Práctica 1: Señales en MATLAB
Grupo
-
Puesto
-
Apellidos, nombre
SOLUCIÓN
Fecha
Apellidos, nombre
SOLUCIÓN SOLUCIÓN
19-20 / 09 /12
El objetivo de esta práctica es presentar al alumno el modo de orientar las herramientas que ofrece MATLAB MATLAB a la l a representación representación y manejo de señales y sistemas. A partir del ejercicio 6, desarrolle cada ejercicio en un fichero de comandos ‘ejercicio_X.m’ ‘ejercicio_X.m’ separado
(salvo cuando se le solicite desarrollar una función, en cuyo caso el fichero llevará el nombre de la función). Justo antes de finalizar la práctica, comprima los ficheros ‘.m’ generados en un único fichero ‘practica_1_Puesto_XX . zip’, conéctese al sistema de entrega de prácticas de la Intranet y entréguelo en
el grupo que corresponda (3211, 3212, 3212 , 3213, 3214)
1.1 G ener ner ación ación y mani manipulaci pulación ón bási básica ca de de señale señaless Para seguir este apartado escriba en la línea de comando todos los ejemplos mostrados. Utilice la ayuda de MATLAB para documentar docu mentarse se sobre cualquier comand co mandoo que desconozca. d esconozca.
1.1.1
Ejercicio Ejercicio 1: 1 : representación de una señal en un rango dado
En general, una señal quedará representada por un vector fila o por un vector columna (es decir, por matrices con una única fila o columna). En MATLAB, todos los vectores se indexan comenzando por el 1, es decir, y(1) es el primer elemento del vector y. Cuando este criterio no coincida con el del problema a resolver (e.g., porque el primer valor del vector y corresponda al índice -3), se puede crear un vector adicional de índices. Por ejemplo, para representar representar la señal: 2n, xn 0,
3 0 3 resto
, puede usarse el operador ‘:’ para definir un vector con los índices de x[n] no nulos, y luego definir el propio vector x de modo que contenga los valores deseados deseados en cada uno de estos índices: >> n=[-3:3]; >> x=2*n;
Represente esta señal escribiendo stem(n,x) . Para examinar la señal en un rango más amplio de índices, será necesario necesario extender tanto t anto el vector vecto r de índices, n, como la señal x:
n[-3:3] 6
4
2 r o l a V
0
-2
-4
-6 -3
─
-2
-1
0 Tiempo (Discreto)
1
Para representar representar la señal s eñal en el i ntervalo ntervalo [-5,5] :
>> n=[-5:5]; >> x=[0 0 x 0 0];
% x tenía el valor del ejemplo anterior
2
3
n[-3:3] 6
4
2 r o l a V
0
-2
-4
-6 -3
─
-2
-1
0 Tiempo (Discreto)
1
Para representar representar la señal s eñal en el i ntervalo ntervalo [-5,5] :
>> n=[-5:5]; >> x=[0 0 x 0 0];
% x tenía el valor del ejemplo anterior
2
3
─
Para representarla en [-100,100] :
>> n=[-100:100]; >> x=[zeros(1,95) x zeros(1,95)];
% x tenía el valor del ejemplo anterior
Represente Represente cada una de estas tres señales en tres figuras distintas (vea el comando figure ).
1.1.2
Ejercicio Ejercicio 2: 2 : representaci repre sentación ón de dos señales en un cierto rango
Sean x1 n n y x2 n n 2 (la función n toma valor 1 para n=0 y valor nulo en el resto). Dibuje aparte el aspecto que tienen ambas señales. Estas señales pueden definirse en MATLAB escribiendo: >> >> >> >>
nx1=[0:10]; x1=[1 zeros(1,10)]; nx2=[-5:5]; x2=[zeros(1,3) 1 zeros(1,7)];
Para representarlas, basta escribir esperado.
stem(nx1,x1)
y stem(nx2,x2) . Compruebe que obtiene el resultado
Represéntelas ahora directamente con stem(x1) y stem(x2) , función que en ausencia de un vector de índices asume que éste comienza en 1 y que tiene la misma longitud que la señal. Indique, en esta situación, cual es la expresión analítica de las señales que observa:
x[n-1] 1
r o l a 0.5 V
0
1
2
3
4
5 6 7 Tiempo Discreto x[n-4]
8
9
10
11
1
2
3
4
5 6 7 Tiempo Discreto
8
9
10
11
1
r o l a 0.5 V
0
n 1
Señal representada con stem(x1)
Señal representada con stem(x2)
n 4
>> Tenga en cuenta en lo sucesivo que a la hora de representar señales, tan importante como la expresión de la señal es el vector de índices con respecto al cual se representa. <<
1.1.3
Ejercicio 3: representación de señales continuas
Una señal continua es posible representarla mediante vectores que contengan valores de dicha se ñal en instantes de tiempo muy cercanos entre sí. Así, si se quiere representar una señal continua en el intervalo 5 t 5 mediante la expresión de un valor cada 0.1 segundos, tenemos dos opciones para crear el vector de índices (en este caso instantes de tiempo): >> t=[-5:0.1:5];
, o bien: >> t=linspace(-5,5,101);
Hecho esto, para representar la señal xt sen( t / 4) basta con escribir: >> x=sin(pi*t/4);
>> Observe que en MATLAB, cuando el argumento de una función de este tipo ( sin, cos, exp, etc.) es un vector, el resultado es un vector del mismo tamaño, en el que cada valor resulta de la aplicación de la función a cada valor del vector argumento. <<
Para representar gráficamente la señal, resaltando su carácter de señal continua, utilice plot en vez de stem : >> plot(t,x);
Represente gráficamente las señales x1 t sen ( t / 4) y x 2 t cos( t / 4) en el intervalo 4 t 4 dando valores cada 1/8 de segundo. Represente ambas sobre la misma figura utilizando el comando plot y, a continuación, nuevamente sobre la misma figura, represente ambas con el comando stem (para ello utilice el comando hold ). Utilice dos colores: uno para las dos representaciones de x1 t y otro para las dos de x 2 t .
>> En lo sucesivo, siempre que se quiera representar gráficamente una señal de tiempo discreto utilice el comando stem; análogamente, siempre que la señal sea de tiempo continuo (aunque con MATLAB se aproxime por una señal de tiempo discreto definida a intervalos regulares y muy pequeños) utilice el comando plot para resaltar este hecho y evitar cualquier confusión. <<
seno y coseno 1 seno((4pi)/t)
0.8
coseno((4pi)/t)
0.6 0.4 0.2 r o l a V
0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1 -4
1.1.4
-3
-2
-1
0 1 Tiempo Continuo
2
3
4
Ejercicio 4: representación de señales complejas
Sea ahora el caso de una exponencial compleja discreta xn e j ( / 8) n en el intervalo 0 n 32 : >> n=[0:32]; >> x=exp(j*(pi/8)*n);
El vector x contiene una serie de 33 valores complejos de la señal xn . Represéntelos gráficamente, haciendo uso de la función stem , indicando qué característica de cada valor complejo desea representar: >> >> >> >>
stem(n,real(x)); stem(n,imag(x)); stem(n,abs(x)); stem(n,angle(x));
Compruebe y recuerde que si en la función no se especifica qué característica de la señal compleja se desea representar (es decir, si escribe stem(n,x) ), MATLAB representará, por defecto, la parte real de la señal y mostrará una advertencia en la línea de comando indicándolo.
1.1.5
Ejercicio 5: operaciones aritméticas con señales
Siempre que dos señales compartan el mismo vector de índices (es decir, que el vector que representa cada señal tenga el mismo origen de tiempos), es posible realizar directamente cierto tipo de operaciones básicas. Así, defina las señales: >> x1=sin((pi/4)*[0:30]); >> x2=cos((pi/7)*[0:30]);
y efectúe las siguientes operaciones: >> >> >> >> >> >>
y1=x1+x2; y2=x1-x2; y3=x1.*x2; y4=x1./x2; y5=2*x1; y6=x1.^x2;
Observe que en el caso de la multiplicación, división y exponenciación, es necesario preceder el operador de un punto , para indicar que la operación ha de llevarse término a término, en vez de entre matrices (e.g., el producto de matrices requiere que el segundo término tenga tantas filas como columnas tenga el primero, algo que no verifican los vectores x1 y x2). Represente las siete señales de este apartado en ocho figuras distintas.
x1
x2
1
1
0
0
-1
0
10
20
30
-1
n
x1+x2
x1-x2 2
0
0
0
10
20
30
-2
10 n
x1.*x2
x1./x2 5
0
0
0
0
n 1
-1
10
n 2
-2
0
10
20
30
-5
0
10
n 2
2
0
0
0
10
20
30
n
1.1.6
30
20
30
20
30
n
2*x1
-2
20
-2
x 10
0
14
x1 elevado a (x2)
10
20
30
n
Ejercicio 6: scripts y funciones
En MATLAB hay esencialmente dos tipos de ficheros con extensión ‘.m’: scripts de
comandos y funciones. Su uso es imprescindible de cara a organizar, depurar y guardar los ejercicios (en scripts) y siempre que se requiera realizar un mismo conjunto de operaciones (es decir, funciones) sobre señales diferentes. Tenga en cuenta que para poder invocar scripts y funciones, los ficheros ‘.m’ que los implementan han de estar en algún lugar referenciado por el path de MATLAB. Utilice algún directorio de su unidad de disco privada (por defecto, h:\) y añádalo al path de MATLAB (menú ‘ File/Set path…’). Recuerde que tendrá que efectuar esta operación cada vez que reinicie su ordenador. Replique los ejemplos que se presentan a continuación:
Genere con el editor de MATLAB el siguiente script (asígnele el nombre ‘ejercicio_6 .m’), cuyo objetivo es representar una determinada señal discreta en un intervalo dado, calcular su valor medio en el citado intervalo, y representar este valor como una función constante: % ejercicio6.m >> n = [0:16]; >> x1 = cos(pi*n/4); >> y1 = mean(x1); >> stem(n,x1,'r') >> title('x1[n] = cos(pi*n/4) / media') >> xlabel('Tiempo (Discreto)') >> ylabel('x1[n]') >> hold on >> m1=y1*ones(1,17); >> plot(n,m1,'g') >> hold off >> legend('Cos (pi*n/4)', 'Media (Cos (pi*n / 4))');
x1[n] = cos(pi*n/4) / media 1 0.8 0.6 0.4 0.2 ] n [ l x
0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1
Cos (pi*n/4) Media (Cos (pi*n / 4)) 0
2
4
6 8 10 Tiempo (Disc reto)
12
14
16
Invoque el script creado escribiendo ejercicio6 en la línea de comandos de MATLAB. Si ahora desea realizar la misma operación con la señal x 2 n sin( n / 4) y en el intervalo 0 n 32 , basta con copiar el fichero, asignarle un nuevo nombre (e.g., ‘ ejercicio_6b.m’) y cambiar las líneas que proceda: % ejercicio6b.m >> n = [0:32]; >> x1 = sin(pi*n/4); >> y1 = mean(x1); >> stem(n,x1,'r') >> title('x1[n] = sen(pi*n/4) / media') >> xlabel('Tiempo (Discreto)') >> ylabel('x1[n]') >> hold on >> m1=y1*ones(1,33); >> plot(n,m1,'g') >> hold off >> legend('Sen (pi*n/4)', 'Media (Sen (pi*n / 4))');
x2[n] = sen(pi*n/4) / media 1 Sen (pi*n/4) Media (Sen (pi*n / 4))
0.8 0.6 0.4 0.2 ] n [ l x
0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1
0
5
10
15 20 Tiempo (Disc reto)
25
30
35
Compruebe que obtiene el resultado deseado ejecutando este segundo script desde la línea de comandos. Un fichero ‘.m’ también puede representar una función. Para ello, la primera palabra del fichero ha de ser function . El resto de la línea especifica los parámetros que acepta la función y los valores que devuelve. El siguiente ejemplo muestra una función llamada f_obtiene_yz , que toma como parámetro un vector x, y devuelve otros dos vectores, y y z (acostúmbrese a preceder el nombre de todas las funciones con las letras f_ , de modo que se distingan claramente de funciones de MATLAB o de scripts ): function [y,z] = f_obtiene_yz(x) % [y,z] = f_obtiene_yz(x) admite una señal ‘x’ y % devuelve dos señales, ‘y’ y ‘z’, donde ‘y’ vale 2*x % y ‘z’ vale (5/9)*(x-3) y = 2.*x; z = (5/9).*(x-3);
El siguiente ejemplo muestra cómo utilizar esta función desde la línea de comandos (o bien desde un script ): >> >> >> >> >> >> >> >>
n=[0:15]; x1=4*sin((pi/4)*n); [y1,z1]=f_obtiene_yz(x1); stem(n,x1); hold on; stem(n,y1, 'r'); stem(n,z1, 'g'); hold off;
1.2 Operaciones con señales Realice todos los ejercicios que se le solicite en ficheros ( scripts) ‘.m’, de modo que pueda guardar y modificar sus resultados sin necesidad de volver a teclear el código de nuevo. Después de cada ejercicio, valide su resultado mediante el documento SOLUCIÓN, en caso de que resultado y solución no concuerden, solicite al profesor de prácticas que valide el resultado en su memoria de prácticas.
1.2.1
Ejercicio 7: transformaciones de la variable independiente
Defina en un fichero la siguiente función discreta, xn , en el intervalo 3 n 11 , a través de un vector x y del vector de índices nx correspondiente: 2, 1, xn 1, 3, 0,
n0 n2 n3 n4 resto
Represéntela gráficamente y fije las etiquetas necesarias (xlabel , resultado sea similar al que muestra la Fig. 1.
ylabel , title )
de modo que el
Fig.1: Representación gráfica de la señal original
Una vez definida la señal xn , defina en el mismo fichero ‘.m’ las siguientes señales: y1 n xn 2 y 2 n xn 1 y 3 n x n y 4 n x n 1
Para ello, el método que se propone, orientado a evidenciar que no cambia la señal sino la variable independiente, consiste en primero definir y1=x, y2=x, etc., y a continuación definir los correspondientes vectores índice de cada señal (ny1,…, ny4) como una transformación del vector de índices nx. Para ello dibuje aparte las cuatro señales que se le solicitan, deduzca la relación que existe entre sus respectivos vectores de índices y el vector nx, y exprese dicha relación mediante MATLAB. Finalice este apartado representando gráficamente la señal original ( xn ) y, en otra ventana, las cuatro señales resultantes de cada transformación (ver el comando subplot ); titule y etiquete cada gráfico. Indique en cada uno cuál es la relación entre la señal representada y i n y la original xn (e.g., “adelantada tres posiciones”, “invertida y luego retrasada…”).
x retrasada 2
x adelantada 1
3
3
2
2
1
1
0
0
-1
-10
-5
0 ny1
5
10
x invertida
2
2
1
1
0
0
-1
-10
-5
0 ny3
-10
-5
0 ny2
5
10
x invertida y luego adelantada 1 ó x retrasada 1 y luego invertida 3
3
1.2.2
-1
5
10
-1
-10
-5
0 ny4
5
10
Ejercicio 8: señales pares e impares
Para cada una de las señales cuya expresión se ofrece a continuación, obtener su parte par y su parte impar (para generar las señales invertidas utilice fliplr en vez de modificar la variable independiente o vector de índices). Representar a continuación las tres señales en una misma figura (utilice subplot), utilizando para todas el rango 10 n 10 . Codifique todo el ejercicio en un mismo script . 0n5 1, x1 n 1, 5 n 0 0, resto
1, 2, x 2 n 3, 1, 0,
n 2
1, 2, x 3 n 1, 0,
n 4,3
n 1 n0 n7 resto
n 3,2,1 n 1,0,2 resto
Compruebe que el ejercicio es correcto observando las simetrías de las señales pares e impares obtenidas.
>> Observe que si se desea efectuar operaciones aritméticas con varias señales distintas (caso de este ejercicio), todas ellas deben compartir el mismo vector de índices; por lo tanto, las transformaciones de la variable independiente han de trasladarse en este caso a la señal (no como
Cree una función f_descompone_par_impar que tome como parámetro una señal y devuelva dos señales: su parte par y su parte impar; copie el script anterior y modifíquelo de modo que haga uso de la función implementada (y que será llamada tantas veces como señales tiene este ejercicio).
1.2.3
Ejercicio 9: energía de señales
Para calcular la energía de una señal continua utilice la fórmula: Energía( x(t))
t T
t 0
2
x(t) dt que en
MATLAB se aproxima mediante la instrucción: E_x_t = t * sum(abs(x).^2); Para el caso discreto, utilice la fórmula Energía( x[ n])
N
x[ n]
2
que en MATLAB se aproxima
n 0
mediante la instrucción: E_x_n = sum(abs(x).^2); El siguiente código (copie y pegue en un script y denomínelo: get_Energia_x_t ) calcula la energía de la señal continua de vector de valores x y vector de índices t=[init:tstep:finT]: function [E_x_t] = get_Energia_x_t(x,tstep)
E_x_t = tstep.*sum(abs(x).^2); return;
El siguiente código (copie y pegue en un script y denomínelo: get_Energia_x_n ) calcula la energía de la señal discreta de vector de valores x: function [E_x_n] = get_Energia_x_n(x) E_x_n = sum(abs(x).^2); return;
Por ejemplo, la señal continua tstep=0.01; t=[0:tstep:100]; xt=cos(pi/4.*t);
Tiene energía E_x_t=get_Energia_x_t(xt,tstep) E_x_t = 50.0100
Por ejemplo, la señal discreta n=[0:100]; xn=cos(pi/4.*n);
Tiene energía E_x_n=get_Energia_x_n(xn) E_x_n = 51.0000
Genere en MATLAB un script que calcule la energía de las siguientes señales discretas en el intervalo 0 n 64 2, 1, xn 1, 3, 0,
n0 n2 n3 n4 resto
2 n 64
xn sen
1.2.4
15
32
Ejercicio 10: potencia de señales
La definición de potencia es la energía por unidad de tiempo, Para una señal continua, en MATLAB se aproxima mediante la instrucción:
P_x_t = ( t * sum(abs(x).^2))) / ( t *len(x));
que, simplificando, resulta en P_x_t = sum(abs(x).^2)) / len(x);
Para el caso discreto sería mediante la instrucción:
, que en MATLAB se aproxima
E_x_n = sum(abs(x).^2) / len(x);
Genere en MATLAB los scripts de cálculo de potencia y un script que calcule la potencia de las siguientes señales discretas en el intervalo 0 n 64 2, 1, xn 1, 3, 0,
n0 n2 n3 n4 resto
2 n 64
xn cos
0.2344
0.5
Práctica 2: Periodicidad Apellidos, nombre Apellidos, nombre
SOLUCIÓN
Grupo Puesto Fecha
SOLUCIÓN
El objetivo de esta práctica es explorar las utilidades de representación gráfica de MATLAB para observar las especiales propiedades de periodicidad de las señales discretas. Para llevar a cabo la práctica, desarrolle cada ejercicio en un fichero de comandos ‘ejercicio_X.m’ separado (salvo cuando se le solicite desarrollar una función, en cuyo caso el fichero llevará el nombre de la función). Justo antes de finalizar la práctica, comprima los ficheros ‘.m’ generados en un único fichero ‘practica_2_Puesto_XX . zip’, conéctese al sistema de entrega de prácticas de la Intranet y entréguelo en el grupo que corresponda (lunes A, martes B, miércoles C o viernes D). Salvo que se le indique lo contrario en algún apartado concreto, no está permitido utilizar en los scripts las funciones de control de flujo del programa de MATLAB (for, if-else, etc.).
2.1 Rango de frecuencias de las exponenciales discretas periódicas 2.1.1
Ejercicio 1: Señales sinusoidales en forma coseno
El objetivo de este ejercicio es representar señales periódicas discretas de pulsación creciente, y observar el rango efectivo de variación de pulsación que estas señales presentan. Para ello, considere la señal discreta:
2k π n 8
x k [n] = cos(ω 0k n ) = cos
Desarrolle, sin utilizar bucles, un script que genere esta señal para los valores
k ∈ {0,1,2,3,4,5,6,7,8}
,
en el intervalo n ∈ [0,10] , y que represente en un mismo gráfico estas nueve señales (utilice el comando subplot para
hacer un gráfico múltiple de 3x3 gráficos), y las etiquete para identificar sin duda a qué señal corresponde cada representación.
A la vista del gráfico obtenido, y sin hacer ningún tipo de cálculos aparte, intente contestar a las siguientes preguntas:
─ Del conjunto de las nueve señales representadas, ¿cuántas son distintas? 5
─ Rellene la tabla adjunta:
Valor de
ω
0 k *
Periodo fundamental , N 0
ω
fundamental,
*
2π
x 0 [n ]
x1 [n ]
x 2 [n ]
x 3 [n ]
x 4 [n ]
x 5 [n ]
x 6 [n ]
x 7 [n ]
x 8 [n ]
0
pi/4
pi/2
3pi/4
pi
5pi/4
3pi/2
7pi/4
2pi
Inf
8
4
8
2
8
4
8
Inf
0
pi/4
pi/2
pi/4
pi
pi/4
pi/2
pi/4
0
N 0
Para deducirlo acuda a su definición, es decir, el mínimo desplazamiento que ha de efectuarse sobre la señal
─ Ordene las nueve señales, dando número ‘cero’ a la de menor frecuencia o pulsación fundamental y mismo número a señales con igual pulsación, e indique en la siguiente tabla el orden que ocupa cada señal (observe que la pulsación 2π equivale a la pulsación 0, es decir, a una señal constante o de mínima frecuencia) :
Orden en frecuencia
2.1.2
x 0 [n ]
x1 [n ]
x 2 [n ]
x 3 [n ]
x 4 [n ]
x 5 [n ]
x 6 [n ]
x 7 [n ]
x 8 [n ]
0
1
2
1
3
1
2
1
0
Ejercicio 2: Señales sinusoidales en forma seno
Repita el ejercicio anterior, pero esta vez trabajando con señales en forma seno, es decir:
2k π n , k ∈ {0,1,2,3,4,5,6,7,8} 8
x k ′ [n ] = sin (ω 0k n ) = sin
Observe el nuevo gráfico obtenido, e intente explicar por qué las señales x ′4 [n] y x 8′ [n ] no presentan el aspecto que cabría esperar a raíz de la expresión analítica que tienen; contraste su explicación con el profesor de prácticas. Proponga una solución numérica (no gráfica) y póngala en práctica, de modo que los resultados sean los esperables (utilice el comando round ) y que la solución adoptada se pueda aplicar a todas las señales representadas.
A la vista del nuevo gráfico obtenido, y sin hacer ningún tipo de cálculos aparte, conteste de nuevo a las siguientes cuestiones:
─ Del conjunto de las nueve señales representadas, ¿cuántas son distintas? 7
─ Rellene la tabla adjunta: x 0′ [n ]
x1′ [n ]
x 2′ [n ]
x 3′ [n ]
x 4′ [n ]
x 5′ [n ]
x 6′ [n ]
x 7′ [n ]
x 8′ [n ]
0 k
0
pi/4
pi/2
3pi/4
pi
5pi/4
3pi/2
7pi/4
2pi
Periodo fundamental, N 0
Inf
8
4
8
Inf
8
4
8
Inf
0
pi/4
pi/2
pi/4
0
pi/4
pi/2
pi/4
0
Valor de
ω
ω
fundamental,
2π N 0
─ Ordene las nueve señales, dando número ‘cero’ a la de menor frecuencia o pulsación fundamental y mismo número de orden a señales con igual pulsación, e indique en la siguiente tabla el orden que ocupa cada señal:
Orden en frecuencia
x 0′ [n ]
x1′ [n ]
x 2′ [n ]
x 3′ [n ]
x 4′ [n ]
x 5′ [n ]
x 6′ [n ]
x 7′ [n ]
x 8′ [n ]
0
1
2
1
0
1
2
1
0
2.1.3
Ejercicio 3: señales exponenciales puras
Sean las señales exponenciales co mplejas: x k [n ] = e
j
2 k π 8
n
2k π 2k π n + j sin n , k ∈ {0,1,2,3,4,5,6,7,8} 8 8
= cos
Observe que sus partes real e imaginaria son respectivamente las señales representadas en los dos ejercicios anteriores. Teniendo esto en cuenta, observe simultáneamente los gráficos de los dos ejercicios anteriores (cada uno en una ventana) y conteste a las siguientes cuestiones:
─ Del conjunto de las nueve señales exponenciales, ¿cuántas son distintas? 8
─ Teniendo en cuenta que las propiedades de periodicidad de una señal exponencial pura son las resultantes de combinar sus partes real e imaginaria, del conjunto de las nueve señales exponenciales, ¿cuántas frecuencias fundamentales distintas se observan?
0,pi/4,pi/2,pi
─ Del conjunto de las nueve señales exponenciales, ¿cuál presenta frecuencia menor, cuál la presenta mayor, y qué valor en cada caso? Menor -> k = 0 y = 8. frecuencia 0 Mayor -> k = 4. frecuencia pi
2.2 Periodicidad en señales discretas 2.2.1
Ejercicio 4: Comparación señales discretas vs. señales continuas
Sean las siguientes señales:
2π 2π n , x1 (t ) = cos t 12 12
x1 [n ] = cos
8π 8π n , x 2 (t ) = cos t 31 31
x 2 [n ] = cos
1 1 n , x 3 (t ) = cos t 2 2
x 3 [n ] = cos
Desarrolle un script que genere estas seis señales en los intervalos n ∈ [0,50] y t ∈ [0,50] (definido en segundos a intervalos de 0.2 s.) respectivamente, y represéntelas en un mismo gráfico de tres filas o subgráficos (utilice subplot). En cada subgráfico represente superpuestas la señal continua (utilice plot) y la señal discreta correspondiente (utilice stem ).
A partir de la inspección de los gráficos, obtenga el periodo mínimo de repetición de las seis señales, 1 es decir, su periodo fundamental, y compruebe que los cálculos teóricos coinciden con sus observaciones. Rellene la tabla adjunta:
2.2.2
x1 [n ]
x 2 [n ]
x 3 [n ]
N 0 observado
12
31
25
N 0 teórico
12
31
NO
x1 (t )
x 2 (t )
x 3 (t )
T 0 observado
12
7.8
12.6
T 0 teórico
12
7.75
12.55664
Ejercicio 5: función de comprobación de periodicidad
El objetivo de este ejercicio es desarrollar una función de MATLAB que verifique si una señal dada presenta un periodo también dado. Más específicamente, la función recibirá como parámetros un vector con valores de una señal discreta
Tenga en cuenta que en las señales continuas el periodo fundamental se obtiene analíticamente como T 0 = 2π
1
las señales discretas, el periodo es el valor entero N 0 que verifique
ω 0
2
=
m N
=
m0 N
, siendo
ω 0
, y para
m 0 cualquier número entero.
(parámetro signal) y el valor del periodo que se desea verificar (parámetro period ). El procedimiento propuesto para hacer la verificación consiste en generar una nueva señal consistente en la señal signal desplazada tantas unidades como indique el parámetro period . A continuación se seleccionarán las partes de ambas señales que estén definidas, y se restarán (ver Fig. 1); si el resultado es nulo, indicará que signal presenta
el periodo dado; si no, no. Este resultado lo devolverá la función como valor de retorno. No utilice bucles ni estructuras de control para llevar a cabo esta función.
signal signal desplazada period is_periodic
Fig. 1: Diagrama de funcionamiento propuesto para la función f_test_period La función se almacenará en un fichero ‘f_test_period.m’ y presentará el siguiente prototipo: function is_periodic = f_test_period(signal,period) % f_test_period acepta una señal ‘signal’ y un número ‘period’ % y devuelve ‘0’ si la señal presenta dicho periodo, y un valor % distinto de cero en caso contrario. Esta función hace uso de % la función ‘length(X)’.
Para comprobar el funcionamiento de la función desarrollada, aplicarla sobre las tres señales discretas del ejercicio anterior y rellenar la tabla adjunta (utilice en los dos primeros casos el valor observado, y en el tercero utilice period=12 ): signal period is_periodic
x1 [n ]
x 2 [n ]
x 3 [n ]
12
31
12
0
0
Dif 0
Comente los resultados obtenidos, e indique, si procede, alguna solución a los problemas numéricos que haya encontrado:
2.2.3
Ejercicio 6: periodicidad de la suma de señales periódicas
Considere las tres señales siguientes:
2π 3π n + 2 ⋅ cos n N N
x1 [n ] = cos
2 3 n + cos n N N
x 2 [n] = cos
2π 5π n + 3 ⋅ cos n N 2 N
x 3 [n ] = cos
Suponiendo que N=6 , represente las tres señales en un gráfico de 3x1 subgráficos (utilice subplot). Represéntelas inicialmente en el rango n ∈ [0,49] . A continuación, a través de la observación de los gráficos y de la utilización de la función f_test_period , obtenga el periodo fundamental de cada una y represéntelas de nuevo, esta vez en un intervalo de dos periodos fundamentales (si alguna no fuera
periódica, represéntela en n ∈ [0,49] ). Dibuje el resultado obtenido:
Indique en qué condiciones la suma de dos señales periódicas es una señal periódica. ¿Cuál es el periodo de la señal suma? Cualquier señal x( t ) que sea igual a la suma de dos señales periódicas, x1( t ) y x2( t ), con períodos fundamentales T1 y T2 respectivamente, será periódica si se cumple la siguiente relación:
T 1 T2
m m 0 = ⇒ T = n0T1 = m0T2, n0 y m0 ∈ enteros n n 0 m 0 siendo fracción irreducible (T es el m.c.m entre T1 y T 2 ) N 0 =
Igual para el caso discreto.
2.2.4
Ejercicio 7: periodicidad del producto de señales periódicas
Considere las tres señales siguientes:
π π n ⋅ cos n 4 4
x1 [n ] = sin
2 π
4
x 2 [n ] = cos
n
π π x 3 [ n ] = sin n ⋅ cos n 4 8
Represente las tres señales en un gráfico de 3x1 subgráficos (utilice subplot). Represéntelas en el rango n ∈ [0,49] . A continuación, a través de la observación de los gráficos y de la utilización de la función f_test_period , obtenga el periodo fundamental de cada una. Dibuje el resultado obtenido:
Indique en la tabla adjunta cuál es el periodo de las señales factores y el periodo de la señal producto.
N 0 , factor 1
N 0 , factor 2
N 0 , señal
x1 [n ]
8
8
4
x 2 [n ]
8
8
4
x 3 [n ]
8
16
16
Comente en qué condiciones el producto de dos señales periódicas es una señal periódica (efectúe las pruebas adicionales que considere necesarias para llegar a una conclusión fundada): …
2.2.5
Ejercicio 8: función de cálculo de periodicidad
El objetivo de este ejercicio es desarrollar una función de MATLAB que obtenga y devuelva el periodo fundamental de una señal dada; si la señal no es periódica devolverá valor nulo, y si es constante, valor unidad. Más específicamente, la función recibirá como único parámetro una señal discreta (parámetro signal).
El procedimiento propuesto para obtener su periodo fundamental consiste en crear un bucle que
vaya llamando a la función f_test_period con valores crecientes del parámetro period (comenzando en el valor 1 y terminando en la mitad de la longitud de la señal). Cuando la llamada a dicha función arroje valor nulo, se devolverá el valor del periodo que ha provocado esta situación. Si el bucle terminara sin que se haya verificado la condición anterior, se devolverá valor nulo. Para desarrollar esta función es probable que requiera hacer uso de las funciones de programación for, if
y return. La función se almacenará en un fichero ‘f_get_period.m’ y presentará el siguiente prototipo: function fundamental_period = f_get_period(signal) % f_get_period acepta una señal ‘signal’ y devuelve su periodo, si % la señal es periódica, ‘0’ si no lo es, y ‘1’ si es una señal % de valor constante.
Compruebe su funcionamiento con cualquiera de las señales de los ejercicios anteriores.
Práctica 3: Convolución Apellidos, nombre
Grupo Puesto Fecha
Apellidos, nombre
El objetivo de esta práctica es familiarizar al alumno con la suma de convolución, fundamental en el estudio de los sistemas lineales, mediante la realización de ejercicios que ilustren las propiedades de dicha operación. Para llevar a cabo la práctica, desarrolle cada ejercicio en un fichero de comandos ‘ejercicio_X.m’ separado (salvo cuando se le solicite desarrollar una función, en cuyo caso el fichero llevará el nombre de la función). Justo antes de finalizar la práctica, comprima los ficheros ‘.m’ generados en un único fichero ‘practica_3_Puesto_XX . zip’, conéctese al sistema de entrega de prácticas de la Intranet y entréguelo en el grupo que corresponda. Salvo que se le indique lo contrario en algún apartado concreto, no está permitido utilizar en los scripts las funciones de control de flujo del programa de MATLAB ( for, if-else, etc.).
3.1 Convolución de señales discretas 3.1.1
Ejercicio 1: convolución ‘manual’ de señales causales finitas
El objetivo de este ejercicio es llevar a cabo la convolución de dos señales desarrollando directamente el significado de la operación. Sean las señales:
n 1 0 n 10
xn
0
1 hn 0
resto
0n3 resto
El objetivo es calcular yn xn hn . Para ello, genere las señales xn y hn en el intervalo n 0,20 . Teniendo en cuenta que la señal xn sólo toma valor en un número finito de puntos, yn
puede escribirse:
yn
xk hn - k x0 hn x1 hn - 1 ... x9 hn - 9 x10 hn - 10 k
Para obtener yn , genere, sin utilizar bucles, cada una de las once funciones (es decir, sumandos) que indica la expresión anterior y a continuación súmelas. Para poder sumarlas, todas ellas han de estar definidas en el mismo intervalo de n, en decir, n 0,20 . Como guía para llevar a cabo esta operación, observe que para generar un vector con la señal y 5 n x5 hn 5 en el mismo intervalo que esté definida hn y teniendo en cuenta que los índices en Matlab comienzan en 1, se puede escribir: >> y5=x(5+1).*[zeros(1,5) h(1:end-5)];
Tenga en cuenta que esta operación de desplazamiento en la señal hn es válida porque hn se definió en un intervalo mucho mayor que el que ocupan sus valores no nulos. Represente en una figura con 12 gráficas (12 filas) las 11 señales desplazadas yk [n] y la suma y[n].
y0[n] 1 0.5 0
0
2
4
6
8
10 y1[n]
12
14
16
18
20
0
2
4
6
8
10 y2[n]
12
14
16
18
20
0
2
4
6
8
10 y3[n]
12
14
16
18
20
0
2
4
6
8
10 y4[n]
12
14
16
18
20
0
2
4
6
8
10 y5[n]
12
14
16
18
20
0
2
4
6
8
10 y6[n]
12
14
16
18
20
0
2
4
6
8
10 y7[n]
12
14
16
18
20
0
2
4
6
8
10 y8[n]
12
14
16
18
20
0
2
4
6
8
10 y9[n]
12
14
16
18
20
0
2
4
6
8
10 y10[n]
12
14
16
18
20
0
2
4
6
8
10 y[n]
12
14
16
18
20
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
2 1 0 4 2 0 4 2 0 5 0 10 5 0 10 5 0 10 5 0 10 5 0 10 5 0 20 10 0 40 20 0
Como resultado de la suma de las once subseñales habrá obtenido yn en el mismo intervalo n 0,20 . Represente en otra figura, en un mismo gráfico de tres filas o subgráficos (utilice subplot),
las señales xn , hn e yn , y dibuje esta última en la gráfica adjunta:
Indique cuál es la duración de la señal yn y en qué índice comienza. A la vista de la expresión analítica de yn , indique también qué relación tiene su duración e índice de comienzo con las respectivas duraciones e índices de comienzo de las señales xn y hn : Duracion Y = Duracion X + Duracion H – 1 => 14 = 11 + 4 - 1. El inicio de y[n] es básicamente el inicio (no nulo) de x[n] + inicio (no nulo) de h[n] => 0+0=0. El final de y[n] es según longitud.
3.1.2
Ejercicio 2: convolución ‘manual’ de señales no causales finitas
Repita el ejercicio anterior, pero utilizando esta vez una respuesta al impulso unidad definida por:
n 2, hn 0,
2 n 3 resto
Defina ahora las señales involucradas en el intervalo o vector de índices n 5,20 , y desarrolle la
convolución siguiendo el mismo procedimiento. Tenga en cuenta que en este caso el valor x k corresponde en MATLAB con el índice x(k -(-5)+1) del vector x. Represente en un mismo gráfico de tres filas o subgráficos (utilice
subplot),
la señal xn y las
nuevas señales hn e yn , y dibuje esta última en la gráfica adjunta, indicando claramente qué índices abarcan los valores no nulos de yn :
Observe que las tres señales comparten un mismo vector de índices, que es suficientemente amplio como para contener los valores no nulos de todas ellas. Indique de nuevo qué relación tiene la duración e índice de comienzo de yn con las respectivas duraciones e índices de comienzo de las señales xn y hn :
Duracion Y = Duracion X + Duracion H – 1 => 15 = 11 + 5 - 1. El inicio de y[n] es básicamente el inicio no nulo de h[n] + inicio no nulo de x[n] -1+0=-1 El final de y[n] es según longitud
3.1.3
Ejercicio 3: la función conv de MATLAB
La invocación de esta función de MATLAB se realiza del siguiente modo: nx=... x=... nh=... h=... y=conv(x,h); ny=...
% % % % % %
Intervalo ‘nx’ de valores Definición del vector ‘x’ Intervalo ‘nh’ de valores Definición del vector ‘h’ Devuelve un vector ‘y’ de Intervalo ‘ny’ de valores
no nulos de la señal ‘x’ en el intervalo ‘nx’ no nulos de la respuesta al impulso ‘h’ en el intervalo ‘nh’ longitud ‘nx+nh-1’ no nulos de la salida ‘y’
Observe que la función conv toma como parámetros las señales x y h pero no sus vectores de índices. Por lo tanto, la función no puede obtener ni devolver el vector de índices correcto para la señal y; es
responsabilidad del que llama a la función el definir de qué índice a qué índice va el vector de índices de la señal y para poder representarlo adecuadamente. En conclusión, ny lo ha de definir usted. Repita los ejercicios 1 y 2 en dos scripts, ‘ejercicio_3a.m’ y ‘ejercicio_3b.m’, utilizando la función conv. Para ello defina los vectores x y h según se ha indicado más arriba, realice la convolución, y defina el vector de índices que corresponde a la señal y (teniendo en cuenta en qué índice debe comenzar y qué longitud ha de tener). Represente al final de cada script las tres señales involucradas (como en los ejercicios anteriores), pero todas ellas sobre el vector de índices mayor, o sea, sobre ny (para ello, añada ceros antes y/o después de x y h, según convenga). Compruebe que las señales obtenidas son iguales a las de los ejercicios anteriores.
3.1.4
Ejercicio 4: convolución de señales de duración infinita
Sean las señales de duración infinita:
1 2
n 2
xn
un 2
hn un 2
Calcule yn xn hn de forma analítica e indíquela a continuación N
(recuerde que
a k 0
k
1 a n1 1 a
)
n1
Expresión analítica
1 1 2 u[n] y[ n] 1 1 2
El objetivo es calcular yn xn hn utilizando la función
conv y
evaluar la validez del resultado
cuando xn y hn no se generan en intervalos infinitos (algo que no es posible en la práctica) sino que se truncan a intervalos finitos. Para ello, genere la señal xn en el intervalo n 0,24 y la señal hn en el intervalo n 2,14 , es decir, genere versiones truncadas de estas dos señales: xT n y hT n . Obtenga a continuación su convolución yT n xT n hT n , defina su vector de índices, y represente las tres señales involucradas (x T [n], hT [n], yT [n]) e y[n] sobre un vector de índices que permita representar las cuatro señales. Si xn y hn tienen longitud infinita, yn xn hn también ha de tenerla. Al truncar las señales involucradas, el resultado también habrá quedado truncado. Deduzca en qué intervalo de valores de n se verifica
que yn yT n , y compruebe que sus deducciones se corresponden con lo observado.
Modifique los intervalos a que se han truncado las señales xn y hn para comprobar que sus conclusiones son correctas. Explique el resultado obtenido:
3.2 Operaciones sobre sistemas LTI discretos Sean las señales:
1, xn 0,
0n4 resto
,
1, 1, h1 n 3, 1, 0,
n0 n 1 n2, n4 resto
2, 5, h2 n 4, 1, 0,
n 1 n2 n3 n4 resto
Genere xn en el intervalo n 0,9 y las otras dos en el intervalo n 0,20 . A partir de ahora, utilice siempre la función
3.2.1
conv para efectuar
convoluciones.
Ejercicio 5: conmutatividad
Obtenga la señal y1 n xn h1 n y defina su vector de índices. Obtenga a continuación la señal y 2 n h1 n xn y defina su vector de índices. Represente las cuatro señales involucradas sobre el
vector de índices de mayor longitud (en un mismo gráfico, como en los ejercicios anteriores), y verifique que y1 n y 2 n . Si no se verificara, explique el motivo.
3.2.2
Ejercicio 6: distribución respecto de la suma
Compruebe que la convolución de la señal xn con un sistema cuya respuesta al impulso unidad sea hn h1n h2 n , es la misma que la suma de las señales resultantes xn h1 n y xn h2 n . Para
ello, represente en cada caso, en dos gráficos independientes, las señales involucradas (cinco en el primer caso y seis en el segundo), todas ellas sobre el vector de índices de mayor longitud.
3.2.3
Ejercicio 7: asociatividad
Sea un sistema S1 cuya relación entrada salida está definida por yn (n 1) xn , y otro sistema S2 totalmente caracterizado por h S 2 h1 n . El objetivo es ver si la propiedad asociativa de la convolución se verifica para estos dos sistemas, es decir, si:
xn hS 1 n hS 2 n xn hS 1 n hS 2 n Para obtener la señal resultante de las operaciones a la izquierda de la igualdad, proceda del siguiente modo:
Obtenga la señal y n aplicando directamente su expresión en función de la entrada, es decir yn (n 1) xn , en vez de aplicando la convolución.
Obtenga la señal resultante w A n yn hS 2 n Para obtener la señal resultante de las operaciones a la derecha de la igualdad, proceda del siguiente modo:
Obtenga la respuesta al impulso unidad del sistema S1, es decir, obtenga la respuesta de este sistema al impulso unidad: hS 1 n (n 1) n . Para ello defina n en el mismo intervalo que lo estaba xn . Obtenga la respuesta al impulso del sistema S1 en serie con S2, es decir hn hS 1 n hS 2 n . Observe que para ello tendrá que ampliar el rango de definición de h S 1 n .
Obtenga la respuesta de este nuevo sistema a la señal de entrada: w B n xn hn . Represente en cada caso, en dos gráficos independientes, las señales involucradas (cuatro en ambos casos), todas ellas sobre el vector de índices de mayor longitud. Compruebe que las señales w A n y w B n son idénticas. Si no lo fueran, explique el motivo.
No se cumplen las premisas de las SLI, por lo tanto su propiedad asociativa tampoco . ¿Qué premisas de los sistemas LTI no se cumplen?
Práctica 4: Series de Fourier
Grupo Puesto
Apellidos, nombre Apellidos, nombre
Fecha SOLUCION
El objetivo de esta práctica es profundizar en la respuesta de sistemas LTI, comprobar el comportamiento de estos sistemas ante señales exponenciales complejas, y desarrollar prácticamente varios de los conceptos relacionados con el Desarrollo en Serie de Fourier (DSF) de señales discretas periódicas. Para llevar a cabo la práctica, desarrolle cada ejercicio en un fichero de comandos ‘ejercicio_X.m’ separado (salvo cuando se le solicite desarrollar una función, en cuyo caso el fichero llevará el nombre de la función). Justo antes de finalizar la práctica, comprima los ficheros ‘.m’ generados en un único fichero ‘practica_4_Puesto_XX . zip’, conéctese al sistema de entrega de prácticas de la Intranet y entréguelo en el grupo que corresponda. Salvo que se le indique lo contrario en algún apartado concreto, no está permitido utilizar en los scripts las funciones de control de flujo del programa de MATLAB (for, if-else , etc.).
4.1 Exponenciales complejas como autofunciones de sistemas LTI 4.1.1
Ejercicio 1: sistemas LTI causales
El objetivo de este ejercicio es comprobar que las exponenciales complejas discretas son efectivamente autofunciones de los sistemas LTI. Para comprobarlo, este ejercicio está orientado a localizar los autovalores correspondientes a varias de estas funciones. Sea un sistema LTI causal definido por la siguiente relación entrada/salida: y[n] − 0.25 y[n − 1] = x[n] + 0.9 x[n − 1]
Suponiendo que se verifica la condición de reposo inicial para n < 0 , es posible obtener analíticamente su respuesta al impulso, x[n] = δ [n] → y [n] = h[n] , aplicando recurrencia: De la ecuación que describe el sistema, se desprende que y [n] = x[n] + 0.9 x[n − 1] + 0.25 y[n − 1] :
h[0] = y [0] = x[0] + 0.9 x[− 1] + 0.25 y[− 1] = 1 h[1] = y [1] = x[1] + 0.9 x[0] + 0.25 y [0] = 0.9 + 0.25 h[2] = y[2] = x[2] + 0.9 x[1] + 0.25 y[1] = 0.25 ⋅ (0.9 + 0.25) h[3] = y[3] = x[3] + 0.9 x[2] + 0.25 y [2] = 0.25
… Deduzca la expresión general de h[n] :
2
⋅
(0.9 + 0.25)
1, n (0.9 + 0.25) * (0.25) 0
h[n] =
n=0 −1
n>0 n<0
Sean las señales: x1 [n] = e
j
π
4
n
x 2 [n] = sin (n ⋅ π 8 + π 16 ) x 3 [n] = (9 10)
n
x 4 [n] = n + 1
Defina las cuatro señales xi [n] en el intervalo n ∈ [− 20,50] , y la señal h[n] en el intervalo n ∈ [0,70] y represéntelas en cinco gráficos en fila en una misma ventana (utilice subplot ). Caso de que alguna señal tenga parte real y parte imaginaria, representa simultáneamente su módulo y fase en el mismo gráfico (comando hold y dos colores).
Parte A: obtención de las respuestas con la función
conv .
Observe que h[n] toma valores en el intervalo n ∈ [0, ∞ ) ; por lo tanto, ya que en la práctica no podemos definir un vector de infinitos valores, cualquier cálculo de una respuesta y [n] utilizando la función
conv
tendrá que utilizar una versión reducida o truncada de h[n] , que denominaremos hT [n] . Según se vio en la práctica anterior, ello hará que la respuesta obtenida, yT [n] , sea una versión reducida o truncada de la respuesta teórica, y[n] . Teniendo en cuenta que en este caso hT [n] se ha definido en el intervalo n ∈ [0,70] , indique en qué intervalo se verificará que yT [n] = y [n] .
n∈
[0, 50]
NOTA: en principio según el guión el transitorio es prácticamente nulo a partir de n ≥ 0 , con lo cual el intervalo debería ser [0,50]. Para sacarlo gráficamente, observe el comportamiento (con la herramienta Datatip) de la convolución de h[n] con las señales periódicas
Obtenga, utilizando la función
conv ,
las respuestas y i [n] , y represéntelas en un nuevo gráfico de
cuatro filas; represéntelas únicamente en el intervalo en que son válidas.
Obtención de los autovalores:
Debido a la imposibilidad que tiene MATLAB de tr abajar con señales infinitamente largas, las señales xi [n] han de comenzar en un instante determinado. Ello da lugar a una respuesta natural o transitoria en y i [n] , que conforme aumenta n se va haciendo despreciable. En este caso, comenzando las señales en n
= −20 ,
el transitorio es prácticamente nulo para n ≥ 0 . Como la propiedad de las exponenciales como
autofunciones se da en régimen permanente, para comprobarla compararemos las entradas y las respuestas sólo desde el índice n = 0 hasta el final del intervalo de validez de las respuestas. En este intervalo, si la relación y i [n] x i [n] es constante, indica que x i [n] es una autofunción del sistema, y que dicha constante es el autovalor buscado. Represente las cuatro señales H i adjunta:
= yi
[n] xi [n] en un nuevo gráfico de cuatro filas y rellene la tabla
x1 [n]
Es autofunción (SI/NO) Autovalor H:
x 2 [n]
x 3 [n]
x 4 [n]
SI
NO
SI
NO
1.7415+1.147i
-
2.7692
-
Parte B: obtención de las respuestas con la función
filter.
El comando filter calcula la respuesta de un sistema LTI causal especificado por una ecuación en diferencias, lineal y de coeficientes constantes, y suponiendo reposo inicial. Más específicamente, sea el sistema está definido por la ecuación: N
∑ a y[n k
k = 0
M
−
k ] =
∑ b x[n k
−
k ]
k =0
Para un vector fila de valores de entrada, x, la expresión
y=filter(b,a,x) obtiene
el vector de valores de
salida, y, siendo a un vector con los valores de ak, y b un vector fila con los valores de bk. El vector de salida tiene el mismo rango de valores que el de entrada, y todos sus valores son válidos (a diferencia de lo que ocurre con la función
conv debido
Obtenga, ahora utilizando la función
al uso de h[n] , truncada por necesidad).
filter ,
las respuestas y i [n] , y represéntelas en un nuevo gráfico
de cuatro filas. Obtenga, como en el caso anterior, los autovalores, comparando las entradas y las respuestas desde el índice n = 0 . Represente de nuevo las cuatro señales H i la tabla adjunta:
= y i
[n] xi [n] en un nuevo gráfico de cuatro filas y rellene
x1 [n]
Es autofunción (SI/NO) Autovalor H:
x 2 [n]
x 3 [n]
x 4 [n]
SI
NO
SI
NO
1.7415+1.147i
-
2.7692
-
4.2 Desarrollo en Serie de Fourier de señales discretas periódicas Dada una señal x[n] periódica, para obtener con MATLAB los coeficientes a k de su DSF, utilice la función
a=(1/N)*fft(x) ,
donde N es el periodo fundamental de la señal x[n] , y x es un vector fila que
contiene los valores de un periodo cualquiera, y sólo uno, de x[n] . La operación inversa se realiza del siguiente modo: dada la serie de coeficientes a k , k ∈ [0, N − 1] , utilice x=N*ifft(a) para obtener un periodo de la señal periódica x[n] . Para evitar efectos derivados de la precisión finita con que opera MATLAB, redondee al quinto decimal (recuerde lo visto en la Práctica 2) los valores de las señales resultantes de ambas operaciones (fft e ifft) antes de hacer nada más con ellas.
4.2.1
Ejercicio 2: DSF de sinusoides discretas
Sean las siguientes señales discretas periódicas: ~ [n] = cos 2π n , que es una señal par x 1 10 ~ [n] = sin 2π n , que es una señal impar x 2 10 Obtenga los coeficientes de su DSF siguiendo el procedimiento indicado: defina las señales
~ [n] y x [n] = x ~ [n] en el intervalo n ∈ [0, N x1 [n] = x 1 2 2 0
],
−1
y aplique la expresión indicada. En un
mismo gráfico, represente en la fila superior tres gráficos con x1 [n] , el módulo de sus coeficientes y la fase de sus coeficientes; en la fila inferior represente en otros tres gráficos la información correspondiente de x 2 [n] . Compruebe que los coeficientes corresponden con lo que cabría esperar, y que e fectivamente verifican las propiedades que corresponden a las señales pares e impares. Comente, en este sentido, el resultado obtenido:
NOTA: es posible que la representación de las fases no salga idéntica. En tal caso, un problema que probablemente tengan muchos alumnos sean factores de redondeo.
4.2.2
Ejercicio 3: Obtención de una señal a partir de sus coeficientes
Sea una señal discreta periódica de periodo N 0 a0
= 1, a 2 =
a −* 2
=
e jπ 4 , a 4
=
a −* 4
=
=
2e jπ 3
5 , con coeficientes:
~[n] , sea una señal que A la vista de los coeficientes, espera que la señal periódica a que pertenecen, x tome valores complejos, que sólo tome valores reales, o que sólo los tome imaginarios?
Determine analíticamente el valor de los coeficientes a k . Para ello recuerde que los coeficientes del DSF cumplen la relación a k = a k + N . 0
a k , k ∈ [0, N 0
]
−1
a0
= 1, a1 =
a−4
=
a 4*
=
2e
− j π
3
, a2
=
e jπ 4 , a3
=
a −2
=
a 2*
=
e
− j π
4
, a4
=
j π 3 2e
Expresión analítica: X(n) = 1 + 4 cos(2pi/5n - pi/3) + 2 cos(4pi/5n + pi/4);
Aplique sobre el vector de coeficientes la función
ifft para
obtener un periodo, x[n] de la señal
~[n] en el intervalo n ∈ [− 3 N ,3 N periódica a que pertenecen. Genere a continuación la señal x 0 0 replicando la señal x[n] , y represéntela:
]
−1
4.2.3
Ejercicio 4: DSF de señales discretas cuadradas
Sean las siguientes señales discretas periódicas: x1 [ n ] = { 1,
, 0≤n≤7
1, x 2 [n] = 0,
,
1, x3 [n] = 0,
,
0≤n≤7 8≤n
≤ 15
0≤n≤7 8≤n
≤
con periodos N 01 = 8 , N 02
31 = 16
y N 03
=
32 respectivamente.
Defina tres vectores, x1, x2 y x3, cada uno con un solo periodo de las tres señales definidas. Represente a continuación en un mismo gráfico de tres filas las tres señales periódicas en el intervalo n ∈ [0,63] (para ello, replique los periodos de cada una que sea necesario).
Obtenga los coeficientes del DSF de las tres señales y represente su módulo en un mismo gráfico de tres filas. Indique cuál es el valor medio en un periodo de cada señal y compruebe que el primer coeficiente del desarrollo de cada señal coincide con su valor medio en un periodo. Asimismo calcule la energía por período de las tres señales, tanto a partir de las muestras de la señal como de los coeficientes ak :
x1 [n]
x 2 [n]
x 3 [n]
Valor medio:
1
0.5
0.25
Coeficiente a0 :
1
0.5
0.25
Energía a partir de x[n]
1
0.5
0.25
Energía a partir de ak
1
0.5
0.25
Coeficientes de la DFS para las señales extendidas
Coeficientes de la DFS para un periodo de la señal
4.2.4
Ejercicio 5: Reconstrucción de una señal a partir de parte de sus coeficientes.
El objetivo del ejercicio es observar el efecto que tiene eliminar parte de las componentes frecuenciales de una señal, y comprobar que en señales discretas no se produce el fenómeno de Gibbs. Este ejercicio parte de la serie de coeficientes, a k , k ∈ [0,31] , obtenidos para la señal x3 [n] del ejercicio anterior; por lo tanto, replique la parte del ejercicio anterior necesaria para obtenerlos. Teniendo en cuenta que al ser x 3 [n] una señal real, sus coeficientes verifican a k
=
*
a − k , genere en el
intervalo n ∈ [0,32] las siguientes señales, x3 _ m [n] , que consisten en el DSF de x 3 [n] truncado (es decir, con sólo m de los armónicos): 2
∑
x3 _ 2 [n] =
2π jk n a k e 32
k = −2
2π jk n a k e 32 = k = −8 8
x3 _ 8 [n]
∑
12
x3 _ 12 [n] =
∑
2π jk n a k e 32
k = −12
16
x3 _ all [n] =
∑
2π jk n a k e 32
k = −15
Represente las cuatro señales en un mismo gráfico de cuatro filas, de modo que se muestre cómo la familia de funciones va convergiendo a x 3 [n] . Indique si se aprecia el fenómeno de Gibbs en las reconstrucciones parciales.
x3_2[n]
x3_8[n]
x3_12[n] x3_all[n]
Valor medio:
0.25
0.25
0.25
0.25
Coeficiente a0 :
0.25
0.25
0.25
0.25
Energía a partir de x[n]
0.2155
0.2402
0.2459
0.25
Energía a partir de ak
0.2155
0.2402
0.2459
0.25
Grupo
Práctica 5: Transformada de Fourier
Puesto
Apellidos, nombre
Fecha
Apellidos, nombre
SOLUCION
El objetivo de esta práctica es mostrar al alumno el modo de obtener la Transformada de Fourier (TF) de una señal en tiempo continuo, observar ciertas características de la TF, y comprobar la utilidad de la representación de sistemas LTI en el dominio transformado. Para llevar a cabo la práctica, desarrolle cada ejercicio en un fichero de comandos ‘ejercicio_X.m’ separado (salvo cuando se le solicite d esarrollar una función, en cuyo caso el fichero llevará el nombre de la función). Justo antes de finalizar la práctica, comprima los ficheros ‘.m’ generados en un único fichero ‘practica_5_Puesto_XX . zip’, conéctese al sistema de entrega de prácticas de la Intranet y entréguelo en el grupo que corresponda .
5.1 Aproximación numérica a la TF de tiempo continuo Para obtener en MATLAB la TF de una señal continua, se acude a aproximaciones numéricas: dada una señal x(t ) , la integral que involucra el cálculo de su TF es posible aproximarla por un sumatorio, del siguiente modo: X ( jω ) =
∫
∞
x(t ) ⋅ e
∞
− jω t
dt = lim
→0
−∞
τ
∑ x(n
) ⋅ e − j
(n )
ω
τ
⋅ τ
τ
n = −∞
Para la mayoría de las señales, ésta es una buena aproximación. Si además la señal x(t ) es nula fuera del intervalo 0 ≤ t < T , y siempre que se tome un valor suficientemente pequeño de
τ
, es posible
escribir: X ( jω ) =
∫
∞
x(t ) ⋅ e
T
∫
− jω t
−∞
dt = x(t ) ⋅ e
N −1
− jω t
dt ≈
0
∑ x(n
) ⋅ e − j
τ
(n )
ω
τ
⋅ τ
n =0
, donde N es un entero tal que T = N τ , con lo que el sumatorio se extiende desde t = 0 hasta t = T − τ e incluye T τ valores muy próximos de la variable t (tantos y tanto más próximos cuanto
menor sea el valor de
τ
). Obsérvese que el sumatorio es precisamente la DFT multiplicada por
τ
de una
señal discreta x[n ] = x(nτ ) , que toma valores en n ∈ [0, N − 1] . Por lo tanto, recordando lo visto en la Práctica 4, la expresión Xw=tao*fft(x) arrojará una señal discreta: X [k ] ≈ X ( jω k ) donde
ω k
=
2π k T
=
2π k N τ
, k ∈ [0, N − 1]
, que contiene el valor aproximado de N muestras de la TF de x(t ) . Sin embargo, dado que la función fft obtiene la DFT en el intervalo
ω
∈ [0,2π ] , en el que el subintervalo
ω
∈ [π ,2π ] corresponde
a pulsaciones negativas, es necesario recolocar la segunda mitad del vector X al principio del vector (Xw=fftshift(Xw) ) para obtener la aproximación de la TF en ω ∈ [− π / τ , π / τ ] : X [k ] = X ( jwk ) donde
ω k
=
2π k T
=
2π k N
⎛ N N ⎤ , ⎥ , donde se asume que N es par. ⎝ 2 2 ⎦
, k ∈ ⎜ −
Dado que X [k ] representa muestras de una señal continua, X ( jω ) , en un intervalo de pulsaciones ω
k
⎛ π π ⎤ ∈ ⎜ − , ⎥ , represéntela siempre en este intervalo con el comando plot en vez de con ⎝ τ τ ⎦
. stem
Teniendo en cuenta estas ideas, desarrolle los ejercicios que propone esta práctica.
5.1.1
Ejercicio 1: obtención de la TF de señales básicas
Sean las señales: x1 (t ) = e
−2t
x 2 (t ) = e
−2t
⋅ cos(2π t )
x3 (t ) = e
−2t
⋅ cos(8π t )
x4 (t ) = e
−2t
⋅ cos(100t )
El objetivo es obtener y representar su TF siguiendo el método ya expuesto. Para ello defina las cuatro señales en el intervalo 0 ≤ t < 10 utilizando τ = 0.01 , obtenga su correspondiente TF y defina un vector con los valores de la variable
ω
a que corresponden cada uno de los valores de las TF obtenidas (según
lo visto, w=[-pi:2*pi/N:pi]*(1/tao); en este caso, por ser N=T/tao=1000 N=T/tao=1000 un número par y resultar 2*pi/N múltiplo de pi, haga además w=w(1:end-1) para que la longitud de este vector iguale a los T/tao valores del vector transformada). Represente en una misma ventana de cuatro filas y dos columnas (utilice subplot ) las ocho funciones, cada señal (en función de t ) y su correspondiente transformada (en función de ω , únicamente su módulo) en una fila distinta. A la vista de los gráficos obtenidos indique las relaciones existentes entre parámetros observables en cada una de las cuatro señales (p.ej., el valor medio y la frecuencia de variación de cada una de ellas), y parámetros observables en sus respectivas TF (p.ej., valores concretos, aspecto y localización de los máximos):
5.1.2
Ejercicio 2: extracción de parámetros de la TF de señales básicas
A fin de verificar los datos observados en el ejercicio anterior, a continuación del código de dicho ejercicio: 1.
Obtenga el valor medio de cada señal xi (t ) (utilice para ello la función mean) y compruebe que coincide con el coeficiente a0 de su DSF (recuerde que este coeficiente es proporcional al valor de la TF en el origen: a0 = X ( j 0) / T ). Rellene la tabla adjunta:
2.
x1 (t )
x2 (t )
x3 (t )
x4 (t )
Valor medio
0.050502
0.0051017
0.00081631
0.00052175 0.00052175
a0
0.050502
0.0051017
0.00081631
0.00052175
Obtenga en cada función X i ( jω ) la pulsación a la cual se produce el primer máximo (utilice para ello la función
[C,I]=max() )
y compruebe que coincide aproximadamente con la
pulsación de la oscilación de cada señal xi (t ) que figura en su respectiva expresión analítica. Rellene la tabla adjunta:
Pulsación X i ( jω k )
ω k
x1 (t )
x2 (t )
x3 (t )
x4 (t )
0
2*pi
8*pi
100
0
6,2832
25.1327
99.9026
es máximo 3.
*
Verifique la Relación de Parseval. Para ello, obtenga por una parte la energía de cada señal
xi (t ) , y a continuación compruebe que coincide con 1 2π veces la energía de cada función X i ( jω ) . Rellene la tabla adjunta:
x2 (t )
x1 (t )
∫ x (t ) i
1 2π
*
∫
2
dt 2
X i ( jω ) d ω
x3 (t )
x4 (t )
0,2550332
0,141532
0,130822
0,130092
0,255052
0,141532
0,130822
0,130092
En esta práctica se utiliza repetidamente una aproximación discreta de una señal continua, f (t ) ,
tomando una muestra cada
τ
valores, de modo que f [n] = f (nτ ) . En esta situación, el área abarcada por
es posible aproximarla como la suma de áreas abarcadas por rectángulos de f (t ) en un intervalo de t es altura f [n ] y anchura
τ
, en el intervalo equivalente de n, de modo que se verifica:
∫ f (t )dt = ∑
τ
⋅ f [n] = τ ⋅
∑ f [n]
Análogamente, deduzca la aproximación a seguir para calcular
1 2π
∫
2
X i ( jω ) d ω , para ello utilice el
5.1.3
Ejercicio 3: TF de una señal de audio, obtención y caracterización
El objetivo de este ejercicio es observar y caracterizar el espectro de una señal real de audio. Para obtener muestras de una señal de audio, incluya en su fichero .m los siguientes comandos: load laughter; tao=1/8192; T=6.4251; N=T/tao;
% % % %
‘laughter.wav’ es el fichero con muestras de la señal de audio Intervalo de tiempo, en segundos, entre muestras consecutivas Duración total, en segundos, de la señal de audio Número total de muestras o valores discretos
El resultado será directamente un vector columna de nombre y, que contiene N =52634 muestras de una señal de audio, y (t ) , de duración total T =6,425s, tomadas cada
τ
= 1 8192s . Si su equipo dispone de
altavoces, reproduzca el contenido de la señal utilizando el comando sound(y,(1/tao)) . Siguiendo el mismo procedimiento que en el ejercicio anterior, obtenga la TF de esta señal. Represente en una misma ventana de cuatro filas (utilice subplot ), por un lado la señal (en función de t ) y por otro, en las otras tres filas, el módulo y las partes real e imaginaria de su correspondiente Transformada de Fourier (en función de ω ).
Operando exclusivamente con la TF indique qué componente de frecuencia, en hertzios, de la señal y (t ) es la de valor más pronunciado (utilice la función max sobre el módulo de la TF) y cuál es el valor
medio de la señal y (t ) : Frecuencia máxima (Hz)
1122 Hz (7050 rad/s)
Valor medio ( a0 )
0.00028903
Indique además si se verifica, por ser y (t ) una señal real, que Y ( jω ) = Y * (− jω ) . Para comprobarlo verifique que la señal resta de ambas, Y ( jω ) Y * ( jω ) , tiene energía prácticamente nula (en
comparación con la de Y ( jω ) ). Para obtener la señal inversa utilice la función flipud (recuerde que al ser y un vector columna, su TF también lo será, y por lo tanto no tiene sentido utilizar fliplr ), para obtener la señal conjugada utilice conj , y para restar ambas señales tenga en cuenta que sus índices correspondientes a ω = 0 han de estar alineados (algo que por defecto no ocurre ya que al tener la señal transformada un número par de elementos, la función flipud no sólo invierte sino que desplaza un valor). Rellene la tabla adjunta:
Energía de Y ( jω )
0.16702
Energía de Y ( jω ) − Y * (− jω )
5.1.4
0
Ejercicio 4: síntesis de la TF de una señal real a partir de su TF
El objetivo de este ejercicio es obtener una señal y (t ) a partir de su TF. Para ello, este ejercicio continúa el ejercicio anterior, es decir, el punto de partida es el vector de muestras de Y ( jω ) que allí se obtuvo. Dado el vector Yw que representa la señal Y ( jω ) , el modo de obtener su transformada inversa, y r (t ) , representada por el vector yr, es utilizar el comando yr=ifft(fftshift(Yw)/tao); . Dado que, por problemas de redondeo, esta operación genera una señal con una pequeña parte imaginaria, si se sabe, como es el caso, que la señal resultante es real, conviene eliminar la parte imaginaria escribiendo yr=real(yr); . Represente en una misma ventana de tres filas (utilice
subplot)
la señal y (t ) , la señal y r (t ) , y la
diferencia entre ambas. Si su equipo dispone de altavoces, reproduzca el contenido de la señal original y de su TF inversa e indique si subjetivamente aprecia diferencia entre ambas:
Para obtener una referencia cuantitativa de su similitud o de su diferencia, calcule y consigne en la tabla adjunta la energía total de las tres señales:
Energía:
Comente el resultado obtenido:
y (t )
y r (t )
y (t ) − y r (t )
0.16702
0.16702
0
Grupo
Práctica 6: Aplicaciones de la TF
Puesto
Apellidos, nombre
Fecha
Apellidos, nombre
El objetivo de esta práctica es mostrar al alumno diversas aplicaciones básicas de la Transformada de Fourier en la definición de sistemas LTI y en la obtención de las respuestas de estos sistemas a señales de audio. Para llevar a cabo la práctica, desarrolle cada ejercicio en un fichero de comandos ‘ejercicio_X.m’ separado (salvo cuando se le solicite desarrollar una función, en cuyo caso el fichero llevará el nombre de la función). Justo antes de finalizar la práctica, comprima los ficheros ‘.m’ generados en un único fichero ‘practica_6_Puesto_XX . zip’, conéctese al sistema de entrega de prácticas de la Intranet y entréguelo en el grupo que corresponda.
5.1 Generación de ecos 5.1.1
Ejercicio 1: generación de ecos en una señal ejemplo
El eco en una señal de audio es un fenómeno cuyo resultado es la llegada a nuestro oído de una misma señal original superpuesta a versiones desplazadas de ella misma, debido al efecto del entorno sobre la señal. Es posible simular este entorno como un sistema LTI cuya respuesta al impulso unidad es una función delta más una o varias funciones delta desplazadas (según se quiera uno o varios ecos): ht t t t 01 t t 02
Para añadir eco a una señal, podemos convolucionarla con esta respuesta al impulso o bien, aplicando la propiedad de multiplicación de la TF, multiplicar su TF con la de la señal que queremos modificar. Este último es el procedimiento que propone este ejercicio. Suponiendo que t 01 0.81 y t 02 1.62 , obtenga analíticamente la expresión de H j :
H j
1+e
–jwt01
1+e
–jw0.81
+e
–jwt02
+e
=
–jw1.62
Sea la señal de partida: xt e
2t
cos(4 t )
y sea yt xt ht la señal que buscamos, resultante de añadir ecos a xt . Obtenga la TF de xt siguiendo el método expuesto en la Práctica 5, y utilizando los mismos valores para T y indicaban ( T 10 y
que allí se
0.01 ) . Defina a continuación la función H j , utilizando directamente su
expresión analítica, en el mismo intervalo de
que
X j . Multiplique ambas transformadas para
obtener Y j X j H j . Obtenga finalmente la transformada inversa de Y j , es decir, la señal yt xt ht deseada.
Represente en una misma ventana de tres filas y dos columnas (utilice subplot) las funciones involucradas, cada señal (en función de t ) y su correspondiente transformada (en función de , únicamente el módulo) en una fila distinta (para representar los tres impulsos de ht suponga que h0 ht 01 ht 02 1 ).
A la vista de los gráficos obtenidos, comente el efecto de la operación efectuada tanto en el dominio del tiempo como en el transformado:
5.1.2
Ejercicio 2: generación de ecos en una señal de audio
El objetivo de este ejercicio es observar subjetivamente el efecto presentado en el ejercicio anterior, para lo cual se repetirá la operación pero sobre una señal de audio. Para obtener muestras de una señal de audio adecuada, incluya en su fichero .m los siguientes comandos: load splat; y=y(1:6144);y=y'; tao=1/8192; T=0.75; N=T/tao;
El resultado será directamente un vector de nombre y, que contiene N =6144 muestras de una señal de audio, yt , de duración total T =0,75s, tomadas cada
reproduzca el contenido de la señal utilizando el comando
1 8192 s . Si su equipo dispone de altavoces, sound(y,(1/tao)).
Amplíe la duración de la señal yt , añadiendo ceros al final, de modo que su duración total pase a ser justo el doble, es decir T =1,5s. Teniendo en cuenta que ahora la señal de entrada es yt , repita el ejercicio anterior con valores t 01 0.2 y t 02 0.4 , y llamando xt a la señal de salida. Si su equipo dispone de altavoces, reproduzca
el contenido de la señal utilizando el comando operación efectuada:
sound(x,(1/tao)),
y observe y comente el efecto de la
Se oye eco.
5.2 Filtrado selectivo 5.2.1
Ejercicio 3: filtrado selectivo de una señal de audio
El objetivo de este ejercicio es observar subjetivamente el efecto de eliminar bandas seleccionadas de frecuencia en una señal vocal. Para obtener muestras de una señal de vocal adecuada, descargue de la página web de la asignatura la señal de audio sound_3.wav a su directorio de trabajo, e incluya en su fichero .m los siguientes comandos para cargarla: [x,Fs,bits]=wavread('sound_3.wav'); tao=1/Fs; N=size(x,1); T=N*tao; x=x’;
Obtenga la TF de la señal y represente en un gráfico de dos filas las señales xt e X j (sólo su módulo), pero esta última en función de la frecuencia en vez de en función de la pulsación (sencillamente defina el vector w , como de costumbre, y luego defina f=w./(2*pi)) para la representación.
Sean tres filtros, uno paso bajo, otro paso banda y otro paso alto, definidos por la expresiones:
4, H 1 j 0,
f f 1 resto
, donde f 1 3761.6 Hz
4, H 2 j 4, 0,
f 2 f f 1 f 1 f f 2 , donde f 1 3761.6 Hz y f 2 7523.2 Hz
4, H 3 j 0,
f f 2
resto
resto
, donde f 2 7523.2 Hz
Operando en el dominio de la TF, obtenga las tres señales y1 t xt h1 t , y 2 t xt h2 t e y 3 t xt h3 t . Represente en un nuevo gráfico de tres filas y dos columnas las señales H i j e Y i j (cada pareja en una fila) y reproduzca con el comando sound(y,(1/tao))cada una de las tres
señales y i t obtenidas.
Comente, desde el punto de vista frecuencial, las características auditivas de las señales que ha escuchado:
5.3 Encriptación
El objetivo de este ejercicio es observar qué ocurre si invertimos la TF de una señal de audio de ancho de banda limitado, xt . Esta técnica, denominada inversión de espectro, es muy utilizada para encriptar señales de audio analógico. Básicamente, la operación consiste en reflejar su TF, X j , con respecto al
eje
0 . Para ello, el método propuesto (que de hecho se utiliza en la práctica) es multiplicar la señal de
audio por una señal sinusoidal ct de pulsación igual a la máxima,
max ,
que presente la señal:
FT
C j 2 max 2 max ct 2 cos max t FT
xt ct
1 2
X j C j X j max X j max
La siguiente figura muestra gráficamente el efecto de esta operación en el dominio frecuencial:
Si sobre la señal resultante aplicamos un filtro paso bajo de pulsación de corte
max , obtendremos la TF,
X e j , de la señal encriptada, x e t .
Con el método propuesto en la Práctica 5 para calcular la TF de una señal de tiempo continuo, obtenemos la TF únicamente en el intervalo
k
,
max , max , por lo que no es necesario efectuar el
filtrado paso bajo indicado.
5.3.1
Ejercicio 4: encriptación de una señal de audio
Incluya el mismo código indicado en el ejercicio anterior para cargar la señal de audio xt correspondiente al fichero sound_3.wav. Efectúe las operaciones indicadas hasta obtener la señal encriptada x e t . Represente en un gráfico de dos filas las TF de la señal original y de la señal resultante, X j y X e j . Reproduzca la señal encriptada e indique qué es lo que escucha y si es capaz de entenderlo: No.
5.3.2
Ejercicio 5: desencriptación de una señal de audio
Descargue de la página web de la asignatura la señal de audio e incluya en su fichero .m los siguientes comandos cargarla:
sound_5.wav a
su directorio de trabajo,
[xe,Fs,bits]=wavread('sound_5.wav'); tao=1/Fs; N=size(xe,1); T=N*tao; xe=xe’;
Se trata de una señal, x e t , encriptada por el procedimiento de inversión de espectro descrito al principio de esta sección. Observe que para desencriptarla y obtener la señal original xt basta con aplicarle exactamente la misma operación de encriptado (que vuelve a invertir el espectro y, por lo tanto, lo devuelve a su aspecto original). Escuche la señal encriptada, efectúe la operación de desencriptación, represente en un gráfico de dos filas las TF de la señal encriptada y de la señal resultante, X e j y X j , y transcriba el contenido de la señal original:
