ESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL DE INGENIERIA INDUSTRIAL
Sistema de Ecuaciones lineales, no lineales y optimización Integrantes:
CASANOVA CARRANZA, Carlos Harrison
Curso:
Métodos Numéricos
Profesor:
Mg. POEMAPE ROJAS, Gloria Irene
Clase: 10657
Ciclo: VI
Fecha: 07/03/2018 07/03/201 8
Escuela de Ing. de Minas
15.- Una empresa de minas tiene menas de composiciones: MIna A B C
Niquel 6 2 1
Cobre 2 4 8
Hierro 3 6 2
¿Cuántas toneladas de cada mina deben utilizarse para obtener 7 toneladas de níquel, 18 de cobre y 16 de hierro? Sea:
Mina A: x Mina B: y Mina C: z Forma Matricial:
62700 2481800 3621600
Por lo tanto:
62 24 18 1800700 3 6 2 1600
X=200 Y=100 Z=300 16.- El dueño de un bar ha comprado refrescos, cerveza y vino por importe de 500 € (sin impuestos). El valor del vino es 60 € menos que el de los refrescos y de la cerveza conjuntamente. Teniendo en cuenta que los refrescos deben pagar un impuesto del 6%, por la cerveza del 12% y por El vino del 30%, lo que hace que la factura total con impuestos sea de 92.4 €, calcular la cantidad invertida en cada tipo de bebida. Resolver usando el método de Gauss Jordan. Planteamos: Refresco: x Cerveza: Y Vino: z
SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES
500 60 612309240 [NOMBRE DEL AUTOR]
Escuela de Ing. de Minas Ejecutamos Gauss-Jordan
11 11 11 50060 ↔ → 16 121 301 9240500 6 12 309240 1 1 1 60 500624016→10 11 14 1040500 =6 →100 061 2 142440 0 0 2440 1 0 3 1 0 3 540 540 1 →00 01 42440 1040 2→00 10 41 1040220 =34 →100 010 001120160220 ∴ 120; 160 ; 220 17.- Se tiene tres lingotes compuesto del siguiente modo:
El primero de 20 g de oro, 30 g de plata y 40 g de cobre
El segundo de 30 g de oro, 40 g de plata y 50 g de cobre
El tercero de 40 g de oro, 50 g de plata y 90 g de cobre
Se pide qué peso habrá de tomarse de cada uno de los lingotes anteriores para formar un nuevo lingote de 34 g de oro, 46 g de plata y 67 g de cobre. Resolver por el método de Gauss. X: peso del 1° lingote Y: peso del 2° lingote Z: peso del 3° lingote
Para el Oro: Ley de oro en el 1° lingote: 20/90 = 2/9 Ley de oro en el 2° lingote: 30/120 = 1/4 Ley de oro en el 3° lingote: 40/180 = 2/9
29 14 29 34
SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES
[NOMBRE DEL AUTOR]
Escuela de Ing. de Minas
Para la Plata: Ley de plata en el 1° lingote: 30/90 = 1/3 Ley de plata en el 2° lingote: 40/120 = 1/3 Ley de plata en el 3° lingote: 50/180 = 5/18
Para el Cobre:
13 13 185 46
Ley de cobre en el 1° lingote: 40/90 = 4/9 Ley de cobre en el 2° lingote: 50/120 = 5/12 Ley de cobre en el 3° lingote: 90/180 = 1/2
Sea:
49 125 12 67
8981224 665828 1615182412 8 6 96 85 122482818 → 16 9/86 51 153828 16 15 182412 16 15 182412 1 9/8 1 1 9/8 1 153 153 6 →160 0.1575 118241290 16 →00 0.375 12 9036 9 1 9/8 1 1 0 0. 5 18 153 4 8 3→00 31 4/32 36120 3 →00 10 4/36 120324 4 1 0 0. 5 18 1 0 0 45 1 3 6→00 10 4/31 12054 0.5 →00 10 014854 ∴45 ∶ 48 ∶ 54 SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES
[NOMBRE DEL AUTOR]
Escuela de Ing. de Minas
18.- Un obrero ha trabajado durante 30 días para dos patrones ganando 207 000 ptas. El primero le pagaba 6 500 ptas. Diarias y el segundo 8 000 ptas ¿Cuántos días trabajo para cada patrón? Resolver por descomposición LU.
Sea: Pago por día
#Días
Pago total
1° patrón
6500
X
6500x
2° patrón
8000
Y
8000y
30
207000
Planteamos
65008000207000 30 8000 ] 65001 80001 65001 →[65000 3/13 0 207000 1 0 [1/6500 1]→ 6500 30 207000 ; 2413 65008000207000 → 0 313 2413 ∴ 313 2413 →8 ∴650080008207000 → 22
SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES
U
[NOMBRE DEL AUTOR]
Escuela de Ing. de Minas
19. Dos obreros trabajan 8 horas diarias en la misma empresa. El primero gana 500 ptas diarias menos que el segundo, pero ha trabajado durante 30 jornadas mientras que el primero solo 24. Si el primero ha ganado 33000 ptas más que el segundo. Calcula el salario diario de cada obrero. Planteamos: X: Salario diario del 1° obrero Y: Salario diario el 2° obrero
500 81011000 500 1 →18 101 11000 500 81 101 11000 500 12→10 11 7500 500 8 →10 1215000 →10 018000 7500 ∴8000 7500
En forma matricial por el método de Gauss-jordan:
20. El área de un triángulo rectángulo es 120 cm 2 y la hipotenusa mide 26 cm. ¿cuáles son las longitudes de los catetos?
¬ 2 120
¬ 26 2 → 34 2 → 14 X
Y
SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES
14 34
[NOMBRE DEL AUTOR]
Escuela de Ing. de Minas
→:
11 11 3144 11 11 3414 →11 21 3420 1 2 →10 113410 →10 012410 ∴24 ; 10
21. Los lados paralelos de un trapecio miden 15 cm y 36 cm, respectivamente, y los no paralelos 13 y 20 cm. Calcula la altura del trapecio. 15
13
20 h
x
h
15
y
→1536 → 21 → ℎ 13 → ℎ 169 → ℎ 20 → ℎ 400 169 400 231 231 → 11
SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES
[NOMBRE DEL AUTOR]
Escuela de Ing. de Minas
21 11 ó : 11 112111 11 11 2 1 2 → 10 12 0 21 11 01 → 111
∴ 21 ; 32
21 →0232 ∴21 232 →→ 16 5 400 : 16 400 12
SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES
[NOMBRE DEL AUTOR]
Escuela de Ing. de Minas
22.- Resuelva este sistema por el método de Newton:
2. 3.36978 4. 446 1 ; 2 ; 5 3.978 2.34646 4. + − − : || 2 2 21 2 2 2 1 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 || 2 2 2 242 1 ; 2 ; 5 72. 8 23. 8 92 → 29.17.1489 83.2.5567 1084 ; ||1027.85
Trabajar con
hacer dos iteraciones.
Sea las funciones:
Planteamos la fórmula de iteración de newton multivariable:
Desarrollamos la inversa del jacobiano:
Para la primera iteración:
SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES
[NOMBRE DEL AUTOR]
Escuela de Ing. de Minas
25. 9.02236 10. 4.5754110. 7523 44589 52. 20.2156992. 42241.784301 5776 0.44589; 1.85776 ; 2.74301 34. 7 2 10. 2 5 27. 4 6 10.12.463 34.2.9616 7.24.63 ||205.9 9.1.5055 0. 2.445890. 34 120.32589 2.1.7843011. 57760.7121.11.092301 6776 , 12 sin, 4 0 14 2 0 , 1 0.4 ; 3.0 + − á: || 2 cos. 2 cos. 41 2 2 2 Segunda iteración:
23.- Resolver el siguiente sistema de ecuaciones:
Usar como valores iniciales trabajar en modo radianes con la calculadora.
Aplicar newton con dos iteraciones,
Newton:
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[NOMBRE DEL AUTOR]
Escuela de Ing. de Minas Evaluando:
1.0.5344 0.0.8071→ 0.0.5041 1.0.8374 0.1.8374 0.0.0514 ; ||0.46 − 1.2.8991 0.1.0127 + − 0.0.2303 + 1.2.8991 0.1.01270.0.2033 + 0.0.4633 0.3.900.0.4630. 4 7 32.37 0.0.5722 0.0.08247 → 0.0.05242 0.0.8772 0.0.8772 0.0.50224 ; || 0.47 − 1.1.8553 0.1.0151 0.0.2665 + 1.1.8553 0.1.01510.0.2665 + 0.0.4352 0.2.0629 Luego:
Segunda iteración:
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[NOMBRE DEL AUTOR]
Escuela de Ing. de Minas
1. En los siguientes sistemas resolver aplicando el método de jacobi usando como x 0=0 (vector nulo), trabajar en ambos casos con 4 iteraciones.
33 6 2110 3 3 7 4 Se verifica que la matriz esdiagonalmente dominante 33 6 1 12101 3 3 7 4 ó: : → + −. − 3 0 0 0 0 0 0 1 1 00 60 07 ; 3 3 0 3 00 ; 00 00 02 Iterando: 1 1 0 0 0 0 3 3 1 0 1 1 1 1 + 0 6 01 104 0 6 01 33 30 20 (0 0 7) (0 0 7) 10/3 0 1/3 1/3 + 0 1/3 5/34/7 1/2 3/7 3/7 0 ++10/35/3 ⁄⁄32⁄⁄33 + 4/7 3⁄7 3⁄7 En forma matricial:
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[NOMBRE DEL AUTOR]
Escuela de Ing. de Minas
Formamos las ecuaciones: + 103 3 3 + 53 2 3 + 47 37 37 Primera iteración: 103 3 3 103 03 03 3.33 53 2 3 53 02 03 1.66 47 37 37 47 370 370 0.57 Segunda iteración: 103 3 3 103 1.366 0.357 3,69 53 2 3 53 3.233 0.357 0.18 47 37 37 47 337.33 317.66 1.57 Tercera iteración: 103 3 3 103 0.318 1.357 3,69 53 2 3 53 3,269 1.357 0.34 47 37 37 47 337,69 30.7 18 0.93
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[NOMBRE DEL AUTOR]
Escuela de Ing. de Minas
2. Aplicando jacobi usando un programa en Matlab, hasta obtener una solución con 4 cifras significativas.
10 5 5 11 6 45 108 4 11 25
function [solucion,num_iteraciones]=metodo_jacobi(A,B,punto_inicial,error) cont_iteraciones=0; s=size(A); num_ecuaciones=s(1); for k=1:num_ecuaciones B(k)=B(k)/A(k,k); A(k,:)=A(k,:)/A(k,k); A(k,k)=0; end M=-A; x_ant=punto_inicial'; x_sig=M*x_ant+B'; deltax_n=x_sig-x_ant; while norm(deltax_n,inf) > error x_sig=M*x_ant+B'; deltax_n=x_sig-x_ant; x_ant=x_sig; cont_iteraciones=cont_iteraciones+1; end solucion=x_sig; num_iteraciones=cont_iteraciones;
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[NOMBRE DEL AUTOR]
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3. Resolver usando el método de Gauss Seidel con 4 iteraciones con x 0=0.
45 2 0 4311 : 4 1 14 11 11 21 11 11 51 13 01 4 1 1 1 0 0 0 0 : ; 000 4 00 150 131 ; 11 1 011 00 1 000 + −. −. 0. 2 5 0. 0 62 0. 0 37 0. 1 16 2 + 000 0.0025 0.0.2000050 0.0.0.003836633101 0 0 0 0 0. 2 5 0. 0 62 0. 0 37 0. 1 16 000 0.0025 0.0.2000050 0.0.0.00383663311 1 011 00 1 000 ++ 0.0.4146670.0.134183 0.0.105333 0.0.101683 00 (++) 0.0.036633 0.0.133433 0.0.323366 0.0.36336 00 () SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES
[NOMBRE DEL AUTOR]
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++ 0. 4 460. 1 41 0.153 0.116 + 0.1670.383 0.033 0.083 + 0.0.03660. 1 34 0.266 0.66 330.333 0.333 0.333 0. 4460. ó1:41 0.153 0.116 0.446 0. 1 670. 3 83 0.033 0.083 0.167 0.0660.134 0.266 0.66 0.066 0.3330.333 0.333 0.333 0.333 ó : 0.153 0.116 0.542 0. 4 460. 1 41 0.033 0.083 0.348 0. 1 670. 3 83 0.266 0.66 0.037 0.0.03660. 1 34 0.333 0.333 0.107 330. 3 33 ó : 0. 4 460. 1 41 0.153 0.116 0.427 0. 1 670. 3 83 0. 0 33 0. 0 83 0. 0 26 0.0.03660. 1 34 0.266 0.66 0.123 330. 3 33 0.333 0.333 0.385 ó : 0. 4 460. 1 41 0.153 0.116 0.367 0.1670.383 0.033 0.083 0.007 0.0.03660. 1 34 0.266 0.66 0.097 330.333 0.333 0.333 0.525 SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES
[NOMBRE DEL AUTOR]
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4. Aplicar un programa en Matlab para el método de Gauss Seidel.
function [sol,niteraciones,error]=metodo_gauss_seidel(A,B,x0,cotaerror) D=diag(diag(A)); U=triu(A)-D; L=tril(A)-D; M=-inv(D+L)*U; N=inv(D+L)*B; cont=1; xant=x0; xsig=M*xant+N; while norm(xsig-xant,inf)>cotaerror cont=cont+1; xant=xsig; xsig=M*xant+N; end sol=xsig; niteraciones=cont; error=norm(xsig-xant,inf); Si lo hago por Gauss me da la siguiente matriz de resultados:
1.0000 0 0 0 0 0 543.5471 0 1.0000 0 0 0 0 469.7630 0 0 1.0000 0 0 0 392.3194 0 0 0 1.0000 0 0 399.3537 0 0 0 0 1.0000 0 314.8165 0 0 0 0 0 1.0000 410.0322
SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES
[NOMBRE DEL AUTOR]
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5. Explique cuando un sistema de ecuaciones tiene: a) NO tiene solución b) Tiene una cantidad infinita de soluciones c) Tiene solución única Un sistema es compatible si tiene una tupla solución, compatible determinado si tiene una única tupla solución, compatible indeterminados si tiene más de una tupla solución e incompatible si no tiene ninguna tupla o vector solución. Al proceso de estudiar a cuál de estos tipos pertenece un sistema dado lo llamaremos discutir el sistema. Un sistema de ecuaciones lineales se dice que es homogéneo si cada término independiente es cero. Cada sistema homogéneo admite la solución (llamada trivial) (x1,...,xn) = (0,..., 0) y por tanto es siempre compatible. Será compatible determinado o indeterminado dependiendo de que admita o no otras soluciones. Definición 4. Dos sistemas de ecuaciones lineales se dicen que son equivalentes si admiten el mismo conjunto de tuplas solución. El método de solución de un sistema de ecuaciones será siempre pasar a otro sistema que sea equivalente y más fácil de resolver. Si esto se hace sucesivamente, al final se puede llegar a un sistema que sea inmediato resolver. O bien sea claramente incompatible. Definición 5. Un sistema de ecuaciones lineales se dice que es escalonado reducido si cada incógnita que es la primera de una ecuación no aparece en las restantes ecuaciones. Estas incógnitas se llaman principales. A las restantes incógnitas, si existen, se les llama libres o secundarias. El siguiente resultado es fácil de demostrar. Lema 1. Si en un sistema de ecuaciones se intercambian dos ecuaciones, se multiplica una ecuación por un elemento, no nulo, del cuerpo o se suma a una ecuación otra multiplicada por un elemento del cuerpo, se obtiene un sistema de ecuaciones equivalente. Aplicando los 3 tipos de transformaciones del lema anterior se puede llegar a un sistema equivalente escalonado reducido. Una forma ordenada de hacerlo da lugar
∈
al algoritmo conocido con el nombre de Gauss-Jordan. Si el sistema escalonado reducido al que se llega contiene alguna igualdad del tipo 0 = b, con b
K un escalar distinto de
cero, cláramente es contradictorio y no admite ninguna tupla solución (sistema incompatible). En caso contrario, el sistema es compatible. Cuando, además, existan incógnitas libres, existirán muchas tuplas solución y el sistema se llama compatible indeterminado.
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6. Indique para que valor de k el sistema tendrá una única solución, infinitas soluciones o no tendrá solución.
2 21 4 1 : 2 11 21 1 ↔ → 1 11 24 11 1 1 4 1 2 1 1 1 1 4 1 ↔ → 42 1 2 →00 1 1 29 2 10 11 4 1 1 1 4 1 1→ 29 2 0 1 29 2 0 1 42 1 0 1 42 1 5 1 1 →100 001 29 2 77 21 : 770 ∧ 210 ∴ 72 ± √ 221 ∧ 1 á : ≠172 ± √ 221 á ú ó : ≠ 72 ± √ 221 ú á SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES
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7. Resuelva el siguiente sistema usando el método de Gauss.
234 2349 42537 5521 12 21 33 41 94 2 ∶ 4 →10 23 33 61 174 45 25 51 23 71 5 00 1015 147 17 2319 10153 →100 230 1733 2161 79.174 6 2917 → 3 0 0 29 37 104 10 23 33 61 174 00 00 170 1.2118 79.31.786 : 1.1831.78 → 26.93 172179.6 → 37.95 33617 → 21.58 234 → 39.76
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8. Resuelva aplicando el método de Gauss con pivoteo parcial.
4 3 184 4 5 1226 1 4 21 11 31 184 ↔ → 41 21 11 13 184 . 11 14 15 11 2612 11 14 15 11 2612 4 40 2.125 1.125 2.175 0.185 4 →00 0.3.7755 0.4.7755 1.1.2255 21.7.55 ↔ → { 4 . 2.25 40 3.175 0.175 1.125 7.185 3.0.7755 → 40 3.175 0.175 1.125 7.185 00 2.0.2755 1.4.2755 2.1.7255 21.0.55 { 3.75 00 00 0.4.86 21 204 4 1 1 1 18 ↔ →000 3.0075 0.4.0.6875 1.1225 207.45 0.4.68 4 1 1 1 18 →000 3.0075 0.4.0675 1.1.18235 207.7.458 : 1.3.8737. 4 8 → 4. 0 9 ∧ 4. 6 20 → 5. 2 4 50.751.257.5 → 2.31 418 → 1.59 SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES
[NOMBRE DEL AUTOR]
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9. Resuelva usando el método de Gauss Jordan (sin intercambiar filas)
4 4 12 4 3 66 53 1 0 2 5 4 6 6 2 4 6 4 11 1:2 1 0.25 0.25 0.25 0.5 111 114 151 113 101 14 →111 114 151 113 101 →100 0.0.3.277555 0.0.4.727555 1.0.1.222555 0.0.0.555 3.175 → 0 1.25 1.25 2.75 1.5 10 0.125 0.0.225 0.0.2353 0.0.153 0.0.7255 → 00 0.1.7255 4.1.7255 1.2.2755 0.1.55 1.25 10 01 0.0.22 0.0.3333 0.0.4173 1 →10 01 0.0.22 0.0.3333 0.0.4173 00 00 4.19 2.134 0.1.3549 4.9 00 00 11 2.0.324 0.1.3142 0.0.22 →100 010 001 0.0.0.32279 0.0.0.411952 2.114 →100 010 001 0.0.0.32279 0.0.0.411952 1 0 0 0 2.14 1.46 0 0 0 1 0. 6 8 0.0.2397 →100 010 001 000 0.0.0.072546 0.2 0 0 0 1 0.68 ∴ 0.74 ; 0.05 ; 0.26 ; 0.68 SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES
[NOMBRE DEL AUTOR]
Escuela de Ing. de Minas
10. Resolver por descomposición LU (Doolitle)
.2 6 1 1 0 0 38 11 27 1 10 00 0 23 16 17 8 1 2 26 1. 5 4 10 2.3 1 5.5 18.65 1 0 0 2 6 1 1.45 2.13 01 00 100 18.5.565 . 1 0 0 38 2 6 .1 28 1.45 2.13 013420 00 100 18.5.565122.23 1 2 6 38 28 1. 5 4 2.3 3420 1018. 5.655 122.23 1 38 6.5469 23 1.3008 122.1 11.8242 SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES
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11.
.8 4 1 1 0 0 22 15 16 1 10 00 0 82 54 11 2 1 6 84 0.4 25 0.025 1 0.75 6.25 1 0 0 8 4 1 0.0.2255 10 01 00 40 0.6.7255 . 1 0 0 11 . 8 4 1 11 0.0.2255 10 01 47 00 40 0.6.72556.4.7255 8 4 11 11 0.0.2255 47 46.0.2575 6.4.7255 116.75 0.1.6586 4.25 0.68 SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES
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