UNIVERSIDAD DE CUENCA ECUACIÓN ECU ACIÓN BIDIMENSIONAL DE ONDA MEMBRANA RECTANGULAR ESTUDIANTES: • • • •
Byron Ludeña Alex Godoy Henry Vasquez Chrisian Sari
PROFESOR: In!" #uan Bauisa Sanan!o $ernandez $ernandez
OBJETIVOS: • • •
De%osrar de la e&ua&i'n (idi%ensional de la onda" A)li&ar la e&ua&i'n (idi%ensional de onda a %e%(ranas re&an!ulares" Ideni*&ar los %odos de +i(ra&i'n en una %e%(rana re&an!ular" re&an!ular"
INTRODUCCIÓN El an,lisis que se )resena es ano +,lida )ara %e%(ranas &o%o )la&as- ya que la di.eren&ia enre enre ellas es que el )ar,%ero )ar,%ero que ri!e a las )ri%eras es la ensi'n a la que sea so%eida- %ienras que la se!unda endr, &o%o .a&or deer%inane su &o%)ora%ieno a la ri!idez" Las %e%(ranas ienen en a&usi&a un !ran &a%)o de a)li&a&i'n/ !ra&ias a las )ro) )ro)ie ieda dade des s que que )res )resen ena an n las las +e%o +e%os s a)li a)li&a &ada das s en un !ran !ran n0%e n0%ero ro de dis)osii+os ales &o%o1 insru%enos %usi&ales- ala+o&es- %i&ro.onos- &a2as a&usi&as y *lros- enre oros" Asi- )ues el esudio de ese i)o de ele%enos- (asi&a%ene la .or%a en que +i(ran- nos )er%ie %odi*&ar diseños- de %anera que en!a%os un %ayor a)ro+e&ha%ieno de &ada una de las &ara&erisi&as analizadas"
Ecuación bidimensina! de ndas
3
ECUACIÓN BIDIMENSIONAL DE ONDA Co%o oro )ro(le%a (,si&o de +i(ra&iones- se &onsidera el %o+i%ieno de una %e%(rana el,si&a ensada"
Su"ues#s $%sics: •
•
La %asa de la %e%(rana )or unidad de ,rea ser, &onsane" La %e%(rana endr, 4exi(ilidad )er.e&a y no o.re&e resisen&ia a la 4exi'n" La %e%(rana se ensa y lue!o se *2a a lo lar!o de oda su .ronera en el )lano xy "
T )or unidad de lon!iud- &ausada )or el esira%ieno de
•
La ensi'n
•
la %e%(rana- es la %is%a en odos los )unos y en odas las dire&&iones- y no &a%(ia durane el %o+i%ieno" La de4exi'n v ( x , y , t ) de la %e%(rana durane el %o+i%ieno es )equeño en &o%)ara&i'n al a%año de la %e%(rana y odos los ,n!ulos de in&lina&i'n son )equeños"
Aun &uando esos su)uesos no )uedan )onerse en )r,&i&a exa&a%ene- se &u%)lir,n &on relai+a )re&isi'n &on +i(ra&iones rans+ersales )equeñas de una %e%(rana el,si&a del!ada- de al %odo que se o(iene un (uen %odelo"
Ecuación bidimensina! de ndas
5
Fi&u'a ()() Memb'ana *ib'an#e
Deducción de la ecuación: La e&ua&i'n di.eren&ial que !o(ierna
el %o+i%ieno de la %e%(rana se o(iene &onsiderando las .uerzas que a&0an so(re una )equeña )or&i'n de la %e%(rana de la *!" 63"37" 8ueso que las de4exiones de la %e%(rana y los ,n!ulos de in&lina&i'n son )equeños- los lados de la )or&i'n son i!uales a)roxi%ada%ene a ∆ x y ∆ y " La ensi'n T es la .uerza )or unidad de lon!iud" En &onse&uen&ia- las .uerzas que T∆x
a&0an so(re los lados de la )or&i'n son a)roxi%ada%ene
y
T∆ y "
8ueso que la %e%(rana iene 4exi(ilidad )er.e&a- esas .uerzas son an!enes a las %e%(ranas"
Componene! "o#i$onale! de la %ue#$a1 Se o(ienen %uli)li&ando las .uerzas )or los &osenos de los ,n!ulos de in&lina&i'n" 8ueso que los ,n!ulos son )equeños- sus &osenos es,n &er&a de 3" En &onse&uen&ia- las &o%)onenes horizonales de la .uerzas de los lados o)uesos son a)roxi%ada%ene i!uales" 8or ano las )ar9&ulas de la %e%(rana en una dire&&i'n horizonal ser,n )r,&i&a%ene des)re&ia(les" 8or lo anerior )uede &on&luirse que es )osi(le &onsiderar el %o+i%ieno de la %e%(rana &o%o rans+ersal/ es de&ir- que &ada )ar9&ula se %ue+e +eri&al%ene"
Componene! &e#icale! de la! %ue#$a!: esas &o%)onenes a lo lar!o del lado dere&ho e izquierdo son *!" 63"37 T ∆ ysenβ
−T ∆ ysenα -
:
res)e&i+a%ene/ el si!no %enos a)are&e )orque so(re el lado izquierdo la .uerza es, diri!ida ha&ia a(a2o" 8ueso que los ,n!ulos son %uy )equeños sus senos )ueden ser susiuidos &on sus an!enes" 8or ano- la resulane de esas dos &o%)onenes +eri&ales es
T ∆ ysenβ −T ∆ ysenα =T ∆ y ( tanβ −tanα )
¿T ∆ y
(
∂v ∂v ¿( x +∆ x , y ) − ¿( x , y ∂x ∂x 1
2
)
)
63"37
De %anera si%ilar- la resulane de las &o%)onenes +eri&ales que a&0an en los oros dos lados de la )or&i'n es
T∆x
(
∂ v ¿ ∂ y ( x
1
, y +∆ y )
−
∂v ¿ ∂ y ( x
2
)
,y)
63" 57
Ecuación bidimensina! de ndas
;
8or la se!unda ley de Ne<on- la su%a de las .uerzas dadas )or 63"37 y 63"57 es i!ual al )rodu&o de la %asa ρ ∆ A de esa )or&i'n )equeña )or la a&elera&i'n 2
∂ v ρ es la %asa de la %e%(rana no 4exionada )or unidad de ,rea 2 ∂ t / aqu9 ∆A
y
=
∆ x ∆ y es el ,rea de la )or&i'n &uando no es, 4exionada" 8or
ano-
(
)
(
∂ v ∂v ∂v ∂ v T∆ y ¿( x + ∆ x , y )− ¿( x , y ) + T ∆ x ¿( x , y +∆ y )− ¿( x ∂x ∂x ∂y ∂y 1
2
Lue!o di+idiendo )ara
T ρ
{
(
Si se ha&e que
2
∆x y
c
c
2
2
(
2
2
, y)
)
ρ ∆ x ∆ y - ene%os
)(
∂v ∂v ∂ v ¿( x +∆ x, y )− ¿( x , y ) ¿ ∂x ∂x ∂ y ( x + ∆x 1
1
2
∂ v = ρ ∆ x ∆ y 2 ∂t
, y +∆ y ) 1
−
∆y
∂v ¿ ∂ y ( x , y ) 2
}
)=
2
∂ v 2
∂ t
∆ y iendan a &ero- se o(iene la e&ua&i'n di.eren&ial"
2
)
2
∂ v ∂ v ∂ v + = 2 2 2 ∂x ∂ y ∂t
2
-
c=
T ρ 63";7
Se de*ne &o%o la +elo&idad de )ro)a!a&i'n de las ondas a lo lar!o de la
%e%(rana >(eniendo as9 la e&ua&i'n (idi%ensional de onda" La e&ua&i'n enre el )ar?nesis es el la)la&iano
2
∇ v de
v " 8or ano
63";7 )uede
es&ri(irse
Ecuación bidimensina! de ndas
@
2
c
2
2
∇
∂ v v= 2 ∂t
MEMBRANA RECTAN'ULAR Considera%os la %e%(rana re&an!ular R ilusrada en la *!ura" y
(
R a
x
Fi&u'a +)() Memb'ana 'ec#an&u!a'
o%ando en &uena que la E&ua&i'n (idi%ensional de onda es1 2
∂ v c ∇ v= 2 ∂t 2
2
6 7
8oniendo las &ondi&iones1
$ronera
Ini&iales
v ( x , y , t )= 0
6 7
v ( x , y , o )= f ( x , y )
des)laza%ieno
6 7
ini&ial
∂v ∣ = g ( x , y ) ∂ t t =0
Velo&idad ini&ial
6 7
PRIMER PASO: T'es ecuacines di$e'encia!es 'dina'ias A)li&ando el %?odo de se)ara&i'n de +aria(les v ( x , y , t )= F ( x , y ) G ( t )
6 7
Si &onsidera%os )or de*ni&i'n
Ecuación bidimensina! de ndas
∂v ∂ v ∂ v ´ = F x G ; = F y G; = F G ∂x ∂y ∂ t 2
2
2
∂ v ∂ v ∂ v = F xx G ; 2 = F yy G ; 2 = F ´G 2 ∂x ∂y ∂t Ree%)lazando en
637
c ( F xx G + F yy G )= F ´G 2
8ara se)arar las +aria(les- se di+iden a%(os %ie%(ros enre
F xx + F yy F
=
2
c FG 1
´ G 2 c G
8ueso que el se!undo %ie%(ro solo de)ende de y el )ri%ero es inde)endiene de - a%(os de(en ser i!ual a una &onsane/ )or &,l&ulos )re+ios sa(e%os que solo +alores ne!ai+os de esa &onsane a solu&iones que sais.a!an 657 sin .or%ar una idenidad &on &ero/ enon&es1
F xx + F yy F
=
´ G =−u2 2 c G
De eso se o(ienen1
´ + λ G =0 G 2
donde 6 7
λ =cu 2
F xx + F yy + F u =0
6 7
A)li&a%os una +ez %,s el %?odo de se)ara&i'n de +aria(les en la .un&i'n de a%)liud F ( x , y )
F ( x , y )= H ( x ) Q ( y )
6 7
Ecuación bidimensina! de ndas
Ree%)lazado en 2
(
y se)arando las +aria(les se o(iene
2 − 1 ∂ Q = + u2 Q
1 ∂ H
H ∂ x 2
67
Q
∂y
)
A%(os %ie%(ros de(en ser i!uales a una &onsane- )or las &onsidera&iones aneriores" Esa &onsane de(e ser ne!ai+a- ya que )or un an,lisis i!ual al anerior solo +alores ne!ai+os lle+aran a solu&iones que sais.a!an 657 sin .or%ar idenidades &on &ero/ enon&es1 2
H ∂ x
(
)
−1 ∂2 Q u2 Q = + =−k 2 2 2
1 ∂ H
Q
∂y
De esa ex)resi'n se o(ienen dos e&ua&iones di.eren&iales lineales ordinarias )ara H y F1 2
∂ H 2 + k H =0 2 ∂x
6 7
2
∂ Q + p 2 Q =0 2 ∂y
2
2
2
p =u − k
6 7
SEGUNDO PASO: Sa#is$acción de cndicines en !a $'n#e'a 8or &on&e)o- las solu&iones !enerales )ara
H ( x )= A cos kx + B sin kx
:
67
y
637 son1
Q ( y )=C cos py + sin py
Donde A- B- C- D son &onsanes" 8or 67 y 657 se si!ue que la .un&i'n $=HG de(e ser &ero en la .ronera- que &orres)onde a x=- x=a- y=- y=(/ *!" 65"37" Se o(ienen as9 las &ondi&iones1 H ( 0 )=0
H ( a )=0
Q ( 0 )=0
Q ( ! )=0
8or lo ano H 67=A= y enon&es
H ( a )= B sin ka =0
Ecuación bidimensina! de ndas
De(e o%arse B - )ues de oro %odo H ≡ y $≡" 8or ano- sin ka =0
o
ka ="# es de&ir"# = a
6% enera7
Del %is%o %odo se &on&luye que C= y ) de(e resrin!irse a los +alores )=nπ J ( donde n es un enero" Se o(ienen as9 las solu&iones1
H " ( x ) =sin
"#x a
Q n ( y )=sin
"#y !
; " =1,2,3 $ ; n =1,2,3, $
8or lo ano las .un&iones1
¿ sin
F "n ( x , y )= H " ( x ) Q n ( y )
son solu&iones de
67
"#x n#y ; sin a !
" =1,2,3 $ ; n =1,2,3, $
que son &ero en la .ronera de la %e%(rana en &uesi'n"
Una +ez que se ha analizado 67- se &onsidera 67" 2
2
λ =cu en 67- se iene1
2
p =u − k en 637 y
8ueso que
λ =c √ p + k 2
&o%o
2
p=
n# "# ; k = ! a - )or lo ano
√
λ"n =c#
"
2
2
a
+
2
n
2
!
"=1,2,3 $ ; n =1,2,3, $
/
Enon&es en la e&ua&i'n
[
G"n ( t )= B"n cos λ "n t + B
67-
¿
la solu&i'n !eneral es
]
λ "n t
"n sin
Se si!ue que las .un&iones
6337
v "n ( x , y ,t )= F "n ( x , y ) G"n ( t ) - desarrolladas
Ecuación bidimensina! de ndas
K
v "n ( x , y ,t )= [ B"n cos λ "n t + B
Con
λ"n
¿
"n sin
de a&uerdo &on
"#x n#y λ"n t ] sin sin a !
6357-
6357
son solu&iones de la e&ua&i'n de onda
637
que
son &ero en la .ronera de la %e%(rana re&an!ular de la *!"65"37" Esas .un&iones se lla%an ei!en.un&iones o .un&iones &ara&er9si&as y los n0%eros
λ"n
se lla%an los ei!en+alores de la %e%(rana +i(raoria" La .re&uen&ia de
v "n
es
λ"n
J 5"
De donde
λ"n = λn" f "n=sin "#x sin n#y y f n"=sin n#x sin "#y f "n % f n"
8ara
λ"n = λn"
quiere de&ir que exisen %u&has +i(ra&iones que )ueden ener
la %is%a .re&uen&ia- )ero di.erenes l9neas nodales
λ12= λ 21=c# √ 5
8or e2e%)lo Si
f 12= sin #x sin2 #y y f 21=sin 2 #x sin 1 #y La solu&i'n es ¿
v 12=( B 12 cos c# √ 5 t + B12 sin c# √ 5 t ) F 12 ¿
v 21=( B 21 cos c# √ 5 t + B21 sin c# √ 5 t ) F 21
: ienen las l9neas nodales
1
1
2
2
x = y y =
6)unos donde no exisir,
%o+i%ieno de )ar9&ulas7
Ecuación bidimensina! de ndas
v 21
v 12
Fi&u'a ,) L%neas nda!es de una memb'ana cuad'ada
TERCER PASO: S!ución de! "'b!ema cm"!e# 8ara o(ener la solu&i'n que a%(i?n sais.a&e las &ondi&iones ini&iales se &onsideran las series do(les &
v ( x , y , t )=
6;7
y
6@7-
&
∑= ∑= v
"n
( x , y , t )
" 1n 1
&
v ( x , y , t )=
&
∑= ∑= [ B
"n cos
λ "n t + B
¿
"n sin
" 1n 1
A )arir de esa ex)resi'n y &
v ( x , y , 0 )=
6;7 se
]
λ"n t sin
"#x n#y sin a !
63;7
o(iene
&
n#y sin =f ( x , y ) ∑= ∑= [ B ] sin "#x a ! "n
"
1
n
63@7
1
Esa es una serie do(le de $ourier" Su)on!a%os que .6x-y7 )uede desarrollarse en una serie &o%o esa" Enon&es los &oe*&ienes de $ourier 63@7 )ueden
B ∑ =
n#y !
"n sin
n 1
Enon&es
de .6x-y7 en
deer%inarse de la si!uiene %anera" Al ha&er
&
' " ( y )=
B "n
63@7 )uede
637
es&ri(irse en la .or%a
&
f ( x , y ) =
∑= ' ( y ) sin "#x a "
" 1
Ecuación bidimensina! de ndas
3
)ara y &o%o &onsane esa ser9a la serie senoidal de $ourier en .un&i'n de x " Sa(iendo que los &oe*&ienes de desarrollo son
' " ( y )=
a
"#x f ( x , y ) sin (x ∫ a a 2
637
0
Ade%,s
637 es
la serie senoidal de $ourier de
' " ( y ) y )or %edio del %is%o
an,lisis anerior ene%os
B "n=
!
n#y ' ( y ) sin (y ∫ ! ! 2
"
0
8or esa ex)resi'n y
B "n=
!
a
0
0
637 se
o(iene la .or%ula !eneral de Euler
"#x n#y f ( x , y ) sin (x(y sin ∫ ∫ a! a ! 4
)ara los &oe*&ienes de $ourier de
B "n
Los
de
B
6@7-
"=1,2,3 $ ; n =1,2,3, $ 637
f ( x , y ) en la seri do(le de $ourier
se deer%inan ahora en ?r%inos desde
63;7
deer%inar los
/
63@7"
f ( x , y ) " 8ara
¿ "n
se deri+a
63;7 er%ino
a er%ino &on res)e&o a t / usando
se o(iene
&
[ B¿ ∑ =
"n sin
n 1
λ "n ] sin
"#x n#y sin =¿ g ( x , y ) a ! &
∂v ∣ = ¿ ∂ t t =0 " =1
∑
Su)oniendo que
g ( x , y )
)uede desarrollarse en esa serie do(le de $ourier"
Enon&es- )ro&ediendo &o%o anes se en&uenra
B
¿ "n
=
4
a! λ "n
!
a
n#y (x(y sin ∫∫ g ( x , y )sin "#x a ! 0
0
/
"=1,2,3 $ ; n =1,2,3, $ 63K7
Ecuación bidimensina! de ndas
3 3
El resulado es que- )ara que &oe*&ienes
B "n
y
B
63;7
sais.a!a las &ondi&iones ini&iales- los
¿
de(en ele!irse de a&uerdo &on
"n
637 y 63K7"
EJEM(LO En&onrar las +i(ra&iones de una %e%(rana re&an!ular de lasos a=@)ies y (=5)ies" Si la ensi'n es 35"l(M)ies- la densidad es de
2.5 s)ugs
2
/ p*es 6&o%o
la del &au&ho li!ero7- la +elo&idad ini&ial es &ero y el des)laza%ieno ini&ial es
f ( x , y ) =0.1 ( 4 x − x )( 2 y − y ) p*es 2
2
Fi&u'a -)memb'ana 'ec#an&u!a' 2
c=
T ρ
)!f +s s)ugs =1 p*es
2
T 12.5 2 c= = =5 ( p*es2 / s 2) ρ 2.5 C,l&ulo de los &oe*&ienes de $ourier
Ecuación bidimensina! de ndas
3 5
B "n=
B "n=
!
a
0
0
"#x n#y f ( x , y ) sin (x(y sin ∫ ∫ a! a ! 4
2
4
"#x n#y (x(y 0.1 ( 4 x − x )( 2 y − y ) sin sin ∫ ∫ 8 4 2 4
2
0
B "n=
0
4
1
2
∫( 4 x − x ) sin 20 2
"#x 4
0
4
∫ (4 x − x )sin 2
"#x
(x =
4
0
2
(y ∫ ( 2 y − y ) sin n#y 2 2
(x
0
128 ( 1−cos "# ) 3
3
" #
"
=
128 (1−(−1 ) 3
)
3
" #
=
256 3
8ara %
3
" #
i%)ar 2
n
∫ ( 2 y − y ) sin n#y (y = 16(1 −cos n# ) = 16 (1−(−1) ) =
32
2
3
2
0
3
3
n #
3
n #
3
8ara n
3
n #
i%)ar B "n=
( )( )
1
256 3
32
3
3
20 " #
3
n #
=
0.426 3
8ara %- n
3
n "
i%)ar
B "n=0
Si % o n es )ar
(v = 0 po )o tanto g ( x , y )= 0 (t
Co%o la +elo&idad es ¿
B "n=0 (a(o-ue g ( x , y )=0
√
λ"n =c#
"
2
2
a
+
2
n
2
!
=
5 #
&
v ( x , y , t )= 0.426
4
√ " + 4 n 2
&
∑ ∑
"*npa n*"pa
1 3
2
cos 3
" n
(
5 # 4
)
"#x n#y =0.426 ( cos sin √ "2 +4 n2 t sin 4
2
(
5 # 4
)
√ 5 t sin
Ecuación bidimensina! de ndas
3 ;
#x 4
sin
#y 2
+
1 2
Discusión de es#a s!ución " se o(ser+a que el )ri%er ?r%ino de la su%a no iene l9neas nodales y es )or %u&ho el er%ino do%inane ya que los &oe*&ienes de los de%,s ?r%inos son %u&ho %,s )equeño/ el se!undo ?r%ino iene las l9neas nodales horizonales 6y=5M;-@M;7- el er&er ?r%ino iene dos l9neas nodales +eri&ales 6x=@M;-KM;7- el &uaro er%ino iene dos l9neas nodales horizonales y dos l9neas nodales +eri&ales- y as9 se )odr9a se!uir en&onrando las l9neas nodales de los si!uienes ?r%inos"
CONCLUSIONES: •
•
•
La e&ua&i'n que %odela el %o+i%ieno de las ondas en una )la&a o %e%(rana del!ada es la e&ua&i'n (idi%ensional de ondas" Las ondas en una %e%(rana re&an!ular a%(i?n ienen %odos de +i(ra&i'n- y l9neas nodales en las &uales no hay %o+i%ieno de las )ar9&ulas de la %e%(rana" En las %e%(ranas ideales +i(ranes- los %odos de +i(ra&i'n no son ar%'ni&os del .unda%enal- )or lo que no resular,n %uy a!rada(les al o9do"
BIBLIO'RA)*A: •
•
•
Oreyszi!- Er
Ecuación bidimensina! de ndas
3 @