Ecuaciones diferenciales

⇒ z2 +1 +2zz− 2 dz = − duu ⇒ 12 ln |z2 + 2z − 2| = − ln |u| + C  ⇒ (z22 + 2z − 2)u22 = C  ⇒ v + 2uv2 − 2u = C  ⇒ (y − e) + 2(x − 1)(y − 3) − 2(x − 1)2 = C 

⇒ g(y) = sin y ⇒ g(y) = − cos x ⇒ 2√xy + sin x − cos y = C  25. y(x y 2)dx + x(y x + 4)dy = 0 M (x, y) = y(x y 2) N (x, y) = x(y x + 4)

⇒ ⇒

⇒ y2 − 8y − 2x2 − 2x + 2xy = C  22. (2x

La ecuaci´on no es exacta. Considerando (∂N/∂x ∂M/∂y)/M  tenemos:

23. (x

dx x+y 1 + xy Mediante la sustituci´on u = du 1 u u+x = dx 1+u du u2 2u + 1 x = dx 1+u u+1 dx du = 2 u + 2u 1 x 1 ln u2 + 2u 1 = ln x + C  2 (u2 + 2u 1)x2 = C 

− − −

⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒

|

−

−

−

y x

⇒ ⇒

− | − ||

x y

=

(y

⇒ g(y) = 0 ⇒ g(y) = 0 ⇒ y−2x2 − 2xy−1 − 4xy−2 = C 

1 = 2 xy 1 = 2 xy

26.

La ecuaci´on es exacta. y F (x, y) = + cos y dx + g(y) x F (x, y) = 2 xy + sin x + g(y) ∂F  x x = + g (y) = + sin y ∂y y y

⇒ ⇒ ⇒



⇒ ⇒ − ⇒ F (x, y) = y−2(x y − 2)dx + g(y) 2 ⇒ F (x, y) = y−22x − (y−1 + 2y−2)x + g(y) ⇒ ∂F  = −y−3 x2 − (−y −2 − 4y−3 )x + g (y)) = ∂y xy −3 (y − x + 4

−

y x

− ∂M  ∂y

  −  −   − −

        √   √      √   

∂M  1 = ∂y 2x ∂N  1 = ∂x 2y

∂N  ∂x

La ecuaci´ on tiene un factor integrante especial: 3 µ(x) = exp = y −3 y y −2 (x y 2)dx + xy −3 (y x + 4)dy = 0

24. ( y/x + cos x)dx + ( x/y + sen y)dy = 0 M (x, y) = y/x + cos x N (x, y) = x/y + sen y

⇒ ⇒



− 2x + 4) − (x − 2y − 2) M  y(x − y − 2) 3(x − y − 2) 3 ⇒= − −y(x =− − y − 2) y ⇒

tenemos:

⇒ y2 + 2xy − x2 = C 

 

− − − −

⇒ ∂M  = x − 2y − 2 ∂y ⇒ ∂N  = y − 3x + 4 ∂x

− 2y − 8)dx + (x − 3y − 6)dy = 0

− y)dx + (x + y)dy y= 0 ⇒ dy = x − y = 1 − x

− −

dy + xy = 0 dx Al separar variables tenemos: dy = x dx y x2 ln y = + C  2

⇒ ⇒ 6

− −