Ecuación de la recta (Segundo medio) Para entrar en esta materia y para entender lo que significa la Ecuación de la Recta es imprescindible estudiar, o al menos revisar, lo referido a Geometría analítica y Plano cartesiano. cartesiano. La idea de línea recta es uno de los conceptos intuitivos de la Geometría (como son también el punto y el plano). plano). La recta se puede entender como un conjunto infinito de puntos alineados en una única dirección. Vista en un plano, una recta puede ser horizontal, vertical o diagonal (inclinada a la izquierda o a la derecha). La línea de la derecha podemos verla, pero a partir de los datos que nos entrega la misma línea (par de coordenadas para A y p ar de coordenadas para B en el plano cartesiano) es que podemos encontrar una expresión algebraica (una función) que determine a esa misma recta. El nombre que recibe la expresión algebraica (función) que determine a una recta dada s e denomina Ecuación de la Recta. Recta . Para comprender este proceder es como si la misma línea solo se cambia de ropa para que la vean o sepan de su existencia. Es en este contexto que la Geometría analítica nos enseña que una recta es la representación gráfica de una expresión algebraica (función) o ecuación lineal de primer grado. grado . Esta ecuación de la recta varía su formulación de acuerdo con los datos que se conozcan de la línea recta que se quiere representar algebraicamente. Dicho en otras palabras, hay varias formas de representar la ecuación de la recta. 1. – – Ecuación general de la recta Esta es una de las formas de representar la ecuación de la recta. De acuerdo a uno de los postulados de la Geometría Euclidiana, para determinar una línea recta sólo es necesario conocer dos puntos (A y B) de un plano (en un plano cartesiano), cartesiano) , con abscisas (x) y ordenadas (y). (y). Recuerden que es imprescindible dominar todos los aspectos sobre el Plano cartesiano pues la Ecuación de la recta no tiene existencia conceptual sin un Plano cartesiano. Ahora bien, conocidos esos dos puntos, todas todas las rectas del plano, sin excepción, quedan incluidas en la ecuación
Ax + By + C = 0 Que también puede escribirse como
ax + by + c = 0 y que se conoce como: la ecuación general de la línea recta, como lo afirma el s iguiente: Teorema La ecuación general de primer grado Ax + By + C = 0, 0 , donde A, B, C pertenecen a los números reales ( línea recta.
); y en en que que A y B no no son son simul simultá táne neam amen ente te nulos nulos,, rep repre rese sent nta a una una
2. – – Ecuación principal de la recta Esta es otra de las formas de representar la ecuación de la recta. Pero antes de entrar en la ecuación principal de la recta conviene recordar lo s iguiente: Cada punto (x, y) que pertenece a una recta s e puede representar en un sistema de coordenadas, siendo x el valor de la abscisa e y el valor de la ordenada.
(x, y) = (Abscisa , Ordenada)
Ejemplo: El punto ( –3, –3, 5) tiene por abscisa –3 y por ordenada 5. Si un par de valores (x, y) pertenece a la recta, se dice que ese punto satisface la ecuación. Ejemplo: El punto (7, (7, 2) 2) (el 7 en la abscisa x y el 2 en la ordenada y) y) satisface la ecuación y = x – x – 5, ya que al reemplazar queda 2 = 7 – 7 – 5 lo que resulta verdadero. Recordado lo anterior, veamos ahora la ecuación de la recta que pasa solo por un punto conocido y cuya pendiente (de la recta) también se conoce, conoce, que se obtiene con la fórmula
y = mx + n que considera las siguientes variables: un punto (x, (x, y), y), la pendiente (m ( m) y el punto de intercepción en la ordenada (n (n), y es conocida como ecuación principal de la recta (conocida también como forma simplificada, como veremos luego). Al representar la ecuación de la recta en su forma principal vemos que aparecieron dos dos nuevas variables: la m y la n, esto agrega a nuestra ecuación de la recta dos nuevos elementos que deben considerase al analizar o representar una recta: la pendiente y el punto de intercepción (también llamado intercepto) intercepto) en el eje de las ordenadas (y). (y). Respecto a esto, en el gráfico de la izquierda, m representa la pendiente de la recta y permite obtener su grado de inclinación (en relación a la horizontal o abscisa), y n es el coeficiente de posición, el número que señala el punto donde la recta interceptará al eje de las ordenadas (y). Forma simplificada de la ecuación de la recta Si se conoce la pendiente m, y el punto donde la recta corta al eje de ordenadas es (0, (0, b) b) (corresponde a n en la fórmula principal ya vista), podemos deducir, partiendo de la ecuación de la recta de la forma
y − y1 = m(x − x 1) y – b = m(x – m(x – 0) y – b = mx y = mx + b Esta es una segunda forma de la ecuación principal de la recta (se la llama también forma explícita de la ecuación) ecuación) y se utiliza cuando se c onocen la pendiente y la ordenada al origen (o intercepto), que llamaremos b ( no olvidemos que corresponde a la n en la primera forma de la ecuación principal). También se puede utilizar esta ecuación para conocer la pendiente y la ordenada al origen a partir de una ecuación dada. Ejemplo: La ecuación y = 4x + 7 tiene pendiente 4 y coeficiente de posición 7, lo cual indica que interceptará al eje y en el punto (0, 7). 7). Conocida la fórmula de la ecuación principal (simplificada o explíc ita, como quieran llamarla) de la recta es posible obtener la ecuación de cualquier recta siempre que se nos den al menos dos variables de ella: puede ser la pendiente, puede ser un punto o puede ser el intercepto. Esto significa que si te dan esa información se puede conseguir una ecuación de la forma y = mx + b que cumple con esas condiciones dadas. Nótese que la ecuación y = mx + b es la forma generalizada de la forma principal y = mx + n; por lo tanto, la b corresponde al valor de n (el intercepto en la ordenada y). y). Ejemplo 1: Hallar la ecuación de la recta que tiene pendiente m = 3 e intercepto b = 10. 10. Tenemos que hallar la ecuación de la recta, esto es, y = mx + b. b. Usamos la información que tenemos: m = 3 y b = 10 y sustituimos en la ecuación y = 3x + 10. 10 . La ecuación que se pide es y = 3x + 10. 10.
Ejemplo: El punto ( –3, –3, 5) tiene por abscisa –3 y por ordenada 5. Si un par de valores (x, y) pertenece a la recta, se dice que ese punto satisface la ecuación. Ejemplo: El punto (7, (7, 2) 2) (el 7 en la abscisa x y el 2 en la ordenada y) y) satisface la ecuación y = x – x – 5, ya que al reemplazar queda 2 = 7 – 7 – 5 lo que resulta verdadero. Recordado lo anterior, veamos ahora la ecuación de la recta que pasa solo por un punto conocido y cuya pendiente (de la recta) también se conoce, conoce, que se obtiene con la fórmula
y = mx + n que considera las siguientes variables: un punto (x, (x, y), y), la pendiente (m ( m) y el punto de intercepción en la ordenada (n (n), y es conocida como ecuación principal de la recta (conocida también como forma simplificada, como veremos luego). Al representar la ecuación de la recta en su forma principal vemos que aparecieron dos dos nuevas variables: la m y la n, esto agrega a nuestra ecuación de la recta dos nuevos elementos que deben considerase al analizar o representar una recta: la pendiente y el punto de intercepción (también llamado intercepto) intercepto) en el eje de las ordenadas (y). (y). Respecto a esto, en el gráfico de la izquierda, m representa la pendiente de la recta y permite obtener su grado de inclinación (en relación a la horizontal o abscisa), y n es el coeficiente de posición, el número que señala el punto donde la recta interceptará al eje de las ordenadas (y). Forma simplificada de la ecuación de la recta Si se conoce la pendiente m, y el punto donde la recta corta al eje de ordenadas es (0, (0, b) b) (corresponde a n en la fórmula principal ya vista), podemos deducir, partiendo de la ecuación de la recta de la forma
y − y1 = m(x − x 1) y – b = m(x – m(x – 0) y – b = mx y = mx + b Esta es una segunda forma de la ecuación principal de la recta (se la llama también forma explícita de la ecuación) ecuación) y se utiliza cuando se c onocen la pendiente y la ordenada al origen (o intercepto), que llamaremos b ( no olvidemos que corresponde a la n en la primera forma de la ecuación principal). También se puede utilizar esta ecuación para conocer la pendiente y la ordenada al origen a partir de una ecuación dada. Ejemplo: La ecuación y = 4x + 7 tiene pendiente 4 y coeficiente de posición 7, lo cual indica que interceptará al eje y en el punto (0, 7). 7). Conocida la fórmula de la ecuación principal (simplificada o explíc ita, como quieran llamarla) de la recta es posible obtener la ecuación de cualquier recta siempre que se nos den al menos dos variables de ella: puede ser la pendiente, puede ser un punto o puede ser el intercepto. Esto significa que si te dan esa información se puede conseguir una ecuación de la forma y = mx + b que cumple con esas condiciones dadas. Nótese que la ecuación y = mx + b es la forma generalizada de la forma principal y = mx + n; por lo tanto, la b corresponde al valor de n (el intercepto en la ordenada y). y). Ejemplo 1: Hallar la ecuación de la recta que tiene pendiente m = 3 e intercepto b = 10. 10. Tenemos que hallar la ecuación de la recta, esto es, y = mx + b. b. Usamos la información que tenemos: m = 3 y b = 10 y sustituimos en la ecuación y = 3x + 10. 10 . La ecuación que se pide es y = 3x + 10. 10.
Nótese que esta forma principal (s implificada o explícita) también podemos expresarla como una ecuación general: y – 3x – 3x – 10 = 0, 0, la cual amplificamos por – –1, quedando como – y + 3x + 10 = 0, 0 , que luego ordenamos, para quedar 3x – 3x – y + 10 = 0 Ejemplo 2 Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (1, 2) y tiene pendiente m = – = – 5. Tenemos que hallar la ecuación de la recta, esto es, y = mx + b. b. Usamos a información: m = – = – 5 y sustituimos en la ecuación: y = – = – 5x + b Ahora tenemos que buscar la b; usamos el otro dato; la recta pasa por el punto (1, 2), 2), por lo tanto, ese punto es una solución de la ecuación que buscamos. Se sustituyen esos valores de x = 1, y = 2 en la ecuación que estamos buscando: 2 = – = – 5 (1) + b Despejamos la variable b en: 2 = – = – 5 (1) + b 2 = – = – 5 + b 2+5=b b=7 Sustituimos el valor de b en la ecuación que buscamos: y = – = – 5x + 7 La ecuación en su forma principal (simplificada o explícita) es y = – = – 5x + 7. 7. La cual también podemos expresar en su forma general: y = – = – 5x + 7 y + 5x – 5x – 7 = 0 la cual ordenamos y queda 5x + y – y – 7 = 0 Pendiente de una Recta Con respecto a la pendiente es necesario conocer los siguientes enunciados: Las rectas paralelas tienen la misma pendiente. Si una recta tiene pendiente m = – 3 y es paralela a otra, entonces esa otra también tiene pendiente m = – 3. Las rectas perpendiculares tienen pendientes recíprocas y opuestas. Si una recta tiene pendiente m = – 5 y es perpendicular a otra, entonces esa otra tiene pendiente 5. Además: Si m = 0 la recta es horizontal (paralela al eje x). Si y = 0, 0, la recta es perpendicular. Si n = 0 la recta pasa por el origen. Determinar la pendiente Aprendido lo anterior es muy fácil hallar la ecuación de la recta que pasa por un punto punto y tiene una pendiente dada, o para hallar la ecuación de la recta que pasa por dos puntos. Si nos dicen, por ejemplo, que una recta tiene una pendiente de 2 y que pasa por el punto (1, (1, 3), 3), sólo tenemos que sustituir estos valores en la ecuación principal y nos quedaría: 3 = 2 · 1 + n, y despejando n, queda n = 1. 1. Por lo tanto, la ecuación de esa recta será: y = 2x + 1. 1. Si nos dicen que la recta pasa por el punto (1, ( 1, 3) 3) y (2, (2, 5), 5), sólo tenemos que sustituir estos valores en la ecuación principal y obtendremos dos ecuaciones con dos incógnitas: 3 = m · 1 + n,
5 = m · 2 + n. Ahora, observemos el gráfico de la derecha: derecha: Cuando se tienen dos puntos de una recta P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2), la pendiente, que es siempre constante, constante , queda determinada por el cuociente entre la diferencia de las ordenadas de esos dos puntos y la diferencia de las abscis as de los mismos puntos, o sea, con la fórmula
Entonces, a partir de esta fórmula de la pendiente se puede también obtener la ecuación de la recta, con la fórmula:
y – y1 = m(x – m(x – x1) Esta forma de obtener la ecuación de una recta se suele utilizar cuando se conocen su pendiente y las coordenadas de uno solo de sus puntos. Entonces, la ecuación de la recta que pasa por el punto P1 = (x1, y1) y tiene la pendiente dada m, se establece de la siguiente manera:
y – y1 = m(x – m(x – x1) Ver: PSU: Matemáticas, Pregunta 36_2010 Pregunta 15_2006 Ejemplo Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto A (2, – 4) y que tiene una pendiente de – 1/3 Al sustituir los datos en la ecuación, resulta lo siguiente: y – y1 = m(x – m(x – x1) y – ( –4) –4) = – = – 1/3(x – 1/3(x – 2) 3(y + 4) = – = –1(x 1(x – – 2) 3y + 12 = – = –x x+2 3y +12 + x – x – 2 = 0 3y + x + 10 = 0 x + 3y + 10 = 0 Volviendo a la ecuación general de la recta (Ax + By + C = 0) , en ella la pendiente (m (m) y el coeficiente de posición (n (n) quedan determinados por:
Ejemplo: ¿Cuál es la pendiente y el coeficiente de posición de la recta 4x – 4x – 6y + 3 = 0? 0?
Ecuación de la recta que pasa por dos puntos Sean P(x1, y1) y Q(x2, y2) dos puntos de una recta. Sobre la base de estos dos puntos conocidos de una recta, es posible determinar su ecuación. Para ello tomemos un tercer punto R(x, y), y), también perteneciente a la recta. Como P, Q y R pertenecen a la misma recta, se tiene que PQ y PR deben tener la mis ma pendiente. O sea
y Luego, la ecuación de la recta que pasa por dos puntos es:
que también se puede expresar como
Ejemplo 1: Determina la ecuación general de la recta que pasa por los puntos P(1, 2) y Q(3, 4)
y – 2 = x – x – 1 y – x + 1 = 0 Ejemplo 2: Determina la ecuación general de la recta que pasa por los puntos P1(4, 3) y P2( –3, –3, – –2) 2) Sabemos que la ecuación de la recta que pasa por dos puntos es:
Reemplazamos los valores: –2 –2 – 3 = y – y – 3 –3 –3 – 4 x – x – 4 –5 –5 = y – y – 3 –7 –7 x – x – 4 y – 3 = x – x – 4 ( –5 –5 –7) / –7) y – 3 = – = –5 5 x + 20 –7 –7 –7 –7 (y – (y – 3) = – = –5 5 x + 20 –7y –7y +21 + 5x – 5x – 20 = 0 5x – 5x – 7y + 1 = 0 Que se corresponde con una ecuación de la forma general Ax + By + C = 0 Donde
A = 5 B=7 C=1 Ver: http://www.youtube.com/watch?v=_qzSrMBiUyE&NR=1 Ecuación de la recta dados punto –pendiente (se conoce un punto y se conoce la pendiente) Por lo ya visto, y por los ejemplos anteriores, sabemos que la ecuación de la recta que pasa por dos puntos está determinada por
pero
Luego, si reemplazamos en la ecuación anterior obtenemos
despejando, llegamos a: y – y1 = m(x – x1) Ejemplo: Determina la ecuación general de la recta de pendiente –4 y que pasa por el punto (5, –3) y – y1 = m(x – x1) y – ( –3) = –4(x – 5) y + 4 = –4x + 20 Luego la ecuación pedida es 4x + y – 16 = 0. Ejercicios para obtener la ecuación general de la recta dados un punto y la pendiente Recuerde que la fórmula inicial es y – y1 = m(x – x1) 1. m = –1; punto ( –2, 3) y – 3 = –1(x + 2) y – 3 = –x – 2 x + y – 1 = 0 2. m = 2; punto ( –3/2, –1) y + 1 = 2(x + 3/2) y + 1 = 2x + 3 – 2x + y – 2 = 0 2x – y + 2 = 0 3. m = 0; punto ( –3, 0) y – 0 = 0(x + 3) y=0 4. m= –4; punto (2/3, –2) y + 2 = –4(x – 2/3) y + 2 = –4x + 8/3 y +2 – 4x –8/3 = 0 y – 2/3 – 4x = 0 4x – y + 2/3 = 0 5. m = –2/5; punto (1,4) y – 4 = 1(x – 1) y – 4 = x – 1
y – 4 – x + 1 = 0 y – 3 – x = 0 x – y + 3 = 0 6. m = 3/4; punto (2,5, –3) y + 3 = ¾(x – 2,5) y + 3 = 3/4x – 15/8 y + 3 – 3/4x +15/8 = 0 y + 39/8 – 3/4x = 0 3/4x – y – 39/8 = 0 7. m = ind; punto (0,5) y – 5 = (x – 5) y – 5 – x + 5 = 0 y – x = 0 x – y = 0 8. m = 0; punto ( –4, 1/2) y – ½ = (x + 4) y – ½ – x – 4 = 0 y – 9/2 – x = 0 x – y + 9/2 = 0
4.11 EJERCICIOS RESUELTOS DE LA UNIDAD Nro 4 Ejemplo 1
Hallar la distancia entre los puntos P1 (2, -8) y P2 (3, 5) ....
SOLUCIÓN x2 – x1 = 3 – 2 = 1 ; y 2 – y1 = 5 – (-3) = 13 Luego,
Ejemplo 2 Sean P1 (-1, 1) y P 2 (3, 0) dos puntos en el plano. Determine: Coordenadas del punto medio M del segmento Coordenadas del punto P sobre el segmento
tal que
.. ..
SOLUCIÓN En la figura adjunta se ilustra el segmento
y los puntos pedidos en a) y
Si el punto medio M tiene coordenadas. M (x m, y m) entonces:
Luego, las coordenadas del punto M son. M (1, 1/2)
b) Como
entonces
Si P(x, y) denota las coordenadas del punto P, se tiene de acuerdo a las fórmulas (5) y (6):
Luego, las coordenadas del punto P, son: P
..
Ejemplo 3
Escribir la ecuación de las rectas l, m, n, y r indicadas en la figura.
......
SOLUCIÓN Para la recta l , se tiene y = (tan 30º) . Para la recta n, se tiene y = (tan 45º) .
Es decir y = x
Igualmente, para la recta m, se tiene: y = (tan 135º) x = (-tan 45º). x = -1.x Esto es , y = -x
Ahora, como el punto P(1, 3) g r , se tiene que Luego, y = 3x es la ecuación de la recta r.
Ejemplo 4
Escribir la ecuación de las rectas l, m, n y r indicadas en la figura
.... ..
SOLUCIÓN Para la recta l , el intercepto con el eje y es b = 1. Además, Luego, la ecuación de la recta l es: y = x + 1.
.
Para la recta m, b = 1 y Por lo tanto, y = -x + 1 es la ecuación de la recta m. También para la recta n, b = -2 y la ecuación de la recta n, tiene la forma, y = mx – 2. Como el punto (2, 0)
n, entonces satisface su ecuación, es decir,
0 = 2m – 2 , de donde m = 1. Por tanto, y = x – 2 es la ecuación de la recta n. Para la recta r , se procede como se hizo para l , obteniendo como ecuación: y = 2x + 2.
Ejemplo 5
Determine las ecuaciones de las rectas l y r que se muestran en la figura adjunta. .... ....
SOLUCIÓN Para la recta l , se tiene: y – 3 = ml (x + 1).
Pero ml = tan 135º = - tan 45º = -1 Luego, y – 3 = - (x + 1) ó x + y – 2 = 0 es la ecuación de la recta l .
Para la recta r se tiene: y – 3 = mr (x + 1).
Pero, mr = Luego, y – 3 = 3(x + 1) ó 3x – y + 6 = 0 representa la ecuación de la recta r .
Ejercicio 6
Obtener la ecuación de la recta que pasa por los puntos A (1, 3) y B (-2, 1). Determine el intercepto de la recta con el eje y.
..
SOLUCIÓN En la figura adjunta aparecen los puntos dados y la rect a l que pasa por ellos.
Entonces, la ecuación de l viene dada por:
o equivalentemente, 3y – 9 = 2x – 2 o también, 2x – 3y + 7 = 0 (1)
La ecuación (1) corresponde a la recta pedida. Para hallar el intercepto b de la recta con el eje y, hacemos en (1) x = 0, obteniendo:
Ejercicio 7
Escribir las ecuaciones de las l, , l , l , y l que aparecen en la figura adjunta. 2
3
4
.. ..
SOLUCIÓN Para l 1 se tiene: a = 1, b = -1 Luego, l 1, es decir, x–y=1 Para l 2 :
Para l 3 :
es la ecuación de
, de donde
, es decir, x + y =
1
Finalmente, para l 4
de donde x + y = -1
Ejercicio 8
Usando la forma general, determine la ecuación de la recta que pasa por los puntos P
1
(-1,
-4) y P2 (5, 1)
.. ..
SOLUCIÓN Suponga que la recta pedida tiene por ecuación: Ax + By + C = 0 (1). Como P1 y P2 pertenecen a la recta, entonces sus coordenadas satisfacen la ecuación (1). Esto es: A(-1) + B(-4) + C = 0 ó -A – 4B + C = 0 (2) A(5) + B(1) + C = 0 ó 5A + B + C = 0 (3) Resolviendo simultáneamente las ecuaciones (2) y (3) para A y B en términos de C obtenemos:
y
Reemplazando los valores de A y B en (1) se obtiene:
ó
Dividiendo ésta última igualdad por –C, obtenemos finalmente, 5x – 6y – 19 = 0 como la ecuación de la recta pedida.
..
Ejercicio 9
Dada la recta l cuya ecuación en su forma general viene dada por: 3x + 4y – 5 = 0. Determinar: a) La ecuación de la recta que pasa por el punto P(1, 2) y es paralela a l . b) La ecuación de la recta que pasa por el punto P(1, 2) y es perpendicular a l .
.. ..
SOLUCIÓN Sean l 1 y l 2 las rectas paralela y perpendicular a l respectivamente y que pasan por el punto P(1, 2). Sean m1, m y m2 las pendientes de l 1, l y l 2 respectivamente.
Como l 1 t l 2 entonces m1 = m y puesto que m = -3/4 se sigue que m 1 = -3/4. Ahora, usando la forma punto – pendiente (Sección 4.4.3.) de la ecuación de la recta, se tiene para l 1: y simplificándola se puede escribir en la forma general: 3x + 4y – 11 = 0
b) Como l 2 u l 1 , entonces m2 = -1/m y como m = -3/4, se sigue que m 2 = 4/3. Usando nuevamente la forma punto – pendiente se tiene para l 2: y simplificando se puede escribir en la forma general: 4x – 3y + 2 = 0 3x + 4y – 11 = 0
..
Ejercicio 10
Probar analíticamente que la perpendicular trazada desde el ángulo recto a la hipotenusa, es media proporcional entre los segmentos que ésta determina sobre la hipotenusa.
.. ..
SOLUCIÓN Por conveniencia, se coloca el triángulo ABC como aparece en la fig. donde hipotenusa.
es la
Debemos probar que:
Si l 1 denota la recta que pasa por los puntos A y B y l 2 la recta que pasa por los puntos C y B y m 1 , m2 sus pendientes, entonces:
y
.
Como l 1 u l 2, entonces m1 . m2= -1
Esto es,
, de donde,
Ahora
Así que
y
y
.
.
, luego
lo que se quería demostrar.
Ejemplo 11
Calcular la distancia del origen a la recta de interceptos a y b con los ejes cooordenados. ....
SOLUCIÓN En la figura se ha trazado la recta de interceptos a y b. Sea origen a la recta.
la distancia del
Una propiedad métrica de los triángulos rectángulos establece que el producto de los catetos es igual al producto de la hipotenusa por la altura que cae sobre ella.
Aplicando esta propiedad al triángulo rectángulo AOB de la figura, se tiene:
Es decir,
de donde
Ejemplo 12
Reducir la forma general de la recta Ax + By + C = 0 (1), a la forma normal. ....
SOLUCIÓN Caso 1. B Sin pérdida de generalidad se puede asumir que B > 0. Ya que si el coeficiente de y fuera negativo, bastaría con multiplicar toda la ecuación (1) por –1. La razón para asumir que B > 0, se debe al hecho de que el coeficiente de y en la forma normal es positivo. Se demostrará entonces que la ecuación (1) puede reducirse a la forma: x cos
+ y sen
- p = 0 (2)
Para ello, multiplíquese la ecuación (1) por una constante apropiada k de tal forma que la ecuación kAx + kBy +kC = 0 (3) coincida con la ecuación (2). Entonces kA = cos
, kB = sen
y kC= - p
Así que k2A2 + k2B2 = 1, de donde Se ha tomado solamente la raiz positiva puesto que B > 0 y 0 o
180º.
Al sustituir el valor de k asi obtenido en (3) completando la reducción de la ecuación (1) a
la forma normal:
, en la cual
,
y
Caso 2. B = 0 En este caso, la ecuación (1) se transforma en Ax + C = 0, de donde y esta última ecuación puede identificarse con la forma normal x – p = 0 que corresponde a una recta paralela al eje y.
Ejemplo 13 (distancia de un punto a una recta).
Calcular la distancia del punto P(x , y ) a una recta l . 1
1
....
SOLUCIÓN Consideremos una recta l y el punto P(x1, y1) que no pertenece a la recta.
Suponga que la ecuación de la recta l ha sido reducida a la forma normal x cos
+ y sen
- p = 0 (1)
Usando el método del ejemplo 12. La distancia d entre P1 y l puede considerarse positiva o negativa de acuerdo a que p esté por encima o por debajo de l .
Puesto que p y a son respectivamente, el intercepto normal y el ángulo normal de l , se sigue entonces que ( p + d) y a son el intercepto normal y el ángulo normal de la recta l 1 que contiene al punto P(x1, y1) y es paralela a l . En consecuencia, la forma normal de la recta l 1 es: x cos
+ y sen
- ( p + d) = 0 (2)
Como P(x1, y1) gl 1, satisface entonces la ecuación (2). Es decir, x1 cos
+ y1 sen
De donde, d = x1 cos
- ( p + d) = 0
+ y1 sen
- p (3)
Al comparar las ecuaciones (3) y (1) podemos establecer la siguiente regla:
Regla: Para encontrar la distancia d entre una recta l y un punto dado, sustituimos las
coordenadas del punto en el primer miembro de la forma normal de l .
Así por ejemplo, como , representa la forma normal de la recta Ax + By + C = 0, con B > 0, se sigue entonces que la distancia del punto P(x 1, y1) a la recta Ax + By + C = 0, B > 0, viene dada por: donde el signo de d indica que el punto P(x1, y1) está por encima o por debajo de la recta l . En muchas ocasiones no interesa conocer la posición del punto y la recta, sino simplemente la distancia positiva entre ellas. En este caso, la distancia del punto a la recta se expresa por medio de la fórmula:
Ejemplo 14
E
a) ncontrar la ecuación de la recta que contiene el punto P(17, 12) y es perpendicular a la recta de ecuación 5x + 12y – 60 = 0. b) Encontrar el punto de intersección de las rectas perpendiculares del literal a). c) Encontrar la distancia del punto de intersección obtenido en b) y el punto P dado en a).
....
SOLUCIÓN a) Como la pendiente de la recta de ecuación 5x + 12y – 60 = 0 es si m1 denota la pendiente de la perpendicular se sigue que
Asi que de la recta que se busca, se conoce su pendiente En consecuencia, la ecuación de dicha recta viene dada por:
entonces, .
y el punto P(17, 12).
ó 12x – 5y – 144 = 0 es la ecuación general de la recta pedida. b) Para encontrar el punto de intersección, entre las rectas, se resuelve simultáneamente el sistema: 5x + 12y – 60 = 0 (1)
12x – 5y – 144 = 0 (2) Para ello, se multiplica por 5 la ecuación (1) y se le suma la ecuación (2) multiplicada por 12. Así: 25x + 60y – 300 = 0 144x – 60y – 1728 = 0 169x – 2028 = 0
de donde x = 12 es la abscisa del punto de intersección. Reemplazando el valor de x asi obtenido en cualquiera de las ecuaciones (1) ó (2) se obtiene y = 0 como la ordenada del punto de intersección entre las rectas. Es decir P I(12, 0) es el punto de intersección pedido. En la fig. se ilustra la situación planteada en los literales a) y b).
c) Usando la fórmula de la distancia entre dos puntos, se obtiene:
Otra forma de obtener la distancia entre los puntos P y P I es usando la fórmula de la distancia del punto P(17, 12) a la recta de ecuación: 5x + 12y – 60 = 0.
En efecto,
Ejemplo 15
Usando un procedimiento similar al del ejemplo 14, deducir la fórmula de la distancia del punto P(x1, y1) a la recta de ecuación Ax + By + C = 0.
....
SOLUCIÓN Considere en el plano, la recta l de ecuación Ax + By + C = 0 (1) y el punto P(x 1, y1) del plano que no esta en la recta .
La pendiente de la recta l viene dada por
. Si llamamos n a la perpendicular
trazada desde P(x1, y1) a la recta l , entonces la pendiente de n es está sobre n, se tiene entonces que
y como P(x1, y1)
(2) representa la ecuación de n.
De (2) se deduce que:
De donde:
y
Asi que
(3)
representan las ecuaciones paramétricas de la recta n. A cada valor de
le corresponde un punto de n.
Así, por ejemplo, cuando y1) de n.
= 0, x (0) = x 1, y (0) = y 1 osea que estamos en el punto P(x1,
Si HI (xI, yI) denota el punto de intersección de las rectas l y n, entonces existe un valor de
, ( H) tal que
(4) puesto que HI
n, por lo tanto satisface (3).
Igualmente, como HI l , entonces HI satisface su ecuación. Esto es, Ax 1 + By1 + C1 = 0 y sustituyendo los valores de (4) podemos escribir: A (x1 +
HA)
+ B (y 1 +
HB)
+C=0
ó Ax1 + By1 + H (A2 + B2) + C = 0
De donde,
(5)
Al sustituir, (5) en (4), permitiría conocer las coordenadas x I, yI del punto de intersección en términos de las cantidades conocidas A, B, C, x 1, y1. De otro lado, si denota la distancia del punto P(x 1, y1) al punto HI (xI, yI), se tiene entonces aplicando la fórmula de distancia que:
y como de acuerdo a (5),
, se tiene finalmente que:
ó
Ejemplo 16
Determine las ecuaciones de las bisectrices de los ángulos que forman las rectas 3x – 4y – 12 = 0 y 12x – 5y + 7 = 0.
....
SOLUCIÓN
En la figura adjunta aparecen las rectas de ecuaciones dadas, asi como también el punto P de intersección entre ellas.
Una de las bisectrices es:
ó Al simplificar la última igualdad se obtiene: 21x + 27y + 191 = 0
La otra bisectriz es : obtiene:
, que luego de simplificar, se
9x – 7y – 11 = 0. Ambas rectas, pueden ahora trazarse a través de P, punto de intersección de las rectas dadas.
Ejemplo 17
Encuentre la distancia y la ecuación de la paralela media entre las rectas de ecuaciones: l : 3x + 2y = 6 y r : 3x + 2y = -12
....
SOLUCIÓN En primer lugar se trazan las rectas en el plano cartesiano.
Si b1 denota el intercepto de la recta l con el eje y, entonces b 1 = 3. Si b2 denota el intercepto de la recta r con el eje y, entonces b 2 = -6. Luego, la paralela media entre l y r tiene por ecuación:
; es decir,
Ahora, la distancia
entre las paralelas viene dada por:
Ejemplo 18
Encontrar la ecuación de la familia de rectas que equidistan 15 unidades del origen de coordenadas.
....
SOLUCIÓN La ecuación de cualquier recta del plano, salvo las paralelas al eje y, pueden escribirse en la forma: y = mx + b o también mx – y + b = 0. Nótese que en esta última ecuación hay dos parámetros m y b. Para las rectas de la familia buscada, se debe cumplir la condición d (0, mx – y + b) = 15 (distancia del origen a la recta es igual a 15).
Es decir, de donde, Esta es la relación que debe existir entre las parámetros m y b de la familia de rectas buscada.
Por lo tanto,
m
R
es la ecuación de la familia de rectas, cuya distancia al origen es 15 unidades.
..
______________________________________________
ECUACIÓN DE LA RECTA
. T03S5V2 ENCONTRAR LA ECUACIÓN DE LA RECTA DADOS DOS PUNTOS DE LA RECTA Se desarrolla un ejemplo en que pide determinar la ecuación de la recta conociendo las coordenadas de dos puntos de la misma. En el ejemplo también se muestra cómo verificar si un punto está o no sobre la recta de manera analítica.
Ejercicio para después del video.1 a) Consiga la ecuación de la recta con pendiente 5 y que corta el eje y en -5 ; b) Determine si el punto (-2,3) está o no sobre la recta con un procedimiento analítico. 2 a) Consiga la ecuación de la recta que pasa por los puntos (3,5) y (5,1) ; b) Compruebe si el punto (6,-1) está o no sobre la recta con un procedimiento analítico.
T03S5V3 LAS ECUACIONES DE RECTAS HORIZONTALES Y VERTICALES Se encuentra la ecuación de una recta horizontal usando la forma punto pendiente. Se analiza la ecuación encontrada, interpretando la ecuación como una condición que cumple todos los puntos y sólo los puntos de la recta. A partir de este análisis se establece la condición de una recta vertical y de allí su ecuación.
Ejercicio para después del video.- Encuentre la ecuación de la recta que satisface las condiciones dadas para cada caso. 1.1) Es paralela al eje y y pasa por el punto (6,1); 1.2) Es horizontal y pasa por el punto (3,-4); 1.3) Pasa por el punto (4,-5) y es vertical. T03S5V1 FORMA PUNTO PENDIENTE DE LA RECTA. Se deduce la ecuación punto pendiente de la recta. La demostración usa el hecho que la pendiente es invariante sobre cualesquiera dos puntos que se tomen de la recta para calcularla. Se desarrolla un ejemplo en que piden encontrar la ecuación de la recta que pasa por un punto dado y con pendiente conocida. En el ejemplo se explica cómo determinar un punto de la recta conociendo una de sus coordenadas. Ejercicio para después del video.- 1 a) Encuentre la ecuación de la recta con pendiente -3 y que pasa por el punto (3,-2) ; b) Determine el punto de la recta que tiene coordenada y igual a -5.
2 a) Encuentre la ecuación de la recta con pendiente -4 y que pasa por el origen ; b) Determine el punto de la recta que tiene coordenada x igual a 2. T03S5V4 FORMA GENERAL Y FORMA PENDIENTE ORDENADA AL ORIGEN. Otras formas de la ecuación de la recta son presentadas. Se examina las ventajas de cada una de las formas principales: punto-pendiente, ordenada al origen y la forma general. Se desarrolla un ejemplo en que piden determinar la pendiente de una recta dada su ecuación.
Ejercicio para después del video.1) Haga un cuadro sinóptico en que detalle cada forma, su nombre, su expresión general, los elementos que la constituyen, ventajas o para que se usa y algún ejemplo numérico. 2) Encuentre la pendiente y la ordenada al origen de cada recta a) y +3 x =4; b) 2y =5 x -5; c) y -4=0; d) 4 x -5y = 20 VIDEO 3
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VIDEO 1
VIDEO 2
PRINCIPAL
PRINCIPAL
T03S5V5 GRAFICANDO RECTAS A PARTIR DE SU ECUACIÓN. Se muestra los distintos procedimientos para graficar rectas a partir de su ecuación. Ejercicio para después del video.1) Grafique las siguientes ecuaciones a) y +3 x =4; b) 2y =5 x -5; c) y -4=0; d) 4 x -5y = 20
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ECUACIÓN DE LA RECTA
. T03S5V2 ENCONTRAR LA ECUACIÓN DE LA RECTA DADOS DOS PUNTOS DE LA RECTA Se desarrolla un ejemplo en que pide determinar la ecuación de la recta conociendo las coordenadas de dos puntos de la misma. En el ejemplo también se muestra cómo verificar si un punto está o no sobre la recta de manera analítica.
Ejercicio para después del video.1 a) Consiga la ecuación de la recta con pendiente 5 y que corta el eje y en -5 ; b) Determine si el punto (-2,3) está o no sobre la recta con un procedimiento analítico. 2 a) Consiga la ecuación de la recta que pasa por los puntos (3,5) y (5,1) ; b) Compruebe si el punto (6,-1) está o no sobre la recta con un procedimiento analítico.
T03S5V3 LAS ECUACIONES DE RECTAS HORIZONTALES Y VERTICALES Se encuentra la ecuación de una recta horizontal usando la forma punto pendiente. Se analiza la ecuación encontrada, interpretando la ecuación
como una condición que cumple todos los puntos y sólo los puntos de la recta. A partir de este análisis se establece la condición de una recta vertical y de allí su ecuación. Ejercicio para después del video.- Encuentre la ecuación de la recta que satisface las condiciones dadas para cada caso. 1.1) Es paralela al eje y y pasa por el punto (6,1); 1.2) Es horizontal y pasa por el punto (3,-4); 1.3) Pasa por el punto (4,-5) y es vertical. T03S5V1 FORMA PUNTO PENDIENTE DE LA RECTA. Se deduce la ecuación punto pendiente de la recta. La demostración usa el hecho que la pendiente es invariante sobre cualesquiera dos puntos que se tomen de la recta para calcularla. Se desarrolla un ejemplo en que piden encontrar la ecuación de la recta que pasa por un punto dado y con pendiente conocida. En el ejemplo se explica cómo determinar un punto de la recta conociendo una de sus coordenadas. Ejercicio para después del video.- 1 a) Encuentre la ecuación de la recta con pendiente -3 y que pasa por el punto (3,-2) ; b) Determine el punto de la recta que tiene coordenada y igual a -5.
2 a) Encuentre la ecuación de la recta con pendiente -4 y que pasa por el origen ; b) Determine el punto de la recta que tiene coordenada x igual a 2. T03S5V4 FORMA GENERAL Y FORMA PENDIENTE ORDENADA AL ORIGEN. Otras formas de la ecuación de la recta son presentadas. Se examina las ventajas de cada una de las formas principales: punto-pendiente, ordenada al origen y la forma general. Se desarrolla un ejemplo en que piden determinar la pendiente de una recta dada su ecuación.
Ejercicio para después del video.1) Haga un cuadro sinóptico en que detalle cada forma, su nombre, su expresión general, los elementos que la constituyen, ventajas o para que se usa y algún ejemplo numérico. 2) Encuentre la pendiente y la ordenada al origen de cada recta a) y +3 x =4; b) 2y =5 x -5; c) y -4=0; d) 4 x -5y = 20 VIDEO 3
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T03S5V5 GRAFICANDO RECTAS A PARTIR DE SU ECUACIÓN. Se muestra los distintos procedimientos para graficar rectas a partir de su ecuación. Ejercicio para después del video.1) Grafique las siguientes ecuaciones a) y +3 x =4; b) 2y =5 x -5; c) y -4=0; d) 4 x -5y = 20
Partiendo de la ecuación continua la recta
Y quitando denominadores se obtiene:
Trasponiendo términos:
Haciendo
Se obtiene
Esta expresión recibe el nombre de ecuación general o implicita de
la recta . De esta forma se acostumbra a dar la respuesta cuando se pide la ecuación de una recta.
Las componentes del vector director son:
La pendiente de la recta es:
Hallar la ecuación de la que pasa por A (1,5) y tiene como vector director
igual (-2, 1).
Hallar la ecuación de la que pasa por A (1,5) y tiene como pendiente m = -2.
Si en la ecuación general de la recta:
despejamos y, se obtiene la ecuación explícita de la recta :
El coeficiente de la x es la pendiente, m.
E l t é r m i n o i n d e p e n d i e n t e, b , s e l l a m a o r d e n a d a e n e l o r i g e n d e una recta, siendo (O, b) el punto de corte con el eje OY
Hallar la ecuación en forma explícita de la recta que pasa por A (1,5) y tiene como pendiente m=-2.
Si en la ecuación general de la recta:
despejamos y, se obtiene la ecuación explícita de la recta :
El coeficiente de la x es la pendiente, m.
E l t é r m i n o i n d e p e n d i e n t e, b , s e l l a m a o r d e n a d a e n e l o r i g e n d e una recta, siendo (O, b) el punto de corte con el eje OY
Hallar la ecuación en forma explícita de la recta que pasa por A (1,5) y tiene como pendiente m=-2.
Sean los puntos A (x 1, y d e t e r m i n a un a r e c t a r. Un ve c t o r di r e c t o r de l a re c t a es :
1)
y B (x 2, y
2)
cuyas
componentes son: Sustituyendo estos valores en la forma continua.
Hallar la ecuación de la recta que pasa por A(1,3) y B(2,-5)
Rectas paralelas al eje OX
Una recta paralela al eje OX y de ordenada en el origen b s e expresa mediante la ecuación : y = b
que
Rectas paralelas al eje OY
Una recta paralela al eje OY y que corta al eje OX en el punto (a, O) se expresa mediante la ecuación: x = a
Ejes de coordenadas
Los puntos que pertenecen al eje OX tienen como característica que su segunda coordenada es 0, la ecuación del eje OX es y = 0.os puntos que pertenecen al eje OY tienen como característica que su primera coordenada es 0, la ecuación del eje OY es x = O.
Se llama ángulo de dos rectas al menor de los ángulos que forman éstas. Se pueden obtener a partir de:
1
Sus
vectores directores
2
Sus
pendientes
Calcular el ángulo que forman las rectas r y s, sabiendo que sus vectores directores son: =(2, -3).
= (-2, 1) y
Dadas las rectas r ≡ 3x + y - 1 = 0 y s ≡ 2x + my - 8 = 0, determinar m para que formen un ángulo de 45°.
Rectas paralelas
Dos rectas son paralelas si tienen el mismo
vector
director o la misma pendiente.
Rectas perpendiculares
Si dos rectas son perpendic ulares tienen sus pendiente s inversas y cambiadas de signo.
D os recta s son perp endi cular es si sus vect ores direc tores son perp endi cular es.
Hallar una recta paralela y otra perpendicular a r ≡ x + 2 y + 3 = 0, que pasen por el punto A(3,5).
Calcula k para que las rectas r ≡ x + 2y - 3 = 0
y
s
≡
x
-
ky
+
4
=
0,
sean
paralelas y
perpendiculares.
Un punto P(p 1, p2) pertenece a una recta de ecuación Ax + By + C = 0, cuando las coordenadas del punto satisfacen la igualdad:
A p 1 + B p 2 + C = 0
Cuando un punto P pertenece a una recta r se dice que r incide en P o que r pasa por P.
Analiza si los puntos A (3, 5) y B(0, 1) pertenecen o no a la recta r ≡ x + 2 y - 13 = 0.
3 + 2 · 5 - 13 = 0
⇒
A
r
0 + 2 · 1 - 13 ≠ 0
⇒
B
r
Cuando dos en rectas r y s tienen
un punto común , se dice que
tienen un punto de intersección.
Para hallar las coordenadas del punto de intersección de dos rectas, se resuelve el sistema formado por las dos ecuaciones de las rectas.
Hallar el punto de inte rsección de las rectas de ecuaciones r ≡ 2 x y - 1 = 0 y s ≡ x - y + 1 = 0.
Dadas dos rectas, Ax + By + C = 0, A'x + B'y + C' = 0, para calcular su posición relativa tendremos en cuenta que::
1
Si
, las rectas son secantes, se cortan en un punto.
2
Si
, las rectas paralelas, no se cortan en ningún
punto.
3
Si
puntos son comunes.
,
las
rectas son coincidentes, todos sus
Ejemplos
Estudia las posiciones relativas de los siguientes pares de rectas:
¿Son secantes las rectas r ≡ x +y -2 = 0 y s ≡ x - 2 y + 4 = 0? En caso afirmativo calcular el punto de corte.
Distancia de un punto a una recta
La
distancia
de
un
punto a una recta es la longitud
del
segmento
perpendicular a la recta, trazada desde el punto.
Ejemplo
Calcula la distancia del punto
P(2,- 1) a la recta r de
ecuación 3 x + 4 y = 0.
Distancia al origen de coordenadas
Ejemplo
Hallar la distancia al origen de la recta r ≡ 3x - 4y - 25 = 0.
Distancia entre rectas
Para hallar
la
distancia entre dos en rectas paralelas, se toma
un
punto cualquiera, P, de una de ellas
y
calcular distancia
su a
la otra recta.
Ejemplo
Hallar la distancia entre r ≡ 3 x - 4 y + 4 = 0 y s ≡ 9 x - 12 y - 4 = 0.
Otra manera de expresar la distancia entre dos rectas es:
Ejemplo
Hallar la distancia entre las rectas:
Mediatriz de un segmento es el lugar geométrico
de
los
puntos del plano que equidistan
de
los
extremos.
Ecuación
de
la
mediatriz
Hallar
la
ecuación
de
extremos A(2 , 5) y B(4, -7).
la
mediatriz
del
segmento
de
Bisectriz un
ángulo
lugar
es
de el
geométrico
de los puntos del plano
que
equidistan
de
las
rectas que forman el ángulo.
Ecuaciones de las bisectrices
Hallar
las
ecuaciones
de
las
bisectrices
de
los
ángulos que determinan las rectas r ≡ 3x - 4y + 5 = 0 y s ≡ 6x + 8y + 1 = 0.
Ecuación vectorial de la recta
Ecuaciones paramétricas de la recta
Ecuación continua de la recta
Pendiente Pendiente dado el ángulo
Pendiente dado el vector director de la recta
Pendiente dados dos puntos
Ecuación punto-pendiente de la recta
Ecuación general de la recta
Ecuación explícita de la recta
Ecuación de la recta que pasa por dos puntos
Rectas paralelas al eje OX
Rectas paralelas al eje OY
Rectas paralelas Dos rectas son paralelas si tienen el mismo vector director o la misma pendiente.
Rectas perpendiculares
E l v e c t o r v = ( A , B ) e s p e r p e n d i c u l a r a l a r e c t a r ≡ A x . g i f + b y + C = 0.
Si dos o rectas son perpendiculares tienen sus pendientes inversas y cambiadas de signo.
Posiciones relativas de dos rectas
1
Si
2
Si
, las rectas son secantes, se cortan en un punto.
, las rectas paralelas, no se cortan en ningún
punto.
3
Si
,
las
rectas son coincidentes, todos sus
puntos son comunes.
Ángulo que forman dos rectas
Se llama ángulo de dos rectas al menor de los ángulos que forman éstas. Se pueden obtener a partir de:
1
Sus vectores directores
2
Sus pendientes
