Ecuaciones del campo de Einstein 1
Form Forma a mate matemá máti tica ca de de las ecuaecuaciones del campo de Einstein
En las ecuaciones de campo de Einstein, la gravedad se da en términos de un tensor un tensor métrico, métrico, una cantidad que describe las propiedades propiedades geométricas del espacio-tiempo del espacio-tiempo tetradimensional y a partir de la cual se puede calcular la curvatura. En la misma ecuación, la materia es descrita por su tensor su tensor de tensión-energía, tensión-energía, una cantidad que contiene la densidad densidad y la presión de la materia. Estos tensores son tensores son tensores simétric simétricos os de de 4 X 4, de modo que tienen 10 componentes independientes. Dada la libertad de Representación de la curvatura la curvatura dada dada por la ecuación de campo elección de las cuatro coordenadas del espacio-tiempo, de Einstein sobre el plano de la eclíptica la eclíptica de de una estrella una estrella esférica: esférica: las ecuaciones independientes se reducen a 6. La fuerza Dicha ecuación relaciona la presencia de materia de materia con con la curva- de acoplamiento entre la materia y la gravedad es detertura adquirida por el espacio-tiempo. espacio-tiempo. minada por la constante la constante gravitatori gravitatoriaa unive universal rsal.. Para cada punto del espacio-tiempo, espacio-tiempo, la ecuación ecuación del campo de Einstein describe cómo el espacio-tiempo el espacio-tiempo se se curva por la materia la materia y y tiene la forma de una igualdad local entre un tensor de curvatura para el punto y un tensor que describe la distribución de materia alrededor del punto: En física En física,, las ecuaciones del campo de Einstein , ecuaciones de Einstein o ecuaciones de Einstein-Hilbert (conocidas (conocidas como EFE , por Einstein field equations ) son un con conjunto junto de 10 ecuac ecuacio ione ness de la teo teoría ría de la re rela lati tivi vidad dad general de Albert de Albert Einstein Einstein que describen la interacción fundamental de fundamental de la la gravitación como gravitación como resultado de que el espacio-tiempo está siendo curvado por la materia y la energía..[1] energía
Gµν =
8πG c4
T µν µν
donde:
Publicadas por vez primera por Einstein en 1915 [2] como una ecuación una ecuación tensorial, tensorial, las ecuaciones EFE equiparan la curvatura del espacio-tiempo local (expresada por el tensor el tensor de Einstein) Einstein) con la energía local y el momento dentro de ese espacio-tiempo espacio-tiempo (expresado (expresado por el tensor el tensor de [3] tensión-energía). tensión-energía ). Las ecuaciones de campo de Einstein relacionan la presencia de materia con la curvatura del espacio-tiempo. espacio-tiempo. Más exactamente cuanto mayor sea la concentración de materia, representada por el tensor de energía-impulso, energía-impulso , tanto mayores serán las componentes del tensor del tensor de curvatura de Ricci. Ricci.
•
Gµν es el tensor de curvatura de Einstein, que se forma a partir de derivadas segundas del tensor del tensor métrico g µν
•
T µν el tensor momento-en momento-energía ergía.. µν es el tensor
•
el número π π , es el número
•
c , es la velocidad la velocidad de la luz
•
la constante de la gravitación universal. universal. G , es la constante
Esa ecuación ecuación se cumple cumple para cada punto del espaci espaciootiempo. El tensor de la curvatura de Einstein se puede escribir como:
En el límite el límite clásico no-relativista, clásico no-relativista, esto es, a velocidades pequeñas pequeñas comparada comparadass con la luz y campos campos gravitac gravitacion ionale aless relativamente débiles, las ecuaciones del campo de Einstein se reducen a la ecuación de Poisson para Poisson para el campo el campo gravitatorio que gravitatorio que es equivalente a la ley de gravitación de Newton.
donde: •
1
el tensor de curvatura de Ricci Rµν , es el tensor
2 SOLUCIONES DE LA ECUACIÓN DEL CAMPO DE EINSTEIN
2
•
R es el escalar de curvatura de Ricci
•
Λ es la constante cosmológica.
La ecuación del campo por lo tanto también puede darse como sigue:
gµν es un tensor simétrico 4 x 4, así que tiene 10 componentes independientes. Dado la libertad de elección de las cuatro coordenadas del espacio-tiempo, las ecuaciones independientes se reducen en número a 6. Estas ecuaciones son la base de la formulación matemática de la relatividad general. Nótese que considerando la contracción sobre los dos índices de la última relación se encuentra que el escalar de curvatura se relaciona con la traza del tensor energía impulso y la constante cosmológica mendiante: R − 2R + 4Λ =
8πG c4
recoja casi todas las ecuaciones conocidas de la física macroscópica. En efecto, cuando la velocidad de la luz c tiende a infinito, de ella se derivan ley de gravitación universal de Newton, la Ecuación de Poisson y, por tanto, el carácter atractivo de las fuerzas gravitatorias, las ecuaciones de la mecánica de fluidos (ecuación de continuidad y ecuaciones de Euler), las leyes de conservación de la masa y el momento, el carácter euclídeo del espacio, etc. Igualmente se derivan todas las leyes de conservación relativistas, y que la existencia de campos gravitatorios y de masa sólo es posible cuando el espacio tiene dimensión mayor que 2. Más aún, si se supone que el espacio tiene dimensión 4 (las tres que vemos diariamente más una pequeñísima dimensión circular extra, aproximadamente del tamaño de la llamada longitud de Planck 10−33 cm) de la ecuación de Einstein se deducen la teoría clásica del electromagnetismo: las Ecuaciones de Maxwell y, por tanto, la Ley de Coulomb, la Conservación de la carga eléctrica y la ley de Lorentz.
T
Esa relación permite escribir equivalentemente las ecuaciones de campo como:
1.2
Límite clásico
En el límite clásico la única componente no nula del tensor de Ricci es la componente temporal R . Para obtener el límite clásico debe suponerse que el potencial gravitatorio es muy pequeño en relación al cuadrado de la velocidad de la luz y a continuación debe tomarse el límite de las ecuaciones cuando la velocidad de la luz tiende a infinito, haciendo esas manipulaciones se obtiene que las ecuaciones de campo de Einstein para el campo gravitatorio se reducen a la ecuación diferencial de Poisson para el potencial gravitorio. Suponiendo que para campos gravitatorios débiles la métrica del espacio tiempo puede escribirse como una perturbación de la métrica de Minkowski: 00
Rµν − gµν Λ =
1.1
8πG c4
�
T µν − 12 T gµν
�
Interpretación geométrica de la Ecuación de Einstein
La ecuación de Einstein implica que para cada observador, la curvatura escalar κ del espacio es proporcional a la densidad aparente ρ :
κ =
16πG c2
ρ
gαβ (x) = η αβ +
donde: •
c = 3 × 1010 [cm s−1 ] es la velocidad de la luz
•
G = 6,67 × 10−8 [cm3 s−2 g−1 ] es la constante de
R00 ∇2 φg
∆R =
Por ejemplo, en el caso de la Tierra el exceso radial es de 0,15cm y en el caso del Sol es de unos 4400 metros. Es asombroso que esta ecuación, que introduce mínimas correcciones en las fórmulas de la geometría euclídea,
≈ −2φg
1 ≈ −2
∂ 2 h00 i ∂ (xi )2
∑
=
4πG c2
(ρc2 )
⇒
= 4πGρ
La última expresión es precisamente la ecuación de Poisson que es la expresión clásica que relaciona el potencial gravitatorio con la densidad de materia.
2 GM 3c2
h00
La componente temporal del tensor de Ricci resulta ser:
la gravitación universal. De acuerdo con el significado geométrico de la curvatura escalar, esta igualdad afirma que en una esfera de masa M y densidad constante, el exceso radial (la diferencia entre el radio real y el radio que le correspondería en la geometría euclídea a una esfera de igual área) es igual a
hαβ (x) , c2
Soluciones de la ecuación del campo de Einstein
Una solución de la ecuación del campo de Einstein es cierta métrica apropiada para la distribución dada de la masa y de la presión de la materia. Algunas soluciones para una situación física dada son como sigue.
3.1 Bibliografía
2.1
3
Distribución de masa esférica simétrica y estática
sischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin : 844-847. Consultado el 12 de septiembre de 2006. [3] Misner, Charles W.; Thorne, Kip S.; Wheeler, John Archibald (1973). Gravitation. San Francisco: W. H. Freeman. ISBN 978-0-7167-0344-0Plantilla:Inconsistent citations Chapter 34, p 916
3.1
Bibliografía M. Wald, General Relativity , Chicago University Press, ISBN 0-226-87033-2.
• Robert
La solución para el vacío alrededor de una distribución de masa esférica simétrica, estática, es la métrica de Schwarzschild y la métrica de Kruskal-Szekeres. Se aplica a una estrella y conduce a la predicción de un horizonte de sucesos más allá del cual no se puede observar. Predice la posible existencia de un agujero negro de masa dada M del que no puede ser extraída ninguna energía, en el sentido clásico del término (i.e. no mecánico-cuántico).
2.2
Masa de simetría axial en rotación
La solución para el espacio vacío alrededor de una distribución de masa de simetría axial en rotación es la métrica de Kerr. Se aplica a una estrella que rota y conduce a la predicción de la existencia posible de un agujero negro en rotación de masa dada M y momento angular J , del cual la energía rotatoria puede ser extraída.
2.3
Universo isótropo y homogéneo (o uniforme)
La solución para un Universo isótropo y homogéneo, lleno con una densidad constante y de una presión insignificante, es la métrica de Robertson-Walker. Se aplica al Universo en su totalidad y conduce a diversos modelos de su evolución que predicen un Universo en expansión.
3
Referencias
[1] Einstein, Albert (1916). «The Foundation of the General Theory of Relativity» (PDF). Annalen der Physik 354 (7): 769. Bibcode:1916AnP...354..769E. doi:10.1002/andp.19163540702. [2] Einstein, Albert (25 de noviembre de 1915). «Die Feldgleichungen der Gravitation». Sitzungsberichte der Preus-
4 ORIGEN DEL TEXTO Y LAS IMÁGENES, COLABORADORES Y LICENCIAS
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Origen del texto y las imágenes, colaboradores y licencias
4.1 •
Texto Ecuaciones del campo de Einstein Fuente: https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaciones_del_campo_de_Einstein?oldid=97549700 Colaboradores: Sanbec, DefLog, Sms, Tano4595, Wricardoh, Alonso de Celada, Richy, Emijrp, Rembiapo pohyiete (bot), RobotQuistnix, Omega~eswiki, Chobot, Yrbot, YurikBot, KnightRider, Fmercury1980, Eskimbot, Maldoror, Juan Marquez, Qwertyytrewqqwerty, CEM-bot, Davius, Drake 81, Botones, Chuck es dios, Wybot, Aibot, Urdangaray, Shooke, Muro Bot, SieBot, Loveless, StarBOT, Estirabot, Alecs.bot, Petruss, Alexbot, Juan Mayordomo, Gökhan, Camilo, AVBOT, Diegusjaimes, Luckas-bot, Superandoni, ArthurBot, Xqbot, Dreitmen, TobeBot, PatruBOT, TjBot, Savh, TuHan-Bot, Gaussyful, Rezabot, MerlIwBot, Euty, Invadibot, Garmen778, Legobot, Addbot, Jarould, BenjaBot, Eber torios y Anónimos: 34
4.2 •
•
4.3 •
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