Ecuacion Vectorial 01

Guía Especial Psu Ecuación vectorial de la recta

Nombre:_________________ Nombre:______________________________ __________________________ ______________________4º___ _________4º_____  __  Conceptos previos: Un vector es un segmento orientado orientado que va del punto A origen! al punto punto " e#tremo!$ e#tremo!$ E%emplo:

E&E'EN()* +E UN ,EC()-: +irecci.n: +irecci.n: Corresponde a la pendiente pendiente o inclinaci.n inclinaci.n de la recta que contiene contiene al vector o de cualquier recta paralela a ella$ *entido: El sentido sentido del vector/ es el que va desde el origen 0asta el e#tremo$ e#tremo$ '.dulo: El m.dulo del vector A" es la longitud del segmento A"/ 1 se representa

• • •

u

por $ El m.dulo es un valor positivo o cero$ El m.dulo de un vector se puede determinar de dos maneras: 2$ *i conocemos las componentes del vector posici.n que sale desde el origen! u = ( u2 /u3 )   1 es

uur u

= u23 + u33

E%emplo: *ea el vector uu r u

=

( 3 + 43 )

u = (  / 4)

= ( 5 + 26) =

37 = 7

3$ *i conocemos las coordenadas coordenadas del vector: vector:  A ( x 2 / y 2 ) 1 B( x 3 / y 3 ) uuur A" =

E%emplo: *i :  A ( 4 / − 6) uuur A"

3

( #3 − #2) + ( 13 − 12)

1

3

igual que la 8.rmula de la distancia

B( −  / 7) 3

= ( − − 4) 3 + ( 7 − ( −6) ) = ( − 9) 3 + ( 22) 3 =

45 + 232= 29:

2

C))-+ENA+A* +E UN ,EC()-: *i las coordenadas de los e#tremos A 1 " son:  A ( x 2 / y 2 ) 1 B( x 3 / y 3 ) &as coordenadas del vector posici.n asociado al  AB son las coordenadas del e#tremo menos las coordenadas del origen:  AB = ( x 3

−  x 2 /  y 3 − y 2)

E%emplo: *i:  A ( − 9 / 2) 1 B( 3 / 4)  AB = ( 3 − ( −9) / 4 − 2)

⇒ AB = ( 5 / )

vectorposicion

 ; el vector BA = ( −9 − 3 / 2− 4) ⇒ BA = ( −5 / − ) vec tor posicion ,EC()- P)*
E%ercicio de muestra +E'-E para P*U 327 5$ +ados los vectores v > m/ 3! 1 u  > / 4!/ ?cu@l de los siguientes nmeros puede ser el valor de m para que la longitud del vector v  sea el doble de la longitud del vector u B  A)

56

B)

2:4

C)

46

D) 32 E) 1

3

P-)+UC() +E UN E*CA&A- P)- UN ,EC()-: Consiste en un multiplicar por un nmero real  las componentes de un vector para generar otro vector que ser@ D veces ma1or o menor! que el vector dado E%emplo: *i

u = ( −2/ 3)

1 el escalar λ  = 7 λu = ( 7 × −2!/ 7 ×3!) ⇒ uλ =( −7/2:)

&uego  es un vector 7 veces ma1or que el vector dado$ )bs$ Al ponderar un vector por 2! el vector cambia de sentido 1 se obtiene el vector opuesto$ A0ora estamos en condiciones para poder calcular la ecuaci.n vectorial de la recta$ -ecordemos que en geometría analítica para calcular la ecuaci.n de la recta 1 > m# F n! necesitamos como mínimo un punto 1 la pendiente o bien dos puntos 1a que con stos calculamos la pendiente!$ Para el caso de la ecuaci.n vectorial/ es similar/ necesitamos un vector posici.n  p  1 un vector director d / este ltimo nos indica la direcci.n de la recta/ la cual podemos vincular con la inclinaci.n/ es decir/ la pendiente$ &a ecuaci.n vectorial & es: #/ 1! >  p F λ d   con λ en los nmeros reales )bs: Por cada nmero real que es remplaHado en λ se genera un punto de la recta &$



E%emplo$  p  >

2/ 3!/

d > 2/ 2!  Ecuaci.n de la recta & es #/ 1! > 2/ 3! F

λ 2/

2!

 x/y != 2/ 3!+ 32/ − 2! = / :!  x/y != 2/ 3!+ 2/ − 2! = 4/ − 2!  x/y != 2/ 3!+ −2!2/ − 2! = :/ !  x/y != 2/ 3!+ −3!2/ − 2! = −2/ 4!

En caso de no conocer el vector director/ es necesario tener dos vectores a y b o puntos A 1 " de la recta/ al igual que en la 8orma analítica! 1 determinar así el vector director ab = d $ +ados los vectores a y b / logramos el vector direcci.n d/ d = b − a o d = a − b da lo mismo solamente nos interesa la direcci.n 1 no el sentido$ Entonces dado: a > #2/ 12! b > #3/ 13!

 d >

#3  #2/ 13  12!

&a ecuaci.n de la recta ab es #/ 1! > a F λ d o tambin #/ 1! > b F λ d E%emplo: +etermina la ecuaci.n vectorial de la recta que pasa por A / 6! 1 su vector director es v = 2/ − 2!

Conocemos un punto 1 el vector director/ por lo tanto: # /1! = −/ 6! + λ2/ − 2! o bien r = −/ 6! + λ2/ − 2!

4

EIE-C
3$ Jallar la ecuaci.n vectorial de la recta que pasa por los puntos A 3/ ! 1 "2/ 4!$

Para el caso de las rectas en <-  Espacio de  dimensiones! &a ecuaci.n #/ 1/ H! >  p F

λd  

donde

 p / d son vectores de -

E%emplo$ &a ecuaci.n de la recta que pasa por el vector 3/ / 7! 1 tiene vector direcci.n 5/ K/ 9! es$ #/ 1/ H! > 3/ / 7!F λ5/ K/ 9!$ E%emplo$ Cu@l es la ecuaci.n de la recta que pasa por los vectores 2/ 3/ ! 1 4/ 7/ 6/! Primero calculamos el vector director d > 42/ 73/ 6! > / / ! Entonces la ecuaci.n es



#/ 1/ H! > 2/ 3/ !F λ/ / !

Ja1 una relaci.n directa entre la ecuaci.n analítica 1 > m# F n con la recta vectorial #/ 1! >

 p

F

λd

*i en una ecuaci.n vectorial el vector director o direcci.n es d  > #2/ 12! entonces la m

pendiente es

=

 y 2  x 2

E%emplo +ada la ecuaci.n vectorial #/ 1! > 9/ 3! F asociada a ella$

(  x F 9)

L@cil  # M #2! m > 1 M 12  # F 31 F 29 >  )tra 8orma de 0acer lo mismo es:

N

 −3

=

λ

3/ ! encontrar la ecuaci.n analítica

y  M 3  #

F 32 > 31 F 4



7

+ada la ecuaci.n vectorial de la recta: #/1! = 3 / − 2! + λ4 /! Como nos piden la ecuaci.n cartesiana/ podemos determinar el producto escalar λ 4 /! = ( λ  ⋅ 4 / λ  ⋅ ) &uego nos queda:  x / y ! = 3 / − 2! + ( 4λ  / λ ) ( x / y ) = ( 3 + 4λ  / − 2+ λ )

*i igualamos las componentes/  y  = − 2 + λ   x = 3 + 4λ  e *i despe%amos λ   en ambas ecuaciones:  x − 3  y + 2 x− 3 y  + 2 = λ  = λ  ⇒ = ⇒  x − 6= 4y + 4 ⇒ x − 4y = 2: 4  4  1 *iendo esta la ecuaci.n cartesiana solicitada$  x − 3 y  + 2 = 4



 esta ecuaci.n se llama ecuaci.n continua de la recta$

E%emplo *i nos dan la ecuaci.n 4# M 71 > K/ encontrar la ecuaci.n vectorial asociada a ella$ 4 K 4  x − = y  m= 7 7  d>  7 

*oluci.n$ 4# M K > 71 7/ 4! Lalta un vector posici.n/ que lo obtenemos de 4# M K > 71/ si # > 3 posici.n es 3/ !/ es uno de una inOnidad$ &a ecuaci.n vectorial buscada es

 #/

 1

>

 vector

1! > 3/ ! F λ7/ 4!

-ECUE-+A: Para que dos rectas sean paralelas deben tener igual pendiente o vector director$ E%emplo &2  1 > 3# F   vector direcci.n 2/ 3!/ vector posici.n / ! vectorial  #/ 1! > / ! F λ2/ 3! &3  1 > 3# F 6  vector direcci.n 2/ 3!/ vector posici.n / 6! vectorial  #/ 1! > / 6! F λ2/ 3! observa que los vectores direcci.n son iguales o mltiplos

 ecuaci.n   ecuaci.n

Para que dos rectas sean perpendiculares/ el producto de sus pendientes debe ser 2!$ Consideremos 3 rectas perpendiculares &2 1 &3 &2  1 > 3# F   vector direcci.n 2/ 3!/ vector posici.n / !  ecuaci.n vectorial  #/ 1! > / ! F λ2/ 3!

6

−2 3

 X + 9

&3  1 >  vector direcci.n 3/ 2!/ vector posici.n / 9!  ecuaci.n ,ectorial  #/ 1! > / 9! F λ3/ 2! )bserva los vectores direcci.n/ 2/ 3! 1 3/ 2!/ las componentes cambiadas 1 una con signo cambiado$ Producto punto entre vectores

*ea a = x2/ y2! 1 b = x3 / y3 !  se deOne el producto punto entre vectores como a N b = x2/ y2!N x3 / y3 ! = x2N x3 + y2N y3   ste valor en un nmero real que llamaremos escalar$ Que 0ace que el producto punto tambin se llame producto Escalar a N b = a N b N cos α  )tra deOnici.n para el producto escalar es Esta deOnici.n nos permite calcular el @ngulo entre 3 vectores$

aN b cos−2 u r ur aN b

= α 

Contenido no incluido de la P*U! A0ora podemos deducir que/ si dos vectores son perpendiculares entonces su producto escalar es cero 1 viceversa$ Usemos el p@rra8o  para e%empliOcar d2 > 2/ 3!/ d3 >3/ 2! entonces el producto escalar es d2  d3 > 2/ 3! 3/ 2! > 2 3! F 3  2!>  El producto escalar para vectores en <- se deOne de la misma manera con las e#tensiones correspondientes$ *ea a = x2/ y2/H2! 1 b = x3 / y3 /H  3!  se deOne el producto punto entre vectores en el espacio como a N b = x2/ y2/ H3 !N x3 / y3 / H3 ! = x2N x3 + y2N y3 + z2N z3   EJERCICIOS:

2$ +etermina la ecuaci.n vectorial de la recta que pasa por el vector A 7/3! 1 tiene vector direcci.n v = / :!

3$ +etermina la ecuaci.n vectorial de la recta que pasa por el punto medio de A 2/ K! 1 " / 3! 1 por el punto C 3/ 4!

$ +etermina la ecuaci.n cartesiana de la recta a partir de la ecuaci.n vectorial/ #/ 1! > 7/ K! F λ/ 4!

9

4$ +etermina la ecuaci.n vectorial de la recta que pasa por el origen 1 es perpendicular a la recta #/ 1! > 2/ 5! F λ7/ 2!

7$ +etermina la ecuaci.n vectorial de la recta que pasa por los vectores  ( 6/4! 1 por - / 3!

6$ Jallar la ecuaci.n vectorial de la recta que pasa por el punto medio de ' 2/ ! 1 N 6/ 2! 1 por el punto medio del segmento que pasa por A 9/ 9! 1 " 3/ 3!

9$ +etermina el m.dulo del vector S / siendo *2/ 5! 1 ( / 6!

K$ Calcula la suma de los vectores * 1 ( del e%ercicio anterior$

,EC()- UN<(A-<): Es el que tiene un m.dulo igual a 2 NormaliHar un vector: consiste en obtener otro vector unitario/ de la misma direcci.n 1 sentido que el vector dado$ A todo vector

= 2/

2

se le puede asociar un vector de m.dulo 2 o longitud 2 v uu r v

que llamaremos vector unitario de v 1 es igual a E%emplo: *i v  es un vector de componentes / 4!/ 0allar un vector unitario de su misma direcci.n 1 sentido$

v>

/ 4!



v = 3 + 43

=7



r 2   4  u = N/ 4! =  / ÷ 7  7 7 

K

Componentes del vector$ Un vector en el espacio Euclídeo tridimensional se puede e#presar como una combinaci.n lineal de tres vectores unitarios o perpendiculares entre sí que constitu1en una base vectorial$ En coordenadas cartesianas/ los vectores unitarios se representan por i, j , k  paralelos a los e%es de coordenadas #/ 1/ H positivos$ Estos son i > 2/ /  !/

j =/ 2/  ! ,

En <-3 estos vectores son i > 2/ !/

k   > / / 2 ! j =/ 2!

Encuentre un vector unitario en la direcci.n que el vector dado$ ) dic0o de otro modo normaliHar el vector v 2$ v > i F j $ v > 3 i F 7 j 4$ v > 9 i F  j 6$ v > 3 i M 3 j M 6D 9$ v > a i M a j F a k +etermine si los vectores dados son ortogonales/ paralelos o ninguno de los dos$ 2$ u > 3 i M 6 %R u>3iM6%



v > i F  % u> 3/ 6! R v > i F  %  v> 2/ ! conclusi.n son paralelos

3$ u > 4 i M 7 %R

v>7iM4%

$ u > 4 i M 7 % F  DR

v > 7 i F 4 % F 3 D

4$ u> 9 i M 9 % M9 DR

v > i F %  D

,ectores en  dimensiones <- en el Espacio! 

+istancia entre 3 puntos en <- / *ean A#2/ 12/ H2!/ "#3/ 13/ H3!  dA"! = #2 − #3 !3 + 12 − 13 !3 + H2 − H3!3



Punto 'edio entre A1 "



 #2 + #3 / 3 

' =  

12 + 13 3

/

H2 + H3  3

÷  

5



Ecuaci.n vectorial de la recta A"



#2 #3

A"= #2/ 12/ H2! + λ #2 − #3 / 12 − 13 / H2 − H3 !

=

12 13

=

H2 H3  entonces v SS u



*i v  #2/ 12/ H2!/ u  #3/ 13/ H3! 1



*i v  #2/ 12/ H2!/ u  #3/ 13/ H3! 1 u N v = x2/ y2/ H3 !N x3 / y3 /H3 ! = x2N x3 + y2N y3 + z2N z3  

EIE-C
 AB N AC

− 4N DB =

Para 0alla el punto medio del vector  AB

 2− 2/ 9 + 2: /  + :   3 ÷ 3 3    >  / 7/ A" M(   )>

 3!

3$ A0ora obtendremos las ecuaciones paramtricas/ a partir de la ecuaci.n vectorial #/ 1!> 3/ ! F λ4/ 7! #/ 1!> 3 4λ/  F 7λ!
  x  = 3 − 4λ    y   7  = + λ  $ ,amos a la ecuaci.n en 8orma continua desde una ecuaci.n vectorial/ paramtrica 1 continua/ de la recta que pasa por estos puntos: AM7/ / 9! 1 " 3/ M/ !$ ,ector direcci.n: se obtiene como la di8erencia entre los dos vectores dados  3/ M/ ! M M7/ / 9! > 9/ M6/ M4! Ecuaci.n vectorial: *e obtiene como la e#presi.n de la suma del vector posici.n 1 el vector direcci.n por un escalar o nmero real$ A" = 3/ − / ! + λ9/ − 6/ − 4!

Ecuaciones paramtricas: *e obtienen ponderando 1 sumando los 3 vectores que componen a la ecuaci.n vectorial 1 luego igualando componente a componente!

2

> 3 F 9 λ/

;> – – 6 λ/

V>  – 4 λ

Ecuaci.n continua: se obtiene despe%ando λ en cada una de las ecuaciones paramtricas anteriores e igualando los despe%es! #− 3 1 +  H− = = 9 −6 −4

En general/ si una recta pasa por el punto a/ b/ c! 1 tiene la direcci.n del vector m/ n/ W!/ la ecuaci.n continua de la recta est@ dada por la siguiente e#presi.n: #−a m

=

1−b n

=

H−c W

Para obtener las ecuaciones analíticas o cartesianas de la recta a partir de las ecuaciones paramtricas/ estas se ampliOcan 1 suman para eliminar λ$ E%emplo # =2+ 7λ 1 = 4 + 3λ



# =2+ 7λ ! N3! 1 = 4 + 3λ! N −7!



3# = 3 + 2:λ − 71 = − 3: − 2:λ

 *umando  3#

M 71 > 2K

Ejercicio de muestra E!RE para PS" #$%&

En las opciones se muestran ecuaciones vectoriales/ para tvariando en los nmeros reales/ ?en cu@l de ellas la recta asociada N) pasa por el origenB A! v t ! > t2/ 3/ ! "! p t ! > 3/ 4/ 6! F t2/ 3/ ! C! g t ! > / 5/ 23! F t2/ / 4! +! n t ! > 3/ 2/ 3K! F t2/ 7/ 24! E! mt ! > 3/ 2/ 32! F t2/ 7/ 9! Ejercicios

2$ +ado el vector  AB  > 2/!/ se pide: a$ Jallar las coordenadas de A sabiendo que las de " son / 3!$ b$ Jallar las coordenadas de " sabiendo que las de A son 3/ !$ c$ *i el vector A" > C+/ 1 las coordenadas de C son 2/ 4! 0allar las coordenadas de +$ d$ Averiguar las coordenadas de un vector v sabiendo que v F 3A" > "A$ *ol: a!A2/ 7!R b! "2/ !R

c! +3S/ !R

d! ,>/ 5!

3$ 'allar las ecuaciones param(tricas, continua, )eneral, principal, vectorial de la recta que pasa por el punto A3/ ! 1 cu1o vector de direcci.n es v/ 4!$

22

$ Jallar/ si e#iste/ un punto de la recta que su abscisa sea 6$ Jallar tambin/ si e#iste/ un punto de la recta con ordenada 4$ 4$ Jallar las diversas 8ormas de la ecuaci.n de la recta: a$ Que pasa por A/ 2! 1 "7/ 3!$ b$ Que pasa por A3/ 4! 1 tiene de pendiente 3$ c$ Que pasa por el punto A2/ ! 1 es paralela a la recta # F  > $ d$ Que pasa por el punto A2/ 3! 1 es paralela al e%e de abscisas$ 7$ Jallar el valor de D para que: a$ El punto 2/ 3! perteneHca a la recta #  D1 F  > $ b$ El punto D/ 2! perteneHca a la recta # F 31  4 > $ c$ &os puntos 2/ 3!/ 7/ 6! 1 9/ D! estn alineados$ d$ &a recta 3# F D1  2 >  tenga de vector director v > 7/ !$ e$ &a recta D#  1 F 3 >  tenga de pendiente m > S3$ 8$ &as rectas r: 1 > 5D# F 3 1 s: 4#  D1 F 2 >  sean paralelas$ g$ &as rectas r: 3# F D1 F 3 >  1 se corten en un punto$ *ol: a! 3SR b! 3R c! 2R d! 2SR e! 5S3R 8! X3SR g! DY4S

EJERCICIOS E *EC+ORES  REC+-S *EC+ORI-.ES

2$ ?Cu@l es la pendiente de la recta que pasa por los puntos / 4! 1 7/ 2!B A!

K 7

"!

7 K

C!

K 7

+!

7 7

E!

3 

3$ ?Cu@l es la ecuaci.n principal de la recta que pasa por los puntos 3/ ! 1 2/ 7!B A! 1 = −3# + 2

"!

1=−

 #+6 3

C!

1=

−

3 2 #+  

+!

1=

 #+6 3

E!

1=

3 2 #+  

23

$ ?Cu@l es la pendiente de la recta cu1a ecuaci.n es # F 31 > B 3 

 3

 3

A! 3 "!  C! +! E! 4$ *i la pendiente de una recta que pasa por el punto / ! es $ ?Cu@l es la ordenada del punto que pertenece a la recta cu1a abscisa es 6B A!  "! 6 C! 2K +! 32 E! 34 7$ ?Cu@l de los siguientes vectores es el vector direcci.n de la recta que pasa por los puntos 2/ 2! 1 2/ 7!B A! u = :/ 4! "! v = 2/ :! C! q = 3/ :! +! p = / :! E! r = 3/ 6!

6$ ?Cu@l de los siguientes puntos no pertenece a la recta que pasa por 2/ 2! 1 tiene direcci.n v = 2/ 3! B A! 3/ ! "! 2/ 2!

C! / 2!

+! / 7!

E! 2/ !

9$ ?Cu@l es la ecuaci.n de la recta que pasa por el punto / 4! 1 es perpendicular a 1 > # M 5B A!

1=−

2 #− 

"! 1 = −# − 

C! 1 = −# + 7

+!

1=

− 2# +2 

E!

1=−

2 #+ 7 

K$ ?Cu@l es el @rea/ medida en unidades cuadradas u 3!/ limitada por los e%es # e 1 la recta de ecuaci.n 1 > # F 2B

con

2 3 u A!  2 3 u "! 3

2

3 C! 2u 3 +!  u

2 3 u E! 6

5$ ?Cu@l de las siguientes ecuaciones vectoriales no corresponde a la recta que pasa por los puntos 3/ ! 1 / 7! considera α ∈ <-! A! &: #/ 1! > 3/ ! F α/ 7! "! &: #/ 1! > 3/ ! F α7/ 3! C! &: #/ 1! > / 7! F α7/ 3! +! &: #/ 1! > 3/ ! F α7/ 3! E! &: #/ 1! > 3/ ! F α2/ 4! 2$ ?Cu@l es una ecuaci.n vectorial de la recta que pasa por el punto 7/ ! 1 tiene como vector direcci.n a 3/ 7!B considera λ ∈ <-! A! &: #/ 1! > 3/ 7! F λ 7/ ! "! &: #/ 1! > 7/ ! F λ 3/ 7! C! &: #/ 1! > 7/ 7! F λ 3/ ! +! &: #/ 1! > 3/ 7! F α7/ ! E! &: #/ 1! > 7/ ! F 2  λ!3/ 7! 22$ ?Cu@l de los siguientes vectores es el vector direcci.n de la recta que pasa por los puntos de coordenadas 4/ 2! 1 / !B A! u = 2/ − 3! "! v = 9/ 4! C! q = 4/ 9! +! p = −9/ 4! E! r = −9/ − 4! 23$ Considera los puntos P4/ 3!/ Q6/ K! 1 -2/ 2! del plano cartesiano$ ?Cu@l es la ecuaci.n continua de la recta que pasa por el punto medio de PQ 1 tiene la direcci.n del -Q B #−7 1−7 = 5 A! 9 #+ 7 1+ 7 = 5 "! 9 #−9 1− 5 = 7 7 C! #+9 1+5 = 7 7 +!

24

E!

#− 7 1+ 7 = 9 5

2$ *i el punto 2/ 23! pertenece a la recta de ecuaci.n DB A! 2 "!  C! 5 +! 23 E! 39

# −2 D = 1− /

?Cu@l es el valor de

24$ ?Cu@l es la ecuaci.n vectorial de la recta cu1a ecuaci.n continua es #−3 3

=

1 −2 H −2 = 2 3 B considera D

∈ <-!

A! &: #/ 1/ H! > 3/ 2/ 2! F D3/ 2/ 3! "! &: #/ 1/ H! > 3/ 2/ 2! F D3/ 2/ 3! C! &: #/ 1/ H! > 3/ 2/ 3! F D3/ 2/ 2! +! &: #/ 1/ H! > 3/ 2/ 3! F D3/ 2/ 2! E! &: #/ 1/ H! > D3/ 2/ 3! 27$ ?A cu@l de los siguientes planos P pertenece el punto / 4/ 3!B A! "! C! +! E!

P: P: P: P: P:

# F 41 M 3H >  #F1FH>7 3#  1 F H > 4 # F 1 M H >  # F 41 M 3H > 2

26$ *i se conocen las ecuaciones vectoriales de dos rectas en el espacio/ ?C.mo es posible determinar si son paralelasB <$ ,eriOcando que sus vectores direcci.n sean iguales$ <<$ +eterminando si sus ecuaciones continuas asociadas son iguales$ <<<$ ,eriOcando que sus vectores direcci.n sean uno un ponderado del otro 1 sus vectores posici.n no correspondan a la misma recta$ A! *olo < "! *olo << C! *olo <<< +! *olo << 1 <<< E! Ninguna 29$ ?Cu@les! de los siguientes puntos pertenecen! a la recta con ecuaciones continuas # −2 1 − 3 H −  B = = 7

4



<$ P2/ 3/ ! <<$ Q6/ 6/ 6! <<<$ -7/ 4/ !

27

A! *olo < "! *olo << C! *olo <<< +! *olo < 1 << E! *olo << 1 <<< 2K$ *ean A/ 2/ 3!/ "2/ 2/ 2! 1 C/ / 2! tres puntos en el espacio$ ?Cu@les! de las siguientes aOrmaciones sobre estos puntos es son! verdaderasB <$ &os tres puntos son colineales$ <<$ Una ecuaci.n vectorial de la recta que pasa por los puntos A 1 " es #/ 1/ H! >/ 2/ 3! F t3/ 3/ !$ <<<$ &a ecuaci.n del plano que contiene a los tres puntos es # F 1 M 4H > 4$ A! *olo < "! *olo < 1 << C! *olo << 1 <<< +! *olo < 1 <<< E!
26

A! *olo < "! *olo < 1 <<<

C! *olo < 1 <<

+! *olo << 1 <<<

E!
33$ ?Cu@les! de las siguientes aOrmaciones sobre la intersecci.n entre dos planos distintos en el espacio es son! verdaderas!B <$ &a intersecci.n puede ser vacía$ <<$ &a intersecci.n puede ser un punto$ <<<$ &a intersecci.n puede ser una recta$ A! *olo < "! *olo < 1 << C! *olo < 1 <<< +! *olo << 1 <<< E! 6B A!  "! 4 C! 7 +! 27 E! 2K 34$ ?Cu@l es la ecuaci.n cartesiana del plano que contiene a la recta &: #/ 1/ H! > 6/ / ! F t2/ 2/ !B A! 4# F 1 F H > 33 "! # F 1 F H > 6 C! # F 1 F H > 2 +! 4# F 1 F H > 2 E! 3# M 91 F 7H > 33 37$ En la Ogura/ A es un punto 8uera del plano P$ &a recta & est@ completamente contenida en el plano P$ (ambin se cumple que AJ ⊥ P/ A" ⊥ & 1 ' es un punto de la recta & distinto de "$ ?Cu@l de las siguientes desigualdades es correcta respecto a las longitudes de A"/ AJ 1 A'B A! A' Z AJ Z A" "! AJ Z A" Z A' C! A" Z A' Z A +! A' Z A" Z AJ E! AJ Z A'Z A" 36$ ?Cu@l es la ecuaci.n vectorial del plano que contiene a las rectas cu1as ecuaciones vectoriales son &2: #/ 1/ H! > 2/ 2/ 2! F s2/ 2/ 2!R & 3: #/ 1/ H! > 2/ 2/ 2! F t4/ 3/ 3!B A! P: #/ 1/ H! > 2/ 2/ 2! F s2/ 2/ 2! F t4/ 3/ 3! "! P: #/ 1/ H! > 2/ 2/ 2! F s2/ 2/ 2! F t4/ 3/ 3!

29

C! P: #/ 1/ H! > 4/ 3/ 3! F s2/ 2/ 2! F t2/ 2/ 2! +! P: #/ 1/ H! > 2/ 2/ 2! F s7/ 2/ 2! E! P: #/ 1/ H! > 2/ 2/ 2! F t/ / ! 39$ ?Cu@l es la ecuaci.n cartesiana del plano que contiene a los puntos 3/ / 4!/ 3/ 4/ K!/ 2/ 2/ 2!B A! K# M 341 F 24H >  "! 2# F 341 M 25H >  C! # F 1 M H > 2 +! 2# F 341 M 25H >  E! 2# F 341 M 25H >  3K$ Es posible determinar una ecuaci.n de la recta que pasa por el origen si se sabe que: 2! (iene la misma direcci.n que la recta de ecuaci.n 1 > 3# M 2 3! para por el punto P/ 6! A! 2! por si sola "! 3! por si sola C! Ambas %untas 2! 1 3! +! Cada una por si sola/ 2! o 3! E! *e requiere in8ormaci.n adicional$ 35$ Para determinar la ecuaci.n de un plano se necesitan!: 2! las ecuaciones de dos rectas secantes contenidas en l$ 3! &as coordenadas de tres puntos no colineales que pertenecen a l$ A! 2! por si sola "! 3! por si sola C! Ambas %untas 2! 1 3! +! Cada una por si sola/ 2! o 3! E! *e requiere in8ormaci.n adicional$ $ ?Cu@l es el @rea limitada por dos rectas en el plano 1 el e%e #B 2! &as ecuaciones de las rectas son 1 > 3# F 3/ 1 > 3# F 6 3! &as rectas se intersecan en el punto 3/ 3! A! 2! por si sola "! 3! por si sola C! Ambas %untas 2! 1 3! +! Cada una por si sola/ 2! o 3! E! *e requiere in8ormaci.n adicional$ 2 " 26 

3 C 29 +

 E 2K C

4 E 25 E

7 A 3 E

6 E 32 E

9 A 33 C

K E 3 +

5 A 34 "

2 " 37 "

22 + 36 A

23 A 39 "

2 " 3K +

24 " 35 +

27 "  A

2K

25