ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
1.- Introducción
ecuación n diferen diferencia ciall Una ecuación de este tipo se llama ecuació ordinaria.
dy dx y '
Derivada de la función y
y
=
2 ( x + y )
P ( x,y x,y)
y
=
y = y( x x) ?
x
2 ( x + y )
!unción incógnita
Variable
x
x
ndependiente
2.- Defnición y conceptos ener!"es 2.1 Defnición Defnición## una ecuació ecuación n difer diferenci encial al or ordin dinari aria a (EDO) (EDO) es
una ecuación que relaciona una variable independiente x , una función y
',
incógnita y
" , ......,
y
=
y
y
y ( x) (n )
sus
derivadas
, es decir, una ecuación
de la forma:
G ( x, y , y ' , y " , ......, y
Análisis Matemático Matemático II
(n )
)
=
Angélica Arnulfo Arnulfo
0
1
(!orma
impl"cita) ó
y ( n ) = F ( x, y , y ' , y " , ......, y ( n −1) ) (!orma e#pl"cita) Ejemplos: •
y ' + 3 x y = 0
•
x y " ' − 4 y '+ x d y
•
d x
+ x 2 y +
x
=
3
y = cos x
0
$a ecuación diferencial se llama ordinaria porque la función
incógnita
depende
de
una
sola
variable
independiente%
&i la función incógnita depende de dos o m's variables independientes,
la
ecuación
diferencial
contendr"a
derivadas parciales por lo que a estas ecuaciones se las llama
ecuaciones
dierenciales
en
derivadas
parciales.
Orden y $r!do de un! ecu!ción di%erenci!"
•
&e llama ORDEN de la ecuación diferencial al mayor de los órdenes de derivación que incluye%
Análisis Matemático II
Angélica Arnulfo
2
Ejemplos:
y "+ 2 y ' = x 4 x y ' ' '− 3 y
EDO de segundo orden EDO de tercer orden
= sen x
2
dy −
2. x.
dx
3
d y •
dx
= y
3
EDO de primer orden
2
d y dx dx 3
dy
+
2
=
sen( x )
EDO de tercer orden
El $RADO de una ecuación diferencial que puede escribirse en la misma forma de un polinomio, en las derivadas, es el grado de la derivada de mayor orden que incluye% 2
dy −
2. x.
dx
3
d y
dx
= y
3
EDO de segundo grado
2
d y dx dx 3
dy
+
2
=
sen( x )
EDO de primer grado
Una solución de la ecuación diferencial () en un intervalo es una función
ϕ ( x
)
I
⊆
R
que admite derivadas sucesivas asta el
orden n inclusive en I& tal que al sustituir y por
ϕ ( x
)
en la
ecuación diferencial la convierte en una identidad, es decir
ϕ ( x
)
es solución de la ecuación () ⇔
(n) G ( x , ϕ ( x ) , ϕ ' ( x), ......., ϕ ( x) )
Análisis Matemático II
=
0
∀ x ∈ I
Angélica Arnulfo
3
x
Ejemplo: la función y = e (1+ x)
diferencial y "− 2 y ' + y
es una solución de la ecuación
=0
En efecto, si derivamos dos veces la función dada tenemos: y ' = e x ( 1 + x )
y
"=
x
e
&ustituyendo
(2
y, y ′
e
+
+
y″ en
e x
x
=e x(2+ x)
)
+
e
x
=
e
x
(3+
la ecuación diferencial dada resulta
la identidad e x ( 3 + x )
− 2 e x ( 2 + x ) + e x ( 1 + x ) = e x ( 3 + x − 4 − 2 x + 1 + x ) = 0
Resolver o integrar una ecuación diferencial ordinaria es allar
todas sus soluciones% '.- Ecu!ciones di%erenci!"es ordin!ri!s de pri(er orden
&on de la forma: G ( x, y, y ' ) = 0
(!orma impl"cita)
ó (!orma e#pl"cita)
y ' = F ( x, y )
Donde
y = y ( x)
es la función incógnita%
Análisis Matemático II
Angélica Arnulfo
4
x
)
Un e*emplo sencillo de ecuación diferencial ordinaria de primer orden es
y ' = f ( x )
&i la función
f
es continua en alg+n intervalo
, se tiene que:
I
⊆
R
y
=
∫ f ( x) dx
+
C # constante real arbitraria
C
De donde resulta que la ecuación diferencial dada tiene una familia innita de soluciones% $a solución contiene una constante arbitraria que puede determinarse, si se conoce que y ( x 0 )
=
y0
%
$a condición
y ( x 0 )
=
y0
se llama condición inicial .
-oda e#presión que satisface a la ecuación diferencial, cualquiera sea el valor de la constante . se llama so"ución ener!" de la ecuación%
&e llama solución particular de la ecuación diferencial y ′ / F ( , y ) a la que se obtiene de la solución general para
un valor determinado de la constante arbitraria% Entonces dada la ecuación diferencial y 0 / F ( , y ), la solución general puede e#presarse como: g ( x , y , C ) = 0
(!orma impl"cita)
ó y
Análisis Matemático II
= ϕ ( x, C )
(!orma e#pl"cita)
Angélica Arnulfo
5
2.2.- Ecu!ciones di%erenci!"es ordin!ri!s ! )!ri!*"es sep!r!*"es.
&i una ecuación de primer orden, puede reducirse a la forma dy1d# / f(#) % g(y) o sea si se puede e#presar como un producto de dos funciones, una de #, la otra de y2 o alguna forma equivalente, se pueden separar las variables mediante simple transformación por transposición: dy 1g(y)
/
f(#) % d#
: integrando ambos miembros, resulta
la solución general dy
∫ g ( y) = ∫ f ( x).dx ⇒ H ( y) = k ( x) + C 3 (y) es la solución general de la ecuación ()%
En general, esta +ltima igualdad, dene impl"citamente a 4 y! como función de 4 ! 2 si es posible, obtendremos a 4 y! en t5rminos de 4 ", es decir y / # ( , $)% Ejemplo 1: 6esolver el siguiente problema con valor inicial
(1+ e ) y y ' = e y ( 0 ) = 1 x
Análisis Matemático II
x
Angélica Arnulfo
6
%olución& (1 + e x ) y y '
→
(1 + e x ) y
→ y
∫
→ 1 y y
2
dy
=
y dy
dy dx
e x
= e x dx
1 + e x
e x
∫ 1+ e
=
dx
x
= ln (1+ e x ) + C ,
y 2
2
= e x
=
2 ln (1+ e ) x
=±
C ∈ R
+ C , C ∈ R
2 ln ( 1 + e
x
, de donde
: &olución general en forma e#pl"cita%
) + C
7plicamos aora la condición inicial y>0 → 1 = + y (0) =1
1 = 2 ln 2
2 ln (1 + e 0 )
+ C
+ C
C = 1 − 2 ln 2
$uego la solución particular es
E+e(p"o 2.
y ' y
=
y
=
2 ln
1 2
(1 + e x )
+1
x3
&eparando variables tenemos que y
dy
= x 3
dx
y entonces ∫ y dy = ∫ x
3
dx
por lo que y
2
2
=
x
4
4
+ k
Entonces y
=±
x 4
4
+ k cos2 x. y ' = 2 y + 4
Análisis Matemático II
Angélica Arnulfo
7
E+e(p"o ',. 2
⇒ cos x.
⇒
⇒
⇒
⇒
dx
dy 2 y
+4
=
= 2y + 4 dx 2
cos x
dy
∫ 2 y + 4
= ∫
dx 2
cos x
2.dy
1
dx
= ∫ 2 ∫ 2 y + 4 cos 1 2
ln 2 y
⇒ ln 2 y
⇒ 2 y
⇒
dy
y
+
2
x
+ 4 = tan x + c 4
= 2. tan x +
2c
+ 4 = e 2. tan x + 2c
=
e
2. tan x + 2 c
+4
2
2.'.- Ecu!ciones di%erenci!"es ordin!ri!s o(one!s
Una función 8 / f(#,y) se llama o(one! de r!do /n0 si al multiplicar ambas variables por 4t9 la función queda multiplicada por t n o sea: 8 / f(t % #2 t % y) / t n % f(#,y)% -oda función del cociente y1# es omog5nea de grado cero en # ey y = f t . y = o . f y x t . x t x
f
$as funciones f(#,y) / # ; # %y 2 g(#,y) /1 (#;y) son omog5neas de grado y <
Análisis Matemático II
²
Angélica Arnulfo
8
Una
ecuación diferencial ordinaria de primer orden
y ' = F ( x, y )
es 'omogénea si y solo si
F ( x, y )
= g ( y / x ) , es
decir si es de la forma: y x
y ' = g
()
&e resuelven efectuando la sustitución y = y ( x)
entonces
z = z ( x )
z
=
y / x
(notar que como
), y la ecuación () se reduce a una
ecuación diferencial a variables separables% En efecto: z
=
y x
Entonces
y
= x. z , de donde
y ' = z + x z '
6eempla8ando en la ecuación () se tiene
z
∀x≠0 + x z ' = g ( z ) → z ' =
g ( z )
− z
→ z ' =
x
1 x
[ g ( z ) − z ]
=ue es una ecuación a variables separables, con
función
incógnita ( / ( ( )%
E+e(p"os#
) >robar que la siguiente ecuación es omog5nea y obtener su solución general:
dy dx
Análisis Matemático II
=
y
2
− x 2
2 xy
Angélica Arnulfo
9
&O$U.?@
&i dividimos el numerador y el denominador del miembro dereco de la ecuación por A, tendremos: 2
dy dx
y − 1 = x 2
y
x
&i aora acemos el cambio de variables v ) y* tenemos: v=
y
⇒ y = vx
x
2
y − 1 2 −1 dy ⇒ = v′ x + v = x =v dx
2
⇒ dv x = v ⇒
−1
2
dx
2v
dv
2
dx
⇒−
x =
−
2v
v
y
2v
x
−v = v
2
− 1 − 2v 2 2v
+1
2v
dv =
dx
x +1 2 ⇒ − ln(v + 1) = ln x + C
⇒
v2
1 (v
2
+ 1)
= K 1 x
⇒ (v 2 + 1) = ⇒ v2 =
1 K 1 x
1 K 1 x
−1
⇒ y 2 = K x − x 2 ⇒ y = ±
K x
− x 2
A)% 6esolver la ecuación diferencial
Análisis Matemático II
y ' =
x
2
+ y 2
x y
Angélica Arnulfo
%
10
x
y ' =
+ y 2
2
x y x
→
y ' =
→
y ' =
x
→
y ' =
1 y x
2
+
x y
+
y
y
2
x y
y x y
+
x
y = g x
$o que demuestra que la ecuación diferencial dada es omog5nea% Efectuamos la sustitución y ' = z
+ x
z + x z ' =
z '
1 z
z
=
y x
entonces
y
= x. z , de donde
, reempla8ando obtenemos la ecuación diferencial
+ z → x z ' =
1 z
: ecuación a variables separables%
6esolvemos esta ecuación:
x z ' =
1 z dx
→
z dz =
→
∫ z dz = ∫ x
→
x dx
1 2
2
z
→ z = ±
=
ln x ln x
2
+ C + C
, de donde la solución general de la ecuación diferencial dada es: y = ± x
ln x
2
+ C
%
Análisis Matemático II
Angélica Arnulfo
11
