En los problemas 1 a 22 22,, resuelva la ecuación diferencial dada por separación de variables:
Lista de todos los Ejercicios y Problemas del libro Ecuaciones iferenciales de !ill "Ed# $%: 1#1,, 1#2, 1#3, 1#&, 2#1, 1#1 2#2, 2#3 2#3,, 2#' 2#',, 2#(, 2#), 2#&, 3#1, 3#2, 3#3, 3#&, '#1, '#2, '#3, '#', '#(, '#), '#$, '#8, '#*, '#&, (#1, (#2, (#3, (#&, )#1, )#2, )#3, )#&, $#1, $#2, $#3, $#', $#(, $#), $#&, 8#1, 8#2, 8#3, 8#', 8#&, *#1, *#2, *#2, *#', *#(, *#&, 1+#1, 1+#2, 1+#3, 1+#', 1+#&, 11#1, 11#2, 11#3, 11#', 11#(, 11#&, 12#1, 12#2, 12#3, 12#', 12#3, 12#(, 12#), 12#$, 12#8, 12#&, 13#1, 13#2, 13#3, 13#&, 1'#1, 1'#2, 1'#3, 1'#', 1'#&, 1(#1, 1(#2, 1(#3, 1(#&
Síueme y colabóreme "ato% en:
En los problemas 23 23 a a 28 28,, encuentre la solución explícita del problema con valores iniciales dados:
En los problemas 1 a 22 22,, resuelva la ecuación diferencial dada por separación de variables: 1
2
3
'
(
)
$
8
*
1+
11
12
Dennis G. Zill 2.3.1: ecuaciones lineales En los problemas 1 a 24 determine la solución general de la ecuación diferencial dada. Indique el intervalo I ms largo en el que est definida la solución general. Determine si !a" algunos t#rminos transitorios en la solución general.
MARTES, 23 DE OCTUBRE DE 2012
Dennis G. Zill 2.2$12: %ariables separables
&ublicado por 'uan (eltrn en 11:1) *o !a" comentarios: +tiquetas: Zill 2.2
Dennis G. Zill 2.2$11: %ariables separables
+nlaces a esta entrada
&ublicado por 'uan (eltrn en 11:1, *o !a" comentarios: +tiquetas: Zill 2.2
+nlaces a esta entrada
Dennis G. Zill 2.2$1-: %ariables separables
&ublicado por 'uan (eltrn en ):, *o !a" comentarios: +tiquetas: Zill 2.2
Dennis G. Zill 2.2$): %ariables separables
+nlaces a esta entrada
&ublicado por 'uan (eltrn en ):4, *o !a" comentarios: +tiquetas: Zill 2.2
Dennis G. Zill 2.2$,: %ariables separables
+nlaces a esta entrada
&ublicado por 'uan (eltrn en ):3/ *o !a" comentarios: +tiquetas: Zill 2.2
+nlaces a esta entrada
Dennis G. Zill 2.2$0: %ariables separables
&ublicado por 'uan (eltrn en ):24 *o !a" comentarios: +tiquetas: Zill 2.2
Dennis G. Zill 2.2$/: %ariables separables
+nlaces a esta entrada
&ublicado por 'uan (eltrn en ):2- *o !a" comentarios: +tiquetas: Zill 2.2
Dennis G. Zill 2.2$: %ariables separables
+nlaces a esta entrada
&ublicado por 'uan (eltrn en ):1/ *o !a" comentarios: +tiquetas: Zill 2.2
Dennis G. Zill 2.2$4: %ariables separables
+nlaces a esta entrada
&ublicado por 'uan (eltrn en ):1- *o !a" comentarios: +tiquetas: Zill 2.2
Dennis G. Zill 2.2$3: %ariables separables
+nlaces a esta entrada
CUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
EJEMPLOS RESUELTOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS Ejemplo 1. sea la función diferencial:
Solu!"# &ara ver que esta ecuación diferencial es de diferenciales eactas !acemos:
tenemos:
iendo cierto que la ecuación es del tipo de diferenciales eactas5 podemos calcular con facilidad la función integral:
&ara conocer el valor de la función 678 derivamos 975 "8 respecto de "5 e igualamos el resultado a :
;s< pues5 la solución general de la ecuación diferencial estudiada ser:
Ejemplo 2. sea la función diferencial:
Solu!"# &ara ver si es diferencial eacta !acemos:
&uesto que se verifica la condición necesaria " suficiente5 podemos poner:
+ integrando:
Derivando a!ora respecto de " e igualando a :
=on lo que la solución general de la ecuación ser:
Ejemplo 3. sea la función diferencial:
Solu!"#$ >perando como en los casos anteriores se comprueba que esta ecuación no es una ecuación diferencial eacta5 no obstante5 si multiplicamos todos los t#rminos por 1?"@ nos queda:
=on lo que obtenemos una ecuación diferencial que si cumple las condiciones de ser diferencial eacta " a la que podemos aplicarle el m#todo que estamos desarrollando:
Derivando respecto de " e igualando a :
de esa forma5 la solución general ser:
ue es vlida para todos los puntos en los que se cumpla que e " son distintos de -. ;parte de la solución general5 podemos ver que eiste una solución singular para el caso " A - ó A - "a que entonces la ecuación se verifica trivialmente. +l t#rmino 1?"@ recibe el nombre de factor integrante " resulta fcil
comprobar que5 en general5 introduce soluciones singulares en los casos en los que se opera con #l.
Ec ua ci one sDi f e r e nc i a l e sEx ac t a s -./0/ 28, 2+1' 4-56E7 -7E-5&/ 99-0 &9E&/7
2
Ecuaciones Diferenciales Exactas El siuiente m;todo te ayudara a resolver cual
ados por el r# errence 0ejno?s@i investiador el nstituto Ao?ard Aues, apuntan a ar el pensamiento difuso a la ve> aje es una t;cnica efectiva para aprender cualar el pensamiento enfocado y el difuso como lo dice el r# errence, es mediante el aprender Caciendo y para eso te propono ar otra actividad
METODO DE 4 PASOS PARA RESOLVER ECUACIONES DIFERENCIALES EACTAS Primero de=nimos si la ecuacion es exacta o no, mediante los siuiente dos criterios: •
/&4- E0F5-& E 7- E EG-H-
4"x,y%dxI5"x,y%dyJ+ •
H&E&/ P-&- E5& EG-H6 E 7- E
K4KyJK5Kx
4 PASOS PARA RESOLVER ECUACIONES DIFERENCIALES EACTAS !" "x,y%JL4"x,y%dxI"y% #" KKyL4"x,y%dxIM"y%J5"x,y% $" "y%JL5"x,y%dyNLKKyL4"x,y%dxdy 4" 0ustituimos "y% del paso "3% en "1% e iualamos a c "c J constante%
L4"x,y%dxI"y%Jc 0i encontramos ar los mismos cuatro pasos en funcion de 5, ver el Ejemplo 5 al =nal y revisar los pasos aqui, click aqui #
E%EMPLOS RESUELTOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES EACTAS En los siuientes problemas determine si la E es exacta, si lo es resuelvala# E&e'(lo !" Ejercicios 2#' 7ibro ennis .# !ill "problema 3%
"(xI'y%dxI"'xN8y3%dyJ+ Oeterminamos si es exacta la E
4"x,y%dxJ(xI'yB K4KyJ'B
5"x,y%J'xN8y3
K5KxJ'
Oe donde concluimos
&esolvemos la ecuación de acuerdo a los pasos listados anteriormente Paso 1.
L4"x,y%dxI"y%JJJL"(xI'y%dxI"y%(LxdxI'yLdxI" y%(2x2I'xyI"y%
Paso 2.
KKyL4"x,y%dxIM"y%KKy"(2x2I'xy%IM"y%+I'xIM "y%+IM"y%M"y%JJJJJ5"x,y%'xN8y3'xN8y3N8y3N8y3 Paso 3.
"y%"y%JJJJL5"x,y%dyNLKKyL4"x,y%dxdyN8Ly3dyQ 8'y'N2y' Paso 4.
L4"x,y%dxI"y%(2x2I'xyN2y'JJcc 7a solución es: (2x2I'xyN2y'Jc
E&e'(lo #" Ejercicios 2#' 7ibro ennis .# !ill "problema (%
"2xy2N3%dxI"2x2yI'%dyJ+ Oeterminamos si es exacta la E
4"x,y%J2xy2N3B K4KyJ'xyB
5"x,y%J2x2yI'
K5KxJ'xy
Oe donde concluimos
&esolvemos la ecuación de acuerdo a los pasos listados anteriormente Paso !"
L4"x,y%dxI"y%JJJ2y2LxdxN3LdxI"y%22y2x2N3xI"y %y2x2N3xI"y% Paso #"
KKyL4"x,y%dxIM"y%KKy"y2x2N3x%IM"y%2x2yIM"y% M"y%JJJJ5"x,y%2x2yI'2x2yI'' Paso $"
"y%"y%"y%JJJL5"x,y%dyNLKKyL4"x,y%dxdy'Ldy'y Paso 4"
L4"x,y%dxI"y%y2x2N3xI'yJJcc 7a solución es: y2x2N3xI'yJc E&e'(lo $" Ejercicios 2#' 7ibro ennis .# !ill "problema )%
"2yN1xIcos3x%dydxIyx2N'x3I3ysin3xJ+ Oeterminamos si es exacta la E, pero en este caso antes, escribimos la /&4- E0-5-&, E0-5-&, de una ecuación exacta#
"2yN1xIcos3x%dyIyx2N'x3I3ysin3xJ+ Q eterminamos exactitud de la E
4"x,y%J2yN1xIcos3xB K4KyJ2B
5"x,y%Jyx2N'x3I3ysin3x
K5KxJN2yxN12xI3ycos3x
Oe donde concluimos
E&e'(lo 4" Ejercicios 2#' 7ibro ennis .# !ill "problema
%$"x2Ny2%dxI"x2N2xy%dyJ+ Oeterminamos si es exacta la E
4"x,y%Jx2Ny2B K4KyJN2yB
5"x,y%Jx2N2xy K5KxJ2xN2y
Oe donde concluimos
E&e'(lo )" Ejercicios 2#' 7ibro ennis .# !ill "problema 8%
"1IlnxIyx%dxJ"1Nlnx%dy Oeterminamos si es exacta la E, pero en este caso antes, escribimos la /&4- E0-5-&, E0-5-&, de una ecuación exacta#
"1IlnxIyx%dxN"1Nlnx%dyJ+ "1IlnxIyx%dxI"N1Ilnx%dyJ+ Oeterminamos si es exacta la E
4"x,y%J1IlnxIyxB K4KyJ1xB
5"x,y%JN1Ilnx
K5KxJ1x
Oe donde concluimos
&esolvemos la ecuación de acuerdo a los pasos listados anteriormente Paso !"
L5"x,y%dyIC"x%JJJL"N1Ilnx%dyIC"x%Q LdyIlnxLdyIC"x%NyIylnxIC"x% Paso #"
KKxL5"x,y%dyICM"x%KKx"NyIylnx%ICM"x%y"1x%ICM "x%CM"x%CM
"x%JJJJJ4"x,y%1IlnxIyx1IlnxIyx1IlnxIyxQ yx1Ilnx Paso $"
C"x%C"x%JJJL4"x,y%dxNLKKxL5"x,y%dydxL"1Ilnxdx%d xLdxILlnxdx nteramos por partes la interal Llnxdx:
dvJdxB vJxB •
uJlnx duJ1x
Por tanto:
LlnxdxJJJxlnxQLxxdxxlnxQLdxxlnxQx e modo
C"x%JJxIxlnxQxxlnx Paso 4"
L5"x,y%dyIC"x%NyIylnxIxlnxJJcc 7a solución es:
NyIylnxIxlnxJc y"x%JNxlnxIclnxQ1 7a representación rD=ca de las curvas solución de ;ste Sltimo ejemplo, se muestra en la Fi*ura !"
Fi*ura !" .rD=ca de &elieve para la solución del Ejemplo (#
Tsta rD=ca se puede ver en tonos de a>ul mDs oscuro las partes bajas del relieve y en tonos mDs claros las partes mas elevadas, ver mDs abajo una representación en 3# 6na representación en 2, de la familia de curvas solución para el Ejemplo 5, se muestra a continuación#
Fi*ura #" amilia de soluciones para la Ecuación iferencial Exacta del Ejemplo (#
7a siuiente =ura en 3 es manipulable# Para ver a detalle la =ura, posiciónate con el puntero del mouse sobre ella y deja presionado el botón i>
3# 5ota: es posible
Clear+,,-lo.al/0,,1 P+x23 21 56 7! 8 Lo*+x1 8 9x: ;+x23 21 56 7 0: 70Paso !0: f$ 6 fx 66 Inte*rate+;+x3 13 1 8 ?+x1 70Paso #0: =f$ 6 D+f$++#113 x1 66 P+x3 1 70Paso $0: s$ 6 Sol@e+=f$3 ?,+x11 99 Ex(an=
70Paso 40: sf$ 6 ?x 66 Inte*rate+s$++!3 !3 #113 x1 s*$ 6 f 66 E@aluate +f$++#11 9" ?+x1 < sf$++#111 99 Ex(an= Sol@e+s*$++#11 66 c3 c1 99 Ex(an= 70 -RBFICA 0: en 6 ,+x1 66
Para a necesaria deberDs practicar los ejercicios con las t;cnicas arlos para preparar tu mente, de manera
e invito a
esta pDina# Wue est;s bien#
Cis entry ?as posted in Ecuacion diferencial ejercicios resueltos , ecuaciones diferenciales exactas , ejemplos de ecuaciones diferenciales exactas , pasos para resolver ecuaciones diferenciales exactas and taed ecuaciones diferenciales exactas , ejemplos de ecuaciones diferenciales exactas , pasos para resolver ecuaciones diferenciales exactas# oo@mar@ tCe permalink #
cuacion =iferencial lineal =e (ri'er or=en ntervalo de de=nición de la solución del problema del valor inicial# Problema 2( Hapítulo 2#3# ennis .# !ill#
6tili>aremos el m;todo de los ' pasos
xyMIyJex Pasos: I" resol@er5
El (ri'er (aso consiste en escri.ir la for'a estKn=ar =e la ED a
ividimos, entonces, entre el coe=ciente de dydx,
II"
En el se*un=o (aso encontra'os el factor inte*rante5 eLP"x%dx3
El valor de P(x) en eLP"x%dx, P"x%J1x# El manejo de las funciones trascendentes e interales se muestra al =nal del ejercicio#
eL1xdxJelnx Jx III" Co'o tercer (aso3 encontra'os la fa'ilia =e soluciones =el siste'a ?o'o*neo asocia=o5 El sistema Como;neo asociado es la ecuación diferencial:dydxIyxJ+# 0ustituimos en ycJHeNLP"x%dx, donde: P"x%J1x encontrado en el primer paso, y desarrollamos# Para esclarecer de donde sale la fórmula ycJHeNLP"x%dx, sia el siuiente enlace: oluci!n del sistema "omo#$neo asociado#
ycJHeNL1xdx JHeNlnx
JHelnxN1 JHxN1 .ra=ca de la familia de soluciones del sistema Comoeneo asociado:
ycJHx
4ostramos, primero la famila de soluciones del sistema Como;neo asociado ycJHx # -demDs, mostramos una solución particular yc1J2xdonde HJ2# 5otar
se extiende en todos los reales# 9eamos la rD=ca siuiente para aclarar mDs este punto# El intervalo de de=nición de una solución, por de=nición "ver %ntervalo de de&nici!n de una soluci!n % %, necesita cumplir al menos 2 criterios para ser considerado vDlido: 1# Wue la función solución amos la fórmula: ypJ1eLP"x%dxLeLP"x%dxf"x%dx, donde: eLP"x%dxJx "obtenido en el punto ii#% y f"x%Jexx obtenido en el punto i# /bservar como la solución particular fue id;ntica a f"x%# Para ver de dónde salen estas sia el enlace siuiente: soluci!n del sistema no "omo#eneo#
ypJ1xLx"exx%dx J1xLexdx J1x_ex` Jexx .rD=ca de la familia de soluciones del sistema no Como;neo:
yJHxIexx
7a solución del sistema no Como;neo, es decir la solución de la E lineal completa, para el problema del valor inicial "P9% es: y"x%J2NeIexx , onde: HJ2Ne# El dominio de la solución estD en el intervalo: yp:+[x[\ # o dicCo de forma mDs comSn, el dominio de la solución del problema del P9 es el intervalo: "+,\%#
Por tanto3 la solucin *eneral =e la ecuacion =iferencial lineal =e (ri'er or=en xyMIyJex3 es5 yJHexx Con inter@alo =e solucin5
:xZ&+[x[\ &ecordar: 'o#aritmos exponenciales
alnxJlnxa ebido a
yJeximplica xJlny y ademDs lnyJloey recordamos
Cis entry ?as posted in ominio de soluci!n del P*% , ecuacion diferencial lineal de primer orden, E lineal, Ejercicios +esueltos ennis . -ill apitulo /.0 and taed ominio de una doluci!n del P*%, ecuacion diferencial lineal de primer orden # oo@mar@ tCe permalink #
E&ercicios #"$ Li.ro Dennis -" Jill 7Pro.le'a #:"To'a=o =e5 Dennis -" Jill E= 'a" Encontrar la solución para el problema del valor inicial "P9%, sujeta a: a%
yfracdxdyOxJ2y2,
y"1%J(
, encontrar el intervalo % de solución# Pasos: I" resol@er5
El (ri'er (aso consiste en escri.ir la for'a estKn=ar =e la ED a
ividimos, entre el coe=ciente de fracdxdy,
II" En el se*un=o (aso encontra'os el factor inte*rante5 matCbfematCopint matCbfPleft" y riCt%matCbfdy3 El valor de P( y ) en ematCopint Pleft" y riCt%dy, P"y%Jfrac1y# El manejo de las funciones trascendentes e interales se muestra al =nal del ejercicio# eOmatCopint frac1ydyJeOln y Jtexteln yO1 JtextyO1 Jfrac1y III" Co'o tercer (aso3 encontra'os la fa'ilia =e soluciones =el siste'a ?o'o*neo asocia=o5 El sistema Como;neo asociado es la ecuación diferencial:fracdxdyOfracx yJ+# 0ustituimos en xcJHeOmatCopint Pleft" y riCt%dy, donde: P"y%Jfrac1y encontrado en el primer paso, y desarrollamos# Para esclarecer de donde sale la fórmula xcJHeOmatCopint Pleft" y riCt%dy, sia el siuiente enlace: oluci!n del sistema "omo#$neo asociado # textxcJHe"O%OmatCopint frac1ydy JHeln y JHtexty Solucin Es(ecQca (ara el Siste'a o'o*neo Para encontrar una solución especí=ca para el sistema Como;neo, utili>aremos los valores iniciales de textxJ1Btext gghggtext gghggtext gg hggtext yJ( , de modo
xcJHy y la solución particular xcJfrac1(y
7a función xcJHy , tiene como dominio mDs laro el intervalo: xc:left xepsilon matCbb&+[ x[ infty riCt IV" En el cuarto (aso3 encontra'os una solucin (articular a (artir =el siste'a no ?o'o*neo5 El sistema no Como;neo: fracdxdyOfracxyJ2y, amos la fórmula: xpJfrac1ematCopint Pleft" y riCt%dymatCopint ematCopint Pleft" y riCt%dyf"y%dy, donde: ematCopint Pleft" y riCt%dyJyO1 "obtenido en el
punto ii#% y fleft" x riCt%J2y obtenido en el punto i# Para ver de dónde salen estas sia el enlace siuiente: soluci!n del sistema no "omo#eneo # xpJfrac1yO1matCopint yO1"2y%dy J2ymatCopint dy J2y2 Solucin =el Pro.le'a =e Valores Iniciales 7PVI: =e la ED lineal =e !er Or=en 7a solución del problema del P9 se obtiene al encontrar una solución especí=ca
El dominio de la solución estD en el intervalo: xp:left xepsilon matCbb&Oinfty [ x[ infty ri Ct o dicCo de forma mDs comSn, el dominio de la solución del problema del P9 es el intervalo: "Oinfty ,infty %# 5otar
Por tanto3 la solucin =el Pro.le'a =el Valor Inicial3 =e la ecuacin =iferencial frac=xG=G< x6#G#GG3 es5 6<frac4G)G8#G#GG Con inter@alo =e solucin5 I5left xin R<inft W x W inft ri*?t G &ecordar: 'o#aritmos exponenciales
aln xJln xa ebido a u 0imulación "da clic@ aar las simulaciones de ecuaciones lineales en 0-.E, visita la siuiente pDina: Hómo simular con 0-.E# 7a intuición y la con=an>a son parte importantes en el aprendi>aje de esta materia, es por eso cas la actitud mental
Por Sltimo te recomiendo revises los productos
Cis entry ?as posted in ominio de soluci!n del P*% , Ecuacion diferencial ejercicios resueltos, Ecuacion iferencial lineal No 2omo#enea , ecuaciones diferenciales lineales , Ejercicios +esueltos ennis . -ill apitulo /.0 , %ntervalo de oluci!n de un pro3lema de valores iniciales and taed Ecuacion iferencial lineal No 2omo#enea ,ecuacion diferencial no "omo#enea , ecuaciones diferenciales 4ill capitulo /.0 ,%ntervalo de oluci!n del Pro3lema del P*% # oo@mar@ tCe permalink #
cuaciones Diferenciales Lineales5 Inter@alo =e Solucin =e un Pro.le'a =el Valor Inicial" En este artículo aprenderDs en ' pasos a resolver una Ecuación iferencial 7ineal y encontrar su ntervalo de solución el cual fDcilmente identi=cDndolo rD=camente#
E&ercicios #"$ Li.ro Dennis -" Jill 7Pro.le'a #:" Encontrar la solución para el problema del valor inicial "P9%, sujeta a: a%
7didtI&iJE,
i"+%Jio
, encontrar el intervalo % de solución# Pasos: I" resol@er5
El (ri'er (aso consiste en escri.ir la for'a estKn=ar =e la ED a
ividimos, entre el coe=ciente de didt,
didtIP"t%iJf"t% didtI&7iJE7
II"
En el se*un=o (aso encontra'os el factor inte*rante5 3
El valor de P(t) en eLP"t%dt, P"t%J&7#
e&7LdtJe&7t III" Co'o tercer (aso3 encontra'os la fa'ilia =e soluciones =el siste'a ?o'o*neo asocia=o5 El sistema Como;neo asociado es la ecuación diferencial:didtI&7iJ+# 0ustituimos en icJHeLP"t%dt, donde: P"t%J&7 encontrado en el primer paso, y desarrollamos# Para esclarecer de donde sale la fórmula icJHeNLP"t%dt, sia el siuiente enlace: oluci!n del sistema "omo#$neo asociado #
icJHeN&7Ldt JHeN&7t Solucin Es(ecQca (ara el Siste'a o'o*neo Para encontrar una solución especí=ca para el sistema Como;neo, utili>aremos los icJi+ , de modo
icJHeN&7t enemos:
i+JH"1% HJi+ Por tanto, la solución particular "especí=ca% del sistema Como;neo asociado es:
icJi+eN&7t .ra=ca de la familia de soluciones del sistema Comoeneo asociado:
icJHeN&7t y la solución particular ic1Ji+eN&7t
7a función icJHeN&7t , tiene como dominio mDs laro el intervalo:
xc:tZ& N\[t[\# Por tanto, la solución particular ic1Ji+eN&7t, tiene el mismo dominio:
xc1:tZ& N\[t[\, tambi;n# Es decir, el dominio de las funciones abarca todos los nSmeros reales# 5otar
i"t%, dentro del rano ando# El valor de HJi+ , para la solución particular del P9 7didtI&iJ+, i"+%Jio# El intervalo de de=nición de una solución, por de=nición "ver %ntervalo de de&nici!n de una soluci!n %%, necesita cumplir al menos 2 criterios para ser considerado vDlido: 1# Wue la función solución
IV" En el cuarto (aso3 encontra'os una solucin (articular a (artir =el siste'a no ?o'o*neo5 El sistema no Como;neo es: didtI&7iJE7# Para resolverla utili>amos la fórmula: ipJ1eLP"t%dtLeLP"t%dtf"t%dt, donde: eLP"t%dtJ&7 "obtenido en el punto ii#% y f"t%JE7 obtenido en el punto i# Para ver de dónde salen estas sia el enlace siuiente: soluci!n del sistema no "omo#eneo #
ipJ1e&7tLe&7t"E7%dt JE&e&7tLe&7t"&7%dt JE&e&7t_e&7t` JE& Solucin =el Pro.le'a =e Valores Iniciales 7PVI: =e la ED lineal =e !er Or=en 7a solución del problema del P9 se obtiene al encontrar una solución especí=ca
tJ+B
iJi+
Por tanto: 0i la solución eneral del 0istema no Aomo;neo es:
i"t%JHeN&7tIE& Entonces, sustituyendo los valores iniciales
i"+%Ji+ enemos:
i+JHeN&7"+%IE& i+JH"1%IE& HJi+NE&
Por lo
i"t%J"i+NE&%eN&7tIE& .rD=ca de la familia de soluciones del sistema no Como;neo:
i"t%JHeN&7tIE& y la solución particular:
i"t%J"i+NE&%eN&7tIE&
El dominio de la solución i"t%Ji+eN&t7I9&NeN&t79& estD en el intervalo:i"t%: N\[t[\ # / dicCo de forma mDs comSn, el dominio de la solución del P9: "7didtI&iJE, i"+%Jio %, es el intervalo: "N\,\%# 5otar
Por tanto3 la solucin =el Pro.le'a =el Valor Inicial5 7didtI&iJE3 i"+%Jio3 es3
i"t%Ji+eN&t7I9&NeN&t79&
Con inter@alo =e solucin5
:tZ&N\[t[\ &ecordar: 'o#aritmos exponenciales
alnxJlnxa ebido a
yJeximplica xJlny y ademDs lnyJloey recordamos u 0imulación "da clic@ aar las simulaciones de ecuaciones lineales en 0-.E, visita la siuiente pDina: Hómo simular con 0-.E# 7a intuición y la con=an>a son parte importantes en el aprendi>aje de esta materia, es por eso cas la actitud mental
Por Sltimo te recomiendo revises los productos
Cis entry ?as posted in Ecuacion diferencial ejercicios resueltos , ecuaciones diferenciales lineales , Ejercicios +esueltos ennis . -ill apitulo /.0 , pro3lema del valor inicial and taed ecuacion diferencial lineal , ecuaciones diferenciales dennis 4ill , pro3lemas de valor inicial# oo@mar@ tCe permalink #
Fact or esI nt egr ant es 0EPE4&E 18, 2+1' 4-56E7 -7E-5&/ 99-0 &9E&/7
En este artículo aprenderDs a obtener con facilidad los factores inte*rantes, para diferentes tipos de Ecuaciones iferenciales "E/s lineales 1er orden, E/s de ernoulli, E/s no exactas CecCas exactas%, utili>ando Dlebra para deducir dicCos factores, así como las leyes de derivación e interación# -demDs, podrDs comparar estos resultados con los obtenidos mediante los m;todos de ' pasos amos en este blo para ada "9er: 9ideo: eacCin eacCin 6nderstandin 6nderstandin en youtube%B por esta ra>ón compararemos los dos procedimientos utili>ados en este blo para resolver el mismo tipo de ecuaciónB es decir, utili>aremos los m;todos de ' pasos y los deducidos acD para construir un puente de conocimiento ar el conocimiento, ademDs de poder comprender mDs a fondo los temas desarrollados# 4etodoloía 6tili>ada En cada Ejercicio:
Q eterminaremos el tipo de Ecuación iferencial ados en este blo: i# Para las E lineales de primer orden 6tili>aremos la rela de derivación del producto: d"uv%JudvIvdu, junto con el actor nterante encontrado, para Callar la función solución de la E# 6na explicacion del poraremos la forma estDndar de la ecuación:
4"x,y%dxI5"x,y%dyJ+
"1%
y el CecCo de
6tili>aremos la comparación de los dos m;todos "el visto en este artículo y el de los ' pasos% en el Ejemplo 1 de los ejercicios desarrollados, para la comprensión mDs profunda de los temas#
E%ERCICIOS RESUELTOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES MEDIANTE LA OXTENCIYN DE FACTORES INTE-RANTES Ejemplo 1. Resolver la ED siguiente (ED lineal del 1er orden)
dydxIyJ2I2x Ti(o =e Ecuacin Diferencial
"2%
7a ecuación de arriba concuerda con la forma estDndar de una E lineal de primer orden, la cual es: dydxIP"x%yJf"x%
Estrate*ia =e Solucin Encontraremos el factor interante y utili>aremos la rela del producto, para interar parte de la ecuación directamene "lado i>
eLP"x%dx e modo
eLP"x%dxJeLdxJex, e modo
P"x%J1 Resol@e'os la ED 4ultiplicamos el por ambos miembros de la ecuación "1% para adecuar la E a la forma de la rela del producto:
exdydxIexyJex"2I2x% El lado i>
onde Cemos desarrollado el 2 miembro de la E# -Cora, notemos
Lddx"exy%J2LexdxI2LxexdxIH nteramos por partes: Lxexdx:
uJx
dvJexdx
duJdx
vJex
exyJ2exI2"xexQLexdx%IH exyJ2exI2xexN2exIHexyJ2xexIH yJ2xIHeNx Por lo
; =;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;= ;=;=;=;=;=;=;=; ; =;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;= ;=;=;=;=;=;=;=; Ejemplo 2. Resuelva la siguiente ED (Ecuacin de !ernoulli)
dydxNyJxy2 Ti(o =e Ecuacin =iferencial
"3%
7a ecuación de arriba concuerda con la forma estDndar de una E de ernoulli, la cual es: dydxIP"x%yJf"x%yn
Estrate*ia =e Solucin Honvertimos la E de ernoulli, en un E lineal de primer orden, mediante una sustitución de variables# 0iempre 6tili>aremos la sustitución:
uJy1Nn &esolveremos la E lineal resultante con en el Ejemplo 1, encontrando un factor interante y utili>ando la rela de derivación de un producto# Factor inte*rante7FI: Para encontrar el , necesitamos convertir primero la E de ernoulli en una E lineal "de primer orden% Para tal efecto, en nuestro caso, utili>amos la sustitución:
uJy1N2 uJyN1 a onamiento siuiente:
uJyN1, uJ1y o dicCo de otra forma: yJuN1
"'%
e "'% debemos saber
dydxJdydududxJNuN2dudx
"(%
-Cora, tenemos el valor de y y dydx y podemos sustituirlos en "3%, para Cacerla lineal, procedemos como siue:
dydxNyNuN2dudxQ 1ududxI1uuN2dudxIu2ududxIuJJJJJxy2x"1 u%2x1u2uN2xu2u2x e modo
eLP"x%dxJJeLdxex e modo
ex Resol@e'os la ED 4ultiplicamos el por ambos miembros de la ecuación "3% para adecuar la E a la forma de la rela del producto y procedemos como en el ejemplo anterior:
exdudxIexuJxex ddx"exu%Jxex exuJLxexdxIH uJx
dvJexdx
duJdx
vJex
exuJ"xexQLexdx%IH exuJxexNexIH uJxexNexIHex -Cora, una ve> despejado el valor de u, retomamos las variables oriinales# Por tanto si:
yJuN1J1u, entonces: yJexxexNexIH e modo
-Cora presentamos el mismo ejemplo pero resuelto mediante el m;todo de los ' pasos, denle clic@ al boton mostrarocultar y posteriormente denle clic@ sobre la imaen: 4ostrar/cultar
; =;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;= ;=;=;=;=;=;=;=; ; =;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;= ;=;=;=;=;=;=;=; Ejemplo 3. Resolver la ED siguiente (ED lineal del 1er orden)
xdyN2ydxJ"xN2%exdx
")%
Ti(o =e Ecuacin Diferencial nspeccionamos y determinamos
xdyN2ydxJ"xN2%exdx xdyN2ydxN"xN2%exdxJ+ xdyI"N2yN"xN2%ex%dxJ+ xdydxI"N2yN"xN2%ex%J+ xdydxN2yJ"xN2%ex Por ultimo:
dydxQ2yxJ"xN2%xex
"
%$7a cual se adecua a la forma estDndar de una E lineal de primer orden: dydxIP"x%yJf"x%
Estrate*ia =e Solucin
e nuevo, como en el ejemplo 1, encontraremos el factor interante y utili>aremos la rela del producto para interar el lado i>ando el factor interante# Hompararemos esta t;cnica con la de los ' pasos# Factor Inte*rante7FI: 5uevamente utili>amos lo visto en artículo: Hómo resolver ecuaciones diferenciales con el m;todo del factor interante, para determinar el factor interante el cual es "ver el Ejemplo 1, tambi;n%:
eLP"x%dxJJJJJeN2LdxxeN2lnxelnxN2xN21x2 onde:
P"x%JN2x, Resol@e'os la ED -l iual
"1x2%dydxQ"1x2%2yx"1x2%dydxQ "2x3%yddx"1x2y%JJJ"1x2%"xN2%exx"1x2%"xN2%exx"1x2% "xN2%exx a
yx2JLxexx3dxN2Lexx3dxIH yx2JLexx2dxN2Lexx3dxIH Para interar por partes Lexx2dx, utili>amos:
uJex duJexdx
dvJxN2dx vJN1x
Para interar por partes: Lexx3dx, utili>amos:
uJex
dvJxN3dx
duJexdx
vJN12x2
Por tanto, sustituyendo los valores anteriores en las interales correspondientes, tenemos:
yx2JNexxILexxdxN2_Qex2x2I12Lexx2dx`IH yx2JNexxILexxdxIexx2QLexx2IH yx2JNexxILexxdxIexx2Q_NexxILexxdx`IH yx2JNexxILexxdxIexx2IexxNLexxdxIH yx2Jexx2IH yJexIHx2 Por tanto, la función solución es: yJexIHx2 e nuevo, como Cabíamos dicCo, presentamos el mismo ejemplo pero resuelto mediante el m;todo de los ' pasos# Hlic@ al boton mostrarocultar: 4ostrar/cultar
; =;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;= ;=;=;=;=;=;=;=; ; =;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;= ;=;=;=;=;=;=;=; Ejemplo 4. Resolver la ED siguiente (ED lineal del 1er orden)
"ircuito #R en serie con suministro de voltaje varia$le
didtN)iJ1+0en2t Ti(o =e Ecuacin Diferencial
"8%
6tili>amos la inspección y determinamos
onde:
P"x%JN) f"x%J1+0en2t Estrate*ia =e Solucin 0euimos nuevamente la misma estrateia de solución aremos la rela del producto para interar directamente "9er Ejemplo 1%# Factor Inte*rante7FI: Homo describimos en el articulo: Hómo resolver ecuaciones diferenciales con el m;todo del factor interante, el factor interante es "ver el Ejemplo 1, tambi;n%:
eLP"x%dxJJeN)LdteN)t Resol@e'os la ED -Cora, multiplicamos el factor interante por ambos miembros de la ecuación "8% para adecuar la E a la forma de la rela del producto y procedemos como en el ejemplo anterior:
didtN)ieN)tdidtN)eN)tiddt"eN)ti%eN)tiJJJJ1+ 0en2teN)t"1+0en2t%1+eN)t0en2t1+LeN)t0en2tdtI H nterando por partes: LeN)t0en2tdt , tenemos:
uJ0en2t duJHos2t"2%dt vJN1)eN)t
dvJeN)t vJN1)LeN)t"N)%dt
" * %
Entonces:
LeN)t0en2tdtJN1)eN)t0en2tI1)LeN)tHos2t"2%dt LeN)t0en2tdtJN1)eN)t0en2tI13LeN)tHos2t dt
"1+%
e nuevo, interando por partes, aCora: LeN)tHos2tdt, tenemos:
uJHos2t duJHos2t"2%dt
dvJeN)tdt vJN1)LeN)t"N)%dt
vJN1)eN)t e modo
LeN)t0en2tdtJN1)eN)t0en2tI13_Q1)eN)tHos2tN1)LeN)t0en2t"2%dt` LeN)t0en2tdtJN1)eN)t0en2tI13_Q1)eN)tHos2tN13LeN)t0en2tdt` LeN)t0en2tdtJN1)eN)t0en2tN118eN)tHos2tN1*LeN)t0en2tdt ebido a
LeN)t0en2tdtI1*LeN)t0en2tdtJN1)eN)t0en2tN118eN)tHos2t` "1I1*%LeN)t0en2tdtJN1)eN)t0en2tN118eN)tHos2t 1+*LeN)t0en2tdtJN1)eN)t0en2tN118eN)tHos2t LeN)t0en2tdtJ*1+"N1)eN)t0en2tN118eN)tHos2t% LeN)t0en2tdtJN32+eN)t0en2tN12+eN)tHos2t 6na ve> resuelto la interal e modo
eN)tiJJJ1+LeN)t0en2tdtIH1+_N32+eN)t0en2t N12+eN)tHos2t`IHQ 32eN)t0en2tN12eN)tHos2tIH
"1 1%
Por Sltimo encontramos el valor de la corriente i"t% despejDndolo de "11% como siue:
i"t%JJJ1eN)t"Q32eN)t0en2tN12eN)tHos2tIH%Q 32eN)teN)t0en2tN12eN)teN)tHos2tIHeN)tQ 320en2tN12Hos2tIHe)t Por lo
; =;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;= ;=;=;=;=;=;=;=; ; =;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;= ;=;=;=;=;=;=;=; Ejemplo %. Resolver la &iguiente ED (Ecuacin de !ernoulli)
dydxIyJy2ex
"12%
Ti(o =e Ecuacin Diferencial 9emos, por inspección,
Estrate*ia =e Solucin Homo ya Cemos visto en el Ejemplo 2, necesitamos convertir la E de ernoulli en un E lineal de primer orden, mediante la sustitución de variables# la sustitución a utili>ar es siempre:
uJy1Nn &esolveremos la E lineal resultante con el mismo procedimiento del Ejemplo 1 "encontramos un y utili>amos la rela de derivación de un producto%# Factor Inte*rante7FI: Homo sabemos, para Callar el , necesitamos convertir primero la E de ernoulli en una E lineal "de 1er orden% 6tili>amos en este caso la sustitución:
uJy1N2 uJyN1 a
uJyN1, uJ1y# Esto es, dicCo de otra forma: yJuN1
"13%
e cuatro debemos saber
dydxJdydududxJNuN2dudx
"1'%
-Cora, tenemos el valor de y y dydx y podemos sustituirlos en "12%, para Cacerla lineal, procedemos como siue:
dydxIyNuN2dudxI1ududxQ1uuN2dudxQ u2ududxNuJJJJJy2ex"1u%2ex1u2uN2exu2exu2ex e modo
eLP"x%dxJJeNLdxeNx
e modo
eNx Resol@e'nos la ED Homo siempre, aCora, multiplicamos el factor interante por ambos miembros de la ecuación "3% para adecuar la E a la forma de la rela del producto y seuimos el procedimiento del Ejemplo 2#
ddx"eNxu%J1eNxdudxNeNxuJeNxex exuJLdxIH exuJxIH uJxIHex -Cora, una ve> despejado el valor de u, retomamos las variables oriinales# Por tanto, si:
yJuN1J1u, entonces: yJexxIH e modo
; =;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;= ;=;=;=;=;=;=;=; ; =;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;= ;=;=;=;=;=;=;=; Ejemplo '. Resolver la siguiente ED (ED no eacta eca eacta)
ydxI"xyIxN3y%dyJ+
"1(%
Ti(o =e Ecuacin nspeccionamos y notamos
4"x,y%dxI5"x,y%dyJ+ Hlaro, en nuestro caso el primer t;rmino solo depende de y, pero procedemos de la misma forma pues el seundo t;rmino si depende dex e y# Estrate*ia =e solucin 6tili>aremos la forma estDndar de la ecuación:
4"x,y%dxI5"x,y%dyJ+
"1)%
y el CecCo de
K4KyJK5Kx
"1
%$Para esto suponemos un actor nterante"% y lo multiplicamos por la E a resolver _en nuestro caso la ecuación "1(%` y utili>amos la ecuación "1$% para despejar el : # 6na ve> obtenido el , resolvemos la E exacta mediante el m;todo de ' pasos descrito en el artículo: Ecuaciones iferenciales Exactas #
Factor Inte*rante 7FI: Primero, determinamos si la E es exacta:
4"x,y%Jy
5"x,y%JxyIxN3y
K4KyJ1 K5KxJyI1
Por tanto la E no es exacta, ya
Honvirtiendo la E en exacta mediante el actor nterante "m;todo alternativo al de los ' pasos% 0uponemos amos la ecuación "1$%, para despejar "x% E0PE&-5/ W6E W6EE E5 65H]5 E x de otra forma usamos el seundo caso# 0eundo caso, iual a "y% lo multiplicamos por "1(% y utili>amos la ecuación "1$%, para despejar "y% E0PE&-5/ W6E W6EE E5 65H]5 E y# Estas condiciones las usamos debido a
"x%ydxI"x%"xyIxN3y%dyJ+ Por tanto:
4"x,y%J"x%y K4KyJ"x%
5"x,y%J"x%"xyIxN3y% K5KxJy""x%1Id"x%dxx%I"x%1Id"x%dxxNy K"x%Kx
K5KxJ 5o solo depende de
x, por lo
0eundo caso:
"y%ydxI"y%"xyIxN3y%dyJ+ Por tanto:
4"x,y%J"y%y 5"x,y%J"y%"xyIxN3y% K4KyJ"y%"1%Id"y%dyy
K5KxJ"y%yI"y%
En los dos casos K4Ky y K5Kx las derivadas parciales solo dependen de y, por lo
K4Ky"y% Iyd"y%dyyd"y%dyyd"y%dyd"y%dyd"y%dyJJJJJJK 5Kx"y%yI"y%"y%yI"y%Q"y%"y%y"y%yy"y% E interando el Sltimo resultado obtenemos el :
d"y%dyd"y%"y%ln"y%"y%JJJJ"y%dyyey Por lo
"y%Jey Resol@e'os la ED -ntes corroboramos la exactitud de la nueva E:
4"x,y%J"y%yJeyy "xyIxN3y%Jey"xyIxN3y% K4KyJeyyIey
K5KxJeyyIey
Por tanto la E es exacta, ya
5"x,y%J"y%
&esolvemos entonces la E utili>ando los ' pasos vistos en el artículo: Ecuaciones iferenciales Exactas , recordando
L4"x,y%dxI"y%JJJLeyydxI"y%yeyLdxI"y%xyeyI"y% Paso 2#
KKyL4"x,y%dxI"y%KKy"xyey%IM"y%x"yeyIey%IM "y%xyeyIxeyIM"y%M"y%M "y%JJJJJJ5"x,y%xyeyIxeyN3yeyxyeyIxeyN3yeyxyey IxeyN3yeyxyeyIxeyN3yeyNxyeyNxeyN3yey Paso 3#
"y%"y%JJJL5"x,y%dxNLKKyL4"x,y%dydxL"N3yey%dyN3 Lyeydy
uJy
dvJeydy
duJdy
vJey
Por tanto:
"y%JJN3_yeyQLeydy`N3yeyI3ey Paso '#
L4"x,y%dxI"y%xyeyN3yeyI3eyJJcc Es decir, el resultado buscado o la solución es: cJxyeyN3yeyI3ey 7a representación rD=ca de este resultado, se muestra en la iura 1#
iura 1# &epresentación rD=ca en relieve de la solución del problema ) Tsta rD=ca se puede ver en tonos de a>ul mDs oscuro las partes bajas del relieve y en tonos mDs claros las partes mDs elevadas# os vistas tridimensionales "manipulables% puede verse a continuación# Posiciona el cursor del mouse sobre la =ura y mantenlo presionado con clic@ i>
; =;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;= ;=;=;=;=;=;=;=; ; =;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;=;= ;=;=;=;=;=;=;=; Ejemplo *. Resolver la siguiente ED (ED no eacta eca eacta)
"2sNe2t%dsJ2"se2tQHos2t%dt Homo la estructura de la E es parecida a la de una E exacta "ver ejemplo anterior%, desarrollamos la ecuación para adecuarla a la forma estDndar de una E#
"2sNe2t%dsN2"se2tQHos2t%dtJ+ "2sNe2t%dsN"2se2tN2Hos2t%dtJ+ "2sNe2t%dsI"N2se2tI2Hos2t%dtJ+ "2sNe2t%dsI"2Hos2tN2se2t%dtJ+ Es decir la E a solucionar es:
"2sNe2t%dsI"2Hos2tN2se2t%dtJ+
"18%
Ti(o =e Ecuacin Homo siempre utili>amos la inspección y notamos
4"x,y%dxI5"x,y%dyJ+ Hlaro, es nuestro caso los t;rminos dependen de t y s# Estrate*ia =e Solucin 6tili>amos la forma estDndar de la ecuación:
4"x,y%dxI5"x,y%dyJ+
"1*%
y el CecCo de
K4KyJK5Kx
"2+%
Para esto suponemos un actor nterante"% mu y lo multiplicamos por la E a resolver _en nuestro caso la ecuación "18%` y utili>amos la ecuación "2+% para despejar el : # 6na ve> obtenido el , resolvemos la E exacta mediante el m;todo de ' pasos descrito en el artículo: Ecuaciones iferenciales Exactas # Factor Inte*rante Primero, determinamos si la E es exacta:
4"t,s%J2Hos2tN2se2t K4KsJN2e2t
5"t,s%J2sNe2t K5KtJN2e2t
Por tanto la E es exacta, ya
Es decir, el en este caso es iual a 1, como lo Cacemos evidente en la siuiente demostración# Procedemos a Callar , de acuerdo a lo descrito en el ejemplo anterior, en la subsección del mismo nombre ando aCora las variables t y s: Q Primer caso "t%:
"t%"2Hos2tN2se2t%dtI"t%"2sNe2t%dsJ+ Por tanto:
4"t,s%J"t%"2Hos2tN2se2t% K4KsJN2"t%e2t
5"t,s%J"t%"2sNe2t%ds K5KtJ2sd"t%dtN2"t%e2tNd"t%dte2t
K5KtJ 5o solo depende de t, por lo
"t%
Q 0eundo caso "s%:
"s%"2Hos2tN2se2t%dtI"s%"2sNe2t%dsJ+ Por tanto:
4"t,s%J"s%"2Hos2tN2se2t% 5"t,s%J"s%"2sNe2t% K4KsJ2Hos2td"s%dsI"N2"s%e2tN2se2td"s%ds%
K5KtJ2"s%I2sd"s%dsQ
d"s%dse2t
En los dos casos K4Ks y K5Kt las derivadas parciales 5/ solo dependen de t o s, por lo ar ninuno de los dos casos para encontrar el # 0in embaro, en este caso, como sabemos amos los valores de K4Ks y K5Kt del primer caso para este desarrollo aunar los valores del seundo caso# 0ustituyendo en "2+% y despejando "t%, tenemos:
K4KsN2"t%e2tN2"t%e2tN2"t%e2tN2"t%e2tI2"t%e2t"t% "N2e2tI2e2t% "2sNe2t%d"t%dtd"t%td"t%"t%ln"t%"t%"t%JJJJJJJ JJJJJK5Kt2sd"t%dtN2"t%e2tQd"t%dte2t2sd"t%dtQ d"t%dte2tN2"t%e2t"2sNe2t%d"t%dtN2"t%e2t"2sNe2t%d" t%dt"2sNe2t%d"t%dt"t%"N2e2tI2e2t% "N2e2tI2e2t%dt"2sNe2t%+dt+e+1 Resol@e'os la ED &esolvemos entonces la E utili>ando los ' pasos vistos en el artículo: Ecuaciones iferenciales Exactas , recordando
L4"t,s%dtI"s%JJJJL"2Hos2tN2se2t%dtI"s%2LHos2t"2% dtN2sLe2tI"s%220en2tQ22se2tI"s%0en2tNse2tI"s% Paso 2#
KKsL4"t,s%dtI"s%KKs"0en2tNse2t%IM"s%Ne2tIM"y%M "y%JJJJ5"t,s%2sNe2t2sNe2t2s Paso 3#
"s%"s%"s%JJJJJL5"t,s%dtNLKKsL4"t,s%dsdtL"2s%ds2L sds22s2s2 Paso '#
L4"t,s%dtI"s%0en2tNse2tIs2JJcc Es decir, el resultado buscado o la solución es: cJ0en2tNse2tIs2 Hódio en 4-AE4-H- para la solución y ra=cación del Ejemplo )# Clear+Z-lo.al/0Z1 PM+x23 21 56 7: PN+x23 21 56 7x 8 x < $ : 70Deter'inacin =el FI +Factor Inte*rante10: PMx 6 7D+PM+x3 13 1 < D+PN+x3 13 x1:9PN+x3 1 99 Si'(lif PN 6 7D+PN+x3 13 x1 < D+PM+x3 13 1:9PM+x3 1 99 Si'(lif FIx 6 Qx 66 Ex(+Inte*rate+PMx3 x11 FI 6 Q 66 Ex(+Inte*rate+PN3 11 70CONVIRTIENDO EN EACTA LA ED0: P+x23 21 56 7:0FI++#11 ;+x23 21 56 7x 8 x < $ :0FI++#11 70Resol@ien=o la ED0: xx 6 Exct 66 Si'(lif+D+P+x3 13 1 < D+;+x3 13 x11 70 Es exacta> 0: f$ 6 fx 66 Inte*rate+P+x3 13 x1 8 *+1 =f$ 6 D+f$++#113 1 66 ;+x3 1 s$ 6 Sol@e+=f$3 *,+117099Ex(an=0: sf$ 6 * 66 Inte*rate+s$++!3 !3 #113 1 s*$ 6 f 66 E@aluate +f$++#11 9" *+1 < sf$++#111 99 Ex(an= s! 6 Sol@e+s*$++#11 66 c3 c1 99 Ex(an= ContourPlot+ E@aluate+s!++!3 !3 #11 9" +x1 < G13 x3 <)3 )G3 3 <)3 )G3 Contours < #H3 PlotPoints < $H3 PlotRan*e <
ContourS?a=in* < True1 ContourPlot+ E@aluate+s!++!3 !3 #11 9" +x1 < G13 x3 <)3 )G3 3 <)3 )G3 ContourLa.els < Auto'atic1 Plot$D+E@aluate+s!++!3 !3 #11 9" +x1 < G13 x3 <)3 )G3 3 <)3 )G3 PlotRan*e <
&eali>a mDs ejercicios como este, donde encuentres el para ecuaciones lineales, de bernoulli o no exactas CecCas exactas, puedes utili>ar el códio de 4-AE4-H- a para obtener mejores resultados, mDs rDpidos y mDs fDcilmente# Para esto necesitas preparar tu mente, por eso te invito a leer el artículo 'a t$cnica perfecta para aprender ecuaciones diferenciales, da click aquí , y practicar con varios ejercicios# Puedes descarar este mismo artículo en formato P, aquí (da click aquí) 8uiero más ejemplos de las ecuaciones de 9ernoulli 8uiero más ejemplos de ecuaciones no exactas "ec"as exactas en pasos 8uiero más ejemplos de ecuaciones lineales de :er orden en pasos !mo simular circuitos el$ctricos o cualquier Ecuacion iferencial con ;E
Encontraste la información
esta pDina# Wue est;s bien#
Cis entry ?as posted in ecuacion de 3ernoulli, Ecuacion diferencial ejercicios resueltos, ecuacion diferencial lineal de primer orden , ecuacion diferencial no exacta "ec"a exacta , fatores inte#rantes and taed ecuacion de 3ernoulli , Ecuacion iferencial de primer
orden, ecuacion diferencial no exacta "ec"a exacta , factores inte#rantes# tCe permalink #
oo@mar@
Le!"# %& Cl'(!)!'!"# *e l'( eu'!o#e( *!)e+e#!'le( Bección 4: =lasificación de las ecuaciones diferenciales Bas ecuaciones diferenciales se clasifican por tipo5 orden " linealidad. 4.1 =lasificación por Cipo: i una ecuación contiene derivadas ordinarias de una o ms variables dependientes con respecto a una sola variable independiente se dice que es una ecuación diferencial ordinaria 7+D>8: +emplo:
i una ecuación con derivadas de una o ms variables dependientes de dos o ms variables independientes se llama ecuación diferencial parcial 7+D&8 +emplo:
+n estos estos eemplos se nota que eisten ms de dos variables independientes5 contrario a las ecuaciones diferenciales ordinarias que solo tiene una variable independiente. 4.2. =lasificación segEn el orden: +l orden de una ecuación diferencial 7"a sea +D> o +D&8 es el orden de la derivada ma"or en la ecuación: &or eemplo: a8 5 esta ecuación es de orden 25 no debe confundirse con el eponente 3 que esta definido para la derivada de orden 1. como para el orden se debe tener en cuenta el ma"or orden entonces el orden es 2. b8 "FFF 3"FF 3"F " A - es una ecuación de orden 3 c8 H75 "8 d *75 "8 d" A - es una ecuación diferencial de orden 15 porque !a" que tener en cuenta que "F A d"?d. 4.3. =lasificación segEn la Binealidad: e dice que una ecuación diferencial ordinaria de orden n es lineal si es lineal en "5 "F5...5 "7n8. +sto significa que una ecuación diferencial ordinaria de orden n es lineal cuando 75 "5 "F5...5 " 7n88 A - es:
+n la combinación aditiva en el lado iJquierdo de la anterior podemos afirmar que: Ba variable dependiente K"K " todas sus derivadas "F5 "FF5...5 " 7n8 son de primer grado. los coeficientes a -5 a15...5 an dependen solo de la variable . Bos eemplos de ecuaciones diferenciales lineales se tiene las siguientes: a8 "FF"F3"Ae 2 5 b8 "FFF "FF " A -5 c8 718 "FF 4"F " A cos Bos eemplos de ecuaciones no lineales tenemos: a8 71"8 "FF 2"A e 5 es una ecuación diferencial no lineal porque el coeficiente de la variable dependiente "FF tambi#n depende de ".