EJEMPLO DE FRACCIONAMIENTO DE TERRENOS
La información requerida para fraccionar una poligonal es: vértices identificados, coordenadas, ángulos internos (ya (ya compensados), rumbos y el trazo del polígono. Puede estar presentada de la siguiente forma: Vert
coordenadas (m) ángulos int x y 100,00 100,00 68°29'28'' 101,76 120,95 131°31'05'' 109,87 126,98 110°43'55'' 118,53 121,45 117°00'58'' 116,94 105,10 112°16'05'' 100,00 100,00 540°01'30''
A B C D E 1
130,00 125,00
rumbos N N S S S
4°47'53'' 53°16'48'' 57°26'35'' 5°32'40'' 73°16'57''
E E E W W
109,87; 126,98 C
101,76; 120,95
118,53; 121,45 D
B
120,00 115,00 110,00
E
105,00 A
116,94; 105,10
100,00 100,00; 100,00 95,00 90,00 95 ,00
1 0 0, 00
10 5, 00
1 10, 00
11 5, 00
1 20, 00
La superficie total del polígono también debe ser un dato conocido, el cual se puede calcular mediante productos cruzados, según se vio en la práctica anterior. Así, para este polígono, la superficie total es, St = 358.216 m2. Definición del problema: A partir de los datos anteriores se deberá fraccionar la poligonal en dos superficies, tal que, S1= 200m2 y S2= 158.216 m2. Nota 1: Es importante darse cuenta que si la poligonal fuera regular (un cuadrado, rectángulo, pentágono, triángulo equilátero o isósceles, etc.) y si las superficies a
fraccionar fueran iguales (S1=S2=S3=Si=…Sn), la solución del problema se resumiría probablemente en una simple división. Sin embargo, en general, una poligonal no es regular y las superficies a fraccionar son diferentes entre sí, a lo que hay que agregar que se deberán determinar las coordenadas de todos los puntos que definen nuestras superficies fraccionadas, según se verá más adelante en la solución de nuestro problema. Solución: Lo primero es proponer un subpolígono (puede ser cualquiera), a partir del original y calcular su respectiva superficie por medio de sus coordenadas que ya conocemos (pues son datos de inicio). En nuestro ejemplo, se propone la superficie formada por los vértices A, B, D, E, A, es decir, SABDEA.
Por productos cruzados, tenemos: Vert
coordenadas (m) x
A B D E A
100,00 101,76 118,53 116,94 100,00
y
Productos cruzados xi*yi+1
100,00 120,95 121,45 105,10 100,00
12095 12358,752 12457,503 11694 0 48605,255
S ABDEA =
309,66
yi*xi+1 10176 14336,2035 14202,363 10510 0 49224,5665 m2
Nota 2. Al emplear el procedimiento de cálculo de superficie por productos cruzados, será necesario introducir las coordenadas de los vértices con un orden (se recomienda que sea en sentido horario) para que no haya errores de cálculo; pues si en la tabla se introducen las coordenadas de los vértices en forma aleatoria el resultado que obtengamos de la superficie no será correcto.
Ahora que se conoce SABDEA se compara ésta con cualquiera de las superficies buscadas, es decir con cualquiera de S1 y S2. Se recomienda compararla con la más cercana a ella en magnitud. Así, en este ejemplo se compara SABDEA con S1 y se obtiene una superficie excedente a la que se busca en el fraccionamiento, esto es: SEXCEDENTE= SABDEA- S1= 309.66 m2-200 m2 = 109.66 m2
La superficie achurada es la superficie propuesta, SABDEA= 309.66 m2 y ésta excede 109.66 m2 a la superficie que buscamos, S1= 200 m2. 130,00 125,00
109,87; 126,98 C
101,76; 120,95
118,53; 121,45 D
B
120,00 115,00 110,00
E
105,00 A
116,94; 105,10
100,00 100,00; 100,00 95,00 90,00 95,00
100,00
105,00
110,00
115,00
120,00
Lo que significa que debemos desplazar la línea BD, respecto al punto B o bien, respecto al punto D, para que de esta manera el área achurada sea menor y se iguale a la superficie buscada, S1 =200 m2. Según se muestra enseguida. 130,00 125,00
109,87; 126,98 C
101,76; 120,95
118,53; 121,45 D
B
120,00 115,00 110,00
E
105,00 A
116,94; 105,10
100,00 100,00; 100,00 95,00 90,00 95,00
100,00
105,00
110,00
115,00
120,00
Nota 3. En caso de que la superficie propuesta (SABDEA) hubiera sido menor a la superficie buscada (S1), la línea BD debería desplazarse hacia arriba para así aumentar la superficie.
130,00 125,00
109,87; 126,98 C
101,76; 120,95
118,53; 121,45 D
B
120,00 115,00 110,00
E
105,00 A
116,94; 105,10
100,00 100,00; 100,00 95,00 90,00 95,00
100,00
105,00
110,00
115,00
120,00
Para nuestro ejemplo, recorreremos la línea como en el primer caso, es decir, respecto al vértice B, como se ve enseguida: 130,00 125,00
109,87; 126,98 118,53; 121,45 D
B
120,00 115,00
C
101,76; 120,95
N
110,00 E
105,00 A
116,94; 105,10
100,00 100,00; 100,00 95,00 90,00 95,00
100,00
105,00
110,00
115,00
120,00
Ahora bien, como se ha desplazada lo línea BD hacía abajo, se ha generado un punto auxiliar N, el cual tiene coordenadas que en principio no se conocen, pero son tales que el nuevo polígono definido por los vértices A, N, D, E y A nos dará la superficie de fraccionamiento buscada, esto es: SANDEA=S1= 200 m2. Como se acaba de mencionar, las coordenadas del punto auxiliar N no se conocen, por lo que habrá que determinarlas, una forma de hacerlo (puede haber más de una manera de realizarlo) se muestra a continuación.
130,00 125,00
109,87; 126,98 101,76; 120,95
B
120,00
C
B
118,53; 121,45
’’
D
BB ’
115,00
D
N
110,00 E
105,00 A
100,00
E
116,94; 105,10
A 100,00; 100,00
95,00 90,00 95,00
100,00
105,00
110,00
115,00
120,00
Se observa que la superficie formada por los vértices N, B, D y N, es decir, SNBDN (achurado rosa) representa la superficie excedente, SEXCEDENTE= 109.66 m2, a la superficie buscada, S1 = 200 m2 (achurado azul). Si empleamos la siguiente fórmula, para triángulos oblicuos:
b*c*sin(A) Recordamos que esta expresión nos permite relacionar dos lados conocidos de un triángulo (b y c), su ángulo interior entre esos lados (A) y la superficie del triángulo (S). En nuestro caso, la superficie ya la conocemos (es la superficie excedente), los lados que podemos utilizar son las líneas NB y BD, entonces el ángulo que usaremos será el formado por dichas líneas, al cual llamaremos B . Entonces, por analogía, con nuestros datos y la fórmula anterior, tenemos: S = SEXCEDENTE= 109.66 m2 b = línea BN c = línea BD A=B Para sustituir la información en la fórmula, debemos primero calcular la línea BD, lo cual es simple mediante la fórmula para hallar la distancia entre dos puntos de una línea recta, conociendo las coordenadas de dicho punto. Así, BD = 16.78 m. Para calcular el ángulo B , restamos al ángulo interior B el ángulo formado por las líneas BC y BD, al cual llamaremos ángulo B . A su vez, para calcular el ángulo B empleamos la fórmula: ’
’
’
’’
’’
La cual nos indica que para calcular el ángulo interior de un triángulo necesitamos relacionar sus lados y su semiperímetro. Así, para calcular el ángulo que requerimos, B , trabajamos con las distancias de las líneas BC, CD y BD (las cuales se pueden determinar mediante sus coordenadas a través de la fórmula para distancias entre dos puntos), así: BD = 16.78 m (ya se había calculado un paso anterior) BC = 10.1 m CD =10.26 m P = 18.57 m Sustituyendo estos valores en la fórmula anterior en dónde A es igual al ángulo buscado, B , se tiene: B = 34°49’58.22”. Ahora que se conoce este valor, se le resta –según lo ya comentado líneas arribaal ángulo interior B = 131°31 05 (dato de comienzo), de este modo, el ángulo que requerimos, B = 96°41 6.78 el cual sustituiremos en la siguiente fórmula para que, despejando, hallemos la distancia BN. ’’
’’
’’
’
’
’
”
”
b*c*sin(A) Así, la distancia BN = (2(109.66 m2))/(16.78 m *sin (96°41 ’6.78”)) = 13.17 m La dirección de la línea BN será la misma que la dirección de AB (ya que está en la misma línea), pero con sentido contrario, esto es: Rbo. BN = S4°47”52.5”W, con ello, sus respectivas proyecciones son: x = -13.168 m *sin (4°47 ”52.5”) -el signo negativo es por la proyección al oestey = -13.168 m *cos (4°47 ”52.5”) -el signo negativo es por la proyección al surAsí se obtiene: x = -1.1014 m y = -13.121 m Con estas proyecciones se obtienen las coordenadas del punto auxiliar N, a partir de las coordenadas conocidas del punto B, así: Nx = Bx+ x = 101.763 m + (-1.1014 m) = 100.75 m Ny = By+ y = 120.947 m + (-13.121 m) = 107.83 m Conociendo ahora las coordenadas del punto auxiliar B, se puede determinar (por productos cruzados) la superficie formada por los vértices A, N, D, E, A, o sea:
Vert
coordenadas (m) x
A N D E A
100,00 100,75 118,53 116,94 100,00
y
Productos cruzados xi*yi+1
yi*xi+1
100,00 107,83 121,45 105,10 100,00
10783 12236,0875 12457,503 11694 0 47170,5905
10075 12781,0899 14202,363 10510 0 47568,4529
S ANDEA =
198,93
m2
Lo cual, para fines prácticos es muy aproximada a la superficie buscada S1 =200 m2. Finalmente, a manera de comprobación, se debe calcular la superficie complementaria de la poligonal, es decir la superficie formada por los vértices N, B, C, D, N, de este modo: Vert
coordenadas (m) x
N B C D N
100,75 101,76 109,87 118,53 100,75
y
Productos cruzados xi*yi+1
yi*xi+1
107,83 120,95 126,98 121,45 107,83
12185,7125 12921,4848 13343,7115 12781,0899 0 51231,9987
10972,7808 13288,7765 15050,9394 12236,0875 0 51548,5842
SNBCDN =
158,29
m2
La cual también es muy aproximada a la segunda superficie que se busca fraccionar, S2 = 158.216 m2.
