2 ( S + 1)1 ( S + 1)2 5 2 ( S −1 )
3
( S −1 ) :
'odo &or 3
3
3
C ( S −1) D ( S −1 ) E (S −1 ) + + ( S −1 )1 ( S −1)2 ( S −1 )3
2 1 A ( 0 )3 B ( 0)3 C ( 0 ) D ( 0 ) E = + + + : ( 1 + 1)2 ( + 1 )1 ( + 1 )2 5 A 1 1 1 S S
2
S#1
E
2
= 2 (2 ) 1
3
2 (−1 )
S#0:
(−1)3 (+ 1 )2 3
3
3
=
A (−1 )
(+ 1 )1
3
+
B (−1 )
5
(+ 1 )2
3
C (−1) D (−1 ) E (−1)
+
(−1 )1
+
(−1 )2
(−1 )3 A
2
B
C
D
E
= + + + 3 2 1 2 1 2 5 (−1) (+ 1 ) (+ 1 ) (+ 1 ) (−1) (−1 ) (−1 )3 A C D
−1 2 A 1 = − −1 1 4 $
1
1
+ − 1
1 2
3
A
4
2
( : −1 ) ( : + 1 ) +
D
+
2
( : −1 ) ( : − 1 )
E
(:−1 )3
1
+
E
−1
−5 A C D = − +
2
S# : : C
C D
+
=
2 A B = + −1 1 1 5
1
1
A 1
( :+ 1 )
+
1
A
B
( :+ 1 )2 5
−5 −2 C D = + 4
1
1
2 3
2
( : ) ( :)
=
A 1
(: )
+
B
C
( :) 5 (: ) 2
1
D
+
2
+
−C = 2 (: ) ( : )
E
A
A
3
(: ) ( : )
A #
A
1
−C A 2
S# 2 :
3
(2−1 ) ( 2 + 1)
C 1
( 2−1 )
+
2 3
=
2
D 2
( 2 −1)
=
A
+
+
A 1
(2 +1 )
B
C
D
+
−1
E
+
−1 −2 C D = 1+ 4 ( 3) 1
−5 −2 C D = +
(3 )
(2 + 1 )2 5
( 2−1 )3
(3 )
(1 ) (3 )
1
B
E
5 ( 1 )1 ( 1)2 ( 1 )3 A
2
+
2
3
4
1
−3
2 A 4 = 1+ 9 (3 ) 9
−1
3 4
2
C
5
+
1
(1)
3 4 A
A C #
1
1
D
( 1)
D #
1 4
+
2
2
( 1 )3
1 4
1 2
4 4 5 = + + + 3 2 1 2 ( S −1 ) ( S + 1 ) ( S + 1) ( S + 1) ( S −1 )1 ( S −1 )2 ( S−1 )3
L−
1
{
2
(S −1 )3 (S + 1 )2
}
=
−3 4
3
3
1
1
4
4
4
4
+ e−t − +te−t + + et + + tet + + t e t " 2
S
¿ 1
2
(¿ 2 + 4 ¿¿ 2)( S + 1) +
−1
L
{
−2 πs
8 e
2
(S +1 )
+
4
( S+1 )
−2 πs
2
+
3
2
( S − 1 ) ( S + 1) ¿ 4 L { y ( t ) }= ¿
+
8e
+( 2 s +5 ) ( S + 1 )2
}
(2 s + 2 + 3 ) =8. (t −2 π ) e−(t +2 π ) +2. e−t + 3. te−t " 2 ( S + 1) −1
L
{
1 4
(S + 1 )
}
#
1 3 −t + t e A 6
y (t ) # 8 −t −8cos ( 4 t ) −15 sen ( 4 t ) 4 t e + + + e + 17 17 17 ( 17 )
−t
3 4
3 4
3 4
1 4
1 4
− + e−t − + te−t + + e t + +te t + +t 2 et + 8. ( t −2 π ) e−(t +2 π )+ 2. e
A+%6(2 (A!ARR2 E)PI(23A DIA(A
C2DI#2 ,-,/,7 Pro
y ! ( t )= cos4 t −2 ∫ y ( * ) cos2 ( * −t ) d*" y ( 0=2 ) 0
.esolución
sy ( s ) − y ( 0 )=
2
s + 16
sy ( s ) + y ( s )
(
2s 2
s +4
+ )
2s
s
2
s + 16
s
sy ( s ) −2=
y ( s ) s +
s 2
4
=
−2 y ( s )
− y ( s )
=
s + 16
s + 16
2
s +4
2
2
s +4
2s
s
s
s 2
+2
+2
s 2
y ( s )=
s + 16 + 32 3 s +6 s s + 6 s 2 2 s +4 s +4 2
2 2( s + 4) s +4 + 2 y ( s )= 2 2 ( s + 16 ) ( s + 6 ) s ( s + 6 )
y ( s )=
3 1 7 1 4 1 + + 2 + + + 2 10 ( s + 16 ) 15 ( s + 6 ) 3 s
Entonces:
y (t )=
3 10
sen 4 t +
7 15 √ 6
sen √ 6 t +
4 3
A+%6(2 6IRA(DA )A+A3AR 8E(R9 C2DI#2 ,-,/,$ Pro
?((?
(V
?V KV
RV
10V
t
' ' ' % ( t ) + 4 % ( t )+ 8 % ( t ) = F ( t )
% ( 0 )= 0 '
% ( 0 )=1
Solucion : Aplicamos L al PVI: L X ′′ ( t )
+ L 4 X ′ ( t ) + L 8 X ( t ) = L F ( t ) s 2 x ( s ) − sx (0) − x′(0) + 4 [ sx (s ) − x (0)] + 8x (s ) = 2 x ( s ) s + 4 s + 8 = f ( s ) + 1 x ( s ) =
f ( s ) s
+ 4s + 8
2
+
f (s )
1 s
2
+ 4s + 8
P!o: f ( s ) = L F ( t ) 2π
F (t + 2π ) = F (t ) ⇒ L F ( t )
=
e
− st
* 2t * dt
∫ (1 − e
−2π s
0
2 s −4e −2 s 2e − 2 − + −2 s −2 s −2 s 2 (1 − e ) s (1 − e )s π (1− e )s 2π π
f ( s ) =
)π
π
π
π
π
" sa# $%: +∞
1 1− q
= ∑ qn n=0
+∞
1 1− e e
= ∑ e−2
−2π s
n=0
−2π s
1− e 1− e
+∞
=∑
−2π s
e −2
sn
π
e −2
* e −2
sn
π
π
+∞
= ∑ e −2
s
n=0
= ∑ e−2
−2π s
si hacmos n
⇒ n&1
n =0
+∞
s
π
s ( n +1)
π
sn
π
n =1
'mplaano: f ( s ) = −4
+∞
∑
e −2
+∞
∑
e−
f ( s ) = − 4
+∞
∑
e −2
n =1
sn
+
2π sn
∑
+
s2
2
+∞
∑
e −2
π n =0
sn
π
s2
1 +∞ e −2 sn 2 + ∑ s2 ÷ π s n =1 π
2
2
+
s
sn
e−
π n =1
π
π
s2
+∞
2
−
s
∑
π n =1
2π sn
n =1
e −2
+∞
2
−
s
n =1
f ( s ) = −4
sn
π
s2
π
Aho!a: −2π sn
+∞
∑ s(s e+ 4s + 8) +
x ( s ) = − 4
n =1
2
2 2
s ( s
π
2
+ 4 s + 8)
+
1 s
2
+ 4s + 8
..........(α )
acmos: r ( s) =
1 s
2
+ 4s + 8
−1
⇒ L [ r ( s)] =
=
1 ( s + 2)2
+ 22
e−2 t Sen 2t 2
−1
r ( s) e−2u Sen 2u * du e−2t Sen 2t e −2t Cos 2t 1 ⇒ L = ∫ =− − + 2 8 8 8 s 0 −1 −2 u t t e r ( s ) Sen 2u * du e−2t Cos 2t 1 t ⇒ L 2 = ∫0 ∫ 0 = − + 2 16 16 8 s t
Aplicamos L−1 a ( α ) + !mplaano :
e−2 sn * r (s ) 2 −1 r ( s ) −1 L [ x ( s ) ] = −4∑ L * + * L * 2 + L [ r ( s )] s s n =1 π +∞ 2 e −2t Cos 2t 1 t e −2 t Sen 2t r ( s) X (t ) = − 4∑ U 2 n (t ) * L −1 * + * ( − + ) + 16 16 8 2 s (t −2 n ) π n =1 +∞
−1
π
−1
π
π
,inalmn-: +∞
e−
2( t − 2 nπ )
Sen 2(t − 2nπ )
e−
2( t −2 nπ )
Cos 2(t − 2 nπ )
1
1
e − Cos 2t 2t
*
1
t
e − Sen 2t 2t
