Ecuaciones diferenciales ordinarias exactas Una ecuación diferencial exacta es una ecuación diferencial ordinaria de primer orden que presenta la forma: donde las derivadas parciales de las funciones M y N: y son iguales. Dado que es una función diferenciable, entonces, por el teorema de Clairaut, sus derivadas cruzadas deben ser iguales. Diremos que la Ecuación Diferencial Ordinaria P(x, y) dx + Q(x, y) dy=0 donde P, donde son funciones de x y y, es exacta si, Py=Qx, donde indica la derivada parcial de P c on respecto dey y Qx, la derivada parciales de Q respeto de x.
En matemáticas, una ecuación diferencial exacta es una ecuación una ecuación diferencial ordinaria de primer orden que presenta la forma:
donde las derivadas parciales de las l as funciones M y N:
Donde
(, ) :
=M(x, y) y
= (, )
Dado que F(x,y) es una función diferenciable, entonces, por el teorema de Clair aut, sus derivadas cruzadas deben ser iguales. Esto significa que:
=
=
2
Metodo de resolución Para resolver una ecuación diferencial de este tipo, se ha de seguir los siguientes pasos:
Comprobar la exactitud de la ecuación, esto es, verificar si las derivadas parciales de M (con (con respecto a y) y de N (con (con respecto a x) son iguales.
Se integra M o N a conveniencia ( M respecto a x o N respecto a y) obteniéndose de este modo la solución general de la ecuación aunque con una función incógnita g que aparece como constante de integración. Esto es:
Para despejar la función g se deriva F(x,y)con respecto a la variable independiente de g . Se iguala la derivada parcial recién calculada de F(x,y)con M o N (si se integró M se iguala a N y viceversa.), despejando y luego integrando con respecto a la variable independiente de g ; de este modo se encontrará la función g . Finalmente se reemplaza el g encontrado en la solución general F(x,y)
Método de solución
Ejemplo Una EDO exacta sería: ( + ) + 32 = 0 En efecto, llamando P(x,y) = ( ( + ), (, ) = 3 2 se tiene que = 32 = Cabe observar que no todas la ecuaciones diferenciales ordinarias son exactas, por Ejemplo:Tomemos como ejemplo la siguiente ecuación:
Lo primero que hay que saber es si es exacta;
Lo anterior nos sirvió para determinar que nuestra ecuación es exacta y ahora solo evaluaremo la ecuación en la formula general:
Debemos resolver
CONCLUSION En resumen podemos mencionar
Las derivadas parciales de X,Y deben tener el mismo valor, solo asi serán exactas
Tenemos que tomar en cuenta la formula básica para poder resolverlas.
En caso de no ser exactas se resolverán por medio de factor integral, un tema que veremos más adelante.
