I
'ndice
Introducción.
Buenas prácticas en la enseñanza de las matemáticas,
Consideraciones para la construcción
Representación de una educación matemática Biblioteca
N. Planas y
A. Alsina I 9
I 10
de buenas prácticas
I 18
cíclica
de Aula
Serie Didáctica
de las matemáticas
Matemáticas
en la educación
El desarrollo del pensamiento ~ NLlria Planas, Ángel Alsina (coords.),
Claudi Alsina. Miquel Alsina, Anton
Aubanell.
Carme
infantil, matemático
A. Alsina I 31 I 33
I 39
Experiencias docentes en la etapa 0-6
Aymerich, Edelmira Badillo, Roser Batllori, Maria Ángeles Beaumont, Ester Bosch, Carme Burgués,
El juego heurística un cuarto de síglo después de Goldschmied, El Haurtzaro
Amparo
y
Casi, Juan José Cárdenas, L1oren~ Carreras. Roser Codina, Juan de la Creu, Asunción
Cumba. María Jesús Doñate, Mequé Edo, Meritxell Garda,
Núria
Iranzo, Maria del Carmen
Iribarren,
Lumbier, Cristina Masoliver, Maite Matamala, Rubirola, María Sanz, Montserrat
Estebanell, Josep Maria Fortuna. EsperanLa Juan Jareño, Joaquim
Jiménez,
Yolanda
Nerea Moreno, Montse Planas, Pilar Royo, Dolors
Torra, Montse Valenti, Joan Valles, Berta Vila, Xavier Vilella
A.
I 43
Alsina
Descubrir y conocer en nuestro entorno, B. Víla Posibilidades comunicotivas, C. Aymerich
1
I 55
expresivas y matemáticas
de los cuentos,
62
©
de esta edición:
CI
Hurtado,
I 81
Editorial GRAÓ, de IRIF, S.L.
29. OS022 Barcelona
Matemáticas
www.grao.com
en I
A.
primaria.
El desarrollo de la competencia
Aisina
93
: 105
Más allá de las matemáticas a través de las aulas temáticas,
I 108
ISBN: 978-84-71127-695-0
NI. Planas de Farners
D.L.: B-l 0.518- 2009
La medida en la ruta de los relojes, E. Bosch Aprender matemáticas Organización
Diseño de cubierta:
I
I 95
matem~tica
Experiencias docentes en la etapa 6-12 1.' edición: ~bri! 2009
Impresión:
I 73
Con la excusa de "contar» aprendemos muchísimas más cosas, M. Torra Todos nuestros zapatos tienen números, C. Masoliver y M. Edo
Xavier Aguiló
I 115
a través del conocimiento
de las matemáticas
del medio, D. Rubirola
en un aula multícultural,
Rincón de la vida cotidiana y matemáticas,
1122
I
J. Cárdenas
L1.Carreras y M. Valent!
1
130
138
Imprimeix
Impresu en España
Matemáticas
en la educación
El desarrollo del pensamiento Qlied~n rigurosamente o illmacenamiento
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escrita de los titulares
de esta obra, dirijase a CEDRO
secundaria. crítico
N. Planas
I
145
1147
Experiencias docentes en la etapa 12-18
I 153
Observación del entorno por medio dd estudio de frisos, J. Jareño
i
157
ti diálogo en el aula de matemática~ como cnmunidad de prácticas, X. Vilella Un proyecto de participación
matemática
Las preguntas en la clase de matemáticos
con tecnología,
P. Royo
I
de secundaria, N. II'Dr1zoy N. Planas!
Estudio de cónicas a través de actividades manipulativas,
A. Aubanell
1167
178
I
197
187
¿Cuántos de vuestros zapatos necesitamos para cubrir el ancho de la pizarra? Esta sesión consistió en predecir y comprobar cuántos zapatos se necesitaban para recubrir el largo, ancho o alto de algún objeto: pizarra, ventana, toalla, etc. (véase imagen 5 en la página siguiente). En esta actividad, y gracias al juego previo de los niños, muchos alumnos fueron capaces mentalmente de calcular de forma aproximada o exacta cuántos zapatos de los niños de la clase se necesitaban para cubrir longitudes concretas. Cuando se
Como no se llegaba a un acuerdo se decidió que seguiríamos hablando del tema en otro momento, ya que ahora lo que querían los nirlos era «jugar)) con las siluetas de sus zapatos sin ninguna consigna concreta. El juego inicial era tan potente que se uecidíó plastificar estas siluetas y dejarlas durante una semana para juego libre. El juego líbre tenía muchas variantes, entre otras consistía en: comparar siluetas, una ;)1 lado de otra ver cuál era más larga y cuál más ancha, o si una cubría totalmente a otra; hacer filas de zapatos (con intentos de ordenación); hacer dibujos en el suelo con varios zapatos (flores, estrellas, etc.). Eljuego más interesante fue recubrir la longitud de algún objeto con varios zapatos y adivinar cuántos cabían. Esta actividad que apareció de forma espontánea fue retomada en la siguiente sesión como trabajo colectivo.
BLANCA:
FRANC:
Estosnúmerossirven paracontar los zapatos. Sonpara poderpagar a la señoradel súper. BRENOA: Yocreo quesirven parasaberla talla.
¿Qué podemos hacer con la silueta de nuestro zapato? Al preguntar qué más podíamos hacer, dijeron que querían decorar y recortar la silueta para tener cada uno su «zapato)). Se decoraron las siluetas y resiguieron su número para que se viera bien. Una vez terminado el material, formamos un círculo y conversam05 haciendo nuevas hipótesis. Preguntamos: «¿Para qué servirá este número que hemos encontrado en cada zapato?)). Algunas respuestas fueron:
de trabajo cooperativo, sin la ayuda y colaboración de los dos integrantes del equipo no se hubiese podido resolver. Los niños se respetaron, se ayudaron a buscar los números, los leyeron y escribieron conjuntamente, los compararon, mantuvieron el orden y, en definitiva, se les vio activos y alegres mientras aprendían.
Imagen 6. El ancho de la ventanase cubre con cinco de nuestroszapatos.Con dos zapatos cubrimosel largo de la toalla
Imagen7. El númerocincoque tenemosen la paredestan altocomo,nizapato.Elanchode la fotografiadetoda !o claseesigualquemizapato
preguntó «¿Cuántos de vuestros zapatos necesitamos para cubrir el ancho de la pizarra?», algunos niños dieron respuestas muy rápidas, sin pensarlo demasiado, tales como: «Muchos)). «Sólo dos.)) «Todos los que tenemos.)) Pero Franc se quedó muy concentrado mirando la pizarra, sin hablar, casi se podia ver cómo realizaba sus estimaciones mentalmente, de pronto dijo: «iNecesitamos 13 zapatos!)). Se comprobó pegando en la pizarra una fila de zapatos y se contaron, cabían 12. Nos dimos cuenta ,de lo ajustada que era la predicción de Franc. Se siguieron haciendo colectivamente estimaciones seguidas de su comprobación y en todas las ocasiones hubo hipótFsis muy ajustadas o exactas. A continuación y de forma libre se pusieron a comparar distinto~ objetos de la clase (véanse imágenes 6 y 7). Estejuego de encontrar cuántos zapatos cubren alguna dimensión de objetos de la clase gustó mucho a los niños. Fue una actividad muy interesante, ya que constantemente hacían hipótesis de cuántos zapatos se necesitaban, seguidas del recuento para su verificación. Pero además, en muchas ocasiones, fue necesario negociar con otros compañeros para decidir qué objeto y qué dimensión querían comprobar, y hasti:l que no se ponían de acuerdo no se podia alcanzar el objetivo era compartido.
Imagen 5. Intentando escribir el número de zapatosque cubrenel anchode la pizarra
Finalmente, también ha habido varios casos en 105que 105 alumnos han escrito números, pero con otra íntención. Los números que aparecen aquí son 105que intentan e~.pli~Jr la talla del zapato.
no nos preocupa; estas representaciones son intentos personales de aplicación de lo que se está Jprendiendo para comunicarse, e igual que en el proceso de lectoescritura, aceptamos y valoramos en gran medida este proceso.
En estos momentos, que aparezcan algunos números invertidos o que la <;ecuencia escrita no sea del todo correcta
zan voluntariamente porque son una poderosa herramienta para explicarse. En todos 105casos, 105alumnos escriben más números en las representaciones que en la actividad inicial, ya que escribimos {os números que conocemos.
Lo mejor de estas representaciones es que en ellas 105números no han sido escritos por obligación, sino que se utili-
dos siguientes, 105 números son intentos de representación de la secuencia de conteo para llegar al cardinal.
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Muchos niños han sentido la necesidad de explicar lo que Ir-------~ habían aprendido utilizando números. En este caso, y en 105 ~, .._._-
Este niño, muy disperso en el trabajo en general, es capaz de representar exactamente 105 dos zapatos que cubrían el largo de la toalla. Dice: (,Dos zapatos largos como la toalla».
Ésta es la representación de un niño recién llegado, que no conoce prácticamente la lengua vehicular del aula y que raramente intenta expresarse. Para explicar su dibujo dice: «La pizarra, poniendo zapatos, muchos».
Para finalizar esta actividad cada niño explicó, en una hoja en blanco, qué había aprendido en esta sesión. Veamos algunos ejemplos:
El 28 tamooco iba bien y seguimos con el 29, el 30 hasta I!egar al 31, que era el nú~ero del zapato más grande que teníamos en clase. Aquí nos
MAESTRA: ¿Sí? ¿Cuál? VARIOS:Pruébate el 28.
VARIOS:Un número más alto.
SOLAYMANE: Es un 27. MAESTRA: ¿Pues qué podemos hacer?
pato que se «probó» la maestra.
A varios de los niños se les iluminaron los ojos, se estaban dando cuenta de la relación que había entre el número del zapato que habíamos encontrado y eí tamaño del pie. Entonces miramos el número que había escrito en el za-
VARIOS:Nooo, éste no. SAlO:Te va pequeño. MAESTRA: ¿Ah sí? ¿Qué número tiene?
MANAL:Vale 44. MAESTRA:Muy bien, pues vaya probármelo a ver si me gusta como me queda.
MAESTRA:¡Buenos dlas! Quisiera ver este zapato que me gusta ¿Cuánto vale?
del aula:
Después de estas dos aportaciones, lo representamos. Cogimos las.plantillas de los zapatos decorados y los pusimos en el «escaparate» Imaginario
JEI~NI:Saber cuál te gusta.
MEL: Preguntar cuánto valen.
MAESTRA:¿Qué es lo primero que tendria que hacer?
¿Para qué sirven los números de los zapatos? Al día siguiente retomamos la conversación sobre los números de los zapatos. Recordamos las respuestas surgidas en una conversación ~nterior, pero planteamos la situación desde una perspectiva de contexto simulado. Imaginamos que estábamos en una zapatería en la cual el vendedor era un alumno y la compradora era la maestra .
¿Cuántos tenemos el mismo número? Al finalizar esta actividad, cuando nos disponiamos a recoger . Imagen8. Recuentode la cantidadde niños el aula, Alex diJ'o: «Todos estos zaque tiene cadanúmero patos tienen el 29». De modo que la actividad se centró en buscar cuántos zapatos tenían el mismo número. La maestra propuso investigar juntos el tema: los niños se pusieron a clasificar las plantillas según el nLlmero y después, en la pizarra, se hizo un recuento sistemático de la cantidad de niños del aula que compartian el mismo número, para finalmente ver cuál era el número que más niños tenían (véase imagen 8). Ya casi todos Imagen9. Gráficasobrecuántosniñostienen ellos leían tranquilamente y de la mismatalla de zapato forma adecuada del 24 al 31. Como úitima actividad Se realizó una gráfica que ayudaria a saber cuántos niños tenian la misma talla de zapato. Para ello dimos a cada niño un cartoncito'"" cuadrado que tenían que decorar libremente; los que quisieran podian escribir el númeru del zapato en el Glrtón (véase imagen 9). La mayoría de niños asi \0 hizo, lo que nos :.:~'
encontramos con un problema: no teniamos representados zapatos con números superiores al 31, por lo que decidimos mirar si aparecia algún número en el zapato real de la maestra. Lo encontramos y lo leimos, era un 39. Carmen dijo: «jÉste sí que es grande!». En definitiva, esta actividad de juego simbólico ayudó a encontrar una respuesta a la pregunta inicial y vimos que la explicación de Brenda era acertada: el número del zapato sirve para saber la talla. Y entre todos añadimos: «Este número nos dice cómo de grande es cada pie».
En el aspecto organizativo hay algunos elementos que nos gustaría resaltar. Muchas de las actividades de conversación, así como algunas otras, se han podido realizar con la mitad de la clase. Esto es algo que valoramos positivamente dado que genera la posibilidad de una participación más activa de los componentes de cada subgrupo. El hecho de partir de conversaciones con los alumnos, sin prisa por llegar a conclusiones inmediatas; de proponer distintos tipos de trabajos, en gran grupo, en pareja y compartido, en pareja y colaborativo, juego totalmente libre, actividades en las que debian gestionar y pactar con compañeros cuál era el equipo de trabajo, etc., creemos que son aspectos metodológicos propios de una buena práctica en educación infantil. En cuanto a los resultados vemos que !3 experiencia ha sido muy positiva para los alumnos, tanto desde el punto de vista de la participación, implicación y emoción que ha generado, como desde los aprendizajes realizados, que son muchos y variados. Por ejemplo, la comparación de número de zapatos que cubrían una determinada dimensión ha llevado a hacer estimaciones, hipótesis y recuentos con números más grandes de lo que se habia hecho en clase. Otros datos sobre aprendizajes que podemos ofrecer al terminar la secuencia son los siguientes: 23 de los niños leen y escriben solos el número de su zapato; 11 niños saben ¡en el nLlmero de zapato de sus compañeros; 16 alumnos saben, a partir de la gráfica, interpretar y explicar la ~antidad de niños de su clase que tienen el mismo número de zapato.
Conclusiones
MEL:Explicatodoslos númerosdelospiesde la clase.Mirastodoslos númerosque son. Porejemplo,si miro el 25 puesel zapato esel 25, y hay tres en clase. MAESTRA: Haytres ¿qué? MEL:Pueshay tres niñoscon zapatosdel 25. Y del 26 no hay ni uno. MAESTRA: iAh! iVeo que lo entiendes! MEL:Y zapatosdel 29 hayseisniños,esel que hay más.
sirvió para clasificar nuevamente los cartones del mismo número. Éste fue' el punto de partida para h---- l:l gráfica. Esta gráfica ha estado varios días colgada en clase; la maestra con pequeños grupos de niños o individualmente ha sostenido pequeñas conversaciones de interpretación de la misma. A modo de ejemplo, Mel nos cuenta qué explica esta gráfica:
tación y recursos (0-6 años). Barcelona. Praxis. M. (2005): «Educación matemática versus Instrucción matemática en Infantil}), en PEQUITO P.; PINHEIRO A. (coords.): Actas del I Congresso
Internacional de Aprendizagem na Educar;ao de Infancia. Porto. Gailivro. LANGE, J. (1996): «Using and applying mathematics in education}), en BISHOP A. y otros (coords.): International Handbook of Mathematics Education, Part one. Dordrecht. Kluwer.
toO,
la competencia matemática en los tres ciclos de la educación primaria.
tencia matemática. En este capítulo 1105centramos en este concepto por los matices que aporta a la manera de entender los aprendizajes matemáticos que se aspiran a promover mediante la educación escolar, y 50brc todo por el avance que supone en la manera de plantear, afrontar y buscar sulucinnes a problemas educativos. Las cinco experiencias de aula que se ilustran ponen de relieve distintas maneras de operativizar el desariOllo de
Los niños de 6 a 12 años empiezan a interiorizar, de forma piOgresiva y con la ayuda de sus maestros, diversas competencias básicas, entre las que se encuentra la compe-
Matemáticas en la educación . . pnmarla
Referencias bibliográficas
CARBÓ, L. (2002): Mirant el món a través deis números. L1eida. Pages Editorso CASTAG N ETTI, M.; VECCHI, V. (2005): Zapato y metro. Los niños y la medida. Barcelona. Rosa Sensat-Reggio Children. EDO, M.; REVELLES, S. (2004): «Situaciones matemáticas potencialmente significativ;:¡s}), en ANTÓN M.; MOLL B. (coorcls.): Educación infantil. Orien-
2
Para terminar, la valoración de la maestra es muy positiva dada la evolución de los niños en relación con los temas trabajados en esta experiencia, las ganas de aprender que muestran, la ilusión con la que buscan y enseñan los números, las sonrisas espontáneas que aparecen en las distintas sesiones ... En definitiva, es un ejemplo de actividad recomendable en educación infantil, ya que las actividades se organizan a partir del niño y de sus intereses.
Desde una perspectiva genérica, Coll (2007) asume que la educación es un campo de conocimiento y de actividad profesional especialmente proclive a la aparición y difusión de conceptos y enfoques presentados a menudo como «novedososll y portadores de soluciones a todos los problemas y carencias existentes, que pueden llegar a alcanzar un grado considerable de aceptación en períodos de tiempo relativamente breves. Su vigencia, s~gún este autor, suele ser t~mbién breve, ya que sucumben con relativa rapidez y escasa resistencia ante nuevas oleadas de conceptos y enfoques, supuestamente más «novedososll y portadores de mejores soluciones, que vienen a sustituirlos. Así, la historia de las ideas y del pensamiento educativo deviene un proceso de refundaciones sin fin antes que una evolución de ideas y planteamientos que se van enriqueciendo, afinando y diversificando de manera progresiva. En este capítulo no queremos caer en un discurso retórico sobre la importancia de las competencias básicas en general o de la competencia matemática en particular. Más allá de este componente de moda, pretendemos hacer hincapié en los elementos interesantes asociados al concepto de competencia matemática que, desde nuestro punto de vista, suponen un avance en la manera de plantearse, afrontar y buscar soluciones a algunos de los problemas y dificultades que surgen y resurgen en lo educación primaria ante el reto de educar matemáticamente a los alumnos. Coll (2007) sugiere cuatro ideas clave asociadas al concepto de competencia en lo que concierne al tipo de: aprendizaje que se desea promover. Estas cuatro ideas son aplicables a la adquisición progresiva de la competencia matemática por parte de los alumnos de 6 a 12 años. La primera idea se refiere a la movilización de los conocimientos. Desde este enfoque, ser competente en matemáticas significa ser capaz de activar y utilizar conocimientos relevantes para afrontar situaciones relacionadas con las matemáticas. La segunda idea es la integración de tipos de conocimientos, es decir, la movilización articulada e interrelacionada de conocimientos factuales y conceptuales, habilidades prácticas, actitudes, valores, etc. La tercera idea se refiere a la importancia del contexto en el que se adquieren las competcn-
El desarrollo de la competencia matemática
bienestar,
pertenencia,
contribución,
co-
Pero ¿qué significa ser matemáticamente competente? Bruer (1995) expone que un aprendiz competente es el que conoce y regula sus procesos de aprendizaje, desde el punto de vista cognitivo y ernocional, y puede hacer uso estratégico de sus conocimientos, ajustándolos a las exigencias del contenido o tarea de ap¡'endizaje y a la situación. Desde el ámbito de la educación matemática, Alsina (2006) sugiere que e-n 1<] escuela no basta con adquirir conocimientos matemáticos, sino que es necesario saber aplicarlos en situaciones reales. Se trat
Además, la competencia matemática conduce al pensamiento critico, que puede entenderse como un tipo de estrategia de pensamiento que coordina operaciones vinculadas a habilidades básicas corno comparar, inferir, sintetizar, predecir, etc. La competencia matemática y el pensamiento critico se retroalimentan: la adquisición progresiva de la competencia matemática facilita el desarrollo del pensamiento critico y el pensamiento critico es cualitativ;¡mente mejor a medida que se es matemáticamente más competente,
cionados en el capítulo anterior: municación y exploración.
pensamiento matemático y, por otro lado, mantienen vinculos estrechos con las reflexiones en torno a la enseñanza de las matemáticas en la etapa 12-18 presentadas en el capitulo siguiente, sobre todo en lo que concierne al desarrollo del pensamiento crítico. El desarrollo de la competencia matemática precisa que el alumnado se sienta bien en su contexto, perciba que pertenece a L1na comunidad y que sus contribuciones y las de los demás son relevantes; comunique sus experiencias y aprenda a escuchar las de los otros; e interactúe con el entorno, dando respuesta a los principios men-
Estas cuatro ideas que se recogen en las experiencias que presentamos concuerdan, por un lado, con los planteamientos relativos a la génesis del
cías y en el que se aplicarán, ya que las competencias no pueden desligarse de los contextos de práctica. Finalmente, la última idea es la prioridad otorgada en la educación básica a la adquisición de un tipo especial de competencias, imprescindibles para el desarrollo de la competencia matemática: las que convierten a un aprendiz en un aprendiz competente, las que están en la base de la capacidad para seguir aprendiendo a lo largo de la vida, las que permiten desarrollar las capacidades metacognitivas que hacen posible un aprendizaje autónomo y autodirigido.
de enseñarlos. En esta linea, Niss (2002) define la comcomo la habilidad para comprender, juzgar h'lrer y en una variedad de situaciones en las que las mateo pueden desempeñar un papel.
que ver con procesos (véase cuadro 1).
mentales
o fisicos,
actividades
y com-
como:
• Analizar los fundamentos y las propiedades de los modelos existentes, incluida la evaluación de sus posibilidades y de su validez. • Decodificar los modelos existentes. • Realizar actividades de modelización en un contexto: estructurar y matematizar el contexto; trabajar con el modelo, incluyendo la solución de problemas a que da lugar; validar el modelo, interna y externamente; analizar y criticar el modelo; comunicar sobre el modelo y sus resultados; vigilar y controlar el proceso de modelización.
3. Análisis y construcción de modelos, como:
• identificar, plantear y especificar diferentes tipos de problemas matemáticos: puros o aplicados; abiertos o cerrados. Resolver diferentes tipos de problemas matemáticos, planteados por otros o por uno mismo, de diferentes maneras cuando sea necesario.
2. Planteamiento y resolucián de problemas matemáticos,
1. Dominio de modos de pensamiento"'TTlatemátíco, como: • Plantear preguntas que son propias de las matemáticas y conocer el tipo de respuestas que las matemáticas pueden ofrecer. • Comprender y manejar las posibilidades y limitaciones de un determinado concepto. • Ampliar las posibilidades de un concepto extrayendo algunas de sus propiedades o generalizando resultados. • Diferenciar los diferentes niveles de las matemátiras (afirmaciones condicionadas del tipo ((si-entonces", hipótesis, definiciones, teoremas, conjeturas o casos).
hacer, tienen portamientos
responder preguntas dentro de y con las matemáticas, y el segundo grupo con la capacidad de hacer frente y gestionar el lenguaje matemático y sus herramientas. Estas competencias, centradas en lo que las personas pueden
Este autor identifica ocho competencias matemáticas que clasifica en dos grupos: el primer grupo tiene que ver con la capacidad de preguntar y
zonamiento la forma petencia matemática usar las matemáticas máticas desempeñan
.._---
V formalismos, como:
• Conocer la existencia y propiedades de instrumentos y recursos disponibles para la actividad matemática, y conocer sus pusibilidades y limitaciones. • Ser capacesde utilizar reflexivamente dichos recursos y herramientas.
8. Uso de recursos y herramientas, como:
Comprender textos escritos, visuales u orales que tengan un contenido matemático, en una variedad de registros lingi.iisticos. Expresar estas cuestiones de forma escrita, visual u oral, con diferentes niveles de precisión teórica y técnica.
7. Comunicación en, con y acerca de las matemáticos, como:
• Decodificar e interpretar simbólica y formalmente el lenguaje matemático, así como la comprensión de sus relaciones con el lenguaje natural. Comprender la naturaleza y las normas de los sistemas matemáticos formales, tanto la sintaxis como la semántica. • Traducir del lenguaje natural di formal y simbólico. • Manejar declaraciones y expresiones que contengon símbolos y fórmulas.
6. Manejo de símbolos matemáticos
• Comprender y utilizar (decodificación, interpretación, distinción) diferentes tipos de ' rcpresentaciones de objetos matemáticos, fenómenos y situaciones. • Comprender y utilizar relaciones entre distintas representaciones de la misma entidad, y conocer sus puntos fuertes y sus limitaciones. • Elegir y cambiar diferentes representaciones.
5. Representación de entidades matemáticas, como:
Seguir y evaluar cadenas de argumentos. • Conocer qué es una demostración matemática (y qué no es) y en qué se diferencia de otros tipos de razonamiento matemático, como por ejemplo el heuristico. Descubrir las ideas básicas en una línea de argumento (sobre todo en una prueba), Incluyendo la distinción de líneas principales de los detalles e ideas de los tecnicismos. Elaborar formal e informalmente argumentos matemáticos y demostrar declaraciones. '
4. Razonamiento matemático, como:
Segundo grupo: gestionar el lenguaje matem~~i·~~·~··i~~··;;~;~·~·~¡~~~~·~·~~~~~~~·i~~~····
..--_ ..---------_._--------_.--.--------------------------------------_
y generalizar;
así como
e inducciones,
las decisiones,
realizar deducciones argumentar
los
par-
y tecnologías
de la información,
dc dibujo
y medida)
riores y posteriores. El cuadro 2 sintetiza estos contenidos. En el documento original se describe con mayor detalle cada contenido, se exponen conexiones y se hace hincapié en aspectos metoc!ológicos como el trabajo en contextos de resolución de problemas, razonamiento, comunicación, representación y en reiación con otr8s disciplinas escolares y el
La adquisición progresiva de la competencia matemática por parte de los alumnos de 6 a 12 años viene determinada por dos aspectos esenciales: qué contenidos aprenden en la escuela y cómo los aprenden. En relación con los contenidos matemáticos que se aprenden en educación primaria, el National Counci! ofTeachers of Mathematics (2006) ha publicado los "Curriculum Focal Pointsll, es decir, los conte:1idos escnciales del currículo de matemáticas que debe aprender un alumno para s~r matemáticamente competente. Para seleccionar estos contenidos se han considerado tres criterios: tienen que ser matemáticamente importantes, tanto para saber matemáticas como para aplicarías dentro y fuera de la escuela; deben ser coherentes con lo que se sabe acerca del aprendizaje de las matemáticas; y tienen que conectar de forma lógica con las matemáticas de niveles ante-
matemático.
para hacer matemáticas. Interpretar y representar expresiones, procesos y resultados matemáticos con palabras, dibujos, símbolos, números Y materiales. Comunicar el trabajo y los descubrimientos a los demás, tanto oralmente como por escrito, usando de forma progresiva el lenguClje
(calculadoras
lidar soluciones. Obtener, interpretar y generar información con contenido matemático. Usar técnicas matemáticas básicas (para contar, operar, medir, situarse en el espacio y organizar y analizar datos) e instrumentos
procesos y las técnicas. Plantear y resolver problemas: leer y entender el enunciado, generar preguntas, planificar y desarrollar estrategias de resolución y va-
ticularizar
conceptos y abstraer. Razonar matemáticamente:
Podemos extraer que ser matemáticamente competente implica: Pensar matemáticamente: construir conocimiento matemático en situaciones donde tenga sentido, experimentar, intuir, relacionar
• Comprensión de la multiplicación y de la división y estrategias de cálculo. • Comprensión de la noción de fracción: fracciones equivalentes. • Descripción y análisis de propiedades geométricas de formas bidimensionales.
• Cálculo mental con multiplicaciones. • Comprensión de los números decimalesy de su relación con las fracciones. Comprensión de la noción de superficie y medida de superficies bidimensionales
Comprensió~ y agilidad en la división con números enteros. Comprensión y agilidad en la suma y resta de fracciones y decimales. Descripción de formas tridimensionales y análisis de propiedades geométricas, incluidos el volumen y la superficie.
8-9 alios
9-10 año:;
10-11 años
entorno. Se afirma además que, a pesar de que los contenidos anteriores son esenciales para la adquisición de la competencia matemática, debe tenerse en cuenta que ésta dlficilmente se adquiere si no se orienta el aprendizaje de estos contenidos de manera que se posibilite su utilización fuera de las clases de matemáticas, en la vida diaria de los alumnos y en el resto de áreas. Ello conlleva una gestión de estos contenidos que nos conduce al segundo de los aspectos mencionados para facilitar la competencia matemática: cómo se aprenden los contenidos.
Compre~sión en la multiplicación y división de fracciones y decimales. Relaciones entre la multiplicación y la división. • Escritura, interpretación y uso de expresiones algebraicas y ecuaciones.
• Comprensión del sistema decimal y del valor posicional de los números. • Cálculo mental con sumas y restas. • Práctica de medidas: medición de longitudes.
7-8 años
11-12 años
• Comprensión de la suma y de la resta y estrategias de cálculo. • Comprensión de relaciones entre números, incluidas la decena y la centena. • Composición y descomposición de formas geométricas.
6-7 años
al alumnado
a ser progresivamente
más competente.
primaria (véase cuadro 3 en 18 página siguiente). Estas recomendaciones pueden ser un buen andamio para iniciar procesos de reflexión -de manera individual, en el ciclo o en el claustroque sirvan p8ra que los maestros de educación primaria cambien aquellos aspectos de su práctica susccptibles de ser mejorados, con el objeto de ayudar
etc. De Miguel (2006) ha formulado un decálogo de recomendaciones interesantes para promover el cambio metodológico en el marco del Espacio Europeo de Educación Superior y fácilmente transferible a la educación
fianza,
acción (¿por qué lo hago asi?, ¿para qué?); conocer nuevas alternativas de intervención en el aula (¿cómo podria mejorar?); contrastarlas con la práctica actual (¿qué beneficios conlleva la alternativa respecto a la práctica actual?); ensayar la nueva práctica para adquirir seguridad y con-
gresivamente el proceso de enseñanza en el aula, adaptándolo a las necesidades del alumnado. Somos muy conscientes de que los cambios en educación no pueden ser de hoy para mañana; necesitan un tiempo para que los profesionales podamos, a través de procesos autorreguladores, ser conscientes de la propia acción (¿qué hago?); reflexionar sobre esta
los procesos de enseñanza. Las cinco experiencias de aula que presentamos tienen esta finalidad, es decir, pretenden ser buenas prácticas que sirvan de ejemplo p3ra que cada maestro reflexione sobre su actividad docente y mejore pro-
ante este perfil de maestro; por ejemplo, el Artículo 91 de la LOE (Ministerio de Educación y Ciencia, 2006), relativo a las funciones del profesorado, menciona la investigación, la experimentación y la mejora continua de
De nuevo, queremos evitar un discurso retórico que consista en dar consejos o recetas metodológicas para trabajar la competencia matemática en educación primaria. El maestro de esta etapa educativa es un profesional que mira hacia el futuro con ilusión, que se plantea interrogantes y nuevos retos, que reflexiona sobre lo que enseña, cómo lo enseña y para qué lo enseña, con la pretensión de ayudar a los alumnos a adquirir progresivamente esta competencia. Los documentos normativos nos amparan
bibliográficas
C. (2007): ((las competencias en !a educación escolar: algo más que una moda y mucho menos que un remedio)). Aula de Innovación Educa tiva, 161, pp. 34-39. DE MIGUEL, M. (2006): Modalidades de enseñanza centrodas en el desarrollo de competencias. Oviedo. Universidad de Ovieelo.
COll,
Al5INA,
A. (2006): Desarrollo de competencias matemáticas con recursos lúdico-manipulativos. Madrid. Narcea. BRUER, n. (1995): EscLlelas para pensar: Lino ciencia del aprendizaje en el aula. Barcelona. Paidós.
Referencias
1. Un programa formativo debe centrarse en la adquisición de competencias básicas y específicas que sitúen a los alumnos en las mejores perspectivas de desarrollo personal y profesional. 2. La planificación de la metodología del proceso de enseñanza-aprendizaje (las modalidades, los métodos de enseñanza y los si~temas de evaluación) gira alrededor de las competencias establecidas. 3. La organización de la actividad docente debe contemplar modalidades diversas más allá de la simple dicotomía teoria/práctica. 4. La elección de los métodos de enseñanza debe fomentar como objetivo prioritario el trabajo autónomo de los alumnos. 5. Los sistemas y estrategias de evaluación deben cambiar, lo cual exige desarrollar instrumentación apropiada. 6. La incorporación de modelos didácticos centrados en la práctica y los proyectos es fundamental. 7. Educar en valores y actitudes desborda la propia técnica didáctica y nos sitúa en el terreno del crecimiento y el desarrollo personal del profesorado. 8. El cambio metodológico supone pasar de un modelo autocrático y de excelencia individual al modelo de la colegialidad. 9. Ei cambio metodológico exige un esfuerzo del profesorado que debe ser incentivado mediante el reconocimiento tanto de los logros como de los esfuerzas. 10. El cambio metodológico comienza por un cambio en la cultura aGldémica e implica una revisión de los princípios y valores esenciales de la vida escolar.
15TERIO DE EDUCACiÓN Y CIENCIA (2006): Ley Orgánica 2/2006, de 3 de mayo, de EdUC('lf'irín (BOE 106, de 4 de mayo de 2006).
de Formación
del Profesorado
de Enseñanza
laboral.
NCTM (2006): Curriculum Focal Points. Reston. NCTM. NISS, M. (2002): Mathematical competencies and the learning of mathematics: the Danish Kom Project. Roskilde. Roskilde University. PUIG ADAM, P. (1956): Didáctica matemática heuristica. Madrid. Institución
MI
docentes en la etapa 6-12
del CEIP Annexa. En ambas experiencias los alumnos interiorizan conocimientos matemáticos en contextos no exclusivamente matemáticos. El supermercado, el banco, el restaurante, la consulta clel médico, la cocina, el quiosco o el garaje son marcos ideales para activar conocimientos matemáticos y aplicarlos en situaciones que van más allá de las matemáticas. La movilización del conocimiento matemático implica pensar matemáticamente, plantear 'y' resolver problemas, modelizar y razonar. También promociona la descontextualización y recontextualización del conocimiento matemático al
matemáticos se ve ejemplificada en el trabajo por proyectos que llevó a cabo Juanjo Cárdenas en la experiencia ~
activar y utilizar estos conocimientos para afrontar y solucionar problemas relacionados con las matemáticas. Esta movilización de los conocimientos
En este bloque presentamos cinco experiencias de educación primaria. Una de estas experiencias se ha aplicado en toda la etapa, y a pesar de que el resto también podrían aplicarse en cualquier nivel educativo adecuando los contenidos, dos se refieren al primer ciclo (6-8). una al segundo ciclo (810) Y otra al tercer ciclo (10-12). Las cinco experiencias son buenas prácticas que ayudan a los alumnos de educación primaria a ser progresivamente más competentes en matemáticas, y son ejemplos útiles para que los maestros de esta etapa puedan reflexionar sobre su actividad docente y,en la medida que lo consideren oportuno, les sirvan de andamio para mejopar el proceso de enseñanza de las matemáticas en el aula. Son experiencias que recogen ideas asociadas al concepto de competencia: la movilización de los conocimientos, la integración de distintos tipos de conocimientos, la importancia del contexto y, finalmente, el aprendizaje autónomo y autodirigido. La movilización de los conocimientos matemáticos implica ser capaz de
~eriencias
que hemos hecho referencia en la introducción, al facilitar tanto el descubrimiento de estructuras matemáticas de los entornas en los que se contextualiza (una ciudad medieval, un restaurante o la consulta de un médico). como la posterior aplicación de estos conocimientos en otras situaciones. En la experiencia de Ester Bosch «La medida en la ruta de los relojes» es imprescindible que los niños de primer ciclo sepan manejar las cámaras fotográficas para captar imágenes de relojes del entorno cercano; usar diferentes tipos de relojes (de arena, digitales, de agujas, etc.) para medir el tiempo; o representar con materiales diversos el paso del tiempo, lo que implica tener interiorizadas habilidades prácticas. Además, necesitan activar conocimientos de tipo conceptual, como las unidades de medida del tiempo, y también de tipo actitudinal, ya que deben utilizar de forma correcta diversos instrumentos para medir el tiempo. La integración de conocimientos se pone de manifiesto también en la experiencia «Más allá de las matemáticas a través de las aulas temáticas», en la que, por un lado, se enfatiza la importancia de cumplir unas normas para el buen desarrollo de las actividades que los niños de primer ciclo realizan en los espacios temáticos. Estas normas básicas, que se repasan al iniciar cada sesión, conllevan la movilización de conocimientos de tipo actitudinal. Por otro lado, los niños activan constantemente habilidades de tipo procedimental a través de la práctica de medidas: el tendero que vende productos tiene que pesarlos, también el médico cuando hace revisiones o controla que los niños crezcan sanos, etc. Lo mismo ocurre en la experiencia «Rincón de la vida cotidiana y matemáticas». «La medida en la ruta de los relojes» es un ejemplo de buena práctica desde 1;) perspectiva de la importancia del contexto en el que se adquieren las competencias y en el que se aplicarán posteriormente. En esta experiencia interdisciplinaria, los alumnos llevan a cabo una ruta por su entorno cercano con el objeto de poder conocer diferentes tipos de relojes, su funcionamiento, etc. Localizan un reloj de sol en la fachada de una casa, un reloj de agujas en el campanario de la iglesia, un reloj digital en el parquimetro, un marcador digital con cronómetro en el polideportivo, etc. Los niños del primer ciclo exploran su contexto desde diferentes puntos de vista: natural, social, cultural, matemático, etc., lo que les permite interpretar su realidad desde un punto de vista global. Otro buen. ejemplo de actividad contextualizada es la experiencia «Aprender matemática~ a través del conocimiento del medio», de Oolors Rubirola. En esta práctica, los alumnos del segundo ciclo de educación prima-
ria trabajan contenidos matemáticos en su contexto inmediato, su población, para cargar de significado los aprendizajes. Trabajan estos contel1l~os de forma contextualizada desde el área de conocimiento del rll'-UIU social, por diversos motivos: en primer lugar, para economizar el tier.npo, pue~to que como justifica la autora muchas veces dedicamos esfuerzos II1necesanos a trabajar de forma aislada contenidos en diferentes asignat~lras, cuando éstos pueden trabajarse de forma interrelacionada desde una unlca aSignatura; y, en segundo lugar, porque a pesar de que cualquier lib.ro de texto de conocimiento del medio invita a trabajar contenidos matematlcos como la interpretación de tablas y gráficos, planos y croquis, etc., sc hace a partir de contextos desconocidos y poco motivadores. En cambio, cuando se aprovechan los recursos disponibles del propio contexto aumenta la curiosidad y el interés de los alumnos, lo que favorece el aprendizaje significativo. ' En las cinco experiencias presentadas encontramos evidencias de aprendizaje autorregulado, ya que en todas ellas se fomenta de for.m.a explícita la autonomía de los aprendices. En «Más allá. de las matematlcas a través de las aulas temáticas», los niños de primer ciclo deciden el rol que van a desarrollar en el espacio temático, el de médico, el de vendedor, el de banquero, y realizan las actividades que desean desarrollar según s_ue~periencia y conocimientos previos; en «La ruta de los relojes», cada nlno tiene su cuaderno de investigador en el que anota lo que va descubnendo, II1teriorizando y aprendiendo; en «Aprender matemáticas a través del conocImiento del medio», Oolors Rubirola diseña una actividad que permite que los alumnos de senundo ciclo realicen pequeñas investigaciones sobre los oficios de sus padres o que tomen fotografías de forma aUlónoma.a ~artir de unas directrices (por ejemplo. de determinados cuerpos geometi'.\COSque pueden visualizar er. edificios, etc.J; en la experiencia «Organ¡zaclon de .Ias matemáticas en un aula multiculturai:>, los alumnos de tercer Ciclo trabajan de forma autónoma en !a construcción de una ciudad medieval con un videojuego, en los talleres propuestos o bien en la resolución. de problema~,. a~ permitir que cada alumno desarrolle sus propias estrategias de resoluClOn, finalmente en (Rincón de la vida cotidiana y matemáticas», los alumnos de educación 'primaria trabajan de forma autónoma en cada rincón. Lógicamente, el trabajo autónomo no implica que el maestro no tenga ninguna función durante el desarrollo de estas actividades, sino todo lo contra no: las ayudas que ofrece, que se consideran andamios en el proceso de construcción de conocimiento, son esenciales para la construcción autorregulada del conocimiento matemático por parte de los alumnos.
a través de las aulas
que tenemos a la escuela son: bibliuteca, taller de gimnasio, aula de música, English clas5, aula de so-
porte y estimulación. En esta experiencia presentamos el trabajo realizado por alumnos del primer ciclo de educación primaria en una de estas aulas temáticas: el juego simbólico. El espacio de juego simbólico está organizado en cinco áreas diferenciadas: supermercado, casa (habitaciones y sala de estar),
Las aulas temáticas pl8stica, juego simbólico,
aula entendida como un espacio de uso exclusivo por parte de un grupo de alumnos y su maestro. A partir del momento en que se plantea llevar a cabo la propuesta, las clases se convierten en lugares de utilización común, y se reordenan materiales y espacios según las áre;:¡s o actividades a trabajar.
progresivamente competente y autónomo en la resolución de tareas, en el uso de conceptos y en la puesta en pr8ctica de actitudes. Para poner en práctica esta metodología pensamos que nuestro modo de trabajo tiene que ser activo, personalizado, investigador, significativo y global. En nuestro centro, hemos conseguido reunir estas caracteristicas trabajando a través de aulas temáticas. Estas aulas permiten estimular el desarrollo del alumno y favorecen, de maner3 especial, el aprendizaje cooperativo, la socialización y las relaciones afectivas. El aula temática implica la desaparición del
y aprender, forman un conjunto en el que los alumnos, con la ayuda de alguien más capacitado de su entorno (compañt'ro o adulto), puede mostrarse
El trabajo que presentamos se centra en una de las actividades cotidianas que se realizan en el CEIP Marta Mata, una escuela pública de dos líneas situada en la ciudad de Girona con unos 300 alumnos y 20 maestros. En nuestro centro partimos de la base que aprender no es copiar o reproducir la realidad. Trabajamos desde una concepción socioconstructivista del aprendizaje en la que se tienen en cuenta las experiencias, intereses y conocimientos previos de los alumnos. Entendemos la enseñanza como un proceso de andamiaje en el que la llave de la intervención del docente está en encontrar la ayuda justa durante el proceso de aprendizaje. Desde esta perspectiva el niño es el protagonista, está motivado y vive el proceso de una manera significativa y funcional. Enseñar va interrelaciona
Montse Planas de Farners CEIP Marta Mata. Girona
Más allá de las matemáticas temáticas
reconduce
y colaboración
son las siguientes: Relevancia del contexto:
demos centro
genéricas
necesario trabajar
con aulas temáticas consideramos
el trabajo
los conte-
en nuestro
que preten-
y trabajo
interdisciplinario:
la
siguiente:
más concreta,
para encontrar
trabajamos
lo
respuestas y resolver
en el espacio de juego simbólico
(Alsina, 2006).
tienen que pagar una cantidad
mental:
los ciudadanos
los
cuando de dinero con billetes y monedas;
rial una vez terminada la sesión. Desarrollo de estrategias de cálculo
. . Razonamiento lógico-matemático: dado que es un espacio comun, hay normas para guardar los materiales que se usan. Se pone mucho énfasis en respetar las normas de clasificación Y limpieza del mate-
De forma
problemas
interés para hélcerse preguntéis,
competencias básicas. Valoración de actitudes relacionadas con las matemáticas: para hacer matemáticas, Y conseguir actitudes positivas hacia ellas, se tiene que potenciar la curiosidad, la creatividad, la imaginación, el
ordenación de los bloques de contenidos no implica una Jerarquización de los mismos. De este modo se posibilita el desarrollo de las
ales de la vida cotidiana. Equilibrio, conexión entre contenidos
nidos curriculares en contextos significativos Y ricos ~ue muestren su origen, la relación entre ellos y su aplicación a los problemas re-
al plantear
de Educación conseguir
nisterio
. en la LOr (MI-
.
en el juego y, sólo cuan-
establecidas
y Ciencia, 2006), las finalidades
De acuerdo con las bases psicopedagógicas
situaciones.
su grado de implicación
Objetivos
do conviene,
estrategias,
Ponen en práctica sus experiencias y avanzan en su proceso de autonomía. El adulto actúa como observador del juego de los niños, sus relaciones, sus
duce placer y satisfacción. Se implican de manera espontánea en un rol y una situación natural para ellos, y crean acciones sin presión del adulto.
restaurante, consulta del médico y banco. En estas cinco áreas los niños y niñas juegan, se expresan tal como son, adquieren habilidades ~ersonales, desarrollan su capacidad de relación con los otros, reproducen situaciones cotidianas y dan sentido a lo que aprenden de su entorno. El juego les pro-
vamos ;::1espacio de juego simbólico
una vez por sema-
tropeado y/o padre, madre, de roles para bientes). Una
reparándose, etc.) y cada alumno escoge un rol (vendedor, restaurador, camarero, banquero, etc.) Hay un número máximo cada situación (la idea es que se pueda acceder a todos los amvez todos los alumnos conocen su función, empieza el juego.
na con un grupo de entre 10 Y 20 alumnos. Entramos relajadamente y se hace un pequeño repaso de las normas básicas (por ejemplo, cuando ya se ha decidido el papel que van a representar, tienen que desarrollarlo en toda la sesión); se explica si hay alguna novedad (nuevo material, algún material es-
Habitualmente
Descri peión
opiniones y contrastándolas, respetando principios básicos del funcionamiento democrático. Concienciarse de pertenecer a diferentes ámbitos sociales y culturales; reconocer la diversid:Jd como elemento de riqueza de la convivencia; respetar la igualdad de dcrechos y deberes de las personas, reconociendo las responsabilidades.
sobre el proceso de aprendizaje. Comportarse de acuerdo con los hábitos de salud e higiene personal derivados del conocimiento del cuerpo humano, mostrando una actitud de aceptación critica y de respeto por las diferencias individuales (edad, sexo, características físicas y de personalidad, etc.). Participar activamente en el trabajo en grupo, adoptando una actitud responsable, solidaria, cooperativ;:: y dialogante, argumentando
sidades individuales y sociales, etc.; uso de diferentes lenguajes para expresar y comunicar contenidos de las diferentes áreas de forma person;:¡1 y creativa, seleccionar e interpretar datos expresados con códigos diversos (lingLiisticos, numéricos y gráficos) y reflexionar
banqueros cuando hacen préstamos a los ciudadanos; el comerciante cuando vende los productos; el cocinero cuando tiene que repartir la comida entre los comensales; etc. Práctica de medidas: el tendero cuando vende productos tiene que pesarlos; también el médico cuando hace revisiones y controla que los niños crezcan sanos (peso, altura); etc. Comunicación y representación: desarrollo de la competencia comunicativa oral y escrita en las lenguas vehiculares del centro para comunicarse con 105 demás, aprender, expresar opiniones y concepciones, apropiarse y transmitir la riqueza cultural y satisfacer nece-
De forma
genérica, del trabajo
sistemático
y de acuerdo
los números,
los modos de representarlos
y las rela-
son los
con la NCTM (2003). lo,s .contenidos a través de las aulas tematlcas
y hacer estimaciones
razonables.
los atributos
mesurables
y analizar
situaciones
Y estructuras
cuestiones
sobre datos y responderlas
a partir
con
de la re-
matematlcas
, .
para deter-
describimos
acciones cotidianas
que llevan a cabo los
cajas registradoras e ir al banco y pedir dinero. Una vez se asegura que tendrá cambio, empieza a hacer inventario de lo que tiene y prepara ofertas
ticos mencionados. . . En el supermercado hay un vendedor o vendedora cu~o trabajO ~onslste en clasificar los productos que se van 3 vender. Primero tiene que mirar las
alumnos del primer ciclo de educación primaria en los diversos espacios t:máticos, en los que se ponen de manifiesto varios de los conteilldos matema-
A continuación
datos.
cogida, organización y representación de estos u otros datos. _ Desarrollar y evaluar inferencias Y predicciones basadas en los
_ Formular
Análisis de datos y probabilidad:
símbolos apropiados. Analizar el cambio en diversos contextos.
_ Representar
Álgebra:
minar mediciones.
Y fórmulas
de los objetos y las unida-
des, sistemas, y procesos de medición. _ Aplicar técnicas apropiadas, herramientas
_ Comprender
Medición:
laciones geométricas. . Especificar posiciones y describir relaciones espaCiales usa,ndo geometria de coordenadas y otros sistemas de representaclon.
_ Analizar caracteristicas y propiedades de las formas de una, dos y tres dimensiones, y desarrollar argumentos matemáticos sob;e re-
GeometriCl:
entre ellas. Calcular eficazmente
ciones entre números Y sistemas numéricos. Comprender los significados de las operaciones y cómo se relacionan
_ Comprender
Números y operaciones:
siguientes:
matemáticos
atractivas para atraer clientes. Cuando llega un cliente (padre, madre, médico, banquero) tiene que atenderlo como es debido, usando un lenguaje correcto, con educacíón y amabilidad: pesar el producto si es necesario; hacer la lista de lo que se lleva; hacer bien las cuentas; devolver el cambio correctamente; etc. En la casa (padres, madres, ;:¡buelos, hijos), la vida familiar empieza en el espejo, vistiéndose (buscar buenos zapatos, roba bonita, conjuntar colores... y lo necesario para estar guapos o guapas). Se viste a los más pequeños (muñecos) y empiezan las tareas domésticas: hacer la lista de la compra; pasar por el banco a pedir dinero; pedir cita con el Jactar; llevar los niños a revisión; comprar medicamentos; ir a comer al restaurante; regresar a casa después de una larga jornada laboral; sentarse en el sofá; encender la tele; etc. A veces llegan a hacerse dos cosas a la vez: dar el biberón ;:¡Ipequeño mientras se habla por el móvil. Destaca la intercomunicación entre los alumnos de este ambiente con todos los demás (tienda, área de salud, banco, etc.). Los niños y niñas reproducen lo que ven de los mayores que están a su lado, del medio natural y social que les rodea y padres y madres de la escuela se ven reflejarlos en su ambiente de vidCl familiar. Se incide en el conocimiento de uno mismo y en aprender a aceptarnos tal como somos. En el restaurante, el chef tiene que decidir qué menú pondrá en la carta; ajustarlo en la carta de precios; hacer la lista para ir al supermercado, pero antes pasar' por el banco y pedir el dinero necesario; tiene que contar cuántos comensales van a comer y poner las mesas del restaurante, traerles la comida que han pedido en el orden correcto y respet3ndo un tiempo para dejar comer. Los platos no se pueden amontonar en la mesa ni en la cocina. Cada utensilio tiene que guardarse, limpio, en su sitio. En el restaurante (igual que en el supermercado), los productos utilizados pueden ser reales y comcstibles si se desea y los niños pueden elaborar recetas simples.
es necesaria. En el banco, el banquero tiene que hJcer inventario del dinero del que dispone; apuntar los préstamos que hace a las personas que acuden (hay quien acude más de una vez, o sea que tiene que tener las cuentas muy claras); y al finalizar la sesión tiene que cobrar todo el dinero prestado. En este espacio es imprescindible que el banquero clasifique las monedas y billetes, y ponga en juego su sentido numérico y mültiples estrategias de cálculo mental. Así, por ejemplo, debe controlar que el dinero solicitado por los clientes no supere el dinero disponible; debe calcular mentalmente, o con la ayuda de una calculadma, el dinero prestado; etc. Se trata, en definitiva, de un espacio donde se trabajan muchos contenidos, sobre todo de numeración y de cálculo.
En la consulta del médico, en primer lugar el médico se vi~'Q ~"n la bata, el gorro, la máscara, los guantes y prepara el equipo necesario para atender a los pacientes en su consulta; programa una agenda con los niños y niñas que tiene que visitar: llama a las familias por teléfono y ¡es recuerda las horas cle visita; hace las revisiones correspondientes (medir, pesar, etc.); receta medicamentos; hace recetas; atiende a las urgencias; etc. En este espacio temático, normalmente trabajan dos o tres riñas de forma cooperativa: uno hace de médico, otra de ayudante y otro de recepcionista, además de los que hacen de enfermos. Cada uno realiza sus funciones de forma coordinada con los demás. Esto implica tener que hablar entre ellos, ponerse de acuerdo, decidir cuál va a ser el rol de cada uno, sus funciones, etc. Se trata de aprender a trabajar en grupo y de forma coordinada. Algunas veces se producen pequeños conflictos con las funciones que van a desempeñar, y es en estos momentos cuanrlo la mediación del adulto
matemáticas
y
con recursos ILÍ-
entre los alumnos (Trueba, 1989).
y estándares para la educación matemática.
Sevi-
NISBET, J.; GOWIN, D.B. (1987): Estrategias de aprendizaje. Madrid. Santillana. TRUEBA, B. (1989): Talleres integrales en educación infantil. Madrid. Ediciones de la Torre.
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ALSINA, A. (2006): Desarrollo de competencias
Referencias bibliográficas
queremos destacar también el valor de las interacciones el proceso de construcción índividual y de socialización
pacio es el mísmo para todos los alumnos, con los mismos materiales (que son muchos y muy diferentes), no implica una preparación extra ni una persona/ización. Facilita la tarea del docente en este sentido. Permite atender a todos ¡os alumnos dentro de una total normalidad (independientemente de la heterogeneidad de los niños y niñas que haya en el grupo). Por último,
món, cuando explican que los diferentes métodos didácticos no son rivales, sino que pertenecen al mismo equipo aunque juegan en posiciones diferentes. Desde esta perspectiva, la valoración que hacemos del trabajo con aulas temáticas es muy positiva. Permite atender a la diversidad en el marco de la inclusividad de manera práctica y sencilla, cada uno a su ritmo y avanzando en su desarrollo. Los niños y niñas elaboran, conectan, sitúan y retienen sus conocimientos, tantu matemáticos como de índole más general. Como el es-
manera específica de funcionamiento de la inteligencia infantil que forma parte del proceso de adaptación a la realidad. Queremos recordar también la interpretación que hacen Nisbet y Gowin (1987) de la metáfora de Perkins y Salo-
otras para la adquisición de ciertos aprendizajes (Coll, Palacios y Marchesi, 1991). Martínez Criado (1998) expone con relación al juego que éste constituye una
El juego simbólico y espontán("-' ~~''''1nte los primeros años, es básico en la formación de la personalidad de niño. A pesar de que no hay un método infalible ni exclusivo, sí que hay unas técnicas más eficientes didáctica mente que
Conclusiones
_
la reflexión, es las de equiva-
La ruta de los relojes es la actividad final del trabajo realizado durante el primer ciclo de educación primaria sobre la medida del tiempo. Se supo-
Estudio de la medida en el aula de infantil
lencia y orden, que se concretan en clasificaciones y ordenaciones. La palabra ayuda a concretar el pensamiento, y por ello, conviene que los alumnos expresen con lenguaje verbal lo que han visto, hecho y pensado, expresando el resultado de las medidas con un número seguido del nombre de la unidad utilizada. También conviene practicar anticipaciones o estimaciones de medidas para fomentar el realismo y el significado auténtico de la actividad. Sólo después de haber realizado estos pasos, que son propios del primer ciclo de educación primaria y son los que intentamos mostrar en nuestra fxperiencia, tendrá sentido introducir actividades en las que también interviene el cálculo, como son las relaciones entre órdenes de unidades de una misma magnitud. Con esta preparación, los niños y niñas serán capaces de interpretar correctamente informaciones sobre medidas, de utilizar las unidades adecuadas él cada caso, cle expresarlas con símbolos propios de nuestra cultura, y de aplicar estas habilidades a la resolución de situaciones y problemas, siempre que haga falta.
manipulación de materiales. La manipulación desencadena decir, la construcción de relaciones mentales, particularmente
ción de I"s magnitudes continuas. De acuerdo con Alsina (2006), el aprendizaje de la medida empieza por tener en cuenta la experiencia adquirida en la vida cotidiana, y continúa con la observación de magnitudes en el entorno -longitudes, masa o peso, capacidad, tiempo, amplitud de ángulos, superficies, volúmenes- dándose prioridad a la
Bishop (1999) dice que las actividades matemáticas comunes a todas las culturas son seis: contar, situar, medir, diseñar, jugar y explicar. Así pues, la medida es una de las actividades matemáticas por excelencia. Medir, de acuerdo con el Grup Perímetre (2005) es comparar una magnitud con una concreción conocida de la misma magnitud, previamente decidida por consenso, que llamamos unidad. Como resultado de la comparación, podemos asignar a la magnitud un número que expresa cuántas veces ésta contiene la unidad. De acuerdo con esto, la medida es la experiencia de cuantifica-
CEIP Castell de Farners. Santa Coloma cle Farners (Girona)
Ester Bosch
~a medida en la !uta de lo~ reloi~
se describe el itinerario
y el trabajo de los alumnos
cementarios
de los niños, se tiene que aclarar
ro va a parar? Si no se ha comentado antes, tenemos que fijarnos en los números romanos, explicar qué número representan y escribir en el cuaderno los números que faltan. ¿Qué hora marca el reloj de sol7 ¿Qué hora es en realidad? La comparamos con el reloj despertador de un alumno. Es una actividad de conversación y refuerzo de aprendizajes previos. Los niños de primer ciclo tienen muchos conocimientos matemáticos y la verballzaclón y el diálogo ayudan a comprenderlos mejor.
-------------------------------------------------------
l
105
y marca-
que los relojes de sol marcan la hora solar. Para calcular el equivalente a la hora convencional hay que añadir una hora en invierno y dos en verano. En e! cuaderno está dibujado el reloj y ellos tienen que dibujar la sombra. ¿A qu~ núme-
Después de
Miramos el reloj y leemos la inscripción.
¿Qué significa?
Actividad:
do en la fachada de una casa antigua llamada "La Noria". Los números son romanos y tiene una inscripción en catalán que dice leNo t'equivoquis mussol. que vaig a I'hora del sol" ('Búho no te equivoques, que voy a la hora del sol').
Descripción del reloj: Reloj muy bien conservado situa-
Parada n.' 1: El reloj de wl
3. ceLasombra de un árbol,,: durante todo un día observamos mos con yeso la sombra de un árbol del patio.
J
2. «Experimentamos con sombras,,: actividad en el patio, en distintos días y a distintas horas, para observar la dirección de la sombra, su longitud, qué pasa si nos movemos, sombras con objetos, composición de sombras, etc.
1. «No siempre vemos el sol en el mismo sitio": dibujamos y recortamos círculos que representan el sol y los vamos pegando en los cristales de las ventanas en el lugar por donde entra el sol en distintos momentos del día.
Para comprender el funcionamiento del reloj de sol, es necesario un trabajo previo del sol y las sombras. Durante el primer ciclo se han hecho tres actividades que ayudan a visualizar las posiciones del sol que podemos observar y las sombras:
fotos. En la página siguiente en cada parada.
~~:~r~~~_o~_~ ::~o~ _e~~~r~~r~ ~~~ ~g_u_a~ _q_u:_ ~l_d_e~ _c~~:_a_n~~i~: _¿~~~_~U_é __
l ~:~~i~~~_
hay muchos tipos de relojes y en la fachada hay un reloj analógico.
Parada n.' 5: La relojería Descripción del reloj: En el esc;¡parate de la relojería situada en una calle peatonal
po que podemos aparcar.
Actividad: Observamos y dibujamos el reloj digital. ¿Qué hora es? Luego leemos las instrucciones para saber cuánto debemos pagar por aparcar una hora. Pagamos 1 hora y recogemos el ticket para analizarlo en la escuela. Se plantean problemas de cálculo mental relacionados con el dinero pagado y el tiem-
Parada n.O4: El reloj del parquímetro Descripción del reloj: Reloj digital.
tos disiintos y si es posible escuchar la hora en punto.
culo. El niño que empieza da una palmada representando la una, el segundo dos, y así hasta llegar a doce y volver a empezar. Conviene escuchar campanas en momen-
nadas. ¿Cuántas veces? ¿Por qué? ¿Para qué sirven? Dibujamos las agujas en el lugar correspondiente y anotamos la cantidad de campanadas. Luego hacemos un juego de atención sentados en cír-
superior del campanario. Actividad: Observamos el reloj. ¿Estambién de sol? ¿Cuántas agujas tiene? ¿Qué tamaño tiene? ¿Por qué está en lo alto del campanario? ¿Para qué sirve? Suenan las campa-
Parada n.' 3: El reloj del campanario Descripción del reloj: Reloj de agujas situado en la parte
por qué hay algunos repetidos.
un sol grande dibujado. Actividad: Miramos el reloj, dibujamos la sombra yescribimos los números que faltan. El diálogo se centra en hacer hipótesis de hacia qué lado del reloj se proyectará la sombra en las próximas horas y la razón de que ello ocurra. Luego se pregunta por qué en la parte superior del reloj no hay números y
Parada n.' 2: Segundo reloj de sol Descripción del reloj: Reloj de sol de forma cuadrada con
J
La valoración de la actividad es muy positiva porque ofrece a los alumnos la posibilidad de mirar la realidad con pe¡'spcctiva matemática y, a la vez, resalta la necesidad de conversar e intercambiar información para constrlllr nuevas Ideas y aprendizajes. Es una actividad que ofrece mCiltiples alternativas según la población donde se lleve a cabo. Se puede realizar como un solo itinerario, tal y como se explica en esta experiencia, o como varias visitas realizadas en días distintos. No es una actividad fácil si antes no se ha
Valoración de la experiencia
Posteriormente, en el aula, se realiza un trabajo interdisciplinario de todas. las áreas cuyo objetivo es hacer un pequeño reportaje para explicar la experiencia en la página web de la escuela: http'//www.xtec.cat/centres/ b7008249ísuperior.htm. Para este reportaje, los alumnos escogen y ordenan las fotog~afías que han realizado, escriben pequeños textos y hacen dibujos para explicar los descubrimientos de cada reloj.
Actividad: Nos detenemos delante de un semáforo y cronometramos el tiempo que está rojo y el que está verde. Lo comprobamos distintas veces. ¿Qué deducimos? LPintamos el semáforo tlel cuaderno y anotamos el resultado.
Descripción del reloj: El cronómetro de la escuela nos permite hacer una pequeña investigación de aparatos que no son relojes, pero que están sincronizados a un mecanismo de relojería: los semáforos.
Parada n." 7: El cronómetro
Actividad: Observamos el marcador. En la parte superior se contabilizan los puntos del equipo local y los del visitante, pero ¿cuál es la utilidad de la parte inferior? ¿Cómo es7 ¿Cuenta hacia delante o hacia atrás? ¿Qué representan los números que cambian tan rápidamente? ¿Y los otros, cuándo cambian?
Descripción del reloj: Marcador digital con cronómetro de cuenta atrás.
Parada n." 6: El marcador de baloncesto del polideportivo
tuno. Luego contamos entre todos la cantidad de cada tipo de reloj y se marca el resultado correcto. Si es posible, se entrevista al relojero.
lo tienen en la fachada? Observamos los relojes del escaparate. Describimos la forma de algunos. ¿Importa la forma de un reloj en su funcionamiento? Proponemos una tarea de aproximación de resultado. ¿De qué tipo de reloj hay más cantidad, analógicos o digitales? Cada alumno subraya en su cuaderno el resultado que crea opor-
_
AL51NA, A. (2006): Cómo desGiiOllar el pensamiento matemático de O a 6 años. Barcelona. Octaedro/Eumo. BI5HOP, A. (1999): Enculturación matemática. Barcelona. Paidós. OOMÉNECH, J. (1990): Cartas solares, teoria de sombras y so/earri(ento. Alcoy. L1orens. - (1991): Trazado y construcción de relojes de 50/. Alicante. Aguaclara Editorial. GRUPO PERíMETRE(2005): «La mesura en l'Educació Matematica», en ALSI~JAA. (coord.): Actes VIJornades de Didóctica de les Matemótiques de les Comarques Gironines. Girona. Universidad de Girana. HUTCHINSON, B. (1986): Guia de relojes antiguos. Barcelona. Grijalbo. MONTAÑÉS, L. (1986): Relojes. Madrid. Cipsa. TORRA, M. (1995): Matemótiques a la carta. el. Barcelona. ICE UAB.
Referencias bibliográfi.s~
trabajado la medida del tiempo de manera manipulativa y pautada, ya que se necesitan conocimientos previos para entender la utilidad de los distintos relojes. Como valoración final utilizaré un proverbio oriental que reúne la finalidad última de la experiencia: ((Me lo dijeron y lo olvidé. Lo vi y me lo creí. Lo hice y lo entendí».
Rubirola
a través del conocimiento
~n preparar actividades de una asignatura, como poSin tener en cuenta que en otro momento del curso y
el currículo porque nos falta para terminar los temas. Otras
los de otros muchos a menudo de que no
parte del patio oue el resto de '
El trabajo matemático de servir para:
del medio
a través del área de conocimiento
Matemáticas y conocimiento
del medio ha
conslgul~nte ~horr~ de tiempo, pues generalmente el maestro/tutor imparte la mayorla de las aSignaturas. El ejemplo que expongo interrelaciona las áreas de matemáticas y conocimiento del medio. No está buscado adrede forzando las actividades, sino que los temas tratados lo permiten.
en otra aSignatura, probablemente existe la posibilidad de aplicar contenidos que entonces supusieron un esfuerzo suplementario. Otro caso es cuando la situación no la controla uno mismo porque las asignaturas las imparten otros maestros. En el segundo ciclo de educación primaria de nuestro centro hem?s solucionado estas situaciones con un poco de imaginación, y con el
ve~es nos esfor~amos dna ser matematlcas,
podemos tra~ar con suficiente profundidad tiempo. QUlsleramos disponer de más tiempo
Los maestros, tanto los de nuestro centro como centros de edUCación infantil y primaria, nos quejamos
usos ~ultlples; los andenes y el espacio de las vías conforman del primer y segundo ciclo de educación primaria; mientras edificios de la escuela son de nueva construcción.
glmnasl? y unas aulas de segundo ciclo de educación infantil; el porche del anden es un patio cubierto; el edificio de oficinas, sala de espera y taquillils ~Irven, habilitados, para el comedor, cocina y un aula de acogida y
. El CEI~ l'Estació es una escuela pLlblica de educación infantil y primaria de dos I~neas con 25 alumnos por aula, situada en el municipio de Sant Fellu rle GUlxols, de más de 20.000 habitantes. El centro se inauguró el año 1981 en el antiguo emplazamiento de la estilción del tren de vía estrecha que iba de Sant Feliu a Girona, desaparecido en 1969. La escuela conserva y utiliza ~s?a~los restaurados de la antígua estación, que le otorgan una impronta .rllstorlca notable. Los talleres del antiguo tren son los espacios del
CEIP L'Estació. Sant Feliu de Guíxols (Girona)
Dolors
Aprender matemáticas del medio
De los contenidos a las competencias básicas. De las competencias básicas a los contenidos.
pueden convertirse en un simple accesorio, un elemento que como superpuesto a una estructura bien delimitada. Por esta
de las actividades
de nuestro medio
de programación.
En el segundo ciclo, desde hace años, la asignatura de conocimiento del medio social consiste en el estudio del propio municipio y de la comarca, Baix Emporda, de manera que se prescinde del libro de texto. Cualquier libro de texto del área de conocimiento clel medio trata, por ejemplo, tablas y gráficos de población, de temperaturas, de pluviometría, o de las principales profesiones de los habitantes por sectores de trabajo. También lleva planos
Matemáticas y el conocimiento
son el punto de partida
Ilarlo después en actividades y contenidos. En esta experiencia hemos procurado partir dc esta segunda visión porque las competencias son la base del trabajo y, por ello, no existe ningLin problema para integrarlas, dado que
razón, estos autores proponen un método de trabajo alternativo, que precisamente consiste en invertir la metodología cle trabajo. Se trata de iniciClr el itinerario dc programación a partir de las competencias básicas y desarro-
competencias se interpreta
El primer itinerario, de acuerdo con estos autores, consiste en una estrategia de trabajo que sitúa las competencias al final del proceso. Se trata pues de una metodología muy parecida a la que se ha utilizado hasta este momento: se parte de una serie de actividades en las que se trabajan unos contenidos pal'a, al final, tener en cuenta el tipo de competencias que se desarrollan. Pero este método supone también un inconveniente, dado que las
•
gresiva las competencias básicas en general y la competencia matemática en particular. A tal efecto, mencionamos dos itinerarios posibles a la hora de planificar una actividad orientada a la adquisición de competencias bási.cas:
Pensamos que con estos objetivos podemos ayudar a nuestros alumnos del segundo ciclo de educación primaria a ir interiorizando de forma pro-
Aprender los contenidos matemáticos presentes en la realidad más inmediata, \.01 ~dlldo de significado los aprendizajes. Contextualizar las actividades, para que tengan sentido para nuestros alumnos. Relacionar matemáticas y entorno a través del área del conocimiento del medio.
Interpretación de planos haciendo un recorrido marcado por: - El barrio de la escuela, durante el primer ciclo. - El casco antiguo de Sant Feliu de Guíxols, cuando se inicia el estudio histórico de la ciudad, relacionando los nombres de las calles actuales con sus orígenes. Orientación y situación respecto a unos elementos geográficos muy visibles: - La torre del parque de Les Eres. Situar unos accidentes geográficos alrededor del plano según nuestra situación (delante/detrás, derecha/izquierda). - Mirador de Romanya. Reconocer los límites orográficos de la Vall d'Aro y situarlos en un croquis.
Lectura de números (n.o de habitantes, temperaturas, litros de lluvia, etc.). Números positivos y negativos (temperaturas máximas, mínimas, bajo cero). Números decimales (lectura de medias).
Recogida de datos a partir de la observación directa en salidas escolares; por ejemplo, cuántas calles. casas, barracas, molinos, huertos, coches, árboles, señales de tráfico, etc. Recogida de datos de organismos nficiales: web municipal, censo, servicio meteorológico, prensa, etc. Recogida de datos a partir de información familiar. Lectura e interpretación de gráficos de temperaturas, pluviometría, población, por edades, por sexo, trabajo de los padres por sectores productivas, etc. Elaboración de gráficos. La media, la mada y el porcentaje.
trabajados
contenidos
mos para conseguir que lo sea. El cuadro desde esta perspectiva interdisciplinaria.
1 expone
pues de la importancia los alrededores próxi-
gares conocidos, próximos a su población. Hablamos de que el aprendizaje sea significativo, aprovechando
do ya que no sabe de qué ciudad se le ofrece información. Contrariamente, la sorpresa llega cuando en un libro, como por ejemplo en las publicaciones locales (AA.W., 2004; Bussot, 2000; Jiménez, 1997). hay fotografías de lu-
y croquis (de ciudades, barrios o escuelas) para trabajar la orientación espacial. Pero toda esta propL!_~~~ ,-ciitorial seguramente poco importa al alumnaindustrial de fináles
Casas CalíeS Caminos Torrentes Huertos Molinos de vielHo Pozos Pisos Barracas Campos Albercas Coches Personas Niotos
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medias
Haz una raya Cada vez que encuentres l' i \"
de una riera de la población. Elaboración del gráfico de temperaturas último año.
cerca
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TOTAL
mensuales
Estadística Recogida de datos: calles, casas, barracas, molinos de viento, coches, pozos, etc., para observar y deducir la actividad humana
- Árboles del patio. A partir de un lugar tan conocido, hacer una estimación, entr~. intervalos predeterminados, de cuántos árboles hay, cuántos tipos diferentes, etc.
• formas en los edificios del CEIP l'Estació, de estilo arquitectónico del siglo XIX: - Identificación de formas y cuerpos geométricos. - Reconocimiento de simetrias, ángulos, etc. - Decoración de frisos. - La fotografía como recurso.
Temperatura media 10,5' 9,5' 10,5' 11,3' 14,4' 17,1" 20,3' 22,2' 22,2' 20" 16,5' 11,6'
Temperatura máxima 20,6" 19,8' 23,3' 22,l' 23,2' 27,2' 26,3' 27,8' 30' 26,6' 25' 19,2'
-0.9' 3,7' 0,8' 6,8' 7,4' 11,1' 15,3' 14,9' 8,6' 7,l' -1,1"
Temperatura mínima 1,7'
O'
15,5"
-
~ - -
de barras con las
-
medias mensuales.
PRECIPITACiÓN 11 L 3L 89 L 1S L 10 L 54L SL 7L 44L 102 L 338 L 70 L
¿En qué meses del año ha llovido menos? E.~) ¿Cuántos litros han caido en un año?:¡t..¡:¡. &fI~
'J~
(Puedes utilizar la calculadora)
J~!
Pluviometria. Contesta las siguientes preguntas mirando la tabla y el gráfico: • ¿En qué mes del año ha llovido más? &~
Junio Julio Agosto Septiembre Octubre Noviembre
Mayo
Abril
M,mo
Diciembre Enero Febrero
MES
Construcción del gráfico del trabajo de padres a partir de información familiar.
TEMPERATURA MEDIA ANUAL 15.5'
Diciembre '07 Enero 2007 Febrero Marzo Abril Mayo Junio Julio Agosto Septiembre Octubre Noviembre
Mes
temperaturas
Dibuja un gráfico
Lectura e interpretación del gráfico de lluvias del último año. El gráfico fue muy significativo porque, dos meses antes de realizar esta actividad hubo inundaciones en la comarca y en el colegio. '
seCUNDARIO TERCIARIO
SECTOR
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Situación espacial Recorrido urbano por el casco antiguo con un plano de la ciudad medieval de finales del siglo XIV. Identificación de: punto de partida, uire~ción al andar, puntos de referencia (nombres de calles como Hospital, Especieros, Vueltas, del Puente, etc., riera, trozo de muralla visible, plaza del mercado, playa, etc.). Ubicación de accidentes geográficos muy reconocibles (el mar, la Ermita de Sant Elm, la torre Molí de les Forques, la montaña Puig Grus y la urbanización Bateries) alrededor del plano del barrio de la escuela, a partir de nuestra privilegiada situación en la parte alta de la torre del Parc de les Eres (delante y detrás, derecha e izquierda).
EN CASA
PRIMARIO
SECTOR seCTOR
Siendo Sant Feliu población costera, se aprecia que el puerto no funciona como puerto pesquero porque sólo un padre es pescador, v sí se manifiesta un importante número de padres y madres en el sector servicios.
Conseguir alumnos competentes matemáticamente es una de nuestras funciones como maestros. Aprovechar esta relación de las áreas de conocimiento del medio y matemáticas nos llevará a conseguirlo. Trabajar unos contenidos a partir del entorno más inmediato con actividades que permiten a los alumnos comprobar/os con vivencias y experiencias propias es, sin ninguna duda, más efectivo y gratificante. Como ejemplo de esto podemos mencionar la siguiente actividad: se pidió a los alumnos que construyeran un gráfico de barras por edades de la población de Sant Feliu de Guíxols. Dedujeron que la columna más alta, la que comprendía las edades de 30 a 40
Valoración
• Aunque no sepas el nombre de los árboles, ¿cuánto~ tipos diferentes de árboles te parece que hay?
Estimación y aproximación A partir de un lugar tan conocido como el patio de la escuela, y antes del trabajo sistemático de observación de árboles que se realizará a lo largo del curso para estudiar los cambios que experimentan segLin el período, preguntamos cuántos árboles hay, de qué tipo ...
Reconocimiento de formas y transformaciones geométricas Buscar elementos de los edificios en los que se aprecie que son simétricos. Completar la imagen de un edificio del que sólo tenemos su mitad. Captar imágenes con la cámara digital con instrucciones sobre lineas paralelas, perpendiculares, diagonales, ángulos y cuerpos geométricos.
AA.VV. (2004): El port de Sant Feliu de Guíxols. Recorregut hístóríc amb motíu del seu centenarí. Sant Feliu de Guíxols. Ajuntament de Sant Feliu de Guíxols . BUSSOT,G. (2000): Carrers, cases í arquitectes. St. Feliu de Guíxols, des deIs inícís fíns el 1937. Sant Feliu de Guixols. Ajuntament de Sant Feliu de Guíxols. JIMÉNEZ, A. (1997): Sant Fe/iu de Guíxols. Una lectura hístóríca. Sant Feliu de Guíxols. Ajuntament de Sant Feliu de Guíxols.
años, era la columna en la que se incluian la mayoría de sus padres, y que era tan alta porque éstos tenían muchos hermanos; del mismo modo, las otras columnas eran más bajas porque ahora se tienen menos hijos. Hay más razones para que la población de 30 a 40 años sea la más numerosa, pero este razonamiento hecho por niños y niñas de 8 y 9 años se fundamentaba en la realidad de sus propias familias. Nuestra experiencia permite comprobar el grado de dificultad que supone cada aprendizaje y que difícilmente detectamos con ejercicios típicos de aula. No es lo mismo leer un plano en clase para buscar lug;:¡res, que interpretarlo sobre el terreno, colocándolo en la posición correcta respecto a nuestra situación. Pero ¿para qué nos ha de ser útil un plano? Trabajar a partir de nuestro entorno puede suponer un esfuerzo de organización por,que requíere salir a menudo del aula y del recinto escolar. Si se ha previsto, se pueden confeccionar los horarios del centro de manera que distorsionen poco el funcionamiento del mismo. El esfuerzo se verá recompensado con satisfacción. Como dijo una alumna: «No sé si se aprende más, pero se aprende e1emanera diferente».
de las matemáticas
en un aula
Desde hace algunos cursos hemos escogido nuestru propio camino y hemos organizado el aprendizaje de las matemáticas en función de los siguientes parámetros: Trabajar de forma cooperativa. Desarrollar la autonomía, tanto en el trabajo individual como en el colectivo.
D~scripción de la experiencia
Trabajar con diversidad en el aula requiere soluciones que ayuden a mejorar la atención a nuestros alumnos, sin que por ello tengamos que diversificar las actividades Linicamente en función de los niveles. Nuestra intención es conseguir que, con las mismas actividades, no aumenten las diferencias sino que todos juntos evolucionen en la adquisición de las capacidades matemáticas que les corresponden por su edad, tal como se sugiere en algunos de los trabajos recientes sobre educación matemática y atención a la diversidad (Aisina y Planas, 2008; Planas, 2003a) y en trabajos más generales sobre educación e inclusión social (Planas, 2003b). Nuestra experiencia en el tercer ciclo de educación primaria ha pasado por diferentes etapas, y en cada una de ellas hemos considerado más importantes diferentes aspectos de las matemáticas. Hemos hecho hincapié, entre otras cosas, en los aspectos siguientes: el cálculo mental, las estrategias para la resolución de problemas, la utilización de recursos digitales para el trabajo matemático, etc. En cada uno de estos aspectos hemos mejorado nuestra visión de lo que es básico, de lo que nos ayuda a mejorar, a compartir, a avanzar. De lo que tenemos que hacer de forma individual y de lo que podemos trabajar de forma colectiva. Poco a poco hemos conformado un estilo de hacer matemáticas en la escuela, una forma de organizamos para entender a todos nuestros alumnos, generando diferencias en función de sus c;¡pacidades pero consiguiendo cada uno de ellos competencia en los aspectos que les son más Litiles. En nuestra ilproximación a una educación matemática de calidad e inclusiva ha sido de gran utilidad la lectura de trabajos clásicos (Fisher y Vince, 1988). así como la de otros más recientes (Segura, Martínez y García, 2007).
CEIP Font de l'Alba. Terrassa (Barcelona)
Juanjo Cárdenas
Organización multicultural
mana. 2. Talleres: son como los cimientos del trabajo con nuestros alumnos, ya que nos permiten trabajar sobre la base de los procesos de construcción de las matemáticas. Se construyen modelos, se analizan objetos matemáticos, se trabaj;¡ con materiales y se mani-
ganización del curriculo. . . • En función del profesorado disponible. Para llevar a la practica nuestra propuesta organizativa hemos determinado que los recursos disponibles tienen que cumplir determinadas características: _ Coincidencia de varios maestros en el horario, para hacer las agru paciones. Planificación de actividades segLin los contenidos matemáticos de otras áreas. En función de la organización del currículo. Teniendo en cuenta que en educación primaria los maestros impartimos varias asignaturas y que, por lo tanto, el horario en ocasiones puede alterarse segLin las prioridades educativas, más importantes que las horas establecidas para cada asignatura, durante la semana organizamos las horas de matemáticas en cuatro ejes de trabajo: 1. Proyectos matemáticos y pequeñas investigaciones: cada trimestre se planifica un proyecto interdisciplinario, generalmente con las áreas de conocimiento del medio y matemáticas, y se desarrolla un trabajo sobre un tema relevantc de una de estas áreas. Se trabaja durante la hora de conocimiento del medio y se dedica aproximadamente la mitad del tiempo, es decir, una hora a la se-
Con ello pensamos que podemos garantizar, en la medida de lo posible, unas matemáticas que posibiliten que todos nuestros alumnos puedan desarrollar sus capacidades. Basamos nuestra organización de las matemáticas en el tercer ciclo de educación primaria en cuatro pilares fundamentales: los proyectos interdisciplinarios, la resolución de problemas, los talleres y el ~rabajo sistemático. Esta organización se realiza en función del profesorado disponible y de la or-
Fomentar la conexión de las matemáticas con la realidad: - La más cercana: entorno familiar, cultural, de barrio ... - Teniendo en cuenta la tecnologia: mp4, telefonia, videojuegos ... - La de otros entornas curriculares: medio natural, medio sociaL.. Utilizar contextos matemáticos.
Proyectos Los proyectos permiten desarrollar contenidos del área en contextos no matemáticos. Los alumnos se dan cuenta de las múltiples aplicaciones de las matemáticas, desde la construcción de catedrales y monasterios en la Edad Media, hasta la previsión del tiempo meteorológico o la utilización del calendario. Como hemos indicado, durante el primer trimestre realizamos un proyecto integrado en el área de conocimiento del medio social, donde a partir de los aspectos más relevantes de la Edad Media entramos en el ámbito matemático, construyendo con un videojuego una ciudad medieval para el desarrollo de los siguientes aspectos matemáticos: Trabajo sobre el plano para diseñar la distribución de los edíficios de la ciudad. Trabajo de la proporcionalidad numérica a partir de la interacción entre los recursos que nos permite conseguir el juego y la utilización para la construcción de los edificios que nos permiten dichos recu rsos.
A continuación presentamos ejemplos de actividades desarrolladas a partir de estos ejes:
pulan para llegar a la comprensión de conceptos. Dedicamos dos días a la semana, repartimos los alumnos de las diferentes clases y hacemos tres grupos de trabajo que van pasando de forma rotativa por cada taller. 3. Resolución de problemas: dedicamos a esta a<:tividad una hora a la semana, en dos sesiones con la mitad del grupo en cada una o en una sesión con todo el grupo pero con dos maestros en el aula. El tipo de problemas priorizados son los que nos permiten trabajar diferentes estrategias de resolución y en los que el cálculo no es determinante para llegar a la solución. 4. Trabajo sistemático de contenidos matemáticos: este trabajo, al que le dedicamos un día a la semana, nos permite hacer un seguimiento y practicar actividades para desarrollar contenidos matemáticos del currículo: resolver problemas de cálculo, aprender algoritmos, practicar cambios de unidad del sistema métrico, aprender a hacer tablas de valores y gráficos, dibujar figuras geométricas y calcular su área y su perímetro, etc.
Talleres Los talleres permiten desdoblar los grupos para favorecer el trabajo en equipo y la integración de los alumnos con más dificultad en la dinámica del trabajo matemático. Se crea un clima que lleva a establecer conexiones entre el nivel de conocimientos conceptuales y las situaciones que explicamos y en las que basamos los aprendizajes. Hemos creado tres talleres, donde cada profesor trabaja 105 conceptos matemáticos sobre la base de los procesos de construcción de las matemáticas: un taller de geometría, un taller de medida y 1111 taller de estadística y probabilidad. En cada uno de ellos se tienen en cuenta los procesos cle cálculo y numeración que llevan asociados. Para confeccionar los grupos de los talleres hemos mezclado los alumnos de los diferentes cursos Y hemos formaclo tres grupos cle aproximadamente 15 alumnos. A lo lai'go de! curso, cada grupo trabaja de formel rotativa las actividades planificadas en cada taller. Esta forma de organizar las actividades va encaminada a fomentar:
Para nuestros alumnos, el objetivo del juego consiste en construir sobre el videojuego una ciudad medieval en la que se hayan tenido en cuenta rasgos socioeconómicos de la época, utilizando los recursos económicos' que proporciona el juego con la máxima eficiencia. Para el profesor, 1" finalidad de la "ctividad es que los alumnos utilicen las matemáticas para analizar gráficos, que usen el concepto de proporcionalidad, busquen estrategias para hacer estimaciones útiles y que se sepan organizar en un plano.
nutos. ¿Cuánto tiempo tardaré en tener SO aldeanos?
consume SO puntos de alimento. Si inicialmente tengo 3 aldeanos y sé que un aldeano consigue 10 puntos de madera cada minuto y 30 puntos de alimento cada dos mi-
Una casa cuesta 60 puntos de madera y permite tener 5 aldeanos; cada aldeano
Veamos un ejemplo en el que podemos hacer cálculos exactos o bien, en la dinámica del juego, ournar el tiempo aproximado:
Estas consideraciones centran nuestra bLisqueda de actividades significativas y adecuadas al contenido cUITicular que se persigue, valorando, si es posible, el coste de tiempo de la actividad, sin perder de vista que buscamos actividades que hagan participar a 105 alumnos tanto física como mentalmente, provocando respuestas que mejoren su pensamiento con el mundo real. Hemos encontrado una buena actividad cuando 105 alumnos se sienten tan involucrados en el trabajo que las soluciones que encuentran las identifican como propias. Éste es un factor de cohesión de 105 grupos y ayuda a que las distancias que pueda haber se reduzcan hasta el punto de no ser determinante trabajar con unos u otros compañeros. El papel del maestro en un ambiente de resolución de problemas es fundamental. Debe mantenerse ocupado y, a la vez, disponible para dar res-
Resolución de problemas La resolución de problemas permite asumir el diseño de las actividades de manera que se hagan más interesantes, más adecuadas al contexto y al currículo. Las actividades de resolución de problemas funcionan mejor cuando tenemos en cuenta que: El tiempo destinado a la realización de una actividad se adecue al tiempo que se necesita para encontrar 105 resultados. Los alumnos puedan desarrollar sus estrategias de resolución, ya que conviene animarles a generar y expresar a su manera sus estrategias y respuestas. Lüs maestros asumimos un papel activo, vigilando que 105 métodos de resolución escogidos por cada grupo no estén desenfocados para así poderlos guiar, en la medida en que sea necesario, hacia formas de pensar más acertadas. La valoración por parte del maestro del trabajo de 105 alumnos tiene que ser auténtica, se evalLia la calidad y extensión de 105 aprendizajes, siempre que las actividades sean suficientemente representativas.
El trabajo colaborativo. El análisis de aspectos rCICvClntes de las matemáticas. La construcción y la generalización de procesos matemáticos. La utilización de materiales. La construcción de materiales.
¿Cuantaspizzasdiferentes de tres ingredientespodemoshacer con los siguientes productos? atún, champiñones,gambas,olivas, anchoas,tomates, alcachofas,y jamón de York. ¿Comopodemoscontar fáciimente todas lasdiagonalesque tiene un cubo?
Hemos constatado que cuanto más acostumbrados están al trabajo en equipo, más fácil les resulta resoiver 105 problemas y son más eficientes.
Protocolo Lecturaindividual del problema. Lecturacolectiva. Cadaalumno piensacómo sepodríaresolverel problema. Cadaalumno explicaqué ha pensadopara reso:..•. er el problema. Entretodos decidencuál esla mejor forma de resolverel problema. Deforma individual cadaalumno resuelveel problemade la forma pactada. Muestran los resultadosy compruebansi esuna solución válida. Si dan por válida la soluciónlo ponenen orden y lo presentande forma individual, explicandolos pasosseguidospara resolverel problema.
Los alumnos solucionan los problemas en grupo; no obstante, somos conscientes de que el aprendizaje y la asimilación de los procesos debe ser individual. Para ello hemos diseñado un protocolo que permite ir asimilando un método de trabajo útil en la resolución de problemas. Poco a poco se les va dando más libertad de acción hasta que cada uno establece sus estrategias y su manera de resolver problemas.
'l..
1.
puesta a las preguntas de los grupos, procurando que las estrategias desarrolladas no sean inapropiadas. El maestro, antes y durante la resolución de los problemas tiene que clasificar las tareas, tomar nota de las contribuciones de cada alumno y dar el tiempo necesario a cada grupo para desarrollar la estrategia de resolución y preparar el informe final. Además, tiene que sintetizar las ideas de cada grupo, sugerir aplicaciones y asegurar que se acaba la actividad. Por Liitimo, tiene que valorar 105 progresos individuales y el aprendizaje. Veamos ejemplos de problemas que proponemos y de cómo se desarrolla la activid;:¡rL
la evaluación es un proceso dad y la evolución del trabajo de cente. Trabajamos en educación matemáticas, lo que nos conduce
que permite mejora¡' la capacidad, la calilos alumnos, además de nuestra labor doprimaria y somos maestros no sólo de a buscar soluciones válidas para todas las
Organizar los aprendizajes matemáticos a partir de las actividades que proponemos ha llevado a discutir la evaluación y a obscrvar distintas evidencias. Igual que utilizamos diferentes contextos para abordar el aprendizaje, también tenemos que utilizar diferentes instrumentos de evaluación que se adecuen a la forma en la que estamos trabajando. Sin entrar en detalles, listamos algunos de estos instrumentos: las intervenciones en las discusiones, en pequeño y gran grupo, dado el permanente interés por el trabajo compartido y la necesidad en muchos momentos de entablar debates para consensuar el camino a seguir. El contraste entre las preguntas formuladas y las respuestas dadas son otra aportación que permite evaluar el avance de nuestros alumnos. la comunicación. sobre todo por escrito, de los resultados obtenidos informa sobre la comprensión de los conceptos trabajados y la capacidad para mostrar su uso. la solución de los ejercicios que de forma gradual realizamos en las horas de trabajo sistem
Conclusiones
Trabajo sistemático Llamamos trabajo sistemático al seguimiento que hacemos a los contenidos del currículo. Trabajamos cada tema del nivel de forma secuencial y los relacionamos con las actividades de los talleres y la metodología empleada en la resolución de problemas. El trabajo sistemático permite practicar las actividades destinadas a aprender algoritmos, hacer mediciones, construir gráficos, usar la calculadora, etc. En definitiva, a ejercitar actividades mecánicas necesarias para el aprendizaje de las matemáticas pero que no aportan proceso creativo. Estas actividades se realizan en un contexto de trabajo individual, aunque consultar con el compañero es una práctica habitual, especialmente para comprobar, comparar e intercambiar los resultados de las actividades.
bibliográficas
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SEGURA, M.; MARTíNEZ, R.; GARCíA, F.J (2007): «la marcha Dufour: un recurso para hacer matemáticas en la calle»). SUMA, 54, pp. 7-13.
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G1MÉNEZ,J.; SOL, M. (2004): «Proyectos matemáticos realistas y resolución de problemasll, en GIMÉNEZ, J; SANTOS,L.; PONTE,JP. (coorcls.): La actividad matemática en el aula. Barcelona. Graó. PLANAS, N. (20030): «Medidas de apoyo pedagógico, didáctico y Qi'ganizativo ante el fenómeno de fracaso matemático escolar en alumnos minoritarios)). SUMA, 42, pp. 23-36. - {2003bj: (
ALSINA,
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Referencias
áreas y para el trabajo interdisciplinario. Queremos mejorar la atención a la diversidad, la incorporación de alumnos que vienen de otros paíse~ ..' I~ atención a alumnos con necesidades especiales. Desde esta perspectiva, hemos decidido basar nuestra intervención educativa en el trabajo cooperativo, fomentando el desarrollo de la autonomía, en el trabajo individual y el colectivo. la diversidad obliga a conectar las matemáticas con la realidad, usar contextos próximos como el entorno familiar, cultural o del barrio. Sabemos que para las familias de nuestra comunidad escolar es básico el acceso a los medios de comunicación y a la tecnologia, por lo que utilizar los recursos informáticos les facilitará el acceso al mundo laboral y a una mejor int~gración en la sociedad tecnológica. Por otro lado, debemos utilizar conte,xtos matemáticos para trabajar de forma sistemática los contenidos matemáticos que nos ayuden en la resolución de problemas y en el desarrollo de proyectos matemáticos y pequeñas investigaciones (Giménez y Sol, 2004). Tanto el trabajo colaborativo que nos lleva al aprendizaje individual, como la capacidad para analizar aspectos relevantes de las matemáticas son el motor que nos mueve, no sólo para construir y generalizar pl'Ocesos matemáticos sino para ser capaces de utilizarlos en el uso del conocimiento.
y Montse Valentí
y matemáticas
Con el rincón de la vida cotidiana pretendemos ayudar a los niños y niñas de nuestro centro para que encuentren significado y sentido a todos sus trabajos escolares; que sean capaces de saborear el aprendiendo a aprender; y a la vez, que disfruten del gozo implícito que conlleva encontrar significado a todo aquello que nos rodea. De forma más concreta, pretendemos formar personas:
Planificación y desarrollo del rincón de la vida cotidiana
La sociedad actual viene marcada por características que no podemos eludir sino todo lo contrario, han de ser el motor de arranque en nuestro trabajo pedagógico. Hemos pasado de la sociedad de la información a la sociedad del conocimiento, donde la educación se ha convertido en uno de 105 pilares clave. Para ello, el docente no puede obviar el papel de los nuevos agentes educativos, que tienen que enfrentarse a aspectos como la globalización y el desarrollo tecnológico. Esta sociedad, cada vez más globalizada, cambiante y móvil, facilita que adquiramos conocimientos Lltiles; universales, aptos para realizar un proyecto de vida en cualquier parte del mundo; abiertos para poder adaptarse y dar cabida a cualquier tipo de diversidad, considerada como fuente de riquezas. Si a todo ello añadimos el gran cambio que ha generado el uso de las nuevas tecnologías de la información y de la comunicación y del gran conocimiento que éstas han generado, tenemos base suficiente para reformular nuestro trabajo y poder darle el cambio que los niños esperan, adaptándolo a las necesidades actuales. En nuestro centro pretendemos difundir una educación abierta, plural, sostenible, útil y eficaz, que sea portadora de un sistema educativo de calidad, basado en el trabajo conjunto de dos pilares clave: igualdad y excelencia. Con esta finalidad, nuestros alumnos trabajan de forma habitual en c18se a partir de experimentaciones, investigaciones, y todo lo que esté relacionado con aprfnder cientific3mente. Pensamos que esta forma de trabajar, que ejemplificamos con la experiencia «El rincón de la vida cotidiana)), contribuye en buena medida a alcanzar estos propósitos.
CEIPAnnexa. Girona
L1oren~ Carreras
Rincón de la vida cotidiana
rrespondiente; etC. El supermercado o tienda: miran qué hay q.ue vender (productos.que se estronean, fruta, pan, chorizo ...). organizan la pIzarra y esc~lben sus anu~cios de oferta; escriben unas tarjetas si el pro?ucto .se ha acabado, con el fin de repostar al dia siguiente; organizan bien el
por los siguientes espacios: . . • La caja o banco: son los primeros que abren el negocIo, a fin de que los demás compañeros puedan sacar euros para poder comprar .o pagar; 8bren fichas de los euros entr~gados, calculando I~ cantl~ dad prestada a cada compañero; clasifican los euros en su Laja co
El rincón de la vida cotidiana es una actividad que se lIe~a ;:¡ cabo de forma sistemática en diferentes niveles de nuestro centro. Esta compuesto
Revelles (2004). .. Grupos cooperativos: todos somos necesarios, abierto.s al dialogo y al consenso, ayudándonos mutuamente en lo necesario. La Intera~ción es constante, hay que aprender a escuchar para. poder mas tarde realizar la ampliación de la comprensión por mediO del Intercambio con los otros, tal como dice Bruner (1987). Diversidad inclusiva: todos somos iguales ya la vez diferentes. Tal y como señalan Planas y Edo (2008), la diversidad es una fuente de riqueza que fort8\ece el aprendizaje por contraste.
Para conseguir estos objetivos, partimos de la siguiente metudología: Trabajo significativo Y funcional: aprovechamos la riqueza que ofrece cada día nuestra vida cotidiana, tal como recomiendan Edo y
respuesta a lo que les envuelve.
íntegras (conocer, ver, hacer y sentir), críticas .(opinar con ~rgumentación y debatir con causa) Y a la vez creatlvas (entendiendo por creatividad la capacidad de saber buscar nuevos caminOS,retos, etc. para llegar a un destino concreto). Estratégicas (encontrar lo más idóneo y oportuno en cada momento) y a la vez solidarias (sensibles a su entorno). . Competentes, es decir, que sepan utilizar correctamente la Inform.ación y transformarla en conocimiento; que sepan llevar a buen termino lo aprendido, utilizando Y aplicando sus capacidades en la Vida real, sacándole el máximo provecho y utilidad. Inquietas científicamente (con curiosidad por saber), encontrando
L
I
(Garaje/Tallercoches/Coche/Reparación/Total/ Mecánico/al
No se puedecambiardurante el trabajo. Hayque realizar el trabajo pactado. Todoslos productossevenderána 1€, 2€ Y 3€.
-----------
Respetoabsoluto a cadaespacio. Hablar"bajito» para no molestaral restode compRñeros,que tambiéo estántrabajando.
Las normas que hay que seguir en los rincones son las siguientes:
J
I
1
de educación primaria), clasifican el dinero, devuelven cambio, etc.
piezas de recambio, hacen presupuestos (sobre todo los alumnos del tercer ciclo
REPARACIÓ
GARATG,f$"
supermercado, y lo dejan todo ordenado y clasificado; elaboran su ficha con los productos vendidos y el dinero ganado. La cocina: arreglan un poco la casa y se colocan unos delantales; dan una vuelta por el súper y escriben la lista de la compra, mientras calculan el dinero que van a necesitar, en caso de no tener bastante pueden volver al banco; cuadran los euros gastados con el producto comprado, mirando bien los cambios por si hay que reclamar; escriben la receta y elaboran la comida para todos. El quiosco: controlan y venden las revistas, que clasifican por temas (decoración, viajes, informática, cine, etc.), y los periódicos que hay. Ello implica llevar una contabilidad: apuntan íos periódicos que han vendido en una tabla y realizan un estudio estadístico con los más vendidos, calculan el dinero que han ganado, el cambio que hay que devolver en la compra d,: periódicos y revistas, etc. Si no hay ningún comprador, también pueden leer los periódicos y las revistas, etc. El garaje: arreglan averias de coches rotos; también pueden utilizar el súper 'IT'&r1[1~~ @~~ para adquirir piezas de recambio, etc. Como en los 1';;'0 6i-S t;~~ .~. ":~-"~'. otros espacios «comercia'o/;ki<.{1T.'<"J{1,-é.:-' I ',/ les)), también deben llevar una contabilidad: tienen un listado con los precios de las
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En cada espacio hay uno o dos alumnos, según el número de alumnos que vaya a trabajar al rincón. Todos los niños pasan por todos los esp~cios de forma rotativa en las diferentes sesiones. Trabajan de manera autonoma, cada uno a su ritmo y respetándose mutuamente. Mientras tanto, el grupo restante hace un trabajo de investigación y manipulación, según el horario establecido. . A continuación mostramos algunos ejemplos extraídos de una clase de segundo ciclo de educación primaria: Preguntas abiertas: ¿quién trajo los números?, ¿son necesarios?, ¿dónde los vemos?, ¿los utiliza todo el mundo?, etc. Puzles con galletas. Primero vamos él la tienda y compramos galletas: mitades, «trocitos de tres)); luego, las repartimos y tenemos que comprobar cuántas galletas enteras podemos confeccionar; más tarde lo representamos en el papel y, finalmente, nos las comemos, estudiando su composición (leche, harina, azúcar, etc.); pensamos qué la hace ser crujiente; estudiamos su viaje hacia nuestro interior (aparato digestivo) e incidimos en los hábitos saludables de alimentación. Colecciones: por ejemplo, de chapas de bebidas que se clasifican según diferentes criterios.
Hayque comprarlosproductosdeoferta,anunciaeJos en la "Pizarrita». Lacocinaelaboradaserviráparaabrir un autoservicioy comerlatodosjuntos. Devolverel dineroal banco,a fin de que puedan"cerrar caja»y "cuadrarla». Hayque dejarlotodo limpio y ordenadoa la hora de recoger.
Desde un punto de vista matemático, permite además reforzar contenidos de todos los bloques (numeración y cálculo, medida, análisis de datos y probabilidad, etc.) y también procesos matemáticos, entre los que caben destacar los siguientes:
Esta actividad, bastante habitual en el segundo ciclo de educación infantíl. se manífiesta igualmente válida en la etapa de educación primaria, pues los alumnos continúan teniendo una gran motivación intrínseca que les llevd a aprender sin darse cuenta, dando todo lo que pueden de sí mismos. Los aspectos más destacables son: Potencia el rol de miembro de una comunidad y contribuye a su desarrollo. Refuerza la autonomía. Facilita la comprensión del sentido de su trabajo al ajustarse a la realidad. Desde un punto de vista matemático, incide en diferentes contenidos (números y operaciones) y procesos (resolución de problemas, razonamiento lógico, comunicación, representación y conexiones), de acuerdo con la NCTM (2003). Permite aplicar lo aprendido a la vida real, lo que contribuye a que los niños vayan siendo personas competentes cle forma progresiva.
Potencial educativo y matemático de la actividad
En relación con la evaluación, asumimos que evaluar es algo más que localizar evidencias, efectuar comprobaciones o medirlas. La evaluación es una labor que no se puede desvincular de las tareas de enseñanza y de las prácticas de aprendizaje, constituye una actividad que emerge de manera natural y espontánea en el aula, y es una herramienta de probada utilidad para detectar al alumnado que muestra una evolución según el desarrollo ae sus capacidades. Toda esta labor permite valorar el proceso educativo y realizar una correcta postevaluación (Carreras y otros, 2005). Desde este punto de vista, la evaluación de los alumnos se realiza a partir de una pauta con ítems prefijados en la que, además de contenidos concretos, se valoran la soltura, la creatividad, la ayuda hacia los demás, el grado de autonomía, etc.
Juegos diversos: juegos de cartas, bingos de operaciones,.dominós de números y operaciones, juegos de estrategia, como el «Quartoll, las damas chinas o el avalé.
.
resolver problemas. . . Usar representaciones para modelizar e interpretar fenomenos flsicos, sociales y matemáticos.
Crear y usar representaciones para organizar, registrar y comunicar matemáticas. _ Seleccionar, aplicar y traducir representaciones matemáticas para
Representaciones:
coherentemente. _ Reconocer y aplicar las ideas matemáticas en contextos no matemáticos.
Reconocer y USé:lrconexiones entre las ideas matemáticas. _ Comprender relaciones entre icleas matemáticas y organizarlas
Conexiones:
los demás. _ Usar el lenguaje matemático para expresar ideas matemáticas de forma precisa.
Organizar y consolídar su pensamiento matemático mediante la comunicación. _ Comunicar su pensamiento matemático de manera coherente y clara a los compañeros y profesores. Analizar y evaluar el pensamiento matemático y las estrategias de
Comunicación:
las matemáticas. - Hacer e investigar conjeturas matemáticas. , - Desarrollar y evaluar argumentos y pruebas. Seleccionar y usar varios tipos de razonamientos y métodos de prueba.
y prueba: _ Reconocer el razonamiento y la prueba como aspectos básicos de
Razonamiento
matemáticos.
contextos. Aplicar y adaptar estrategias apropiadas para resolver problemas. _ Controlar y reflexionar sobre el proceso de resolver problemaS
Construir conocimiento matemático por medio de la resolución de problemas. _ Resolver problemas que surgen de las matemáticas y de otros
Resolución de problemas:
L1. Y otros (2005): Madrid. Narcea.
en ANTÓN.
matemáticas
PLANAS, N.; EOO, M. (2008): ((Dificultades de aprendizaje ciadas al aula multicultura¡' •. Boletim do Grupo de em Educa¡;ao Matemática, 52, 11-27.
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sig-
matemático asoEstudos e Pesquisas
Sevi-
infantil. Orien-
potencialmente
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tación y recursos [0-6 Principios y estándares para la Educación Matemática.
nificativas)),
EOO, M.; REVELLES, S. (2004): ((Situaciones
fantil.
CARRERAS,
La importancia de la educación. Barcelona. Paidós. Evaluación y postevaluación en educación in-
bibliográfi~
BRUNER, J. (1987):
Referencias
en la educación
largo de ias etapas de enseñanza secundaria obligatoria (16- 18).
(12- 16) Y de bachillerato
la educación matemática puede contribuir a crear un ambiente de aprendizaje propicio para la formación del pensamiento crítico. En segundo lugar, recogemos cinco experiencias de aula que nos sirven para ilustrar aspectos básicos de los procesos de formación del pensamiento crítico a lo
En este capítulo presentamos reflexiones en torno a la enseñanza de las matemáticas en la etapa 12- 18. En primer lugar, nos centramos en cuestiones sobre el desarrolio del pensamiento crítico y SObií: las posibilidades de la actividad matemática como promotora de este pensamiento en entornas de escolarización formal. Nos rreguntamos hasta qué punto
Matemáticas secundaria
3
El pensamiento crítico puede entenderse como un tipo de estrategia pensamiento que coordina diversas operaciones vinculadas a habilidades sicas (Alsina y Planas, 2008). Como hemos dicho, esta estrategia es propia los ambientes de resolución de problemas (véase Iranzo y Planas, en este
de báde ca-
en los ambientes de resolución de problemas en la etapa de secundaria, tal como señala Font (2007). especialmente cuando los problemas no son tareas simples sino que hacen referencia a situaciones problemáticas.
bilidades básicas se usan en situaciones más complejas donde hay que poner en práctica vaiias de ellas de forma secuencial, coordinada y eficaz, es necesario recurrir a las estrategias de pensamiento. Esto es lo que suele ocurrir
corresponden a los procesos de pensamiento que se trabajan principalmente en las etapas de infantil y primaria. Algunas de estas habilidades son: comparar, inferir, clasificar, sintetizar, ordenar, predecir, etc. Cuando las ha-
je no es la acumulación de informaciones sino el uso de las informaciones aprendidas. El uso es posible gracias a la reflexión consciente sobre las informaciones que permite utilizarlas de forma estratégica en contextos diferentes y con finalidades distintas. El uso estratégico de aprendizajes, por medio de la aplicación de conexiones y procedimientos, lleva a la noción de pensamiento crítico. De acuerdo con Boisvert (2004), las habilidades de pensamiento crítico pueden ubicarse en tres grandes grupos: las habilidades básicas, las estrategias de pensamiento y las habilidades metacognitivas sobre el propio pensamiento. En relación con la educación matemática, las habilidades básicas
se asocia de manera indisociable la multiplicación con las tablas de multiplicar, siendo posibles algoritmos donde el conocimiento de estas tablas no es necesario. El desafío de todo aprendizaje es poner a prueba la información aprendida ¡¡por repetición», usándola en la comprensión y resolución de problemas. En palabras de Pozo (2005). lo que hace progresar el aprendiza-
méricas como, por ejemplo, las tablas de multiplicar; sin embargo, el aprendizaje, cuando es significativo, también incluye ser capaz de preguntarse por qué se clasifican de un determinado modo los ángulos o por qué
La adquisición de información es una condición necesaria para el aprendizaje, pero no suficiente. En el caso de las matemáticas, es necesario saber el vocabulario básico asociado al lenguaje matemático (ángulos, triángulos, tipos de ángulos y triángulos, etc.) y recordar bien informaciones nu-
El desarrollo del pensamiento crítico
pero también
tiene
que activarse
en situaciones
más generales
de
y colecti-
lo inesperado
con la falta
de previsión
de la
Tomar decisiones basadas en la exploración de alternativas matemáticamente válidas y en la verbalización de argumentos y contraargumentos surgidos de procesos de introspección y de comunicación.
Desde la perspectiva de la escuela, reinterpretamos los motivos anteriores teniendo en cuenta los ámbitos de la vida del aula en los que intervienen. El pensamiento crítico en la escuela y el aula de matemáticas del sig lo xxi ha de capacitar a los estudiantes para:
acción, relacionando complejidad.
Organizar y gestionar la gran cantidad de información que precede a cualquier estudio, distinguiendo lo relevante de lo superfluo. fle8ccionar ante los resultados inesperados de Uil estudio o de una
Analizar y cuestionar la toma de decisiones y estudios realizados por otras personas y grupos, aun cuando algunos sean consideradosexpertos.
Tomar decisiones basadas en el estudio previo, individual vo, de argumentos, contra-argumentos y alternativas.
Antes de explicar, por medio de la presentación de buenos prácticas, en qué consiste el pensamiento crítico y cómo ha de tenerse en cuenta en la planificación de cualquier tipo de educación matemática -muy especialmente en la etapa de secundaria, cuando las habilidades básicas ya han sido trabajadas-, recogemos algunos de los motivos principales para promover este tipo de pensamiento. El pensamiento critico en la sociedad del siglo XXI ha de capacitar a las personas para:
de la realidad próxíma (véase Jareño, en este capítulo). el pensamiento crítico es más que nunca una preparación para la vida. Otras veces, el pensamiento crítico es una estrategia necesaria en la manipulación de objetos de la realidad para la representación de objetos de las matemáticas (véase Aubanell, en este capítulo).
pítulo) son ambientes que fomentan procesos de pensamiento crítico. Cuando el diálogo en torno a ideas matemáticas se relaciona con problemas surgidos de la cotidianeidad (véase Royo, en este capítulo) o con elementos
práctica matemática donde se pretenden construir afirmaciones argumentadas. En este sentido, los ambientes de aula que propician la verbalización de ideas matemáticas y el diálogo en torno él ellas (véase Vilella, en este ca-
pí~ulo).
;¡Igunos motivos
para hablar del pensamiento
cri-
problemas
y preguntas
vitales con claridad
y precisión.
los problemas.
Acumula y evalúa información relevante y usa ideas abstractas con el fin de interpretar esta información con eficacia. Llega a conclusiones; piensa con una mente abierta; reconoce y evalúa, según sea necesario, supuestos, implicaciones y conseCUfncias prácticas; y se comunica adecuadamente al idear soluciones a
que: Formula
de modo que la habilidad puede interpretarse como el horizonte de la capacidad. Estas consideraciones, sin embargo, no deben entenderse como una desvalorización de la noción de capacidad puesto que el desarrollo y la práctica de capacidades en las primeras edades son en si mismos logros.
El alumnado de educación infantil y primaria que aprende en un «aula critican está ejercitando las capacidades básicas necesarirls para más adelante poder poner en práctica estrategias complejas de pensamiento. En las primeras edades, por tanto, tiene pleno sentido hablar del pensamiento critico, aunque la formación se centra en el desarrollo de capacidades y no tanto en el de habilidades. Para nosotros, la capacidad es un término general, entendido en un sentido menos preciso que e! de habilidad y como antesala de él. Boisvert (2004) dice de la habilidad que es una capacidad que se ha desarrollado hasta un nivel de perfección, de dominio excepcional en el ejercicio de una tarea,
alguien
tico y con el objetivo de clarificar esta noción, recogemos algunas de las habilidades propias de un pensador crítico ejercitado. El pensador crítico es
Tras haber enunciado
a otras áreas. Reaccionar ante las soluciones inesperadas a una situación problemática, relacionándolas con la falta de previsión de la complejidad del conocimiento matemático y de la conexión entre sus temáticas. ,
es profesor. Organizar y gestionar la gran cantidad de información que precede a la comprensión de una situación problemática, distinguiendo lo relevante de lo superfluo, e integra"do o separando, según sea necesario, conocimientos matemáticos con conocimientos vinculados
Analizar y cuestionar las tomas de decisiones realizadas por el profesor de matemáticas, exigiendo que estén basadas en argumentos lo suficientemente claros y precisos para que los entienda quien no
En algunas de las experiencias de aula de este capitulo, se explican casos de alumnos que muestran una o varias de las actitudes mencionadas; en otras, se justifica la riqueza de las propuestas por medio de argumentos ba.sados en el trabajo de estas actitudes. En los textos de NLlria Iranzo y Nuna Planas y de Xavier Vilella, :,e hace mención explícita a la importancia del pensamiento crítico; en el resto de textos, las características de las actividaJes planteadas llevan a pensar en el desarrollo de estrategias complejaS de pensamiento. Por ejemplo, el alumnado que consigue construir cónicas ha examinado antes las posibilidades que le ofrecen los materiales propuestos por Anton Aubanell. Otras veces, la presencia del contexto real hace que el alumnado tenga que concentrarse en mantener la atención en el tema principal; conviene que busque precisión en la medida en que el tema matemático aplicado a la vida del centro lo permita. .La aproximación a la enseñanza de las matemáticas desde una perspectiva basada en el pensamiento matemático no informa sobre qué contenidos enseñar ni cuándo enseñarlos. Muchos libros de didáctica de la
Podemos hablar de capacidades que acompañan el proceso de desarrollo de una persona hacia la adquisición de habilidades de pensamiento crítico; algunas de estas capacidades pueden formularse en términos de actitudes, en tanto que pueden entenderse como disposiciones hacia formas de actuar, pensar y reconsiderar lo ya considerado. Algunas de las actitudes que c~nt:ibuyen a la formación del pensamiento crítico por medio de la predlSposlclon a ciertas acciones y formas de pensar son: Mantener la atención en el tema que lleva al planteamiento de una situación problemática sin que ello impida introducir conexiones con otros temas. Mostrar una tendencia a modificar los posicionamientos iniciales cuando se tiene acceso a argumentos y hechos que así lo recomiendan. Considerar la situación problemática en su conjunto, acotándola por partes en las fases de la resolución que lo requieran y volviendo al todo con frecuencia. Examinar las distintas posibilidades de actuación antes de llevar a cabo una de ellas y enunciar con claridad la postura adoptada. Buscar precisión en la obtención y el procesamiento de datos en la medida en que el entorno de aparición y aplicación de estos datos lo permita.
matemática se refieren a estos aspectos y se basan en la discusión en torno a los bloques curriculares en matemáticas: geometría, cálculo, estadística, medida, etc. Sin embargo, hay pocos libros donde se valora la calidad de la enseñanza de las matemáticas por medio de las actitudes y capacidades promovidas con el desarrollo del pensamiento matemático. Los debates actuales sobre el término competencia (Barnett, 2001; Deulofeu, en el prólogo) contribuyen a equilibrar esta situación inicial. El concepto de competencia en el ámbito educativo no es nuevo, se usa desde la década de los sesenta, aunque es en !a última década cuando ha empezado a tomar especial protagonismo para hacer referencia a la adquisición de destrezas. La Organización para la Cooperación y el Desarrollo Económico ha introducido con fuerza la expresión ((competencia clave)) (OCDE,2007], en relación con aquellas competencias que llabren la puerta)) a conocimientos cuyo dominio depende del establecimiento de conexiones entre multitud de aprendizajes. Desde el punto de vista de la educación matemática, el término ((competencia)) no tiene un contenido específico. No podemos enseñar competencias en general, sin situarnos en circunstancias donde se (equiera la aplicación de unas ciertas capacidades y habilidades. A pesar de ello, a menudo se usa el adjetivo llcompetente)) de un modo general. Se dice de un estudiante que es competente en matemáticas, sin explicarse qué habilidades ha necesitado para resolver un problema ni en qué situaciones las ha necesitado. La competencia matemática ha de interpretarse en situaciones concretas donde se requiere el desempeño de capacidades y habilidades de uso y conexión de conocimientos matemáticos. En realidad, las nociones mismas dc capacidad y habilidad tampoco tienen un contenido sustantivo si no se piensan en una cierta circunstancia, tal como hace Corbalán (2007) en sus Matemáticas de la vida misma. Junto con la falta de.entornos de aprendizaje contextualizados, otro de los problemas del desarrollo de competencias para el pensamiento crítico en educación matemática es la falta de entornos de aprendizaje prcícticos. En muchas clases de matemáticas se explica qué hay que hacer para pensar matemáticamente, pero no se enseña a hacerlo, a pesar de que el profesor tiene que enseñar procedimientos. La problemática clásica entre el saber decir y el saber hacer -no es lo mismo decir algo que hacerlo- está especialmente relacionada con las dificultades en el desarrollo del pensamiento crítico. El profeso, puede explicar una cl;¡sificación de los cuadriláteros y dar algunos de los motivos para !a selección de esta clasificación; sin embargo, esto no significa que se esté enseñando al alumnado a cuestionar los motivos de la
OCDE (2007): Oefinition and Selection of Competencies, en
. POZO, 1. (2005): Aprendices y maestros: la nueva cultura del aprendizaje. Madrid. Alianza.
la, 10(2), pp. 419-434.
ca. México. Fondo de Cultura Económica. CORBALÁN, F. (2007): Matemátícas de la vida misma. Barcelona. Graó. FONT,V. (2007): «Comprensión y contexto: una mirada desde la didáctica de las matemáticas». La Gaceta de la Real Sociedad Matemática Españo-
ALSINA,
A.; PLANAS, N. (2008): Matemática inclusivo: propuestas para una educación matemática accesible. Madrid. Narcea. BARNETI, R. (2001): Los límites de la competencia. Barcelona. Gedisa. BOiSVERT,J. (2004): La formación del pensamiento critico: teoría y prácti-
Referencias bibliográficas
clasificación que habitualmente se enseña para los ángulos y a buscar otros criterios de clasificación posibles. Es decir, que el profesor se pregunte en una situación concreta un porqué, no significa que se haya enseñado al alumnado a preguntar por qué en situaciones futuras distintas, aunque el desarrollo del pensamiento crítico venga en parte facilitado por su práctica y por la interacción con personas que también lo practican. En Alsina y Planas (2008) ya recogimos algunas de las dificultades vinculadas al desarrollo del pensamiento crítico en matemáticas. Dijimos de él que es un pensamiento difícil de ve,balizar en el aula porque en muchas ocasiones las formas de evaluación lo penalizan. No se espera de un alumno, por ejemplo, que introduzca una forma alternativa de clasificación de los cuadriláteros ni que cuestione la clasificación tradicional; ni tampoco que pregunte por qué falta información en el enunciado de un problema donde se suponen informaciones que no se han escrito.
docentes en la etapa 12-18
En este bloque recogemos cinco experiencias de aula ubicadas en la etapa secundaria: dos en el primer ciclo de la enseñanza secundaria obligatoria (12-14 años), dos en el segundo ciclo (14-16 años) y una en el bachillerato (16-18). Se trata de experiencias en parte transferibles a otros niveles, basadas en propuestas muy diversas, con elementos del pensamiento crítico tal como éste ha sido caracterizado en el apartado anterior. Todos los autores tienen un contacto directo y diarío con el aula desde hace años, y están vinculados a grupos de trabajo y centros desde donde llevan tiempo elaborando propuestas didácticas que contribuyan a mejorar el aprendizaje matemático de su aiumnado. Recientemente, algunos de ellos han pa;ticipado en programas de desarrollo de la práctica reflexiva en su ámbito profesional. Aunque siempre es difícil identificar qué es innovado, en educación, consideramos todas las experiencias innovadoras en tanto que muestran cambios cualitativos e ideas que introducen mejoras en el sistema del aula. Los textos sitúan la tarea del profesorado de matemáticas más ;::llá del dominio de la materia y del conocimiento de destrezas pedagógicas y didáctic;¡s. Se nos explican cuestiones de planificación docente, formas de actuar en el aula y formas de evaluar esta actuación. Pensamos que son innovaciones asumibles con facilidad en otras aulas puesto que, en general, no conllevan grandes costes hurnanos ni económicos, ni tampoco ia creación de situaciones límite. La calidad de las propuestas también tiene que ver con las posibilidades de extensión, generalización y continuidad. Cada experiencia es un caso Llnico e irrepetible, pero hay aspectos importables a otros contextos que, probablemente, algunos de los lectores reconocerán cn sus propias prácticas. Pili Royo, en «Un proyecto de participación matemática con tecnología» nos recuerda los ambientes organizativamente complejos de los centros escolares. En su escrito describe un proyecto con uso de tecnología (TIC) desarrollado con un grupo de alumnos de ((atención a la diversidad» a quienes se piden actividades de interpretación de la información que ellos mismos han recogido. NLiria Iranzo y NLlria Planas, en (lLas pregunt8s en la clase de matemóticas de secundaria», también se refieren a la ((atención a la diversidad». En su texto defi~nden que un buen currículo matemático es aquel que resulta adecuado para todos los alumnos, independientemente de las expec-
~eriencias
tativas que la escuela deposite de antemano en cada uno de ellos. Para estas dos autoras, promover la participación, trabajar competencias de pensamiento critico, construir conocimiento a partir de preguntas de alumnos, verbalizar contrastes, planificar estrategias de diversificación o introducir materiales manipulables son orientaciones útiles para todas las clases. La actividad ilustrada acerca de los envases de un refresco es un ejemplo de cómo convertir ejercicios rutinarios sobre geometría y medida en problemas abiertos. Todos los textos se sitúan en el aula; hablan de profesores fomentando debates sobre cuestiones matemáticas miradas en contextos cotidianos. Son experie~~ias que resaltan el carácter social del trabajo del profesorado de matematlcas cuando busca formas de interesar al alumnado. En el trabajo en grupo, lo social también es visto como una característica de los procesos de pensam~ento matemático. Los alumnos trabajan con otros alumnos que proyectan Intereses parecidos a los suyos (en la selección de un tema para un trabajo de estadística, en la identificación de una ruta para la búsqueda de frISOS,en el establecimiento de hipótesis sobre las estrategias de publicidad de un~. empresa, etc.). El profesor de matemáticas ayuda a planificar la Investlgaclon, a Ilevarla a cabo, a presentar conclusiones y a evaluar los resultados. Este enfoque concede al aiumnado un papel activo en la resolución de dificultades y en la toma de decisiones. Se entiende que la autonomía del alumn.ado tiene queve~ con la capacidad del profesorado para orientar pero tamblen con las posibilidades de colaboración entre iguales. El «safari fotográfico» por parejas del que nos habla Joan Jareño en «Estudiar frisos: Una forma de observar el entorno», es una forma de crear un entorno de aprendizaje entre iguales. Núria lranzo y NLlria Planas hablan de estimular la formulación de buen~s preguntas,. de enseñar a los alumnos que una de sus tareas como aprendices es preCISamente hacer preguntas. En «El diálogo en el aula de matemáticas como comunidad de prácticas)}, Xavier Vilella también se refiere a las. ~regun~as de lo~ alumnos para mosti"ar evidencias del aprendizaje matematlco y fomentarlo. El pensamiento matemático requiere generar buenas preguntas que pongan de relieve situaciones de duda, dificultad y bloqueo ante la resolución de una tarea. Interpretar dudas, dificultades y bloqueos como puntos de partida de la formula-cjón de preguntas es un<:l manera adecuada de desdramatizar este tipo de situaciones y de avanzar en la construcción de conocimiento matemático. Las preguntas no son frecuentes en el aula de secundaria, a diferencia de lo que ocurre en etapas an-
En «Estudio de cónicas a través de actividades manipulativas», Anton Aubanell analiza ejemplos de contenidos matemáticos que pueden representarse con materiales manipulativos. Xavier Vilella también se refiere a la importancia del uso de materiales en el aula de matemáticas. Ambos autores proponen el uso de objetos cotidianos (lápiz, cordel, dado ...) y en la experimentación guiada para la resolución de problemas y la construcción de modelos. La actitud investigadora, la curiosidad por lo que nos rodea, el respeto por las propias representaciones y las de los otros y el buen uso de los materiales posihilitan un ambiente de aprendizaje rico y motivador. Losargumentos para apoyar el uso de materiales en la educación secundaria son muy parecidos a los usados en la educación infantil y primaria. Aunque la acción sobre los materiales no es por ella misma suficiente, conviene llevar a cabo actividades manipulativas que unan la acción con la representación de la acción y con su vcrbaliz3ción. Mientras se anima a los estudiantes a utilizar geoplanos, regletas numéricas y tangrams, también hay que enseñar cómo realizar la transición hacia actividades con papel y lápiz. De lo contrario, los estudiantes pueden acabar ubicando por separado unas y otras actividades. El uso de materiales, o la referencia a ellos, acostumbra a ir acompañado del desarrollo de la dimensión estética de la 8ctividad matemática. Joan Jareño, en su estudio de los frisos, señala la importancia de vincular el aprendizaje de las matemáticas con un sentido estético. Este sentido estético puede asociarse a rcpresentaciones artísticas en arquitectura y diseño, ;Jero también, tal como hace Xavier Vilella, a la lectura de cuentos y otros textos literarios en el aul8 de matemáticas. Núria lranzo y Núria Planas, con su propuesta de crear cuerpos geométricos de diferentes formas con un mismo volumen, sugieren el desarrollo de un cierto sentido estético en la resolución de una tarea matemática. También hay sentido estético en la elaboración de las presentaciones que Pili Royo pide a sus alumnos; y en \8 representación de las cónicas como envolventes de familias cle rectas que nos muestra Anton Aubanell. La lectura de las experiencias de otros profesores es una buen punto de partida para iniciar una reflexión sobre la propia práctica docente: ¿En qué medida usamos actividades manipulativas en nuestras clases?,¿cuánto tiempo dedicamos a situaciones de diálogo y preguntas?, ¿cuánt<:lsexcursiones
tea.
teriores ya que no siempre se asocian a procesos de pensamiento reflexivo y, a menudo, se consideran como señales de desorientación en quien las plan-
desde el área de matemáticas organizamos?, ¿qué objetos de la vida cotidiana llevamos al aula?, ¿cómo normalizamos el uso de la tecnología en clase de matemáticas?, etc. La reflexión es un impulso para la acción y un modo de revisar la acción cuando los resultados no son los esperados. Para los profesores que escriben sus experiencias de aula, escribir ya constituye un paso de una primera reflexión ocasional a una práctica reflexiva más profunda.
medio del estudio de frisos
Uno de los objetivos de la actividad es procurar que el alumnado descubra la geometría escondida en elementos decorativos presentes en su entorno próximo. El interés humano por los objetos de adorno y el adorno de los objetos son casi tan antiguos como la humanidad misma. Desde épocas muy tempranas, la repetición iterativa de un motivo más o menos sencillo, lo que llamamos una cenefa o greca, es un recurso ornamental utilizado de manera profusa en la cerámica y en los tejidos. Lo encontramos en todas las culturas por mínimo que sea su nivel de desarrollo tecnológico; en las más avanzadas, las cenefas se utilizan, además, en el adorno de edificios: las llamaremos frisos y las encontraremos esculpidas en piedra, pintadas en pare-
Joan Jareño lES Alella. Alella (Barcelona)
Observación del entorno ~
En general un friso es un adorno dibuj
http://usuarios.lycos.es/acericotnlcelosiin. h tm http://deseartes.cnice. mecd. esima teria les_d idacticos/celosias/ index.htm http://www.juntadeandalucia.es/a verroes/ies arroyo/ m CJ tema ticas/ m a teriales/3 es o/g eom e tria/ mo vimi en tos/fri sos/fris o s.h tm
Las actividades sobre frisos que resumiré se llevaron a cabo con alumnado de 2.0 curso de ESO del instituto de Alella, una población cercana a Barcelona, en un contexto de trabajo geométrico en el aula asistido con ordenador. El trabajo que se describe ocupó unas cinco o seis sesiones (dependiendo del ritmo personal de cada alumno). En este tiempo no se Incluyen las actividades de identificación en el entorno de Alella que se realizaron fuera del horario escolar. En esta descripción no detallamos cuestiones relacionadas con criterios de clasificación y nomenclatura de frisos. La intención del escrito no es dar toda /a información a fin de que pueda reproducirse con exactitud la experiencia, sino más bien ilustrar los rasgos generales de un trabajo escolar basado en el desarrollo de una mirada estética y matemática orientada hacia aspectos de la realidad, desde el convencimiento que este trabajo puede orientar nuevas prácticas. Junto con la mia, pueden consultarse otras páginas web para completar el trabajo sobre frisos, entre ellas: www.xtec.cat/-0jareno (Calaix +ie)
Desarroilo de la experiencia
des o azulejos o en todo tipo de molduras. También podemos descubrir frisos de gran interés en los enrejados de hierro de puertas, ventanas y balcones. Todavia hoyes uno de los recursos decorativos más utilizados y, por tanto, fáciles de encontrar y observar. ~ntes de iniciar la descripción de la experiencia, no puedo dejar de menclo,nar los dos textos que han inspirado gran parte del trabajo, Passeig matematlc per Catalunya (Ticó, 2004) y Calados canarios y matemáticas (Ba/buena, de la Coba y Garcia, 2000), Para esta experiencia, son igualmente Importantes los libros Ritmos. Matemática e imágenes (Borrás y otros, 2002) y cl siempre sugerente Materiales para construir la geometria (Alsina Burgués y Fortuny, 1991). '
En clase se habia realizado una actividad anterior en la que se estudiaba los movimientos invariantes en rosetones, logos, cúpulas y tapacubos de coches, después se procedia a su clasificación y a la práctica de diseños a partir de ellos. No es una fase previa necesaria pero agilizó bastante el desarrollo del trabajo con frisos. Al inicio de la experiencia dimos a conocer la clasificación de los tipos de frisos con ejemplos y explicaciones que facilitaran la comprensión de los contenidos matemáticos relacionados. De la combinación de los cuatro movimientos que pueden dejar invariante un friso (giro de 1800, simetrías horizontal, vertical y con deslizamiento) se observa que finalmente sólo hay siete frisos existentes posibles. Esto significa, y he aquí uno de los motivos de interés por trabajar esta cuestión en el aula, que cualquier friso o cenefa que encontremos en nuestro entorno puede clasificarse en uno de estos siete tipos. Los ejemplificamos a continuación a partir de los diseños de una alumna de 2.0 de ESO que anotó qué movimientos dejan invariante él cada caso:
Uno de los aspectos más interesantes que estudiar de ¡os frisos, y que sirve para c1asificarlos, son los movimientos (giros y reflexiones) que los dejan invariantes.
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mánicas o góticas. Imaginándolas rectas, podemos aplicar muchas propiedades el!' los frisos rectos a estas cenefas curvas. Si el adorno es un dibujo que se repite idéntico a lo largo del friso hablamos de un friso periódico, y llamamos patrón del friso al fragmento que se repite. Este patrón se repite sucesivamente aplicándole una translación respecto a un vector que es igual a la anchura del motivo y que tiene la misma dirección que el friso.
Las explicaciones sobre la clasificación de frisos se hicieron mediante animaciones preparadas en las que se podían observar los movimientos aplicados de forma dinámica. Las ejemplificaciones animadas. en forma de pelínila re..•.. isable. superan en calidad y claridad a las que se pueden hacer en papel o en la pizarra Y. además. acostumbran a generar una mayor expectacíón entre el alumnado. Una vez estudiados los movimientos y los tipos de frisos. se clasificaron los primeros frisos utilizando el propio ot'denador a partir de ejemplos interactivos y autocorrectivos. que permitían aplicar con facilidad giros y simetrías a las cenefas que había que clasificar. La manipulación de las imágenes de los frisos (giros y simetrías) se puede hacer fácilmente también sustituyendo los ejemplos interactivos. con cualquier programa de tratamiento de imágenes, ya que, por sencillo que sea. siempre incluyen las opciones de giro o reflexión.
Friso con giro. simetria horizontal y simetria vertical
Frisoque no admite ninguna invariancia por giros ni simetrias
Una vez familiarizados con los diferentes tipos de frisos se pasó a la fase de creación de cenefas propias. Es muy cómodo construir frisos utilizando programéis de dibujo vectorial como Flash. Coreldraw. Freehand o Inkscape (éste Ciltimo gratuito). C;:lelaalumno diseñó un módulo propio que, conveniente repetido con copias giradas o reflejadas del mismo, le permitió construir sus propios trisos. El trabajo se dirigió dando instrucciones precisas de cómo colocar las piezas modulares para que se obtuvieran los siete frisos posibles. Las cenefas que hemos visto anteriormente para ejemplificar los tipos de frisos se disenaron de esta manera.
Posteriormente, se mostraron frisos a los que no se les permitia el movimiento; se tenían que «mover a ojO)),con el objetivo de empezar a educar la vista en el descubrimiento de invariancias. Paralelamente se pidió a los alumnos que. en pequeños grupos. iniciaran un Ilsafari fotográfico}) por la localidad buscando frisos en decoraciones de interiores. patios. fachadas, en enrejados de ventanas. puertas y balcones, etc. Se pretendía que capturasen la máxima variedad de tipos de frisos para luego confeccionar murales clasificando las fotografías realizadas. Así pudieron descubrir que algunos tipos sobreabundan. mientras que otros son escasos. como los que presentan simetría de desplazamiento. Una vez clasificados se proceUn par de frisos capturadosen Ale!la. dió a descubrir el motivo mínimo de algunos de los frísos. Dicho motivo mínimo es el fragmento más pequeño a partir del cual se puede reproducir el friso completo. Si anteriormente hemos dicho que el patrón de una cenefa es el diseño que se repite por tr
ue la
Esta exposición es un modo de hacer públicos fuera del aula los procesos cre
resante exposición de frisos, que mostramos una imagen.
las combinaciones de 2 o 4 módulos se puede proceder a clasificarlos. Esta propuesta de diseño libre puede hacerse con piezas recortadas en papel; sólo será necesario fabricar dos juegos de módulos: uno (
tiene, sorprendentemente, un friso con simetría deslizante. Se observa que el motivo mínimo no coincide con el grupo de módulos sino que es su mitad superior. La investígación se puede extender al estudio de los frísos construidos con un grupo de 4 módulos, también todos diferentes (uno normal, uno con giro, otro con simetría horizontal y otro con simetría vertical), organizándolos en rectángulos de lx4, 4xl y 2x2. Hay 18 casos posibles (si el primero es, de forma fija, el «normal))). Aparecerán los siete tipos de frisos, incluso los frisos sin invariantes. Después de la fase libre de diseño de frisos a partir de
los que tienen un único movimiento invariante. En el ejemplo del dibujo con un módulo «normal)) (el tradicional azulejo cuadrado con dos mitades diagonales de diferente color) y otro al lado con simetría horizontal se ob-
módulos podemos permitir que los unan libremente hasta constituir un grupo que se repetirá para formar el friso. Se deberán, sin embargo, poner restricciones. Por ejemplo, es conveniente investigar las posibilidades existentes uniendo sólo dos módulos, forzosamente diferentes, en forma horizontal o vertical. Si la primera pieza del grupo es el módulo (
No es la única forma de realizar esta fase de creación de frisos. En vez de dirigir la colocación de el desarrollo
de competencias
matemáticas
(en torno a conceptos
ge-
Hasta que no aceptaron captar fragmentos de frisos o prescindir de ciertas «interferencias» de diseño, la «CélZa»de cenefas se les presentó más infructuosa de lo que inicialmente esperaban. Una de las fases de la actividad que se realizó con más entusiasmo fue, sin duda, la de creación de frisos. La posibilidad de experimentación
vadoras, ya que se salía del modelo habitual de demandas que se les hacen desde e! área de matemáticas. Aquí, de nuevo, tuvieron que enfrentarse a los márgenes de irregularidad que la observación de la realidad directa impone.
tracción idealizada de la realidad, cuando la aplicamos al estudio directo de ia misma nos tenemos que dotar de «(márgenes de tolerancia)). La fase de búsqueda de frisos en el entorno fue una de las más moti-
los alumnos les exigían una superposición y coincidencia perfecta para admitir el movimiento como invariante. La actividad ayudó por tanto, aunque de forma colateral, a observar que aunque la matemática es a menudo una abs-
que la actividad despertó fue el de observar cómo se enfrentaban a estas dificultades con ánimo de superación y cómo se ayudaban compartiendo soluciones, interpretaciones o propuestas. Sabemos que una de las visiones adulteradas que nuestro alumnado tiene de las matemáticas es la importancia del resultado sobre el proceso de resolución, así como la máxima exactitud de éste (por ejemplo 5,7 es menos exacto que 5,6999 ...). Esta circunstancia bloqueaba respuestas de clasificación de frisos porque, aunque se trabajaba con fotografías de objetos reales que siempre presentan alguna irrf'gularidad,
plicaciones y unas primeras prácticas autacorrectivas, favoreció la autonomía personal. Algunos de los conceptos nuevos, como el de simetría con deslizamiento, fueron más difíciles de asimilar; pero uno de los síntomas del interés
Cada fase de la experiencia movió aspectos diferentes de la receptiv.idad del alumnado. El trabajo inicia! con ordenador, diseñado básicamente con ex-
Sobre los alumnos
do y lo que se es capaz de hacer como consecuencia de un período de aprendizaje centrado en la representación artística de contenidos geométricos.
ométricos que requieren la activación de sofisticados procesos de visualización) con el desarrollo de competencias de expresión artística, en un marco global de conocimiento del entorno más cercano. Los frisos, en tanto que productos diseñados por el alumnado muestran lo que se ha comprendi-
tegran
vas de hacer matemáticas. Los distintos frisos elaborados son el resultado final de haber puesto en marcha maneras de trabaja: :__ :-,~atemáticas que in-
paso más hacia que algo más cercano.
nuestro
alumnado
sienta
las matemáticas
como
han de aprender, y no todo el mundo se enfrenta o se puede enfrentar a ellos de la misma forma. Una solución frecuente y relativamente fácil de adoptar es la adecuación simple de los contenidos, pero no es la única posible. Otra puede ser la de realizar propuestas de trabajo suficientemente estimulantes como para conseguir la implicación personal de cada alumno en su proceso de aprendizaje, y el sentimiento positivo de participar en un proyecto colectivo. Con todo ello avanzaremos un
Además, posibilitaremos un cambio en la percepción matemática que se tiene del entorno próximo al invitarnos a observado con más detenimiento y descubriendo los variados, y muchas veces bellos diseños de artesonados, enrejilrlos, mosaicos, pinturas, dibujos en tejidos, etc., que nos rodean. El curriculo de matemáticas en la etapa de secundaria obligatoria está repleto de contenidos complejos que todos los alumnos y alumnas
clasificación y diseño, combinatoria (si se opta por el estudio de diseño de frisos agrupando módulos) ... Pero, por encima de todo, h(lbremos tendido puentes entre arte y geometría, entre artesanía y matemáticas.
riqueza del trabajo matemático desarrollado por el alumnado: observación y aplicación de movimientos en el plano, estudio de algoritmos de
guimiento de las instrucciones de colocación de los módulos. El diseño con colocación libre de los módulos, si bien puede favorecer la diversidad de estilos de cenefas obtenidas, comporta una nueva práctica de clasificación de frisos, cosa que han hecho ampliamente en las dos primeras fases y puede dar una cierta sensación de repetición; además, si no se hace un estudio búsqueda sistemática, no se garantiza la obtención de los siete ti pos existentes. A lo largo de la actividad descrita se habrá podido observar la gran
por el modelo orientado que garantizaba la obtención de todos los frisos. No significó eso que no aparecieran dificultades en la comprensión y se-
pensar bien la opción que se va a escoger en cuanto al diseño: libre o dirigido. Cada una tiene sus ventajas y sus inconvenientes. Aquí optamos
los programas de diseño gráfico facilitó que se purápida que permiten dieran probar de forma ágil diferentes diseños de módulos', _: ~~~cto que tenían los cambios en el conjunto del friso. Los resultados finales proporcionaron un alto grado de satisfacción individual y colectiva (ya que todos los frisos fueron objeto de una exposición conjunta). Se tiene que
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Materiales para construir
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c.;
bibliográficas
la geometria.
ALSINA,
Referencias
Vilella Vilassar de Mar (Barcelona)
_
futura. lugar, el alumnado es rodea, hasta un nivel lugar, el profesorado
representaciones, debatiendo argumentaciones, y facilitar la co-construcción del conocimiento matemático. Ello nos lleva a la creación de una
del profesorado sea comedida y abandone las prisas desmesuradas; conviene dejar su tiempo al alumnado para ir creando significados, negociando
de texto, que propone tareas cerradas y, a menudo, muy técnicas -en el sentido de mecánicas-, o bien podemos abordar tareas ricas que puedan desarrollarse por caminos diversos, y dar oportunidades de trabajo en el aula para todos. En este Liltimo caso, es preciso que la gestión de la tarea por parte
debe plantear tareas de un cierto tipo y gestionarlas de una cierta manera para facilitar lo anterior. La primera premisa lleva a proponer tareas en contexto, con una comr1ejidad controlada cercana a la realidad. Así c1amos la oportunidad al alumnado de mostrar su capacidad para afrontar el reto y para desarrollar su competencia en terrenos parecidos a los que en el futuro puede encontrarse, y en los que debe sentirse cómodo, reconociéndolos. En estos contexto~, el reto es la clave de la educación crítica: sólo con retos puede tener sentido .opinar, participar y ser crítico (Planas, 2007). La segunda premisa conduce a planteamos si debemos seguir un libro
les prepararía mejor para afrontar los retos de su vida La experiencia se basa en dos premisas: en primer capaz de afrontar la complejidad de la realidad que le más alto del que habitualmente se cree; en segundo
realidad tal como es y que no subestime la capacidad del alumnado para aprenderla. Este camino de mejora desarrollaría las diversas competencias, incluida la competencia «democrática» de la que habla Skovsmose (1999). y
asimilarlo, desde cada pedazo y lo que se consigue dista mucho de lo .óptimo. En algunos centros y áreas, de forma minoritaria, existen intento.s. de cambiar el enfoque de la situación e ir hacia una enseñanza que muestre la
En la educación secundaria obligatoria (ESO) existe una tradición consistente en el trabajo estricto por departamentos, es decir, por asignaturas. La realidad, compieja, se presenta al alumnado desgajada en pedazos sin conexión evidente: se pretende enseñarles a analizar el mundo, a conocerlo, a
lES Vilatzara.
Xavier
dU~ác!Lcas
El diálogo en el aula de matemáticas como comunidad
Los objetivos más cognitivos se relacionan con la materia que se va a enseñar. La secuencia seria aproximadamente: partir de la idea intuitiva de hecho seguro-hecho imposible, para situar lo probable; pasar a cuantificar casossencillos (empezando a definir la media aritmética o las frecuencias absoluta y relativa); experimentar con el lanzamiento de dados (relacionando representaciones como la tabla o el gráfico); y terminar con una implicita ley de Laplace y casos más complejos. La gestión de la activid;¡d será clave para el desarrollo de competencias. El profesorado debe establecer las normas sociales y de la práctica matemática en clase; dejar c1aiQel papel del error (fuente de aprendizaje, oportunidad para mejorar y descubrir puntos débiles de nuestro razonamiento permitiéndonos estar más preparados para momentos futuros en los que ya no se tratará de un entrenamiento, como ocurre en la escuela); establecer el camino preferido en clase para la validación de la verdad matemática (basado en el diálogo y la argumentación de ideas); y organizar e! trabajo cooperativo en grupos. Bishop (1999), abordando el tema de la construcción de significados en el proceso de enculturación matemática, considera que el significado matemático se logra estableciendo conexiones entre la idea matemática que se discute y el conocimiento del individuo. En el aula esto se traduce en dos aspectos: en primer lugar, el proceso de estimular la actividad de comp;Jrtir y contrastar ideas; y en segundo lugar, la conformación de las explicaciones matemáticas, en que e! objetivo negociador del profesor debería ser fomentar la comparación y el contraste de explicaciones para un mismo fenómeno. Defiende además la necesidad de que todos los nir'ios participen en la construcción social de significados, proponiendo un ritmo de comunicación que permita a los alumnos poner en orden significados compartidos y solucionar desacuerdos.
Se persiguen dos tipos de objetivos: 1. Facilitar un aprendizaje básico, introductorio, del azar y la probabilidad en alumnos de 12 años. 2. Desarrollar competencias básicas del alumnado, tanto la competencia matemática como las transversales.
Fina lidades
comunidad de prácticas en clase, sobre la base del diálogo, la argumentación, el debate y el trabajo cooperativo. Crear una comuniclad de prácticas pide su tiempo. Arcavi (2007) afirma que clemasiado a menudo se acortan los procesos de discusión y resolución de problemas en el aula para evitar la sensación de tarea no finalizada en el profesorado.
El azar: fracciones, decimales, porcentajes en contexto Est~ "nirlad es la primera que se da en 1.0 de ESO. La decisión de hacerla asi se tomó en el departamento de matemáticas porque queríamos ofrecer al alumnado que llega de primaria un tema aparentemente muy diferente de lo que ha dado en el 60 curso del tercer ciclo de primaria. La entrada en el instituto no puede consistir en darles más de lo mismo, no es una buena estrategia para la motivación. Si ojeamos los libros de texto podremos ver que empiezan con los números naturales, operaciones y propiedades; la divisibilidad (con los consabidos mínimo comLin mLiltiplo, máximo comLin divisor ...), nLlmeros enteros, etc. No se acierta a ver ningLin íntento de mostrar las matemáticas de otra manera, las matemáticas Litiles par.a entender nuestro mundo, para afrontar y resolver problemas reales. Por,?tro lado, los alumnos poco hábiles en matemáticas constatarán que no tienen nada que hacer desde el primer día, porque es lo mismo en lo que ya fracasaron en primaria pero más difícil. En cambio, una temática nueva y con conexiones con la vida real sugiere oportunidades para todos. La segunda razón para empezar el primer curso con este tema proviene del hecho de que el tema de azar y probabilidad, al estar situado gcneralmente al final del libro de texto, no se llega a dar. Para nuestro departamento resulta poco justificable esta decisión: quizá no se considera e! estudio del azar y la probabilidad como fundamental para el futuro de la ciudadanía, a pesar de su relación con el correcto análisis de realidades como las predicciones del futuro, con cartas astrales, esoterismos, tarots, bolas dc cristal, o la.;; apuestas bajo diversas formas: máquinas tragaperras, loterías, sorteos, dados, trampas en el juego, e incluso la !udopatía, mucho más presentes en la vida de parte de nuestro alumnado de lo que habitualmente creemos. Esta unidad incorpora el uso de materiales, la experimentación, la toma de datos, la tabulación y !a representación gráfica usando medios informáticos. Por otro lado, nos ofrece una oportunidad de trabajar las fracciones en contexto. Para un alumno de 12 años no resulta sencillo darle sentido al trabajo con fracciones como 4/52 O 3/7. El hecho de que la fracción sea un buen medio para representar la probabilidad en una situación determinada permite facilitar la construcción de significados para fracciones poco habituales: en e! primer caso, 4 de 52 puede representar la probabilidad de extraer un as en una baraja francesa; en el segundo, 3 de 7, la de extraer una boja negra de una bolsa en la que tenemos 7 bolas, de las que 3 son negras y (as demás de otros colores. Podemos dar significado a la equivalencia de fracciones, diferenciándola de la igualdad estricta, puesto que dos fraccio-
nos adentramos
el valor de
más complejas,
aunque
de situaciones
reales distintas,
en el estudio
representan situaciones sr- -1 ~ismo.
Imagen 1. Los dados de juegos de rol son conocidos por nuestro alumnado y permiten trabajar con fracciones del tipo 3/20, '.3/4, 3/8, 5/12, etc., en un contexto que les da significado. Además, ahi están los sólidos platónicos, si se desea entrar en geometría.
parecidas a 13 realidad de la investigación, donde escasean los momentos emocionantes y domina una cierta monotonía en la tarea del investigador, que no debe bajar la guardia si desea evitar errores. Una vez detectado el error, el alumno debe retroceder y rectificarlo, lo que le enseña que correr mucho y errar conduce a tener que volver sobre sus pasos y rectificar.
manifiesto la capacidad de ser perseverantes, dado que la alegría del comienzo da paso al tedio de la repetición. Desde el punto cle vista competencial es importante llevar a cabo experiencias de este tipo, porque son
La experimentación en esta secuencia consiste en lanzar individualmente 120 veces un dado (véase imagen 1) Y tabular los resultados. Esta operación no es tan simple como se podría pensar ya que en matemátícas se experimenta poco. Algunos alumnos cometen errores tan simples como lanzar los dados más o menos veces de 120 (véase imagen 2). Aquí se pone de
Experimentación
bifurca, y uno de los dos ramales se bifurca nuevamente mientras que el otro no, si se pide la proporción de bolitas que esp~ramos lleguen a cada uno de los finales de tubo, puede deducirse que será la cuarta parte, la cuarta parte y la mitad. Ahora podemos comprobar el producto de fracciones, puesto que 1/2' 1/2 nos da en dos ramales 1/4. Podemos construir esta máquina y comprobarlo experimentalmente.
podemos ofrecer al alumnado la posibilidad de comprobar operaciones entre fracciones, dado que el resultado puede ser deducido del contexto y la operación es un camino más para obtener el resultado pero no el único. Por ejemplo, en una máquina que deja caer bajitas por un tubo, y este tubo se
Cuando
nes equivalentes su probabilidad •
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Estudio: ¿existe la suerte al lanzar'un dado?
Entre lo imposible y lo se9~ro, lo probable.
¿Heéhos casll;l!es o previsibles?
Constatación de la ventaja de disponer de alguna representación numérica de la probabilidad. Fase inicial individual de ~prendizaje de técnicas de reclJento, t;;bulación y representación, noción de frecuencia, F y f Discu~ión sobre el número de decimales. Descubrimiento de la evolución de los resultados según aumenta el número de tiradas.
Reflexión individual, acuer" do en pequeño grupo y debate en gran grupo.
Formulación de hipótesis inicia! (creencia en la suerte). Experimentaciónindividual, tabulación de resultados, cálculo de la frecuencia absoluta y relativa (decimales hasta las milésimas). representación gráfica de la frecuencia relativa en función de! número de tiradas.
que se presenta:
Acuerdo respecto al enun·· ciado y en los significados.
el esquema
Imagen 2. En este papel se recogen resultados de diferentes alumnos (en las columnas). Un alumno ha realizado sólo 94 lanzamíentos del dado, cuando debían ser 120. En otro caso, los resultados son tata Imente sospechosos (columna con un interrogante en la parte superior).
Reflexión individual y debate en gran grupo.
El tema avanza siguiendo
Creación de la comunidad de prácticas
~IFil~Y.!h;~i;;¡:¡H ~11;¡"1!\~tU" 111 M111ld ¡.¿
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.''''0.'li.Y,:C'Í'.1I,,, "
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. Tarea en pequeños grupos y puestaen común conjunta.
Reflexión individual y puesta en común en gr::m grupo.
Representación en la recta numérica.
Probabilidades iguaíes de acontecimientos distintos.
y
I
I
t
I
Debate conjunto disponiendo de la proyección en pantalla de los trabajos escaneados.
Creación de enunciados para situaciones resueltas.
Propuestas individuales y debate en gran grupo.
Preparación individual debate en gran grupo.
Operaciones sencillas entre fracciones que pueden ser . comprobadas en contexto.
Reflexión individual, consenso en pequeños grupos y debate en gran grupo.
De las probabilidades del mismo valor a partir de diferentes situaciones a la fracción equivalente.
De la ordenación de fracciones a la representación como puntos de la recta.
Cada avance competencial en el aula de matemáticas se basa en un trabajo cíclico en tres planos: reflexionar individualmente, compartir y comparar. El eje del avance es el diálogo entre iguales, una vez cada cual fija su posición de partida en la reflexión individual; un diálogo constructivo, en el que
Representación de una historia.
. Sjtuaéiones que se . complican.
Reflexión individual y debate en gran grupo.
Visualizando fracciones, visuaJizando probabilidades.
I
Trabajo de la ordenación de fracciones, decimales y porcentajes en contexto.
Reflexión individual, puesta en común en pequeños grupos y en gran grupo.
Ordenando acontecimientos según su probabilidad. Necesidad de representar de diferentes formas las fracciones y desarrollo de formas de representación.
Coincidencia en la evolución de los valores de f, cuando aumenta el número de tiradas induce a revisar la hipótesis sobre la suerte.
Puesta en COmLInde datos de toda la clase, tabulación y representación usando medios informáticos, y debate en gran grupo. los elementos
gestión
compartido, que los miembros de la comunidad no existirá el filtro final del profesor, que atiende a pero que se reserva durClnte el proceso para dejar Cada persona encuentra su lugar, en función del de su desarrollo competencia!. Alumnos poco par-
Rol del prufesor Promueve la comunidad de prácticas
/ _.•0<-------""'
•••• -
Gestión de la tarea Promueve ia participación matemática rica
Tarea propuesta Promueve la actividad matemática rica
tión de todos. Parte del trabajo del profesor es destacar este aspecto, una vez finalizado el debate en gran grupo. Los debates desarrollan la capacidad de argumentación en término5 matemáticos, poco trabajada, en general. Es
ticipativos en los primeras sesiones van entrando en el juego de la negociación cuando comprueban que los errores no se castigan, que las intervenciones no se juzgan segLIn quien las hace y que opiniones que pueden parecer alejadas del re~ultado final son de gr;:¡n utilidad. Aquí se da un elemento importante: el compromiso mutuo. La tarea pasa a ser una cues-
así fuera, seria un error han detectado. Siempre todos cuando lo piden, espacio a la negociación. grado de implicación y
temáticas de forma colectiva, en un intercambio de opiniones, sin miedo a errar, porque se sabe que de la comunidad saldrán opiniones críticas; y en éstas confiamos para que el resultado del debate no se¡.:¡un error. Au'nque
ma-
de la actividad y cómo: ~e aprenden
clave (tarea propuesta,
y rol del profesor) y lo que promueven. Esta comunidad se basa en qué se comparte
tices ponemos
van formando una conciencia de grupo, una identidad, y se va creando un sello propio compartido. Este ciclo puede contribuir a que el alumnado comprenda que el resultado final no se puede adjudicar a la reflexión individual porque refleja las aportaciones de todos. Se está desarrollando una comunidad de prácticas en el aula. El cuadro 2 representa la situación: en los vér-
se negocian significados y se llega a un consenso también en lo que se refiere a determinar quién acierta y quién se equivoca. Estos ciclos de debate
de un cuento
ha sido
a criterios que se establecen entre todos antes de empezar la Estos criterios siempre se relacionan con el contenido esencial
Con ei trabajo en gran grupo basado en la critica constructiva de los esquemas de los alumnos se desarrollan diversas competencias (también
logo entre iguales, el debate en pequeño y en gran grupo, irá induciendo su evolucién hacia representaciones que serán compartidas y que se acercarán a las más habituales, las que históricamente se han impuesto. Así ocurre en la práctica del aula. Como afirma Giménez (2008), ei dominio de los sistemas de representación y comunicación como formas de construcción de conocimiento significativo permiten un desarrollo integral de las personas.
motivación, mayor autoestima y participación. Estas representaciones, incluso con errores, se valoran por parte del profesor, y se confia en que el diá-
Cuando los alumnos trabajan con sus representaciones de ideas matemáticas, y esto se respeta en el aula, se genera un ambiente de confianza,
del relato, la esquemJtización conseguida, la claridad en el aspecto formal, y la comunicación correcta del desarrollo de la historia. En las imágene's 5 y 6 tenemos algunos de ellos.
atendiendo proyección.
viendo las dudas que puedan surgir sobre el vocabulario y la historia en si. Generalmente se comprende bastante bien y no aparecen muchas preguntas. Se pasa a la preparación de un esquema individual que se recoge al acabar la sesión. El profesor los escanea y prepara una presentación con ellos. En la sesión siguiente se muestran a todo el grupo y se debaten uno por uno,
Se presenta al alumnado el cuento leLus relatos de Gudor Ben Jusá)) (de Burgos, 1994). La tarea empieza en clase con la lectura en voz alta, resol-
Esquemas a partir
comprueban una y otra vez que la intervención directa del profesor muy reducida, y que el secreto está en realizar un buen debate.
dualmente y se ha debatido en pequeño grupo, no se puede argumentar sin compartir y comparar io que uno piensa con lo que otro está argumentando. Las intervenciones se vuelven más maduras y profundas cuanto más se practica este ciclo dialógico. Y de ello se percatan los alumnos, puesto que
Además de desarrollar la capacidad de argumentación, también se facilita un ambiente en el que pueda desarrollarse la capacidad de escuchar a los demás. En los debates en gran grupo, una vez se ha reflexionado indivi-
que no pretende deslumbrar a los poco hábiles o comuna argumentación petir entre los más hábiles, sino que se dirige a conseguir un producto final consensuado y de calidad que satisfaga a todos.
Imaqen 6. Representación de la ~isma historia. más cercana a la realidad y con más texto explicativo
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Imagen 5. Esquema de una alumna a partir del relato, con una representación madura, bien organizada y simbólica
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nalmente, deben participar en el debate con una actitud de escucha activa. Se desarrolla así la competencia democrática. Por otro lado, juzgar el esquem
y el uso del sentido
de los símbolos}).
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ARCAVI, A.,(2007): «El riesarrollo
y
Uno.
ado a partir de la sorpresa inicial, y da algunas claves de uso inmediato personal paril evitar caer en engaños o ser más ingenuo de lo necesario.
te su parte. La conexión entre distintas partes de las matemáticas escolares que habitualmente se ense'ñan por separado también ayuda tanto en la motivación como en la construcción de significados. Además, se muestran una matemáticas cercanas a la resolución de situaciones problemáticas (o engañosas) de la vida real, en lJn contexto (los juegos de azar, !a adivinación del futuro) que resulta familiar al alumnaclo y que, al final, resuelve el enigma cre-
tión de la actividad sienta las bases de una comunidad de prácticas (en la que el error incluso es bienvenido) que induce a la construcción negociada de significados; el profesor debe gestionarlo todo (hacerla, a ratos, desde un papel aparentemente secundario) y conseguir que cada elemento apor-
El éxito de una secuencia de actividades en el aul
Conclusiones
sentación, de contenido matemático, de narración de una historia. ponerse en juego conocimientos, habilidades y actitudes, y hacerla teracción con ¡os demás.
marse una opinión para poder explicitar
y culturas:
una relación
pendiente
celona. ICE/Horsori.
Bar-
de pro-
fundizan •. SUMA, 52, pp. 51-61. - (2007): Matemáticas para todos. Enseijar en un aula multicultural.
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personal, prepararse y exponer una argumentación dicha opinión de modo que sea comprendida; y fi-
BISHOP, A.J. (1999): Enculturación
relacionadas con el saber actuar, la movilización de recursos personales para conseguir la realización personal y convertirse en personas responsables, autónomas e integradas socialmente, tal como se desta-
transversales)
Girona
una experiencia
Ilevacla a cabo con un grupo
acadé-
para el aprendizaje
respecto
que agentes mediadores de la trélnsformación, tienen que tomarse en cuenta en el momento de planificar intervenciones que contribuyan a cambiar en lo esencial los modelos pedagógicos y las prácticas en el aula. Las intervenciones aisladas del profesorado son poco eficaces, y en lo posible conviene integrarlas y coordinarléls en estructuras n13Samplias. Aunque en estos momentos todavía es elevado el grado de incertidumbre sobre
Desde fuera de la institución escolar, nos llegan otras miradas indicando la necesidad de adaptar la formación a ¡as nuevas competenci;¡s de la sociedad digital, y de atender el desajuste entre cómo son y cómo se comportan los estudiantes y las aportaciones de lél mayoría de sistemas de enseñanza y aprendizaje élctuales (Kirchner, 2008). Tal como expresa Rojano (2003), las tecnologías de la información y de la comunicación (TIC), en tanto
y mediadores de transformacion
Las TI~ como herramientas
mejorar la autoestima de cada alumno y del grupo en su conjunto a las capacidades intelectuales en el ámbito matemático.
mica, establezco como principal objetivo de la experiencia conseguir un ambiente de participación e interactividad, que facilite el aprendizaje y permita
perderán su sentido en los nuevos contextos. Por las características del grupo y su bajo nivel de motivación
de 4.° curso de enseñanza secundaria obligatoria formaclo por 12 alumnos (3 chicas y 9 chicos). Se trata de la realización de un pequeño proyecto de estadística descriptiva, En mi centro escolar, la formación de este grupo al inicio del segundo ciclo de la ESO se hizo con la pretensión de ciar respuesta educativa a la diversidad de niveles y a la capacidad de aprendizaje del alumnado de esta etapa, Personalmente considero que esta estrategia selectiva de agrupamiento obedece a una visión estática de las caracteristicas individuales y no comparto la idea de que resulte la ¡-nás beneficiosa para el alumnado. Los modelos escolares deberán adaptarse a los cambios que se están produciendo en las formas de comunicación y distribución de la información, y posiblemente las estrategias selectivas que todavía se aplican
En este escrito, presento
lES Montilivi.
Pili Royo
,Un proyecto de participación matemática con tecnoiogía
que apoyen
procesos de autonomia
e ini-
y responsables.
Está ampliamente aceptado que los temas de estadística y azar acostumbran a quedar relegados en el currículo escolar. Sin embargo, la importancia de la educación estadística para los ciudadanos de la sociedad actual es indiscutible, por su influencia en la interpretación de informaciones de tipo económico, social y político y en la correspondiente toma de decisiones. El análísis exploratorio de datos ofrece numerosas posibilidades de aprendizaje en contexto, de interés para los alumnos, de globalización y conexión con otras materias y de uso de las TIC, que a lo largo de todo ei
La estadística como contexto de reflexión para la contextualizacián
solidarias
Competencia social y ciudadana: Aprender a interpretar informaciones y a tomar decisiones a partir de ellas, actuando con criterio propio y contribuyendo a la construcción de actitudes constructivas,
bilidades y compromisos ciativa personal.
comportamiento de una población; seleccionar y utilizar métodos estadísticos apropiados para analizar datos; analizar, interpretar y expresar con claridad y precisión las informaciones, datos y conclusiones del trabajo realizado. Competencia de aprender a aprender: cooperar y adquirir responsa-
oralmente y por escrito las diferentes fases del proceso de realización del trabajo; expresar con claridad y precisión las informaciones, datos y conclusiones del trabajo realizado. Competencia digital: recoger, organizar, depurar, almacenar, representar y analizar sistemas de datos sencillos; uso de la hoja de cálculo y de un entorno virtual. Competencia matemática: reconocer y valorar la utilidad dellenguaje gráfico y estadístico para resolver problemas científicos y de la vicia cotidiana; formular preguntas abordables con datos; planificar y realizar la recogida de datos; formular conjeturas sobre el
un proyecto de estadística descriptiva sobre la base del trabajo de las siguientes competencias: Competencia comunicativa lingüística y audiovisual: comunicar
la capacidad del propio sistema para encontrar y llevar a cabo los procesos adecuados, el enfoque competencial favorece esta integración y exige la necesaria coordinación. De acuerdo con este enfoque, planteo el desarrollo de
I
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por medio del uso de un entorno virtual
Teniendo en cuenta los aprendizajes realizados según datos recogidos previamente con el mismo grupo clase, organizo los temas de los proyectos a partir de temas de interés para el grupo. Para la organización, utilizo la plataforma virtual Moodle que permite depurar, almacenar, comunicar y representar datos, guardar y compartir archivos, y analizar sistemas sencillos de datos. En otras ocasiones se ha usado el Moodle para trabajar competencias digitales en entornas virtuales. El uso de las TIC es frecuente en situaciones donde el profesorado del centro entiende que este recurso puede aportar una mayor calidad en la exposición de la materia, Y mostrar procesos dinámicos que de otro modo serían difícilmente explicables (Fortuny, 2007). como ocurre con la geometría y el programa Geogebra. Aunque en ocasiones la resolución de ejercicios de estadistica puede resultar tediosa por el alto componente de elementos rutinarios, el trabajo por proyectos uti liza ndo datos contextua 1 izados resulta fáci Imente motivador para los alumnos. Como dice Batanero, «no hay que olvidar que la estadística es la ciencia de los datos y los datos no son números, sino nLlmeros en un contexto) (Batanero, 2001, p.149). Por otra parte, la conexión entre estadística Y recursos tecnológicos es especialmente motivadora para los alumnos. No es necesario usar programas complicados; las presentaciones con powerPoint, por ejemplo, son muy recomendables por el elevado rendimiento que se obtiene al usarlas en la interacción con un grupo clase, por el rápido aprendizaje de s.u manejo y por el grado de autonomía que genera respecto al profesor. Este es precisamente uno de los programas que uso en esta experiencia. No espe-
La organización
proceso fomentan la creatividad, favorecen la expresión (Pérez-Gómez, 2005) y propician además un contexto en el que se incrementan las posibilidades de ajustar la ayuda a los estudiantes. Por otra parte, el análisis exploratorio de datos no requiere conocimientos matemáticos sofisticados que dificulten la realización del trabajo, lo que permite que se halle al alcance de todos los alumnos que inicialmente se sientan motivados por la tarea. Los estudiantes deberán aprender 8 trabajar en grupo y de forma autónoma, a tomar decisiones ... No todos estarán realizando la misma actividad al mismo tiempo, aunque en ocasiones será necesario abordar en grupo cuestiones conjuntas. Hay que planificar el trabajo que se realizará en el aula de informática, las visitas a otras clases para realizar las encuestas, las presentaciones orales ...
en el proceso de representación A continuación, pasamos a la fase de organización, depuración, almacenamiento, representación y análisis de los datos. Los alumnos ya han trabajado con «lápiz y papel» (y calculadora) conceptos básicos y han realizado algunos gráficos. Ahor;¡ se trata de usar el ordenador como instrumento de cálculo y representación gráfica. Se utiliza la hoja de cálculo Excel,
Los instrumentos de datos
Tras explicar el proyecto de trabajo, constituir los grupos, comentar posibilidades y decidir los temas, los alumnos están en disposición de iniciar la fase de recogida de datos. Todos eligen la técnica de la encuesta. Surge el tema de la diferencia entre muestra y población, pero no resulta fácil realizar un tratamiento riguroso de estos conceptos y nos limitamos a que' cada grupo elija la población a la que pasará la encuesta. La elección recae sobre determinados grupos de primer ciclo de ESOdel instituto. Durante esta fase hay una tüma de conciencia de la importancia de la fiabilidad de los datos y de la claridad de las preguntas, así como de la necesidad de categorizar las respuestas. A iniciativa de algunos alumnos, surge el debate sobre la conveniencia de la privacidad de las respuestas. En este momento, a diferencia de lo que los estudiantes esperan en la clase de matemáticas, se discute hasta qué punto ciertas cuestiones en estadística son opinables. Procuro no interferir en las decisiones que se toman, por lo que limito mis intervenciones a cuestionar la claridad yexpresión de las preguntas de la encuesta, a la espera de que más adelante ellos mismos se den cuenta de estas dificultades. Entiendo, además, que el descubrimiento del carácter opinable de algunos aspectos de las matemáticas, y en particular de la estadística, es ur. aprendizaje crucial que debo tratar, controlando en lo posible el riesgo de que los estudiantes malinterpreten esta indeterminación. Los fragmentos de la imagen 1 (véase la página siguiente) muestran 18 motivación derivada de la posibilidad de tratar con datos reales recogidos por los alumnos.
La toma de decisiones en los procesos de recogida y análisis de datos
ro que el manejo del PowerPoint entusiasme a todos los alumnos por igual ni que contribuya a resolver su ubicación en el grupo de ((atención a la diversidad», pero pienso que es una manera válida de introducir maneras de enseñar más interactivas.
1.
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Encuesta 3° ESO B 1. Edad ii15!! 2. Sexo O = chico 1 = chica 3. ¿Qué quieres hacer después de la ESO? 1 = Bachillerato, 2 = CFGM, 3 = Trabajar
w..;.<"
alcanzaron
una calidad
suficientemente
satisfactoria
como para que los pro-
sin modificar las tablas elaboradas por los alumnos. No se incluyen todos los informes ni las presentaciones realizadas por los estudiantes. Lo presentado no corresponde al ((mejor)) trabajo Todos ellos
porte.
do muchas cosas, por ejemplo la estadística de los periódicos)) Recoger las conclusiones de los datos analizados en un informe final supone un nuevo trabajo de síntesis y reflexión, de expresión en un lenguaje adecuado. Estos informes se presentan a la redacción de L'Esquitx, la revista del instituto, que acepta dos de los informes y rechaZa otros dos por falta de espacio. En la imagen 2 se reproduce parte de un informe sobre el tema del de-
No se alcanza un grado elevado de profundidad en el significado de los parámetros estadísticos utilizados, pero se comprenden los conceptos más básicos utilizados cotidiana mente en los medios de información ciudadana, tal como muestran los comentarios de algunos alumnos: «Ahora ya sé qué es la moda, mediana, frecuencia absoluta, los gráficos ...)), «He aprendido a hacer gráficos y las frecuencias relativas y absolutas y la moda)), «Hemos aprendi-
datos. No se profundiza, sin embargo, en los datos obtenidos en las tablas de contingencia. Por la evolución del trabajo, de momento parece conveniente no insistir en ello, así pues queda pospuesto para mejor oportunidad.
datos. En general, 105 estudiantes valoran positivamente el uso del programa Excel ya que le atribuyen una organización más ágil y (
para evitar pasar el tiempo realizando cálculos. El objetivo es dar prioridad a las actividades interpretativas y de resolución de los problemas planteados, después de haber enfatizado la planificación previa del análisis de
A.- PS
Documentos en torno a las encuestas
Encuesta 1. Curso 3° 2. Edad 14 3. Sexo F 4. ¿Cuál es tu materia favorita? Patio 5. ¿Te gustaría hacer alguna asignatura que ahora mismo no existe? Sí ¿Cuál? Relax
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absoluto
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Re!). relativa
información.
petencia
comunicativa
lingüística
y audiovisual
y del tratamiento
de la
conceptos, técnicas y aplicaciones de la estadística, además de otros aspectos totalmente integrados en la misma actividad y relacionados con la com-
pios alumnos fuesen conscientes de la evidencia de los aprendizajes que habían realizado respecto al uso de lenguaje gráfico y estadístico; análisis de tratamiento de datos a partir de la formulación de preguntas y conjeturas;
Análisis de los datos obtenidos Pensábamosque en la pregunta sobre el deporte que gusta más saldrían el básquet y el fútbol, pero ha salido el tenis, no hacer nada y luego el fútbol. • Ninguna chica juega a fútbol, pero a una le gustaría. Hemos visto que hay 2 chicos y 3 chicas que no practican deporte. A dos les gustaría hacer básquet, a otro jugar a fútbol, y el último prefiere no hacer nada. • Hemos hecho una encuesta demasiado larga y no hemos analizado todos los datos. No hemos previsto que a lo mejor alguien hace deporte y preferiría no hacerlo. Por eso no hemos incluido esta pregunta.
Población:
los 27 alumnos de l° ESO 8 del lES Montilivi Rtcogida de datos: Hemos ido a 3.° ESO para recoger datos. las preguntas escritas en la encuestZl eran: J. ¿Que curso haces? 2. ¿Que edad tienes? 3. ¿Eres chico o chica? 4. ¿Que deporte te gusta y no haces? ¿Querrías hacerla? ¿Por que? 5. ¿Practicas algún deporte? ¿Cual?
Estudio sobre "El deporte qUf.: te gustaria practicar ptro que no practicas, y el deporte que practicas" en un grupo de 3.° de ESOdel instituto.
fase consiste en preparar
la siguiente
Tras redactar
una pre-
de aprendizajes
que haya pocas respuestas
del tipo ((educación
física)). Los
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de los datos presentados.
en la calidad del trabajo.
como comenta
una alumna
en el texto siguiente:
En la segunda sesión víene un amigo, antiguo profesor del centro yactual profesor de estadística en la Universidad Politécnica d~ Girona. Como agente externo y experto en el tema, sus comentarios refuerzan la confianza
1. Diseño de las diapositivas. 2. Contenido: rigor y tratamiento 3. Exposición oral.
Las presentaciones orales se distribuyen en dos sesiones. Los alumnos evalúan las presentaciones, las suyas y las de los otros, de acuerdo con tres criterios:
I
usado:
datos convincentes
finales presentar
sobre la consecución
de los ob-
que requieren
el trabajo
en equipo
de aprendizaje
y
Según Coll (2007). di-
Por otra parte, creo que este tipo cuando se integra en proyectos del profesorado.
su adaptación a diferentes estilos y ritmos. de actividades cobra auténtico significado
señanclo matemáticas cuando éstas no se aprenden. Las TIC han contribuiclo a enriquer.er las posibilidades
nos en el aula de matemáticas, la verbalización del conocimiento matemático, el intercambio de ideas por medio cle la dinamización de formas de participación horizontal y, sobre todo, la convicción de que no se están en-
puestas formuladas por los alumnos. En la descripción del proyecto para el trabajo de estadística descriptiva he mencionado algunas de las estrategias en las que creo firmemente: la introducción de las experiencias de los alum-
del encanto y del desencanto de nuestro trabajo como profesores reside en la incf'rtidumbre de los resultCldos. En cualquier caso, sí tengo evidencias del uso adecuado de conocimiento matemático en una situación de a¡'Hendizaje construida colectivamente, principalmente por las preguntas y las res-
jetivos de mejora de la autoestima de los estudiantes, aparte de algunas observaciones y actitudes que personalmente me resultan significativas. Parte
Es dificil
Reflexiones
tar lo esperado.
tipo (trabajan), formularon la pregunta de su grupo convencidos de que no estaban resolviendo un probl¡>ma porque ya conocían la respuesta de antemano. Una competencia matemática consiste en ser capaces de formular conjeturas sobre el comportamiento de una población y mantener el carácter de conjetura hasta que no se disponga de datos que permitan contras-
del programa
posibilidades
de com-
gráficas, que ayuda a mejorar la expresión oral de la comunicación. A continuación se recoge la valoración positiva de una alumna sobre las
con el desarrollo
petencias matemáticas a! interpretar resultados inesperados. Por ej~mplo, los alumnos que creían que después de la ESO habría respuestas masiv~s del
diversos aspectos relacionados
posteriores. Hay, también,
resultados inesperados llevan a un debate sobre los juicios basados en creencias previas que acaban no ajustándose a la realidad. Reflexionar sobre ello constituye una buena base para los aprendizajes y toma de decisiones
bién sorprende
A partir de los datos analizados surgen cuestiones relacionadas con las previsiones anteriores a la recogida de datos. Sobre el tema ((Después de la ESO, ¿qué?)), los alumnos dicen estar sorprendidos de que haya tantas respuestas para ((bachillerato)). Sobre el tema ((Materia escolar preferida)), tam-
taciones, resulta eficaz por el rápido aprendizaje de su manejo y por el grado de autonomía que genera durante la preparación de la presentación. Además, el uso de las diferentes herramientas proporcionadas por el ordenador permite realizar una presentación escrita ordenada, con correcciones orto-
sentación oral con el soporte visual del programa PowerPoint, con el fin de favorecer el desarrollo de competencias comunicativas, lingüísticas y audiovisuales. Difícilmente puede darse por realizado un aprendizaje hasta que éste no se comunica. El programa PowerPoint que se utiliza en las presen-
el informe,
en la comunicación
Las presentaciones
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1
bibliogr_á_fi_ca_s
_
Santillana
de la
1_8_6
mericana de Educación, 33.
FORTUNY,J.M. (2007): «Tecnologia i educació matematica». Escala Catalana, 442, pp. 8-10. KIRCHNER, X. (2008): (Entrevista». Revista Learning Review (España). PÉREZ-GÓMEZ, A. (2005): «las nuevas tecnologías como metodo didáctico: experiencias prácticas», en DE VICENTE, F. (eel.): El profesorado y los retos del sistema educativo actual. Madrid. Publicaciones MEC. ROJANO, T. (2003): (
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Referencias
versos estuclios muestran que la capacidad efectiva cle las TIC para transformar las dinámicas de trabajo de profesores y estudiantes en los centros y los procesos de enseñanza y aprendizaje en las aulas está, en general, muy por debajo del potencial transformador e innovador que habitualmente se les atribuye; este autor señala como determinantes de la mayor o menor capacidad transformadora e innovadora el contexto de uso, las finalidades que se persiguen con su incorporación, y los usos efectivos que de ellas hacen los profesores y alumnos en los centros y en las aulas. los retos sociales actuales y del sistema educativo en particular representan una oportunidad para la reflexión sobre nuestra implicación profesional y personal; ambas, reflexión e implicación, son condiciones de mejora de la educación. Iljél
ri a
en la clase de matemáticas
contribuyeron
al desarrollo
y son también
miembros del Grupo EMAC.
Joan Caries Franquet, Raquel Figueras y Antonio de la experiencia,
• Francesca Blázquez. Anna Darnaculleta,
Miguel
Una finalidad de la educación matemática es consolidar en todos los alu~nos la habilidad de pensar matemáticamente. En la actualidad, se trata de ayudar a pensar matemáticamente en la creciente diversidad de situaciones en las que se encuentra el alumnado. Tal como señala Marchesi (2004), ésta es precisamente una de las mayores dificultades del profesorado: enseñar en la diversidad y gestionar el aula para favorecer el aprendizaje en estas condiciones. Desde el Grupo EMAC (Educación Matemática Crítica) pretendemos contribuir a promover el papel de la conversación y de las preguntas en el aula de matemáticas de secundaria como un método eficaz de atención a la diversidad y de fortalecimiento de estrategias en este sentido. En nuestra opinión, las conversaciones generadas en torno a la resolución de una actividad son un momento clave en las secuencias de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas. No tiene sentido pensar en un alumno sólo como el objeto de la educación matemática. El alumno aprende en su relación con los otros, explicando sus razonamientos y, en general, intercambiando y contrastando ideas por medio de preguntas. En el marco del Grupo, elaboramos actividades que faciiiten el desarrollo de habilidades de pensamiento crítico y de comunicación en torno a conocimientos matemáticos. El proceso de diseño de actividades es lento porque obliga a una reflexión sobre el currículo y pide tener claro qué son las matemáticas. Este proceso requiere la experimentación de las actIvIdades, el análisis de dinámicas adecuadas para su gestión y una reflexión posterior individual y colectiva sobre las actuaciones llevadas a cabo. En esta ocasión resumimos la experimentación de una actividad a partir de la cual planteamos el trabajo de cinco habilidades de pensamiento crítico: Diferenciar la información relevante de la irrelevante. • Plantear hipótesis de trabajo y conjeturas.
Núria Iranzo y Núria Planas Grupo Educación Matemática Critica" (Associació de Mestres de Rosa Sensat)
de secur
Las preguntas
Una compañia de refrescos saca al mercado un nuevo formato de las latas de 33cl. Averigua los motivos para el nuevo formato.
En textos anteriores (Grupo EMAC, 2006, 2007 Y 2008, en prensa) hemos hablado de matemáticas en relación con los peligros para la sostenibilidad urbanística de un pueblo, los significados de los productos light o con la interpretación de representaciones a escala de pisos. Unos y otros temas sitúan la práctica matemática en contextos reales y destacan problemáticas que requieren marcos interpretativos de los mundos físicos y sociales. Se trata de problemáticas que admiten el desarrollo de procesos de personalización, que son en si mismos puntos de partida y soporte para la implicación del alumnado y para el desarrullo de nuevas formas de relación con la matemática. Ahora, comentamos una actividad que hemos experimentado con éxito en cuatro aulas de enseñanza secundaria obligatoria de los centros lES Gelida (Gelida, 3.° de ESO),lES Ramon Casasi Carbó (Palau-solita i Plegamans, 4.° de ESO), Escala Montessori Palau (Girona, 3.° de ESO) y Escala Voramar (Barcelona, 4.° de ESO). Todas ellas son aulas con gran diversidad de alumnado, donde muchos de los alumnos se consideran a si mismos como malos en matemáticas y muestran un escaso interés por esta materia. El enunci;)do de la tarea, ideada por los profesores Anna Darnaculleta, Raquel Figueras y Antonio Miguel, es el siguiente:
Sobre la experiencia
Otra de las tareas del Grupo EMAC es la progresiva identificación y definición de habilidades de pensamiento critico que sirvan para evaluar la calidad del pensamiento matemático del alumnado, tanto en su expresión oral como en su expresión escrita.
Desarrollar estrategias de aproximación y de resolución. Ar:,:" ~"'1tar las estrategias usadas. Valorar alternativas en la interpretación de un texto.
En las cuatro clases se empieza buscando diferencias entre los envases. Los alumnos prestan atención al texto y a la configuración de los recipien-
Algunas buenas preguntas
La situación matemática permite que diferentes alumnos resuelvan ia actividad de formas diferentes. El proceso de personalización viene garantizado por tratarse de un refresco popular, asociado a una multinacional de gran influencia. El pensamiento crítico requiere decidir cómo se organiza el proceso de resolución, teniendo en cuenta la información visual y verbal del enuncíado, las experiencias de los alumnos y, sobre todo, las normas rle actu;¡ción en el aula de matemáticas cuando se plantea una actividad distinta a ¡as habituales. Conviene estimular a los alumnos a que formulen preguntas para que clarifiquen el sentido del enunciado. Muchos alumnos tienen dificultades cuando intentan formular una cuestión. En lo que sigue, resumimos algunos de los razonamientos que se expresaron en las aulas y hacemos notar preguntas de los alumnos que facilitaron el desarrollo de estos razonamientos.
Es un enunciado corto con un alto componente de visualización al referirse a la comparación de dos figuras con volumen. Los alumnos conocen el refresco, y el material de aula que se necesita es de fácil obtención. La presencia de los envases en el aula ha de reforzar la motivación, además de facilitar el trabajo del volumen y su relación con otras magnitudes. Se espera de los alumnos que tengan curiosidad por saber las causas del nuevo formato y que manipulen y experimenten con el material. Para potenciar la participación y facilitar el registro de la experiencia, se unifican criterios de actuación: Iniciar la actividad dando una hoja con el enunciado y dos envases a cada grupo. Pedir que las discusiones y decisiones dentro del grupo se recojan en el papel.'. Dejar que los alumnos salgan del aula, si lo desean, para llevar a cabo acciones de tipo experimental. Mantenerse en lo posible al margen del trabajo de los grupos. Hacer una puesta en común después de la fase de trabajo en pequeños grupos. Escribir las ideas principales de cada grupo en la pizarra. Tener constancia escrita ue la lluvia de ideas desarrollada en la puesta en común.
Otros motivos no llevan a discusiones matemáticas, aunque son el punto de partida de muchas participaciones: «El nuevo envase es más cómodo de transportan), «El formato alargado hace la competencia a otros refrescos ya existentes en el mercado», «La novedad del formato es una estrategia para aumentar el precio)), liLas latas alargadas proceden de un stock antiguo que ahora se saca al mercado)), I
tesoA pesar de tener claro que no se les pide la redacción de una lista de diferencias, algunos hacen listas de este tipo ((La lata típica es de importación y la otra no», «En la nueva lata han eliminado la promoción de regalos», «Los años de fabricación son diferentes», «La lata alargada no lleva código de barras», etc.). En ciertos casos, la identificación de diferencias lleva a establecer hipótesis sobre los temas que explorar. Por ejemplo, la falta de código de barras hace que algunos alumnos relacionen la introducción de un nuevo envase con las formas de distribución de la bebida, o bien, los años de fabricación hacen pensar en latas asociadas a dos stocks de mercado. Finalmente, se inician discusiones matemáticas interesantes donde encontramos cuatro motivos de aparición frecuente: La empresa quiere hacernos consumir más. Los publicistas han introducido un diseño más atíactivo. Los contables quieren ahorrar dinero con el material. Los contables quieren ahorrar dinero con la bebida.
En general, encontramos tres tipos de preguntas formuladas por,los alumnos. El tipo al que corresponde cada pregunta no puede inferirse únicamente de la lectura de su enunciado, puesto que hay que tener en cuenta el contexto discursivo en el que surge. Un primer tipo son las preguntas dirigidas al profesor, cuya respuesta da pie a que éste retome una explicación interrumpida o inacabada; en este tipo, separamos las preguntas de demanda de información concreta de aquellas que indagan en procesos de pensamiento del profesor. Un segundo tipo incluye preguntas formuladas por un alumno en voz alta y que rápidamente se contesta él mismo. El tercer tipo se refiere a preguntas planteadas en los grupos de trabajo, donde un alumno utiliza una pregunta para ayudar a un compañero del grupo, introduciendo palabras clave o pistas en su enunciado. Si a los tipos anteriores, añadimos los tipos de preguntas usados por los profesores, que fueron identificados en un estudio anterior (Planas, 2005), tenemos cinco tipos más. En el cuadro 1 resumimos, desde la perspectiva de su función didáctica, los tipos identificados, destacando quién formula la pregunta y a quién va dirigida. No hemos incluido un tipo específico para las preguntas que tienen por objeto desvalorizar las intervenciones del profesor o de algunos alumnos, porque muchos de los ejemplos encontrados para ilustrar los tipos anteriores contienen elementos de desvalorización. Cuando los alumnos demandan .más información al profesor, por ejemplo, a menudo reprochan que cierta información no se haya dado de antemano y, por tanto, de algún modo desvalorizan las intervenciones previas del profesor. Por otra parte, resulta interesante notar que muchas de las preguntas estudiadas en las aulas corresponden a momentos de reflexión en voz alta de quien las hace y que, paradójicamente, no se formulan esperando que otra persona las responda.
Son también interesantes algunas de las cuestiones que surgen al final de la sesión: ¿Cómo sabremos si los motivos que decidamos son los de la empresa? ¿Podriamos descubrir los motivos sin tener los envases delante, sólo con una fotografía de éstos tomada desde cualquier perspectiva? ¿Hubiera bastado únicamente con mirar los envases, sin hacer nada con ellos? ¿Por qué no hemos pensado directamente en cilindros con medidas distintas?
• De construcción de significados compartidos con los alumnos. • De acompañamiento de procesos de reflexión individual en voz alta. De acompañamiento de procesos de reflexión de un alumno De exploración de conocimientos de los alumnos. • De evaluación de conocimientos de los alumnos.
En este apartado, resumimos algunas de las ideas principales desarrolladas por alumnos de las distintas clases, como muestra de su implicación en la tarea. La mayoria de intervenciones surgen de la formulación de preguntas del profesor, de ellos mismos o de otros alumnos. En algunos casos, las preguntas de los ;,¡lumnos interfieren en el discurso del profesor hasta el punto de hacer que éste cambie la orientación de sus aportaciones y acceda a debatir temas no introducidos por él. Así ocurre en el proceso de desarrollo de cuatro aproximaciones al problema. Las resumimos junto con una de las preguntas que las inician. Escogemos preguntas formuladas por alumnos en los gi'UpOS de trabajo; todas ellas se refieren a la construcción de significados compartidos, tal y como mostramos a continuación. ¿Hay que fijarse en la forma de la lata o en su contenido? Algunos alumnos consideran que la empresa quicre hacernos consumii' más. Estos alumnos relacionan la creación del nuevo modelo con la intención de provocar un consumo más rápido (<
Desarrollo de las ideas principales
De demanda de información al profesor, a Internet, etc. De construcción de significados compartidos con el profesor y con otros alumnos. • De acompañamiento de proceso~ de reflexión individual en voz alta.
¿Cómo puede comprobarse la calidad del material de fabricación? Ciertos grupos de alumnos toman como hipótesis inicial que los contables quieren ahorrar clinero con el material. Estos grupos mencionan la calidad del material (<
Otros alumnos relacionan estrictamente el nuevo formato con el hecho de sacar al mercado un diseño más atractivo para los consumidores ((!Sirve para obtener popularidad))). Las latas más alargadas se asocian a la intención de aumentar el nlimero de ventas y no se considera el posible ahorro de m;:¡terial o bebida. Se convence a muchos alumnos de que se trata de una cuestión de preferencias del consumidor (((Gusta más el que tiene mejor estética))). pero se decide que la opinión de un grupo clase no es lo bastante representativa al ser una muestra pequeña con alumnos de una misma edad. En dos aulas surge la necesidad de organizar una pequeña encuesta (<<¿Quélata te gusta más?).). La iniciativa de salir del aula para hacer encuestas apunta al establecimiento de conexiones entre diferentes bloques curriculares en un contexto donde las profesoras no esperan la aparición de contenidos estadísticos. Algunos alumnos visitan las clases de 1.° y 4.0 de ESO y dicen sentirse aliviados por haber conseguido relacionar el problema con algunos temas del libro de matemáticas. En algunos casos, las respuestas de otros alumnos llevan a replantear el formato de respuestas múltiples de la encuesta, que ha sido elaborada sin íntroducir todas las opciones posibles.
¿Por qué damos por supuesto que los motivos tienen que ver con las, matemáticas?
Algunos alumnos llenan las dos latas con agua y las colocan inclinadas sobre un mármol del lavabo. Tienen dificultades al querer garantizar la misma inclinación en las dos latas, la misma cantidad de agua y tiempo de inicio en el vaciado. No saben hasta qué punto pequeñas variaciones en la inclinación, el tiempo y la cantidad de agua pueden alterar los resultados e invalidar la prueba. Algunas reflexiones acerca de las conexiones entre matemáticas y ciencias (<
¿Cuál es la diferencia en las capacidades de los envases? Finalmente, hay alumnos que suponen que los contables quieren ahorrar dinero con la bebida. Estos alumnos basan sus argumentaciones en el ahorro de dinero ((Cambiar el formato de la lata implica cambiar las máquinas dispensadoras. O les gusta gastar dinero o acabarán ahorrando con las nuevas latas»). Comparan los pesos de las latas vacias con las latas llenas de agua y piensan que el hecho de pesar menos en ambos casos confirma el coste menor de la nueva lata para la empresa. Estos argumentos llevan a discuti¡' diferencias en la capacidad de las latas. Al descubrir pesos distintos con latas llenas, se infiere que estos pesos pueden ser indicadores de menor cantidad de aluminio y de menor capacidad ((Tal vez la fabricación sale m~s rentable porque tiene menos material y cabe menos bebida»). Las primeras sospechas sobre diferencias en la capacidCld se ven reforzadas por el uso de unidades de medida distintas según los envases: 330 mililitros en uno y 33 centilitros en el otro. Esta diferencia lleva a pensar en una estrategia de la empresa para confundir al consumídor, tras
que la empresa puede tener un motivo económico. Algunos grupos piden una balanza para comparar pesos (<
En cuanto a la actividad creada, somos conscientes de que el uso de envases es un recurso bastante popular en el aula de matemáticas, que ha déldo lugar a otras actividades. El profesor David Barba, en su curso de didáctica
Hemos visto distintos tipos de preguntas y hemos detallado el desarrollo de razonamientos matemáticos a raíz de preguntas de construcción de significados compartidos. En nuestra opinión, de todos los tipos compilados en el cuadro 1, serán buenas preguntas aquellas que permitan avanzar en algunas de !as cinco habilidades principales de pensamiento critico que hemos mencionado en la introducción: 1. Diferenciar la información relevante de la irrelevante. 2. Plantear hipótesis de trabajo y conjeturas. 3. Desarrollar estrategias de aproximación y de resolución. 4. Argumentar las estrategias usadas. 5. Valorar alternativas en la interpretación de un texto.
Reflexión final
la conversión de unas unidades a otras y un mejor estudio de las capacidades. Por otra parte, aunque la experimentación con "',.,,,~ tendría que bastar, hay alumnos que piden abrir latas para practicar los trasvases con su contenido real y comprobar la altura del contenido en cada envase. En todas estas aproximaciones al problema, se trabajan de forma integrada las habilidades de pensamiento crítico mencionadas en la introducción. El trabajo de estas habilidades facilita el desarrollo de las siguientes com petencias matemáticas: Capacidad para manifestar la perspectiva personal por medio de la argumentación, en un ambiente de aula donde se están expresando otras perspectivas basadas en decisiones de grupo no siempre .fundamentadas., Capacidad para comprender que otras personas pueden tener una manera distinta de aproximar una tarea matemática pero igualmente válida. Capacidad para identificar las maneras más adecuadas y eficaces de resolución de una tarea matemática en función de los recursos disponibles y del contexto sugerido por el enunciado de la propia tarea. CapClcidad para reconocer cuándo la construcción activa del conocimiento matemático requiere la inclusión de conocimientos de otras áreas.
bibliográficas-----_._------------
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Referencias
de la matemática para maestros, a menudo propone el diseño y la construcción de formas diferentes de latas con la condición de mantener la capacidad de 33 cl y justificar las ventajas de la nueva forma. La imagen muestra diseños de alumnos. En la puesta en común, los grupos explican la forma escogida y argumentan su utilidad. Se confía en que los alumnos sean capaces de generar argumentos para respaldar sus ideas y de cooperar para el logro de un objetivo común (una lata de refresco con forma de cono para que pueda clavarse fácilmente en la arena de una playa, otra con forma de pirámide con base cuadrada para que tenga un buen soporte, otra con forma de icosaedro para simular el lanzamiento de una pelota, etc.). Para el buen desarrollo de esta actividad, también es necesario el uso de buenas preguntas, las que apelan a relaciones y argumentaciones, que a menudo aparecen cuando el profesor es capaz de pautar de formas más flexibles la estructura de participación en el aula.
El estudio de las cónicas se incluye en el programa de matemáticas del primer curso de bachillerato de la modalidad de ciencias y tecnología. Con frecuencia, al hablar de cónicas, se piensa directamente en sus expresiones analíticas y en las propiedades que se deducen
Anton Aubanell lES Sa Palomera. Blanes (Girona)
Estudio de cónicas a través de actividades manipulativas
Una primera actividad experimental para introducir las cónicas consiste en visualizarlas como secciones de un cono completo de manera que, según la inclinación del plano de corte y dejando aparte algunos casos especiales, obtenemos elipses, parábolas o hipérboias. En el mercado existen modelos muy vistosos que ilustran estas secciones. Sin embargo, no es dificil construirlas cortando (con una cuchilla bien afilada o con una sierra térmica) conos de porexpan que se venden con fines decorativos. Antes de hacer los cortes convendrá unir por el vértice dos de estos conos mediante una aguja situada en el eje central. Otra bonita opción consiste en usar un cono completo de material transparente medio lleno de líquido coloreado de manera que, al cambiar su inclinación, la superficie del líquido vaya adoptando las formas de las diversas cónicas. Con alguna limitación, podremos hacer una actividad parecida usando erlenmeyers del laboratorio. Un recurso muy original para descubrir ramas de hipérbola es un lápiz de los que tienen el contorno en forma de prisma (por ejemplo, los típicos con caras amarillas y negras). Al hacerle punta obtenemos un cono que queda cortado por los planos de las caras, dando lugar a unas curvas que son ramas de hipérbola. (Véase imagen 1.) Con frecuencia introducimos las cónicas Imagen 1. Obtención de a partir de estas secciones (io cual nos permiramasde hipérbola te justificar la denominación común de esta familia de curvas) y luego, para obtener las expresiones analíticas, partimos directamente de sus definiciones como lugares geométricos. Da la sensación que, entre el planteamiento a partir de secciones y el planteamiento a partir
Las cónicas como secciones del cono
especiales, tienen abundantes aplicaciones en la vida cotidiana y existen bonitas experiencias manipulativas que resultan motivadoras para los alumnos. A continuación presentaremos algunas de estas experiencias que, con alumnos de primer curso de bachillerato, podrían realizarse en unas tres horas de clase. Clasificamos las actividades en cinco grupos: las cónicas como secciones del cono; construcciones de cónicas con regla, escuadra y cordel; construcción de elipses e hipérbolas en el patio; actividades en torno a las propiedades focales de la elipse y de la parábola; y las cónicas como envolventes de famiiiCls de rectas.
de cónicas con regla, escuadra y cordel
trozo de cordel lo bastante largo atado en circulo y tensado de manera que los dos focos queden unidos por un tramo de cordel que, naturalmente, será de longitud fija. (Véase imagen 2.) Para la construcción de la hipérbola necesitaremos una superficie con dos clavos en los punto F y F', que serán los focos, y una regla que tenga un trozo de cordel atado a uno de sus extremos y un agujero en el otro. Haremos un pequeño lazo en el extremo libre del cordel. Colocamos este lazo en el clavo situado en F' y el agujero de la regla en el clavo situado en F. Tomamos un rotulador y tensamos el cordel de manera que siempre esté en contacto con la regla. (Véase imagen 3.) Al mover el rotulador manteniendo el contacto con la regla y el cordel tensado se irá trazando una rama de hipérbola. Para dibujar la otra rama repetiremos la misma opera-
Los tres métodos de construcción que propondremos, uno para la elipse, otro para la hipérhola y otro para la parábola, tienen en común el hecho de ilustrar muy bien la propiedad característica de cada lugar geométrico. . La construcción de la elipse puede hacerse con el bien conocido n:¡étodo del jardinero: disponemos de una superficie con dos clavos situados en los puntos Fy F' (que serán los focos) y un trozo de cordel de longitud mayor que la distancia entre los focos, cada uno de cuyos extremos uniremos a uno de los clavos. Con un rotulador tensamos el cordel y, al desplazarlo, iremos trazando la elipse. Naturalmente la suma de distancias desde cada uno de los puntos obtenidos a los focos es constante e igual a la longitud total del cordel. Podemos emplear cordeles de diferentes longitudes y observar como va variando la excentricidad de la elipse resultante. Resulta más cómodo (pero quizá menos ilustrativo) emplear un Imagen 2. Construcciónde una elipse
Construcciones
de su propiedad característica como lugar geométrico, existe un paso delicado al cual no se suele prestar mucha atención en clase. Este eslabón perdido es el llamado teorema de Donde/in que, de una manera muy visual e intuitíva pero algo compleja de imaginar sin un modelo tangible, permite enlazar ambos planteamientos.
Jla utilizaremos una superficie con un foco (F), una regla que señalará la die cordel cuya longitud coincida con la caremos un papel sobre la superficie y de la construcción tal como se muesextremo del cordel se fijorá en el vér. Colocaremos el rotulador de manera
es.
; focos, en valor absoluto, es constanregla menos la longitud del cordel es es AP+PF (véase la imagen 3) y la lonpodremos escribir: (AP+PF) - (AP+PF') s que PF - PF' = constante. Para la otra I diferencia al revés pero la condición efinición hace que el orden resulte in~ la constante que define la hipérbola I regla y la del cordel que se puede vilél distancia entrc los vértices de la hidistintas longitudes se obtendrán
de cada uno de los dos tramos que concurren en él, su trayectoria seguirá una rama de hipérbola puesto que la diferencia de distancias a los tacos se mantendrá constante. Para asegurar que se recoja la misma cantidad de cordel puede utilizarse una especie de carrete para enrollarlo.
re-
una elipse
Permitasenos empezar este apartado con el recuerdo de uno de los grandes impulsores del uso de materiales manipulativos en la clase de matemáticas: el profesor Puig Adam. En el año 2008 se celebró el cincuentenario de la publicación de un libro suyo que es una referencia en este campo: El material didáctico rJctual, presentado en la XI Reunión de !a Comisión Internacional para el Estudio y la Enseñanza Matemática y en la Exposición Internacional simultánea, en Madrid, en abril de 1957. En este trabajo, Puig Adam recoge aportaciones de grandes personalidades de la didáctica europea ,del siglo pasado y muestra, a través de abundantes imágenes, una gran cantidad de recursos materiales pélra las clases de matemáticas. Como un pequeño homenaje a la obra de Puig Adam, incluiremos tres fotografías contenidas en Puig Adam (1958). Se trata de fotografias que muestran precisamente cómo realizaba construcciones de e hipérbolas en el patio con sus alumnos. Recomendamos, también, la lectura de la Didáctica matemática heurística, del mismo autor, donde se comentan treinta lecciones sobre temas de educación secundaria, que muestran casos concretos de enseñanza de las matemáticas mediante el uso de materiales. La construcción de una elipse por el método de! jardinero ya ha sido descrita y su realización en el patio se ilustra bien en la imagen 5, que hemos querido incluir a pesar de su mala calidad técnica por su innegable valor histórico. Para la construcción de la hipérbola situamos a dos alumnos en los focos y les pedimos que cada uno de ellos sujete uno de los extremos de un largo cordel. Un tercer alumno tensa e! cordel por uno de los puntos intermedios, formando un triángulo con sus compañeros de los focos. Si este alumno se va desplazando de manera que vaya cogiendo la misma cantidad de cordel Imagen 5. Fotografía sobre la construcción de
Construcción de elipses e hipérbolas en el patio
del foco y de la directriz, y observar que la distancia de cualquier punto P al focC' (De) "oincide con la longitud del trozo de cordel que falta en PRo
focales
de familias de rectas
Ésta es una actividad muy sorprendente y de fácil realización. Formamos grupos de tres alumnos y, a cada grupo le proporcionamos tres hojas de papel vegetal, un compás y una regla. En una de las hojas, los alumnos trazarán un círculo grande y, en su interior, escogerán un punto P distinto del centro. En utra hoja, trazarán un círculo pequeño y escogerán un punto P en el exterior. En la tercera hoja, trazarán una recta y escogerán un punto P ex-
Las cónicas como envolventes
Construiremos una elipse y una parábola y las recortaremos sobre una placa de cartón-pluma. En la ranura resultante encajaremos una lámina flexible y alargada de papel de plata duro o papel de estaño. En el caso de la elipse, situando un puntero láser en uno de los focos y haciendo que la luz rebote en el contorno observaremos que el rayo reflejado pasa por el otro foco. Moviendo el punto del contorno sobre el que se refleja el láser se observará que el rayo reflejado continúa pasando por el foco. (Véanse las imágenes 6 y 7.) Puede hacerse un experimento similar con un perfil parabólico proyectando el rayo láser paralelamente al eje de la parábola y observando que, al reflejarse, pasa por el foco. También la hipérbola tiene propiedades focales pero son menos fáciles de mostrar en el aula. Será interesante comentar la aplicación de estas propiedades a la vida cotidiana, como, por ejemplo, en las antenas parabólicas, en los faros parabó!icos o en determinadas construcciones con cúpulas de sección elípticcL
Actividades en torno a las propiedades de la (::;:::~ y de la parábola
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Ref~rencias bibliográficas
terior a ella. Cada componente del Imagen 8. Estudio de las cónicas como grupo tomará una de las hojas y, envolventes con cuidado, doblará el papel de manera que el punto P se superponga a la ci rcu nferencia o a la recta según el caso. Marcará bien la línea de doblado que quedará de un color claro. Esta operación se repetirá muchas veces superponiendo P a distintos puntos de ia circunferencia o de la recta. Así obtendremos familias de rectas-pliegues y observaremos con sorpresa que se irán perfilando cónicas como envolventes d~'estas familias (es decir, curvas tales que en cada punto son tangentes a una recta de la familia). En el caso de la circunferencia con el punto P en su interior se obtendrá una elipse cuyos focos serán P y el centro de la circunferencia. En el caso de la circunferencia con el punto P en el exterior se obtendrá una hipérbola cuyos focos serán el punto P y el centro de la circunferencia. En el caso de la recta obtendremos una parábola con el foco en el punto P y la directriz sobre la recta. (Véase imagen 8.)
La educación ~uperior es un concepto muy amplio que, en este capitulo, miramos prcialmente desde la perspectiva dada por los estudios de formación del profesorado. En primer lugar, discutimos cuáles son algunas de las competencias profesionales necesarias en la formación del profesorado de matemáticas de las distintas etapas escolares, y cómo ha de operativizarse el trabajo de estas competencias, en el aula universitaria o en los cursos y seminarios de formación permanente. A continuación, compilamos cinco experiencias centradas en cuestiones de formación inicial y perm~nente con grupos de estudiantes y profesores de distintos lugares geográficos. Se trata de experiencias que destacan la práctica reflexiva y la reflexión sobre la propia práctica como elementos clave del desarrollo y la capacitación profesional.
~J1atemáticas en la educación superior
4
Para llegar a ser profesor de matemáticas, debe seguirse un proceso de formación donde la docencia recibida es sumamente importante puesto que contribuye a transmitir un modelo pedagógico y didáctico de forma más o menos oculta. Esto no significa que un profesor de matemáticas reproduzca en su práctica docente el modelo de enseñanza con el que ha aprendido en parte el conocimiento disciplinar y el didáctico. La docencia, ya sea en los cursos de formación inicial o en los de formación permanente, tiene qúe ver con la gestión de un programa con contenidos específicos, pero tambié~ ton el asentamiento de una filosofía docente: ¿qué supone enseñar?; ¿qué competencias contribuyen a desarrollar con éxito la tarea de enseñar?; etc. Zabalza (2003) dice de la enseñanza universitaria que es especialmente estratégica ya que, parCl cada época, establece las coordenadas de los modelos de enseñanza iegitimados. Del mismo modo, IClformación permanente del profesorado puede pensarse como estratégica. Aunque no son propiamente los cursos de formación inicial y permanente los que marcan !a calidad de la docencia de los futuros maestros y del profesorado de matemáticas en activo -ni tampoco la calidad de la enseñanza puede entenderse como una cualidad únicamente vinculada a la acción del profesorado de estos cursos-, se trata de cursos estratégicos en tanto que construyen, desde un lugar privilegiado, una representación sobre una enseñanza de las matemáticas de calidad. Durante muchos años han predominado los estudios de la enseñanza de las matemáticas centrados en la escolarización obligatoria y en las edades propias de esta etüpa; se ha dicho que el estudiantf que consigue llegar a etapas posteriores no necesita tanto una enseñanza de calidad porque sus avances dependen más de sus cualidades como estudiante, que supuestamente ha demostrado con éxito, que de los avances de SLiS profesores. En la última década, la creciente atención prestada a la educación matemáticCl de personas adulta~ (Delprato, 2005) ha redirigido el debate sobre estas cuestiones a un público más amplio. La fuerte influencia de las teorías socioculturales del aprendizaje humano en la educación de adultos ha contribuido a la progresiva superación de los mitos que asocian de manera directa las estrategias de enseñanza con las dificultades de aprendizaje. Aun así, en el
El desarrollo de la competencia profesional
Los díscursos sobre la excelencia de la enseñanza, la autonomía del profesorado y la reflexión sobre la práctica profrsional introducen cuestiones de gran importancia, pero, al mismo tiempo, son demasiado generales si queremos considerar el caso del profesorado de matemáticas. El profesorado de matemáticas necesita construir conocimientos especializados, que le sitLlan como un profesional diferenciado de otros profesionales, para poder llevar a cabo buenas prácticas de enseñanza. Llinares y Krainer (2006) ca-
Hemos hablado de competencias en los capítulos anteriores, aunque nos hemos referido a esta noción desde la perspectiva del alumnado y de los contenidos de aprendizaje en el currículo de matemáticas. Ahora nos fijamos en conocimientos y habilidades que el profesorado de matemáticas ha de construir para realizar con éxito y de forma autónoma su actividad docente. La autonomía en el desarrollo de la práctica docente y en la interpretación de la práctica docente de los otros, es una condición de !a competencia profesional. Aunque los conocimientos y habilidades que el profesorado de matemáticas ha de tener se construyen de forma colectiva -en cursos de formación inicial y permanente, por ejemplo-, su puesta en práctica ha de poder realizarse sin recihir instrucciones cuncretas de otros profesionales. La eficacia en e! desarrollo de la práctica profesional ha de relacionarse con la autonomía del profesorado por delante de la capacidad de interpretación de instrucciones, puesto que otros profesionales no tienen el mismo contacto con las características del contexto de enseñanza. En otras palabras, el profesor es un etnógrafo que no puede dejar las decisiones de su enseñanza en manos de otro profesional con otros contextos de referencia.
caso de las matemáticas, los mitos sobre «linicamente enseñar a quien no puede aprender solo)} han seguido vigentes durante mucho tiempo y todavia en la actualidad prevalecen en algunos ámbitos. En este libro, prestar atención a la docencia en la educación superior del profesorado de matemáticas es una manera de insistir en la particularidad del oficio de enseñar matemáticas (Alsina, 2007). Ilustramos la enseñanza de las matemáticas a partir de la selección de buenas prácticas. A pesar de que la identificación y descripción de prácticas no basta para la construcción clara y precisa de una enseñanza de calidad, la familiarización con un conjunto de prácticas es crucial antes de iniciar intentos de teorización que luego reviertan en la mejora de estas prácticas. Teniendo en cuenta una epistemología de la práctica (Burgués y Giménez, 2006), cualquier avance en el desarrollo profesional del profesorado de matemáticas ha de partir de la reflexión sobre las prácticas de uno mismo y las de los otros.
el conocimiento
especializado
del profesorado
de matemáticas
del dominio del currículo
del saber rnatemático y relaciode matemáticas que ha de en-
del saber matemático
con los con-
tro de la matemática.
tenidos rspecíficos del currículo dado. Diferenciar entre los conceptos y estructuras básicas del saber matemático propios de una etapa y aquellos otros complementarios. Organizar conceptos y estructuras básicas en grupos de contenidos desde la perspectiva temporal de la docencia y las conexiones den-
gunas de ellas son: Relacionar la visión de conjunto
Esta competencia profesional ha de ir acompañada de subcompetencias especialmente vinculadas con procesos de transposición did;íctica. Al-
seña r.
capaz de: Seleccionar contenidos narlos con contenidos
El primer conocimiento especializado es el conocimiento de matemáticas que, a su vez, debe ir acompañado de un cierto metaconocimiento sobre las matemáticas. Una competencia profesional crucial del profesora~o de matemáticas es la selección de contenidos de enseñanza, y con ella, l? organización y gestión de la progresión de los aprendizajes matemáticos. Para desarrollar esta competencia debe tenerse un buen conocimiento de matemáticas, a pesar de que el dominio de este saber no garantice por sí 5010 el dominio del saber enseñar matemáticas. Algunas veces, cuando se dice que la educación matemática es Llna disciplina distinta de las matemáticas, se usa esta distinción para justificar la ausencia de un sólido bagaje en el dominio académico del saber matemático. Este bagaje puede adquirirse de formas muy diversas pero, sobre todo, lo importante es que debe adquirirse. No tiene sentido pensar en la transposición didáctica de saberes que no se han adquirido previamente. El profesorado de matemáticas de cualquier etapa educativa, aun cuando sea considerado profesorado genera lista, ha de ser
por medio de los siguientes componentes: Conocimiento de y para las matemáticas. Conocimiento del currículo. Conocimiento de las cogniciones del alumnado. Conocimiento pedagógico específico. Conocimiento acerca de la enseñanza.
racterizan
Hasta el momento, en el contexto español, el conocimiento de matemáticas en el profesorado de las et;¡p
Usar diversos códigos para la representación del lenguaje matemático en función de los requerimientos de los conceptos y estructuras seleccionados. Asociar elementos del saber matemático con elementos de otros saberes académicos dentro y fuera de las matemáticas y del mundo profesional. Discutir la contextualización del saber matemático por medio de situaciones narrativas que introduzcan contextos distintos de transposición did<':ctica. Completar progresivamente contenidos del saber matemático por medio de la atención a contenidos secundarios y de sus formas de representación. Valorar las oportunidades de aprendizaje matemático en función de la selección de contenidos y del establecimiento de conexiones entre ellos.
mente del conocimiento de matemáticas. Para acabar, queremos referirnos al ~onocimiento del currículo en los programas de formación del profesorado y, más en concreto, al conocimiento de su contenido porque creemos que para entender el proceso de enseñanza tenemos que mirar dentro del currículo. El currículo es una creación social, elaborada en un momento histórico bajo la influencia de distintas fuentes ideológicas; esto significa que el currículo puede cambíarse. En nuestras facultades, por ejemplo, hasta ahora a los futuros maestros no se les ha enseñado temas de azar y probabilidad, ni tampoco aspectos didáctico-matemáticos relacionados con estos temas. En nuestro caso, el conocimiento del currículo no incluye la didáctica del azar y de la probabilidad porque históricamente no ha habido profesorado interesado y formado en esta parte de la didáctica de la matemática. A pesar de la inercia dada por el currículo est;¡blecido, en la reformulación de los planes de estudio hemos sido capaces de plantear cambios y superar la omisión de la didáctica del azar y de la probabilidad. Otras omisiones peculiares como la separación entre asignaturas académicas y asignaturas prácticas también se han superado, por lo menos en lo que concierne al currículo escrito en algunos.de los nuevos planes de estudio que hemos podido consultar o en cuya elaboracíón hemos colaborado. La separación entre contenidos teóricos y prácticos del currírulo de di~ dáctica de la matemática, con mayor peso en los primeros, es especialmente sígnificativa, ya que sugiere una enseñanza de las matemáticas de naturaleza teórica, donde se presta más atención «a la cabeza que a las manO$l). La división del currículo de materias de matemáticas en créditos docentes prácticos y teóricos es un recurso para la separación de lo que también puede interpret2rse como unificado. Este tipo de contenidos del currículo favorece ei desarrollo de competencias profesionales de reproducción de contenidos descontextualizados pensados para la transmisión y contenidos contextualizados pensados para el intercambio, que a menudo no llegan a ser institucionalizados ni evaluados. Empezábamos este apartado preguntando qué supone enseñar y qué competencias contribuyen a desarrollar con éxito la tarea de enseñar. Además del conocimiento y la adquisición de las competencias relativas a los cinco componentes del conocimiento profesional señaladas por L1inares y Krainer (2006). pensamos que enseñar supone ser capaz de mirar dentro del currículo de la materia que se enseña, de una forma crítica que permita tomar conciencia de las omisiones y de los cambios necesarios.
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ALSINA, A. (2007): «El aprendizaje reflexivo en la formación permanente del profesorado: un análisis desde la didáctica de la matemática». Educación Matemática, 19(1), pp. 99-126. BURGUÉS,c.; GIMÉNEZ, J. (2006): «Lastrayectorias hipotéticas de formación inicial como instrumento para el análisis del desarrollo profesional: análisis de un caso en la formación de futuros docentes de primaria en matemáticas)), en PENALVA, M.e.; ESCUDERO,l.; BARBA, D. (coords.): Conocimiento, entornas de aprendizaje y tutorización para la formación del profesorado de matemática. Granada. Proyecto Sur. DELPRATO,M.F. (2005): «Educación de adultos: ¿saberes matemáticos previos o saberes previos a los matemáticos?» Revista Latinoamericana de Investigación en Matemática Educativa, 8(2). pp. 129-144. LUNARES, S.; KRAINER, K. (2006): «Mathematic (student) teachers and teacher educators as learnersll, en GUTiÉRREZ,A.; BOERO, P. (coords.): Handbook of Research on the Psychofogy of Mathematics Education. Roterdam. Sense Publishers. PÉREZ-GÓMEZ,R. (coord.) (2001): Construir las matemáticas. Granada. Proyecto Sur. ZABALZA, MA (2003): Competencias docentes del profesorado universitario: calidad y desarrollo profesional. Madrid. Narcea.
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Como en los bloques anteriores, en éste también compilamos experiencias de enseñanza. En esta ocasión, presentamos tres experiencias situadas en aulas universitarias de formación del profesorado y dos situadas en seminarios de formación permanente del profesorado de matemáticas. El objetivo central en la planificación de todas ellas es enseñar a enseñar matemáticas, combatiendo las resistencias a las matemáticas de algunos estudiantes y articulando formas de superación de inercias dadas por la 'repetición de prácticas. Aunque hay muchos puntos en común en las ~jnco propuestas -sobre todo la insistencia en la relevancia de la docencia-, cada una destaca algún aspecto concreto de la complejidad inherente a la tarea de enseñar a enseñar matemáticas. En todos los textos, el formador se muestra como un estudiante avanzado del oficio de enseñar, que ha adquirido conciencia de la dificultad de los mundos académicos, pedagógicos y didácticos involucrados en la enseñanza de las matemáticas. En algunos de los casos, se nos habla de grupos clase poco motivados, de obstáculos institucianales ante la insinuación de cambios, de distintas interferencias y, sin embargo, se actúa. Tal vez el mejor indicador de calidad de la docencia consista en ser capaz de hacer un análisis realista que no excluya el interés por continuar enseñando. En las páginas que siguen se ilustra el uso de metodologías dinámicas e interactivas de enseñanza, frente al estilo más expositivo todavía habitual en muchas aulaS universitarias. A pesar de ello, se insiste en que no hay buenos y malos métodos que puedan considerarse así de una manera general; las clases magistrales tienen aspectos muy positivos y es conveniente que existan momentos en los cuales la explicación del profesor sea el eje central de la actividad docente. En «Comunicar y enseñar matemáticaSlI, Carme Burgués y Roser Codina describen tres proyectos donde la participación cle los estudiantes es crucial, incluso en los momentos de definición de la metodología de trabajo y de explicación y síntesis de los contenidos trabajados. Estas autoras combinan un fuerte nivel de exigencia a los futuros maestros (con especial énfasis en el desarrollo de procesos de pensamiento matemático) con situaciones de apoyo a lo largo de la planificación y la elaboración de los textos producidos en formato póster. El trabajo en grupo de los estu-
Experiencias docentes en las etapas un ive rsita ri a y p_r_o_fe_s_i o_n_a_I
diantes lleva a la elaboración de un póster y la presentación del póster lleva a la revisión del trabajo realizado. La propuesta de Meque Edo, «Estética y emociones en la formación matemática de maestros», tiene aspectos parecidos de reelaboración y revisión de ideas previas del alumnado. Esta autora crea entornos de aprendizaje de las matemáticas donde las ideas previas de los estudiantes evolucionan hasta ser incluidas en la producción de textos comunicativos. Los textos de Meque Edo y de Angel Alsina y sus colegas de la Universidad de Girona ilustran con gran detalle medidas de apoyo a los estudiantes y formas de expresión de una fuerte sensibilidad docente hacia las necesidades de los futuros maestros y del profesorado en activo. La capacidad para transmitir interés y crear retos en el ámbito de la materia que enseñamos no es una tarea fácil, y lo es menos cuando la enseñanza se plantea a grupos de estudiantes -sean o no profesionales en activo- que valoran poco el impacto de dicha materia en su formación y desarrollo profesional. Muchos de los futuros maestros de educación infantil llegan al aula universitaria con vivencias negativas en torno a la matemática escolar; cuando esta materia se vincula con lenguajes artísticos y sociales se consigue superar en parte el bloqueo inicial, y se empieza a construir una nueva forma de relaciona¡·se con el mundo de las matemáticas. Del mismo modo, los estudiantes de máster en «Artes, ciencias y humanidades en una educación atenta a la diversidad» se muestran reacios a relacionar la atención a la diversidad con el trabajo de matemáticas. En ambos casos, por tanto, el punto de par~ tida es poco alentador. Como método de superación, se articulan medidas de apoyo basadas en la presentación de unas matemáticas «cálidas», cercanas al arte y a las emociones de estudiantes y profesores. Todos los autores incluyen en sus experiencias momentos destinados a la metacomunicación, donde se espera que los estudi;:mtes reflexionen sobre formas de cOmUniGlr e interactuar en situaciones de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas. En el texto de Claudi Alsinc:, "Problemas ma temáticos y vida cotidiana en la formación del profesorado)), la metacomunicación se plantea como una forma de metacognición matemática, donde los profesores verbal izan sus procesos de pensamiento matemático al mismo tiempo que piensan sobre cómo la explicación de estos procesos a otras personas puede llevar a nuevos procesos de pensamiento y estimular nuevas formas de representación y comunicación de ideas. La reflexión sobre la comunicación en la enseñanza de las matemáticas debe hacerse principalmente en momentos de sintesis de las actividades llevadas a cabo. Tal como se deriva de forma~ión
y la comunicación
en la enseñanza
de las matemáticas
y su di-
también han colaborado en el desarrollo de actividades conjuntas; su colaboración ha supuestos cambius -salidas, elaboración de pósteres, etc.- en las formas de enseñar matemáticas a sus estudiantes. Es importante notar las continuas referencias a las demandas cognitivas asociadas a las distintas actividades planteadas. A menudo, cuando se argumenta la adecuación de las actividades a los objetivos de una experiencia docente, se olvida mencionar hasta qué punto dichas actividades estimulan -I·aconstrucción de contenidos vinculados a los objetivos formulados. CléJUdi Alsina expresa I;:¡s demandas cognitivas en terminologia de estrategias de matematización; Angel Alsina y su equipo se refieren al desarrollo de competencias matemáticas; Carme Burgués y Roser Codina sugieren la evolución en el logro de aprendizajes; Meque ELlo habla de la comprensión matemática en relación con la significación personal de los contenidos aprendidos; y finalmente, Joaquim Giménez, Josep Mari;:¡ Fortuny y Edelmira Badillo nos muestran una experiencia de célpacitación en competencias geométricas y digitales de los futuros profesores de matemáticas. El texto de Joaquim Giménez y su equipo, «Creatividad y práctica profesional en el profesorado de matemáticas», es especialmente interesante en tanto oue introduce el debate sobre la influencia de las tecnologías de la in-
la lectura de las buenas prácticas seleccionadas, una excesiva cantidad de '''~~~ntos destinados a la metacomunicación dificulta la implicación de los estudiantes. A pesar de que es fundamental hablar sobre lo que se ha comunicado y sobre cómo se ha comunicado, deben respetarse los tiempos marcados por las demandas de los estudiantes. Angel Alsina y sus colegas punen de relieve la importancia de la coordinación entre docentes. Una enseñanza de calidad requiere una planificación compartida de las matemáticas con las otras materias que se van a enseñar y, en general, una coordinación de los programas elaborados desde diferentes departamentos universitarios, además de una corresponsabilización en los procesos de evaluación. La participación en iniciativas cole¡:tivas orientadas a la mejora de la calidad de la docencia es siempre un re.to y, afortunadamente, empieza a ser una condición de trabajo en cada vez más departamentos. Los proyectos institucionales de mejora de la calidad decente de los últimus años han conseguido aglutinar grupos de profesores en torno a objetivos de enseñanza comunes y, cuando han sido llevados a ICl práctica, han conseguido transmitir objetivos de aprendizaje comunes a grupos de estudiantes de distintas materias. C;:¡rme Burgués y Roser Codina
dáctica a nivel universitario. En general, no es fácil integrar la formación online en ' .._ ~::;iversidades de corte tradicionalmente presencial; en este sentido llevan mucho camino recorrido las universidades con formación a distancia tales como la Universitat überta de Catalunya. Las metodologías on-line requieren cambios metodo!ógicos y, sobre todo, un conocimiento suficiente de programas de gran potencia como por ejemplo el programa educativo Geogebra, junto con los muchos espacios virtuales de enseñanza de las matemáticas que complementan métodos basados en la presencialidad. Es importante apostar por las aportaciones de las materias de enseñanza de las matemáticas impartidas on-/ine o con las denominadas TIC en la formación del profesorado, para posibilitar que los futuros maestros experimenten y trabajen con técnicas avanzadas e integren problemas asociados a distintas materias. Para ello, conviene una reflexión sobre los pasos necesarios para adaptar la actividad académica y docente en e-formación de matemáticas a las directrices del actual Espacio Europeo de Educación Superior.
y enseñar
matemáticas
Durante el curso 2001-2002 en el Museo de la Ciencia de Barcelona se podia visitar una exposición de carácter interdiscipiinario basada en el binomio forma y función «1després fou la forma» ('Y después fue la forma');
Primera experiencia: Visita a la exposición «1després fou la forma))
En la formación de maestros se considera esencial el dominio de habilidades comunicativas tanto de tipo verbal como visual, «No existirá aprendizaje significativo sin prácticas comunicativasll (Avendaño, 2006). Con el objetivo de potenciar y evaluar esta competencia, se han planteado experiencias de comunicación de conocimiento matemático a través de la realización y exhibición de pósteres de contenido matemático y didáctico con alumnos de la especialidad maestro de educación primaria de la Facultad de Formaci6r del Profesorado de la Universidad de Barcelona. Para el diseño de estas experiencias nos ha sido muy útil la lectura de los trabajos sobre pósteres realizados por Houston y sus colegas (Berry y Houston, 1995; Breedon y Houston, 1998). Diseñar un póster implica comunicar, en una superficie limitada, el contenido matemático relacionado con el tema propuesto o lugar escogido, donde (celpóster es un documento del aprendizaje del alumno» (Zevenbergen, 2001). Para diseñar L1npóster es preciso determinar con precisión el mensaje que se quiere transmitir y elegir de manera adecuada los elementos formales que lo hagan posible. Por otro lado, la intención comunicativa comporta la exhibición de los trabajos, para dar autenticidad a la t
Carme Burgués y Roser Codina Universidad de Barcelona
Comunicar
• La esfera encierra un volumen con la mínima superficie. Lasondas mueven líquidos. • Losconos pinchan. • La presión depende de la supf'rficie. • El hexágono ahorra espacio. • Loscilindros se amontonan ocupando el mínimo espacio. Losfracta!es llenan continuamente, repitiendo formas. Lashélices hacen avanzar girando. La espiral empaqueta. Los prismas empaquetan bien. Los cubos son iguales por todas partes. Formas que la humanidad ha copiado a la naturaleza. • Formas diseñadas por la humanidad.
El trabajo de elaboración de pósteres se planteó como un problema de comunicación de los contenidos de la exposición; a cada pareja de alumnos se le asignó un título por sorteo (véase cuadro 1), y se le entregó información complementaria. Después de ser evaluados los trabajos, se instaló la exposición de los mismos en las dependencias de la Facultad de Formación del Profesorado durante dos meses. En esta primera experiencia, con respecto al aprendizaje, se pretendía poner en contacto a los futuros maestros con acontecimientos relacionados con el mundo exterior al aula y que tuviesen una estrpcha relación con las matemáticas, con su enseñanza y su aprendizaje. Este evento ofrecía la oportunidad de ampliar y profundizar los conocimientos relativos a las formas geométricas, conectar estos conocimientos con otras disciplinas y potenciar los aspectos comunicativos desde un punto de vista didáctico.
en esta exposición se planteaban las razones del éxito de ciertas formas en la naturaleza y en el diseño humano, relacionándolo con la función que ejercen o con el cumplimiento de leyes naturales. La cantidad y diversidad de ejemplos permitía la posibilidad de aprovechar la exposición como ejemplo de contexto de aprendizaje interdisciplinario en la enseñanza primaria, así como la posibilidad de aprovechar didácticamente la visita a una exposición de caracter científico. Los participantes de esta primera experiencia en su primer semestre, de la espec;,!;rbrf
eran alumnos de primer de maestro de primaria.
A lo largo del curso 2002-2003, tuvo lugar la segunda experiencia. El Jardín-Musco del Laberint d'Horta, situado junto a la Facultad de Formación del Profesorado de nuestra Universidad, constituye un contexto adecuado para descubrir elementos y relaciones geornétricas y, posteriormente, elaborar un póster. El encargo que se hizo a los alumnos fue la selección de un elemento del jardín y la elaboración de un póster dónde se mostrasen propied;¡des, conexiones y otros ejemplos reales de la figura geométrica elegida.
Segunda experiencia: Geometría en el Jardín-Museo del Laberint d'Horta
Declararon no haber llevado a cabo tareas de este tipo anteriormente y se sentían muy motivados aunque bastante inseguros ante el encargo. Durante la exhibición de los trabajos en la Facultad, se organizó una visita en la que los autores de cada trabajo explicaron a sus compañeros de aula los objetivos y recursos utilizados en los pósteres. Se describieron las dificultades surgidas a lo largo del proceso, las ideas que consideraban más logradas y respondieron a las preguntas planteadas. La valoración de los alumnos fue muy positiva, destacaron lo que más les había interesado de las propuestas y manifestaron que estarían dispuestos a ineorporarlQ en nuevos trabaios. " A pesar 'de tratarse del primer trabajo de este tipo que realizaban los alumnos, se observó un esfuerzo de transmisión de las ideas contenidas en la exposición original que se adaptaba a las condiciones impuestas En cuanto al contenido matemático era correcto pero mínimo, se trataba de trabajos poco elaborados en los que no se añadía, en genera!, contenido al tema. Es importante destacar la no justifiImagen 1 cacíón de las afirmaciones que se presentaban y la inexistencia de contraejemplos. En general, se esforzaron en ampliar los ejemplos ofrecidos en la exposición, incorporando fotogratías, dibujos y objetos como en el caso del póster dediGldo al lema ((Los ciiindros se amontonan ocupando el mínimo espacio» (véase imagen 1).
curso,
Finalmente, la tercera experiencia que documentamos se desarrolló en el curso 2004-2005. Los alumnos del título dc maesti'O de primaria llevan a cabo durante el segundo curso un período de prácticas escolares (prácticas 1)
Tercera experiencia: Elaboración de pósteres de motivación didáctica
A la vista de los pobres resultados matemáticos en la primera experiencia, se propuso realizar un estudio más comr!_·~ rle la forma elegida como paso previo a la selección de la información que se pretendia comunicar. Tuvimos muy en cuenta que el proceso de comunicación ayuda a dar significado y permanencia a las ideas y a hacerlas públicas, tal como señala el National Council of Teachers of Mathematics de Estados Unidos (NCTM, 2003). Durante la visita, los alumnos descubrieron un lugar cercano y desconocido para la mayoría donde poder localizar, fotografiar y medir figuras geométricas. Orqanizados en grupos, eligieron y fotografiaron el espacio o el objeto que contenía la forma a estudiar. La imagcn, que se incluía en el póster, informaba del tema y permitía reconocer la ubicación de la forma geométrica. Preferentemente eligieron temas propios de la geometría del plano, como polígonos (especialmente triángulo, cuadrado, rectángulo, paralelogramo y hexágono). circunferencia, espirales y simetría. En el caso del espa-' cio, las formas elegidas fueron cubo, tronco de pirámide, esfera, cilindro y toro. En la sesión de presentación de los trabajos por parte de los alumnos a sus compañeros de clase, se expusieron principalmente objetivos y dificultades. Los alumnos reconocieron la calidad de algunos trabajos, se trataba de casos donde el mensaje claro y la presentación cuidada invitaban al espectador a interesarse por el tema ya realizar las acciones que se le proponían. En la evaluación efectuada por las formadoras, de nuevo se puso de manifiesto que los contenidos matemáticos eran correctos pero escasosy no se justificaban matemáticamente las afirmaciones que aparecían. El dibujo de figuras geométricas fue ampliamente utilizado para ilustrar o describir. El vocabulario, aunque correcto, era limitado así coma ia inclusión de propiedades o características de las figuras. Algunas de las realizaciones incluian elementos tridimensionales, otras tenían un carácter dinámico logrado a partir de elementos móviles que el observador debía manipular para comprobar o p
I L
1
También se perciben puntos débiles: «El autor puede cuidar excesivamente la estética o la manipulación del póster y el contenido matemático puede quedar en segundo término. En general, el éxito o el desacierto de un póster están relacionados con su autor, ya que un cartel funciona en términos visuales e intervienen elementos de publicidad y psicología visual. Si el
Por lo que respecta a la distinción entre un póster y otra actividad de enselianzaaprendizaje comentan: «El póster permite realizar un trabajo atractivo, al combinar el pensamiento matemático con la realización plástica.» «Esun reto creativo: hay que encontrar una solución original al problema de plasmar un concepto matemático.» «Obliga al autor a sintetizar aquello que quiere transmitir y este esfuerzu de síntesis le lleva a reflexionar sobre el contenido, entenderlo bien y elegir la mejor opción para comunicarlo de la mejor manera posible.»
_
I J
comprendido entre la docencia de las asignaturas de didáctica de la matemática I y didáctica de la matemática 11.Esta asignatura proporciona un primer contacto con la realidad escolar y favorece la reflexión sobre aspectos del aprendizaje y la enseñanza de las matemáticas. Aprovechando esta circunstancia se propuso la realización de pósteres sobre actividades interesantes observadas en las aulas de primaria. También se podían desarrollar pósteres con propuestas alternativas a las observadas en la escuela. Los temas de los pósteres presentados correspondían a contenidos aritméticos y geométricos a partes iguales. Las principales dificultades en su realización se centraban en la concentración de mucha información en un espacio reducido, en la poca relación entre las distintas partes de un mismo póster y en las explicaciones deficientes tanto del tema considerado co\ylo de !as propuestas realizadas. En la mayoria de las producciones se puso de manifiesto la intención de provocar la acción del espectador. Este hecho se manifestó en la adjudicación de un espacio de actividad, por ejemplo, una pizarra para realizar operaciones, un puzle, figuras adhesivas, etc. Los alumnos se sorprendieron de la creatividad demostrada y manifestaron su interés en utilizar las ideas aportadas en su futura actividad profesional. Sevaloró muy positivamente la motivación a partir de la experiencia de prácticas. Posteriormente, durante la exhibición de los pósteres se pidió a los alumnos que dieran su opinión sobre el trabajo realizado:
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Se ha constatado que el diseño y la realización de pósteres es una actividad adecuada para ei aprendizaje matemático. Favorece el desarrollo de la visualización lie conceptos y relaciones, así como la capacidad df' síntcsis de las ideas clave que se pretenden transmitir. El interés comunicativo ha favorecido la realización de diseños creativos y la incorporación de elementos como fotografías, objetos y códigos visuales que complementan el mensaje e invitan a la interacción, lo que evidencia la valoración positiva de los contextos reales por parte de los alumnos de magisterio. El contenido matemático de los trabajos ha sido, en general, correcto pero básicamente descriptivo. Se observan dificultades en el uso del vocabulario matemático y en el manejo de demostraciones. En el caso de temas geométricos, la descripción de características o propiedades de las figuras se
Conclusiones y perspectivas
Valoran positivamente los pósteres de sus compañeros, aunque se muestran críticos en algunos casos: "En algunos pósteres faltaban ciertos conceptos matemáticos mínimos, porque eran demasiado manipulativos y no sé si podían transmitir bíen concepto c!guno.ll "La realización de los pósteres nos ha dado muchas ideas a todos para poder trabajarlas en nuestra aula, en el futuro.ll
Como elemento provocador de experimentación matemática: "El póster funciona también como elemento motivador o como provocador de investigación porque el aspecto visual y la rapidez en aprenuer son elementos que atraen en nuestra cultura. El hecho de permitir la manipulación para aprender genera también interés.•
sona lo entienda.'
Sobre la consideración del póster como síntesis de conocimientos matemáticos: "El póster como síntesis de conocimientos matemáticos provoca que el autor tenga que hacer un esfuerzo importante para llegar a la idea principal de un concepto. A nivel didáctico, para transmitir algo correctamente, hay que conocerlo bien y esto nos lleva a la investigación porque para conocer algo hay que investigar, estudiar, comprender. .. y sólo entonces podrás tener recursos para explicarlo y que otra per-
póster no está bien pensado ni tampoco bien realizado, no atraerá la atención primero y no comunicará nada después.ll
comunicativa: meta F. (coord.): Memoria México DF. Aula XXI-
y Estándares para la Educación Matemática.
SeviZEVENBERGEN, R. (2001). «Peer assessment of students' constructed posters: Assessment alternatives in Preservice mathematics education)). Journal of Mathematics Teachers Education, 4, pp. 95-113.
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Santillana.
del Quinto Encuentro Internacional de Educación.
AVENDAÑO, F. (2006): "El desarrollo de la competencia de la educación lingüística)), en GARCíA-CORTÉS,
Referencias bibliográficas
La valoración de este trabajo por parte de los alumnos ha sido muy positiva, no sólo por tratarse de una actividad diferente y creativa, sino por el aporte de recursos para su futura tarea como educadores matemáticos. Este tipo de actividad permite combinar el uso de contextos reales con los retos que plantea la comunicación de conocimiento matemático. La necesidad de seleccionar lo esencial, representar conceptos y relaciones o de mostrar procesos de aprendizaje lleva a los futuros maestros a mejorar sus habilidades comunicativas, especialmente la visualización. Al mismo tiempo, estas,actividades de realización de pósteres han sido un instrumento válido para la evaluación de la incorporación de contenidos matemáticos de los futuros maestros.
ha abordado mediante dibujos e imágenes, en contextos estáticos o dinámicos, también mostrando secuencias de procesos de demostración de las propiedades que permiten al espectador descubrir o constatar la propiedad objeto de estudio.
motor educativo de primer orden. Coincidiendo con la semana de la final nacional de ia Olimpíada y en paralelo a la misma se han ofrecido desde hace años (en 2007 se celebró el XXXIII) los Seminarios Internacionales, tutelados académicamente por la profesora Norma Pietrocola y que son cursos semanales de seis horas diarias dirigidos al profesorado de primaria o secundaria e ilTlpartidos por profesorado extranjero. Yo mismo he participado desde 1990 en estos eventos y otros muchos profesores españoles han ido intervi-
siempre, y hasta hoy, director de la üMA En sus diversos niveles, la Fundación OMA ha logrado una participación anual masiva de estudiantes y una implicación voluntaria de miles de profesores. La aMA se ha convertido pues en un instrumento estratégico para hacer de la resolución de problemas un
La Olimpiada Matemática Argentina se inició hace muchos años bajo los auspicios de la Unión Matemática Argentina con el apadrinamiento del profesor Luis ,t>... Santaló y bajo El liderazgo de Juan Carlos Dalmassa, desde
Contexto
El objetivo del escrito es comentar experiencias de talleres de problemas dedicados a las relaciones entre las matemáticas y la vida cotidiana que he organizado en diversos seminarios para profesorado de matemáticas de secundaria de Argentina. Dedico el texto a mis queridas profesoras de matemáticas de Argentina. participantes en los seminarios de la Olimpiada Matemática Argentina, con admiración por su labor cotidiana. La enseñanza de las matemáticas basada en modelizació¡¡ y aplicaciones ~s una tendencia de interés creciente en todos los niveles . .A.lgunos congresos internacionales (por ejemplo, ICTMA, el grupo afiliado a ICMI sobre modelización y aplicaciones) y un reciente estudio ICMI (véase Blum, 2007) avalan el pleno desarrollo del tema. Mi personal implicación en este enfoque (Alsina. 2007) fue e! motivo por el cual se dedicaron diversos seminarios en Argentina :3 este tema con la esperanza de que en las aulas argentinas de secundaria hubiese una mayor presencia de cotidianeidad.
Claudi Alsina Universidad Politécnica de Cataluña
Problemas matemáticos y vida cotidiana ~~Ia formaciór,--del profeso@~Q_
eficiente.
zando ríos, alturas de castillus y sombras de pirámides. Enseñar matematización, en el sentido que le dio Hans Freudenthal, es prestar atención no sólo a las soluciones y consecuencias de un modelo matemático, sino el paso «realidad-modelo» al paso «consecuencias del modelo - realidad inicial» y a la reconsideración de lo realizado si ei resultado matemático no satisface las expectativas y es preciso buscar otro modelo más
El uso abusivo de la denominación «aplicaciones» que se ha hecho en el mundo matemático ha llevado a la confusión (internacional) de considerar como «aplicaciones» el uso de las propias matemáticas para obtener más resultados matemáticos (<
- Modelización - Aplicaciones
en sus lugares de origen.
Matemática
ciación
niendo (Miguel cle Guzmán, Mari Luz Callejo, Joaquim Giménez, Carme R"r~ljés, Montserrat Torra, Santiago Fernández, Juan A. Garcia Cruz, Rafael Pérez Gómez, Eliseo Borrás, Pepe Colera, Francisco Morán, Miguel Pasadas, etc.). Éste ha sido, pues, el contexto de las experiencias a las que voy a hacer referencia. Se trata de seminarios para el profesorado de secundaria proveniente de toda Argentina, en los cuales se trabajan temas de formación continuada y actualización con la voluntad de que luego en sus aulas se lleven a cabo procesos innovadores interesantes. Vale la pena destacar que el profesorado es muy participativo y entusiasta, y demuestra un gran interés al hacer enormes sacrificios personales para su asistencia. No hay, en general, programas oficiales que ofrezcan este tipo de seminarios internacionales dedicados a estos fines de desarrollo profesional, y las actividades que la Fundación OMA organiza carecen desde hace años de ayudas ministeriales, por lo que, al margen de unas becas que la Fundación otorga al profesorado que participa y gana los primeros puestos en la prueba del «Número de Oro», el resto de participantes debe costear su viaje, estancia y participación o buscar sus propias fuentes de finan-
ocasián
de abstraer,
real serán usados para
mate-
a diferentes
desarrollar
artificial,
la matemática
...
y de generalizar ... y volver a aplicar la aprendida ... y
habrá
del mundo
... luego
científica,
o
predecir
y
una reconciliación
explícita
externo
y
y
Pollack ha dado la que creo mejor descripción
de los ocho
han de ser matemática-
del mundo real.
los resultados
en el contexto
al matemático
y razonables
matemá-
y la situación del se presta atención
al principio. idealizada.
y los trasladamos
una teoría sobre la cuestión
algoritmos ... todos estos resultados
nemos entonces
teoremas, 7. Tomamos
Te-
esto lo llamamos un modelo matemático. S. Identificamos los apartados de la matemática que pueden ser relevantes para el modelo y consideramos sus posibles contribuciones. 6. Usamos métodos matemáticos e ideas para obtener resultados. Así surgen técnicas, ejemplos interesantes, soluciones, aproximaciones,
pasos que deben darse en la modelización matemática: 1. Se identifica algo en el mundo real que queremos conocer, hacer o entender. El resultado es una cuestión en el mundo real. 2. Seleccionamos lIobjetos» que parecen importantes en la cuestión del mundo real e identificamos las relaciones entre ellos. 3. Decidimos lo que consideraremos o lo que ignoraremos sobre los objetos y su interrelación. No se puede tomar todo en cuenta. El resultado es una versión idealizarla de la cuestión original. 4. Traducimos la versión idealizada a términos matemáticos y obtenemos una formulación matematizada de la cuestión idealizada. A
El mismo
mente correctos
al mundo
enten-
del proceso, al ir
a su formulación
al principio
entre las matemáticas
fuera del mundo matemático
explícita
o
Lo que caracte-
para evaluar
mundo real al final. A través del proceso de modelizacián
tica,
desde el problema
usa la matemática al mundo no matemático.
es la atención
algo que pertenece
de la matemática
por L. A.. Steen en 1997):
riza a la modelización
der
Cada aplicación
en el libro editado
Una completa e interesante descripción de la modelización matemática ha sido dada por Henry O. Pollack (l
reinventar
niveles, de formalizar
matemáticos
ete., los problemas
conceptos
mática,
En una ocasión Jan de Lange escribió: E' ---'~xto puede ser la vida cotidiana, cultural,
I
1 de
Me referíré concretamente a los seminarios que dedicamos al tema de matemáticas y vida cotidiana (Alsina, 19980, 1998b, 200S). A partir de unos apuntes elaborados para cada evento se ofrecen en cada seminario siete resúmenes de temas y para cada apartado se da un listado de diez problemas. Ésta es la partitura de los siete temas y los setenta problemas sobre la cual se trabaja en siete sesiones de tres horas. A partir de una breve presentación de! tema se estructura un taller de problemas donde por grupos (entre 2 y 4 participantes) abordan la resolución de problemas o trabajan los materiales asociados. El profesor actúa de incentivador y de guía, los grupos presentan y discuten sus ideas durante la puesta en común y se sacan conclusiones genera les. Los curríc:ulos oficiales argentinos tienden él enfoques tradicionales con una presencia muy limitada de aplicaciones reales y poca atención al proceso de modelización. En consecuencia hemos centrado la atención en temas más aplicados y asequibles a estudiantes de secundaria. Podemos citar, por ejemplo, los siguientes tipos de temas y problemas: Matemáticas y entorno: problemas de medio ambiente. Matemáticas y clemocracia: problemas de elecciones y representación. Matemáticas y prensa: pfQblemas a partir de informaciones en diarios. Matemáticas y finanzas: problemas de economía doméstica. Matemáticas y codificación: problemas de códigos habituales.
Implementación
la üMA.
A grandes rasgos, éste ha sido el proceso seguido en los seminarios
8. Ahora debemos verificar la realidad. ¿Creemos en el resultado? ¿Son los resultados prácticos, las respuestas razonables y las consecuencias aceptables? Si la respuesta es sí, hemos tenido éxito. Entonces el siguiente trabajo, difícil pero extraordinariamente importante, es comunicar lo encontrado a sus usuarios potenciales. Si la respuesta es no, volvemos al inicio. ¿Por qué los resultados no son prácticos o las respuestas no razonables o las consecuencias inaceptables? Seguramente el modelo no era correcto. Examinamos lo que pudimos hacer mal y por qué y empezamos de nuevo.
relacionados
de representación
en pintura
y es-
Leyes de la naturaleza. Visualización de datos. Medidas y escalas. Distribuciones estadísticas. Cálculos de seguros. índices de inflación y desarrollo. Consumo de recursos no renovables. Tiempos de producción. Máximos y mínimos métricos. Cálculos numéricos. Ajuste y trazado de curvas. Epidemiologia. Efectos de medicamentos. Tasas e impuestos. Predicción sismológica. Predicción médica. Predicción meteorológica. Fabricación de CD, DVD... Gráficas médicas (crecimiento, ritmo cardiaco ...). Problemas de visión (isoclinas). Control acústico. Topografia y geomática.Procesos discretos. Ete.
Crecim¡e:~to de personas. Crecimiento de poblaciones. Crecimiento d~ capitales. Planificación de pensioncs. Cancelación de hipotecas. Análisis meteorológico. Análisis económico. Análisis de catástrofes. Explotación de recursos. Epidemioiogía. Elecciones politicas. Repartos justos. Contabilidad de posibilidades. Codificación numérica. Organización secuencial de tareas. Conexiones telefónicas. Rutas óptimas en viajes. Distribuciones espaciales. Circuitos electrónicos. Costes minimos, optimización. Redes de comunicaciunes. Juegos, simulaciones. Posibilidades computacionales. Digitalización de imágenes. Etc.
Matématiiación discreta
los contenidos que consideramos más ricos para la de las matemáticas (tipos de problemas) y los relaestrategias de matematización trabajadas en los se-
y arte: problemas
en objetos caseros. y previsiones econó-
con la vida de las per-
Matematización funcional
ESTRATEGIAS DE":: MATEMATIZAClÓN -
problemas
y diseño: problemas de geometria y consumo: problemas de ofertas
y vida:
El cuadro 1 reúne elección de aplicaciones ciona con las diferentes minarios de la üMA:
cultura.
sonas. Matemáticas Matemáticas micas. Matemáticas
Matemáticas
gos. Etc.
Leyes de la naturaleza. Muestreo significativo. Cálculo de probabilidades. Sondeos de opinión. Demografía y censos. Decisiones. Pirámides de edad. Simulación de fenómenos. Encuestas de precios. índices de precios y consumos. Negocio de Casinos y Loteri~ as. Preferencias, audiencias. Contabilidad ecológica. Tablas de mortalidad. Problemas de colas. Experimentación con fármacos. Repeticiones de fenómenos naturales. De'pendencias entre parámetros. Independencias entre variables. Control de la calidad. Visualización de la información. Transmisión de información. Corrección de errores. Medidas experimentales. Seguros ant~ ries-
Algu nos lHi les esenciales pa ra trata l' estos temas (véase por ejem plo Steen, 1999) son fotocopias de noticias y ofertas, videos, periódicos y revistas, folletos, reproducciones de obras de arte, fotografías de edificios, objetos cotidianos de cocina, juegos, lámparas, con claro interés geométrico,
Matematización estadística
Forma-Función en naturaleza. Problemas físico-quimicos. Construcción de máquinas. Movimiento de robots. Tratamiento de imágenes. Reconocimiento de formas. Diseño asistido por computador. Imágenb médicas. Empaquetamientos óptimos. ElaboraciÓn de mapas. Aplicaciones fotográficas. Satélites orbitales. Diseño industrial de objetos. Diseño en joyería. Decoración (frisos, mosaicos...). Coordinación modular. Construcción arquitectónica. Ingeniería civil (estructuras, ..). Pintura y escultura. Música y acústica. Coreografía (focos, teatro, danza...). Patrones y confección. Representaciones diversas. Creatividad con formas. Etc. 1
~.
Matef!1atiz~ción geométrica
•
I
Dependencias lineales entre variables. Coordenadas geográficas. Coordenadas en objetos. Encriptación de mensajes. Ampliaciones y reducciones. Cambios de escala en gráficas. Problemas de consen- • so. Problemas de decisión. Cálculo de cargas constructivas. Dis~ño asistido por ordenador. Corrección de errores. Digitalizacióri de imágenes. Geometría computacional. Regresión lineal estadistica. Códigos lineales. P¡,oducción sectorial. Macroeconomía. Expresiones recurrentes. Formas cónicas. Formas cuádricas. Frisosy decoraciones. Colajes gráficos. Inputs/Outputs. Procesos discretos. Ere.
•
1
Matematiiación aigebraica
IJo
Creo que los seminarios sobre aplicaciones han tenido siempre una buena acogida y que poco a poco hemos contribuido a que algunos centenares de profesores se replanteen cómo motivar determinados temas o cómo aprovechar situaciones de contexto para matematizar. Algunos de estos profesores son a la vez formado res de profesorado, autores de textos, etc. y por ello, viendo algunos de sus nuevos libros o articulos he podido notar que la experiencia de estos seminarios sí ha tenido influencia efectiva. No obstante, tanto en Argentina como en Iberoamérica en general yen España en paíticular, más allá de incorporar la cotidianeidad al proceso de enseñanza-arrendizaje, el problema principal es que el píofesorado abierto a innovaciones es siempre un grupo selecto pero reducido. Basta observar que los libros de texto en español que más ventas tienen son precisamente los que más atienden a las rutinas ya los enfoques más tradicionales. Todos los estudios PISA ofrecen datos sobre las consecuencias de no trabajar con los estudiantes esta relación matemáticas-realidad. Pero quizá lo más interesante es que todos los enunciados de PISA 2000, 2003, 2006 constituyen hoy una bella base de problemas para trabajar el tema. Como decía el gran arquitecto Antoni Gaudí (<110 porque esto no se haya hecho antes hemos de dejar de hacerla ahora, si tenemos razones para creer en la bondad de nuestras ideas». .
Valoración
medidas, etc. Se trata, por supuesto, de abordar realidades y aplicaciones propias del contexto argentino en general. La tipología de los problemas relacionados es diversa, desde los que permiten ver cómo una técnica matemática se pone al servicio de una aplicación (códigos de barras, códigos postales, códigos bancarios, tarjetas de crédito, etc.) hasta los que exigen hacer algún tipo de experimentación o medida (perspectivas lineales en máquinas de dibujo, modelos poliédricos, ...) o bien problemas donde debe hacerse Llna modelización adecuada (previsiones en economía féHniliar, evolución ecológicél, éllternativas de leyes dernocráticas para asignar escaños parlamentarios, etc.). El profesorado participante tenía siempre un nivel matemático adecuado, por lo que lo interesante era explorar las virtudes didácticas de los diferentes problemas o actividades y familiarizarse con un enfoque que resulta novedoso para muchos. Por ejemplo, el profesorado no siempre tiene una visión amplia sobre las muchas aplicaciones y presencias relevantes de las matemáticas en la vida actual y cómo trabajar en clase los propios procesos de matematización. -- -~-
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- (2007): «(Lesschalk, less words, less symbols ... more objects, more context, mor.e actlOnS»,en BLUM, W. y otros (coords.): The 74th ICMI Study,- modellmg and applications in mathematics education. Berlín. Sprínger. BLUM, ~. Y otr~s (coords.). (2007): The 74th ICMI Study: modelling and appltcatlOns m mathematics education. Berlín. Springer. STEEN, L.A. (coord.) (1997): Why numbers count: quantitative literacy for tomorrow's America. Nueva York. The College Board. STEEN, L.; COMAP (1999): Matemáticas en la vida cotidiana. Madrid. Addison-Wes!eyjUAM.
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Referencias bibliográficas
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en una educación
Va I ies.
• Angel Alsina. Miquel Alsina, Raser Batiluri, Jaan de la Creu Gadoy, Meritxell Estebanell y Joan
El título de esta experiencia coincide con el título de uno de los módulos del máster en educación en la diversidad, un máster oficial de la Universidad de Girona que se enmarca en de los estudios de postgrado homologables dentro del Espacio Europeo de Educación Superior (EEES).La adaptación de la formación universitaria de grado y postgrado al EEESimplica un cambio en la concepción de enseñar y aprender. Ello conlleva, por un lado, romper con el modelo tipico de asignaturas en las que se impartía conocimiento disciplinar y didáctico de manera parcel;¡da, y por otro lado, dar más protagonismo al aprendiz introduciendo modelos de formación basados en metodologías activas en sustitución, que no eliminación, de una parte del tiempo que antes se dedicaba a la clase expositiva (The European Higher Educatíon Area, 1999). En el módulo «Artes, ciencias y humanidades en una educación atenta a la diversidad» se tratan de forma interdisciplinaria contenidos de las áreas de educación artística, educacíón musical, nuevas tecnologíCJS,educación científica y educación matemática, y el estudio de casos se convierte en el eje vertebrador para que los alumnos construyan conocimiento de forma autorregulada. En función de las tareas y necesidades propias del caso, se incorporan sesiones expositivas que complementan el aprendizaje. También el tía bajo individual relacionado con el estudio de caso y el de lecturas de materiales forman parte de este conjunto. La experiencia que se presenta a continuación pretende analizar cómo promúver el conocimiento de forma integr;¡c1a para favorecer la inclusión en contextos formales y no formales y adquirir estratcgias y rnetodologías innovadoras que permitan diseñar, planificar e intervenir desde la didáctica en currículos interculturales e inclusivos.
Profesorado del Máster de Educación en la Diversidad* Universidad de Girona
Artes, ciencias y humanidades atenta a la diversidad ::-----------
IL
educativo
.-
El Ayuntamiento se propone diseñar un plan estratégico educativo ya que los resultados de las acciones llevadas a cabo son inferiores a los objetivos prefijado~. Para diseñar este plan, el Ayuntamiento convoca una mesa de representantes de los colectivos de la población formada por: un concejal, un gestor cultural, un director de CEIPo lES, un padre o madre del consejo escolar, un miembro de una ONG y un artista. El objetivo de la mesa es planificar nuevas acciones educativas destinadas tanto a los habitantes habituales como a los que veranean en el municipio. Para llevar;; cabo
Presentación del caso: Plan estratégico educativo para atender la diversidad Nos situamos en una población costera con incrementos de población turística importantes. Esta población muestra una diversidad rica y compleja.
J
A partir del planteamiento de preguntas que se consideran esenciales (¿qué entiendes por educación atenta a la diversidad?, ¿piensas que es necesario educar atendiendo la diversidad?, ¿por qué?). se exploran referentes de los miembros del grupo y se busca un criterio compartido sobre el cual poder construir el trabajo que se desarrollará 3 lo largo del módulo. El proceso parte de las ideas individuales para confluir en una propuesta consensuada por todo el grupo para llegar, finalmente, a elaborar un mapa conceptual colectivo, que a lo largo del módulo se amplía de forma individual a partir de los nuevos conocimientos que se incorporan. Partiendo de esta base, se presenta el caso que se va a trahajar.
Con este caso, de carácter introductorio, se intenta favorecer la reflexión sobre las realidades y las intervenciones didácticas sin entrar todavía en las diversas disciplinas, haciendo una aproximación a los contextos donde se presenta diversidad social y cultural. Con él se pretenden desarrollar competencias que permitan: Analizar contextos donde se presenta diversidad social y cultural. Elaborar y gestionar propuestas educativas adecuadas a las necesidades de las personas a las cuales van dirigidas. Tener capacidad crítica y reflexiva para intervenir en entornos de diversidad sociocultural. Planificar, adaptar y desarrollar propuestas didácticas, programas y servicios educativos que den respuesta a las necesidades generadas por la diversidad.
Estudio del caso 1: Plan estratégico para atender la diversidad
Director de CEIP o lES Maestro y licenciado en Psicopedagogia. Su espiritu critico le permite observar las carencias de la enseñanza, pese a que también considera que los resultados no son tan malos como se acostumbra a reflejar en los informes que periódicamente se publican. Defiende que tienen que existir mejoras en las metodologias de enseñanza y que éstas no pasan por aumentar las horas de algunas materias, sino por impartidas pensando en los alumnos y atreverse a reducir algunos de los contenidos que se imparten, reforma tras reforma, sin analizar el alcance real de su función. Entiende que la familia, el barrio, etc. son espacios imprescindibles para el aprendizaje.
Gestor cultural Persona sin una formación académica, dinámica y socialmente activa (escultismo, etc.). Defiende que los centros educativos son instituciones mal ubicadas en el tiempo y que los aprendizajes que se trabajan en estos centros no garantizan los niveles culturales de una población inmersa en la era de las nuevas tecnologías. Considera que el sistema escolar nunca será suficientemente democrático para ayudar a lo grupos sociales más desfavorecidos.
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Concejal de educacIón . Profesor de secundana desanimado por la reforma impulsada por la legislación y la pérdida de la tipologia de alumnos que estaba acostumbrado a tener en los institutos. Únicamentr considera importante el conocimiento de la materia (contenidas com:eptualesl y siempre ha considerado que las metodologias didácticas son una pérdida de tiempo. Considera que el único entorno donde pueden realizarse aprendizajes es en las instituciones educativas.
El papel de cada uno de los miembros de la comisión
Cada uno de los estudiantes se sitúa en el rol de un componente de la mesa de expertos. Tiene que asumir su papel y preparar las estrategias de defensa para hacer valer su opinión. Con este objeto, se presentan unas caracterizaciones previamente pensadas por el prl'lfesorado del módulo.
esta tarea, previamente es preciso analizar la realidad de la población en el ámbito eduLdllvu ¡formal y no formal), asi como las acciones llevadas a cabo hasta el momento por el Ayuntamiento.
I
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-1
¿Conocemos otías experiencias desarrolladas para atender la diversidad dentro y fuera de las aulas?; ¿qué particularidades muestran y qué podemos destacar de positivo?; ¿qué aspectos no resultarían adecuados en nuestro caso?; ¿qué particularidades didácticas presentan?
Durante las sesiones de trabajo en el aula se pr~sentan documentos y experiencias relacionados con el caso, esperando que ayuden a arrojar luz sobre: ¿Qué experiencias pueden ayudar y dar pistas para desarrollar nuestro trabajo?
Su formación es diversa, aunque su verdadero aprendizaje ha sido en la calle. A los 14 años dejó la escue!d y trabajó en diversos ámbitos, y cuando tenia 16 años formó un grupo de teatro. El gusto por las artes le lleva a investigar en el campo de las artes plásticas y desarrolla pruyectos que complementa con el teatro en la calle. Lucha contra la hegemonía de la5 artcs élite y, pese a ser firme defensor del arte social, poco a poco ha ido haciéndose un lugar en las artes contemporáneas y tiene un reconocimiento internacional. Esta realidad le absorbe y los canales de comercio del arte dirigen su rumbo artístico y personal. Vive en una constante dualidad.
Artista alternativo
Educador y, en su tiempo libre, implicado en tareas sociales al barrio. La organización en la que participa atiende a'Ios discapacitados. Ha participado en diversos proyectos en países en vias de desarrollo y tiene claro que su función está lejos de aquí. Su filosofia es que los ;¡prendizajes tienen que estar ubicados en la realidad social. E~cuentra muy adecuado que la población se plantee un proyecto de estas características, pero desconfia de las instituciones y afirma que finalmente todo queJa en "papel mojado y los proyectos son únicamente mediáticos, sirven para vender el producto, elecciones tras elecciones».
Miembro de ONG
De nivel intelectual alto. No ha tenido ninguna duda al llevar sus hijos a una escuela de barrio, esperando que vivan la realidad de su entorno inmediato. Comenta que la diversidad de maestros se corresponde con la realidad social y colabora plenamente en todas las actividades en que los padres tienen la oportunidad de participar. Además, forma parte de colectivos de ayuda a los recién llegados y quiere conseguir una implicación real de la escuela en el contexto donde está ubicada.
-----------------------------------------------~----Madre o podre del Consejo Escolar
una ficha de análisis que permita
valorar
las
El segundo caso, basado en una situación real, presenta un centro con un 800f0 de población inmigrante, situado en el área metropolitana de una capital de provincia.
Estudio del caso 2: Proyecto curricular de centro para atender a la diversidad
Como clausura de todo el estudio se presenta un informe y se defienden los argumentos apuntados, haciendo uso de los recursos y conocimientos que se estimen oportunos. En este momento se favorece la reflexión colectiva sobre las propuestas presentadas y se pide la configuración de un documento final consensuado. Durante todo el proceso cada cual va dejando constancia en el portafolio de la influencia que todas las aportaciones van teniendo en su progreso personal y, al finalizar el módulo, las mismas evidencias sirven para elaborar una autovaloración crítica del trabajo realizado, la cual será considerada como un elemento más de evaluación.
En los espacios destinados a trabajar en equipo, los integrantes de los grupos comparten sus ideas, experiencias prácticas documentadas, lecturas, descubrimientos ... y se valoran las propuestas de actuación didáctica elaboradas por cada integrante, estudiando la viabilidad y la oportunidad de su inclusión en la propuesta de todo el grupo. Algunas de las preguntas planteadas para ayudarles en este proceso son: ¿Qué tipos de diversidad puedes identificar en este municipio? Seglin tu opinión, ¿qué objetivos se podrían definir para hacer una intervención educativa dirigida a alguna de estas diversidades?, y ¿qué tipo de intervenciones se podrían programar? ¿Piensas que la didáctica es una herramienta Litil para atender la diversidau? De acuerdo con lo que piensas, ¿qué acciones didácticas se podrían llevar a cabo en este municipio para educar atendiendo la diversidad? ¿Qué necesidades didácticas consideras oportunas para organizar acciones educativas inclusivas? ¿Qué otras acciones didácticas se podrían llevar a cabo en el municipio de! caso para atender la diversidad?
propuestas?
¿Podemos estructurar
El 1. 2. 3.
proceso de estudio del caso se realiza en tres fases: Diagnóstico inicial. Análisis de la actuación en diferentes áreas. Elaboración de la propuesta de actuación.
ises de origen de los inmigrantes. 5. Para facilitar la cohesión social se socializa todo el material escolar y los libros de texto y se mantiene una información y contacto permanente con las familias.
en estas áreas. 4. Se da mucha importancia a la celebración de las tiestas tradicionales en las que participan todos los alumnos de !a escuela y los padres. En estas fiestas y en las clases de educación musical se recogen las músicas y otros aspectos cuiturales de los pa-
de la comunidad educativa. 3. El centro dispone de unas recomendaciones sobre «actividades generales de escuela» relativas al área de lengua y de matemáticas que se realizan en momentos de sustitución o tiempo libre. Son actividades para reforzar los conocimientos básicos
Presentación del caso: Proyecto curricular de centro para atender la diversidad Se trata de un centro de nueva creación que no dispone todavía de edificio definitivo, ni de un claustro estable. Los alumnos provienen mayoritariamente de Marruecos, Senegal, Gambia y de diversos países de América Latina. Para atender a la diversidad el centro cuenta con un aula de acogida a la que asisten todos los alumnos inmigrantes hasta que no tienen un cierto dominio de la lengua, asesorada por el servicio de Lengua, Interculturalidad y Cohesión social (L1C). Dispone también, un día por semana, de los servicios del Equipo de Asesoramiento Psicopedagógico (EAP) y de la colaboración periódica de los servicios sociales. Los objetivos prioritarios del centro son la integración de los alumnos en la sociedad local, la atención a la diversidad potenciando al máximo las capacidades de cada alumno y favorecer la cohesión social entre toda la c¿munidad educativa. Para llevar a cabo estos objetivos se realizan diversas l. En torno a él giran el aprendizaje de la lengua escrita, el dominio de las nuevas tecnologías y el conocimiento de metodologias de exploración del medio, como por ejemplo de estadística, los mapas, las entrevistas, etc. El proyecto incluye el conocimiento de diversos aspectos sociales, naturales y culturales de los lugares de origen. 2. El dominio de la lengua como vehículo de comunicación entre todos los miembros
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del planteamiento
de preguntas
que se con-
tener los profesores?
la
en las áreas de: conocimiento del medio, musical y nuevas tecnologías el curriculo de las diversas áreas a partir de un aporta teoria con una clase magistral y lecturas
con Mercer
matemática?
(2002) y Sullivan
a la diversidad y Lilburn
en
(1997), la intencio-
competencia
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nalidad de estas preguntas es permitir avanzar desde unos primeros niveles de concienciación sobre lo que uno ya sabe o es capaz de hacer, hacia niveles superiores en los que va Fntreviendo la manera en que puede avanzar
De acuerdo
atención
diversidad matemática de los alumnos? ¿Qué herramientas son necesarias para adquirir
m~tica atenta a la diversidad? ¿Piensas que mandar al aula de acogida a un alumno marroquí que usa un algoritmo diferente para restar es atender a la diversidad? ¿Piensas que se le daria el mismo trato a un alumno de Finlandia? ¿Qué dificultades tienen los maestros y maestras para atender a la
ca se plantean diversas preguntas que provoquen la necesidad de teoría: ¿Según tu opinión. en este centro se realiza una educación mate-
sobre el tema. En ei caso concreto de las matemáticas, y con el objeto de promocionar . una educación matemática inclusiva (Planas, 2002). antes de la sesión teóri-
Anáiisis de la actuación matemáticas, educación En esta fase se analiza cuestionario específico, y se
Se pretende relacionar el conocimiento adquirido en el caso 1 con este nuevo caso, para luego fomentar la interacción y el contraste entre los miembros del grupo a partir de la puesta en común.
metodologia?
¿Cómo valoran el proyecto curricular? ¿Cómo se realiza la intervención inclusiva? ¿Cómo valoran inicialmente la actuación de las áreas estudiadas,
ción tan compleja? ¿Qué formación deberian
sideran esenciales: ¿El centro es representativo de la realidad geográfica? ¿El claustro está suficientemente formado para atender a una situa-
Diagnóstico inicial Esta fase se realiza a partir
Elaboración de la propuesta conjunta de actuación El trabajo se realiza en grupos de tres o cu;]tro personas, y se invita a los grupos a realizar propuestas innovadoras y creativas de intervención en el caso 2. Cada grupo debe realizar un diagnóstico definitivo del caso, señalando los puntos fuertes y los débiles; además de presentar una propuesta de mejora en la que, incidiendo en dos áreas elegidas, se planteen nuevas estrategias que completen, amplíen el caso presentado o lo modifiquen substancialmente. Las propuestas deben tener como referencia el proyecto curricular en su totalidad, en el marco de un proyecto de centro atento a la diversidad y debe presentar la forma
mejor en el aprendizaje. Las preguntas se trabajan individualmente, se debaten en grupo y luego se imparte la sesión teórica sobre la diversidad en los algoritmos, de acuerdo con Planas (2006) y los principios de una educación matemática inclusiva, para que los alumnos contrasten los conocimientos adquiridos a partir de las ínteracciones con los demás y el nuevo conocimiento teórico. Algunas de las ideas que se discuten son: Las diversidades no pueden reducirse a las diferencias culturales o a los estilos de aprendizaje, ni tampoco tienen que pensarse sólo desde esta perspectiva. La diversidad en educación matemática no es una cuestión de preferencias individuales o condiciones culturales; hay un referente social que tener en cuenta. . La diversidad de intereses, conocimientos, experiencias ... dentro de todo grupo humano conlleva una diversidad de prácticas y, en particular, de prácticas matemáticas. Una educación matemática inclusiva tiene que considerar y valorar las prácticas de todos los grupos, más allá de su reconocimiento social. La universalidad de las matemáticas hace referencia a las grandes actividades de toda cultura: contar, situar, medir, diseñar, jugar y explicar. Cualquier grupo articula técnicas a fin de desarrollarlas y, dentro del grupo, cada persona las puede modificar. Hay, por lo tanto, tres niveles a considerar: la persona, la cultur
en la que se detallen
algunas
de las actividades
de
- Seleccionar y usar métodos estadísticos apropiados para analizar datos. Sc propone realizar un análisis estadístico de la evolución demográfica de esta ciudad en el período 1900-2007. Desde esta perspectiva, se plantea la realización de una encuesta en
En relación con contenidos de anétlisis de datos
estas formas?
sobre relaciones geométricas. Para fomentar la adquisícíón de estos contenidos, se formulan preguntas como las siguientes: ¿Dónde se ubica el centro escolar? ¿Cuáles son sus límites? ¿Cómo podemos dirigirnos del centro escolar A al centro escolar B? ¿Por qué calles debemos pasar? ¿Cuál es el trayecto más corto? ¿Durante el trayecto, qué formas de tres dimensiones se observan? ¿Qué propiedades geométricas tienen
geométrica. Analizar características y propiedades de las formas geométricas de dos y tres dimensiones y desarrollar argumentos matemáticos
- Especificar posiciones y describir relaciones espaciales, usando geometría de coordenadas y otros sistemas de representación. - Usar la visualización, el razonamiento espacial y la modelización
En relación con contenidos de tipo geométrico:
las áreas trabajadas. Se presentan dos proyectos: una propuesta titulada «Mi ciudad: un lugar para vivinl, que pretende ser una práctica educativa que ayude a los alumnos a realizar un análisis reflexivo del entorno en el que viven, así como ayudarles a comprender que la vida, en el fondo, es una práctica educativa constante. El eje de esta experiencia es el musical «Country mouse and city mousell; a través de él se trabajan contenidos sobre todo del área de educación musical y de nuevas tecnologías. El segundo proyecto consiste en una propuesta interdisciplínaria, con trabajo de campo, procesamiento de datos y exposición de resultados, que abarca todas las áreas del currículo y la educación para la ciudadanía. En este proyecto interviene de forma más concret
de una programación
La metodología de estudio de casos elegida ha requerido múltiples reuniones para diseñar los casos y confígurarlos alrededor de las competencias prevístas en el módulo, así corno para rediscñar y reajustar Iéls disfunciones observadas en su aplicación. Sin embargo, nos reafirm;:¡mos en las expectativ;:¡s iniciales y consideramos que esta metodología ha permitido mejores dinámicas en los procesos formativos y en la consecución de los objetivos y competencias previstas. También observamos como, con verdadera naturalidad, se han desarrollado algunas de aquellas competencias transversales necesarias en la práctica profesional, como por ejemplo desarrollar habilidades de análisis y de síntesis de léI información, de diseño y planificación didáctica para la intervención educativa y garantizar adecuadamente los objetivos previstos en el módulo. Paralelamente se han desarrollado estrategias de
El objetivo de esta experiencia ha sido romper con las dinámicas de construcción fragmentada del conocimiento y con la transmisión de conocimientos cientificos alejados, en algunos casos, de la realidad profesional y de los objetivos y competencias por las que se estructura el aprendizaje. En la formación universitaria empieza a ser comlln utilizar metodologías activas en las prácticas docentes, pero no son habituales las actividades con la implicación de profesores de ámbitos de conucimiento y formaciones diversas. Por esta razón, los conocimientos han sido configurados en multiplicidad de formatos (sesiones expositivas, seminarios con ponentes externos, trabajo individual y grupos de trabajo o pequeñas comunídades de aprendizaje) y la tarea docente ha consistido en crear nuevos escenarios de enseñanzaaprendizaje donde los alumnos han aprendido a gestionar el conocimiento de forma significativa.
Concl usiones
Como podemos apreciar, pues, este trabajo conlleva también la aplicación de diversos procesos matemáticos, entre los que cabe destacar la resolución de problemas, la representación y las conexiones. Es necesario que los alumnos aprendan a resolver probíemas que surgen de las matemáticas en otros contextos; aplícar y adaptar una varifrlad de estrategias apiOpíadas para resolver problemas y usar representaciones para interpretar fenómenos físicos, sociales y matemáticos.
diversas instituciones y organismos de la población (Ayuntamifntn Casal Social, ONG; etc.) para obtener datos. A partir de estos datos se elabora un gráfico de población.
MERCER, N. (2002): «Diversity i:lnd commonality in the analysis of talh. The Journal of the Learning Sciences, 11(2-3), pp. 369-371.
La evaluación de los aprendizajes se ha desarrollado paralelamente al proceso formativo y ha facilitado procesos de reflexión sobre la práctica y sobre los contenidos. La eficiencia de los instrumentos utilizados (las tutorías y el portafolio) y los momentos para la evaluación han permitido observar
promoción de las artes, las ciencias y las humanidades, garantizando en parte su función inclusiva. Dar respuesta a situaciones diversas, cuestionar y replantear las diferentes situaciones generadas en cada uno de los dos casos ha permitido, más que respuestas para solucionar problemas ya descritos, generar interrogantes que ayuden a penetrar en los conocimientos y en las competencias definidas en el máster. Podemos observar los dos casos ejemplificados cumo una forma de: 1. i\dquirir capacidad para aprender de la práctica fundamentada en las dinámicas de trabajo. 2. Desarrollar capacidades personales para la autonomía y responsabilidad. 3. Fomentar estrategias personales de aprendizaje, en la línea de formar profesionales capaces de atender ética mente la diversidad, considerando ésta como objeto y objetivo de su futura acción profesional. 4 Fortalecer actitudes responsables y comprometidas con la libertad, la igualdad, la equidad, el respeto activo y la solidaridad.
PLANAS, N. (2002): «Enseñar matemáticas dando menos cosas por supuestas." Uno. Revista de Didáctica de las Matemáticas, 30, pp. 114-124. - (2006): leLapráctica matemática en su contexto cultural,., en CHAMOSO, J.M. (coord.): Enfoques actuales en Didáctica de la Matemática. Madrid. MEC. SULLlVAN, P.; L1LBURN,P. (1997): Open-ended maths activities: using good questions to enhance learning. Melbourne. Oxford University Press. THE EUROPEANHIGHEREDUCATIONAREA (1999). The Bologna declaration of the European ministers of education. .
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1939
matemática
de maestros
244
El proceso de enseñanza y aprendizaje es un proceso comunicativo, y el caso de la didáctica de las matemáticas no es una excepción. La comunicación humana tiene un carácter proyectivo y la emoción con la que Un do-
Formación
recuerdo. Algún tiempo después, durante una visita a las escuelas infantiles de Reggio-Emilia observamos que el arte (pintura, escultura, música, literatura ...) y el despertar estético eran los fjes transversales para abordar el currículum de todas las áreas. Años más tarde, un equipo de maestros jóvenes nos apropiamos de la filosofía de las escuelas de Reggio-Emilia y la implementamos en «L'Escoletall, actual CEIP Escola 8ellaterra. Se trabajó de forma global izada, atendiendo especialmente al aspecto estético y artistico como eje funciamenta! de nuestro programa. Se tenía claro, como Darder (2001). que la consciencia de las emociones positivas generadas en las situaciones vividas nos capacita para compartirlas y transmitirlas
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(Bellaterra)
matemática
w. Kandinsky, Circuito,
de Barcelona
en la formación
En el año 1978 cuando cursaba magisterio, la profesora de arte Missun Forrellad propuso a la clase realizar un trabajo que consistía en visitar una exposición de Kandinsky, escoger un cuadro y preparar actividades de aprendízaje para alumnos de primaria que tuvieran relación con asignaturas que no fuera visual y plástica. El resultado fue brillante. El placer y la emoción que reportaron esta actividad son de imborrable
Meque Edo Universidad Autónoma
Estética y emociones de maestros se transmite
más que los conteni-
¿Es fría o cálida la geometría?
B",,'OO,_2_0 __0_6)
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activo,
en adelante
maestros).
En esta primera
conversación
con maestros
Suelo utilizar este comentario, u otros parecidos de otros artistas, para realizar un diálogo con el alumnado (sean futuros maestros o maestros en
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«Cuando descubrí que la geometría es lo que está en el fondo de la vida, que es lo que la construye, ¿cómo iba 3 pensar que la geometría es fría? ¿Esfria una flor, una semilla, un caracol maravilloso de la playa? ¿Esfria una estrella de mar? La geometria no es fria; lo será la geometría escolar, ésa donde algunos se han quedado.)) (Palazuelo, MACBA,
En una entrevista a Palazuelo en El País Semanal, el 15 de febrero de 1998, el periodista acusa al artista de hacer «pintura geométrica, pintura fria)); Palazuelo responde que está de acuerdo en que sea geométrica, «¿pero fría? ...)) y argumenta:
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que gestiona
Hace más de quince años que participo en la formación inicial de futuros maestros, impartiendo didáctica de las matemáticas y, al mismo tiempo, realizando formación permanente de maestros en activo con cursos, seminarios,.asesoramientos a centros, ponencias, escuelas de verano, etc. Por eso, la experiencia que se muestra a continuación no se refiere a un solo caso ni a un solo ámbito. Los ejemplos son tanto de formación inicial como de formación permanente. Con ellos, se trata de mostrar intentos de compartir una mirada hacia el aprendizaje de las matemáticas vinculados a la emoción estética; el arte, especialmente pintura, escultura y arquitectura, han sido mis aliados para ayudar a los maestros a vivir y sentir la potencia de un área abstracta y racional, la matemática, de forma vinculada a sensaciones y emociones estéticas.
cente vive el acto didáctico dos mismos de la situación.
alguna obra del siglo xx, sin mencionar
el autor
para la obra.
mismos contenidos
en infantil
matemáti-
ma-
o primaria.
servir para trabajar
los
de la vida del artista: nacimiento, premios, exposiciones, selección de
obras que más les interesé1i't, etc. Buscar obras de otros artistas que puedan
cos que han aparecido. Investigar aspectos relevantes muerte, trabajos importantes,
Al terminar la sesión y como trabajo guiado se les propone: Definir y hacer un mapa conceptual sobre los conceptos
temática para realizarla. La invención de un posible título
El análisis conjunto de la obra incluye: La descripción de la sensación que les produce. E! análisis de los elementos que reconocemos en la obra. La discusión sobre si el autor utilizó algún tipo de herramienta
rrecta para cada término. . Si nos quedáramos ahí la actividad sólo consistiría en usar un cuadro como pretexto para revisar conceptos matemáticos y ésa no es la intención.
en pequeño grupo, de buscar, definir y relacionar un listado de conc~ptos oeométricos elementales, consultando manuales y libros de matematlcas fiables y descubriendo con frecuencia que no existe una única definición co-
ni el título, y hablamos conjuntamente de qué conceptos matemáticos de primaria perciben en esta obra. El análisis de los elementos que com~onen la obra forman parte del alfabeto visual y plástico y a su vez, la maY0rla, son conceptos geométricos. Por ejemplo, en la obra de Palazuelo mostrada, fácilmente aparecen los conceptos de línea; línea recta, curva y quebra.da; segmento, segmentos que se interceptan, líneas paralelas y perpendl~ulares; ángulo y tipos de ángulos, polígono y no polígono, punto, etc. A medida qu~ se van nombl'ando, los maestros los señalan en la obra y se discute Si se esta de acuerdo con la identificación y definición del concepto. Este contexto es una buena ocasión para revisar las ideas de los maestros sobre estos conceptos y, a menudo, se termina la sesión proponiendo la tarea, para realizar
tece explorar esta relación. A continuación muestro
sus conocimientos y creencias, fruto de sus vivencias, en relación con las matemáticas, concretamente la geometría y también el arte, especialmente el arte abstracto del siglo xx. Las reacciones son muy diversas pero siempre hay un grupo ímportante de asistentes al curso a quienes les ape-
emergen
Cuando los maestros hacen de alumnos
Composición
Aritmética,
Theo van Doesburg, 1931'
tiene ningún sentido; se trato de «inspirarse» en el cuadro o escultura y crear una producción plástica propia. Esta misma actividad se propone a ¡os maestros.
Una de las posibles actividades que se pueden realizar en las aulas de primaria e infantil es pedir a los alumnos que realicen una composición plástica inspírada en los elementos que comfJonen la obra artistica de referencia. Nunca se trata de «reproducir)) la obra, no
La sensación de movimiento y de perspectiva de este cuadro es creada por la secuencia de cuadrados pintados de negro contra un fondo de cuadrados blanco,. El artista ha utiiizado un cálculo matemático: los lados de cada cuadrado y la distancia entre ellos, es la mitad del cuadrado anterior. Lo utilización de la repetición de un elemento, el cuadrado, la relación entrc susáreas y su disposición espacial crean un efecto tridimensional sobre una superficie de dos dimensiones. El uso de una fórmula matemática simple permite este efecto. Nuestro título es: "Progresión geométrica de lado razón dos.» (M. Figueres,O. Suárezy A Puigj
Una de las siguientes actividades consiste en pedir a los maestros que seleccionen una obra concreta de un artista que les guste especialmente y que la asocien a un conjunto de contenidos matemáticos, conceptuales y procedimentales. Después, tienen que presentarla a sus compañeros y se discute el tipo de trabajo matemático que se podría desarrollar y la edad de los alumnos a los que sería más adecuado su presentación en función del contenido matemático y artístico seleccionado. Veamos algLln ejemplo.
1913,
can círculos
cancéntrícas
Alumnos de 4 a 5 años Una maestra de educación infantil recién diplomada, Cristina f'v1asoliver, sustituye las «fichas}) de figuras planas de la clase de 4 años por actividades manipulativas y de composición de figuras planas recortadas, momento que aprovecha para realizar una evaluación previa del dominio de los términos geométrico,; que utilizan sus alumnos.
Todo este proceso culmina cuando la vivencia del maestro puede ser compartida con sus alumnos, es decir, cuando puede ayudar a los niños de infanti! y primaria a construir conocimientos matemáticos cada vez más sólidos, a la vez que transmite la emoción de la situación. L;:¡experiencia de distintos años muestra que muchos maestms entienden la situación didáctica vivida desde un punto de vista creativo, y por ello no reproducen exactamente la actividad que realizada en estos cursos, sino que toman el contexto del arte y la matemática como marco general y crean nuevas propuestas adaptadas a los alumnos con los que interactúan. Veamos dos ejemplos de alumnos de edades bien distintas, uno de educación infantil y otro de ciclo superior de primaria.
Cuando los maestros tienen aiumnos
Cuadradas
W. Kandinsky,
Seleccionar una obra, analizar los contenidos matemáticos, diseñar una creación propia y enfrentarse a todos los procedimientos manuales que implica escoger, manufacturar, componer y distribuir, en este caso, figuras planas es una buena vivencia personal que les prepara para poderlo realizar con sus alumnos y conocer cómo sacar partido a la propuesta en el aula de infantil y primaria.
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Durante la conversación reaparece el término ({circulo})y se discute sobre cómo se reconoce; llegan a la conclusión de que se hace con ((una linea curva cerrada», Al cabo de un tiempo de observar la obra y guiados por las preguntas de Cristina, los alumnos observan que ((el rectángulo del cuadro está dividido en varios cuadrados}) y que, ((cada cuadrado tiene varios circulas, uno dentro de otro}). En este momento se detienen en contar cuántos cuadrados tiene cada fila y columna; los alumnos quieren saber cuántos cuadrados hay en total, la maestra les pide que hagan hipótesis y a continuación se comprueban colectivamente, También discuten cómo se hace un cuadrado y aparece la necesidad de hacer ((cuatro lineas rectas}). Más tarde se inventan un juego parecido al ((Veo,veo ...}).Primero la maestra, y luego los alumnos, dicen por ejemplo: (Neo un círculo azul, seguida de uno verde, uno rosa y uno verde, ¿cuál es?>!.Y los compañeros dicen: «(primera columna, Liltima fila.}) Estejuego les lleva a contar cuántos circulas hay en cada cuadrado, si todos tienen e! (mismo nLlmero o hay uno que tiene más}).Toda esta observación tan detallada provoca que un alumno diga: "Pero estos círculos no están tan bien hechos como los de verdad, están torcido51).Situación que se aprovecha para comentar la dificult;:¡d de hacer un circu,lo perfecto sin plantilla. La maestra les pregunta si les parecen igualmente bonitos y si ellos lo querrian probar. Laactividad plástica en esta ocasión fue muy libre, se les propone que hagan una composición propia inspirándose en el cuadro que han estado observando. Era la primera vez que estos alumnos utilizaban pintura y pincel en la escuela. Una vez terminado el mural, un alumno observó: IIMira, cuatro en cada fila y tres en cada columna igual que en el cuadro»),
La siguiente actividad, inspirada en Edo (2006), consiste en realizar una conversación con grupos de doce alumnos a cerca de qué ven, qL!~ :'-':1 y qué distinguen en la obra Cuadrados con círculos concéntricos de W. Kandinsky. Los contenidos matemáticos que se priorizan en esta secuencia son: Identificación y análisis de círculo, cuadrado y rectángulo. Identificación de linea recta y linea curva. Recuento y cardinal, cantidades hasta doce. Ubicación a partir de filas y columnas.
primaria,
Edelmira
Badillo,
rea-
cün
una
artística
realizó con
armonizada
que la maestra
Paul Klee, 1937, Batalla
entre
Comenta con tus compañeros del grupo las definiciones anteriores. Comparadlas con las de los libros para ver qué falta y proponed una nueva definición para ángulo y partes y tipos de ángulos. Elaborad una transparencia con el concepto de ángulo que creáis correcto.
.:-';;", -iguales -
Confrontacion
Consensuamos una definición para ángulo y partes y tipos de ángulos. Elaborad individualmente un mapa conceptual del concepto de ángulo. Consensuamos un mapa conceptual de la clase.
de ángulo tenemos en cuenta tres fases (véase cuadro 1):
En tu ficha responde por escrito estas preguntas: ¿Qué es para ti un ángulo? • ¿Qué partes tiene un ángulo? ¿Cuántos tipos de ángulos conoces? ¿Puedes enunciarlos y representartas?
En la definición
Actividades de definición
el grupo.
conversación para indagar las ideas de los niños sobre líneas, ángulos y tipos de ángulos; preguntamos sobre las emociones que les transmite la obra y pedimos que piensen un título. A continuación mostramos actividades de definición y de producción
con la noción de ángulo. Empezamos el taller
2005). Los contenidos matemáticos que priorizamos están relacionados
liza un taller de arte y matemáticas en el ciclo superior de primaria en el CEIP Escola Bellaterra; usa el cuadro Batalla armonizada de Paul Klee sin mencionar el título a los niños. Este taller está publicado en Badillo y Edo (2004 y
Alumnos de 11 a 12 años Una maestra en prácticas de educación
Lados
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sr representa
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se represcnt;¡
rios estados anímicos: Curiosidad que les lleva a querer saber más sobre lo que están real izando. Implicación en la tarea y confianza en su papel en ella. Comodidad en el trabajo co!aborativo con los compañeros y el profesor.
Una característica común a las experiencias mostradas, tanto cuando los maestros están en mi aula, como cuando interactúan con sus alumnos, es el poder reconocer en los alumnos, en el transcurso de las actividades, va-
Para acabar
su obra.
construcción de los objetos geométricos que conforman la obra, de las técnicas artísticas y materiales que se utilizan, y del título del cuadro, el nombre del autor y la descripción de los sentimientos que quiere transmitir con
Estas actividades tienen como objetivo promover en procesos de reflexión sobre la importancia que tiene, en la una producción artística, que relacione arte y geometría, la uso práctico de contenidos geométricos en la construcción tística, de los procedimientos (geométricos y algebraicos)
los estudiantes construcción de justificación del de una obra arutilizados en la
ctJ CÍJ GtJ ciJc:b Q] I
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Actividades de producción artistica.
b-
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Unidad b;isica
un óngulo
diferen-
media hoja. Primero he pin-
que he
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la regla). La técnica
quería
Creo que la diferencia
lleva
para que no fuese
He querído
(en este caso
BADILLO, E.; EOO, M. (2004): «Taller de arte y geometría, en el ciclo superior de primaria, 1: Ángulos. Desarrollo Curricular. Estrategias e InstrumentoS)},en TOMÁS, C. y CASAS, M. (coords.): Educoción Primaria. Orientaciones y Hecursos (6-72 añosj. Barcelona. Praxis.
Lo que me gustaría resaltar de este capítulo son las posibles emociones positivas que pueden vivirse vinculadas a momentos de aprendizaje matemático. En este caso, el arte es mi aliado porque me ~mociona, pero lo realmente importante es conseguir que los maestros vivan experiencias positivas y gratificantes vinculadas a la enseñanza y al aprendizaje de las matemáticas y puedan así compartirlas y transmitirlas a sus alumnos. Otros podrán partir de la música, la literatura, la arquitectura ... Cada profesor puede escoger la situación que tenga más sentido de acuerdo con sus vivencias y crear un entorno de aprendizajes matemáticos en el que puedf compartir su emoción.
la alegría.
tan formal, para darle un poco más de felicidad.
para dar alegría,
y Claridad.
más la atención
los
son: que
/le formado
que quiero transmitir
Oscuridad
que llama
transmitir
toma/70S de ángulos
También
hacer díferentes
los ángulos).
Los sentimientos
hay alguno
complementarios.
en una cosa siempre
ángulos
toda la hoja con una cera negra. Para acabar, con un palillo
tado la media hoja, a trozos, con colores vivos sin fregar. Después he pintado
ha sido las ceras blandas. He utilizado
y
Cuando me quedaba
(con compás
complementario.
lo recto le he hecho una bisectriz
utilizado
en
Para poder hacerhe hecha,
rectos. Después desde el vértice he hecho líneas, para
Primero
complementarios.
geométrico.
de óngulos
el procedimiento
óngulos
que se formara
tes tamaños,
la he utilizado
He hecho una composición
A continuación podemos ver cómo J. Orobitg justifica una de sus producciones plásticas, Oscuro el plano y vivo de color las semirrectas (2003):
Tranquilidad en el sentido de ausencia de prisa y nervios. Sensación de conseguir resultados que complacen al estudiante y al tutor. Satisfacción al percibir avances y superación de obstáculos.
- (2005): «Taller de arte y geometría 1: Documentación para el taller. Desarrollo CL... :~;.,:ar. Estrategias e Instrumentos)), en TOMÁS, C. y CASAS, M. (coords.): Educación Primaria. Orientaciones y Recursos (6-72 años). Barcelona. Praxis. DARDER, P. (2001): «Repensar I'educació des de les emocions». Perspectiva Escolar, 256, pp. 4-11. EOO, M. (2006): «Matemátíca y arte, un contexto interdísciplínario)), en BERMEJO, V. y otros (coords.): Actas del I Congreso Internacional de Lógico-Matemótico en Educación Infantil. Madrid. World Association of Early Childhood Educators. - (2008): «Matemáticas y arte en educación infantil)). Uno. Revista de Didáctica de las Matemáticas, 47, pp. 37-53.
en el profesorado
Formar en creatividad matemática en la formación inicial de profesores de primaria implica un proceso complejo, porque a menudo la experiencia que los formadores hemos tenido de nuestros propios profesores universitarios nos muestra que no dirigían las propuestas matemáticas hacía ese componente (Meissner, 2002). Por otro lado, pensamos que no siempre una propuesta, que para el docente universitario se presenta como creativa, será interpretada así, y menos aLin que fomente enfrentar la creatividad en la complejidad en lo profesional. El principio en el que nos apoyamos es que para tener estudiantes de primaria creativos y confiados en sus posibilidades de formar creativamente, hemos de fomentar la creatividad de los futurOSprofesores para que puedan reconocer sus prácticas en las condiciones de su entorno (Kubinova, Baresova y Hanusova, 1999). Asimismo, interpretamos que para reflexionar sobre la creatividad de los valores científicomatemáticos, tenemos que aprovechar las muchas situaciones interesantes que nos proporciona el mundo de la geometría, precisamente por el déficit que nuestros futuros docentes tienen en este ámbito de las matemáticas. Consideramos que para llevar a cabo un buen desarrollo creativo en los futuros m
Joaquim Giménez y Josep Maria Fortuny Universidad de Barcelona y Universidad Autónoma de Barcelona Edelmira Badillo Escola Mare de Déu de la Merce. Badalona (Barcelona)
Creatividad y práctica profesional de matemáticas
esperados
«Hola jóvenes,muy a menudoen lasclasesde matemáticassurgeunapreguntaque a nosotroslos profesoresnosentristece,pero bueno,tenemosque dar repuesta,y es ¿paraquemesirveesteconocimientoque meestásenseñando,paraquemesirveesto en la vida?Precisamente,en la sesiónde hoy lo que queremoses mostrariesla gran funciondlidadque tienenlosconceptosmatemáticospararesolverproblemasde la ClJtidianidad,problemaSreales.»
Dado que uno de los aspectos débiles de la formación inicial de los futuros profesores de primaria es la reflexión sobre algunos aspectos de la complejidad del trabajo geométrico, se pretende valorar las conjeturas y producciQnes de hipótesis en primaria, y ofrecer Llna visión de las matemáticas como respuesta a tareas de modelización. Pero se aprovecha la situación matemática para movilizar el valor didáctico de la producción de conjeturas en la formación primaria, el análisis del uso y potencial de los recursos de tecnologías de la información y de la comunicación (TIC) para el aula de matemáticas. La experiencia se desarrolla en un proceso de formación semipresencial y se implementa con estudiantes para profesor de lengua extranjera en la Universidad de Barcelona. El curso se desarrolla en un cuatrimestre con 50 horas presenciales aproximadamente, con una estructura de créditos europeos (ECTS),en la que se espera que los alumnos hagan actividades de estudio diversas. El grupo está formado por 60 estudiantes, de los cuales asisten regularmente unos 30, mayoritaria mente chicas. Se sigue una metodología realista en la que se pretende afianzar trayectorias de formación profesional (Burgués y Giménez, 2007; Giménez y otros, 2007). Se inicia con un problema de acción matemática que los autores convinieron en organizar en un módulo profesional de un máster on-/ine del proyecto «Matemáticas en contexto» (Fortuny y otros, 2008), en el que se contextualiza una situación que podría denominarse realista.
La actividad y los significados
Provocamos la respuesta de los estudiantes frente a una situación-problema desconocida, de forma abierta para provocar conocimiento matemático, reflexión didáctica y actitud profesional. No nos limitamos a resolver la tarea, sino que se produce un diálogo reflexivo sobre su potencial creativo. En este sentido, se diseña y construye un entorno de comunicación bimodal (Jonassen y Rahrer-iVlurphy, 1999) para que los estudiantes conozcan el medio virtual y sean eficientes en su uso cuando ejerzan como profesores.
1. Página web del proyecto
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con la presentación planteado
Se prepara un3 actividad en la que los estudiantes deben intentar resolver un problema con el apoyo de un entorno educativo potente en lo visual. Se plantea una situación problema: encontrarse un pergamino que permita encontrar un tesoro. Se analiza hasta dónde los conceptos matemáticos que hasta ahora se han venido trabajando en la escuela pueden ayudar o no a encontrar el tesoro. La idea básica es que para resolver el problema se dispondrá de varios instrumentos. El primer instrumento del que se dispone es el enunciado del problema del que se hablará a continuación. Además, se cuenta con ayudas visu;¡les que pueden permitir encontrar la solución del problema; pero lo más rico y valioso, antes de buscar la solución, es el proceso de la formulación de hipótesis sobre lo que puede suceder. Se proponemos explicar entre todos qué es conjeturar en matemáticas. Para ello se irá de la observación a la conjetura. El problema que hay que resulver es el siguiente: imagina que estás en una isla y que de repente vas caminando y te encuentras con un pergamino. Resulta que ese pergamino tiene unas indicaciones que te van a permitir encontrar un tesoro si logras organizar la información y descifrar las propiedades que hay implícitas. La tarea inícial es ponerse en el lugar de quien lo encuentra, un joven que se llama Juan que caminando por una isla
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"Matemáticas
de secundaria
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la tarea y respl!~~tas de alumnado
Imagen
Por último, se da la oportunidad de usar un applet que permite manipular la situación.
Recuerda si has resuelto situaciones parecidas para ver qué conocimientos matemáticos y no matemáticos pueden ser Lltiles para demostrar las hipótesis que se plantean. Plantea hipótesis o haz conjeturas para una posible resolución y busca argumentos que ayuden a comprobarla.
Escribe las ideas que puedan ayudar a comprender el esquema y la situación. Verbaliza las dudas en torno d la situoción.
Dibuja, si quieres, un esquema de la situación.
Resalta las ideaS clave del enunciado.
Se propone que se sítLlen en la posición de resolutotes, hacíendo que reflexionen sobre diversos procesos heurístícos habituales:
Mi consejo, si quieres intentar resolver el problema ... es que te centres ante todo en la interpretación de la situación."
Entonces la pregunta es: "Si el pino, que es el punto de referencia, no está, ¿podrá Juan encontrar el tesoro?".
«Genial, si tú sigues esas indicaciones podrías o no encontrar el tesoro. El problema es que el chico emocionado por las indicaciones va a la isla y cuando llega resulta que el pino no está.
A continuación, en la página web se propone que los estudiantes se.involucren de nuevo en el contexto: .
Clava en el suelo otra estaca. Entre esas dos estacas está el tesürO.ll
Ahora, camina hacia el olmo. Cuando llegues al olmo gira nuevamente noventa grados hacia la izquierda y camina la misma distancia.
((Desdeel pino camina hasta el eucalipto. Debajo del eucalipto, has de girar un ángulo recto hacia la derecha y andar la misma distancia que antes. Clava una estaca en el suelo. Vuelve al pino.
donde hay un tesoro enterrado se encuentra un pergamíno que tiene las siguíentes indicaciones:
y la reflexión
sobre el
reconocen
fácilmente
con la ayuda
del applet,
que in-
dependientemente de dónde estén los árboles iniciales, el tesoro está en el mismo lugar. Dibujan en el papel y encuentran fácilmente la solución. Pero se intercambian mensajes para la bLlsqueda de la explicación, y algunos de ellos explicitan que ya llegaron al resultado cuando saben donde está el tesoro, y dicen:
Los estudiantes
¿Qué conjetura has sacado a la luz realmente después de experimentar? ¿Qué nociones matemáticas has puesto en juego para tratar de resolver la tarea? ¿Qué procesos matemáticos? ¿Qué propiedad consideras haber aprendido matemáticamente cuando has trabajado en la actividad? ¿Por qué consideras que se ha llamado a esta actividad «pasando de !a observación a la conjetura,,?
debe ahorrar la provocación de hipótesis y conjeturas valor de los recursos en la producción de conjeturas:
de dicho problema, se sigue con varias preguntas de análisis profesional. Se provoca la búsqueda de la solución, pero, se desea ante todo observar que no siempre lo aparentemente evidente es fácilmente demostrable, y aunque eso precisamente es lo difícil en educación primaria, no nos
A partir
El profesor interviene en dichas «conversaciones)) con la sesión-tarea anterior.
para establecer
cone-
original
de experimentación
permite
observar
el movimiento,
que se realizó
a continua-
diantes
aproximaciones
se pretende
hipótesis:
que los estua la idea de producir
que se daba a continuación, vean que hay diversas
En la propuesta
¿En qué ha contribuido la experimentación para que lanzaras la conjetura? Explica la frase: «La sucesiva experimentación permite ver que la conjetura es adecuada y correcta, pero no permite sólo analizar su validez y demostración)).
Como no era el objetivo directu, la pregunta ción propone la siguiente reflexión didáctica:
den a patrones que consideran que le gusta al formador. Precisamente el objetivo era reconocer ahora el potencial de! applet para desarrollar una retlexión matemática de alto nivel. Con todo, sólo algunos grupos se deciden a seguir en la búsqueda.
a diferencia del dibujo estático que representa usar en el papel unas posiciones determinadas. A la pregunta dada de qué han aprendido matemáticamente, todos parecen haber reproducido lo que ya se discutió en una clase anterior: (eque es importante promover hipótesiSl). Lo cual muestra que alu-
El applet
JosÉ: Dijimos que según como sea la transformación surgen los puntos que no se mueven. Ahora es el tesoro el que no se mueve.
FORMADOR: ¿Y qué tiene que ver esto después de lo que se propuso en la otra clase que ya hablamos de invariantes? ¿Por qué creen que les propusimos esa pregunta? '.. MARTA:Cuando vimos las simetrías yeso ... ¿Será que lo puedo entender como una transformación ...? LIDIA:Se trata de dos giros. ¿Eseso?
xión
MARTA:Ahora sí, porque lo que importa es decir que hemos hecho la conjetura. LIDIA:Sí. Eso es lo que pregunta.
JOSÉ:Pero Luis, si ya sabemos que el tesoro está ahí, ¿dónde está el problema? LIDIA:Si, tienes razón, pero creo que después lo qur illJieren es que sepamos por qué. JosÉ: Entonces lo dejamos así.
teóricas
de otros autores.
Después de ejecutar la tarea e ir anotando comentarios en las listas, se discuten las respuestas en la clase presencial. El objetivo es consolidar los valores de los recursos. En alguna otra ocasión se había discutido sobre el valor de los applets en numeración.
gura auxiliar.
cualquier par de puntos, la situación del pino es independiente de donde estén los puntos iniciales. ¿Por qué OCUriCeste fenómeno? 4. Observa que quizá hiciste esta afirmación-descubrimiento: "Si tenemos dos puntos'fijos y otro variable, desde el que trazamos segmentos hasta estos puntos fijos y a continuación los giramos 90·, entonces el punto medio de los extremos resultantes es fijoll. Trata de ver que puedes probar el hecho de varias maneras. Quizá haciendo clic aquí. Es bueno que te ayudes mediante alguna fi-
quien dejó el mensaje lo ha hecho porque sabe que siempre aparece el mismo sitio. ¿Sirve eso para demostrar el porqué del fenómeno? ¿Convencer y demostrar es lo mismo? 3. Es posible que estés convencido de la conjetura, que al hacer las instrucciones para
muévelos. Observa lo que ocurre ... ¿Ya se te ocurrió algo? 2. Seguro que te has dado cuenta de que al cambi
a los estudiantes para que mejoraran en la producción de razonamientos, haciendo que éstos fueran de mayor nivel. Después,justifica por qué en primaria no podemos hacer lo mismo con este tipo de problemas, pero sí con otros más simples. 1. Si no has llegado a ninguna conjetura, prueba con distintos puntos de los árboles y
Observa las explicaciones sobre tipos distintos de razonamiento (interpretativo, figurativo y relacional) y asocia los siguientes cuatro mensajes de ayuda que podrías dar
que se dan en reflexiones
Por último, se propone una reflexión epistémica, de gran interés para la formación docente, precisamente para que se apoyen las afirmaciones
sentido semejante. ¿De qué modo ayudan los applets a producir conjeturas7 Busca otros applets que a tu juicio propongan el establecimiento de conjeturas.
Observa el comentario del artículo adjunto sobre la producción de hipótesis. Haz una búsqueda en Internet de actividades para realizar con alumn?r!n np nrimaria en un
de los estudiangenérica: «¿Qué
las respuestas
de los estudiantes,
vemos
que Yolanua
iden-
Consideramos que la práctica profesional desarrollada ha permitido establecer conexiones entre distintas áreas del currículo dentro y fuera de
Conclusiones sobre el potencial creativo de la práctica profesional
tifica la motivación, el realismo y el aprovechamiento de los distintos materiales. En efecto, a partir de lo que hablan escrito, se produjeron en la clase diálogos interesantes en grupos de cuatro o cinco estudiantes.
Al analizar
LUISA:Sí, a mi también me resultó difícil, y no supe resolver el problema. Pero a pesar de todo entendí que el pino siempre estaba en el mismo sitio. FORIvIADOR: Veo lo que contestaste precisamente tú (dirigiéndose a Yolanda), pero ¿dónde está la dificultad? ¿Es tuya o de la tarea? ÁNGEL:Tenemos dificultades porque, por ejemplo, no siempre vamos a disponer de un ordenador en las escuelas para hacerla. LIDIA:Pero es interesante. Nunca lo habíamos hecho.
YOLANDA: "Pienso que la situación es complicada para los niños de primaria, porque a mi misma me ha costado. Hasta cuando he visto las tareas de la profesora Margeli, me ha parecido que se trata de cosas difícilesll (del texto escrito por Yolanda).
dificultades especiales te has encontrado?ll. El formador les proporcionó en una hoja las respuestas que habían dado unos cuantos de ellos, con el objetivo de leerlas y comentarlas.
Por último, para tratar de reconocer el nivel reflexivo tes y la autocrítica que realizan, se les propuso la pregunta
SONIA:Se pueden cambiar los puntos y ver qué pasa. Escomo condiciones. MARTA:Cuando se movían los aviones, teníamos algunas veces los puntos invariantes. FoRMADOR: Bueno, ¿y qué competencias hemos desaiíOllado?
MARTA:Los puntos iniciales.
LUISA:Que se pueden ver muchos puntos. GINA:Que se puede mover FoRIvIADOR: ¿Qué se mueve?
FoRMADOR: ¿Qué dijiste sobre el papel del applet que te permitió establecer la solución? PABLO:Que es mejor que el papel ·cuadriculado.
bi~l_io~g~r_á __ fi_ca_s
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BURGUÉS, C.; GiMÉNEZ, J. (2006): «Las trayectorias hipotéticas de formación inicial (TRHIFI) como instrumento para el análisis del desarrollo protesional: análisis de un caso en la formación de futuros docentes de Primaria en Matemáticas», en PENALVA, M.e.; ESCUDERO, l.; BARBA, D. (coords.): Conocimiento, entornas de aprendizaje y tutorización para la formación del profesorado de matemáticas. Granada. Proyecto Sur. FORTUNY,J.M. y otros (2008): Matemáticas en Contexto. Río Piedras. Universidad de Puerto Rico. http://www.m3tematicasencontexto.com/ tutormates/10geo. GIMÉNEZ, J. y otros (2007): «APPLETMAT:Applets en la formació d'ensenyants de Primariall. Informe de treball. Proyecto MQD 2005. Universitat de Barcelona.
Referencias
las matemáticas, con lo que amplia la imagen de las ideas matemáticas y desarrolla significados; ha servido para provocar no sólo una reflexión matemática per se, sino didáctica en cuanto lo estratégico del contenido; ha supuesto retos y dificultades para los estudiantes y muestra su diversidad; finalmente, ha permitido establecer conexiones con otros aspectos no matemáticos propios del mundo de la literatura y la ciencia. Además, ha permitido la comunicación de ideas profesionales y ha desarrollado elementos creativos como la flexibilidad de aplicación y el estímulo a las múltiples soluciones, promoviendo apertura y autoconfianza. Ha permitido ritmos propios de aprendízaje, dando autonomía suficiente para programar formas de aprender y posibilitar convertir al alumno en el centro del proceso de aprendizaje y en sujeto activo de su formación. Ha potenciado la iniciativa personal: el alumno adquiere actitudes, intereses, valores y hábitos formativos que le facilitan los mecanismos para regirse a si mismo y para aprender a aprender. En cuanto a los elementos metodológicos trabajados, constatamos que la enseñanza a través de la combinación de diversos medios técnicos, en algunos casos muy sofisticados. requiere una formación específica de los futuros docentes en metodología y uso de recursos tecnológicos. Así, vemos que a pesar de que las nuevas generaciones de futuros docentes han usado el ordenador desde pequeños, no se puede dar por sentado la destreza en la utilización de los mismos.
SEQUERA,E.; GIMÉNEZ, J.; SERVAT,J. (2005): ((Creativity and on/off-line. preservice primary mathematics teacher trainingll. Documento presentado en el V EARCOME.Shangai, 5-7 agosto.
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pueden referirse a situaciones de manipulación de teoremas, lemas y corolarios, pero también pueden pensarse en contextos de manipulación de materiales de la 'vida cotidian;:¡.
Las buenas prácticas descritas son sólo algunas de las muchas existentes y, en este sentido, reproducimos pélrcialmente el conjunto de escenarios de aprendizaje y enseñanza de las matemáticas de calidad. En nuestra opinión, se trata de prácticas que resuelven bien las tensiones inevitables entre la parte abstracta de la matemática, en tanto que ciencia desinteresada, y la parte aplicada o práctica, en tanto que disciplina escolar. El mantenimiento del equilibrio entre lo abstracto y lo práctico -en caso de que aceptemos esta distinc:ónes siempre complejo; a menudo, ambas perspectivas se han planteado de modo dicotómico y los defensores de una han devenido detractores de la otra. La reconciliación de lo abstracto y lo práctico ha de hacerse en horizontal, considerando la importancia de ambas perspectivas y sin relegar una de ellas a un terreno secundario. La visión cíclica de la educación matemática consiste precisamente en valorar por igual los procesos de contextualización y los de descontextualización (Planas y Edo, 2008). Las matemáticas «avanzadas»
la matemática como disciplina escoiar (Goodson, 1995) y, éll mismo tiempo, como una forma de diferenciar la disciplina escolar del «conocimiento matemático como ciencia desinteresada», del que hablaba el sociólogo húngaro Karl Mannheim (1964).
de las matemáticas
de otras disciplinas, como vehículos para una enseñanza y aprendizaje de calidad. El hecho de dar a conocer estas prácticas puede entenderse como una forma de contribuir a la construcción social de
tos
Hemos iniciado este libro haciendo referencia a la que hemos denominado una educación matemática cíclica. Las buenas prácticas presentadas ofrecen diversas posibilidades para una reconceptualización que tenga en cuenta la naturaleza cíclica del conocimiento matemático y las formas de acceso a él. Hemos podido familiarizarnos con prácticas que apuesta.n por un conocimiento matemático contextualizado y conectado con conocimien-
~í1ogo
prensión. Emplear actividades que supongan el uso de la mano y el ojo, y no sólo de la oreja, en conjunción con el cerebro, así como de los métodos gráficos. Adoptar métodos experimentales y heuristicos: experimento; estí-
completa. En esta parte final del libro y de acuerdo con las reflexiones anteriores, retomamos los siete principios clásicos de la enser-ranzade las matemáticas elaborados por el matemático inglés John Perry y sintetizados en Price (1986, p. 114); a modo de decálogo, los completamos con tres principios más, ubicados al final de la siguiente lista: Tener en cuenta la motivación y los intereses del alumnado. Basar lo abstracto en la experiencia concreta para promover la com-
Es bueno que Euclídes sea una parte importante del currículo de matemáticas en las distintas etapas educativas, en tanto que metáfora de los contenidos que se justifican como ejercicio de las capacidades intelectuales de quien los estudia. Sin embargo, las biografías anónimas de muchas otras personas y grupos son, o debieran ser, otra parte importante de este currículo, aun cuando en estos casos la aplicación del conocimiento matemático no se vincule directamente a los hábitos intelectuales que genera. Las historias de vida de todos nosotros incluyen multitud de episodios donde necesitamos o hemos necesitado el conocimiento matemático (Gallego, 2005); hay muchos otros episodios donde podríamos haber mejorado nuestras actuaciones si hubiéramos usado el pensamiento matemático. Lavida de cada uno de nosotros es, en este sentido, una fuente inagotable de escenarios de aplicación de conocimiento matemático. No hay que ser «antieuclidiano)} para ser «procontexto)}, ni hay que ser «anticontexto)} para ser «proeuclidiano)}. La inclusión de los contextos de las personas para la mejora de la enseñanza de las matemáticas no implica el rechazo de los contextos propios de las matemáticas. Insistimos, de nuevo, en la visión cíclica presentada y en la imposibilidad de cerrar el ciclo si no se facilitan procesos complementarios de descontextualización Y de recontextualización. Algunos de los autores que han colaborado en este libro, después de interesarse por la utilidad de la matemática escolar, nos dicen que una matemática escolar incapaz de desprenderse del contexto es una matemática incompleta. Del mismo modo, una matemática escolar incapaz de aceptar que el trabajo de los decimales antecede al trabajo de las fracciones en las historias de vida de muchas personas, también es una matemática in-
Añadimos los tres últimos principios con la intención de cerrar «mejor)} el círculo, retomando cuestiones y prácticas matemáticas de importancia que podrían no ser incorporadas en el desarrollo del currículo si sólo se tuvieran en cuenta la motivación y los intereses del alumnado o si se retrasara tanto el rigor lógico y la preocupación por los fundamentos que, finalmente, no sevolviera a ellos. Estasconsideraciones son importantes porque, tal como señala Morín (2000). estamos en un momento histórico de inicio de siglo caracterízado por el debilitamiento del conocimiento abstracto y el fortalecimiento del conocimiento contextualizado; situación precisamente contraria a la que vivió Perry en su época. La consolidación progresiva de las historias de vida como una fuente legítima de conocimiento ha comportado el cuestionamiento de nociones clave de la matemática como la noción de certeza asociada a la de prueba. Este nuevo orden epistemológico es tan peligroso como el orden epistemológico anterior en el cual la certeza y la objetividad eran valores incuestionables de la matemática. Siguiendo con atención la historia que llevó a Perry a formular sus principios para la educación matemática a finales del siglo XIX, puede inferirse que probablemente él no estaria de acuerdo con añadir los tres últimos enunciados del listado anterior porque, entre otras cosas, no los consideraría necesaríos. En su época no había ríesgo de (sobrecontextuali-
mación, aproximación, observación, inducción, intuición, sentido común, etc. Retrasar el rigor lógico y la preocupación inicial por los fundamentos, y restringir los elementos deductivos formales, admitiendo diversas formas de demostración. Simplificar, ensanchar y unificar la materia-disciplina de las matemáticas, e ignorar las divisiones artificiales tradicionales. Correlacionar las matemáticas con la ciencia y el trabajo de laboratOriO, y relacionar las matemáticas con la vida y SLJS aplicacíones. Recordar la necesidad de incorporar el rigor lógico y la preocupación por los fundamentos en los momentos posteriores a la experiencia concreta. Introducir formas de validación de la práctica matemática que no hayan surgido de la implicación del alumnado en las actividades propuestas. Generar motivación e interés en el alumnado por problemas matemáticos.
zación». Este matemático inglés convirtió su programa educativo en un ataque a los «euclidianos» de su época y dificultó, por tanto, las posibilidades de integración de enfoques, que seguramente tampoco hubieran sido viables si tenemos en cuenta la radicalización que entonces existía de todas las posturas. A pesar de su actitud de rechazo frontal de otras posiciones, los esfuerzos de Perry por introducir una nueva visión de la matemática escolar pueden interpretarse como uno de los primeros referentes en la fundamentación de los actuales procesos de contextualización en educación matemática. Algunos de los testimonios recogidos en este libro muestran profesores que comprenden mejor el conocimiento matemático cuando reflexionan sobre él en situaciones prácticas, y que entienden mejor estas situaciones cuando las generalizan e idealizan de acuerdo con estructuras y modelos matemáticos. Así, el ciclo contextualiLación-descontextualización-recontextualización también puede considerarse una estrategia de construcción social del conocimiento matemático de los profesores, además de una estrategia de desarrollo profesional y una forma de reconceptualización de los procesos de aprendizaje. Aunque los ritmos de este ciclo son distintos para cada etapa educativa y en cada una de ellas predomina el énfasis en una de las fases del ciclo, en todas las etapas se ponen de relieve la contextualización, la descontextualizacián y la recontextualización. Por ello, las buenas prácticas seleccionadas se complementan ya que, vistas como un conjunto, ilustran las distintas fases del ciclo. Como decíamos, cada etapa educativa tiene sus particularidades, de modo que la visión cíclica debe reinterpretarse en cada caso. No es lo mismo descontextualizar el conocimiento matemático en la etapa infantil, por ejemplo, que hacerla en el aula universitaria, aunque hay elementos metodológicos comunes que deben mantenerse. En las primeras edades, cuando se trabaja la idea de agrupar, los niños y niñas deben aprender a hacer y reconocer muchos tipos de agrupaciones con materiales diversos; la contextualización es, por tanto, fundamental, pero también lo es la descontextualización para que pued:m ubicar la práctica de agrupar en las distintas situaciones que se les planteen o que ellos libremente se propongan. En otras edades, la descontextualización adquiere mayor protagonismo al realizarse de un modo más explícito. En el aula universitaria, después de la resolución de problemas matemáticos basados en el denominado principio del palomar, es habitual dedicar un tiempo a la presentación de este principio y a su formulacíón con lenguaje matemático de tipo simbólico, en sustitución
del lenguaje matemático de tipo verbal usado durante la contextualización en lo~ nrncesos de resolución. Hay descontextualización en ambos ejemplos, a pesar de que el uso del lenguaje matemático simbólico la hace más evidente en el segundo. La visión cíclica de la educación matemática y la concreción de las distintas fases del ciclo también deben reinterpretarse en función del grupo de alumnado que se atienda. No todas las etapas educativas son de enseñanza obligatoria y, por tanto, no todas atienden a todas las personas situadas en un mismo intervalo de edad. En nuestro país, hasta el momento, parte de la etapa infantil, toda la etapa primaria y parte de la etapa secundaria constituyen la denominada escuela comprensiva. Se supone que el currículo de matemáticas en la escuela comprensiva ha de dar una imagen lo má~ completa posible de la ciencia matemática, facilitando su acceso a todo el'alumnado y sin olvidar el compromiso de dotar de los conocimientos necesarios a aquellos que decidan y puedan continuar en el sistema educativo. Esta distinción dentro del sistema educativo debe contemplarse al interpretar en qué consiste descontextualizar el conocimiento matemático en la escuela comprensiva. De nuevo, descontextualizar tiene un significado común. Sin embargo, la descontextualización a partir de la resolución de problemas en la escuela primaria, por ejemplo, es principalmente una manera de dar sentido a estructuras matemáticas para poder volver a usarlas. La descontextualización en situaciones de resolución de problemas en la etapa 16-18 es una manera de profundizar más en las estructuras y modelos matemáticos, y de ir más allá en la exploración de conexiones. Para todas las etapas educativas, la visión cíclica de la educación matemática es en si misma una forma de andamiaje para el aprendiz, en tanto que los procesos combinados de contextualización y descontextualización ayudan a «sostener» la construcción del conocimiento matemático. El ambiente educativo derivado de esta visión cíclica se autorregula continuamente en función de las necesidades del alumnado, añadiendo según convenga más o menos situaciones contextualizadas en secuencias didáctic~s de enseñanza y aprendizaje. A pesar de que la comprensión de la espeCIfiCidad del pensamiento matemático requiere una descontextualización en profundidad, el objetivo último de un aula no debe ser llegar a prescindir de las ayudas proporcionadas por las situaciones contextualizadas. El ciclo no debe <
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son transitorios Y se retiran de forma progresiva a medida que el aprendiz asume mayores cuotas de autc,,~"':Q y control de su aprendizaje, Empezábamos esta última sección insistiendo en la importancia de no lllinealizar» el ciclo por medio de la sustitución de la fase de descontextua¡ización, Como acabamos de mencionar, se corre el mismo riesgo respecto a la sustitución de la fase de contextualización si ésta se entiende como una fase a superar, como un andamio provisional. La contextualización permite los logros posteriores de comprensión de las estructuras y modelos matemáticos y, al mismo tiempo, su aplicación supone un logro de comprensión del conocimiento matemático situado, que de otro modo no sería posible, No hay, en definitiva, progreso en la construcción del conocimiento matemático si no se avanza en paralelo en la «deconstrucción)) de las estructuras matemáticas y en su ubicación práctica, Por ejemplo, para comprender ob·· jetos matemáticos como sumar, restar, multiplicar dividir, hay que comprender la estructura numérica que hay detrás de los procedimientos formales aprendidos en la escuela, rero también hay que comprender métodos de resolución de las operaciones que no siempre son enseñados, tales como la descomposición y recomposición de unidades. Marchesi y Hernández-Gil (2003). en un libro sobre el fracaso escolar, atribuyen causas principalmente de tipo pedagógico a muchas trayectorias de fracaso; en particular, se refieren a la falta de equilibrio entre conocimiento situado y conocimiento abstracto en los procesos de enseñanza y aprendizaje. Hablan de una enseñanza de baja calidad en relación con aquellas aulas donde la educación sólo se basa en la instrucción del profesor y en la memorización de contenidos abstractos que no se han presentado previamente vinculados a aspectos del mundo real ni aplicados a la vida cotidiana del alumnado. Estos autores hablan de currículos rígidos, poco o nada abiertos a las experiencias del alumnado y las circunstancias del mundo real, que crean un efecto de distanciamiento en muchos grupos de estudiantes y reducen las disciplinas de estudio a su dimensión más académica. Una vez más, se menciona la matemática escolar como un caso de currículo rigido, con clara predominancia de conocimientos formales y procedimientos estereotipados. Con este libro queremos contribuir a romper la visión rigida de la matemática escolar, bastante habitual no sólo en la literatura dentífica sino también en la cultura popular e incluso entre algunos docentes. Nuestro ilustre matemático L1uísSantaló (1993) explica que todos tenemos una idea formada de la matemática escolar, aunque no sea la misma para todos: para
GIMÉNEZ, J.; DiEZ-PALOMAR, J.; CIVIL, M. (coord.) (2007): Educación matemática y exclusión. Barcelona. Graó. (Biblioteca de Uno) GOODSON, I.F. ('1995): Historia del currículum: la construcción social de las disciplinas escolare-s. Barcelona. Ediciones Pomares-Corredor. MANNHEIM, K. (1964): Introducción a la sociología de la educación. Madrid. Revista de Derecho Privado.
los que han aprendido matemáticas en la escuela primaria, saber matemáticas es saber calcular; para las personas que han cursado estudios secundarios, son matemáticas las ecuaciones, los axiomas, los teoremas ..., a pesar de que la mayoria no han sabido nunca para qué sirven; los que han cursado estudios superiores incluyen otros contenidos útiles para su profesión, como por ejemplo la estadística. Esta diversidad de conceptos, apunta Santaló, conlleva que no sea fácíl, ni quizá posible, definir de forma precisa la matemática escolar. A pesar de que compartimos este argumento, las buenas prácticas expuestas en este libro que, como hemos indicado, son sólo algunas de las muchas experiencias anónimas que día a día se llevan a cabo en los centros educativos de nuestro país, nos han permitido definir de forma extensiva la matemática escolar. Desde esta perspectiva, no pretendemos ni podemos listar todas las características de estas buenas prácticas, sino reflexionar en torno a algunos de los rasgos que las definen como el enfoque sociocultural e interdisciplinario, acompañado de los distintos tipos de andamiajes que los profesores proporcionan a sus alumnos. Como coordinadores de educación matem~tica y buenas prácticas, esperamos haber presentado experiencias didácticas que estimulen la reflexión del profesorado de matemáticas. Esperamos muy especialmente que el profesorado que ha colaborado con nosotros se sienta satisfecho con el producto final; ante todo debemos dejar claro que los posicionamientos que hemos adoptado en las distintas partes del ¡ibro escritas por nosotros no expresan necesariamente sus posicionamientos. Hemos querido poner a su disposición un espacio donde pudieran hacer públicas reflexiones, dudas, certezas y éxitos de su quehacer diario en el aula de matemáticas. Para nosotros, ha sido muy estimulante participar en el proceso que lleva a elaborar cada uno de los capítulos, sobre todo por la naturdleza intencionaddmente abierta de los textos, escritos de manera que cada lector pueda interactuar con ellos y reflexionar sobre cómo completarlos.
MARCHESI, A.; HERNÁNDEZ-GIL, C. (2003): El fracaso escolar: una perspectiva internacional. Barcelona. Alianza. MORIN, E. (2000): La mente bien ordenada. Barcelona. Seix Barral. PLANAS, N.; EDO, M. (2008): «Interacción entre discursos en una situación de práctica matemática escolan •. Cultura y Educación, 20(4). pp. 1-17. PRICE, M.H. (J986): «The Perry Movement in school mathematics.l, en PRICE, M.H. (coord.): The deve/opment of the secondary curriculum. Londres. Croom Helm. SANTALÓ, L. (1993): La matematica: una filosofia i una tecnica. Vic. Eumo' Editorial.