Capítulo 7 ANUALIDADES 7.1.
Conceptos Una anualidad es anualidad es un conjunto de pagos iguales que se repiten en un espacio de tiempo también igual a!o trimestre trimestre mes para lo cual se "ja "ja una tasa e#ecti$a del período igual. igual. Los factores nancieros. %&rmul mulas de capitali'aci&n ( actuali'aci&n de capital )nico o de una serie de dep&sitos o rentas de igual cuantía llamadas anualidades
7. 2. Problemas resueltos. Anualidad *+ E#ectué las seis trans#ormaciones "nancieras equi$alentes entre stoc,s ( -ujos de e#ecti$o dado un capi capita tall inici nicial al de ./// ./// um+ um+ una una 0NA 0NA de 123 123 con con capitali'aci&n mensual ( . rentas uni#ormes trimestrales $encidas+ Solución: 4 5 ./// um+ 0NA 5 /+12 0N6 0N6 5 /+12 *8 5 /+/1 0E0 5 9*:/+/1; 1 < * 5 /+/2*=2/= n 5 . trimestral %SC 5 9*:/+/=8787; . %SA 5 * 9*:/+/=8787;.
5 5
*+1./2>=>*> /+2>*?2*=.
S = !!!"1# !.!$2727% = 77&$.&' 77&$.&' INICIAL A S0@C %INAL P = 77&$.' 77&$.'"1# !.!$2727% = !!! !!! %INAL A S0@C INICIAL
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A %INAL A INICIAL S0@C S0@C
S = ( ""1#i%n )1% * i% EN0AS IUALES A S0@C %INAL
%LUB@ DE
( = P +i"1#i%n *"1#i%n ) 1 , 5 S0@C INICIAL A %LUB@ DE EN0AS IUALES 8+ Con una 0E6 de 13 ( 8> cuotas cuotas mensua mensuales les uni#or uni#ormes mes $enc $encid idas as calc calcul ule e los los $alo $alorres de los los seis seis #act #actor ores es "nancieros+ Solución -/ = !.!0
n = 2' meses
AC-(
3(/ULAS
C4LCULS
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" 1 # i% n
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!.!0, = 0'.'2 + i * "1# i % ) +!.!0 +!.!0 *"1.!0 *"1.!0%%2' ) 1, 1,= !.!2$!'7'2 n n + i"1# i % * "1# i % +!.!0"1.!0%2' * n
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2.!027$'11 1*"1#!.!0%2' !.'$1$007' +"1.!0%2' ) 1
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!.!$!'7'2 1 * +"1.!0%2')1 *"!.!0% "1#!.!0%2', = 16.$0'21
8
1+ Con Con una una 0E6 0E6 de a 13 ( ? cuot cuotas as trimes trimestr tral ales es uni# uni#or ormes mes $encidas calcule los $alores de los seis #actores "nancieros+ Solución 0E6 5 /+/1
n 5 ? trimestres
0E0 5 9*+/1;1
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* 5 /+/=8787
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5 9 * :/+/=8787 :/+/=8787;; ? 5 2.!02 n = 1 *"1#i % 5 * 9*:/+/=8787; 9*:/+/=8787;? 5 !.'$212$& n = +"1#i% ) 1 * 5 9 * :/+/=8787; ? < i , * /+/? F 5 11.10&! +i* " 1#i%n ) 1 , 5 9 * :/+/=8787; ? < * /+/? F 5 !.!&$7&266 n n +i"1#i% *"1#i% ) 1 5 /+/=878879* :/+/=8787;? 9*:/+/=8787;? < * F 5!.1&2! n =+"1#i% ) 1 * 5 9 * :/+/=8787; ? < i"1#i%n , * /+/?9*:/+=8787;? F 5 .'7$
/onto de una anualidad simple encida >+ Una persona persona deposita deposita en una cuenta cuenta de aGorr aGorros os al "nal "nal de cada cada trim trimes estr tre e un impo import rte e cons consta tant nte e de 8/// 8/// um+ um+ Hué Hué monto se GabrJ acumulado en el pla'o de dos a!os si percibe una 0NA de 8>3 capitali'able trimestralmenteK Soluci&n 5 8/// um+ Mencida Mencida trimestral 0NA 5 /+8> 0N0 5 /+8>> 5 /+/2 n 5 8 a!os 5 ? trimestres % 5 HK Aplicando la fórmula: S 5 *:iFn < * i F 1
0enemos S 5 8///9*:/+/2F? < * /+/2F S = 1$7$'.$' .+ Hué monto puede acumularse acumularse durante durante 1 a!os consecuti$o consecuti$oss si se depositan */// um cada "n de mes ( se percibe una 0NA de 8>3 con capitali'aci&n mensual+ Solución: l alor futuro es = 8 = S = / 5 */// um+ $encida mensual 0NA 5 /+8> 0N6 5 /+8>*8 5 /+/8 n 5 1 a!os 5 12 meses S 5 HK Aplicando la #&rmula S = ( +1#i, n )1* i , 0enemos S 5 *///9*:/+/8F 12 < * /+/8F S = 1$$'.07 2+ HCuJl serJ serJ el importe capitali'ad capitali'ado o al "nal del seto mes al e#ectuar dep&sitos de */// um al "nal de cada 1/ días en una instituci&n bancaria que paga una 0NA de 123 con capitali'aci&n trimestralK Solución: 5 */// um+ Mencida mensual 0rimestral 5 1/// 0NA 5 /+12 0N0 5 /+12> 5 /+/= /+/= 0N6 5/+/= 5 9*:0N6; 9*:0N6;1 <* 5 /+/8=*>8>7 n 5 2 meses 5 8 trimestres+ S5 HK Aplicando la fórmula: S 5 9*:i; n < * i F 0enemos S 5 *///9*:/+/8=*>8>7F 2 < * /+/8=*>8>7F S = 1!!!96.''' S = 6''.!
>
7+ Hué monto monto se GabrJ GabrJ acumulado acumulado en una una cuenta cuenta de aGorros aGorros si a "n de mes ( durante ? meses se deposit& ?// um+ En un banco que paga una 0EA de *83K Solución 5 ?// um+ $encida mensual 0EA 5 /+*8 0EA 5 9*:0NA*8; *8 < * 0N65 /+//=>??7= n 5 ? meses % 5 HK Aplicando la fórmula: S = ( +1#i, n )1 * i , 8alor fututo de una anualidad encida 0enemos S 5 ?//9*:/+//=>??7=F? < * /+//=>??7=F S = 6616.60 8alor 8alor presente de una anualidad simple encida ?+ En el proceso de adquisic sici&n de una maquinari aria se recibieron las siguientes propuestas a+ Al contado contado por por *////+ b+ A crédito con una cuota inicial de >/// um+ ( seis cuotas mensuales de **// um+ Hué Hué opci opci&n &n acep acepta tarí ría a si el cost costo o del del dine dinerro es >3 e#ecti$o mensual ( no tiene restricciones de capitalK Solución eali'amos la comparaci&n en el momento / calculamos el Malor Actual 4 para cada opci&n @pci&n A 4 5 *//// @pci&n O Aplicando la #&rmula del $alor presente de una anualidad $encida+ 4 5 9*:i; n < * i 9*:i;n F 4 5 >/// : M4AM 9/+/> 2; 4 5 >/// : **//9*:/+/>; 2 < * /+/>9*:/+/>;2F 4 5 >/// : **//P.+8>8**1 4 5 >/// : .722+1. .
P = $776.0 Conclusión Coniene al cr;dito
Solución: 5 8./ trimestral 0NA 5 /+12 0N0 5 /+12> 5 /+/= n 5 /. a!os 5 .P> 5 8/ trimestres+ 4 5 P%AS Importe de las ? cuotas restantes Saldo por pagar 5 8./: 8./P9*:/+/= 8./P9*:/+/=;? ;? 9*:/+/=;? agregamos la cuota *8 de 8./ 5 8./ : *1?1+7/>7? = 1600.7!
< * /+/=
*/+ */+ Una Una mJqu mJquin ina a se $en $ende de con con una una cuo cuota ta ini inici cial al de de 8/// 8/// um um ( *8 cuotas de 1// um cada una a pagarse cada 1/ días+ Calcule su respecti$o $alor presente equi$alente con una 0E0 de =3+ Solución: Calculemos primero la ->/ 0E0 5 /+/= 9*:0N6;1 < * 5 /+/= ->/ = 0*1.!$
) 1 = !.!2$1'2'7
Malor presente presente 4 5 8/// : 1//9*:/+/8=*>8>7; *8 9*:/+/8=*>8>7;*8F 2
<*
/+/8=*>8>7
4 5 8/// : 1//*+.>.1 P = !!1. **+ Calcul Calcule e el $alor $alor presen presente te de una anuali anualidad dad compues compuesta ta de 8/ rentas uni#ormes $encidas de 8/// um cada una con una 0E6 de >3+ La primera renta se pagara dentro de tres meses ( las siguientes en periodos de 1 meses cada una+ Solución 5 8/// n 5 8/ trimestres 0E65 /+/> 0E0 5 9*:/+/>;1 < * 0E0 5 /+*8>?2> Aplicando la #&rmula del $alor presente de una anualidad $encida+ P = ( +"1#i% n
) 1 * i "1#i% n ,
P = 20009*:/+*8>?2>; 8/
< *
/+*8 /+*8>? >?2> 2>
9*:/+*8>?2>;8/F 4 58///P7+8>7> P = 1''$'.&! *8+ *8+ La empr empresa esa Al#a l#a alqu alquil ila a un loc local come comerrcial duran urante te . a!os por una merced conducti$a de 1/// um+ por trimestre $encid $encido+ o+ Al#a Al#a recib recibe e como como alter alternat nati$a i$a del arrenda arrendatari tario o la propuesta de e#ectuar un )nico pago de *7/// um al inicio del contrato por cinco a!os+ Dado que Al#a puede in$ertir el importe de los alquileres que perc percib ibir irJ J a una una 0E6 0E6 de .3 .3 Hle Hle con$ con$ie iene ne la alte altern rnat ati$ i$a a propuestaK Solución eali'amos eali'amos la comparaci&n comparaci&n en el momento / calculamos calculamos el Malor Actual 4 para cada opci&n @pci&n A 4ago con cuotas $encidas trimestrales de 1/// um Aplicando la #&rmula del $alor presente de una anualidad $encida+ 5 1/// 0E6 5 /+/. n 5 . a!os n 5 8/ trimestres+ 0E0 5 9*:/+/.;1 <* 0E0 5 /+*.728. 7
P = ( +"1#i% n ) 1 * i "1#i% n , 4 5 3000[(1+0.157625)20
- 1
/ 0.15 0.1576 7625 25
(1+0.157625)20 ]
4 5 *?/*1+2/ @pci&n O Al inicio del contrato al contado P = 17!!! Conclusión >o le coniene por/// um dentr dentro o de 1/ 2/ ( =/ días respecti$amente+ HCuJl es la mejor alternati$a para un cliente cu(o costo de oportunidad es una de 0E6 83 Solución Comparamos Comparamos todas las opciones opciones con su alor alor actual actual neto en el momento cero a; MANa ANa 5 *7./ *7.// / b; MANb 5 *//// *//// : 77// 77// 9*+/8 9*+/8;;8 5 *7>/* c; MANc 5 ?/// ?/// : 2/// 2/// 9*+/ 9*+/8; 8; : 12?/ 12?/ 9*+/ 9*+/8; 8;8 5 *7>*=+>. d; MANd ANd 5 2/// 2/// : >/// >/// 9*+/ 9*+/8; 8; : >/// >///9 9*+/ *+/8; 8;8 : >/// 9*+/8;1 5 *7.1.+.1
La meBor resulta la alternatia b de menor costo 17'!1
?
(enta Uniforme en función de S *>+ Calcule el importe de la renta constante que colocada al "nal de cada trimestre durante > a!os permite constituir un monto de 8//// um+ La 0NA aplicable es de 123 con capitali'aci&n mensual+ Solución: S 5 8//// n 5 > a!os >Q> 5 *2 trimestres 0E0 5 9*: /+/1;1 < * 5 /+/=8787 5e la fórmula S = ( +"1#i%n
) 1 * i, despeBamos
(: ( = S * + "1#i% "1#i%n
)
1
* i , = S+i* S+i* " 1#i% 1#i% n
)1,=
S95A 5 8/////+/=8787 9*+/=8787;*2
<* F
5 8////9/+8=2/1=>; ( = $2.!& *.+ *.+ La empr empres esa a 4rod 4roduc ucto toss Indu Indust stri rial ales es S+A S+A+ plan planea ea adqu adquir irir ir dentro de seis meses un equipo de computaci&n interconectado para toda su empresa a un precio de *//// um+ Con este objeti$o la gerencia "nanciera puede colocar sus ecedentes mensuales de caja 9estimados en 1/// um; en una instituci&n "nanciera que paga una 0E6 de 83+ Hué impor mportte const onstan ante te al "n de mes mes debe deberJ rJ aGor aGorra rarr para ara acumular los R*//// al "nal del seto mesK Solución: % 5 *//// n 5 2 meses 0E6 5 /+/8 De la #&rmula % 5 9*:i;n
< * iF despejamos
5 S 9*:i;n < * iF 5 S P i 9 *:i;n 5 */////+/8 9*+/8;2 <*F 5 *////9/+*.?.8.?*; ( = 1&.26
=
< * F 5 %P%D%A
*2+ *2+ Se plan planea ea rem rempl pla' a'ar ar una una mJqui mJquina na dent dentrro de > meses meses cu(o cu(o preci precio o se estima estima que en dicGa #ecGa #ecGa serJ ./// ./// um+ Hué importe constante a "n de mes deberJ depositarse durante ese pla'o en un banco que paga una 0E6 de .3 a "n de comprar dicGa maquina con los aGorros capitali'adosK Solución: S 5 ./// n 5 > meses 0E6 5 /+/. De la #&rmula S 5 9*:i;n 5 S 9*:i; 9*:i;n
<
*
< * iF despejamos i F 5 S Pi Pi 9 *:i; *:i; n
<*F5
SP%D%A 5 .////+/. 9*+/.;> 5 .///9/+818/**?1; ( = 116!.!6
<*F
*7+ *7+ Un présta éstamo mo de ./// ./// um se cont contra ratta en el Oan Oanco co del del @riente para de$ol$er el principal dentro de un a!o ( pagar trimestralmente solo los intereses con una 0E0 de ?3+ El presta prestatar tario io para para cancel cancelar ar el princi principal pal a su $encimi $encimient ento o desea desea acum acumul ular ar un #ond #ondo o ( para para ello ello e#ec e#ect) t)a a dep& dep&si sito toss constantes trimestrales en el Oanco del Sur con una 0E6 de 83 Calcule la cuota trimestral total que le permita acumular el #ondo ( pagar los intereses trimestrales Solución: S 5 ./// 0E0 5 9*: /+/8;1 < * 5 /+/2*8/? n 5 > trimestres De la #&rmula % 5 9*:i;n < * i F despejamos 5 S 9*:i;n
<
* i F 5 SPi 9 *:i;n < * F 5 SP%D%A
5 .////+/2*8/? 9*+/2*8/?;>
<*F
5 .///9/+88?*?8*=; 5 **>/+=* Los intereses trimestrales son .///P/+/? 5 >// total 5**>/+=* : >// (total = 1'!.$1 */
(enta uniforme en función de P *?+ Un préstamo de ./// um debe amorti'arse en el pla'o de un a!o con cuotas uni#ormes mensuales con una 0NA de 123 capitali'able mensualmente+ Calcule el importe de esa cuota constante+ Solución 4 5 ./// um n 5 *8 meses 0NA 5 /+12 0N6 5 /+12*8 5 /+/1 De la #&rmula de 4 5 9*:i;n < * Despejamos ( = P + i"1# i % n * "1# i %n ) 1, ( = P9(C "i n% Aplicando la #ormula anterior 5 .///P/+/1P9*:/+/1;*8 9*:/+/1; *8 5 .///P/+*//>28/= ( = !2.01
i P9*:i;n
<
* F
*=+ *=+ La empr empres esa a Delro Delro( ( S+A S+A+ $end $ende e sus mJqu mJquin inas as al cont contad ado o en *//// um pero debido a que consigue un "nanciamiento del eterior estJ planeando e#ectuar $entas a crédito con una cuota inicial de ./// um ( seis cuotas uni#ormes con $encimiento a 1/ días cada una+ Si la 0EA por cargar al "nanciamiento es 8.3 calcule el importe de las cuotas del programa de $entas a pla'o+ Solución 4 contado 5 *//// um Inicial 5 ./// um Saldo 5 *//// T ./// 5 ./// n 5 2 meses 0EA 5 /+8. 0N6 9*:0N6; *8 < * 5 /+8. 0N6 5 *8*+8. De la #&rmula de
<
*
5 /+/*?72=87
P = ( +"1#i%n
Despejamos ( = P +i "1# i %n * "1# i %n ) ( = P9(C "i n% Aplicando la formula anterior: **
)
1 1,
* i 9"1#i% n
5 ./// .///P P/+/ /+/*?7 *?72= 2=87 87P9 P9*: *:/+/ /+/*?7 *?72= 2=87 87;;2 9*:/+/*?72=87;2 < * F 5 .///P/+*777?./1 ( = &&&.$0
8/+ Se compr& un autom&$il cu(o precio de contado #ue *8/// um se pago una cuota inicial de 8/// um ( el saldo amorti'able en el pla'o de > meses es con cuotas mensuales iguales+ HCuJl es el importe de la cuota uni#orme si el costo del "nanciamiento es 83 e#ecti$o mensualK Solución 4 contado 5 *8/// um Inicial 5 8/// um Saldo 5 *8/// T 8/// 5 *//// n 5 > meses 0E6 5 /+/8 De la #&rmula de 4 5 9*:i;n < * Despejamos 5 4 i9*: i ; n 9*: i ;n < *F 5 4P%C 9i n; Aplicando la #ormula anterior 5 *////P/+/8P9*:/+/8;> 9*://8;> 5 *////P/+8282817. ( = 2626.2'
i P9*:i;n
<
* F
8*+ 4repa epare una altern ernati ati$a de "nanciami amient ento para una mJquina que se $ende al contado a un precio de >/// um+ A crédito se otorgarJ con una cuota inicial equi$alente a 8.3 del precio de contado ( seis cuotas uni#ormes pagaderas cada 1/ días+ Se cargara una 0E6 de .3 sobre el saldo deudor+ Solución 4 contado 5 >/// um Inicial 5 /+8.P>/// um 5 */// Saldo 5 >/// T */// 5 1/// n 5 2 meses 0E6 5 /+/. De la #&rmula de 4 5 9*:i;n < Despejamos 5 4 i9*: i ; n 9*: i ;n < *F *8
*
i P9*:i;n
5 4P%C 9i n; Aplicando la #ormula anterior 5 1///P/+/.P9*:/+/.;2 9*:/+/.;2 5 1///P/+*=7/*=>7 ( = $1.!
<
* F
88+ En la adq adquisici&n de una una mJq mJquina un una emp empresa esa recibe las siguientes propuestas 4ropuestas
A
O
Mida )til 9a!os;
*/
*8
4recio ecio de cont contad ado o .///
.?//
um HCuJ HCuJll es la prop propue uest sta a mJs mJs con$ con$eni enient ente e dado dado un cost costo o de oportunidad de *.3 e#ecti$o anualK Solución 4ropuesta A Calculamos el costo anual equi$alente para cada una de las alternati$as+ Dados 45 ./// n5 */ 0EA 5 /+*. Entonces calculamos 5 4 i9*: i ;n 9*: i ;n < *F 5 4P%C 9i n; Aplicando la #ormula anterior 5 .///P/+*.P9*:/+*.;*/ 9*:/+*.;*/ < * F 5 .///P/+*==8.8/2 5 ==2+82 4ropuesta O Calculamos el costo anual equi$alente Dados 45 .?// n5 *8 0EA 5 /*. 5 4 i9*: i ;n 9*: i ;n < *F 5 4P%C 9i n; Aplicando la #ormula anterior *1
5 .?//P/+*.P9*:/+*.;*8 9*:/+*.;*8 < * F 5 .?//P/+*?>>?/*? 5 */2=+== Conclusión Al calcular el alor de ( emos calculado el costo e
81+ 81+ Una emp emprresa esa sol solicita cita a una una ent entiidad dad "nan "nanci cier era a un préstamo de 8//// um para ser reembolsado en 8 a!os con cuotas uni#ormes cada =/ días con una 0E6 de 83+ Durante el primer a!o las cuotas deben ser equi$alentes a >/3 del préstamo ( durante el segundo a!o a!o debe deben n ser ser equi equi$a $ale lent ntes es a 2/3 2/3 del del prés présta tamo mo++ Calcule el importe de las cuotas durante el primer ( segundo a!o+ Solución: 4 5 8//// n 5 8 a!os 5 ? trimestres+ 0E6 5 /+/8 0E0 5 9*+/8;1 < * 5 /+/2*8//? 4* 5 /+>/P8//// 5 ?/// P2 = !.6!92!!!! = 12!!! Aplicando la #&rmula #&rmula de con $alor presente para el primer a!o 5 5 4 i9*: i ;n 9*: i ;n < *F 5 4P%C 9i n; 5 ?///P/+/2*8//?P9*:/+/2*8//?;> 9*:/+/2*8//?;> < * F 5 ?///P/+8?=1?.>1 5 81*.+/? Apli Aplica cand ndo o la #&rmu #&rmula la de con $alor $alor prese present nte e para para el segundo a!o 5 5 4 i9*: i ;n 9*: i ;n < *F 5 4P%C 9i n; 5 *8///P/+/2*8/ *8///P/+/2*8//?P9*:/ /?P9*:/+/2*8//? +/2*8//?;;> 9*:/+/2*8//?; 9*:/+/2*8//?;> < * F P 9*+/2*8//?;> Capitali'Jndolas los > primeros trimestres que no pag& 5 *8///P/+8?=1?.>1P*+82?8/71? *>
( = ''!'.!!& 8>+ Una deuda de *//// um se pact& para de$ol$erse de$ol$erse en > pagos bimestrales proporcionales a 8 > 2 ( ?+ Calcule el importe de cada pago con una 0NA de 123 capitali'able mensualmente+ Solución: 0NA 5 /+12 4agos Q8 Q> Q2 Q ? 0NA 5 /+12 0N6 5 /+12*8 5 /+/1 0EO 5 9*:/+/1; 8 < * 0EO 5 /+/2/= Malor actual de *//// um+ *//// 5 Q8P*9*:/+/2/=; : Q>P*9*:/+/2/=;8 : Q2P* 9*:/+/2/=;1 : Q?P*9*:/+/2/=;> */// *//// / 5 /+=> /+=>8. 8.=. =.=* =*9Q 9Q8; : /+?? /+???> ?>?7 ?7/. /.99Q>; Q>; : /+?17>?>82 9Q2; : /+7?=>/=819Q?; 6ultiplicando por ? ?//// 5 7+.>/72787 7+.>/72787Q Q : 7+*/7?=21?Q 7+*/7?=21?Q :2+2==?7> :2+2==?7>/2Q /2Q : 2+1*.871?7Q ?//// 5 87+221?**2Q Q 5 8?=*+?2>2= E*2 = 1''.$0 E*' = 722.$7 E*6 = '&1.$& E*& = 061.'& Calculo de n en una anualidad encida 8.+ HEn cuJnto tiempo tiempo podrJ acumulares acumulares un monto de 8/// si se e#ect)an dep&sitos de *./ um cada "n de quincena en un banco que paga aga una 0NA de 8>3 anu anual con capitali'aci&n mensualK Solución Calculo de n en una anualidad encida cuando se conoce S i n S 5 8/// 5 *./ 0E6 5 /+8> 0N6 5 /+8>*8 5 /+/8 *.
Como los depósitos son F / de !.!2
< * 5 /+//==./>=
n = Lo +Si *( # 1, * Lo "1# i% n = Lo +2!!!9!.! +2!!!9!.!!$$ !$$!'$* !'$* 1! " 1#!.!!$$!'$% n 5 Log /+*182718.F log *+//==./>= n 5 /+/.>*/>2> /+//>1///? 12.&
*2
# 1 , * Lo
bser bsere e
# 1, * Lo "1#!.!0%
n 5 Log *+8>F log *+//==./>= n 5 /+/=1>8*2= /+/*8?1788 n = 7.2& meses 87+ HEn cuJntas cuJntas cuotas cuotas de *.72*> *.72*> um pagader pagaderas as cada cada "n de mes podrJ amorti'arse un préstamo de ?/// umK La entidad "nanciera cobra una 0E6 de .3+ Solución Calculo de n en una anualidad $encida cuando se conoce 4 i n 4 5 ?/// 5 *.72+*> 0E6 5 /+/. n 5 HK Aplicando la #&rmula de n n 5 < Log Log * < 4i F Log 9*: i; n 5 < Log * T ?///P/+/. *.72+*> F Log 9 *:/+/.; n 5 < Log /+7>28*.>> /+7>28*.>> log *+/. n 5 < 9< .+=====??7; n = 6 meses. *7
8?+ HCuJnt HCuJntas as cuotas cuotas mensuale mensualess $encida $encidass de *2./ *2./ um son necesarias para cancelar un préstamo de ?.// umK La deuda se contrajo en un banco que cobra una 0NA de 8>3 anual con capitali'aci&n trimestral+ Solución Calculo de n en una anualidad $encida cuando se conoce 4 i n 4 5 ?.// 5 *2./ 0NA 5 /+8> 0N0 5 /+8>> 5 /+/2 0EA 5 9*:0NA>;> < * 0EA 5 9*:/+/2;> < * 5 /+828>72=2
0E65 *8*+828>72=2
<*
0E6 5 /+/*=2*8?8 n 5 HK Aplicando la #&rmula de n n 5 < Log Log * < 4i F Log 9*: i; n 5 < Log * T ?.//P/+/*=2*8?8 *2./ F Log 9 *:/+/*=2*8?8; n 5 < Log /+?=?=2>8.F /+?=?=2>8.F log *+/*=2*8?8 n 5 < 9< /+/>28.7.?; /+//?>1.8= n = .'& meses. 8=+ Con Con el objet bjeto o de retir etirar ar ?// ?// um cada ada 1/ días días una una persona deposita *//// um en un banco ( gana una 0E6 de 83+ HCuJntos retiros podrJ e#ectuarK Soluci&n Calculo de n en una anualidad $encida cuando se conoce 4 i n 4 5 *//// 5 ?// 0E6 5 /+/8 n 5 HK Aplicando la #&rmula de n n 5 < Log Log * < 4i F Log 9*: i; n 5 < Log * T *////P/+/8 ?// F Log 9 *:/+/8; n 5 < Log /+7.F /+7.F log *+/8 *?
n 5 < 9< /+*8>=1?7>; /+//?2//7 n= 1'.0 1'.0 retirarD retirarD 1' meses de &!! soles ? saldo despu;s 1/+ 1/+ Una Una mJqu mJquin ina a cu(o cu(o prec precio io al cont contad ado o es ./// ./// um se compra a crédito+ El 82 de ma(o paga al contado 8/// um ( las cuotas de amorti'aci&n de */// um se pagan cada 1/ días+ HEn qué #ecGa quedarJ cancelada totalmente la mJq mJquina si se supone que los pagos se e#e e#ect)an puntualmente ( que la empresa que concedi& el crédito carga una 0E6 de .3 sobre los saldos pendientes de pagoK Solución Calculo de n en una anualidad $encida cuando se conoce 4 i n 4 5 ./// Saldo 5 ./// T 8/// 5 1/// 5 */// 0E6 5 /+/. n 5 HK Aplicando la #&rmula de n n 5 < Log Log * < 4i F Log 9*: i; n 5 < Log * T .///P/+/.*/// F Log 9 *:/+/.; n 5 < 9< /+/7/.?*/7; /+/8**?=1 n 5 1 n 5 < Log * T 1///P/+/. *///F Log 9*:/+/.; n 5 < Log /+?.F /+?.F log *+/. n 5 1+1/=71meses+ n = = $$.$22 = 1!! dIas 5el 26 de ma?o pasando 1!! dIas la feca es !0 de setiembre.
Calculo de i en una anualidad encida 1*+ 4or camp ampa!a a!a esc escolar una casa asa comercial o#rece ece paquetes escolaresV en productos por una importe de *8// um ( cobra una cuota inicial de 8// um ( ** cuotas mens mensua uale less de *8/ *8/ um+ um+ HCuJ HCuJll es la tasa tasa mens mensua uall de interés cargadaK Solución: *=
Saldo por pagar *8// T 8// 5 */// 5 *8/ 4 5 */// CJlculo de i dados 4 ( Aplicando la #ormula 4 5 9*:i;n < * i P9*:i;n */// 5 *8/ 9*:i; ** < * i9*:i;** F ?+11111111 5 9*:i; ** < * i 9*:i; ** F Dando valores a I , para obtener por aproximación el valor de i Por ejemplo i = 0.07
Meri"camos la la igualdad igualdad anterior ?+11111111 5 9*:/+/7;** < * /+/.9*:/+/7;** F ?+1111111 5 7+>=?2 el $alor es 6EN@ al $alor correcto entonces cambiamos la tasa cuando la tasa se disminu?e el AC-( aumenta probamos con i = !.! %AS 5 9*+/.; ** < * /+/. /+/. 9*+/ 9*+/+/ +/.; .;**F 5 ?+1/ #alta aproimaci&n Seguimos probando con una tasa mJs baja i 5 /+>=1 %AS 5 9*+/>=1; 9*+/>= 1; ** < * /+/>=1 9*+/>=1;**F 5 ?+11 ntonces la tasa a dos decimales es '.$00J 18+ Calcule la 0E6 de una anualidad de 8/ rentas trimestrales $encidas de >/// um cada una cu(o $alor presente es 8?=?=2* um+ Solución: 4 5 8?=?=+2* um 5 >/// um trimestrales $encidas $encidas n 5 8/ 0N6 5 HK Aplicando la #ormula 4 5 9*:i;n < * i P9*:i;n 8?=?=+2* 5 >/// 9*:i; 8/ < * i9*:i;8/ F 7+8>7>/8. 5 9*:i;8/ < * i9*:i;8/ F 5and 5ando o alo alores res a K pa para ra obt bten ener er por por aproHimación el alor de i 8/
Por eBemplo i = !.! Meri"camos la la igualdad igualdad anterior 7+8>7>/8. 5 9*:/+/.;8/ < * //.9*:/+/.;8/ F 7+8> 7+8>7> 7>/8 /8. . 5 *8+> *8+>28 288* 8*1 1 el $alor alor EQCE EQCEDE DE al $alo $alorr correcto correcto entonces entonces cambios cambios la tasa cuando la tasa se aume au ment nta a el AC- AC-( ( dism dismin inu? u?e e prob probam amos os con con i=!.12 AS = + "1.12% 2! ) 1 * !.12"1.12%2! , AS = 7.'6$''062 Luego la 0E0 5 *8+.3 /+*8. 5 9*:0E6;1 < * 5 9*:0E6;1 -/ = 0* 1.12 )1 0E6 5 /+/>//> -/ = 'J 11+ Un préstamo de 1.>.+=. um debe amorti'arse con cuotas constantes mensuales $encidas+ Se cuenta con las siguientes opciones a+ > cuotas de */// um b+ 2 cuotas de 2=?2* um Hué 0E6 se aplic& en cada alternati$a Solución:
8*
a% Ap Apli lica cand ndo o la fórm fórmul ula a de 8alor alor pres presen ente te ? lue lueo o obtenemos la tasa por reemplaGos sucesios sucesios se@n se@n los resultados: 4 5 1.>.+=. um+ 5 */// um mensuales $encidas $encidas n5> 0N6 5 HK Aplicando la #ormula 4 5 9*:i; n < * i P9*:i; n 1.>.+=. 5 */// 9*:i; > < * i 9*:i;> F 1+.>.=. 5 9*:i;> < * i9*:i; > F 5ando alores a K para obtener por aproHimación el alor de i Por eBemplo i = !.! Meri"camos la la igualdad igualdad anterior 1+.>.=. 5 9*:/+/.; > < * //.9*:/+/.;> F 0.'& = 0'$ el alor CK>CK5 EAC-A/>- lueo: i=J b%.A b%.Apl plic ican ando do la fórm fórmul ula a de 8alor alor pres presen ente te ? lue lueo o obtenemos obtenemos la tasa por por reemplaGos reemplaGos sucesi sucesio o se@n los los resultados: 4 5 1.>.+=. um+ 5 2=?+2* um mensuales $encidas n52 0N6 5 HK Aplicando la #ormula 4 5 9*:i; n < * i P9*:i; n 1.>.+=. 5 2=?+2* 9*:i;> < * i 9*:i;> F 1+.>.=. 5 9*:i;> < * i9*:i; > F 5ando alores a K para obtener por aproHimación el alor de i Por eBemplo i = !.! Meri"camos la la igualdad igualdad anterior .+/7.78*7= 5 9*:/+/.;2
< * /+/.9*:/+/.;2 F 88
.!7 .!77 721 217$ 7$ = .!7 .!76 6$! $!7 7 el alo alorr CK> CK>CK CK5 5 a tres tres decimales lueo: i=J 1>+ Una persona deposit& *// um en su cuenta de capi apitali'aci aci&n de una administradora de #ondos de pens pensio ione ness 9A%4 9A%4; ; cada cada "n de mes mes dura durant nte e */ a!os a!os++ Al "nali'ar este pla'o a'o la A%4 le in#orm& que su #ondo acum acumul ulado ado era era *28> *28>7 71> 1> um+ um+ HCuJl HCuJl #ue #ue la tasa tasa e#ect e#ecti$ i$a a anual que rindi& sus dep&sitosK Solución: ( = 1!! um. n =1! aos = 12! meses. = 162'7.0' TEA =?
Aplicando la #ormula S 5 P%CS *28>7+1>5 *//P9*:i; *8/ < *28+>71> 5 9*:i; *8/ < * iF
*
iF
5ando alor alores es a i para obtener obtener por aproHima aproHimación ción el alor de i Por eBemplo i = !.!! Meri"camos la la igualdad igualdad anterior %CS 5 9*+//.; *8/ < * /+//.F 5 *21+?7=1>2? Cuando la tasa baja el #actor disminu(e Seguimos probando con una tasa mJs baja i 5 /+//> %CS 5 9*+//>;*8/ < * /+//>F 5 *.1+21 La tasa debe ser entre /+//> ( /+//.21 4robamos con /+//>== %CS 5 9*+//>==;*8/ < * /+//>==F 5 *.=+27 Entonces la tasa debe ser mu( cercana a /+//. Por tanto ->A = 6J "!.!!912% 1.+ 1.+ Un prés présta tamo mo de *.=8 *.=8.+ .+27 27 um se reemb eembol olsa sa con con dos dos cuotas la primera de ?/// um al $encimiento del cuarto mes ( la segunda de *//// um al $encimiento del octa$o mes+ Calcule la 0E6 aplicada al préstamo+ El cJlculo debe e#ectuarlo directamente sin tantear ni interpolar+ interpolar+ Solución: 81
4 5 *.=8.+27 * 5 ?/// al "nal del >to mes 8 5 *//// um al $encimiento del ?$o mes+ UtiliGando la ecuación de e : *////9*:i;? Si *9*:i; > 5 Q entonces tendremos tendremos *.=8.+27 5 ?///Q : *///Q8 *///Q8 : ?///Q < *.=8.+27 5 / (esoliendo resulta i = 2J 12+ Un arte#acto electrodoméstico tiene un precio al contado de ?// um ( al crédito lo o#recen con una inicial de 1// um+ ( el saldo amorti'able en dos meses con cuotas mensuales de 1// um+ Hué 0EA se estJ cargando en el "nanciamientoK Solución Saldo es .// .// 5 1//9*:i; : 1// 9*:i; 9*:i;8 eempla'ando *9*:i; 5 Q .// 5 1//Q : 1//Q 8 . 5 1Q : 1Q8 1Q8 : 1Q T . 5 / (esoliendo resulta i = 006.1J 17+ La compa!ía SIA S+A+ $ende un artículo al contado en *./ um pero a crédito si se carga en cuentaV lo o#rece para pagarlo sin cuota inicial ( dos cuotas iguales de =/ um que deben cancelarse dentro de *. ( >. días cada una+ Hué 0E6 esta cargJndose en el programa de créditoK Solución: 4 5 *./ 5 =/ a *. días /+. de mes 5 =/ a >. días *+. mes Utili'ando la ecuaci&n de equi$alencia "nanciera *./ 5 =/ 9*:i; /+. : =/9*:i; *+. Si *9*:i; > 5 Q entonces tendremos *.=8.27 5 ?///Q : *///Q8 *///Q8 : ?///Q < *.=8.+27 5 / (esoliendo resulta i = 2!.2 J
8>
1?+ Un autom&$il W(undai tiene un precio al contado de **2=/ um+ A crédito puede adquirirse con una cuota inicial de >2>8 um ( cuotas mensuales de 12/ um+ Dado que el programa de crédito sea de 8> cuotas HCuJl es el costo e#ecti$o mensual ( anual del de l "nanciamientoK Solución: Saldo por pagar **2=/ T >2>8 5 7/>? 5 12/ 4 5 7/>? n 5 8> meses CJlculo de i dados 4 ( n Aplicando la #ormula 4 5 9*:i;n < * i P9*:i;n 7/>? 5 12/P 9*:i; 8> < * i9*:i;8> F *=+.77 5 9*:i; 8> < * i 9*:i; 8> F 5ando alores a i para obtener por aproHimación el alor de i Por eBemplo i = !.!0 Meri"camos la la igualdad igualdad anterior *=+.77 5 9*:/+/1; 8> < * /+/19*:/+/1;8> F *=+. *=+.77 77 5 *2+= *2+=1. 1. el $alor $alor es 6EN@ 6EN@ al $alor $alor corr correcto ecto entonces camb ambiamos mos la tasa cuando la tasa se disminu?e el AC-( AC-( aumenta probamos con i = !.!17 %AS 5 9*+/*7; 8> < * /+/*7 9*+/*7;8>F 5 *=+.78 ntonces la tasa a dos decimales es 1.7!J mensual -A = "1#!.!17% 12 ) 1 -A = !.22'1$ -A = 22.'1$ J 1=+ 1=+ HCuJ HCuJll es la 0E6 que que est estJ carga argand ndo o el Oanc Oanco o de los los 4roductores por el "nanciamiento de un préstamo de 8//// um que debe cancelarse en el pla'o de cuatro meses con cuotas uni#ormes mensuales de .1?/+.> umK Solución: CJlculo de i dados 4 ( Aplicando la #ormula 4 5 9*:i;n < * i P9*:i;n 8//// 5 .1?/+.>9*:i; > < * i9*:i;> F 1+7*7/==/1 5 9*:i; > < * i 9*:i;> F 8.
5ando alores a i para obtener por aproHimación el alor de i Por eBemplo i = !.2 Meri"camos la la igualdad igualdad anterior 1+7*7/ 5 9*:/+8.; > < * /+8.9*:/+8.;> F 1+7* 1+7*7/ 7/ 5 8+12 8+12*2 *2 el $alo $alorr es 6EN@ 6EN@ al $al $alor or cor corrrecto ecto entonces camb ambiamos mos la tasa cuando la tasa se disminu?e el AC-( AC-( aumenta probamos con i = !.! %AS 5 9*+/.; > < * /+/. 9*+/+/.; >F 5 1+.>. a)n #alta reducir la tasa AGora probamos con /+/1 1+7*7/ 5 9*+/1;> < * /+/1 9*+/+/1;>F 5 1+7*7/ C@INCIDEN Por tanto la -/ = 0J
actores nancieros >/+ Se necesita un "nanciamiento "nanciamiento bancario bancario de >/// um que puede puede obte obtene nerse rse bajo bajo la moda modali lida dad d de descu descuent ento o de pagare+ H4or qué monto debe aceptarse dicGo pagare con $encimiento a >. días si se aplica una 0E6 de 83 para obtener ese $alor presenteK Solución 45 >/// um n 5 >. días 5 >.1/ 5 *+. meses 0E6 5 /+/8 S 5 4P%SC S 5 >///9*:/+/8;*+. S = '12!.6! >*+ H4or H4or qué monto debe etender etenderse se una letra de cambio cambio con con un $enc $encim imie ient nto o a =/ días días para para obte obtene nerr un $alo $alorr presente de 8/// um después de descontarla con una 0NA de *83 con capitali'aci&n diariaK
Solución 82
45 8/// um n 5 =/ días 0NA 5 /+*8 0ND 5 /+*812/ 5 /+///11111 S 5 4P%SC S 5 8///9*:/+///11111;=/ S = 2!6!.$! >8+ >8+ De Dent ntrro de 7/ día díass se reci recibi birJ rJ 8// 8/// / um+ um+ HCuJ HCuJll es es su $alor actual si se aplica una 0NA de *?3 anual con capitali'aci&n mensualK
Solución S 5 8/// um n 5 7/ días5 7/1/ 5 8+1111111 meses 0NA 5 /+*? 0N6 5 /+*?*8 5 /+/*. 4 5 %P%SC 4 5 8///9*:/+/*.;8+11111114 P = 1$01.71 >1+ >1+ Si se se desc descon ontt& el día día de Go( Go( una una letr letra a de camb cambiio con $alor nominal de */// um con una 0E6 de .3 que $encerJ dentro de >8 días HCuJl es el importe neto que abonarJ el banco en la cuenta corriente del descontanteK
Solución S 5 */// um 0E6 5 /+/. n 5 >8 días n 5>81/ 5 *+> meses 4 5 HK Aplicando la #&rmula 4 5 SP%SA %SA 9/+/. *+>; 5 * 9*:/+/.;*+> %SA 9/+/. *+>; 5 /+=11=7>>*= Lueo P = 1!!!9!.$00$7''1$ 1!!!9!.$00$7''1$ P = $00.$7
>>+ HCuJl #ue el capital capital que al cabo cabo de 2 meses se se con$irti& con$irti& en 8/// um con una 0EA de 8/3K Solución S 5 8/// um+ 87
0EA 5 /+8/ 0N6 9*:0N6; *8 < * 5 /+8/ 0N6 5 *8 *+8/ < * 5 /+/*.1/=>1 4or #ormula S = P "1#i% n P = S * "1 # i% n 4 5 8/// 9*: /+/*.1/=>1;2 P = 1&2.7' >.+ >.+ Una Una casa casa come comerc rcia iall o#re o#rece ce al cont contado ado en >1/ >1/ um um un &rga &rgano no elec electr tr&n &nic ico o a crédi crédito to lo o#ert o#erta a con con una una cuot cuota a inicial de 8// um ( una letra que puede otorgarse en los siguientes pla'os a *. días por 81. um a 1/ días por 81= um a >. días por 8>. um+ HCuJl es la mejor o#erta para un clie client nte e dado dado que que su cost costo o de opor oportu tuni nida dad d es .3 mensual ( que le es indi#eren indi#erente te disponer del bien aGora o dentro de >. díasK
Solución Actua Actuali' li'amos amos las /1 o#ertas o#ertas al crédit crédito o con el %SA para cada cuota propuesta 4 5 >1/ al contado contado 4* 5 8// : 81.9*:/+/.; 81.9*:/+/.;*.1/ 5 8// : 88=+11 88=+11 5 >8=+11 P2 = 2!! # 20$*"1#!.!% 0!*0! = 2!! # 227.61 = '27.61 41 5 8// : 8>.9*:/+/.; 8>.9*:/+/.;>.1/ 5 8// : 887+7* 887+7* 5 >87+7* Le coniene coniene la oferta oferta a 0! dIas por ser menor su alor actual. >2+ Una emp empresa so solicita a un ba banco un un pré préstamo de de *//// um que de$enga una 0NA de 8>3 capitali'able mensualmente para reembolsarlo en el pla'o de > a!os con cuotas uni#ormes cada "n de trimestre+ Inmedi Inmediata atament mente e después después de Gaber Gaber pagado pagado la décim décima a cuota decide cancelar el resto de la deuda+ Hué importe tendrJ que cancelar al bancoK 8?
Solución 4 5 *//// 0NA 5 /+8> 0N6 5 /+8>*8 5 /+/8 0E0 5 9*:/+/8;1 < * 5 /+/2*8/? n 5 > a!os a trimestres *2 trimestres Calculando la cuota trimestral uni#orme+ 5 4P%C 9i+n; */////+/*8/? 9*:/+/2*8/?; *2 9*:/+/*8/?;*2 < * 5 *////9/+/==77>22; 5 ==7+7. Como Como ?a pa paó ó a ast sta a la la d;ci d;cima ma cuot cuota a le // .>//8> 5 88. n 5 1 a!os 5 12 meses 0E6 5 /+//. 8=
Encontramos el Malor 4resente de las cuotas a pagar por la maest maestrí ría a que que serJ serJ a la $e' el $alo $alorr #utu #uturo ro que que debe debe acumular el Sr+ ojo P= 22+"1#!.!!%2' ) 1 * !.!!"1#!.!!% 2', P = !76.6' AGora se desea desea encontrar encontrar que cuota deberJ deposit depositar ar en 12 meses para acumular el monto de ./72+2> con /+.3 de 0E6 5 %P%D%A 5 ./72+2>P/+//.9*:/+//.;12 < *F 5 ./72+2>P9/+/8.>; ( = 12$.!6
7. 0 .Problemas diersos *+ Si se tienen que reali'ar 12 mensualidades $encidas de R >7/7 >7/7+= +=> > a una una 0NA 0NA de 8> 3 capi capita tali li'ab 'able le mensu mensual almen mente te++ Encontrar a; El tipo de anualidad b; La cantidad que se prest& al inicio del pla'o Solución 5 >7/7+=> n 5 12 mensualidades 0NA 5 /+8> 0N6 5 /+8>*8 5 /+/8 4 5 HK a% Anualidad simple cierta encida inmediata b; Aplicando la #&rmula P = (P (PAS "i n% 4 5 >7/7+=> P99*: /+/8;12 < * /+/8 9* : /+/8;12 ; 4 5 **====+== P = 12!!!! 1/
8+ Si se tiene una deuda de R*.//// impuesta con el 8>3 capitali'able quincenalmente por lo que se deciden reali'ar reali'ar >8 pagos al "nal de cada quincena+ Encontrar a; HDe qué anualidad se trataK b; El importe de cada una de las rentas Solución 4 5 *.//// 0NA 5 /+8> 0N 5 /+8>8> 5 /+/* n 5 >8 a% s una anualidad simple cierta encida inmediata b% Aplicando la fórmula ( = P9(C "i n% 5 *.////9/+/*P9* : /+/*;>8 9*: /+/*;>8 < * ; 5 *.////P/+/8=87.21 ( = '0$1.0' 1+ 4ara llegar a acumular R *>//// en una in$ersi&n que da el *83 capitali'able mensualmente se deciden reali'ar al "nal de cada período dep&sitos mensuales de R *???+8? cada uno+ Encontrar a; HDe qué tipo de anualidad se estJ GablandoK b; HCuJntos dep&sitos debe GacerseK Solución S 5 *>//// 0NA 5 /+*8 0N6 5 /+*8 *8 5 /+/* 5 *???+8? n 5H K Aplicando la #&rmula n = Lo " S9i * ( # 1 % * Lo "1# i% n 5 Log 9*>////P/+/* *???+8? : *; Log Log 9*: /+/*; n 5 Log Log 9*+7>*>*.>7; Log 9*+/*; n 5 /+8>/=/8> /+//>18*17 n = .7 n = 6 depósitos mensuales
1*
>+ 4ara llegar a acumular R 8// /// al cabo de tres a!os ( medi medio o se decid deciden en real reali' i'ar ar dep&s dep&sit itos os bime bimest stral rales es en una una instituci&n que da el *.3 capitali'able bimestremente+ Encontrar a; HDe qué tipo de anualidad se trataK b; El importe de cada uno de los dep&sitos+ Solución S 5 8///// n 5 1+. a!os 5 8* bimestres 0NA 5 /+*. 0NO 5 /+*. 2 5 /+/8. a% s una anualidad simple cierta encida inmediata b% Calculando ( a partir de S ( =S95A 5 S Pi 9*:i;n < *F 5 8/////P/+/8. 9*: /+/8.;8* < *F 5 8/////P9/+/127?711; ( = 707.'7 .+ 6e dan un crédito de R 1?//// a una tasa de interés del *2 3 con$ con$er erti tibl ble e trim trimes estr tral alme ment nte e ( pago pago R 1>*7 1>*77+ 7+28 28 cada cada trimestre+ HCuJntos son los períodos a pagarK pa garK Solución 4 5 1?//// 0NA 5 /+*2 0N0 5 /+*2 > 5 /+/> 5 1>**7+28 n 5H K Aplicando la #&rmula n = ) Lo "1 ) P9i * (% * Lo "1# i% n 5 < Log 9 *< 1?///P/+/> 1>**7+28 ; Log 9*: /+/>; n = 1 trimestres. 2+ Si deseo in$ertir R 8*7// cada trimestre ( la tasa de interés es del *23 compuesto en #orma trimestral $encida durante /. a!os+ Wallar el #ondo acumulado al "nal del pla'o Solución 5 8*7// 0NA 5 /+*2 0N0 5 /+*2 > 5 /+/> n 5 /. a!os 5 .P> 5 8/ trimestres+ S 5 HK Aplicando la #&rmula siguiente 18
S = (95A S 5 8*7// P 9 9* :/+/>;8/ S 5 8*7//P8=+77?/7?2 S = 6'61&'.01
<
*
/+/> ;
7+ Calcular el $alor de contado de una propiedad $endida en las siguientes condiciones R8/+/// de contado R*+/// por mensualidades $encidas durante 8 a!os ( 2 meses ( un )ltimo pago de R8+.// un mes después de pagada ada la )ltima mensualidad+ 4ara el cJlculo cJlculo utili'ar el =3 con capitali'aci&n mensual+ Solución: Se elabora el diarama de tiempo alor l alor del pao Bo se denomina renta ( o A se puede utili ut iliGa Garr en la ma?o ma?orI rIa a de te teHt Htos os ta tambi mbi;n ;n ut utili iliGa Gan n la letra C:
5 A 5 */// 4* 5 8//// 4ago "nal 5 41* 5 8.// 0NA 5 /+/= 0N6 5 /+/= *8 5 /+//7. Malor 4resente total M44 5 8///// : *///%AS *///%AS 9/+//7. 1/ ; : 8.//P%SA9 /+//7. 1*; M40 5 8//// : *///P982+77.; : 8.//P9/+7=181728; M40 5 8//// : 8277.+/? : *=?1+/= 8P- = '&7&.17 ?+ Una mina en eplotaci&n tiene una producción anual producción anual de R?X///+/// ( se estima que se agotarJ en */ a!os+ Wallar el $alor presente de la producci&n si el rendimiento del dinero dinero es es del &J. 11
Solución: MrDcamente:
Se obser$a que se trata de una serie de ingresos iguales dura durant nte e */ a!os a!os++ Enco Encont ntra rarremos emos el $alo $alorr actu actual al o $alo $alorr presente+ A 5 ?////// n 5 */ a!os 0NA 5 /+/? Aplicando la #&rmula P = A9AS "in% P = &!!!!! !99* : /+/?; */ < * /+/? 9*:/+/?;*/; 4 5 ?//////P92+7*//?*>; P = 06&!61.2! =+ En el momento de nacer su Gija un se!or deposit& R*+.// en una cuenta que abona el ?3 dicGa cantidad la consigna cada cumplea!os+ Al cumplir *8 a!os aumento sus consinaciones a consinaciones a R1+///+ Calcular la suma que tendrJ a disposici&n de ella a los *? Solución MrDcamente:
S Cons Consiidera deramo moss desd desde e el a!o a!o * Gast asta el a!o a!o ** la sum suma "nanciera "nanciera de *.// anuales anuales con con 0NA de ? 3+ Desde Desde el a!o *8 INCL INCLUSIME USIME Gasta Gasta el a!o a!o *? la la suma suma "nanci "nanciera era de 1/// 1/// de 1>
termino $encido+ El primer aporte al nacer lo consideramos como dep&sito )nico entonces Malor #uturo total M%0 5 *.//9*:/+/?; *? : *.//P%CS 9/+/?**;P9*: /+/?;7 : 1///P%CS9/+/?7; M%0 5 *.//P91+==2/ *.//P91+==2/*=.; *=.; : *.//P9*2+2>.; *.//P9*2+2>.;9*+7*1 9*+7*1?8>87; ?8>87; : 1///P97+111.=8=/>; M%0 5 .==>+/8 : >87=*+*2 : 8272?+>* 8- = 70.$!6 */+ Una persona deposita mensualmente la suma de *// soles durante 8/ a!os+ Desea saber cuJnto acumularJ al "nal de ese período si el Oanco le paga Una 0NA de 2 3 con capitali'aci&n mensual+ Solución rJ"camente
A 5 5 *// 0NA 5 /+/2 0N6 5 /+/2 *8 5 /+//. n 5 8/ a!os 5 8>/ meses S 5HK S 5 P%CS S 5 *//9 9 *: /+//. ;8>/ < * /+//. S 5 *//P>28+/>/? S = '62!'.!$ 7.'. Problemas propuestos *+ Wall Wallar ar el mont monto o ( el $alo $alorr pres presen ente te de las las sigu siguie ient ntes es anualidades ordinarias+ 9a; R>// anuales durante *8 a!os al 8 Y3 9b; R*./ mensuales durante 2 a!os 1 meses al 23 con$ertible mensualmente+ 1.
9c; R.// trimest estrales durante ? a!os = meses al 23 con$ertible trimestralmente+ (espuesta. (espuesta.
"a% N1&22 N1&22OO N'1!0.1! N'1!0.1!
"b% N10!6!& N10!6!&$&O $&O
N$062.! "c% N22.7$6!' 8+ 4atricia Sam aGorra R2// cada a!o ( los in$ierte al 13 con$ertible semestralmente+ Wallar el importe de sus aGorros después de */ a!os+ (esp. N10.&7'2! 1+ Wallar el $alor e#ecti$o equi$alente a una anualidad de R*// al "nal de cada 1 meses durante *. a!os suponiendo un interés de .3 con$ertible trimestralmente+ (espuesta. N'2!0.'6 >+ 6anuel Sil$a estJ pagando R88./ al "nal de cada semestre por concepto de la prima de una p&li'a dotal la cual le pagara R*/// R*/// al términ término o de 8/ a!os+ a!os+ Hué canti cantidad dad tendrí tendría a si en lugar depositara cada pago en una cuenta de aGorros que le produjera el 13 con$ertible semestralmenteK (espuesta. N1221!0
.+ Hué cantidad debi& ser depositada el * de junio de *=./ en un #ondo que produjo el .3 con$ertible semestralmente con el "n de poderse Gacer retiros semestrales de R2// cada uno a part partiir del del * de dici diciem embr bre e de *=./ *=./ ( ter termina minand ndo o el * de diciembre de *=27K (espuesta. N10.&&71!
12
2+ se esti estima ma que que un ter terreno eno bosc boscos oso o prod produc ucir irJ J R*.+ R*.+// /// / anuales por su eplotaci&n en los pr&imos */ a!os ( entonces la tierra podrJ $enderse en R*/+///+ Encontrar s $alor actual suponiendo intereses al .3 (espuesta. N121.$61 7+ suponiendo intereses al .+83 con$ertible trimestralmente Hué Hué pago pago )ni )nico inmed nmediiato ato es equi equi$a $allent ente a *. pago pagoss trimestrales de R*// cada uno Gaciéndose el primero al "nal de tres mesesK (espuesta. N10'& ?+ 6 in$ierte R8./ al "nal de cada 2 meses en un #ondo que paga paga el 1 Z3 Z3 con$ con$er erti tibl ble e semes semestr tral alme ment nte+ e+ HCuJl HCuJl serJ serJ el importe importe del #ondo 9a; precisamen precisamente te después del *8 depositoK depositoK 9b; 9b; ante antess del *8 depos deposit itoK oK 9c; 9c; 4rec 4recis isam ament ente e antes antes del *. depositoK (espuesta. "a% N0.02$00 "b% N0!7$00 "c% N'!0'!! =+ al comprar 6 un cocGe nue$o de R17./ le reciben su cocGe usado en R*8./+ HCuJnto tendrJ que pagar en e#ecti$o si el saldo restante lo liquidara mediante el pago de R*8. al "nal de cada cada mes mes dura durant nte e *? mese meses s carg cargJn Jndo dole le inte intere reses ses al 23 con$ertible mensualmenteK (espuesta. N00'!
CA4[0UL@ ? ANUALIDADES AN0ICI4ADAS 17
&.1. Concepto Una anualidad anticipada es aquella en la cual las cuotas "jas peri peri&d &dic icas as se ubic ubican an al comien comien'o 'o de cada cada perío período do++ Con Con respecto a la anualidad ordinaria el n)mero de cuotas es el mism mismo o per pero toda todass se desp despla la'a 'an n un perí períod odo o Gaci Gacia a atrJ atrJs+ s+ 6iremos la comparaci&n de los diagramas de tiempo<$alor
4 ANUALIDAD ANUALIDAD ANTICIP ANTICIPADA ADA
*
A
A
8
A
>
1
A
A
.
A
n<*
n
n<*
n
A
4 ANUALIDAD ANUALIDAD ORDINARIA ORDINARIA O VENCIDA
*
A
8
A
>
1
A
A
4ara la anualidad ordinaria A 5
.
A
A
A
4 5 A anF i
Si aplicamos la misma #&rmula #&rmula para la anualidad anualidad anticipada el $alor presente se despla'aría también un período Gacia atrJs es decir Gallaríamos el $alor presente en el período T*+
1?
4
ANUALIDAD ANUALIDAD ANTICIP ANTICIPADA ADA
<* *
/
A
A
1
8
A
A
>
A
n<*
n
A
4ara Gallar el $alor presente en el período cero sería necesario capitali'ar el $alor presente del período T* un período Gacia delante+ 0endremos 0endremos entonces que para la anualidad anticipada 4 9período T*; 5 A anFi 4 9período /; 5 4 9período T *; 9*:i; 4 9período /; 5 A anFi 9*:i ; o simplemente 4 5 A anF i 9*:i; Nota en el cJlculo actuarial es costumbre denotar el #actor que encuentra el $alor de una anualidad anticipada como \nFi 4 5 A \nFi ] por consiguiente \nFi 5 anFi 9*:i ;
De igual manera puede demostrarse que para calcular calcular el $alor #uturo de una anualidad anticipada % 5 A snFi 9 *: i; s5nFA =S i
1=
Bemplo 1 1 Un colegio cobra sus pensiones mensuales en #orma #orma anticip anticipada+ ada+ El $alor $alor de la pensi&n pensi&n mensual mensual para para un alum alumno no de octa$ octa$o o grado grado es de R*./+ R*./+/// ///++ Si un padre padre de #amilia desea sea canc ancelar elar en #orma ant anticipada ada las ** mensualidades del a!o escolar a cuanto asciende el $alor presente si suponemos una tasa del *.3 mensualK 4 5 A anFi 9*:i ; 9* : *+.3; ** T * 9 * :*+.3; *+.3 9* : *+.3; ** 4 5 *.//// */ 888*? 5 *+.11+1872? Note que el #actor \nFi es igual a */888*?
4 5 *./+///
Bempl Bemplo o 2 Una Una perso persona na Ga plan planead eado o e#ec e#ectu tuar ar un aGor aGorro mensual de R1//+/// el primer día de cada mes en un #ondo de in$ers in$ersi& i&n n que que rind rinde e el *.3 anual anual e#ecti e#ecti$o $o++ De cuant cuanto o dispondrJ el )ltimo día del a!oK ]a ]a que el aGorro se e#ect)a el primer día de cada mes la anua anuallidad idad es anti antici cipa pada da ( cons consiiste ste en doce doce cuo cuotas tas de R1//+///+ Calculemos la tasa mensual 9 * : i ;*8 T * 5 /*. i 5 9 * : //*. ;**8 T * i 5 **7*.3 AGora calculemos el $alor #uturo de la anualidad anticipada % 5 A snFi 9 *: i; 9 * : //**7*. ; *8 T %5A 9 ** : //**7*.; //*7*. % 5 1//+/// *8+=.>*?? % 5 1+??2+8.2>1 Note que
snF
5 5 *8=.>*??
i
>/
8.2. Anualidades con Excel. Sintaxis
unción PAM " %
La #unci&n 4A@ 9 ; calcula el $alor de la cuota uni#orme de una anualidad+ SintaHis = PAM 9tasa PAM 9tasa nper $a $# tipo; -asa -asa es la tasa de interés peri&dica del préstamo que no $aría durante la $igencia del mismo+ >per: es el n)mero total de cuotas cuotas del préstamo+ préstamo+ 8a: es el $alor actual actual o lo que que $ale $ale aGora aGora la cantid cantidad ad total de una serie de pagos #uturos es decir su $alor prese present nte+ e+
4ara ara el caso caso de una amorti amorti'ac 'aci& i&n n este este se
constitu(e en el $alor del préstamo+ 8f: 8f: es el $alor #uturo o saldo en e#ecti$o que desea lograr después de e#ect ectuar el )ltimo pago ago+ Si el argumento $# se omite se asume que el $alor es / 9por ejemplo el $alor #uturo de un préstamo es /;+ -ipo: de"ne si las cuotas cuotas son son $encidas $encidas o antici anticipadas+ padas+ Si la cuota es $encida el tipo se omite ( se asume un cero si las cuotas son anticipadas debe especi"carse el $alor de *+ bseraciones:^ bseraciones:^ 6antenga uni#ormidad en el uso de las unidades con las que espe especi ci"c "ca a los los argu argume ment ntos os tasa tasa ( nper nper++ Si e#ec e#ect) t)a a pago pagoss mensuales de un préstamo de > a!os con un interés anual nominal del *8 por ciento use *83*8 para el argumento argumento tasa ( >P*8 para el argumento nper+ nper+
>*
Bemplo 1: 1: esol$amos esol$amos el ejercicio ejercicio de la secci&n utili'ando la #unci&n 4A@9 ; Una persona Ga e#ectuado un préstamo de R8+///+/// que deberJ pagar en un a!o con cuotas trimestrales al 8>3 anual nominal+ HCuJl serJ el $alor de cada cuotaK 5 4A@ 9/8>> > 8//////; 5 <.77+*?8=? bseraciones: -
El $alor de la cuota es negati$o por el simple GecGo de que en el diagrama econ&mico los $ectores que describen la cuota ( el $alor del préstamo tienen di#erente sentido+ 4ara que el signo de la cuota "ja sea positi$o el $alor del préstamo debe especi"carse con signo negati$o+
-
El $alor del cuarto parJmetro M# se omite pues el $alor #utur uturo o del del prés présttamo amo es cer cero una una $e' $e' éste éste Ga(a Ga(a sido sido cancelado+
-
El quinto parJmetro tipo también se omite pues las cuotas se pagan en #orma $encida+
Bemplo 2: un 2: un padre de #amilia desea programar un aGorro mensual mensual para para dispon disponer er al "nal de 2 meses de R8+7// R8+7//+/// +/// correspondientes al $alor de la matricula de su Gijo+ Gijo+ Si la tasa tasa de interés que le reconocen sobre sus aGorros es del *83 anual nominal cual es el $alor de la cuota que debe aGorrar mensualmenteK 54A@ 54A@ 9/*8*8 2 / 87/////; 5 <>1?+??/.= mensuales
unción 8A" %
La #unci&n MA9 ; de$uel$e el $alor actual 9 $alor presente ; de una in$ersi&n+ 4ara el caso de una anualidad+ MA9 ; es el $alor actual de la suma de una serie rie de pago agos uni#ormes ( peri&dicos que se e#ectuarJn en el #uturo+ #uturo+ >8
SintaHis 8A9tasa nper pago $# tipo; -asa -asa es la tasa de interés por período+ >per >per es el n)mero total de períodos en una anualidad o n)mero total de pagos+ Pao Pao es el pago que se e#ect)a e#ect)a en cada cada período período ( que no cambia durante la $ida de la anualidad+ 8f es el $alor $alor #uturo #uturo o el saldo saldo en e#ecti$o e#ecti$o que que desea lograr después de e#ect ectuar el )ltimo pago ago+ Si el argumento $# se omite se asume que el $alor es / 9por ejemplo el $alor #uturo de un préstamo es /;+ -ipo -ipo es el n)mero n)mero / & * e indica el $encimi $encimiento ento de los pago pagos+ s+ Si la cuota cuota es $enci $encida da el tipo tipo se omite omite ( se asume asume un cero cero si las las cuot cuotas as son antic anticip ipada adass debe debe especi"carse el $alor de *+ Bemplo 1: Una 1: Una persona desea e#ectuar una in$ersi&n de tal manera que el )ltimo )ltimo día de cada mes pueda retirar retirar R8./+/// durante los pr&imos tres a!os+ CuJnto debe in$ertir Go( al *83 anual nominal liquidado mensualmenteK 5MA 9/*8*8 1P*8 8.////; 5 / cuotas+ cuotas+ Si este este $alor es menor menor que que el cost costo o de la p&li p&li'a 'a la adqu adquis isic ici& i&n n de la mism misma a no satis#ace el criterio de rentabilidad de la persona+ pe rsona+ 5MA9//7*8 5MA9//7*8 *8P8/ ./////; es igual a <2>+>=*+8.18. Lo anterior signi"ca que para generar una renta de R.//+/// mens mensu uales ales dura durant nte e 8/ a!os a!os la pers person ona a debe debe in$er n$erti tirr >1
R2>+>=*+8.18. si la tasa es del 73 anual nominal+ L&gicamente concluimos que la in$ersi&n de R2/+///+/// es atracti$a para la persona+
unción 8" %
La #unc #unci& i&n n M%9; M%9; de$u de$uel el$e $e el $alo $alorr #utu #uturo ro de una una in$e in$ersi rsi&n &n basJndose en pagos peri&dicos constantes ( en una tasa de interés constante+ SintaHis 8 9tasa 8 9tasa nper pago $a tipo; -asa -asa es la tasa de interés por período+ >per: es >per: es el n)mero total de pagos de una anualidad+ Pao Pao es el pago que se e#ect)a cada período ( que no puede cambiar durante la $igencia de la anualidad+ 8a: es 8a: es la suma del $alor actual o presente de una serie de pagos uni#ormes ( constantes #uturos+ Si el argumento Ma Ma se omite se considerarJ / 9cero;+ -ipo -ipo es el n)mero / & * e indica el $encimiento de los pago pagos+ s+ Si la cuota cuota es $enci $encida da el tipo tipo se omite omite ( se asume asume un cero cero si las las cuot cuotas as son antic anticip ipada adass debe debe especi"carse el $alor de *+ Bemplo 1: 1: esol$amos esol$amos el ejercicio ejercicio de la Utili'ando la #unci&n M%9 ; El )lti )ltimo mo día día de cada cada mes mes una una pers person ona a aGor aGorra ra R*8. R*8.+/ +/// // durante dos a!os ( le reconocen una tasa del *>3 anual e#ecti$o+ De cuJnto dispondrJ al cabo de los dos a!osK En primer lugar calculemos la tasa peri&dica i 5 9 * : /*> ; **8<* 5 //*/=7??.8 5 */=7??.83 mensual+ >>
AGora encontremos el $alor #uturo M%
/
*
8
>
1
.
**
*8
*8.+///
5M% 9*/=7??.83 8><*8.///; 5 1+>**+*/1>7 Bempl Bemplo o 2: esuel$a el ejercicio anterior si los dep&sitos de R*8.+/// se e#ect)an el primer día de cada mes+ 0asa 0asa peri&dica i 5 9 * : /*> ;**8< * 5 //*/=7??.8 5 */=7??.83 mensual+ Desde Ecel 50asa+ 50asa+ nominal9/*>*8;*8 Encontremos el $alor #uturo para una anualidad anticipada
>.
M%
/
*
8
>
1
.
**
*8
*8.+///
5 M%9*/=7??.83 8><*8./// *; 51+>>?+.*.21 @bser$e con respecto al ejercicio anterior que el $alor #uturo se incrementa por el GecGo de adelantar en un mes la #ecGa en que se reali'a cada dep&sito+
Be Bemplo mplo 0: Una person persona a desea desea aGorrar aGorrar para para un pro(e pro(ecto cto especial que tendrJ lugar lugar dentro de un a!o+ 4ara ello deposita R*+///+/// en una cuenta de aGorros que de$enga un interés anual nominal nominal del 23 capitali'ad capitali'ado o mensualmente+ mensualmente+ AdemJs AdemJs tiene planeado depositar R*//+/// el )ltimo día de cada mes durante los pr&imos *8 meses+ HCuJnto dinero tendrJ en su cuenta al "nal de los *8 mesesK M%
/
*
8
1
>
.
**
*//+// /
*+///+// 5M% / 923*8 *8 <*///// <*//////; 5 R8+8=.+81>/.
Bemplo ' ' Se Ga otorgado un crédito por R1+8./+/// a tres a!os con cuotas mensuales al *?3 anual nominal+ 0ranscurridos 0ranscurridos dos a!os la persona desea conocer el estado de su crédito para mirar la posibilidad de cancelarlo por completo+ HCuJl es el $alor de la deuda en este momentoK >2
*8
0asa 0asa peri&dica i 5 *?3 *8 5 *.3 mensual Cuota "ja 5 4A@ 4A@ 9 *.3 12 18.//// ; 5 <**7+>=.8= <**7+>=.8 = 1+8./+///
/
*
8
>
1
.
81
8>
**7+>=.8=
M%
Malor de la deuda en el mes 8> 5M% 9*.3 8> <**7>=.8= 18.//// ; 5 R*+8?*+../>> Bemplo Meamos como la #unci&n M% puede utili'arse para problemas en que no se tiene una anualidad+ Si Go( in$ertimos R>+.//+/// al */.3 anual e#ecti$o ( los intereses se liquidan ( capitali'an trimestralmente de cuJnto dispondremos dentro de dos a!osK El prob proble lema ma no Gace Gace re#er e#eren enci cia a a una una anua anuali lida dad d pues pues no tenemos un sistema de cuotas "jas ( peri&dicas sino que solo deseamos capitali'ar una in$ersi&n puntual+ 0asa 0asa peri&dica i 5 9 * : /*/.; *><* 5 8.87.3 trimestral Desde Ecel 50asa+ 50asa+ nominal 9/*/.>;> Malor %uturo 5M% 9 8.87.3 ? <>.///// ; 5 R.+>=>+2*8./ Note que se omite el parJmetro 4A@ (a que no Ga( un sistema de cuotas+
>7
unción -ASA " %
La #unci&n 0ASA 9 ; de$uel$e la tasa de interés por período de una anualidad+ 0ASA se calcula por iteraci&n ( puede tener cero o mJs soluciones+ Si los resultados consecuti$os de 0ASA no con$ergen en ///////* después de 8/ iteraciones 0ASA de$uel$e el $alor de la tasa utili'ada+ SintaHis -ASA 9nper pago $a $# tipo estimar; >per: es >per: es el n)mero total de períodos de pago en una anualidad+ Pao: es el pago que se e#ect)a en cada período ( que no puede cambiar durante la $ida de la anualidad+ 8a: es 8a: es el $alor actual de la cantidad total de una serie de pagos #uturos+ 8f: es 8f: es el $alor #uturo o un saldo en e#ecti$o que desea lograr después de e#ect ectuar el )ltimo pago ago+ Si el argumento $# se omite se asume que el $alor es /+ -ipo: es -ipo: es el n)mero / & * e indica el $encimiento de los pagos+ stimar stimar es la estimaci estimaci&n &n de la tasa tasa de interé interés+ s+ Si el argumento estimar se omite se supone que es */3+ Si 0ASA no con$erge trate de usar di#erentes $alores para el argu argume ment nto o esti estima marr+ 0ASA ASA gene genera ralm lmen ente te con$ con$er erge ge si el argumento estimar se encuentra entre / ( *+ Bem Bempl plo o 1: esol$amo esol$amoss el ejerci ejercicio cio siguient siguiente e #unci&n 0ASA9;
utili'ando utili'ando la
Un capital de R*+///+/// se estJ amorti'ando con *8 cuotas mensuales de R=.+///+ Cual es la tasa que se estJ cobrandoK ecordemos que el cJlculo anterior se e#ect)o por iteraciones ( que como acabamos de mencionarlo el Ecel lo calcula de la misma manera+
>?
50AS 50ASA A 9*8 9*8 <=./ <=./// // */// *////// ///;; 5 //8 //8/7 /7.7> .7> 5 8/7 8/7.7> .7>3 3 mensual Bemplo 2: Calcular la tasa de un préstamo de R?+///+/// a cuatr cuatro o a!os con pagos pagos mensuale mensualess de R8//+/ R8//+///+ //+ En primer primer lugar supongamos supongamos que los pagos se e#ect)an e#ect)an mes $encido $encido es decir tenemos una anualidad ordinaria o $encida+ 0ASA 0ASA 9>? <8///// ?//////; es igual a /77/*3 mensual+ m ensual+ La tasa anual nominal es /77/*3P*8 que es igual a =8>*?3+ Supongamos aGora que los pagos se e#ect)an al comien'o del peri perio odo do lo que que con$ con$iierte erte la anu anuali alidad dad en anti antici cipa pada da aumentando l&gicamente el $alor de la tasa+ 0ASA9>? 0ASA9>? <8///// ?////// *; es igual a /?/.13 mensual+ mens ual+ La #unc #unci& i&n n 0ASA puede puede util utili' i'ar arse se en algu alguno noss caso casoss en los los cual cuales es no se trab trabaj aja a con con una una anua anuali lida dad d sino sino que que de una una maner manera a mJs mJs simp simple le a part partir ir del $alor $alor prese present nte e del $alor $alor #uturo #uturo ( del n)mero n)mero de períodos de una in$ersi&n in$ersi&n se requiere requiere calcular la tasa de interés peri&dica+ Bempl Bemplo o 0 Una Una pers person ona a Ga e#ec e#ectu tuad ado o una una in$e in$ers rsi& i&n n de R8+.//+/// ( después de a!o ( medio se Ga con$ertido en R1+8 R1+8./+ ./+// ///+ /+ Si los los inter interese esess se liqu liquid idar aron on ( capi capita tali li'ar 'aron on mensualmente cual es la tasa de interés mensualK 0asa 0asa mensual 50ASA9*?<8./////18.////; 50ASA9*?<8./////18.////; 5 *>2?13
unción >P( " %
La #unci&n N4E9; de$uel$e el n)mero de períodos de una in$ersi&n basJndose en los pagos peri&dicos constantes ( en la tasa tasa de inte interrés cons consta tant nte e es deci decirr calc calcul ula a el n)me n)merro de periodos de una anualidad+
SintaHis >P( 9tasa >P( 9tasa pago $a $# tipo; -asa -asa es la tasa de interés por período+ >=
Pao Pao es el pago pago e#ec e#ectu tuad ado o en cada cada perí períod odo o debe debe permanecer constante durante la $ida de la anualidad+ 8a es el $alor actual o la suma total de una serie de 8a #uturos pagos+ 8f: es el el $alor $alor #utur #uturo o o saldo en e#ecti$ e#ecti$o o que se desea desea lograr después del )ltimo pago+ Si $# se omite el $alor predeterminado es / 9por ejemplo el $alor #uturo de un préstamo es /;+ -ipo -ipo es el n)mero / & * e indica el $encimiento de los pago pagos+ s+ Si la cuota cuota es $enci $encida da el tipo tipo se omite omite ( se asume asume un cero cero si las las cuot cuotas as son antic anticip ipada adass debe debe especi"carse el $alor de *+ Bempl Bemplo o 1: esol$amos esol$amos el ejercici ejercicio o siguiente siguiente utili'ando utili'ando la #unci&n N4E9; Una persona Ga e#ectuado un préstamo de R*.+///+/// para comp compra rarr un auto autom& m&$i $ill ( se le "jan "jan cuot cuotas as mens mensua uale less de R>/.+?// R>/.+?// al 8*3 nominal nominal liquidado liquidado mensualm mensualmente+ ente+ Cuantas Cuantas cuotas debe pagar para cancelar la deudaK 5N4E 98*3*8 <>/.?// *.//////; 5 2/
&.0. Problemas resueltos *+ De Demu muest estre re que que
./
a+ Solución El $alor 9*:i;n:* < * i F < * se puede desdoblar desdoblar como 9*:i; n 9*:i; < * i F < ii 9*:i; n 9*:i; <* < i F 9*:i;n9*:i; <9* : i; i F "1#i%+"1#i% n ) 1 * i,. L<
b+ El $alor 9*:i;n:* < * i F < * se puede desdoblar desdoblar como 9*:i; n 9*:i; < * i F < i i Descomponiendo en dos #actores Entonces 5 9*:i;9*:i; n <* 9*:i;n<* < * I 9*:i; n 5 = "1#i% +"1#i%n ) 1 * i"1#i%n l<
8+ Con Con los datos datos 4 5 */// */// um i 5 13 ( n5> n5> calcu calcule le los los importes de a S ( 4 aplique los #actores "nancieros %C %CS %D%A ] %AS Solución: AC-(
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Aplicando los #actores tendremos (a = 261.1$ S = 112.61 P = 1!!! 1+ Con Con los los dato datoss i5 13 ( n 5*8 5*8 calcu calcule le los sigui siguien ente tess #actores "nancieros anticipados %C %CS %D%A ] %AS AC-(
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*9*:i;i9*:i; n 9*:i;n *9*+/ *9*+/1;P 1;P /+/19 /+/19*+/1 *+/1;;*8 <* 9*+/1;*8 T * = !.!$706!!2
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<* 9*+/1;P9*+/1;> /+/>9*+/>;> 5 1!.2262'
>+ Con$ Con$iiert erte una una anu anuali alidad dad $enc $enciida cu(o u(o Gori Gori'o 'ont nte e tempo empora rall es sei seis mese mesess ( se comp compo one de rent entas uni#ormes mensuales de .// um cada una en una anualidad anticipada+ Utilice una 0E6 de >3+ Solución 5 .// n52 0E6 5 /+/> Calculando el alor Presente con !! 4 5 .//9*+/>;2 <* /+/> 9*+/>;2 4 5 .//9.+8>8*12?2; P = 2621.!6&' Aplica Aplicamos mos aGora aGora la #&rmul #&rmula a del del cJlcul cJlculo o de de renta anticipada a partir del $alor 4resente+ a 5 4 9*:i; %C a5 828*+/2?>1*+/> /+/> 9*+/>;2 9*+/>; 2 < *F .8
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a 5 828*+/2?>1*+/> 9/+*=/72*8;_ (a = '&!.77 .+ Sustit Sustitu(a u(a una serie de cuatr cuatro o imposi imposicio ciones nes mensuale mensualess uni#ormes de >?/+77 um cada una por otra equi$alente con pagos mensuales $encidos+ Utilice una 0E6 de >3+ Solución: Calculamos el alor presente con rentas anticip anticipada adas s mensual mensuales es de '&!.77 '&!.77 por ' meses meses con -/ de 'J Aplicando la fórmula: 4 5 a 9*:i;9*:i;n < * i9*:i;n 4 5 >?/+77 9*+/>;9*+/>;> < * /+/>9*+/>;> P = 1&1'.& Aplica Aplicamo mos s aora aora la fórm fórmul ula a del cDlcul cDlculo o de la renta encida a partir del alor presente. 5 4 /+/> 9*+/>; > 9*+/>;> < *F 5 *?*>+?. 9/+87.>=//.; 5 >==+= ( = !! /onto de una anualidad simple anticipada 2+ En un cuatrim cuatrimestr estre e se e#ect)an e#ect)an dep&sit dep&sitos os de */// um al inicio de cada mes en un banco que remunera esos dep&sitos con una 0NA 123 capitali'able mensualmente+ Hué monto se acumularJ al "nal del cuarto mesK Solución a 5*/// um+ 0NA 5 /+12 capitali'able mensualmente+ 0N6 5 /+12*8 5 /+/1 n 5 > meses S 5 HK Aplicando la #&rmula S = (a "1#i%+"1#i%n ) 1 * i , S 5 *///9* : /+/1;9*:/+/1;> < * /+/1F S 5 *///9*+/1;91+7/7/=?>; S = '0!$.1' 7+ El prime primerr día día )til )til de cada cada mes la comp compa!í a!ía a 4rot 4rotec ecta ta coloca en un banco 8/3 de sus ecedentes de caja que que asci ascien ende den n a .// .// um+ um+ Si por por dicG dicGos os dep& dep&si sito toss .1
percibe una 0E6 de 13 HCuJnto GabrJ acumulado al termino del seto mes K + Solución a 5 .// 0NA 5 /+12 capitali'able mensualmente+ 0E6 5 /+/1 n 5 2 meses = Q = S = 8 = 8alor futuro Aplicando la #&rmula = (a "1#i% +"1#i%n ) 1 * i , % 5 .//9* : /+/1;9*:/+/1;2 < * /+/1F % 5 .//9*+/1;92+>2?>/=??; = 0001.20 ?+ Una Una pers person ona a depo deposi sita ta en una una cuen cuenta ta de aGor aGorrros a inic inicio ioss de cada cada trim trimes estr tre e un impo import rte e const constant ante e de 8/// um+ Hué monto acumularJ en el pla'o de dos a!os si perc ercibe una 0NA de 8>3 capi apitali'abl able trimestralmenteK Solución: a 58/// um+ trimestral 0NA 5 /+8> capitali'able trimestralmente+ 0N6 5 /+8>> 5 /+/2 n 5 8 a!os 5 ? trimestres+ S 5 HK Aplicando la #&rmula S = (a "1#i%+"1#i%n ) 1 * i , S 5 8///9* : /+/2;9*:/+/2;? < * /+/2F S 5 8///9*+/2;9=+?=7>27=/=; S = 2!$&2.60 =+ Hué monto puede acumularse durante 1 a!os consecuti$os si se depositan */// um al inicio de cada mes en un banco que remunera era eso esos dep& ep&sit sitos con una 0NA de 8>3 capitali'able mensualmenteK Solución a 5*/// um+ 0NA 5 /+8> capitali'able mensualmente+ 0N6 5 /+8>*8 5 /+/8 n 5 1 a!os 5 12 meses S 5 HK Aplicando la #&rmula S = (a "1#i%+"1#i%n ) 1 * i , .>
S 5 *///9* : /+/8;9*:/+/8;12 < * /+/8F S 5 *///9*+/8;9.*+==>127*=; S = 0!0'.2 */+ HCuJl ser serJ el im importe rte del del mon monto al "n "nal del del se seto mes si se e#ect)an dep&sitos de */// um a inicios de cada mes en una instituci&n bancaria que paga una 0NA de 123 con capitali'aci&n trimestralK Solución a 5*/// um+ 0NA 5 /+12 capitali'able trimestralmente+ 0N0 5 /+12> 5 /+/= 0EA 59*+/=; > < * 5 /+>**.?*2* 9*:0N6;*8 < * 5 /+>**.?*2* 0N6 5 /+/8=*>8>27 n 5 2 meses S 5 HK Aplicando la #&rmula S = (a "1#i%+"1#i%n ) 1 * i , S 5 *///9* : /+/8=*>8>27;9*:/+/8=*>8>27;2 < * /+/8=*>2>87F S 5 *///9*+/8=*>8>27;92+>.>>=?82?; S = 66'2.6! **+ **+ Hué Hué mont monto o se se Gab GabrJ rJ acum acumul ulad ado o en en una una cuent uenta a de aGorros si a inicios de mes ( durante ? mese mesess cons consec ecut uti$ i$os os se depos deposit it& & ?// ?// um en un banc banco o que que remunera a esos aGorros aGorros con una 0EA de *83K Solución a 5?// um+ 0EA 5 /+*8 0N6 5 n 5 ? meses S 5 HK Aplicando la #&rmula S = (a "1#i%+"1#i%n ) 1 * i , S 5 ?//9* ?//9* : /+//=>? /+//=>??7= ?7=;* ;*:/+/ :/+//=>? /=>??7=; ?7=;? /+//=>??7=F S 5 ?//9*+///=>??7=;9?+87/7?.=; S = 667$.'1
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*
8alor presente de una anualidad simple anticipada ..
*8+ *8+ El alqu alquiiler de de un loc local al com comer erci cial al es es .// .// um um pag pago o que debe e#ectuarse a inicios de cada mes+ El due!o del del loc local le prop propon one e al arr arrend endatar atario io e#ec e#ecttuar uar un descuento en las cuotas mensuales con una 0E6 de >3 en el caso caso que que le abon abone e anti antici cipa pada dame ment nte e los los alquileres correspondientes a un a!o+ Calcule el $alor presente de los doce pagos anticipados+ Solución: a5 .// mensuales n 5 *8 0E6 5 /+/> Aplicando la #ormula P = (a "1#i%+"1#i% n ) 1 * i"1#i%n , 4 5.//9*:/+/>;9*:/+/>;*8 < * /+/>9*+/>;*8 F 4 5 .//9*+/>;9=+1?./7172; P= ''&!.2' *1+ Un cré crédito mut mutual qu que de$ de$eng enga una una 0NA 0NA de de 123 123 capi capita tali li'ab 'able le trim trimes estr tral almen mente te #ue #ue cont contra rata tado do para para amorti'ar 'arse con 8/ imposiciones trimestr strale ales uni#ormes de 8./ um+ Al $encimiento de la imposici&n *8 el cliente cliente decide cancelarla cancelarla conjuntamente conjuntamente con las cuotas insolutas+ HCuJl es el importe total por cancelar en esa #ecGaK Solución: a5 8./ trimestrales n 5 8/ 0NA 5 123 0N0 5 /+121 5 /+/= Cuando ence la 12aa cuota de 2! le faltaban & entonces se calcula el alor Presente de $ cuotas incluida la 12aa. Aplicando la #ormula P = (a "1#i%+"1#i%n ) 1 * i"1#i% n , 4 5 8./9*:/+/=;9*:/+/=; = < * /+/=9*+/=;= F 4 5 8./9*+/=;9.+==.8>2?=>; P= 1600.7! *>+ *>+ HCuJ HCuJll es el el prec preciio de co contad ntado o equ equi$al i$alen ente te de de una una mJquina que se $end ende a crédi édito con *8 cuotas mensuales anticipadas de 8// cada unaK El costo de oportunidad es una 0E6 de 83K Solución: a5 8// mensuales .2
n 5 *8 0E6 5 /+/8 Aplicando la #&rmula P = (a "1#i%+"1#i% n ) 1 * i"1#i% n , 4 58//9*:/+/8;9*:/+/8;*8 < * /+/89*+/8;*8 F 4 5 8//9*+/8;9*/+.7.1>*8; P = 217.07 *.+ *.+ Calc Calcul ule e el impo import rte e tot total al del del int inter erés és por por paga pagarr en en la la amorti'aci&n de un préstamo pactado a una 0E6 de >3 dura durant nte e medi medio o a!o a!o con con impo imposi sici cion ones es igua iguale less mensuales de .// um+ Solución: a5 .// mensuales n52 0E6 5 /+/> Aplicando la #&rmula P = (a "1#i%+"1#i% n ) 1 * i"1#i%n , 4 5.//9*:/+/>;9*:/+/>;2 < * /+/>9*+/>;2 F 4 5 .//9*+/>;9.+8>8*12?2; P= 272.$1117 "oR% K = -otal paado P K = 69!! ) 272.$1117 K = 27'.!$ *2+ *2+ 4ara ara la adq adqui uisi sici ci&n &n de de una una maqu maquiina se se disp dispon one e de 8/3 de su precio de contado+ El saldo serJ "nanciado por el mismo pro$eedor con *8 imposiciones iguales mensuales de .// um cada uno con una 0E6 de 13+ Cal Calcul cule el prec precio io de cont contad ado o equi equi$a $ale lent nte e de la mJquina+ Solución: a5 .// mensuales n 5 *8 0E6 5 /+/1 Se calcularJ el $alor presente del ?/3 del precio Aplicando la #&rmula P = (a "1#i%+"1#i%n ) 1 * i"1#i% n , 4 5.//9*:/+/1;9*:/+/1;*8 < * /+/19*+/1;*8 F 4 5.//9*+/1;9=+=.>//1==; 45 .*82+1*8// 4 5 .*82 .*82+1 +1*8 *8// // es el ?/3 ?/3 el *//3 *//3 serJ serJ 9.*82+1*8//P*//; ?/ P = 6'!7.&$ .7
*7+ Calcule el $alor presente de una anualidad compu ompues esta ta de 8/ renta entass uni# uni#or orme mess tri trimest mestrrales ales anticipadas de 8/// um+ cada um+ aplicando una 0E6 de *+.3+ Solución: a5 8/// mensuales n 5 8/ 0E6 5 /+/*. 0E0 5 9*:/+/*.;1 < * 5 /+/>.27?17 Aplicando la #&rmula P = (a "1#i%+"1#i%n ) 1 * i"1#i% n , 4 58///9*:/+/>. 58///9*:/+/>.27?17; 27?17;9*:/+/ 9*:/+/>.27?17; >.27?17;8/ < * /+/>.27?179*+/>.27?17;8/F 4 5 8///9*+/>.27?17; 9*8+=1*?/=1; P = 27!'.!0
(enta uniforme anticipada en función de S *?+ *?+ La co compa! mpa!íía Bac Bacobs obs tomo tomo la la deci decisi si&n &n de de adq adquiri uirir r dent dentrro de seis seis mese meses s una una nue$ nue$a a cami camion onet eta a para para distribuir sus productos 9se estima que el precio de la camioneta serJ de *1/// um;+ 4ara este e#ecto decide aGorrar mensualmente en ese pla'o una determinada cantidad uni#orme al inicio de cada mes+ Calcule el import important ante e de la cuota cuota consta constante nte antici anticipada pada que le permita #ormar dicGo #ondo a "nes del seto mes si sus aGorros perciben una 0E6 de 83+ Solución: S 5 *1/// um+ 0E6 5 /+/8 n 5 2 meses Apli Ap lica cand ndo o la fórm fórmul ula a .+/=P9/+*.?.8.?*; ( = 2!2!.'0 .?
*=+ Se estima que dentro de cuatro meses deberJ adquirirse una maquina cu(o precio serJ ./// um+ Si se empi empie' e'a a Go( Go( Hué Hué cant cantid idad ad uni# uni#or orme me debe deberJ rJ depo deposi sita tars rse e cada cada 1/ días días dura durant nte e ese ese peri period odo o de tiempo en un banco que paga una 0E6 de *3 a "n de comprar dicGa mJquina con los aGorros capitali'adosK Solución: 4 5 ./// um+ 0E6 5 /+/* n 5 > meses Apli Ap lica cand ndo o la fórm fórmul ula a < * F 5 >=./+>=P9/+8>28?*/=; ( = 121$.21 8/+ 8/+ Calcu alculle el imp impo orte rte de la la impo imposi sici ci&n &n uni uni#o #orrme que que colocada cada mes en un banco con una 0E6 de *.3 durante el pla'o de > a!os permita acumular un #ondo para rempla'ar una maquina cu(o precio se estima al "nali'ar ese periodo en 18/// um+ Solución S 5 18/// 0E6 5 /+/*. n 5 > a!os 5 >? meses a5`HK Aplicando la #&rmula de cJlculo de a partir del $alor #uturo de una anualidad anticipada a 5 S9*:i; i 9*:i;n < *F a 5 18/// 9*:/+/*.; P /+/*. 9*:/+/*.;>? <* F a 5 1*.87+/= 9/+/*>17.; (a = '0.2! 8*+ Calcule el importe de la renta constante que colocada al inicio de cada trimestre durante > a!os perm permit ita a cons consti titu tuir ir un mont monto o de 8//// 8//// um+ um+ La 0EA 0EA aplicable es *83+ Solución S 5 8//// .=
0EA 5 /+*8 0N0 5 HK 9*:0N0;> < * 5 /+*8 > 0N05 *+*8 < * 0N0 5 *+/8?7171> 0N0 5/+/8?7171> n 5 > a!os 5 *2 trimestres a5`HK Aplicando la #&rmula de cJlculo de a partir del $alor #uturo de una anualidad anticipada (a = S*"1#i%9 +i * "1#i%n ) 1,
a 5 8/// 8//// / 9*:/ 9*:/+/ +/8? 8?71 7171 71>; >; P /+/ /+/8? 8?71 7171 71> > *8 9*:/+/8?7171>; < *F
a 5 *=>>*+1/?> 9/+/./*/7/8; (a = $7'.1
(enta uniforme anticipada en función de P 88+ Un pré préstamo de .// ./// um deb debe cancelarse en el pla'o pla'o de un a!o con con cuot cuotas as uni#o uni#orm rmes es mensua mensuale less antici anticipada padas+ s+ El préstam préstamo o de$enga de$enga una 0EA de 8>3+ Calcule el importe de la cuota anticipada+ Solución: 4 5 ./// N 5 *8 meses 0EA 5 /+8> 0N65 HK 9*:0N6; *8 < * 5 /+8> 0N6 5 *8 *+8> < * 0N65 /+/*?/?7.? Aplicando la #&rmula #&rmula para Gallar a dados 4 n e i a 5 4 9*:i; P i9*:i; i9*:i;n 9*:i;n < * a 5 .///9*:/+/*?/?7.?; P /+/*?/?7.? 9*:/+/*?/?7.?;*8 9*:/+*?/?7.?;*8 < * a 5 >=**+*2??1 9/+/=1>.8.8; (a = '&.$6 81+ La empresa equipos S+A $ende sus mJquinas al contado en *//// um pero debido a que consigui& un "nanci "nanciami amient ento o del eteri eterior or estJ estJ planean planeando do e#ectu e#ectuar ar $entas a crédito con una cuota inicial ( seis cuotas mensuales mensuales uni#orme uni#ormes s todas iguales+ iguales+ Si la la 0EA que se
2/
piensa cargar al "nanciamiento es 8. 3 calcule el importe de las cuotas del programa de $entas a pla'o+ Solución: 4 5 *//// n 5 /7 meses 0EA 5 /+8. 0N65 HK 9*:0N6; *8 < * 5 /+8. 0N6 5 *8 *+8. < * 0N65 /+/*?72=87 Aplicando la #&rmula #&rmula para Gallar a dados 4 n i (a = P *"1#i% 9 + i"1#i%n * "1#i%n ) 1 a 5 *////9*:/+/*?72=87; P /+/*?72=87 9*:/+/*?72=87;7 9*:/+*?72=87;7 < *F a 5 =?*.+72.1P/+*.17?*?8 (a = 1!$.'$ 8>+ La empresa EletroSur dedicada a la $enta de grupos electr&genos con un precio al contado de 1/// um estJ planeando e#ectuar $entas al crédito sin cuota inicial ( seis cuotas mensuales uni#ormes anticipadas cargan cargando do una 0E6 de >3+ >3+ HCuJl HCuJl serJ el import importe e de cada cuotaK Solución: 4 5 1/// n5 2 meses 0E6 5 /+/> Aplicando la #&rmula #&rmula para Gallar a dados 4 n e i (a = P *"1#i% 9 + i"1#i%n * "1#i%n ) 1 a 51///9*:/+/>; P /+/> 9*:/+/>;2 9*:/+/>;2 < * a 5 8??>+2*.18? 9/+*=/72*=; (a = !.27 Calculo de n en una anualidad anticipada 8.+ 8.+ En cuJnt uJnto o tiem tiempo po podr podrJ J acum acumul ular arsse un mon montto de 8/// 8/// um um si se e#ec e#ectt)an )an dep& dep&si sito toss qui quincen ncenal ales es anticipados de *./ umK El banco paga una 0NA de 8>3 capitali'able mensualmente+ Solución S 5 8/// um+ a 5 *./um 0NA 5 /+8> capitali'able mensualmente 2*
0E6 5 /+8> *8 5 /+/8 0E6 5 9*:0N;8 < * 0N 5 8 *+/8 < * 0N 5 /+//==./>= Aplicando la #&rmula #&rmula de cJlculo de n dados S i ( a+ n = Lo +Si* (a "1#i% # 1, * Lo "1#i % n 5 Log 8///P/+//==. 8///P/+//==./>= />= *./9*: /+//==./>=; /+//==./>=; : * Log 9*:/+//==./>=; n 5 Log *+*1*122/=F *+*1*122/=F Log9*+//==./>=; n 5 /+/.12/1*2 //>1/*? n = 12.'6 =; n 5 /+/=/=22. /+/*8?1788 n = 7.!$ meses. 87+ HCuJntas cuotas men mensuale ales anticipadas de *2./ um serJn necesarias para cancelar un préstamo de ?.// umK La deuda se contrajo en un banco que cobra una 0NA de 8>3 con capitali'aci&n trimestral+ Solución 4 5 ?.// um+ a 5 *2./ um mensuales 0NA 5 /+8> capitali'aci&n trimestral+ 0N0 5 /+8> > 5 /+/2 0N6 9*:0N6; 1 < * 5 /+/2 0N6 5 1 *+/2 < * 0N6 5 /+/*=2*8?8 Aplicando la #&rmula de cJlculo de n dados 4 i ( a+ n = ) Lo +1 ) Pi * (a "1#i% , * Lo "1#i % n 5 Log * < ?.//P/+/*=2*8? ?.//P/+/*=2*8?8 8 *2./9*: *2./9*: /+/*=*8?8; /+/*=*8?8; Log 9*:/+/*=2*8?8; n 5 < Log /+=//=/F Log 9*+/*/2*8?8; n 5 /+/>.1*=2? /+//?>1.8= 28
n = .07 meses
8?+ 8?+ Un elec electr trod odom omés ésti tico co tien tiene e un un pr precio ecio de *8// *8// um al contado+ 4ara incrementar las $entas se piensa o#recer a crédi crédito to sin sin cuot cuota a inic inicia iall ( con con cuot cuotas as mens mensual uales es iguales anticipadas de *// um+ HCuJntas cuotas deben tener ese programa de crédito al que se le carga una 0E6 de >3K Solución 4 5 *8// um+ a 5 *//um 0E6 5 /+/> Aplicando la la #&rmula #&rmula de cJlculo de n dados 4 i ( a+ a+ n = ) Lo +1 ) Pi * (a "1#i%, * Lo "1#i % n 5 Log * < *8//P/+/> *8//P/+/> *//9*: *//9*: /+/>; Log 9*: /+/>; n 5 < Log /+.1?>2*.>F Log 9*+/>; n 5 /+82??>.1* /+/*7/111> n = 1.7& meses
CDlculo de i en una anualidad anticipada 8=+ 4or campa!a a!a escolar una casa comercial o#r o#rece paquetes escolaresV por un importe de *8// um que se amor amorti ti'a 'arJ rJ en el pla' pla'o o de un a!o a!o con con cuota uotass mensuales anticipadas de *8/ um cada una+ HCuJl es la 0E6 cargadaK Solución 4 5 *8// a 5 *8/ n 5 *8 meses i 5 HK Calculamos Calculamos i por por tanteo ( error error a partir partir del dato de 4 4 a ( n 4 5 a 9*:i;9*:i;n < * i 9*:i;n F *8// 5 *8/9*:i; 9*:i; *8 < * i 9*:i; *8F */ 5 9*:I; 9*:i; *8 < * i 9*:i; *8F Aplicando tanteo ( error 4robando i 5 /+/. */ 5 9*:/+/.; 9*:/+/.;*8 < * /+/. 9*:/+/.;*8 21
*/ 5 *+/. 9?+?218.*2>; */ 5 =+1/ =+1/2 2 el $alor $alor real real EQ EQCEDE CEDE al $alor $alor tante tanteado ado debemos subir el $alor -anteado antead o baBamos la tasa a !.!0 */ 5 9*:/+/1.; 9*:/+/1.;*8 < * /+/1. 9*:/+/1.;*8 */ 5 *+/1. 9=+2211; */ 5 */+/>+ La tasa es 0.J mensual 1/+ 1/+ Una Una mJq mJqui uina na pued puede e adq adqui uiri rirs rse e de de con conta tado do en 8.// 8.// um ( a crédito con 2 cuotas iguales mensuales anticipadas de >./ um+ Calcule la 0NA+ Solución 4 5 8.// a 5 >./ um+ n 5 2 meses+ 0NA 5 HK Calculamos i por tanteo ( error a partir del dato de 4 a (n 4 5 a 9*:i;9*:i; n < * i 9*:i;n F 8.// 5 >./9*:i; 9*:i; *8 < * i 9*:i; *8F .+...... 5 9*:I; 9*:i; *8 < * i 9*:i; *8F Aplicando tanteo ( error e rror 4robando i 5 /+/. .+...... 5 9*:/+/.; 9*:/+/.;2 < * /+/.9*:/+/.;2 .+..... 5 *+/. 9.+/7.2=8/7; .+..... 5 .+87?7*=7. El $alor real EQCEDE al $alor encontrado bajamos la tasa a 1+?3 .+.. .+.... .... .. 5 9*:/ 9*:/+/ +/1? 1?;; 9*: 9*:/+ /+/1 /1?; ?;2 < * 2 /+/1?9*:/+/1?; .+..... 5 *+/. 9.+872>>*88;1 El $alor real EQCEDE al $alor encontrado bajamos la tasa a 1+7.3 .+...... 5 9*:/+/17.; 9*:/+/17.; 2 < * /+/1 /+/17. 7. 2 9*:/+/17.; .+..... 5 *+/. 9.+8?./; .+..... 5 .+>?18 0anteamos 0anteamos con la tasa 1+713 .+...... 5 9*:/+/171; 9*:/+/171; 2 < * /+/1 /+/171 71 2 9*:/+/171; .+..... 5 9*+/171; 9.+8??./; .+..... 5 .+>?2 2>
El $alor real EQCEDE al $alor encontrado bajamos la tasa a 1+7/3 .+...... 5 9*:/+/17/; 9*:/+/17/; 2 < * /+/1 /+/17. 7. 9*:/+/17/;2 .+..... 5 *+/17/ 9.+8=17; .+..... 5 .+>=88 El $alor real EQCEDE al $alor encontrado bajamos la tasa a 1+2.3 .+...... 5 9*:/+/12.; 9*:/+/12.; 2 < * /+/1 /+/17. 7. 9*:/+/12.;2 .+..... 5 *+/12. 9.+1/81; .+..... 5 .+./*8 El $alor real EQCEDE al $alor encontrado bajamos la tasa a 1+..3 .+...... 5 9*:/+/1..; 9*:/+/1..; 2 < * /+/1 /+/1.. .. 9*:/+/1..;2 .+..... 5 *+/1.. 9.+1/81; .+..... 5 .+./*8 El $alor real EQCEDE al $alor encontrado bajamos la tasa a 1+113 .+...... 5 9*:/+/111; 9*:/+/111; 2 < * /+/1 /+/111 11 9*:/+/111;2 .+..... 5 *+/111 9.+1.?>; .+..... 5 .+..+ Oajando la tasa a 1+1*3 ambos $alores $alores coinciden Entonces las tasa mensuales 1+1*3 La ->A es 0.01912 = 0$.72J
2.
&.' Problemas diersos *+ Calcular el $alor de contado de una propiedad $endida a *. a!os a!os de pla' pla'o o con con pago pagoss de R1+/ R1+/// // mens mensua uale less por por mes mes anti antici cipa pado do si la tasa tasa de inte interrés es del del *83 *83 con$ con$er erti tibl ble e mensualmente+ Solución Solución rJ"camente
a 5 1/// mensuales 0NA 5 /+*8 0N6 5 /+*8*8 5 /+/* Apli Aplica cand ndo o la #&rm #&rmul ula a de $alo $alorr prese present nte e para para anua anuali lida dades des anticipadas 4 5 aP9*:i; 99 * :i ; n < * i P9*: i ;n ;; 4 5 1/// 9 * :/+/*; 9 9 *: /+/*;*?/ < * /+/*P9.+=..?/*=?; 4 5 1///P*+/* P?1+18*22> P = 22'6'.6' 8+ Una Una pers person ona a recib ecibe e tres tres o#er o#erta tass para para la comp compra ra de su propiedad propiedad 9a; R>//+/// de contado contado 9b; R*=/+/// R*=/+/// de contado ( R./+/// semestrales en #orma anticipada durante 8 Y a!os 9c; R8/+/// por trimestre anticipado durante 1 a!os ( un pago de R8./ R8./+/ +/// // al "nal "nali' i'ar ar el cuar cuarto to a!o a!o+ Hué Hué o#erta debe o#erta debe escoger si la tasa de interés es interés es del ?3 anualK Solución ferta a:
4 5 >/////
ferta b%
22
ferta b Al contado *=//// 5 .//// anticipadas n 5 8+. a!os n 5 . semestres 0NA 5 /+/? 0NS 5 /+/?8 5 /+/> Apli Aplica cand ndo o la #&rm #&rmul ula a de $alo $alorr prese present nte e para para anua anuali lida dades des anticipadas 4 5 aP9*:i; 99 * :i ; n < * i P9*: i ;n ;; 4 5 .//// 9 * : /+/>; 9 9 *: /+/>;. < * /+/>P9*+8*22.8=; 4 5 .////P*+/> P>+>.*?8811 P = 201'$'.76 8alor presente total: 4 5 *=//// : 81*>=>+72 P = '21'$'.76 ferta C: MrDcamente:
5 8//// anticipadas trimestrales n 5 1 a!os n 5 *8 trimestres 0NA 5 /+/? 0N0 5 /+/?> 5 /+/8 Pao de 2!!!! al nal del cuarto ao Apli Aplica cand ndo o la #&rm #&rmul ula a de $alo $alorr prese present nte e para para anua anuali lida dades des anticipadas P = Ra*(1+i) (( 1 +i ) n -
1
/ i *(1+ i ) n
4 5 8//// 9* : /+/8; 9 9 *: /+/8; 4 5 8////P*+/8 P */+.7.1>*8 P = 21706.$6 El pago de 8.//// se actuali'a M498.///; 5 8.//// 9 *: /+/?;> = 1&077.'6
*8
))
< * /+/8P9*+/8;*8
8P- = 21706.$6 # 1&077.'6 1&077.'6 = 0$$'$'. '2 '2 27
espuesta 5 @#erta b es la mJs con$eniente+ 1+ HCuJl es el $alor presente presente de una renta de R.// depositada a principio de cada mes durante *. a!os en una cuenta de aGorros que gana el =3 con$ertible mensualmenteK SLUCK3> MrDcamente:
a 5 .// n 5 *. a!os 5 *?/ meses 0NA 5 /+/= 0N6 5 /+/= *8 5 /+//7. 4 5 HK Apli Aplica cand ndo o la #&rm #&rmul ula a de $alo $alorr prese present nte e para para anua anuali lida dades des anticipadas P = Ra (1+i) ((1 +i ) n -
1
/ i *(1+ i ) n
))
*?/
4 5 .// 9* :/+//7.; :/+//7.; 9 9 *: *: /+//7.; /+//7.; < * *?/ /+//7.; ; 4 5 .//P*+//7. P8+?1?/>187 /+/8?7?.18 P = '$6666.'0
/+//7.P9 /+//7.P9 *:
>+ Hué suma debe depositarse depositarse a principio principio de cada a!o en un #ondo que abona el 23 para pro$eer la sustituci&n de los equipos de una compa!ía cu(o costo es costo es de R8+///+/// ( con una $ida )til de . a!os si el $alor de sal$amento se estima en el */3 del costoK Solución: MrDcamenteO
4 5 8////// pero Ga( un $alor de sal$amento que es lo que se podría recuperar por la $enta del equipo al "nal de su $ida )til entonces se descuenta Nue$o Nue$o $alor $alor de 4 5 8////// 8////// T /+*/P98/// /+*/P98////// ///;; 5 *?///// *?///// luego calculamos la suma a depositarse con los siguientes datos 2?
5atos del problema: 4 n 0NA A 5 a
*?///// /. a!os /+/2 HK
Aplicando la #&rmula dados 4 i n encontrar e ncontrar a Ra = P/ (1+i) *((i*(1+i) n / ( 1 + i ) n -
1 )
a 5 *?///// *?///// 9 * : /+/2; P 9 9 /+/2 P9* : /+/2 ;. 9 * : /+/2 ;. < * ; a 5 *?/////9*+/2; P 9/+811=2>; (a = '!012.$6 .+ Sustituir una serie de pagos de R?+/// al "nal de cada a!o por el equi$alente en pagos mensuales anticipados con un interés del =3 con$ertible mensualmente+ Solución: MrDcamente: Se trata de un $alor #uturo anual de ?/// que deberJ ser sust sustit itui uido do por por *8 pago pagoss mens mensua uale less anti antici cipa pado dos+ s+ Se pide pide calcular el $alor de la renta anticipada9a;
S 5 ?/// 0NA 5 /+/= 0N6 5 /+/= *8 5 /+//7. 0N6 5 /+//7. Aplicando la #&rmula (a = S/(1+i) *(( i / ( 1 +i ) n - 1)) a 5 ?/// 9*+//7.; P9 9 * :/+//7.;*8 a 5 7=>/+>>22. P 9/+/7==.*>?; (a = 60'.&
<
* ;;
2+ Un empleado consigna R1// al principio de cada mes en una cuenta de aGorros que paga el ?3 con$ertible mensualmente+ HEn cuJnto tiempo lograrJ aGorrar R1/+///K+ Solución 2=
A 5 a 5 1// % 5 S 5 1//// 0NA 5 /+/? 0N6 5 /+/? *8 5 /+//222227 Apli plicando ando la #&r #&rmula mula de $alor alor #utu #uturro de una una anu anuali alidad dad anticipada S = Ra*FCS(i,n )*(1 + i )
Despejando ( calculando el $alor de n a partir de % A e i 0enemos 0enemos n = Log ( S*i / Ra*(1+i)
+
1
/ Log (1 + i )
n 5 Log 9 1////P/+//2222 1////P/+//222227 27 1//P9 * : /+//222227; /+//222227; : Log 9 * : /+//222227; n 5 log log 9 *+2288.*22; Log 9*+//222227; n 5 /+88/2=277 /+//8??.2= n = 76.'7$ meses
*
7+ Una Una pers person ona a recib ecibe e por por conc concep epto to de arri arrien endo do 9mes 9mes anticipado; la suma de R*+///+/// mensuales ( deposita el >/3 en una cuenta de aGorros en una instituci&n "nanciera que que le recon econoc oce e el 83 de inter interés és mens mensua ual+ l+ El dep&s dep&sit ito o lo reali'a un $e' recibe el $alor de la renta+ renta+ Si el inmueble estu$o arrendado por un a!o ( medio HCuJnto tendrJ acumulado en la cuenta al "nal de los *? mesesK Solución R = A = $1.000.000*40% = $400.000 n = 18 TNM: = 0.02 S=F =¿? Gráfico:
En el diagrama de flujo de caja se puede observar que el último pago queda ubicado al final del mes 17 y la operación termina al final del mes 18; el cálculo del ejercicio requiere que se calcule al final del mes 18 !a cantidad de
7/
depósitos son 18 adelantados y se debe "#$%&#!%'#( )asta el final del mes 18 #plicando la formula* se tendr+a,
S = R*FCS(0.02,18)* (1+i)
S 5 R>//+///P98*+>*81*817=;P9*+/8; S 5R>//+///P8*+?>/..?2822 S = N&.706.220.' N&.706.220.' Es decir decir** al cabo cabo de ao y medi medio o de )abe )aberr inic inicia iado do la oper operac ació ión n tend tendrá rá a)orrada la suma de . 87/0/23
La a!"a # caia"i&aci'n (r)a:
?+ En una anualidad anticipada de 2 meses con renta mensual de R 22/ ( tasa del 88+.83 con$ertible mensualmente+ Se desea calcular el $alor actual+ Solución MrDcamente: 7*
!))))))))))))1)))))))))))))))2))))) !))))))))))))1)))))))))))))))2)))))))))))))0))))))) ))))))))0)))))))))))))'))))))))))) ))))))'))))))))))))) )))))))))))))6
66! 66!
66!
66!
66!
66!
0NA 5 /+88.8 0N6 5 /+88.8 *8 5 /+/*?72227 Apli Aplica cand ndo o la #&rm #&rmul ula a de $alo $alorr prese present nte e para para anua anuali lida dades des anticipadas P = Ra (1+i) ((1 +i ) n -
1
/ i *(1+ i ) n
))
4 5 22/ 9* :/+/* :/+/*?72 ?72227 227;; 9 9 *: /+/*?72 /+/*?72227; 227;2 /+/*?72227P9 *: /+/*?72227;2 ; 4 5 22/P*+/*?72227 P.+28>?*==. P = 07&2.!
<
*
=+ Un arquitecto desea aGorrar R >/// al inicio de cada mes dura durant nte e /. a!os a!os++ Si sus sus aGor aGorro ross gana ganan n .+>3 .+>3 con$ con$er erti tibl ble e mensualmente +HCuJnto GabrJ acumulado al mes siguiente del )ltimo dep&sitoK Solución a 5 >/// n 5 /. a!os 5 2/ meses 0NA 5 /+/.> 0N6 5 /+/.> *8 5 /+//>. Aplicando la #&rmula S = Ra (1+i)*( ( 1 +i ) n - 1 / i ))
S 5 >///P*+//>.P2?+7/>782 S = 276!.$ */+ Hué renta renta anual anual anticipada anticipada es equi$alente equi$alente a una renta renta mensual anticipada de R 2?/ a una tasa de 8.3 con$ertible mensualmenteK Solución: a 5 2?/ mensual 0NA 5 /+8. 0N6 5 /+8.*8 5 /+/8/?1111 n 5 *8 4 Aplicando la #&rmula de $alor presente para anualidades anticipadas P = Ra (1+i) ((1 +i ) n -
1
/ i *(1+ i ) n
78
))
4 5 2?/ 9* :/+/8 :/+/8/?1 /?1111 111 9 9 *: /+/8/?1 /+/8/?1111; 111;*8 /+/8/?1111P9 *: /+/8/?1111;8/ ; 4 5 2?/P*+/8/?1111 P*/+.8*>*?7 P = $160.!&
<
*
CAPT-UL $: A>UALK5A5S A>U ALK5A5S 5K(K5AS $.1. Concepto Una Una anua anuali lida dad d di#e di#eri rida da se cons consid ider era a como como inic inicio io después de uno $arios periodos desde cuando reali'a el préstamo o inicia el crédito en el momento cero se tomarJ en cuenta el periodo di#erido que se denominarJ con la $ariable , luego las #&rmulas de $alor $alor #uturo #uturo ( $alor presen presente te se aplicarJn aplicarJn tan igual igual como las rentas $encidas o anticipadas seg)n sea el caso $.2. Problemas resueltos. *+ Con las $ariabl $ariables es , periodos periodos di#eridos di#eridos n periodos periodos de renta renta rentas $encidas a rentas anticipadas i tasas de interés las cuales son del mismo pla'o ( con la suma de una prog progrresi& esi&n n geom geomét étri rica ca dedu dedu'c 'ca a la #&r #&rmula mula del del $alo $alorr presente de a+ Una anual anualida idad d di#erid di#erida a $encida+ $encida+ b+ Una anuali anualidad dad di#eri di#erida da anticip anticipada+ ada+ Solución a; Malor presente presente de una una anualidad anualidad di#erida di#erida $encida $encida 4 5 *9*:i; F9*:i;* : 9*:i;8 : 9*:i;1 : 9*:i;> :+: 9*:i; 9*:i; n<* : 9*:i 9*:i;n F #actori'a #actori'ando ndo queda queda una sumatoria con ra'&n 71
* 9*:i;+ Luego
P = ( +"1#i% n ) 1 * i"1#i%n ,+"1*"1#i%R , b; Malor presente presente de una anualidad anualidad di#erida di#erida adelantada adelantada ;* ;8 4 5 *9*:i; F9*:i : 9*:i : 9*:i;1 : 9*:i;> : : 9*:i; n<* : 9*:i 9*:i;n F luego #actori'ando #actori'ando tenemos P = ( 9 1*"1#i%R +"1#i%n ) 1 * i"1#i%n , 8+ Con Con los dat datos os 4 5 *// um+ um+ i 5 13 , 5 > ( n 5 2 calc calcul ule e los importes de S ( 4+ Aplique los #actores "nancieros ( considere que las rentas son $encidas+ Solución En una tabla presentamos los 2 #actores "nancieros 4 5 *// i 5 /+/1 , 5 > n 5 2 8alor 8alor de ( = P "1#i% R +i"1#i%n * "1#i%n ) 1 , > 2 2 5 *//9*:/+/1; /+/19*:/+/1; 9*:/+/1; < * F ( = 2!.777 8alor 8alor de S = ( +"1#i% n ) 1 * i , S 5 8/+7779*:/+/1;2 < * /+/1F S = 10'.1$ 8alor 8alor de P = (+"1#i%n ) 1 * i"1#i%n , + 1 *"1#i%R , 45 8/+777 9*:/+/1;2 < * /+/1 9*:/+/1;2F * 9*+/1; > P = 1!! 1+ Con Con los datos datos 4 5*// um um i513 i513 ,5> ( n 52 calcu calcule le los los importes de a S ( 4+ Aplique los #actores "nancieros ( considere que las rentas son anticipadas+ Solución: En una tabla presentamos los 2 #actores "nancieros 4 5 *// i 5 /+/1 , 5 > n 5 2 Aplicando los factores correspondientes: 5enominación
órmula
CDlculos
%SC
9*:i;n
9*:/+/1;2
%SA
*9*:i;n P * *9 *:i ; 2P * 9*+/1;> 9*:i;,
%CS
9*:i;n T * 9*:/+1;2 < * /+/1 7>
i F %D%A
i 9*:i;n * F
T /+/1 9*:/+/1;2 < *
%AS
*9*:i;, * P9*:i;n < * 9*:/+/1;>P/+/19*:/+ iF /1;2 < * /+/1F
%C
9*:i;, P9*:i;n 9*:/+/1;> P 9*:/+/1; 2 T* i F < * /+/19*:/+/1;
(a = 2!.171 S = 10'.0&$ P = 1!! >+ Con Con una una 0E6 0E6 de 13 > peri period odos os mensu mensual ales es di#eri di#erido doss ( 2 imposiciones mensuales de *+// um cada una calcule los importes del $alor #uturo ( $alor presente de la anualidad simple di#erida+ Solución: d 5 *+// 0E6 5 /+/1 n52 ,5> Aplicando la #&rmula S = ( +"1#i% n ) 1 * i , 2 S 5 *+// 9*+/1; < * /+/1F S 5 *+// 92+>2?>/=??; S = 6.'7 ] el $alor presente con la siguiente #&rmula P = ( +"1#i% n ) 1 * i"1#i%n ,+ 1 * "1#i%R , 4 5 *+// 9*+/1; 2 < * /+/1 9*+/1;2F *9*+/1; >F 4 5 *+// /+*=>/.81 /+/1.?8*.7F /+???>?7/.F P = '.&101 /onto de una anualidad simple diferida .+ En la #ecGa #ecGa se acord& acord& acumul acumular ar un monto durant durante e el pla'o de ocGo meses mediante dep&sitos en un banco de seis cuot cuotas as uni# uni#or orme mess mensu mensual ales es de .// .// um cada cada una una que que de$engaran una 0E6 de 13+ La primera de las seis cuotas uni# uni#or orme mess se depo deposi sita tara ra dent dentrro de tres tres mese mesess ( cada cada deposito posterior tendrJ una periodicidad mensual+ Calcule el monto de esa anualidad+ Solución: 7.
d 5 .// 0E6 5 /+/1 n5? R = 2 no aplica por2?>/=??; S = 020'.2! 8alor 8alor presente de una anualidad simple diferida 2+ Calcul Calcule e el $alor $alor presen presente te de una anualid anualidad ad cu(o Gori'on Gori'onte te temporal se compone de 8> trimestres de los cuales los > primeros son di#eridos+ El importe de cada renta uni#orme trimestral $encida es 8.// um ( la 0EA aplicada es *.3+ Solución: (d = 2!! trimestral R=' n = 2! -A = !.1 !.1 ->- ->- "1# ->A*'% ->A*'%' ) 1 = !.1 !.1 encontramos la e- = '* 1.1 ) 1 0N0 5 /+/1..?/? Aplicando la #&rmula P = ( +"1#i% n ) 1 * i"1#i%n ,+ 1 * "1#i%R , 4 5 8.//9*+/1..?/?; 8/ < * /+/1..?/? 9*+/1..?/?;8/F * 9*+/1..?/?;> F 4 5 8.//*+/*88>//= /+/7*.=7**F /+?2=>??=F 4 5 8.//*8+8=8?1..F P = 0!702.!$ 7+ El proc proces eso o de #abr #abric icac aci& i&n n e inst instal alac aci& i&n n de un maqu maquin ina a tendrJ una duraci&n de . meses+ A partir del "n del seto mes mes prod produc ucir irJ J una una gana gananc ncia ia neta neta mens mensua uall de .// .// um durante 8> meses+ HCuJl serJ el $alor presente de dicGos -ujos si se considera una 0E6 de 13 durante los primeros . meses ( de >3 para los meses restantesK Solución d 5 .// um ,5. n 5 8> 72
4 5 HK 0E6 5 /+/1 . primeros meses di#eridos 0E6 5 /+/> para 8> meses "nales Aplicando la #&rmula P = ( +"1#i% n ) 1 * i"1#i%n ,+ 1 * "1#i% R , 4 5 .//9*+/>;8> < * /+/> 9*+/>;8>F * 9*+/1; . 4 5 .///+*.=87>/7 /+/1>77?88F /+?2=>??=F 4 5 .//1+=./>=.2.F P = 676.!& ?+ El Gotel Gotel Suits Suits del 6ar estarJ estarJ termin terminado ado dentr dentro o de un a!o a!o #ecGa a partir de la cual se pro(ecta por */ a!os tener ingr ingres esos os neto netoss mensu mensual ales es de 8/// 8/// um+ um+ Calc Calcul ule e el $alor $alor presente de esos -ujos con una 0EA de 8/3+ Solución d 5 8/// um , 5 *8 n 5 *8/ 4 5 HK 0EA 5 /+8/ 0E6 5 /+/*.1/=>7 Aplicando la #&rmula P = ( +"1#i% n ) 1 * i"1#i%n ,+ 1 * "1#i% R , 4 5 8///9*+/*.1/=>7;*8/ < * /+/*.1/=>7 9*+/*.1/=>7;*8/F * 9*+/*.1/=>7; *8/ 4 5 8///.>+72=2..F 9*+8/; 4 5*/=.1=+1**+8/ P = $12&2.76 =+ Calcul Calcule e el importe importe mínimo mínimo con el que Go( debe abrirs abrirse e una cuenta a una 0E6 de 83 que permitirJ retirar nue$e rentas mens mensua uale less cons consec ecut uti$ i$as as de .// .// um um la prim primer era a de las las cuales se retirarJ =/ días después de abrirse la cuenta+ Solución d 5 .// um+ ,58 n 5 = 4 5 HK 0E6 5 /+/8 Aplicando la #&rmula P = ( +"1#i% n ) 1 * i"1#i%n ,+ 1 * "1#i%R , 77
4 5 .//9?+*288127*; 9*+/8;8 4 5 >/?*+**?1. *+/>/> P = 0$22.6' */+ */+ HCu HCuJl ser serJ el impo import rte e de un prés présttamo amo sol solici icitad tado a un banco Go( si el compromiso es pagar */// um durante ocGo ocGo trim trimest estre res s ( se empie empie'a 'a a amor amorti ti'ar 'ar el prés présta tamo mo dentro de medio a!oK El préstamo de$enga una 0E6 de *3+ Solución d 5 */// um ,58 n 5 ? trimestres 4 5 HK 0E6 5 /+/* 0E0 5 9*:/+/*;1 0E0 5 /+/1/1/*
<
*
Aplicando la #&rmula P = ( +"1#i% n ) 1 * i"1#i%n ,+ 1 * "1#i% R , 4 5 *///9*+/1/1/*;? < * /+/1/1/* /+/1/1/* 9*+/1/1/*; 9*+/1/1/*;?F * 9*+/1/1/*;8 4 5*///7+/*/7?7.8F * *+*2/=2?=2F 9*+/*; 1 P = 6&!'.6! **+ **+ Cal Calcul cule el prec preciio de cont contad ado o de una una mJqu mJquin ina a que que se $ende a crédito con una cuota inicial de 1/3 ( el saldo amorti'able en ? cuotas constantes mensuales $encidas de ?// um cu(o primer $encimiento serJ dentro de 1 meses+ La 0E6 aplicable es *.3+ Solución 5 ?// um ,58 n5? /+7/4 4 5 HK /+7/4 0E6 5 /+/*. Aplicando la #ormula
/+7/P /+7/P = ( +"1#i%n ) 1 * i"1#i%n ,+ 1 * "1#i%R , /+7/4 5 ?//9*+/*.; ? < * /+/*. 9*+/*.;?F * 9*+/*.; 8 /+7/4 5 ?//7+>?.=8./?F * *+/1/88. /+7/4 5 .?*1+/> entonces 4 5 .?*1+/>/+7/ P = &0!'.0' 7?
*8+ *8+ Cal Calcul cule el nue$ nue$o o $al $alor pres presen entta del del prob proble lema ma 7 si la ganancia neta mensual empie'a a percibirse a inicios del seto mes+ Soluci&n d 5 .// um ,5. n 5 8> 4 5 HK 0E6 5 /+/1 . primeros meses di#eridos 0E6 5 /+/> para 8> meses "nales Aplicando la #&rmula P = ( +"1#i% n ) 1 * i"1#i%n ,+ 1 * "1#i% R , 4 5 .//9*+/>;8> < * /+/> 9*+/>;8>F * 9*+/1; . 9*:/+/1; 4 5 .///+*.=87>/7 /+/1>77?88F /+?2=>??=F9*+/>; P = 6&0$.10 *1+ *1+ 4ara cub cubri rirr las pens pensio iones nes que que deman demandar daran an la ins instr truc ucci ci&n &n superior de su Gijo un padre de #amilia decide colocar Go( determinado capital con el objeto que dentro de tres a!os al comien'o de cada mes durante cinco a!os le permita retirar 8// um+ Si la 0EA que puede percibir en una entidad bancaria es 8/3 HCuJl debe ser el importe del capital por colocarK Solución d 5 8// um , 5 12 meses n 5 2/ meses 4 5 HK -A = !.2! -/= 12* 1.2! ) 1 -/ = !.!10!$'7 Aplicando la #&rmula P = ( +"1#i% n ) 1 * i"1#i%n ,+ 1 * "1#i% R , 4 5 8//9*+/*.1/=>7; 2/ < * /+/*.1/=>7 9*+/*.1/=>7;2/F * 9*+/*.1/=>7; 12 4 5 8//1=+/2?7?22F* *+787====7 P9*+/*.1/=>7; P = '$1.!& *>+ En una transa transacci cci&n &n comer comercia cial l un un clie cliente nte con$ie con$iene ne con con su su acreedor cancelar su deuda mediante un pago inicial de 8/// um ( */// um al comien'o de cada mes empe'ando a 7=
inicios del seto mes ( durante */ meses consecuti$os+ Si el cliente decidiese e#ectuar todo el pago al contado Hué importe debería cancelar si el acreedor o#rece aplicar como tasa de descuento una 0E6 de 13K Solución: 4ago inicial 5 8/// um+ a 5 */// um+ n 5 */ meses 5. Calculo de 4 0E65 /+/1 Aplicando la #ormula P = ( +"1#i% n ) 1 * i "1#i% n, +1 * "1#i% R , 4 5 8/// : *///9*:/+/1;*/ < * /+/19* /+/19*:/+/ :/+/1; 1;*/F * 9*:/+/1;.F 4 5 8/// : *///9?+.1/8/8?>;9**+*=>/.81;9*+/1; 4 5 8/// : 7.7?+=7 P = $7&.$7 *.+ Calcul Calcule e el $alor $alor presen presente te de una anuali anualidad dad compues compuesta ta de > trimestres di#eridos ( *8 rentas trimestrales uni#ormes anticipadas con una 0E6 de 13+ La rent enta di#eri erida anti antici cipa pada da debe debe ser ser equi equi$a $ale lent nte e a los los 81 81 de la renta enta $encida que se obtenga de un $alor presente de ?/// um amorti'able con ? rentas uni#ormes semestrales $encidas con una 0EA de 8>3+ Solución: n 5 *8 trimestres 5> Calculo de 4 0E65 /+/1 0E0 5 9*+/1;1 < * 5 /+/=8787 a 5 81 $+ $+ con 45 ?///um+ n 5 ? 0EA 5 /+8> Calculamos la $ semestral La 0ES es 9*:0ES;8 < * 5 /+8> 0ES 5 *+8> < * 0ES 5 /+**1..8?7 AGora calculamos calculamos la la $+ $+ Semestral n ( = P +i"1#i% * "1#i%n ) 1 , 5 ?///9/+**1. *1..8? .8?7 9*:/+ :/+**1..8?7 8?7;? ? 9*:/+**1..8?7; < *F 5 ?///P9/+*=27?=71; 5 *.7>+18 a 5 81 P9*.7>+18; a 5 */>=+.>. ?/
Aplicando la #&rmula P = ( +"1#i% n ) 1 * i "1#i% n, +1 * "1#i% R , 4 5 */>= */>=+. +.>. >.9 9*: *:/+ /+/=8 /=878 787 7;*8 < * /+/=8787 *8 > 9*:/+/=8787; F 9 *:/+/=8787; 4 5*/>=+.>.7+/211=2.?F9**+>8.72/?=F9*+/1;1 P = 6&1.72 (enta uniforme diferida en función de S *2+ *2+ Al tér térmi mino no de un un Gori Gori'on 'onte te temp tempor oral al de */ */ trim trimes estr tres es de de los cuales > son trimestres trimestres di#eridos di#eridos se requiere requiere acumular un monto de 8//// um con cuotas uni#ormes trimestrales $encidas+ Estas cuotas uni#ormes serJn depositadas en un banco que remunera los aGorros con una 0EA de *83+ Calcule el importe de la cuota uni#orme+ Solución: S 5 8//// um n 5 2 trimestres trimestres 0EA 5 /+*8 0E0 9*:0E0;> < * 5 /+*8 0E0 5 > *+*8 <* 0E0 5 /+/>221.*> 5 SP%D%AF 5 8/////+/>221.*> 8/////+/>221.*> 9*:/+/>221.*>;2 5 8////9/+*../??1=; ( = 01!1.77
< *
*7+ *7+ Al "na "nall de un un Gori Gori'o 'ont nte e tempo temporal ral de de *8 seme semest stre res s de de los los cuales > son trimestres di#eridos se requiere acumular un mont monto o de */// *//// / um con con cuot cuotas as uni# uni#or ormes mes trim trimes estr tral ales es anticipadas+ Estas cuotas uni#ormes serJn depositadas en un banco que remunera los aGorros con una 0EA de ?3+ Calcule el importe de la cuota uni#orme anticipada+ Solución: S 5 *//// um n 5 *8P2 5 78 meses meses 8> trimestr trimestres es > di#eridos di#eridos entonces entonces quedan 8/ cuotas 0EA 5 /+/? 0E0 9*:0E0; > < * 5 /+/? 0E0 5 > *+/? < * ?*
0E0 5 /+/*=>82.. 5 SP%D%AF9*:i; 5 */////+/*=>82 */////+/*=>82.. .. 9*:/+/*=>82. 9*:/+/*=>82..; .;8/ 9*:/+/*=>82..; 5 *////9/+/>*1=8.; 9*+/*=>82..; ( = '!6.!0
<
*
;
(enta uniforme diferida en función de P *?+ *?+ Calc Calcul ule e el impo import rte e de la cuot cuota a "ja trim trimes estr tral al $enc $encid ida aa pagar en un "nanciamiento de *//// um otorgado por una entidad entidad "nanciera "nanciera a una 0EA de 8/3 que debe amorti'arse amorti'arse en > periodos trimestrales de los cuales los dos primeros son di#eridos+ Solución 4 5 *//// um n 58 ,58 0EA 5 /+8/ 0E0 9*:0E0; > < * 5 /+8/ E0 5 > *+8/ < * 0E0 5 /+/>221.*> Utili'ando la #&rmula ( =P "1#i% R +i"1#i%n * "1#i%n
) 1,
5 *////9*:/+/>221.*>;8 *////9*:/+/>221.*>;8 /+/>221.*> 9*:/+/>221.*>;8 9*:/+/>221.*>;8 9*:/+/>221.*>;8 9*:/+/>221.*>;8 T * F
5 *////P 9*+/=.>>.*8;9/+.1.8>8/*; ( = &60.2& Calculo de R ? n en una anualidad simple diferida *=+ *=+ Calc Calcul ule e el n)me n)merro de perio periodo doss di#e di#eri rido doss mens mensua uale less por por otorgar en un "nanciamiento de ***22+11 um que genera una 0E6 de .3 para reembolsar con ? cuotas mensuales $encidas de 8/// um cada una+ Solución: 45 ***22+11 0E6 5 /+/. n 5 ? meses 5 8/// , 5 HK Aplicando la #&rmula ?8
, 5 Log 4i P * < *9*:i;n F_ Log 9 * :i ; , 5 Log 8/// 9***22+1P/+/.; P * < * 9*:/+/.;? F_ Log 9 * : /+/.; , 5 Log Log 1+.?88/7*?P/+181*2/2>_ Log 9*:/+/.; , 5 Log Log 9*+*.728?12; Log Log 9*+/.; , 5 /+/21.2=*2 /+/8**?=1 R=0 8/+ 8/+ Si Go( Go( se e#e e#ect ct)a )a un dep dep&s &sit ito o de */// *//// / um cal calcu cule le el n)mero de periodos di#eridos mensuales a partir del cual podr podrJ J per percibi cibirs rse e una una renta enta $enc $encid ida a de */// */// mens mensua uall durante 12 meses a una 0E6 de >3+ Solución: 45 *//// 0E6 5 /+/> n 5 12 meses 5 */// 5 HK Aplicando la #&rmula R = Lo (*Pi9 +1 ) 1* "1#i% n,V * Lo "1 #i % , 5 Log Log */// *////P/+ *////P/+/> /> * < * 9*:/+/>; 9*:/+/>;12F_ Log 9 * : /+/>; , 5 Log Log 8+. P/+7.211*8?_ Log 9*:/+/>; , 5 Log 9*+?=/?8?8; Log 9*+/>; , 5 /+8722.8/7 /+/*7/11> R = 16.2'17$&& 8*+ 8*+ Si Go( Go( se se e#ec e#ect) t)a a un dep& dep&si sito to de de *//// *//// um en en un banc banco o calcul calcule e el n)mer n)mero o de period periodos os di#eri di#eridos dos mensual mensuales es para percibir una renta mensual anticipada de */// um durante *8 meses+ Aplique una 0E6 de 83+ Soluci&n 45 *//// 0E6 5 /+/8 a 5 */// mensuales n 5 *8 5 HK Aplicando la #&rmula , 5 Log a 9*:I; n < *F 4i P9*:i;n<*F_ Log 9 * : i ; , 5 Log *///9*:/+/8;*8 < *F *///P/+/8 *///P/+/8 P9*:i; P9*:i;** F_ Log 9 * : /+/8 ; , 5 Log *+/7?2?>?F Log9*+/8; ?1
R = 0.&2'&72 88+ 88+ Calc Calcul ule e el n)me n)merro de perio periodo doss di#e di#eri rido doss mens mensua uale less de una anualidad di#erida anticipada de *? rentas mensuales de >/// um cada una para que su $alor presente a una 0E6 de 13 sea equi$alente al $alor presente de una anualidad $encida de *8 rentas mensuales de 1/// a la misma tasa+ Solución: 0E6 5 /+/1 n 5 *? meses 5 >/// 5 HK 4 es el $alor con *8 rentas mensuales $encidas a una 0E6 de /+/1 Calculando 4 P = ( +"1#i% n ) 1 * i "1#i% n 4 5 >///9*:/+/1;*8 T * /+/19*:/+/1;*8 4 5 >///P =+=.>//1== 4 5 8=?28+/*8 Luego aplicando la #&rmula Aplicando la #&rmula R = Lo (a +"1#K% n ) 1, * Pi 9"1#i%n)1,V * Lo " 1 # i % , 5 Log *///9*:/+/1; *? < *F *///P/+/1 P9*:/+/1;*7F_ Log 9* : /+/1 ; , 5 Log *+?=7.>17>F Log 9*+/1; R = 21.67!7 Calculo de i en una anualidad diferida 81+ 81+ Un pré prést stamo amo de *// *//// // um+ um+ debe debe amo amort rti' i'ar arse se en en el pla pla'o 'o de un a!o con cuotas uni#ormes trimestrales de ..>> um +Si el primer pago debe e#ectuarse dentro de /= meses HcuJl es la 0E0 cargada en el "nanciamientoK "nanciamientoK Soluci&n 4 5 *//// n 5 > trimestres d 5 ..>> trimestrales+ ,58 0E0 5 HK Solución ?>
Aplicando la fórmula para cDlculo de P P dado n R ( ? utiliGando el m;todo de prueba ? error estimamos el alor de i 4 5 *//// n 5 > trimestres 5 ...> 5? 0E0 5 HK P = (a +"1#i% n ) 1 * i "1#i% n, 9 +"1#i% * "1#i% R , *//// 5 ..>> 9 *: i; > < * i9*:i;> FP 9*: i ; 9 *:i ; 1 F *+?/17. 5 9 *: i;> < * i9*:i;> FP 9 *:i; 9 *:i ;1 F 4robando con $alores de i Con i 5 /+*/ *+?//./*> *+?//./*> 5 9*+*/;> < * /+*/9*:*/; /+*/9*:*/;> F P 9*+*/; 9 *+*/;1 F *+?//./*> 5 8+2*= Probando con 0J La tasa es aproHimadamente aproHimadamente 0J trimestral. $.0. Problemas diersos *+ Despu Después és de . a!os a!os ( al "nal "nal de cada cada a!o a!o pensa pensamo moss in$ertir R*/+///+// Hué cantidad tendremos dentro de 8/ a!os si la tasa de interés e#ecti$a que nos otorgan es del ?3 anualK Solución 5 *///// 5 . n 5*. 0EA 5 /+/? Malor #uturo de una anualidad di#erida es eactamente igual que el $alor #uturo de una anualidad $encida Entonces S 5 P%CS?in; S 5 *////P99* :/+/?; *. < * /+/?; S 5 *////P 87+*.8**1= S = 27121.1'
?.
8+ Una persona persona de 8/ a!os desea desea in$ertir in$ertir desde desde que cumpla cumpla 1/ a!os una cantidad de R? ///+// anuales al principio de cada a!o+ Hué cantidad GabrJ acumulado cuando cumpla >. a!os si el banco le otorga una tasa de interés e#ecti$a del *83 anualK Solución , 5 */ n desde los 1/ Gasta los >. son *. a!os a 5 ?/// anuales S anticipado 5HK S = (a "1#i%9(a9CS"in% S 5 9*: /+*8;P99* :/+*8;*.; < S 5 ?///P*+*8P 17+87=7*>7 S = 00'!26.2'
* /+*8;
1+ Cuando cumpla 88 a!os un ni!o que Go( tiene die' deberJ recibir la suma de R8 .//+// al "nal de cada trimestre durante *. a!os+ Si esta cantidad se in$ierte a medida que se recibe de manera que produ'ca el .3 de interés anual con$ertible trim trimest estra ralm lmen ente te Hqué Hqué cant cantid idad ad tend tendrJ rJ este este ni!o ni!o cuan cuando do cumpla 17 a!osK Solución DeberJ erJ reci ecibir durant ante *. a!os dese que cumpla 88 eactamente a los los 17 a!os debe recibir 8./// cada trimestre trimestre lo in$ierte entonces serJ un $alor #uturo+ Solución , 5 */ n desde los 88 a!os Gasta los 17 son *. a!os n 5 2/ trimestres 0NA 5 /+/. 0N0 5 /+/.> 5 /+/*8. 5 8.// trimestrales S 5 P%CS 9in; S 5 8.//99* :/+/*8.; 2/; < * /+/*8.; S 5 8.//P??+.7>./7? S = 221'06.27
?2
>+ 6arco 6arco Castillo Castillo desea que su Gija Gija de *. a!os a!os reciba reciba desde que cumpla *? en #orma semestral una cantidad de R2+///+// durante . a!os+ HCuJnto GabrJ acumulado la Gija a los 81 a!os si decide decide in$ertirlos in$ertirlos en un #ondo que le proporc proporcionarJ ionarJ el *?3 anual con$ertible mensualmenteK Solución ,51 n 5 desde los *? a!os a!os ( durante /. a!os a!os eactamente eactamente Gasta Gasta los 81 a!os a!os son /. a!os equi$alente a */ semestres+ 0NA 5 /+*? 0N6 5 /+*? *8 5 /+/*. 0EA 5 9*:/+/*.;*8 < * 5 /+*=.2*?*7 0ES 5 /+/=1>>182 5 2/// S 5 HK S 5 P%CS 9in; S 5 2///P99* :/+/=1>>182;*2 < * /+ /=1>>182; S 5 2///P11+=?2>1. S = 2!0$1&.61 .+ Un obrero desea que su Gijo de cinco a!os después de que cumpla *. a!os ( en una #orma $encida reciba R*?///+// anual Gasta sta que cumpla 8> a!os a "n de asegu egurar la terminaci terminaci&n &n de sus estudios+ HCuJnto debe depositar aGora si el banco le otorga una tasa de interés e#ecti$a del *83 anualK Solución 4 5 HK , 5 */ a!os n 5 desde *. a!os Gasta 8> Ga( /= a!os 5 *?/// 0EA 5 /+*8 P = R* FAS (i,n)* (1/(1+i) k )
4 5 *?/// P 9 9*: /+*8; = < * /+*8P9* /+*8P9* : /+*8;= ;P9 * 9*: /+*8; */ 4 5 *?///P9.+18?8>=7=;P9!.021$702'% *?///P9.+18?8>=7=;P9!.021$702'% P = 0!&7$.$& n ECL se calcula l alor presente desde el ao 2' acia el ao 1 $ aos:
?7
l alor alor
n 5 */ a!os 0NA 5 /+/7 P = Ra (1+i) FAS (i,n)* (1/(1+i) K )
P = 2!!! 2!!! "1 # !.!7% !.!7% 9" "1# !.!7% !.!7% 1! ) 1 *!.!79"1 *!.!79"1 # 1! !.!7% %9" 1 * "1# !.!7% P = 12!!!9"1.!7%9"7.!20&1'%9"!.712$&6 12!!!9"1.!7%9"7.!20&1'%9"!.712$&61&%% 1&%% P = 100$6.02 Por tanto se re3 de interés capitali'able semestralmente encuentre el dep&sito que debe Gacerse en este momento+ 4or tanto el dep&sito debe ser de R=8 ./.+*7+ Soluci&n , 5 */ a!os >/ trimestres n 5 8/ a!os ?/ trimestres 5 8./// trimestral 0NA 5 /+/> 0NS 5 /+/8 0EA 5 9 * :/+/8; 8 < * 0EA 5/+/>/> 0E0 5 9 *:0E0;> < * 5 /+/>/> 0E0 5 /+//==./>= Aplicando la #&rmula de $alor presente 4 dados i n+ , 0enemos 0enemos P = Ra (1+i) FAS (i, n)* (1/(1+i) K )
4 5 8.//P9* : /+//==./>=;P9.>+=?;P9/+278=7*11; P = $0'2.7! ?+ Hué capital capital deberJ deberJ depositar depositar una #undaci&n #undaci&n cientí" cientí"ca ca en un banco para que al cabo de 8/ a!os pueda disponer de una renta semestral de R*8. ///+// para trabajos de in$e in$est stig igac aci& i&n n paga pagade dera ra al comi comien en'o 'o de cada cada seme semest strre durante los 8. a!os siguientes si el banco le abona el >3 de interés capitali'able trimestralmenteK Solución 4 5 HK , 5 8/ a!os 5 >/ semestres ?=
a 5 *8.//// n 5 8. a!os 5 ./ semestres 0NA 5 /+/> 0N0 5 /+/>> 5 /+/* 0EA 5 9* : /+/*; *8 < * 5 /+*82?8./1 0ES 5 /+/2*.8/*. P = Ra (1+i) FAS (i,n)* (1/(1+i) K ) P = 12!!! "1 "1 # !.!612!1% !.!612!1% 9" "1# !.!612!1 !.!612!1%% ! ! 2! # !.!612!1% %9" 1 * "1# !.!'%
) 1 *!.!612!19"1
P = 12!!!9"1.!612!1%9"1.'00'!7%9"!.' 12!!!9"1.!612!1%9"1.'00'!7%9"!.'60&6$%% 60&6$%% P = $0'616.1'. =+ Hué Hué rent enta semes emestr tral al se reci ecibirJ birJ dura durant nte e 2 a!os a!os Gabiéndose in$ertido un capital de R*8/ ///+// con una tasa del del ?3 con$ con$er erti tibl ble e seme semest stral ralmen mente te si se desea desea recib ecibir ir el primer pago dentro de ? a!osK Solución 4 5 *8//// n 5 /2 a!os 5 *8 semestres semestres 0NA 5 /+/? 0NS 5 /+/> , 5 /? a!os 5 *2 semestres P = R* FAS (i,n)* (1/(1+i) k ) R = P (1+i) k * FRC(i,n)
5 *8////9* *8////9* : /+/>;*2 P 9/+/>P9* : /+/>;*8 <* ; 5 *8////P9*+?78=?*8.;P9/+*/2..8*7; ( = 20$'&.'0
9 * : /+/>; *8
*/+ Hué cantidad GabrJ que in$ertir para asegurar una renta de R*./ R*./// ///+ /+// // al comi comien en'o 'o de cada cada a!o a!o duran durante te . a!os a!os debiéndose reci ecibir el primer pago ago dent entro de 7 a!osK Sup&ngase que el interés es del 23 capitali'able anualmente+ Solución 4 5 HK n 5 /. a!os a 5 *.//// 0NA 5 /+/2 , 5 /7 a!os P = Ra* FAS (i,n)* (( 1 + i)/(1+i) K )
4 5 *.////P 99 * : /+/2; . < * /+/2P9* /+/2P9* :/+/2;. ; P 99 * : /+/2; 9 * :/+/2; 7 4 5 *.//// P9>+8*81217=;P9 /+7/>=2/.>; =/
P = '''02.' **+ **+ Si se Ga Gec GecGo una una in$er n$ersi si&n &n de R*/> R*/> 8=1+ 8=1+7/ 7/ al 73 con$ con$er erti tibl ble e seme semest stra ralm lmen ente te para para recib ecibir ir R*2 R*2 ///+ ///+// // al principio principio de cada semestre semestre durante 7 a!os HcuJl es el tiempo de apla'amiento de la anualidad para recibir la renta semestral deseadaK Solución 4 5 */>8=1+7/ 0NA 5 /+/7 0NS 5 /+/1. n 5 /7 a!os 5 *> semestres semestres a 5 *2/// semestral , 5 HK Apli Aplica cand ndo o la #&rm #&rmul ula a de $alo $alorr pres present ente e de una una anual anualid idad ad anticipada di#erida ( despejando , P = Ra*FAS(i,n)* ( (1+i) / ( 1+ i) k ), reempla'ando datos : */>8=1+7/ 5 *2///P99* : /+/1.;*> < * /+/1.P9* :/+/1.;*> ; P 99 * : /+/1.; 9 *:/+/1.;, perando se tiene: */>8=1+7/ 5 *2///P9*/+=8/.8/1;P99*+/1.; 9*+/1.;, ; 9*+/1.;, 5 *+711=?2 ,P log9*+/1.; 5 log9 *+711=?2 , 5 log 9*+711=?2 log 9*+/1.; , 5 /+81=/>..?7 /+/*>=>/1. R = 16 semestres R = !& aos.
=*
CapItulo 1!: Perpetuidades 1!.1
Concepto Una Una perp perpet etui uida dad d es un ingr ingres eso o que que se recib ecibe e para para siempre es decir no tiene "n de tal manera que si se reali'a una operaci&n al inicio de un periodo con una tasa de interés ( el pla'o n tiende al in"nito se pueden obtener la #&rmula de ese ingreso que se percibirJ al que que se le deno denomi mina na renta enta perp perpet etua ua por por Jlge Jlgebr bra a se puede obtener las #&rmulas de las otras $ariables+ Se utili'an para encontrar el $alor de un ingreso "jo para toda la $ida de un dep&sito inicial que se capitali'a a una tasa de interés por el periodo en que se $a a percibir dicGa renta+
1!.2
Problemas resueltos
*+ De Demu mues estr tre e que que
es equi equi$a $ale lent nte e a
( a Soluci&n Como %actori'amos a 9*: *i; 5 a 9i :*; iF 5 La tasa de descuento se de"ne con 9*:i; i Luego l<
=8
8alor 8alor presente de una perpetuidad 8alor 8alor presente de una perpetuidad simple encida 8+ La gari garita ta de peaj peaje e a 4ucu 4ucusan sana a reca recaud uda a mensu mensual almen mente te el impor mportte de */// *//// / um en prom promed edio io HCuJl CuJl es el $al $alor presente de esas rentas perpetuas si se descuentan con una 0E6 de /+.3K Solución 5 *//// 0E6 5 /+/. 45 HK Aplicando la #&rmula de $alor presente de una perpetuidad 4 5 i 4 5 *//// /+//. P = 2!!!!!! 1+ La banc banca a de in$er in$ersi sion ones es o#re o#rece ce una una tasa tasa de rent rentab abil ilid idad ad e#ec e#ecti ti$a $a míni mínima ma anua anuall de ?3 por por sus sus capt captac acio ione ness de recursos+ Con el "n de obtener esa tasa de rentabilidad un empresario o#rece en $enta su empresa a un precio base de *///// um+ El promedio de las utilidades netas rendida por esa empresa en los . )ltimos a!os #ue 2/// um anual+ Si usted #uera in$ersionista con la in#ormaci&n proporcionada HGasta qué precio pagaría por la empresa que se encuentra en $entaK Solución 4 5 2////+/? 4 5 7./// Wasta 7!!! >+ Calcul Calcule e el $alor present presente e de una renta perpetu perpetua a trimest trimestral ral $encida de */// um con una 0E6 de *3+ Solución ( = 1!!! um 0E6 5/+/* <<<<<<<<<<< 0E0 5 9*: /+/*;1 < * 5 /+/1/1/* =1
4 5 *////+/1/1/* P = 00!!2.21 .+ Una Una empr empresa esa decidi decidi& & e#ect e#ectua uarr la dona donaci ci&n &n de una una rent renta a perp perpet etua ua mensu mensual al $enci $encida da de .// .// um a una una inst instit ituc uci& i&n n relig eligio iosa+ sa+ 4ara estos estos e#ec e#ecto toss adqu adquir iri& i& un dete determ rmin inado ado importe en bonos del tesoro que redimen inde"nidamente una 0EA de ?3 con pago de interés cada "n de mes+ HA cuJnto debe ascender la in$ersi&n en dicGos bonos para que que los los inte interreses eses mens mensua uale less cubr cubran an el impo import rte e de la donaci&nK Solución ( = !! um 0EA 5/+/? <<<<<<<<<<< 9*:0N6; *8 < * 5 /+/? *+/? <* 0N6 5 /+//2>1>/1 4 5 .///+//2>1>/1 P = 77711.7$
0N6 5 *8
2+ Un Gosta Gostall que que en la #ecGa #ecGa se piens piensa a $ender $ender desd desde e Gace Gace $arios a!os $iene produciendo una renta neta mensual de 8/// um+ Se espera que esta renta se mantenga estable por mucGos a!os mJs+ Un grupo econ&mico interesado en adqu adquir irir irla la eig eige e a sus sus in$er in$ersi sion ones es una una tasa tasa e#ect e#ecti$ i$a a de rentabilidad anual de 8/3+ Con esta in#ormaci&n HGasta cuJnto podría o#recerse para adquirir el GostalK Solución ( = 2!!! um 0EA 5/+8/ <<<<<<<<<<<<<<<<<<< 9*:0N6; *8 < * 5 /+8/ 0N6 5 /+/*.1/=>7 4 5 8////+/*.1/=>7 P = 10!60&.!$
8alor alor pres presen ente te de una una pe perp rpet etui uida dad d simp simple le anticipada 7+ Calcul Calcule e el $alor $alor presente presente de una perpetuid perpetuidad ad cu(a renta renta trimestral anticipada es 1// um+ La 0EA aplicable es 8/3+ Solución a 5 1// um 0EA 5 /+8/ <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<0E0 <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<0E0 5 HK 9*:0N0; > < * 5 /+8/ 9*:0N0;> 5 *+8/ =>
0N0 5 > *+8/ < * 0N0 5 /+/>221.*> Aplicando la #&rmula de $alor presente de una perpetuidad con renta anticipada 4 5 a 9*:i;*iF 4 5 1//9*:/+/>221.*>;*/+/>221.*>F P = 6702.$1
8alor presente de una perpetuidad simple anti an ticip cipad ada a cu?a cu?a rent renta a inici inicial al es dist distin inta ta de las las demDs ?+ Las entidade entidadess percep perceptor toras as de donacione donacioness pueden pueden emitir emitir certi"cados de donaci&n cu(os importes se consideran como pago a cuenta de impuestos+ 4ara acogerse a este bene"cio el directorio directorio de la #undaci&n O6 Asociados Asociados decid decidi& i& dona donarr en la #ecG #ecGa a al Inst Instit itut uto o Ameri America cano no de Direcci&n de Empresas una suma de ?// um ( de allí en adel adelan ante te un impor mporte te anua anuall de ./// ./// um um de #or #orma inde"nida+ HCuJl serJ el $alor presente de la donaci&n con una 0EA de *83K Solución a 5 ?// 5 ./// 0EA 5/+*8 Aplicando la fórmula: P = (a # ( +1*i, 4 5 ?// : ./// */+*8F 4 5 ?// :.///9?+1111; 4 5 ?// : >*222+2227 P = '$666.67 =+ El testamen testamento to de una persona persona recién recién #allecida #allecida estable establece ce una donaci&n para un asilo de ancianos de 1/// um inmed nmediiatam atamen entte desp despué uéss de su dece deceso so ( de allí allí anualmente 8/// um de #orma inde"nida+ HCuJl es el $alor actual de la donaci&n si se considera una 0EA de */3K Soluci&n a 5 1/// 5 8/// =.
0EA 5 /+*/ Aplicando la fórmula: P = (a # ( +1*i, 4 5 1/// : 8/// */+*/F 4 5 1/// :8///9*/; 4 5 1/// : 8//// P = 20!!! 8alor presente de una perpetuidad simple deferida encida */+ Una com compa!ía due due!a de un un po' po'o pet petrolero con reser$as de eplotaci&n probadas para un pla'o ma(or de *// a!os tiene una utilidad neta que en promedio asci ascien ende de a ?>// ?>/// / um anua anualm lmen ente te++ Calc Calcul ule e el $alo $alorr presente del po'o con el objeto de $enderlo dado que en los pr&imos tres a!os no GabrJ ingresos por utilidad debido a que en ese pla'o se reno$aran sus equipos+ La compa!ía percibe por sus in$ersiones una 0EA de *.3+ Solución ( = &'!!! X = 0 aos -A = !.1 Aplicando la fórmula: P =(+1*i,+ 1 *"1#i%R 4 5 ?>///*/+*.F*9*+*.;1 P = 06&2!$.!$ 8alor presente de una perpetuidad simple diferida anticipada **+ Un asi asilo de an ancianos con consigui& una una don donaci&n de ?/// um anual de #orma inde"nida la misma que se percibirJ a inicios de cada a!o pero después de Gaber transcurrido >? meses contados a partir de Go(+ HCuJl es el $alor presente de esa donaci&n si se considera una 0EA de ?3K Solución: a 5 ?/// 5 >? meses 5 > a!os 0EA 5/+/? =2
Aplic plican ando do la #&r #&rmul mula para para $al $alor pres presen ente te de una una perpetuidad simple di#erida anticipada P = (a +1*i, +1#i *" 1#i% R , 4 5 ?///*/+/?F *+/? 9*+/?; > F 4 5?////9*8+.;9/+7=1?188>; P = 7$0&02.2' 8alor presente de una perpetuidad simple cu?as rentas rentas se realiGan cada cierto n@mero de periodos periodos de tasa *8+ El tr tramo de de la la ca carretera Co Costa Me Merde qu que un une Sa San 6iguel con 6agdalena tu$o un costo original de *///// um+ Se estima que el carril de la pista pegada al mar deberJ rempla'arse cada . a!os a un costo de >/ /// um+ Calcule el importe que debi& depositarse en una instituci&n que paga una 0EA de ?3 en la #ecGa en que se inau inaugu gurr& el tram tramo o San San 6i 6igu guel el<6 <6ag agda dale lena na para para asegurar a perpetuidad los rempla'os #uturos de la pista que el mar permanentemente erosiona+ Solución 5 >//// n 5 . a!os 0EA 5 /+/? Aplicando la #&rmula 45 i9*:i; ' < * F*iF 4 5 >/////+/?9*:/+/?;. < *F*/+/?F 4 5 >////9/+*7/>.2>.;9*8+.; P = &22&.20 *1+ Un mo molino de de $i $ient ento qu que se se ut utili'a en en el bombeo de agua para el regadío de tierras de sembradío tu$o un cost costo o de =/// =//// / um+ um+ Se esti estima ma que que serJ serJ nece necesa sari rio o rempla'arlo cada */ a!os con un costo de 1//// um+ Calcule el importe que GabrJ de depositarse en un #ondo a una 0EA de 23 para asegurar inde"nidamente los rempla'os #uturos del molino+ Solución n 5 */ a!os 5 1//// 0EA 5 /+/2 Aplicando la #&rmula =7
45 i9*:i;' < * F*iF 4 5 1/////+/29*:/+/2;*/ < *F*/+/2F 4 5 1////9/+/7.?27=2;9*2+22222; P = 07$00.$& (entas de una perpetuidad (enta perpetua encida *>+ Con un una 0E 0E6 de de >3 >3 co con$ierta un una re renta pe perpetua $encida mensual de */// um en una renta constante $encida temporal de 8/ meses+ Solución 0E6 5 /+/> m$ 5 */// n 5 8/ */// 5 P%AS 9in; 5 *///P%C 9/+/> 8/; 5 */// /+/> 9*+/>; 8/ 9*:/+/>;8/ 5 *///P/+/71.?*7. ( = 70.&
< *
*.+ Calcule el importe de la renta per perpetua mensual $encida que puede comprarse en Oonos del obierno con un importe de 8//// um+ Los bonos generan una 0EA de */3 con pago mensual de intereses+ Solución: 4 5 8//// um 0EA 5 /+*/ 0E6 5 9*:0N6; *8 < * 5 /+*/ 0E6 5 *8*+*/ < * 0E6 5 /+//7=*>*> 5 4Pi 5 8////P /+//7=*>*> ( = 1$.'& *2+ El $a $alor pr presente de un una pe perpetuidad co compuesta de rentas mensuales $encidas es *//// um+ Calcule el importe de cada renta con una 0EA de 8/3+ Solución: 4 5 *//// um 0EA 5 /+8/ =?
0E6 5 9*:0N6; *8 < * 5 /+8/ 0E6 5 *8*+8/ < * 0E6 5 /+/*.1/=>7 5 4Pi 5 *////P /+/*.1/=>7 ( = 10.!$ (enta perpetua anticipada *7+ Calc alcule el el im importe de de la la ren rentta per perp petua an anticipada mensual que puede adquirirse con un capital de 8./// um que de$enga una 0EA de 23+ Solución: Aplicando la fórmula: (a = P + i * " 1# i% , Calculando pre$iamente la 0E6 9*: 0N6; *8 < * 5 /+/2 a 5 8./// /+//>?27.. 9* :/+//>?27..;F a 5 8./// P /+//>?>1=7 (a = 121.!$ *?+ Con un una 0E 0E6 de de >3 >3 co con$ierta un una re renta pe perpetua anti antici cipa pada da mens mensua uall de */// */// um en una una anua anuali lida dad d equi$al equi$alent ente e cierta cierta tempor temporal al de 8/ renta rentass constan constantes tes bimestrales $encidas+ Solución: 0E6 5 /+/> 5 */// um Calculamos P: a 5 4 i 9*: i; F 4 5 a 9 9*:I; i 4 5 */// 9*: /+/>; /+/> 4 5 82/// A una anualidad encida n 5 8/ bimestres 0EO 5 9*+/>;8 < * 5 /+/?*2 4 5 82/// 5 HK Aplicando la #&rmula 5 4 i 9*:i; n 9*:i; n < *F
==
5 82////+/?*2 9*:/+/?*2;8/ 9*:/+/?*2;8/ F 5 82///P/+*/1/27=8 ( = 267$.77
<
*
Calculo de i en una perpetuidad *=+ Calcule la 0E 0EA apl aplicada a una per perpetuidad cu( cu(as rentas mensuales $encidas son de *// um ( su $alor presente es ?/// um+ Solución: 5 *// 4 5 ?/// i 5 HK Aplicando la #&rmula i = (*P i = 1!!!*&!!! i 5 /+/*8. 0EA 5 9*+/*8.;*8 < * 0EA 5 /+*2/7.>.8 -A = 16.!7' J 8/+ Calcule la 0EA que que debe aplicarse a un ca capital inicial de *//// um para que rinda una renta perpetua trimestral anticipada de 1// um+ Solución: 5 1// 4 5 *//// i 5 HK Aplicando la #&rmula i = (*P = 1!!!!*&!!! i 5 /+/1 I5 /+/1P9*:/+/1; I 5 /+/1/= 0EA 5 9*+/1/=;> < * 0EA 5 /+*8=>>77= -A = 12.$' J Costo capitaliGado 8*+ Una carretera tiene un costo de con construcci&n de >//// um ( su mantenimiento integral debe e#ectuarse
*//
cada . a!os de #orma inde"nida con un costo de ?/// um+ Calcule su costo capitali'ado con una 0EA de ?3+ Solución Datos % 5 >//// ' 5 . a!os $ida )til 0EA 5 /+/? 5 ?/// Aplicando la fórmula C = #Y +i * "1#i%n )1, +1*i, C 5 >//// : ?////+/? 9* :/+/?;. < *F * /+/?F C 5 >//// : ?///97+8>2788=;9**+********; C 5 >//// : *7/>.+2. C = 7!'.6 88+ Un camino de Ger Gerradura que tiene una $ida )til est estimada ada de */ a!os se constru(& ( origin& un desembolso de 1//// um+ Después de este inter$alo de tiempo debe e#ectuarse e#ectuarse un mantenimiento mantenimiento integral cu(o costo serJ *./// um+ Calcule su costo capitali'ado dado que los mantenimientos se e#ectuarJn durante un pla'o inde" inde"ni nido do ( un cost costo o de opor oportu tuni nida dad d de *3 e#ect e#ecti$ i$o o mensual+
Solución Datos % 5 1//// ' 5*/ a!os $ida )til 0E6 5 /+/* 0EA 59*: /+/*;*8 < * 5 5 *./// Aplicando la fórmula C = #Y +i * "1#i%n )1, +1*i, C 5 1//// : *.////+*82?8. *.////+*82?8./1 /1 9* :/+*82?8./1; :/+*82?8./1;*/ < *F * /+*82?8./1F C 5 1//// : *.///9/+/..*18/>;97+??>?7???; C 5 1//// : 2.8/+2> C = 062!.6' 81+ Una en entidad gubernamen mental qu que de debe co construir un un puent puente e para para unir unir dos dos ciud ciudade adess reci recibi bi& & las las sigu siguie ient ntes es propuestas a+ De madera madera con con un costo costo inicia iniciall de *//// *//// um ( un costo de mantenimiento cada 1 a!os de >/// um+ */*
b+ De conc concrreto eto con con un cost costo o de 8/ /// /// um ( un costo de mantenimiento cada 2 a!os de 2/// um+ Calcule Calcule el costo capitali'ad capitali'ado o de ambas opciones opciones con un costo de capital de 23 anual+ Solución a+ Dato atos % 5 */// *//// / ' 5 1 a!o a!os $ida $ida )til )til 0EA 0EA 5 /+/2 5 >/// Aplicando la fórmula C = #Y +i * "1#i%n ) 1, +1*i, C 5 *//// : >////+/2 9* :/+/2;1 < *F * /+/2F C 5 *//// : >///9/+1*>*/=?*;9*2+2222227; C 5 *//// : 8/=>/+2. C = 0!$'!.6 Solución b+ Datos % 5 8//// 8//// ' 5 2 a!os a!os $ida $ida )til )til 0EA 5 /+/2 5 2/// Aplicando la fórmula C = #Y +i * "1#i%n )1, +1*i, C 5 8//// : 2////+/2 9* :/+/2;2 C = 0'006.26
< *F * /+/2F
Costo capitaliGado cuando es iual a Y 8>+ Una ob obra de de ir irrigaci aci&n co con un una $i $ida )t )til de de *. *. a! a!os tiene un costo de ./ /// um+ Después de este periodo de tiempo debe reno$arse íntegramente con el mismo costo original cu(a $ida )til serJ también de *. a!os ( así sucesi$amente por tiempo inde"nido+ Calcule el costo capitali ali'ad 'ado con una 0NA de 8>3 capi apitali'abl able trimestralmente+ Solución a+ Datos Datos % 5 .// .//// // ' 5*. 5*. a!os a!os $id $ida a )ti )til l 0NA 0NA 5 > /+8> 0N0 5 /+/2 0EA5 9*:+/2; < * /+828>72=2 5 .//// Aplicando la fórmula C = #Y +i * "1#i%n
)1, +1*i, */8
C 5 .//// : ./////+/82=> 9* :/+/82=>;*. * /+82=>F C = 160.1!
< *F
8.+ Una #un #undici&n nec necesita con construir un al almacén cu( cu(o tecGo de tijerales de madera tiene un costo inicial de =//// um el cual necesita un tratamiento antipolilla cada . a!os con un costo de 1////um+ De manera alternati$a el costo inicial de los tijerales de "erro con una $ida )til de *. a!os tiene el mismo costo capitali'ado que los tijerales de madera se sabe ademJs que sus costos de reempla'os #uturos serJn iguales a su costo inicial+ HCuJl serJ la in$ersi&n inicial de la segunda alte alterrnati nati$a $a para para cubr cubrir ir su cost costo o inic inicia iall ( el de sus sus in"nitos reempla'osK Considere una 0EA de ?3+ Solución Datos % 5 =//// ' 5 . a!os $ida )til 0EA 5 /+/? 5 1//// Aplicando la fórmula -iBerales de madera: C = #Y +i * "1#i%n )1, +1*i, C 5 =//// : 1/////+/? 9* :/+/?;. C = 10$21.17
< *F * /+/?F
-iBerales de erro: C = #Y +i * "1#i%n )1, +1*i, C 5 *.1=8*+*7 : *.1=8*+*7/+/? 9* :/+/?;*. * /+/?F C = 22'7&1.7
< *F
82+ Las #uer'as armadas de un determinado país deben reno$ar peri&dicamente el cal'ado de campa!a de su personal de tropa+ En el proceso de adquisici&n del cal'ado se reciben las siguientes propuestas a+ 6odel 6odelo o C a un prec precio io de 1/ um ( una una $ida $ida )til )til de *+. a!os b+ 6odelo 6odelo D a un preci precio o de >/ um ( una una $ida )til )til de de 8 a!os Calcule el costo capitali'ado de ambas opciones con una 0EA de =3 Solución */1
a+ Datos % 5 1/ ' 5*+. 5*+. a!os $ida )til )til 0EA 0EA 5 /+/= /+/= 5 1/ Aplicando la fórmula C = #Y +i * "1#i%n )1, +1*i, C 5 1/ : 1//+/= 9* :/+/=;*+. < *F * /+/=F C 5 1/ : 1/97+8>2788=;9**+********; C 5 1/ : 8*7+>/*2 C = 2'7.'! Solución b+ Datos Datos % 5 >/ ' 5/8 a!os a!os $ida $ida )til )til 0EA 0EA 5 /+*/ /+*/ 5 ?//// Aplicando la fórmula C = #Y +i * "1#i% n
)1, +1*i,
C 5 >/ : >/ /+/= 9* :/+/=;8 < *F * /+/=F C 5 >/ : >/9/+>7?>2?=; 9**+******* ; C 5 >/ : 8*8+2. C = 22.6 87+ Calcule el costo capitali'ado de un cami&n de transporte de minerales cu(o costo original es ?//// um su $ida )til es 2 a!os ( sus reempla'os #uturos tendrJn el mismo costo que el original+ Aplique una 0EA a */3+ Solución Datos % 5 ?//// ' 5/2 a!os a!os $ida )til )til 0EA 5 /+*/ /+*/ 5 ?//// Aplicando la fórmula C = #Y +i * "1#i%n )1, +1*i, C 5 ?//// : ?/////+*/ 9* :/+*/;2 C 5 ?//// : ?/////+*/ 9* :/+*/;2 C 5 ?//// : */12?.+=/
< *F * /+*/F < *F * /+*/F
C = 1&06&.$! 8?+ Una em empresa de de tr transportes que re requiere ere ren reno o$ar su -ota recibe las siguientes propuestas a+ ?/// ?//// / um por cada cada unida unidad d que tienen tienen una una $ida $ida )til de . a!os */>
b+ */// *///// // um por por cada cada unida unidad d que tiene tiene una $ida $ida )til de 7 a!os Calcule el costo capitali'ado de cada alternati$a ( considere que las #uturas reno$aciones tendrJn el mismo costo ( los acti$os la misma $ida )til+ E$alué ambas opciones con una 0EA de ?3+
Solución a.Datos a. Datos % 5 ?//// ' 5/. a!os a!os $ida $ida )til 0EA 0EA 5 /+/? 5 ?//// Aplicando la #&rmula C = # Y +i * "1#i%n
)1, +1*i,
C 5 ?//// : ?////9/+*7/>.2>.;9*8+.; C 5 ?//// : *7/>.2+>. C = 2!'6.' b.Datos b.Datos % 5 *///// ' 5/7 a!os $ida )til 0EA 5 /+/?5 *///// Aplicando la #&rmula C = # Y +i * "1#i%n )1, +1*i, C 5 *///// : *//////+/? *:/+/?; 7 <*F * //?F C 5 *///// : *>//=/+./ C = 2'!!$!.! 5555555555555555555555555555555555555 555555555555555555555555555
1!.0. Problemas diersos Conceptos
*/.
a. Una perpet perpetuidad uidad es una anualidad cuyo pago se inicia en una fecha fija y continúa para siempre. Es decir, se puede considerar que qu e tie iene ne un in inffini nito to nú núm mer ero o de pa pago gos s y po porr el ello lo no se pu pued ede e determinar su monto. Este tipo de anualidades se presenta cuando se coloca un capital y únicamente se retiran los intereses. La fórmula se puede derivar de esta definición, aplicándola en la fórmula de valor presente, así
Lo cual sugiere que a medida que n tiende al in"nito el $alor de 9*:i;
b. Costo capitalizado
El costo capitali'ado de un acti$o es el costo inicial mJs el $alor presente de un n)mero ilimitado de costos de reempla'o de cada esto es de una perpetuidad de por inter$alo de reempla'o+ Bemplo 2+ 2+ Unas tribunas de madera con $ida probable de *. a!os pueden ser construidas con *///// quet'ales+ Suponiendo un interés de .3 Gallar a; El costo capitali'ado de las tribunas b; La ca cant ntid idad ad qu que e ser sería ía ra ra'o 'onab nable le pa paga garr po porr un unas as tribunas de acero con una $ida probable de ./ a!os+ i 5 9*+/.;*. T * 5 *+/7?=8? A 5 *///// *+/7?=8? 5 =82?>+.? */2
Costo capitali'ado C 5 *///// : =82?>+.? C 5 *=82?>+.? Luego *=82?>+.? *=82?>+. ? 5 0r : 0r i despejando despe jando i l alor de i resulta: !.! = J
Problemas resueltos. 1+ El se!or Biméne' deja una Gerencia de R 1///// a su nieto Luis+ Si este dinero es in$ertido al *+8.3 mensual+ HCuJl serJ la cantidad mJima que se podrJ retirar al "nal de cada mes para que los retiros se e#ect)en de una manera inde"nida siempre que la tasa de interés no disminu(aK Solución: Se trata de una Perpetuidad WAC 5K(K( el depósito inicial. 0N6 5 /+/*. P = (*i 4 5 8.// /+/*. P = 166667
*/7
0. El due!o de una mina con reser$as de eplotaci&n probadas para un pla'o ma(or de *// a!os tiene una utilidad neta por período anual de *?/// um+ Calcule el $alor presente de la mina con el objeto de $enderla aGora pues se sabe que en los pr&imos /8 a!os la mina no operarJ por reno$aci&n de los equipos+ El due!o percibe una 0EA de *. 3 Solución Se trata del $alor presente de una perpetuidad di#erida 8 a!os+ 5 *?/// , 5 8 a!os Aplicando la #&rmula P = (*i 9 " 1 * " 1# i % R por ser di#erida 4 5 *?/// /+*. P 9 * 9 *: /+*.;8 ; 4 5 *8//// P/+7.2*>127 P = $!707.2' '+ Wallar el $alor presente de una perpetuidad de 7?/ um+ pagaderos al "nal de cada a!o suponiendo un interés e#ecti$o anual de 2 3 ( 23 con$ertible trimestralmente Solución 0EA 5 /+/2 5 7?/ 4 5 i 4 5 7?/ /+/2 4 5 *1/// AGora si 0NA 5 /+/2 con$ertible trimestralmente 0N0 5 /+/2 > 5 /+/*. 0EA 5 9* : /+/*.; > < * 0EA 5 /+/2*12 P = 7&! * !.!6106 = 12711.10
*/?
CAPT-UL 11: Anualidades Menerales 11.1. Problemas resueltos /onto de una anualidad eneral *+ Calcul Calcule e el monto que se capital capitali'a i'ara ra al "nal del seto seto a!o con renta entass uni uni#or #ormes mes $enc $encid idas as de */// */// um um que que se depo deposi sitar taran an anual anualme ment nte e en un banc banco o esto estoss dep& dep&si sito toss de$engaran una 0NA de *83 con capitali'aci&n trimestral+ Solución 5 */// anualmente 0NA 5 /+*8 capitali'aci&n trimestral 0EA 5 9*: /+*8>; > < * 5 /+*8../??* n 5 2 a!os Aplicando la #&rmula de $alor #uturo de una anualidad $encida = (+"1#i%n ) 1 * i , % 5 *///9 *: /+*8../??*;2 < * /+*8../??* F % 5 *///9?+88??.7>.; = &22&.&6 8+
Una Una pers person ona a se comp comprromet omete e dep deposi ositar tar a "n de cada ada quincena durante 2 meses un importe de .// um en un banco que remunera esos aGorros con una 0EA de ?3+ Hué monto acumulara al término de dicGo pla'oK Solución 5 .// um n 5 2meses 5 2P8 5 *8 quincenas 0EA 5/+/? Debe De be cump cumpli lirs rse e que que la 0EA 0EA sea sea ?3 al depo deposi sita tarr quincenal debe capitali'ar también quincenal 0N 5 9*: 0NA8>;8> T * 5 /+/? 0N 5 8> *+/? < * 5 /+//18**?2 Aplicando la #&rmula S = ( +"1#i%n ) 1 * i , S 5 .//9*: /+//18**?2;*8 < * /+//118**?2F S 5 .//9*8+8*>82?2; S = 61!7.10
*/=
1+ En el pla'o de =/ días se e#ectuar e#ectuaron on dep&sit dep&sitos os de aGorro aGorross de 8// um cada 2 días por los cuales se percibe una 0NA de */3 */3 capi capita tali li'a 'abl ble e mens mensua ualm lmen ente te Hué Hué mont monto o se acumul& en ese inter$alo de tiempoK Solución: 5 8// um cada 2 días n 5 =/ días n 5=/2 5 *. 0NA 5 /+*/ capitali'able mensualmente+ 0N6 5 /+*/*8 5 /+/?11111 0N2días 5 /+/?111111/ P 2 5 /+//*22227 Aplicando la #&rmula S = ( +"1#i%n ) 1 * i , S 5 8//9*: /+//*22227;*. < * /+//*22227 S 5 8//9*.+*7287/8; S = 0!0.2 >+ HCuJ HCuJnt nto o se Gabr GabrJ J capi apitali tali'a 'ado do en ? mes meses al e#ec e#ectu tuar ar dep&sitos de "n de mes de >// um en una instituci&n banc bancar aria ia que que remu remuner nere e esos esos dep& dep&si sito toss con con una una 0NA 0NA de 8>3 capitali'able semestralmenteK Solución 5 >// 0NA 5 /+8> capitali'able semestralmente 0NS 5 /+8>8 5 /+*8 0EA 5 9*+*8;8 < * 5 /+8.>> 0EA 5 /+8.>> 0N6 9*:0N6; *8 < * 5 /+8.>> 0N6 5 /+/*=/2728 es la tasa equi$alente mensual al capi capita tali li'a 'arr seme semest stra ralm lmen ente te se obti obtien ene e una una 0EA 0EA de 8.+>>3 n 5 ? meses Aplicando la #&rmula S = ( +"1#i% n ) 1 * i , S 5 >//9*: /+/*=/2728;? < * /+/*=/2728 S 5 >//9?+..>7>282; S = 0'21.$! .+ HCuJnto se GabrJ capitali'ado con imposiciones trimestrales iguales de .// um durante = meses si se colocan en un banco que remunera esos dep&sitos con una 0N6 de *3 capitali'able bimestralmenteK Solución **/
5 .// trimestrales+ n 5 = meses 5 1 trimestres+ 0N6 5 /+/* 0NA 5 /+/*P*8 5 /+*8 Capitali'ando bimestralmente 0NO 5 /+*82 5 /+/8 0EA 5 9*+/8;2 < * 5 /+*82*28>8 0E0 9*:0N0; > < * 5 /+*82*28>8 0E0 5 /+/1/*>=. Como los dep&sitos son trimestrales calculamos una 0N0 es /+/1/*>=. Aplicando la #&rmula S 5 .//9*:/+/1/*>=.;1 < * /+/1/*>=.F S 5 .//P1+/=*1.7>= S = 1'.67 2+ Calcul Calcule e el import importe e de los inter intereses eses acumul acumulado adoss durante durante ? meses con imposiciones uni#ormes bimestrales bimestrales de */// u+ si se depositan en una Caja 6unicipal que retribu(e estos dep&sitos con una 0NA de *? 3 capitali'able trimestralmenteK
Solución 5 */// bimestrales+ n 5 ? meses 5 > bimestres 0NA 5/+*? Capitali'ando trimestralmente 0N0 5 /+*8> 5 /+/1 0EA 5 9*+/1;> < * 5 /+*8../??* 0asa equi$alente equi$a lente bimestral bimestr al 0EO 9*: 0NO; 2 < * 5 /+*8../??* 0EO 5 /+/*==/*1* Aplicando la #&rmula S 5 *///9*:/+/*==/*1*;> < * /+/*==/*1*F S 5 *///P>+*8* S = '121.!! Los intereses '121 '!!! = 121.!!
***
7+ En el siguiente siguiente diagrama diagrama de -ujo de caja caja S5 HK *>/ *>/ *>/
*>/ *// *// ?/
7
&
$
! 1! meses.
1
?/
2
?/
0
?/
'
6
Calcule el $alor #uturo con una 0E6 de 83+ Aplique tres ecuaciones equi$alentes di#erentes que produ'can el mismo resultado+ Solución Histen tres series de anualidades de &! de 1!! ? de 1'! Calculamos una a una asta su cuota iual lueo capitaliGamos asta el 1!mo. mes: Serie * S* 5 ?/9*:/+/8F> < * /+/8F 9*+/8;2 5 17*+11 Serie 8 S85 *//9*:/+/8F 8 < * /+/8F 9*+/8;> 5 8*?+2. Serie 1 S15 *>/9*:/+/8F > < * /+/8F 5 .77+/8 S total = 071.00 # 21&.6 # 77.!2 = 1167 ?+ La compa!ía Elect ectrora(o dentro de *8 mese mesess debe rempla'ar una maquina a$aluada en =/// um ( para tal "n puede generar -ujos e#ecti$os e#ecti$os cada "n de mes los mismos que depositarJ en un banco 9.// um del primer al cuarto mes ( ?// um del quinto al no$eno mes;+Hué importe uni#orme debe depositar en los tres meses restantes para acumular dicGo monto si por los dep&sitos perciben en el banco una 0E6 de 13K Solución S = $!!! n* 5 > meses **8
5 .// n8 5 . meses 5 ?// n1 5 1 meses 5 HK Calculamos lo $alores #uturos que se acumularJn con las dos primeras series S* 5 .//9*:/+/1;> < * /+/1FP9*:/+/1; ? S* 5 .//9>+*?1287;P9*+82277//?; 5 82>=+?>272 S8 5 ?//9*:/+/1; . < * /+/1FP9*:/+/1; 1 S8 5 ?//P9.+1/*1.?*;P9*+/=8787; 5 >2>*+*>??> El saldo por completar es =/// T 82>=+?>272 < < >2>*+*>??> S1 5 *7/=+//>> El $alo $alorr de la rent renta a cons consta tant nte e se encu encuen entr tra a con con la #&rmula S 5 P%CS 5 S9*:i;n < * i 5 *7/=+//>> 9*+/1;1 < * /+/1 F ( = 2.$1 =+ Aplicando Aplicando una una 0E0 del .3 calcul calcule e el $alor #uturo #uturo al "nal "nal del décimo mes+ 8// 8//
8//
8// *./
*./
*./
*./
*./
! 6 7 meses.
8//
&
$
1
2
0
'
1!
Solución: Calculamos las ->/
0E0 5 /+/. 0N6 5 9*:0N6; 1 < * 5 /+/. 0N6 5 1*+/. T * 5 /+/*21=212
**1
@bser$amos en el grJ"co una serie de cuotas de *./ Gasta en los los meses que se deposit& 8// ( los saldos de ./ los capitali'amos uno a uno Gasta el mes */ Serie *+ entas de *./ todos los meses 9$er grJ"co; S 5 *./9*:/+/* *./9*:/+/*21=212F 21=212F */ < * /+/* /+/*21 21=2 =212 12FF 5 161.661& Luego uego qued quedan an ./ um+ um+ en mome moment ntos os espa espaci ciad ados os capitali'amos una a una Gasta el mes */ ./P9*+/*21=212;? : ./P9*+/ ./P9*+/*21= *21=212 212;;2 : > 8 ./P9*+/*21=212; : : ./P9*+/*21=21 ./P9*+/*21=212; 2; : ./ 5 267.!& S- = 161.66 # 267.!& S- = 1&&2.7' 8alor 8alor presente de una anualidad eneral */+ */+ En la #eri #eria a del del Goga Gogar r una una maqu maquiina tet tetiil est estJ sien siendo do o#ertada si se e#ect)a un pago de 8/// um de cuota inicial ( 8> cuotas mensuales de 8./ um cada una+ HCuJl sería el precio de contado equi$alente si el crédito inclu(e una 0EA de 8/3K Solución: 4 5 HK n 5 8> cuotas mensuales 5 8./ um+ 0EA 5 /+8/ 0N6 5 HK 9*:0N6; *8 < * 5 /+8/ 0N6 5 *8 *+8/ < * 0N6 5 /+/*.1/=>7 4* 5 8./9*:/+/*.1/=>7;8> < * 8> /+/*.1/=>79*:/+/*.1/=>7; F 4* 5 8./9*=+=.?.=27F 4* 5 >=??+2>=*7 4 5 8/// :>=??+2>=*7 P = 6$&$.6 **+ **+ Una pers person ona a debe debe pag pagar por por el sald saldo o de un prés présta tamo mo cuotas cuotas diarias diarias de */ um Hcon que importe importe podrJ cancelar cancelar Go( su préstamo si su acreedor accede descontar las cuotas **>
con con una una 0NA 0NA de >?3 >?3 capi capita tali li'ab 'able le trim trimest estra ralm lmen ente te ( toda$ía restan pagar 1. cuotasK Solución: 5 */ um diarias n 5 1. 0NA 5 /+>? 0EA 5 9*: /+>?>; > < * 0EA 5 /+.71.*=12 Calculamos la 0ND 9*:0ND; 12/ < * 5 /+.71.*=12 0ND 5 /+//*82 4 5 */9*:/+//*82;1. < * /+//*82 9*:/+//*82;1. F 4 5 */1>+8*?1?=>F P = 0'2.1& *8+ *8+ Calc Calcul ule e el $alor $alor pres presen ente te de una una anual anualid idad ad de 8 a!os a!os compuesta de cuotas uni#ormes $encidas bimestrales de 8/// 8/// um+ um+ Apli Apliqu que e una una 0NA 0NA de 8>3 8>3 con con capi capital tali' i'ac aci& i&n n trimestral+ Solución: n 5 8 a!os a!os 5 8P2 5 *8 bimestres+ bimestres+ b 5 8/// um+ 0NA 5 /+8> con capitali'aci&n trimestral 0EA 5 9*: /+8>>; > < * 5 /+828>72=2 Enco Encont ntra ramo moss la tasa tasa equi equi$a $ale lent nte e bime bimest stra rall que que al capitali'ar nos de /+828>72=2 9*: 0NA2; 2 < * 5 / /+828>72=2 0NO 5 /+/1=2*/1* Aplica Aplicand ndo o la fórm fórmul ula a de alo alorr pres presen ente te de una una anualidad encida 4 5 P%AS 9i n; 4 5 9*:i;n < * i 9*:i;nF 4 5 8/// 8///9 9* * : /+/1 /+/1=2 =2*/ */1* 1*;; *8 < * *8F //1=2*/1*9*:/+/1=2*/1*; 4 5 8///9=+>/211/.8; P = 1&&12.66 *1+ *1+ Calc Calcul ule e el $alo $alorr prese present nte e de una una anual anualid idad ad de de */ rent rentas as trimestrales $encidas de las cuales las . primeras son 8/// um las 1 siguientes son 1/// um ( las 8 )ltimas son 1.// u+ La 0E0 es .3+ Solución: P = ¿? * 58/// n5. **.
8 51/// n51 151.// 0E05/+/. Aplica Aplicando ndo la #&rmul #&rmula a de $alor $alor presen presente te de una anualidad $encida Para las tres rentas ? aciendo la actualiGación correspondiente se allarD l alor presente total en momento cero. 4 5 P%AS 9i n; 4 5 9*:i;n < * i 9*:i;nF 4* 5 8///9*: /+/.; . < * /+/.9*:/+/.;.F 4* 5 8///P9>+18=>7227; P1 = &6&.$0 485 1///9*: /+/.;1 < * /+/.9*:/+/.; 1 FP * 9*:/+/.; 48 5 1///P98+7818>?/1; P* 9*: /+/.; . 48 5 1///P98+7818>?/1;P9/+7?1.82*7; P2 = 6'!1.21 41 51.//9*: /+/.; 8 < * /+/.9*:/+/.; /+/.9*:/+/.; 1FP * 9*:/+/.;? 41 5 1.//P9*+?.=>*/>1;P9/+272?1=12;; P0 = ''!'.&0 40 5 4* : 48 : 41 40 5 ?2.?+=.1 : 2>/*+8* : >>/>+?1 P- = 1$'6'.$$
*>+ Con una 0E6 de .3 calc alcule el $alo alor present ente de los -ujos de caja que se presentan en el siguiente diagrama &!
'!
'!
'!
8
'!
'!
1
<. >
!
!
<>
<1 meses
.
**2
&!
!
<8
'!
<*
/
*
1!!
1! -odos los ZuBos se llean al momento ! "alor actual% luBo luBos s a la la iG
capit capital aliG iGan an luB luBos os a la
4 5 ./9* ./9*:/ :/+/ +/.; .;. : ./9*:/ ./9*:/+/. +/.;;> : ./9*:/+ ./9*:/+/.; /.;1 < *//9*:/+/.;1 : ?/ 9*: 9*: /+/. /+/.;;8 : ?/9*:/+/.;1 : >/ 9 9*:/+/.;. < * /+/.9*:/+/.;. ; : >/ < *./9*:/+/.;8 4 5 21+?*>/ : 2/+77.1*8. : .7+??*8. T **.+728. : ??+8 : ?> : *71+*7=/27 : >/ T *12+/. P = 016.!0 (entas de una anualidad eneral *.+ *.+ Un auto autom& m&$i $ill cu(o u(o prec preciio de cont contad ado o es ?/// ?/// um um se $ende con una cuota inicial de 1/// um ( sobre el saldo se car carga una una 0EA 0EA de *?3+ *?3+ HA cuJn cuJnto to asce ascend nder erJ J la cuot cuota a mensual si la di#erencia se paga en 8> pla'os igualesK Solución: 4 5 ?/// Inicial 5 1/// Saldo 5 ?/// < 1/// 5 ./// 0EA 5 /+*? n 5 8> meses 0N6 9*:0N6; *8 < * 5 /+*? 0E6 5 /+/*1???>1 Aplicando la #&rmula ( = P9(C "i n% 5 4 P9i 9*: i; n 9*:i;n < *; 5 .///9/ .///9/+/*1 +/*1??? ???>1 >1 9*:/+/ 9*:/+/*1? *1???>1 ??>1;;8> 9* : 8> /+/*1????>1; < * ; 5 .///P/+/>=8?*=? = 2'6.'1 *2+ *2+ Una Una perso persona na tie tiene ne en en una una cuent cuenta a de aGo aGorr rros os un impo import rte e acumulado de 1/// um del cual piensa retirar a inicios de cada ada mes durante > a!os ( Gast asta etinguirlo una **7
determinada renta uni#orme+ Calcule el importe de la renta dado que el banco paga una tasa nominal bimestral de 83 con capitali'aci&n trimestral+ Solución 4 5 1/// um n 5 > a!os 5 >? meses 0NO 5 /+/8 capitali'aci&n trimestral a 5 HK mensuales+ Calculamos la 0E6 0N0 5 /+/88 P 1 0EA 59*+/1;> < * 0EA 5 /+*8../??* 0E6 0EA 5 9*:0N6; *8 < * 5 /+*8../??* *8 0E6 5 *+*8../??* < * 0E6 5 /+//==/*21 Aplicando la #&rmula (a = P* "1#i%9(C "i n% a 5 4 9*: i;P9i 9*: i;n 9*:i;n < *; a 5 1///9/+//==/*2 1///9/+//==/*219*:/+ 19*:/+//==/*; //==/*;>? /+//==/*;>? < * ; a 5 1///9*: /+//==/*21;P/+/8287.=* (a = 7&.!
9* :
*7+ Calcule la cuota uni#orme $encida trimestral que amortice una deuda de ./// um+ en a!o ( medio+ Utilice una 0N0 de >+.3 capitali'able semestralmente+ Solución: 4 5 ./// 5 HK 0rimestral rimest ral n 5 2 trimestres+ 0N0 5 /+/>. 0NS 5 /+/>.P 8 5 /+/= 0E0 9*:0N0;8 < * 5 /+/= 0E0 5 8*+/= < * 0E0 5 /+/>>/1/2. 4 5 P%AS P%AS 9/+/>>/1/2. 2; Aplicando la fórmula ( = P9(C "i n% 5 4 P9i 9*: i; n 9*:i; n < *; 5 ./// .///9/ 9/+/ +/>> >>/1 /1/2 /2. . 9*:/ 9*:/+/ +/>> >>/1 /1/2 /2.; .;2 9* 9* : 2 /+/>>/1/2.; < * ; 5 .///P/+*=1878>1 ( = $66.06 **?
*?+ *?+ Con Con una 0NA 0NA de 8>3 8>3 anua anuall capit capital ali' i'abl able e trimes trimestr tral almen mente te HCuJl debe ser la renta uni#orme al "nal de cada mes para que sea equi$alente a 1/// um al inicio de cada semestreK Solución: 4 5 1/// 5 HK mensual n 5 2 meses+ 0NA 5 /+8> 0N0 5 /+8>> 5 /+/2 0EA 5 9*+/2;> < * 0EA 5 /+828>72=2 0E6 9*:0N6; *8 < * 5 /+828>72=2 0E6 5 /+/*=2*8?8 4 5 P%AS Aplicando la fórmula ( = P9(C "i n% 5 4 Pi 9*: i; n 9*:i; n < *F 5 1/// 1///9/ 9/+/ +/*= *=2* 2*8? 8?8 8 9*:/ 9*:/+/ +/*= *=2* 2*8? 8?2; 2;2 9* 9* : 2 /+/*=2*8?8; < * ; 5 1///P/+*7?8=82> ( = 0'.&& *=+ *=+ Con Con una 0NA 0NA de 8>3 8>3 anua anuall capit capital ali' i'abl able e trimes trimestr tral almen mente te HCuJl debe ser la renta uni#orme al inicio de cada mes para que sea equi$alente a 1/// um al inicio de cada semestreK Solución: 4 5 1/// a 5 HK mensual n 5 2 meses+ 0NA 5 /+8> 0N0 5 /+8>> 5 /+/2 0EA 5 9*+/2;> < * 0EA 5 /+828>72=2 0E6 9*:0N6; *8 < * 5 /+828>72=2 0E6 5 /+/*=2*8?8 Aplicando la #&rmula a 5 4 9*:i; P%C 9i n; 5 4 9*: i;Pi 9*: i; n 9*:i; n < *F 5 1/// 9*: /+/*=2*8?8;P/+/*=2*8?8 2 9*:/+/*=2*8?8; 9* : /+/*=2*8?8; 2 < * F ( = 2'.$
**=
8/+ 8/+ Hué Hué ingr ingres eso o uni uni#or #orme de "n de mes mes es equi equi$a $allent ente a ./// um a "nes de cada trimestre si se utili'a como tasa de e$aluaci&n una 0EA de *.3K Solución: S 5 ./// 5 HK mensual n 5 2 meses 0EA 5 /+*. 0N6 9*: 0N6; *8 < * 5 /+*. *8 0N6 5 *+*. < * 0N6 5 /+/**7*>=8 Aplicando la fórmula ( = S95A "i n% 5 S Pi 9*:i; n < *F 5 ./// /+/**7*>=8 9* : /+/**7*>=8; 1 < *F 5 .///P/+18=>.?.= ( = 16'7.2$ 8*+ 8*+ Con Con una una 0E6 0E6 de 83 83 Hu Hué é pago pago uni uni#o #orm rme e e#ect e#ectuad uado o a "n "n de cada quincena en el pla'o de =/ días es equi$alente a >/// um a "nes de cada trimestreK Solución: 0E6 5 /+/8 n 5 =/ días 5 2 quincenas 0N 9*:0N;8 5 /+/8 0N 5 8*+/8 < * 0N 5 /+//==./>= Aplicando la fórmula S = (9CS ( = S95A 5 >/// P/+//==./>= 9*: /+//==./>=; 2 < *F 5 >///P9/+*28.2?.8; ( = 6!.27 88+ 88+ La cuo cuota ta men mensua suall para para la la adqu adquis isic ici& i&n n de un car carro ro es es .// .// um+ Si una persona decide e#ectuar en un banco dep&sitos uni#ormes cada tres días ( percibe una 0EA de */3 HCuJl serJ el importe del dep&sito que le permita acumular dicGa cuota mensualK Solución 0N1D 5 /+///7=>.7 5HK 5 S%D%A *8/
5 .///+///7=>.7 9*:/+///7=>.7;*/ 5 .//9/+/==2>8.=; ( = '$.&2
< *
81+ 81+ Una Una parej pareja a de espo esposo soss decid decidi& i& adq adqui uiri rirr dentr dentro o de . a!os a!os una casa a$aluada en >//// um si pueden percibir por sus dep&sitos colocados en un banco una 0EA de */3 HCuJles serJ serJn n los los impo import rtes es equi equi$a $ale lent ntes es $enc $encid idos os que que debe deberJ rJ colocar semestralmente trimestralmente mensualmente o diaria diariament mente e que les permit permita a alter alternati nati$ame $amente nte acumul acumular ar dicGo #ondoK Solución: S = '!!!! um n = aos = 1! semestres = 2! trimestres = 6!meses = 06!9 = 1&!! 1&!! dias -A = 1!J a. - > S 9* :0NS;8 < * 5 /+*/ 0NS 5 *+*/ < * 0NS 5 /+/>??/??. 5HK 5 S%D%A 5 >/////+/>??/??. 9*:/+/>??/??.;*/ 5 >////9/+/==2>8.=; ( = 01$7.$1 b. ->- 9* :0N0;> < * 5 /+*/ 0N0 5 >*+*/ < * 0N0 5 /+/8>**12= 5 HK 5 S%D%A 5 >/////+/8>**12= 9*:/+/8>**12=;8/ 5>////9/+/==2>8.=; ( = 17$.$! c. ->/ 9* :0N6;*8 < * 5 /+*/ 0N6 5 *8*+*/ < * 0N6 5 /+//7=7>*> 5 HK 5 S%D%A 5 >/////+//7=7>*> 9*:/+//7=7>*>;2/ 5 >////9/+/*1/2*>>; ( = 22.'6 *8*
< *
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d .->5 9* :0NS;12/ < * 5 /+*/ 0NS 5 12/*+*/ < * 0ND 5 5 HK 5 S%D%A 5 >/////+///82>7= 9*:/+///82>7=;*?// 5 >////9/+///>1>11; ( = 17.07
< *
8>+ 8>+ La com compa pa!í !ía a 66 I64 I64@ @0 0 colo coloc& c& bon bonos os por por *// *///// //// / um um los que $encerJn dentro de . a!os Hué importe uni#orme de "n de trimestre debe aGorrar en ese lapso de tiempo en un banco que paga una 0EA de */3 para acumular el monto necesario para redimir los bonos a su $encimientoK Solución: 0EA 5 /+*/ S 5 *////// 0E0 9*:0E0;> < * 5 /+*/ 0E0 5 > *+*/ < * 0E0 5 /+/8>**12= Aplicando la fórmula: ( = S95A "i n; 5 */// *///// /// //+ /+/8> /8>** **12 12= = 9*: 9*: /+/8 /+/8>* >**1 *12= 2=;8/ ;8/ < * F 5 *//////9/ /1=>=72*; ( =0$'$7.62 8.+ 8.+ Sust Sustit itu( u(a a una una deud deuda a que que debe debe amor amorti ti'a 'ars rse e con con cuot cuotas as uni#ormes de */// um cada ada "n de mes es por cuotas equi$alentes equi$alentes uni#ormes uni#ormes de "n de trimestre+ trimestre+ Utilice Utilice una 0NA de *83 capitali'able semestralmente+ Solución: Calculamos el $alor de S S 5 HK n 5 1 meses 5 */// 0NA 5 /+*8 0EA 5 9*:/+/2; 8 < * 0EA 5 /+*812 0N6 5 /+//=7.?7= *88
S 5 P%CS S 5 */// 9 * : /+//=7.?7=; 1 S 5 *///P1+/8=17*2 S = 0!2$.07
<
* /+//=7.?7= F
82+ 82+ En el el pla'o pla'o de dos dos a!o a!oss una una deud deuda a que que debe debe amo amort rti' i'ars arse e con cuotas bimestrales de >// um puede rempla'arse por cuotas equi$alentes anticipadas que se pagarían cada ? meses+ La 0E6 aplicable es 83+ Solución: n 5 8 a!os 5 *8 bimestres+ 578/ días 5 78/8>/ 5 5 >// bimestral 0E6 5 /+/8 0EO 5 9*:/+/8; 8 < * 5 0EO 5 /+/>/> 0EA 5 9*/>/>; 2 < * 5 /+82?8>*7= Calculando el $alor de 4 4 5 P%AS 9in; 4 5 >//9*: /+/>/>; *8 < * /+/>/> 9*:/+/>/>;*8 4 5 >//9=+12118=.*; P = 07'.001& a 5 HK cada ? meses ? meses 5 8>/12/ 5 /+22222227 a!os 0E?6 9*:0E?6; /+22222227 5 /+82?8>*7= 0E?6 5 /+*7*2.=1? n 5 1 periodos de ? meses cada uno+ Aplicando la fórmula de (a dado P i n (a = P* "1#i% 9 +i"1#i%n * "1#i%n ) 1 , a 5 17>.+118*? 9*: /+*7*2.=1?;P/+*7*2.=1? 9*: /+*7*2.=1?;1 9*: /+*7*2.=1?;1 < *; a 5 1*=2+2/>=2P/+>.17=/== (a = 1'!.$ 87+ La compa!ía 6illonarios SAC estJ #ormulado su presup presupuest uesto o anua anuall de ingr ingresos esos ( estim estima a los los sigu siguien ientes tes -ujos de "n de mes del primer al cuarto mes.// um del quinto al octa$o mes no puede pro(ectar los -ujos (a que introducirJ un nue$o producto del no$eno al duodécimo mes 7// um+ si la empresa puede aGorrar esos ingresos con una 0E6 de .3 ( necesita disponer al termino de *8 meses un monto de *//// um calcule el importe uni#orme uni#orme de los -ujos mensua suales que no puede ede pro(ec (ectar la compa!ía+ *81
Solución: ra"camos el diagrama de tiempo $alor .// .// .// 7//++
.//
Q
Q
Q
Q
Q
/`````*`````8```1`````>``` /`````*`````8```1`````>`````.````2````` ``.````2`````7`````?````=` 7`````?````=```````* ``````* 8
0E6 5 /+/.
S 5 *//// Q 5K 6edia 6ediant nte e la ecua ecuaci ci&n &n de equi$ equi$al alenc encia ia "nan "nanci ciera era al momento *8 es un $alor #uturo S 5 *//// *//// *//// 5 .//%CS .//%CS9/ 9//.> /.>;9* ;9*: : /+/.; /+/.;? : Q%CS9/+/.> Q%CS9/+/.>;; > 9*:/+/.; : 7//%CS9//.>; *//// 5 1*?>+//??8 : .+81?=?1??Q : 1/*7+/?7. Q 5 9*//// T 1*?>+//??1 T 1/*7+/?7.; .+81?=?1?? E = 72.12
8?+ 8?+ Con Con una 0E6 0E6 de 83 calc calcul ule e la serie serie mens mensua uall uni#o uni#orrme equi$alente del siguiente diagrama de -ujo de caja+ *./ *2/ *// *//
*//
/ 7
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*//
*//
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8
1
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2
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Solución Calculamos el alor presente de todos los ZuBos del rDco: 4 5 *//9*:/+/8; > < * /+/8 9*:/+/8; > : *./9*:/+/8;. : *//9*:/+/8; *//9*:/+/8;2 : *//9*:/+/8; *//9*:/+/8;7 : *2/ 9*+/8 9*+/8;? ;? : *//9*:/+/8;= : *//9*:/+/8;*/ 4 5 *//91+?/778?7; : *./*+*/>/?/? : *//*+*82*28>8 : *//*+*>?2?.27 : *2/ *+*7*2 *+*7*2.=1 .=1? ? : *// *+*=. *+*=./=8. /=8.7 7 : *// *+8*?==>>8 *8>
4 5 1?/+ 1?/+77 778? 8? : *1.+ *1.+?. ?.=2 =28* 8* : ??+7 ??+7=7 =7*1 *1?8 ?8 : ?7+/.2/*7= : *12+..?>.= : ?1+27..822 : ?8+/1>?1 P = $$'.7 Wallamos aora las cuotas mensuales para n = 1! con el alor presente ncontrado con -/ = !.!2 !.!2 5 4P%C 9/+/8 */; 5 ==>+7. /+/8 9*:/+/8;*/ 9* : /+/8;*/ < * F 5 ==>+7. 9/+***182.1; ( = 11!.7' 8=+ 8=+ Con Con una 0E6 0E6 de 13 calc calcul ule e la serie serie mens mensua uall uni#o uni#orrme equi equi$al $alent ente e del del sigu siguie ient nte e diagr diagram ama a de -ujo -ujo de caja caja++ La renta equi$alente debe #ormar una anualidad $encida del momento / al momento */+ *./ *2/ *//
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1
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Solución Calculamos Calculamos el $alor presente presente de todos los -ujos -ujos del grJ"co @bser bser$a $and ndo o el gra" gra"cco pode podemo moss calcu alcullar el $alo $alorr presente presente de una anualidad anualidad para una renta renta uni#orm uni#orme e de *// que a su $e' se debe actuali'ar al momento / ( luego actuali'amos ./ del mes .to ( 2/ del mes ? 4 5 *//9*:/+/1; ? < * /+/1 9*:/+/1; ?FF 9*:/+/1;8 : ./9*:/+/1;. : 2/ 9* :/+/1;? 4 5 22*+2711*> : >1+*1/>1=8 : >7+12>..>* P = &71.12$0$1 *8.
Wallamos Wallamos aGora aGora las cuotas cuotas mensuales mensuales para para n 5 */ con el $alor presente Encontrado con 0E6 5 /+/1 5 4P%C 9/+/1 */; 5 7.8+1> /+/1 9*:/+/1;*/ 9* : /+/1;*/ < * F 5 ?7*+*1 9/+**781/./7; ( = &&.1$ 1/+ Los $alo alores prese esentes de dos anuali alidade ades de rentas uni#ormes mensuales $encidas la primera de 8> meses a una 0E6 0E6 de . 3 ( la segunda segunda de 12 meses meses a una una 0E6 de 23 suman *?.=2** um+ Los montos de ambas anualidades suman **7.>7+ 2=+ Calcule Calcule el importe de la la renta uni#orme de cada anualidad+ Solución: Anualidad 1 0E6 5 /+/. n 5 8> meses * 5 Q Anualidad 2 0E6 5 /+/2 n 5 12 8 5 ] 4* : 48 5 *?.=2** S* : S8 5 **7.>7+2= * 5KK 8 5 HK Calculamos los $alores presentes e igualamos a la suma dada 4* 5 P%C 9i n; 4* 5 Q /+/. 9*:/+/.; 8> 9*:/+/.;8> < * 48 5 ] /+/2 9*:/+/2; 12 9*:/+/2;12 < * *?.=2+** 5 /+/78>7/=Q : /+/2?1=>?1] 9*; 0ambién 0ambién Calculamos los $alores #uturos e igualamos a la suma dada S* 5 Q 9*:/+/.; 8> < * /+/.F 12 S8 5 ] 9*:/+/2; < * /+/2F ***.>7+2= ***.>7+2= 5 >>+./*===?=Q >>+./*===?=Q : **=+*8/?27] **=+*8/?27] 98; 9EMISA; ES@LMIEND@ 9*; ] 98; E = (1 = !! ? ( 2 = &!! 1*+ 1*+ Un prés présta tamo mo de */// *//// / um debe debe amo amorti rti'ars 'arse e con con dos dos cuotas la primera de un importe de ./// um+ que debe *82
pagarse 1/ días después de recibido el préstamo ( la )ltima cuota debe reali'arse el día *7/ #ecGa la cual termina el pla'o del préstamo+ Calcule el importe de la segunda cuota si la 0E6 es 83+ Solución: 4 5 *//// * 5 ./// n* 5 1/ días 5 * mes 8 5 HK n8 5 *7/ días 5 .+27 meses+ 4or equi$alencia "nanciera *//// 5 .///9*+/8; : Q9*+/8;.+27 *//// T >=/*+=2 5 /+?=17Q E = 7!0.&2 es el importe de la cuota 2
Anuali Anua lida dade des s cu?o cu?os s impo import rtes es de rent rentas as plaG plaGos os de renta ? de tasa son ariables 18+ 18+ Una Una comp compa!í a!ía a comp compra ra al cont contad ado o una una mJqu mJquin ina a por por ?/// ?/// um de la que se espera tenga un $alor de sal$amento de */// um 9$alor de desecGo al "nal de su $ida )til;+ La mJquina requiere un mantenimiento pre$enti$o cada tres a!os a un costo de 8/// um HCuJl es el costo presente equi$alente equi$alente de la maquina maquina si tiene una $ida )til de */ a!os ( el costo de oportunidad de la empresa es 1/3 anualK Solución: 4 5 ?/// um+ n 5 */ a!os MS 5 */// um+ 5 8/// 51 C@ 5 /+1 Calc Calcul ulamo amoss el $alor $alor prese present nte e tota totall de las las opera operaci cion ones es "nancieras 4 5 ?/// : 8/// 9*:/+1/;1 : 8///9*:/+1/; 2 : 8/// 9* : /+1/; = < */// 9*+1/;*/ 4 5 ?/// ?/// : =*/+1188 : >*>+1.8> : *??+.==* < 78+.1?* P = $''!.7 *87
11+ El 1* de julio la compa!í a!ía EU@I64@0 en un a$i a$iso public publicado ado en un diario diario anunci anuncia a Crédi Crédito to inmediat inmediato o sin cuota inicial sin garante ( Gasta *? meses para pagar V Dentro de sus o#ertas inclu(e e#rigera e#rigeradora dora LUQE LUQEQ Q *7p1 *7p1 sistema sistema No %ro %rost st dispensador de agua+ Cuota inicial paga Go( 881 um ( en diciembre 9del mismo a!o; 881 um ( *? cuotas mensuales de 2. um+ Cocina S@LEQ paga Go( =. um ( en diciembre =. u ( en *? cuotas mensuales de 8? um Dado que los meses son de 1/ días ( que la 0EA es *.3 CuD CuDll es el prec precio io de cont contac acto to de ambo ambos s artIculosQ •
•
Solución: Caso (efrieradora Cuota inicial 881 Diciembre 881 %ecGa del crédito crédito 1* de Bulio A diciembre diciembre Ga( 1/ días + de agosto 8=d+ de setiembre 8=d+ de octubre8?d+de no$iembre no$iembre 8?d+ de diciembre son *>> días 5 *>>1/ 5 >+?meses+ 5 2. mensual n 5 *? -A = !.1 Calculamos la -/: 9* :0N6; *8 5 /+*. 0N6 5 *8*+*. < * 0N6 5 /+/**7*>=8 4recio al contado es el $alor de 4 para cada arte#acto (efrieradora: 4 5 881 : 8819*: /+/**7*>=8;>+? : 2.9*:/+/**7*>=8; *? < * /+/**7*>=8 9*:/+/**7*>=8;*? P = 220 # 21!.&70 # 1!'$.060'$ P = 1'&0.2' Cocina 4 5 =. : =.9*: /+/**7*>=8; >+? : 8?9*:/+/**7*>=8; *? < * /+/**7*>=8 9*:/+/**7*>=8;*? P = $ # &$.&0'7 # '2.!0 P = 606.&6
*8?
1>+ 1>+ Calc Calcul ule e el $alo $alorr pres present ente e de los los -uj -ujos os de caj caja a mensu mensual ales es de los siguientes pro(ectos 4ro(ecto A 6e 0E6 %lujo s * *3 *// 8 *3 *// 1 *3 *// > *3 *// . *3 *// 2 *3 8// 7 *3 8// ? *3 8// = *3 8// */ *3 8//
4ro(ecto O 0E6 %lujo
4ro(ecto C 0E6 %lujo
83 83 83 83 83 83 83 83 83 83
*3 *3 *3 *3 *3 83 83 83 83 83
*// *// *// *// 8// 8// 8// 8// 8// 8//
*// *// *// *// *// *// *// *// *// *//
Solución Pro?ecto A : 4 5 *//P%AS9/+/*.; *//P%AS9/+/*.; : 8//%AS9/+/*.;%SA9/+/*.; 8//%AS9/+/*.;%SA9/+/*.; 4 5 >?.+1> : =81+.7 P = 1'!&.$2 Solución Pro?ecto : 4 5 *//P%AS *//P%AS 9/+/8>; : 8//%AS9/+/82;%SA9/+/8>; 8//%AS9/+/82;%SA9/+/8>; 4 5 1?/+778? : */1>+=7* P = 1&1.' Solución Pro?ecto C: 4 5 *//P%AS *//P%AS 9/+/* .; : *//%AS *//%AS 9/+/8 .; %SA 9/+/*.; P = $00.&1
1.+ En el el probl problema ema anterio anterior r lle$ lle$e e al #utur #uturo o 9mes 9mes */; */; los los -ujo -ujoss del pro(ecto C+
Solución Eisten . rentas de *// con 0E6 de *3 las lle$amos al momento . ( el monto al momento */ S* 5 *//9*: /+/*;. < * /+/*FF 9*+/*;. S* 5 .*/+*/ 9*+/8; S* 5 .12+*8 *8=
Luego las otras . rentas de *// al 83 mensual S8 5*//9*: /+/8;. < * /+/8F S8 5 .8/+>/ S0 5 S* : S8 S0 5 .21+*= : .8/+>/ S- = 1!&0.$ 12+ En el diagrama de -ujo de caja que se presenta a continuaci&n lle$e el conjunto de -ujos Gacia el "nal del séptimo trimestre ( luego Gacia el momento / con una 0EA de *.3+ S5K .// .// .// 1// 1// 8// 8//
````` / .
2
*
8
1
>
7 45K
0rimestres 0rimestres Solución: Al 7mo trimestre es alor futuro Calculamos la 0E0 9*:0E0;> < * 5 /+*. 0E0 5 > *+*. < * 0E0 5 /+/1...?/? S 5 8//9*: /+/1...?/1;2 : 8//9*: /+/1...?/1;. : 1//9*: /+/1...?/1;> : 1//9*: 1//9*: /+/1...?/1; /+/1...?/1;1 : .//9*: /+/1...?/1;8 : .//9*: /+/1...?/1; : .// *1/
S = 2716.$ Al momento momento ! ! es alor actual aplica SA a cada ZuBo 1*"1#!.!0&!&%n n 5 2 . > 1 8* P = 2127.' 17+ 17+ Un trab trabaj ajad ador or medi median antte sus sus apor aporttes de *// *// um a una una administradora de #ondos de pensiones reali'ados a "n de cada mes durante ? a!os desea constituir un monto que le permita percibir al "nal de ese período una renta uni#orme cada "n de mes durante */ a!os+ Calcule el importe de esa renta dado que sus aportes rinden una 0EA de 23+ Solución: 5 *// um mensuales n 5 /? a!os 5 ?P*8 5 =2 meses+ 0EA 5 /+/2 0E6 5 9* : 0E6;*8 < * 5 /+/2 0E6 5 *8 *+/2 < * 5 /+//>?27.. S 5 HK S 5 *//9* : /+//>?77..;=2 < * /+//>?27..F S 5 *//9*88+1*>2?2; S = 12201.'' Luego calculamos el importe de la renta a percibir pe rcibir 4 5 *881*>> 0E6 5 /+//>?27.. n 5 */ a!os 5 *8/ meses HK ( = P9(C "i n% 5 *881 *881*+ *+>> >> /+/ /+//> />?2 ?27. 7.. . 9*:/ 9*:/+/ +//>? />?27 27.. ..;;*8/ 9 * : /+//>?27..;*8/ < * F 5 *881*+>> 9/+/**/88>; ( = 10'.&2 1?+ 1?+ Una Una perso persona na dep depos osit ita a en un ban banco co .// .// um um cada cada "n "n de trimestre durante un a!o+ 4or esos dep&sitos percibe una 0E6 de *.3+ Al cabo de dos a!os 9contados desde el inicio del primer trimestre; cancela su cuenta+ Calcule el monto de sus dep&sitos+ Solución 5 .// trimestral anticipadas 0E6 5 /+/*. n 5 8 a!os 5 ? trimestres S 5 HK *1*
0E0 5 9*: /+/*.;1 < * 5 0E0 5 /+/>.27?17 S 5 P%CS 9i n; S = ( +"1#i% n ) 1 * i , S 5 .//9*:/+/>.27?17;> < * /+/>.27?17 F S 5 .//9>+8?8.**.?;9*+/*.;*8 S = 26!.12 1=+ 1=+ Un aGor aGorri rist sta a se prop propon one e acum acumul ular ar un mont monto o de *//// *//// um en un pla'o de tres a!os para lo cual decidi& A!o * depositar en un banco *// um al "nal de cada quincena+ A!o 8 e#ectuar un dep&sito de */// um a "n del mes 1 ( otro dep&sito de .// um a "n del mes *8+ A!o 1 depositar una rent enta "ja cada ada "n de trimestre+ •
•
•
Calcule el importe de la renta "ja del tercer a!o ( los intereses intereses que que acumul acumulara ara en los tres a!os+ El banco banco paga una 0E6 de *3+ Solución: A!o * n 5 8> quincenas 5 *// quincenal 0E6 5 /+/* 0E 9*:0E;8 < * 5 /+/* 0E 9*:0E;8 < * 5 /+/* 0E 5 *+/* < * 0E 5 /+//>=?7.2 A!o 8 0ercer mes dep&sito dep&si to de */// *8a$o+ mes dep&sito de .// 0E6 5 /+/* A!o 1 5 HK trimestral n 5 > trimestres 0E0 5 9*+/*;1 < * 0E0 5 /+/1/* S total 5 *//// um+ *//// 5 *//9*:/+//>=?7.2;8> /+/*;8> : *///9*:/+/*;8* : •
•
•
*18
<
* /+//>=?7.2F9 /+//>=?7.2F9*: *:
.//9*:/+/*;*8 : 9*:/+/1/*;> < * /+/1/* F *//// 5 8?2.+18 : *818+1= : .21+>* : >+*?> >=7.+>?*8. 5 >+*?> ( = 11&$.1! Los intereses 10'.!' Capital total 5 *//P8> : */// : .// : **?=P> CDlculo de n e i en una anualidad eneral eneral >/+ >/+ Una Una maqu maquin ina a impo import rtada ada tien tiene e un cost costo o de */// */// um um ( se se $ende en 8/// um bajo las siguientes condiciones cuota inicial *8// um ( el saldo de ?// um debe pagarse en cuotas de *// um+ cada "n de mes+ HCuJntas cuotas serJn necesarias para cancelar la maquina con una 0EA de 8/3K Si los peri period odos os de tiem tiempo po no son son un n)me n)merro ent entero ero propon ponga una cuota meno enos o una adi adicional con su respecti$o importe+ Solución: 4$ 5 8/// inicial 5 *8// Saldo 4 5 ?// 0EA 5 /+8/ 0E6 5 9*:0E6;*8 < * 5 /+8/ 0E6 *8 *+8/ < * 0E6 5 /+/*.1/=>7 5 *// mensual n 5 HK Aplicando la fórmula: n = ) Lo +1 ) Pi*( , * Lo " 1 # i% n 5 < Lo Log * < ?//P/+/* +/*.1/ .1/=>7 *// F /+/*.1/=>7; n 5 < Log 9/+?77.8>8>; Log9*+/*.1/=>7; n 5 < 9/??; /+//2.=?>>; n = &.$$ n = &. 6 cuotas o n = 7 cuotas de 1!! ? la &a de 1$.1$ 1$.1$
Lo Log9*:
>*+ >*+ HCon HCon cuJ cuJnt ntos os dep& dep&si sito toss trimes trimestr tral ales es $enc $encid idos os de >// >// um podrJ acumularse un monto de 1/// um si se supone una 0NA de *83 capitali'able cuatrimestralmenteK Si la anua anuali lida dad d resul esulta ta impr improp opia ia indi indiqu que e el impo import rte e de los los dep&sitos uni#ormes ( del )ltimo dep&sito+ Solución: 5 >// mensual S 5 1/// *11
0NA 5 /+*8 0NC 5 /+*81 5 /+/> 0EA 5 9 * : /+/>;1 < * 0EA 5 /+*8>?2> 0E05 /+/8=?.8>. n 5 HK Aplicando la #&rmula n 5 Log SPi : * F Log 9 * : i; n 5 Log 1///P/+ : * F Log Log 9 * : /+/8=?.8>.; n 5 Log /+881?=11> : * F Log 9 * : /+/8=?.8>.; n 5 Log Log *+881?=1F Log 9*+/8=?.8>.; n 5 /+/?77>1.7 /+/*877./* n = 6.&6 depósitos de '!! ? uno de &10.$ >8+ >8+ Un trab trabaj ajado adorr acu acumul mul& & en en su su #on #ondo do de pensi pension ones es ./// .//// / um 9que inclu(en inclu(en el bono de reconocim reconocimiento; iento;++ Acuerda Acuerda con su A%4 recibir como pensi&n una renta mensual de */// um H4or H4or cuantos meses podrJ disponer de esa renta si percibe percibe una una 0EA 0EA de *?3K *?3K +Si +Si la anua anuali lida dad d resul esulta tase se impr improp opia ia indique el importe de las rentas uni#ormes ( el importe de la )ltima renta+ Solución: 5 */// mensual S 5 .//// 0EA 5 /+*? 0N6 5K 9*: 0N6; *8 < * 5 /+*? 0N6 5 *8 *+*? < * 0N6 5 /+/*1???>7 n 5 HK Dado que los .//// son Go( ( se distribuirJn distribuirJn después después son un alor presente Aplicando la fórmula: n = ) Lo +1 ) Pi*( , * Lo " 1 # i% n 5 < Log Log * < ./// .////P /P/+ /+/* /*1? 1??? ??>7 >7 *// */// / F Log Log9* 9*: : /+/*1???>1; n 5 < Log 9/+1/..7?.; Log 9*+/*1???>1; n 5 < 9?778*; /+///.==/*7; n = &.$ &' cuotas de 1!!! 1!!! ? el mes mes & 1$'!.$6 1$'!.$6 *1>
UtiliGando el Hcel inanciero: órmulas inancieras ) >per: Aparece la entana de diDloo siuiente diite los datos pedidos ? obtiene obtiene los solicitado solicitado en este caso el numero de cuotas.
>1+ >1+ Un trab trabaj ajad ador or dec decid idi& i& apo aport rtar ar cada cada "n de de mes mes a una una A%4 A%4 una suma suma de 1// um durante durante los . a!os que que le #altan #altan para jubilarse de modo que después de su jubilaci&n le permita retirar mensualmente una renta igual a la de su aporte+ Dado ado que los capi apitales en la A%4 tiene ene una 0EA de rendimiento de 23 Hdurante cuJntos meses podrJ e#ectuar esos retiros Gasta agotar su #ondoK Solución: 5 1// mensual n 5 . a!os 5 .P*8 5 2/ meses+ 0EA 5 /+/2 0E6 9*:0N6; *8 < 5 /+/2 0E6 5 /+//>?27.. Primero calculamos el monto
S 5 1//9* : /+//>?27..;2/ < * /+//>?27..F S 5 1//92=+>?.772=; S = 2!&'.70 entonces calculamos n n 5 < Log * < 4iF Log 9 * : i; n 5 < Log Log * < 8/?>.+ 8/?>.+71P/ 71P/+//> +//>?27. ?27.. . 1//F 1//F Log9* Log9*: : /+//>?27..; n 5 < Log 9/+22*77>>7; Log9*+//>?27..; n 5 < 9>+ >>+ Un pré prést stamo amo de *// */// / um se se otor otorga ga par para a amor amorti ti'a 'arse rse en 8> cuotas quincenales $encidas de ./ um+ Hué 0NA se estJ cargandoK Solución: 4 5 */// um n 5 8> quincenas 5 ./ um+ Aplicando la #&rmula #&rmula de 4 dados n por tanteo ( error error calculamos i P = ( +"1#i% n )1 *i"1#i%n */// 5 ./ 9*:i; 8> < * i 9*:i; 8> 8/ 5 9*:i; 8> T * i 9*:i; 8> 4robando con /+*/ 8/ 5 9*:/+*/; 8> T * /+*/ 9*:i;8> 8/ 5 ?+=? Cuando la tasa baja el #actor sube entonces probamos con 13 8/ 5 9*:/+/1; 8> T * /+/19*:/+/1;8> 8/ 5 *2+= *2+=1 1 El $alor $alor real real EQCE EQCEDE DE al $alor $alor estim estimado ado bajamos la tasa a *3 8/ 5 9*:/+/*; 8> T * /+/* 9*:/+/*;8> 8/ 5 8*+8 8*+8> > fEl fEl $alo $alorr esti estima mado do EQCE EQCEDE DE al $alo $alorr real eal subimos la tasa a *+.3 8/ 5 9*:/+/*.*; 8> T * /+/*.* 9*:/+/*.*;8> 8/ 5 8/+// La tasa A= 1.1J92' = 06.2' J ->A = 06.2'J
*12
>.+ >.+ Una Una rent renta a cuatr cuatrim imes estr tral al $enc $encid ida a de 7// 7// um colo coloca cada da en un banco durante 1 a!os acumul& un monto de 7/// um+ Hué 0E0 se emple& en esa operaci&nK
Solución 5 7// um cuatrimestral n 5 1 a!os 5 1Q1 5 = cuatrimestres+ S 5 7/// S 5 P%CS 9i n; 7/// 5 7//9*:i;n < * i F */ 5 9*: i ;= < * i F 4or tanteo ( error Si i 5 /+*/ tenemos */ 5 9*+*/;= < * /+*/ F */ 5 *1+.? Oajamos la tasa para que baje el #actor Si i 5 /+/82. entonces */ 5 9*: /+/82.; = < * /+/82.F */ 5 */+/* Entonces la 0EC 5 /+/82. Calculamos la tasa e#ecti$a anual 9 *: /+/82.2;1 < * 5 /+/?*28. Luego la 0E0 9*:0E0;> 5 /+/?*28. 0E0 5 > *+/?*28. < * -- = 1.$&J
>2+ Si Ga( que cancelar Go( un importe de ./// um se propone Gacerlo mediante dos pagos iguales de 8?// um cada ada uno los que $enc encerJ erJn dent entro de 8 ( 1 mese mesess respecti$amente+ Calcule la 0EA 9de 12/ días; aplicada a esta operaci&n+ Solución: 4 5 ./// um+ Q* 5 8?// a 8 meses Q8 5 8?// a 1 meses Por e>*7+71 Si bajamos la tasa la suma aumenta Si i 5 /+/. ./// 5 8?// 9*: /+/.; 8 : 8?// 9*: /+/.;1 ./// 5 >=.?+>1 *17
Seguimos bajando la tasa a /+/> entonces ./// 5 8?// 9*: /+/>; 8 : 8?// 9*: /+/>;1 ./// 5 ./77+ subi& la suma Seguimos probando la tasa a /+/>7 entonces ./// 5 8?// 9*: /+/>7;8 : 8?// 9*: /+/>7;1 ./// 5 >==> Entonces Entonces la tasa requerida requerida aproimadame aproimadamente nte es i 5 >+783 mensual 0asa diaria diaria 5 /+/>78 1/ 5 /+//*.7111 0EA 5 9 * : /+//*.7111;12/ < * 5 /+72** -A = 76.11J
*1?
CAPT-UL 12:
Mradientes
Mradiente *+ Calcul Calcule e el importe importe del gradiente gradiente aritmét aritmético ico en la siguie siguiente nte anualidad cu(a cuota base es 28// um ( su renta "nal es 812?7 um+
Solución: Cuota base 5 28// Cuota "nal 5 8127? 5 9%lujo "nal T %lujo inicial; n <* n 5 1/ 5 9812?7 T 28//; 1/ <* M = 6!0
8+ Calcule Calcule la ra'&n ra'&n de $ariaci&n $ariaci&n en la siguient siguiente e anualidad+ anualidad+ *1=
Solución 88/ T *=? *=? 5 88*=? 5 /+**** *=? T *7?+ 8 *7?+8 5 *=+? *7?+8 *7?+8 5 /+**** (aGón = !.1111 decreciente Anualidad Anualidad con rentas rentas T 2+2?8/>=8F 4 5 *8/8+*?*8/828F P = '0.62'!2'
*>/
>+ Const onstru ru(a (a el diag diagra rama ma del del -ujo ujo de caj caja de ? peri period odos os mensuales mensuales $encidos cu(a cuota base es *// um ( crece crece en cada periodo de manera uni#orme Gasta 8>/ um+ Asimismo calc calcul ule e el $alo $alorr prese present nte e de la anual anualid idad ad de grad gradie ient nte e uni#orme con una 0E6 de *3+ Solución n 5 ? meses 5 *// 5KK Calculo de M= "inal ) ( base% base% * n 1 5 98>/ T *//; 7 5 8/ 0E6 5 /+/* 5iarama de ZuBo. ````*// ```*8/```*>/```*2/````*?/```8//````88/`````8>/ ```*8/```*>/```*2/````* ?/```8//````88/`````8>/ * 8 1 > . 2 7 ? CJlculo de 4 Aplicando la fórmula: P = M +1*i +"1#i% n 1 *i"1#i% n ) n*"1#i%n , 4 5 8/*/+/* P 9*:/+/*; ? < * /+/*9*:/+/*; /+/*9*:/+/*;? < ? 9*:/+/*;? F 4 5 8/*//7+2.*277. < 7+1?7?2.7?F 4 5 8/*///+821?**=7F P = 27.62
*>*
.+ Un prést préstamo amo de ./// ./// um se pact& pact& para amort amorti' i'ars arse e de 2 cuotas cuotas mensual mensuales es $encida $encidass creci crecient entes es aritmét aritmética icamen mente te cu(a cuota base es >// um con un gradiente uni#orme con$encion con$encional al de ./ um Gasta la la quinta quinta cuota HCuJl HCuJl es el importe de la seta cuota con la cual quede totalmente cancelado el préstamo que de$enga una 0E6 de >3K Solución: Preparamos el diarama de ZuBo. ![[[[[[[[1[[[[[[2[[[[[0[[[[[['[[[[[[[[[[[6 !!! '!! '! !! ! 6!! E Calculamos el alor actual de con radiente ! para n Aplicando la formula: PM = M +1*i 9 +"1#i% n 1 *i"1#i%n ) n*"1#i%n , PM = !+1*!.!' 9+"1#!.!'% ) 1 * !.!' "1#!.!'% "1#!.!'% ) *"1#!.!'% , 4 5 ./8.>+>.*?8811 < >+*/=21..1F 45 ./8./+1>8*?2?F 4 5 >87+71 5 >// 4 total 5 >87+71 : >//9*:/+/>;. < * /+/> 9*:/+/>;.F 4 5 88/?+>2 %alta pagar 5 ./// T 88/?+>2 5 87=*+.17.7 La seHta cuota serD e;2 5 87=*+.17.7 E = seHta cuota c uota es = 002.1!
*>8
2+ Calcule el $alor presente de un cash fow con con -ujo -ujoss trimestrales+ El importe del primer -ujo es */// um que se incrementara incrementara trimestralme trimestralmente nte en .// um durante durante el a!o ( medio+ Utilice una 0E0 de .3+ Solución: ( = 1!!! M = !! n = 6 trimestres -- = !.! PM = Q Aplicando la fórmula: PM = M +1*i 9 +"1#i% n 1 *i"1#i%n ) n*"1#i%n , PM = !!+1*!.! 9+"1#!.!% 6 ) 1 * !.! !.! "1#!.! "1#!.!'% '% 6 ) 6*"1#!.!'% 6 , 4 5 .//8/P.+/7.2=8/7 < >+>778=81?F 4 5 .//8//+.=?1==2=F 4 5 .=?1+==2? 4 5 *///.+/7.2=8/7F 4 5 ./7.+2=8/7 4casG-o 5 .=?1+==2? : ./7.+2=18/ PcasZo\ = 11!$.6$ 7+ Calcule Calcule el costo costo presente presente total total de una maquin maquina a cu(o precio precio es >/// um ( origina gastos de mantenimiento de *// um el pri primes mes mes mes el cual cual se incr ncremen ementtara ara en un 8/ um mensualmente Gasta el "nal de la $ida )til de la mJquina que es . a!os+ Aplique una 0E6 de 83+ Solución: 4 5 >/// 5 *// 5 8/ n 5 . a!os 5 2/ meses+ 0E6 5 /+/8 Aplicando la formula: PM = M +1*i 9 +"1#i% n 1 *i"1#i%n ) n*"1#i%n , PM = 2!+1*!.!2 9+"1#!.!2% 6! ) 1 * !.!2 "1#!.!2% "1#!.!2% 6! ) 6!*"1#!.!2% 6! , 4 5 8/P./P 1>+72/??27 < *2+>71=./7F 4 5 8/P./*?+8?2=17F 4 5 *?8?2+=> 4 5 *//9*: /+/8;2/ < * /+/8 9*:/+/8;2/F 4 5 *//91>72/??27; *>1
4 5 1>72+/?? 40 5 >/// : *?8?2+=> :1>72+/?? P- = 2760. !2 ?+ La comp compa!í a!ía a 4ip&n 4ip&n S+A+ S+A+ cons consid ider ero o en su presu presupu puest esto o de in$e in$ers rsio ione ness adqu adquir irir ir una una nue$ nue$a a mJqu mJquin ina a dent dentrro de */ meses contados a partir de la #ecGa cu(o costo se estima para esa #ecGa en *//// um+ 4ip&n S+A+ puede destinar parar esa adquisici&n un importe de .// um al "nal del primer mes ( de allí en adelante incrementarlo en #orma de grad gradie ient nte e aritm aritmét étic ico o uni# uni#or orme+ me+ Si dicG dicGos os impo import rtes es los los deposita en un banco ( percibe una 0E6 de 13 HCuJl serJ el importe del gradienteK Solución: S 5 *//// 5 .// n 5 */ meses 0E6 5 /+/1 5 HK Calculo del ardiente dada la *ro cuota ( el $alor $ alor #uturo S S 5 *i 9*:i;n < * i < n FF *//// 5 */+/1 9*:/+/1;*/ < * /+/1 < */FF : .//9*: /+/1;*/ < * /+/1 1!!!! ) 701.$' = '&.7$$M '26&.!6 = '&.7$$M M = &7.'67
=+ HCuJl serJ erJ el mon monto que se acumul mulara en un a!o a!o al e#ec e#ectu tuar ar dep& dep&si sittos cada ada "n de mes mes en un banc banco o que que *>>
remunera los aGorros con una 0E6 de 13K El primer mes dep&sito dep&sito serJ 8// um que se incrementara incrementara mensualmente mensualmente en ./ um+ Solución: 0E6 5 /+/1 5 8// 5 ./ S0 5 HK S0 5 S : S S0 S0 Calculando Calculan do S 5 ./*/+/1 9*:/+/1; *8 < * /+/1 < *8FF S 5 12.1+1? S 5 8// 9*:/+/1; *8 < * /+/1 F S 5 8?1?+>* S- = 6'$1.7$
*/+ */+ Al con consi side derar rar ren renta ta men mensu sual al ( una una 0E6 0E6 de 13 13 calcu calcule le el $alor presente del siguiente diagrama en -ujo de caja+
Solución:
Se obser$a en el diagrama un -ujo de radiente 8/ desde la renta * igual a *// Gasta la renta = 82/ pero en la (>-A
*>.
7 WA] U> EC ECS S 5 '! >- >-> >CS L 8AL( P(S>- S(4: 4 5 4 9*//; : 4 98/; : 4 9>/; 4 5 *//9* : /+/1; = < * /+/1 P9*:/+/1;=F P( = 77&.61 PM = M +1*i 9 +"1#i% n 1 *i"1#i%n ) n*"1#i%n , PM = 2!+1*!.!0 9+"1#!.!0% $ ) 1 * !.!0 "1#!.!0% $ "1#!.!0%$ , PM = $2.2' P"'!% = '!*"1#!.!0% 7 P"'!% = 02.2 P- = 77&.61 # '2'!7 '2'!7 # 02.2 P- = 1'!0.07
) $*
**+ **+ Calc Calcul ule e el imp impor orte te de de ( el $al $alor or #ut #utur uro o de los los -uj -ujos os de de caja en el momento momento 2 de modo que el $alor $alor presente presente de los -ujos mensuales sean equi$alentes a 2/// um+ Utilice una 0E6 de >3 ( los datos de la siguiente tabla+
Solución: 5el raco se obsera: Una primera renta ( = !! ? lueo el importe del radiente uniforme
Calculamos el P ("6%: *>2
4 5 .//9* : /+/>;2 < * /+/> P9*:/+/>;2F 4 5 828*+/2 PM = M +1*i 9 +"1#i% n 1 *i"1#i% n ) n*"1#i%n , PM = M+1*!.!' 9+"1#!.!'% 6 ) 1 * !.!' "1#!.!'% 6 ) 6*"1#!.!'% 6 , PM = !.!M Luego 2/// 5 828*+/2 : /+./ 117?+=> 5 *8+./ G = 3378.94/12.5062426
M = 27!.1& S 5 2///9*:/+/>;2 S = 7$1.$1 *8+ *8+ La comp compa! a!ía ía 4is 4isa a in$ir in$irti ti& & *//// *//// um en un prog progra rama ma de producti$idad+ Este le permitirJ e#ectuar aGorros de >// um a "n del primer mes los que se incrementaran en *// um mens mensua ualm lmen ente te++ HEn HEn cuJn cuJnto to tiemp tiempo o 4isa 4isa recu recupe perar rara a su in$ersi&n con una 0E6 de >3K Solución: 4 5 *//// 5 *// 5 >// 0E6 5 /+/> n 5 HK 4 5 4 : 4 *//// 5 >//9* : /+/>;n < * /+/> P9*:/+/>;nF : *//*/+/>P 9*:/+/>; n T * /+/>9*:/+/>; n < n n9*:/+/>; F 4or tanteo ( error con n 5 */ resulta */// *//// / 5 >// >//9* 9*+/ +/>; >;*/ */ < * /+/> /+/>9* 9*+/> +/>;* ;*/ / F : *//*/+/>P 9*:/+/>; */ T * /+/>9*:/+/>;*/ < */ 9*:/+/>;*/ F
esol$iendo ( probando Gasta una aproimaci&n aproimaci&n resulta *>7
n = 10.70 meses. *1+ La comp compa!í a!ía a ]ape ]ape obtien obtiene e un prést préstamo amo del Oanco Oanco Surnor Surnor de *//// um a una 0E6 de *3 para amorti'arlo en el pla'o de un a!o con pagos pagos que que se e#ectuar e#ectuarJn Jn cada cada "n de mes con el compromiso de que cada cuota se s e incremente en *// um mensu mensual almen mente te++ HCuJl HCuJl serJ serJ el impo import rte e de la )lti )ltima ma cuotaK Soluci&n 4 5 *//// 0E6 5 /+/* 5 *// n 5 *8 Calculamos el alor AC-UAL 5 LS M(A5K>-S 5 1!! 4 5 *i P 9*:i; n T * i9*:i; n < n9*:i; n F 4 5 *//*/+/* P9*:/+/*;*8 < * /+/* 9*:/+/*; 9*:/+/*;*8 < *8 *89*:/+/*; F 4 5 2/.2+?7 4 5 *///// T 2/.2+?7 4 5 1=>1+*1 5 1=>1+*1 /+/*9*: /+/*;*8 9*:/+/*;*8 < * F 5 1=>1+*1 9/+/???>?7=; 5 1./+1> C*8 5 1./+1> : **P*// C*8 5 1./+1> : **// 9la )ltima cuota aumenta ** $eces el gradiente 5 *//; C12 = 1'!.0'
*>+ Calcule el %C que con$ierta una anualidad de gradiente con$encional de 8> meses en una anualidad equi$alente con rentas mensuales uni#ormes a una 0E6 de 13+ Solución *>?
Aplicando la fórmula: %C 5 *i T n 9*:i; n < * %C 5 */+/1 < 8>9*://1;8> < (CM = 1!.!$'
*
*.+ La com compa!ía 0r 0raspol tie tiene los los sig siguientes -uj -ujos de caja caja men mensual suales es pro pro(ect (ectad ados os con con una una 0E6 0E6 de >3 calcule a+ La renta renta uni#o uni#orm rme e de los gradie gradiente ntes+ s+ b+ La renta renta uni#orme uni#orme de de la anualidad anualidad con gradiente+ gradiente+
Solución: Se obser$a en el diagrama el $alor de 5 8/ 5 *// Calculamos el $alor presente de los gradientes 4 5 *i P 9*:i; n < * i9*:i;n < n9*:i;n 4 5 8/*/ 8/*/+/> +/> P9*:/+ P9*:/+/>; />;= < * /+/> /+/>9* 9*:/+ :/+/> />;;= 9*:/+/>;= 4 5 8/98.; 9*+**8/./==; 4 5 ..2+/8 4 5 *//9*:/+/>;= < * /+/>9*:/+/=;=F 4 5 *//97+>1.11*2*; 4 5 7>1+.1 a+ 5 4P% 4P%C C 5 ..2+/8/+/>9*:/+/>;= 9*:/+/>;= < * F 5 ..2+/89/+*1>>=8==; (M = 7'.7&
< =
b+ ( = P(9(C ( = "7'0.0 # 6.!2% +!.10''$2$$, ( = 17'.7& s la suma de las dos rentas *2+ Calc alcule el el co costo sto me mensua sual eq equi$alente a un pr proceso eso producti$o que demanda un desembolso inicial de 8/// um ( caus ausa costo stos men mensuales de ./ um que se incrementan en 8/ um por mes Gasta el mes */+ Utilice una 0E6 de 83+ *>=
Solución 4 5 8/// 5 ./ 5 8/ 0E6 5 /+/8 Calc Calcul ulam amos os el $alo $alorr pres presen ente te tota total+ l+ Luego uego el cost costo o equi$alente mensual+ 4 5 ./9*:/+/8;*/ < * /+/89*:/+/8;*/F 4 5 ./9*:/+/8;*/ < * /+/89*:/+/8;*/F P( = ''$.10 4 5 *i P 9*:i; n < * i9*:i;n < n9*:i; n 4 5 8/*/+/8 P9*:/+/8; */ < * /+/8 9*:/+/8;*/ < */ 9*:/+/8;*/ 4 5 8/9./; 9/+77=*/8/*; PM = 77$.1! El costo mensual equi$alente es una renta igual que garanti'a el $alor presente 0otal 0otal Gallado anteriormente ( = P(9(C ( = "2!!! #''$.10 # 77$.1!%+!.1110260%, 77$.1!%+!.1110260%, ( = 0$.0$ *7+ Calcule el im importe del del gra gradiente en un una anu anualidad crec crecie ient nte e arit aritmét métic icame ament nte e comp compues uesta ta de */ rentas entas trim trimes estr tral ales es cu(a cu(a cuot cuota a base base es .// .// um ( su $alo $alorr presente es ./// um utilice una 0E0 de 13+ Solución: 0E0 5 /+/1 5 .// n 5 */ 4 5 ./// Calculamos primero el $alor presente de todas las rentas iguales con cuota base de .// 4 5 P%AS 4 5 .//9*:/+/1; */ < * /+/19*:/+/1;*/ 4 5 .//P?+.1/8/8 4 5 >82.+*/ Malor presente del gradiente 4 5 ./// < >82.+*/ PM = 70'.&$& *./
Aplicando: 4 5 *i 9* : i ;n < * i9*:i;n < n 9*:i;n F Entonces 5 71>+?=? 71>+?=? * /+/1 /+/1 P 9* : /+/1; /+/1;*/ < * /+/1 /+/1 */ > 9*:/+/1; < > 9*:/+/1; F M = 2!.2' *?+ Calcule el gradiente uni#orme a aplicar en un préstamo de =2>1+1/ um+ reembolsable en un a!o con cuotas cuotas uni#or uni#ormes mes $encid $encidas as trimest trimestral rales es cu(a cu(a primer primera a renta enta es 8/// 8/// um+ um+ ( la 0NA es 8/3 8/3 capi capita tali li'a 'abl ble e trimestralmente+ Solución: 4 5 =2>1+1/ n5> 5 8/// 0NA 5 /+8/ capitali'able trimestralmente 0N0 5 /+8/> 5 /+/. Calculamos primero el $alor presente de todas las rentas iguales con cuota base de 8/// 4 5 P%AS 4 5 8///9*:/+/.; > < * /+/.9*:/+/.;> 4 5 8///P1+.>.=./. 4 5 7/=*+=/*/* Malor presente del gradiente 4 5 =2>1+1/ < ??2>+?7282 PM = 21.0$& Aplicando: 4 5 *i 9* : i ;n < * i9*:i;n < n 9*:i;n F Entonces 5 8..*+1=? * /+/. P 9* : /+/. ;> < * /+/.9*:/+/.;> < > 9*:/+/.;> F 5 >==+==? M = !!
*=+ Un aGo aGorrista dur durante el pl pla'o de un un a!o a!o e#e e#ect)a dep&sitos mensuales de .// um ( a partir de esa #ecGa incr ncremen ementa tara ra cada ada dep& dep&si sito to en *// um+ um+ HCuJn CuJntto acumularJ al "nali'ar el mes *8 si recibe una 0E6 de 83K *.*
Solución: 5 .// 5 *// n 5 *8 meses 0E6 5 /+/8 S 5 HK S 0 5 S : S SM = M +1*i +"1#i%n ) 1 * i ) n , S 5 *// */+/8 P9*:/+/8;*8 < * /+/8 S 5 *// ./ P9*+>*8/?=71; F S 5 7/2/+>. S 5 .//9*:/+/8;*8 T * /+/8 F S 5 .//9*1+>*8/?=7; S 5 27/2+/>>?2 S 0 5 7/2/+>. : 27/2+/>>?2 S- = 10766.'$
<
*8 F
8/+ Una empresa estJ #ormando un #ondo que le per permiti mitirJ rJ adqu adquiirir rir dent dentrro de un a!o a!o una una maqu maquin ina a automati'ada para lo cual decide depositar en un banco cada "n de mes =// um+ importe que incrementarJ1// um+ cada mes mes Si por los los dep&sitos dep&sitos percibe percibe una 0NA de *83 *83 capita capitali' li'abl able e mensual mensualmen mente te HCuJnt HCuJnto o tendrJ tendrJ al "nali'ar el pla'o comprometidoK Solución: 5 =// 5 1// 0NA 5 /+*8 0N6 5 /+*8*8 5 /+/* n 5 *8 S5 HK S 0 5 S : S S 5 =//9*: /+/*;*8 < * /+/* F S 5 =//9*8+2?8./1; S 5 **>*>+8.87 SM = M +1*i +"1#i%n ) 1 * i ) n , S 5 1//*/+/* P 9*:/+/*; *8 < * /+/* S 5 1//*//P9/+2?8./1/*;F S 5 8/>7.+/= S0 5 **>*>+8.87 : 8/>7.+/= S- = 01&&$.0' *.8
< *8 F
8*+ Con un una 0E 0E6 de de 13 13 ca calcule el el $a $alor pr presente de de los los -ujo -ujoss de caja caja que que se pres presen enta tan n en el sigu siguie ient nte e diagrama+
Solución 5 < ./ 5 2// um+ n5 ? 0E6 5 /+/1 Aplicando la fórmula: P = (AS "i n% ) MAS "i n% 4 5 2//9*:/+/1; ? < * /+/1 9*: /+/1; T ./*: /+/1;? * /+/1 9*:/+/1;? 4 5 2//9*8+>288*/1; < ./9*8+>288*/1; 4 5 >8**+?*.1* < 1./+=?>2/= P = 0&6!.&0!7
<
88+ Calcule el $al $alor presente de una una anualidad cu( cu(o Gori'onte temporal es . a!os durante el cual se reali'an rentas $encidas trimestrales que $arían en progresi&n aritmética cu(a cuota base es */// um su gradiente uni#orme < ./ um+ Utilice una 0E0 de .3+ Solución 5 < ./ 5 */// um+ n 5 . a!os 5 8/ trimestres+ 0E0 5 /+/. Aplicando la fórmula: P = (AS "i n% ) MAS "in% 4 5 *///9*:/+/.;8/ < * /+/. 9*: /+/.; 8/ T ./*: /+/.;8/ < * /+/. 9*:/+/.;8/ *.1
4 5 *///9*8+>288*/1; < ./9*8+>288*/1; 4 5 *8>28+8*/1 < 281+**/.*7 P = 11&0$.!$$&
Mradientes uniformes desfasados 81+ Dados un unas re rentas me mensuales ( un una 0E 0E6 de de 83 8 3 calc calcul ule e la renta enta mens mensua uall uni uni#or #orme equi equi$a $ale lent nte e al siguiente diagrama de -ujo de caja+
Solución: Calculamos primero el $alor presente de todos los -ujos del Gori'onte 4 5 2/9 2/9*:/ *:/+/ +/8; 8;8 : 2/9*: 2/9*:/+/ /+/8; 8;1 : ?/9*: ?/9*:/+/ /+/8; 8;> : *// *// 9*:/+/8;. : *8/9*:/+/8;2 : *>/9*:/+/8;7 : *2/ *2/9* 9*:/+ :/+/8 /8;;? :*?/9*:/+/8;= : 8// 9*:/+/8;*/ P = $&.06$2' Lueo calculamos la (>-A 5 LA A>UALK5A5 FUK8AL>- FUK8AL>- A P 5 4P%C 5 =.?+12=8>P/+/8 9*:/+/8;*/ 9*:/+/8;*/ < *F 5 =.?+ 9/+***182.1; ( = 1!6.6$ 8>+ Calc alcule el el im importe ca capitali ali'ad 'ado al al "n "nal del mes mes *8 si se e#ectuaron ** dep&sitos consecuti$os a "n de mes en un banco ( se de$eng& una 0E6 de 13 de los cuales los cuatro primeros #ueron de 8// um ( a partir del quinto al undécimo se incrementaron en ./ um cada *.>
mes+ El primer dep&sito se e#ectu& a "nes del primer mes+
Solución: n 5 ** 0E6 5 /+/1 * 5 8// del *ro al >to 8 5 8// : del quinto quinto undécimo 5 ./ S0 5 S* : S8 : S S* 5 8//9*: /+/1;> < * /+/1F9*:/+/1;7 5 S* 5 8//9>+*?1287;9*+88=?71?7; S* 5 */8=+/27 S8 5 8//9*:/+/1;2 < * /+/1F S8 5 8//92+>2?>/=??; S8 5 *8=1+2? S 5 ./ */+/1 P 9*:/+/1;2 < * /+/1 < 2 F S 5 72/+2? S0 5 */8=+/27 : *8=1+2? : 72/+2? S- = 01!0.'0
8.+ Una em empresa esa que ti tiene ene un un costo sto de de ca capital de */ */3 anual necesita necesita calcular calcular el $alor presente presente de un pro(ecto pro(ecto cu(os -ujos de caja 9ingresos ( egresos; se presentan en el siguiente diagrama
Calculamos el alor actual de los ZuBos de inresos 4 5 9ingresos; 9ingresos; 5 8///9 8///9*:/+*/; *:/+*/; : *=./9*:/+*/ *=./9*:/+*/;;1 : *=//9*:/+*/;. *?./9*:/+*/; 7 : *?//9*:/+*/;= 4 5 2*7.+7* *..
Calculamos el alor actual de los ZuBos de eresos 4 5 9Egresos; 9Egresos; 5 */// : =7.9* =7.9*:/+*/; :/+*/;8 : =./9*:/+*/;> : =8.9*:/+*/;2 : =//9*:/+*/;? : ?7.9*:/+*/;*/ 4 5 1711+== Malor presente del -ujo M4 9ingresos; 9ingresos; < M4 9Egresos; M4 9%lujo; 9%lujo; 5 2*7.+7* < 1711+== 8P "luBo% = 2''1.72 Anualidades con rentas trimestres 5 .// g 5 /+/. 9ra'&n de $ariaci&n geométrica; Aplicando la #&rmula PM = (* "1#i% n 9 +n ) "1#i%n * )1 i, 4 5 .// 9*:/+/1;8> P 9/+/.;8> < 9*:/+/1;8> /+/. T * < /+/1F 4 5 8>.+=7 98+/7>87=7; 4 5 .*/+8/ Malor presente de las anualidades de .// 4 5 9*:i;n < * i 9*:i;nF 4 5 .//9*:/+/1;8> < * /+/1 9*:/+/1;8>F 4 5 ?>27+77 Malor presente total 40 5 .*/+8/ : ?>27+77 P- = &$77.$& 87+ 87+ HCuJ HCuJll serJ serJ el $alo $alorr pres presen ente te de un prés présta tamo mo que que de$e de$eng nga a un 0E6 0E6 de *3 en el pla' pla'o o de 8 a!os a!osKK Este Este préstamo debe amorti'arse con cuotas mensuales $encidas de 1// um+ que se irJn incrementando en *3 cada una con relaci&n a la anterior+ *.2
Solución: 0E6 5 /+/* n 5 8 a!os 5 8> meses 5 1// g 5 /+/* 9ra'&n de $ariaci&n geométrica; geométrica; Aplicando la fórmula: 4 5 9*:i; n P gn < 9*:i;n g <* T iF 4 5 1// 9*:/+/*;8> P 9/+/*;8> < 9*:/+/*;8> /+/* T * < /+/*F 4 5 1// 9*+82=71; P91/+*7*=//1; P = 712&.71 8?+ Calcule la primera cuota de una anualidad creciente geométricamente cu(o $alor presente es ./// um su n)mero de cuotas trimestrales es 8/ su ra'&n de crecimiento geométrico es *+/> ( tiene una 0E0 de .3+ Solución: 4 5 ./// 0E0 5 /+/. n 5 8/ trimestres g 5 *+/> Aplicando la fórmula: PM = (* "1#i% n 9 +n ) "1#i%n * )1 i, ./// 5 9*:/+/.;8/ P 9*+/>;8/ < 9*:/+/.; 8/ *+/>T * < /+/.F 5 ./// 98+2.18=77*; >2+8*7>.28 ( = 2&7.!'
12.2 . Problemas diersos de radientes 1+ Un documento eige reali'ar *8 pagos mensuales $encidos Si el primer pago es de R 2/// ( cada uno disminu(e en ?//9tomado ?//9tomado de matemDticas nancieras ) capitulo *.7
radientes eBercicios resueltos. Carlos /orales. Colombia. 2!!$% a; HCuJl serJ e $alor del )ltimo pagoK b; HCuJl serJ el $alor "nal de todos ellos suponiendo una 0NA de 123 en pagos $encidosK Solución n 5 *8 0NA 5 /+12 0N6 5 /+12 *8 5 /+/1 a; En una tabla presentamos los *8 pagos 4eriod 4ago os s /*
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b; Se trata de una serie de gradiente 5 < ?// Aplicando la #&rmula de $alor actual del gradiente uni#orme
/ * ** <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< 8?//
*8 8///
.8//++ 2/// Aplicando la #&rmula M49; 5 9*i 9 9 *:i; n T * i9*:i; n < n 9*:i;n ; M4 9; 5
<
2+ Wall allar el $alo $alorr de Q en el sigui iguien entte -uj -ujo de caja caja con con intereses el 1/3 9-omado de matemDticas nancieras ) capitulo radientes eBercicios resueltos. Carlos /orales. Colombia 2!!
%$88/ 8// *2/ *>/ *8/ ?/
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Q Solución Se lle$an todos los ingreso al $alor #uturo del momento de Q periodo . se actuali'an todos los $alores desde */ Gasta regresar al período . Luego 5 Suma de los $alores cuales desde el momento */ Gasta el mome moment nto o . A K>A>CK(A (AS S ) CAPK-UL UL 9-omado de /A-/4M(A5K>- M(A5K >-S^ S^(CK (CKCK CKS S (SUL (SUL-S -S.. Carlos Carlos /orale /orales. s. Colomb Colombia ia 2!!
%$Solución Utili'amos 4ara calcular los ./ pagos actuali'ados 4 5 *///P./ 9*+/8; 4 5 >*+22 Si 5 1// >*+22 5 A/+8;9 * T 9 :/+8; <./ : 91///+8;99 * T 9*:/+8; <./ /+8 T ./P9* :/+8/;<./ A 5 2?1.+ '+ Wallar el $alor presente de una serie uni#orme de pagos si el primero $ale S+ */// ( son crecientes en un */3+ Suponga una tasa e#ecti$a de ? 3 9-omado de /A-/4-KCAS K>A>CK(AS ) CAPK-UL
M(A5K>-S^(CKCKS (SUL-S. (SUL-S. Carlos /orales. Colombia 2!!
%$*2/
Solución Considerando que es una serie geométrica in"nita entonces P = A*"i)t% si t_i ? ` si t i ]a ]a
%$Solución Considerando que es una serie aritmética in"nita entonces 4 5 9Ai; : 9gi 8; 4 5 98/+/////8.; : 91+///9//8.; 8; P = N6!!.!!! 6. 4ara mantener en buen estado una carretera carretera de Gerradura Gerradura los Gacendados de la regi&n desean establecer un #ondo para pro$ pro$eer eer las las repar reparac acio iones nes #utu #utura ras+ s+ Esta Estass se esti estiman man en un mill&n de pesos para el pr&imo a!o también se estima que su costo se incrementarJ todos los a!os en un *?3+ Wallar el $alor del #ondo suponiendo un interés del 8?3 e#ecti$o anual+ 9-omad omado o de mate matemD mDti tica cas s nan nanci ciera eras s ) capi capitu tulo lo rad radie ient ntes es eBercicios resueltos. Carlos /orales. Colombia 2!!
%$Solución Considerando que es una serie geométrica in"nita entonces 4 5 A9i+?3 N6 9C6;+ El deudor tiene un pla'o de *. anos para amorti'ar la deuda mediante pagos mensuales+ Suponiendo que la primera cuota es de R*/+/// ( $ence al "nal del primer mes +cual debe ser el porcentaje de reajuste mensual de la cuota para cancelar la deudaK 9-omado de matemDticas nancieras ) capItulo radientes eBercicios resueltos. Carlos /orales. Colombia 2!!$ % Solución Calculo del inter;s B 5 i m /+1>?*8 5 i *2*
i 5 //8= 5 8= E6 4ara calcular el porcentaje incremental utili'amos la #&rmula del Malor 4resente 4 5 A 99*:t; n9*:i;A>CK(AS ) CAPK-UL M(A5K>-S^(CKCKS (SUL-S. (SUL-S. Carlos /orales. Colombia 2!!
%$Solución 8alor de los almuerGos del ao: 2+///.//*8 5 12 ///+/// pagaderos en el mes *8 Costo de los almuerGos: 2///8// 5*8//+/// T Serie geométrica incrementada .3 pagadero anticipados+ Costo de la mano de bra: 8./+/// T anualidad *8 meses Knersión Knicial: R*///+/// Utilidad = Knresos Costos "en pesos de o?% Costos 6ateria 4rima < Malor presente serie geométrica P = A ""1#t%n"1#i%)n 1%*"t)i% 4 5 *8./+/// 99*://.;**9*://1;<** T*;9//. 78>+/=2>* A este $alor presente Ga( que sumarle el $alor de la materia prima del primer mes+ 45 *>78>+/=2>* : *8//+/// 5 *.=8>+/=2>* Costos In$ersi&n *///+/// Costos 6ano de @bra< $alor presente de la anualidad 4 5 A 9*<9*:i;??./*+// *28
Ingresos T Malor presente de R12///+/// 4 5 S9*:i;*8 5 8.8>=27.+2= *8//+/// : *///+/// 12///+/// *8./+/// :8./+/// Util Utilid idad ad 5 8.8 8.8>= >=27 27.+2 .+2= = < 8>?? 8>??. ./* /*+// +// < */// *///+/ +/// // < *. =8>/=2+>* Utilidad = &07!7&.2& Utilidad = Knresos Costos "en pesos futuros% Costos 6ateria 4rima < Malor #uturo serie geométrica anticipada S 5 A 99*:t; n<9*:i;n;9t In$ersi&n T Malor #uturo de la in$ersi&n S 5 49*:i;n 5 *///+///9*://1;*8 5 *>8.72/+?= Costos 6ano de @bra< $alor #uturo de la anualidad S 5 A 99*:i; n T *;i S 5 8./+///99*://1; *8 T *;//1 5 1.>?//7+1= Ingresos T Malor #uturo R12////// Utilidad 5 12///+///< 88?7*?=?+*>< *>8.72/+?=< 1 .>?//7+1= b% Utilidad = &1'00'
*21
CA4[0UL@ *1 >5S 5 A/(-KACK3> 10.1. Problemas resueltos *+ 4ara 4ara la emisi&n emisi&n por un import importe e de *///// um+ um+ que generan generan una 0NA de ?3 con pago de interés trimestral ( que son redimibles dentro de . a!os se requiere conocer a+ El importe importe del princi principal pal que colocad colocado o en una cuenta cuenta a una 0EA de */3 asegure el pago de intereses de los bonos Gasta la #ecGa en que sean redimidos+ Solución: Calculamos los intereses a pagar trimestral 4 5 *///// n 5 8/ trimestres 0NA 5 /+/? 0N0 5 /+/?> 0N0 5 /+/8 I 5 */////P/+/8 5 8/// trimestral 4 5 HK 5 8/// trimestral n 5 8/ trimestres+ 0EA 5 /+*/ 0E0 9*:0E0; > < * 5 /+*/ 0E0 5 /+/8>**12= 4 5 %AS P = ( +"1# i% n ) 1 * i"1#i%n 4 5 8///9*: /+/8>**12=;8/ < * /+/8>* /+/8>**12= *12= 9*: 8/ /+/8>**12=; P = 01''!.2 *2>
b+ El impor mporte te de las cuota uotass uni uni#or #ormes mes seme semest stra ralles $encidas que colocadas en una cuenta a una 0EA de =3 acumularan el #ondo necesario para redimir los bonos a su $encimiento+ Solución: S 5 *///// 0EA 5 /+/= 0ES 9*:0NS;8 < * 5 /+/= 0ES 5 /+/>>/1/2. n 5 */ semestres+ ( = S95A 5 */////P/+/>>/2.9/+/>>/1/2.;*/ < *F 5 */////P9/+/?*7>2..; ( = &17'.66 -abla de acumulación de un fondo de amortiGación 8+ 4repare el cuadro de acumulaci&n de un #ondo de amorti'aci&n que permita acumular un importe de *//// um+ con dep&sitos uni#ormes $encidos mensuales en el pla'o de > meses estos dep&sitos perciben una 0E6 de 83+ Solución: S 5 *//// 0E6 5 //8 N5> 5H Calculando la cuota ( = S95A 5 *////P/+/89/+/8;> < *F 5 *////P9/+/?*7>2..; ( = 2'26.2' lab labor oram amo os ondo. >ro.
Cuota
/
8>82+8>
*
8>82+8>
8 1
la -A ALA LA pa para ra ACU/ ACU/U ULACK LACK> > al K n t. anado
Cuota # Acumulado Knter;s anado 8>82+8>
8>82+8>
>?+.8
8>7>+72
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8>82+8>
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8.8>+82
7>8.+82
8>82+8>
*>?+./
8.7>+7>
=8*.+=8
*2.
>
*////
Calculo de n 1+ Una empresa empresa ma(oris ma(orista ta cu(as cu(as $entas de mostrado mostradorr son al contado recibi& una pro#orma para comprar una mJquina cu(o precio al contado es 18/=+*1 um+ con una $igencia de 1 meses+ La empresa para tal "n puede generar -ujos de caja de >// um cada seis días ( depositarlos en un banco que que remun emuner era a esos esos aGor aGorro ross con con una una 0EA 0EA de .3 HCon HCon cuJntas cuotas podrJ acumular un importe igual al precio de contado de la maquinaK
Solución 4 5 18/=+*1 0EA 5 /+/. 5 >// cada 2 días+ 0E2D en un a!o Ga( 12/ 2 5 2/ períodos de 2 días 0N2D 5 9*:0N2D; 2/ < * 5 /+/. 0N2D 5 2/ *+/. < * 0N1D 5 /+///?*1. 4 5 P %AS 9i n; Aplicando la #&rmula n 5 < Log * T 4iF Log 9* : i; n 5 < Log Log * T 18/= 18/=+* +*1P 1P/+ /+// ///? /?*1 *1. . >//F >//F Log Log 9* : /+///?*1.; n 5 < Log /+==1>71>1F Log 9*+///?*1.; n 5 < 9< /+/8?>17>; /+///128>? n = 7.&' n=& >+ La empr empresa Uni#or Uni#ormes mes S+A S+A+ deci decidi di& & #or #ormar un #ond #ondo o para para cambiar sus mJquinas manuales por otras automati'adas cu(os precios serJ *8/// um+ En la planeaci&n "nanciera reali'ada se determin& que dicGa empresa generarJ para ese "n -ujos de caja mensuales de 1// um+ que depo deposi sita tado doss en un banc banco o de$e de$eng ngar aran an una una 0EA 0EA de 23 23 *22
ademJs estima que el $alor de remate de sus actuales maqu maquin inas as en la #ecG #ecGa a que que deci decida da reno$ eno$ar arla lass no serJ serJn n in#er n#eriior a 1/// 1/// um+ um+ HEn HEn qué qué #ecG #ecGa a podr podrJ J reno$ eno$ar ar su maquinaria tetilK Solución S 5 *8/// 5 1// 0EA 5 /+/2 emate 5 1/// um+ 0E6 9* : 0N6;*8 < * 5 /+/2 0N6 5 *8 *+/2 < * 0N6 5 /+//>?27.. Malor a acumular *8/// T 1/// 5 =/// Aplicando la #&rmula n 5 < Log * T 4i F Log 9 * : i ; n 5 < Log * T =///P/+//>?27. =///P/+//>?27.. . 1// F Log 9 * : /+//>?27.. ; n 5 < Log /+?.1=71>?F Log9*+//>?27..; n 5 < 9< /+/2?...2*; /+//8*/??8 n = 02.! meses 5entro de 02.! meses. .+ 4ara la compra compra de una o"cina o"cina a$aluada a$aluada en 8//// 8//// um una comp compa! a!ía ía de audi audito torres deci decidi di& & abri abrirr a una una cuen cuenta ta de aGorros con un dep&sito inicial de ?/// um al que irJ adicionando cada "n de mes el importe de .// um+ DicGos dep&sitos son remunerados con una 0EA del 73 HDentro de cuJnto tiempo podrJn adquirir la o"cinaK Solución: S 5 8//// Inicial 5 ?/// SALD@ 5 8//// T ?/// 5 *8/// 0EA 5 /+/7 0E6 9* : 0N6; *8 < * 5 /+/7 0N6 5 *8 *+/7 < * 0N6 5 /+//.2.>*. Aplicando la #&rmula n 5 < Log * T 4iF Log 9* : i; n 5 < Log * T *8///P/+//.2. *8///P/+//.2.>*. >*. .//F Log 9 * : /+//.2.>*. ; n 5 < Log /+?2>1//.*F Log 9*+//.2.>*.; n 5 < 9< /+/2111.81; /+//8>>?2. n = 2.77 meses *27
5entro de 2.77 meses.
10.2. Problemas diersos 1. Un #abricante de muebles pretende comprar una mJquina que dentro de 2 a!os tendrJ un $alor de R*./ /// cantidad que se obtendrJ mediante un #ondo de amorti'aci&n+ Si la #Jbr #Jbric ica a pued puede e reali' eali'ar ar dep& dep&si sito toss seme semest stral rales es HcuJ HcuJll es la magn magnit itud ud de los los dep& dep&si sito toss que que se GarJ GarJn n al "nal "nal de cada cada seme semest strre si el banc banco o paga paga un inte interrés de 123 123 anua anuall con con capitali'aci&n semestralK Solución S 5 *.//// 0NA 5 /+12 0NS 5 /+12 8 5 /+*? Aplicando la #&rmula R = S*FDFA (i,n) (i,n)
5 *.////P99/+*? 9 * :/+*?;*8 5 *.////P9/+/8?287?*; ( = '2$'.17 > ECL K>A>CK(:
*2?
< *;
Los depósitos deben ser de N' 2$'.17 cada semestre.
2. Dentro de 8 a!os ( medio piensas en cambiar de autom&$il esti estima mass que que te GarJ GarJn n #alt #alta a R?/ R?/ /// /// por por lo cual cual deci decide dess reunirlos reali'ando dep&sitos mensuales+ Si la mejor tasa de inte interé réss que que o#re o#rece ce el banc banco o es de *?3 *?3 anua anuall con$ con$ert ertib ible le mensualmente Hde cuJnto debe ser cada dep&sitoK Solución Solución S 5 ?//// n 5 8a!os ( medio 5 1/ meses 0NA 5 /+*? 0NS 5 /+*? *8 5 /+/*. Aplicando la #&rmula R = S*FDFA (i,n) (i,n)
5 ?////P99/+/*. 9 * :/+/*.; 1/ < * ; 5 ?////P9/+/8?287?*; ( = &!!!!9"!.!2660$1$% &!!!!9"!.!2660$1$% ( = 2101.1' > ECL K>A>CK(: Knr Knres ese e a form formul ulas as) )na nanc ncie iera ras) s) sele selecc ccio ione ne PAM AM preiamente 5 abe berr dii iitado en las celdas respectias respectias tasa en 1 1 n en 2 2 ? 8f en 0 0 aparece aparece *2=
la caBa de dialoo ? copia las las celdas
-abla de fondo de amortiGación De la misma #orma como ocurre con las amorti'aciones en el caso del #ondo de amorti'aci&n también es necesario conocer su comportamiento para saber cuJnto se lle$a aGorrado en cualquier momento cuJnto se estJ ganando por concepto de intereses en cada periodo o simplemente cuJnto aumenta en realidad nuestro aGorro con cada dep&sito+ Al documento que nos permite anali'ar de manera detallada el comp compor orta tami mien ento to de un #ond #ondo o de amor amorti ti'a 'aci ci&n &n 9#on 9#ondo do de aGorro; se le conoce como tabla del fondo de amortiGación+ amortiGación + sta es una Gerramienta que permite establecer cuJnto se depo deposi sita ta cuJn cuJnto to se gene genera ra de inte interrés ( cuJn cuJnto to se tien tiene e aGorrado en cualquier momento etcétera+
*7/
0. Una deuda de R>// /// $ence dentro de . a!os+ 4ara su cancelaci&n se crea un #ondo de amorti'aci&n con pagos semestrales que ganan >>3 anual compuesto semestralmente+ Solución S 5 >///// n 5 . a!os 5 */ semestres 0NA 5 /+>> 8 0NS 5 /+88 Aplicando la #&rmula R = S*FDFA (i,n) (i,n)
5 >/////P99/+88 9 * : /+88;*/ 5 >/////P9/+/8?287?*; ( = '!!!!!9"!.!0'&$'$&2% '!!!!!9"!.!0'&$'$&2% ( = 10$7.$$
< *;
n ECL K>A>CK( con referencia a celdas preia preiamen mente te diites diites los datos datos
Los depósitos deben ser de N10 $7.$$ cada uno.
*7*
>+ Una persona desea acumular *//// nue$os soles en cuotas trimestrales anticipadas en un banco que retribu(e una 0E0 de 1 3+ Se desea saber para un a!o HcuJl es el importe de cada unaK AdemJs constru(a la tabla de acumulaci&n al #ondo+
Solución l alor de la cuota con ECL K>A>CK(:
*78
4ara calcular la cuota anticipada se actuali'a a inicio a 5 81=/ 9*+/1; (a = 202!.7!
*71
