Capítulo 5. Análisis de la respuesta transitoria y estacionaria
231
EJEMPLOS DE PROBLEMAS Y SOLUCIONES A-5-1.
En el sistema sistema de la Figura Figura 5-49, 5-49, x (t ) es el desplazamiento de entrada y h (t ) es el desplazamiento angular de salida. Suponga que las masas involucradas son tan pequeñas que pueden no considerarse y que todos los movimientos tienen la restricción de ser pequeños; por tanto, el sistema se considera lineal. Las condiciones iniciales para x y h son cero, o x(0.) % 0 y h(0.) % 0. Demuestre que este sistema es un diferenciador. Después, obtenga la respuesta h(t ) cuando x(t ) es una entrada escalón escalón unitario. unitario. Solución.
La ecuación ecuación para para el sistema sistema es es 5
0
b( x . Lh) % kLh
o bien k Lh ! Lh % x b 5
0
La transformada de Laplace de esta última ecuación, con condiciones iniciales cero, da
A
B
k Ls ! L C (s) % sX (s) b
Y, por tanto, C (s)
X (s)
%
1
s
L s ! (k / / b)
En este caso, se trata de un sistema diferenciador. Para la entrada escalón unitario X (s) % 1/ s, la salida C (s) se convierte en C (s) %
1
1
/ b) L s ! (k /
La transformada inversa de Laplace de C (s) produce
h(t ) %
1
L
Figura 5-49.
e
/ b)t (k /
.
Sistema mecánico.
232
Ingeniería de control moderna x (t )
1
0
t
0
t
) u (t 1 L
Figura 5-50.
Entrada escalón unitario unitario y la respuesta de sistema mecánico mecánico mostrado en la Figura 5-49.
Observe que, si el valor de k / /b es grande, la respuesta h(t ) se aproxima a una señal pulso como se aprecia en la Figura 5-50. A-5-2.
Con frecuencia frecuencia se usan trenes de engranajes engranajes en sistemas de seguimiento seguimiento para reducir la velocidad, velocidad, aumentar el par u obtener la transferencia de potencia más eficiente, haciendo coincidir el miembro de manejo con la carga determinada. Considere el sistema de tren de engranajes de la Figura 5-51. En este sistema, un motor maneja una carga mediante un tren de engranajes. Suponiendo que la rigidez de los ejes del tren de engrana jes es infinita (no existe juego o bamboleo ni deformación deformación elástica) elástica) y que el número de dientes en cada engranaje es proporcional al radio del mismo, obtenga el momento de inercia equivalente y el coeficiente de fricción viscosa equivalente referido al eje del motor y con el eje de la carga. En la Figura 5-51, el número de dientes en los engranajes 1, 2, 3 y 4 es N 1, N 2, N 3 y N 4 respectivamente. tivamente. Los desplazamientos desplazamientos angulares angulares de los ejes 1, 2 y 3 son h1, h2 y h3, respectivamente. Por tanto, h 2 / h1 % N 1/ N 2 y h 3/ h2 % N 3/ N 4. El momento de inercia y el coeficiente de fricción viscosa de cada componente componente del tren de engranajes engranajes se representa representan n mediante mediante J 1, b 1; J 2, b 2; y J 3, b 3, respectivamente. tivamente. ( J 3 y b 3 incluyen el momento de inercia y la fricción de la carga.)
Figura 5-51.
Sistema de tren de engranajes.
232
Ingeniería de control moderna x (t )
1
0
t
0
t
) u (t 1 L
Figura 5-50.
Entrada escalón unitario unitario y la respuesta de sistema mecánico mecánico mostrado en la Figura 5-49.
Observe que, si el valor de k / /b es grande, la respuesta h(t ) se aproxima a una señal pulso como se aprecia en la Figura 5-50. A-5-2.
Con frecuencia frecuencia se usan trenes de engranajes engranajes en sistemas de seguimiento seguimiento para reducir la velocidad, velocidad, aumentar el par u obtener la transferencia de potencia más eficiente, haciendo coincidir el miembro de manejo con la carga determinada. Considere el sistema de tren de engranajes de la Figura 5-51. En este sistema, un motor maneja una carga mediante un tren de engranajes. Suponiendo que la rigidez de los ejes del tren de engrana jes es infinita (no existe juego o bamboleo ni deformación deformación elástica) elástica) y que el número de dientes en cada engranaje es proporcional al radio del mismo, obtenga el momento de inercia equivalente y el coeficiente de fricción viscosa equivalente referido al eje del motor y con el eje de la carga. En la Figura 5-51, el número de dientes en los engranajes 1, 2, 3 y 4 es N 1, N 2, N 3 y N 4 respectivamente. tivamente. Los desplazamientos desplazamientos angulares angulares de los ejes 1, 2 y 3 son h1, h2 y h3, respectivamente. Por tanto, h 2 / h1 % N 1/ N 2 y h 3/ h2 % N 3/ N 4. El momento de inercia y el coeficiente de fricción viscosa de cada componente componente del tren de engranajes engranajes se representa representan n mediante mediante J 1, b 1; J 2, b 2; y J 3, b 3, respectivamente. tivamente. ( J 3 y b 3 incluyen el momento de inercia y la fricción de la carga.)
Figura 5-51.
Sistema de tren de engranajes.
Capítulo 5. Análisis de la respuesta transitoria y estacionaria
233
Solución.
Para este sistema sistema de tren de engranajes, engranajes, se obtienen las tres ecuaciones ecuaciones siguientes. Para el eje 1, (5-63) J 1h¨ 1 ! b1h1 ! T 1 % T m 0
donde T m es el par desarrollado por el motor y T 1 es el par de carga en el engranaje 1 debido al reposo del tren de carga. Para el eje 2, J 2h¨ 2 ! b2h2 ! T 3 % T 2 0
(5-64)
donde T 2 es el par transmitido al engranaje 2 y T 3 es el par de carga en el engranaje 3 debido al reposo del tren de engranajes. Como el trabajo realizado por el engranaje 1 es igual al del engranaje 2, N 2 o T 1h1 % T 2h2 T 2 % T 1 N 1 Si N 1/ N 2 a 1, la relación de engranajes reduce la velocidad, al igual que aumenta el par. Para el tercer eje, (5-65) J 3h¨ 3 ! b3h3 ! T L % T 4 0
donde T L es el par de carga y T 4 es el par transmitido al engranaje 4. T 3 y T 4 se relacionan mediante T 4 % T 3
y h 3 y h1 se relacionan mediante
h3 % h2
N 3 N 4
%
N 4 N 3
h1
N 1 N 3 N 2 N 4
La eliminación de T 1, T 2, T 3 y T 4 de las Ecuaciones (5-63), (5-64) y (5-65) produce N 1 N 1 N 3 ( J 2h¨ 2 ! b2h2) ! ( J 3 h¨ 3 ! b3h3 ! T L) % T m J 1h¨ 1 ! b1h1 ! N 2 N 2 N 4 0
0
0
Eliminando h 2 y h3 de esta última ecuación, y escribiendo la ecuación resultante en función de h 1 y sus derivadas con respecto al tiempo, se obtiene
C A B A BA B D C A B A B A B Dh A B A B J 1 !
N 1 N 2
2
J 2 ! !
N 1
2
N 2
b1 !
2
N 3
J 3 h¨ 1
N 4
N 1 N 2
2
b2 !
N 1 N 2
2
2
N 3
b3
N 4
0
1!
N 1
N 3
N 2
N 4
T L % T m
(5-66)
Por tanto, el momento de inercia equivalente y el coeficiente de fricción del tren de engranajes referido a la flecha 1, se obtienen, respectivamente, mediante J 1eq % J 1 !
b1eq % b1 !
A B A BA B A B A BA B N 1 N 2
N 1
2
J 2 !
2
b2 !
N 2
N 1
2
N 2
N 1
N 3
2
N 4
2
N 2
N 3
J 3
2
b3
N 4
Asimismo, el momento de inercia y el coeficiente de fricción viscosa equivalentes del tren de engranajes, referido a la flecha de carga (eje 3), se obtienen, respectivamente, mediante J 3eq % J 3 !
b3eq % b3 !
A B A BA B A B A BA B N 4 N 3
N 4 N 3
2
J 2 !
2
b2 !
N 2
2
N 1
N 2 N 1
N 3 N 4
2
N 4 N 3
2
J 1
2
b1
234
Ingeniería de control moderna
Por tanto, la relación entre J 1eq y J 3eq es J 1eq %
A BA B
J 3eq
b1eq %
A BA B
b3eq
2
N 1 N 2
N 3
2
N 4
y aquella entre b 1eq y b 3eq es 2
N 1 N 2
N 3 N 4
2
El efecto de J 2 y J 3 en un momento de inercia equivalente se determina mediante las relaciones de engranajes N 1/ N 2 y N 3/ N 4. Para los trenes de engranajes que reducen la velocidad, por lo general las relaciones N 1/ N 2 y N 3/ N 4 son menores que la unidad. Si N 1/ N 2 i 1 y N 3/ N 4 i 1, el efecto de J 2 y J 3 en el momento de inercia equivalente J 1eq es insignificante. Para el coeficiente de fricción viscosa equivalente b1eq del tren de engranajes se aplican comentarios similares. En función del momento de inercia equivalente J 1eq y el coeficiente de fricción viscosa equivalente b 1eq la Ecuación (5-66) se simplifica para dar J 1eqh¨ 1 ! b1eqh1 ! nT L % T m 0
donde N 1 N 3 n% N 2 N 4 A-5-3.
Cuando el sistema de la Figura 5-52(a) está sujeto a una entrada escalón unitario, la salida del sistema responde como se aprecia en la Figura 5-52(b). Determine los valores de K y T a partir de la curva de respuesta. La sobreelongación máxima de 25.4% corresponde f % 0.4. A partir de la curva de respuesta, se tiene que Solución.
t p % 3
En consecuencia, t p %
Figura 5-52.
n n n % % %3 ud un∂ 1 . f2 un ∂ 1 . 0.42
(a) Sistema en lazo cerrado; (b) curva de respuesta a escalón unitario.
Capítulo 5. Análisis de la respuesta transitoria y estacionaria
235
De aquí se deduce que
un % 1.14 A partir del diagrama de bloques, se tiene que C (s)
%
R(s)
K Ts2 ! s ! K
de donde
un %
J
K , T
2fun %
1 T
Por tanto, los valores de T y K se determinan como T %
1 2fun
%
1 2 # 0.4 # 1.14
% 1.09
K % u2nT % 1.142 # 1.09 % 1.42 A-5-4.
Determine los valores de K y k del sistema en lazo cerrado de la Figura 5-53 para que la sobreelongación máxima de la respuesta escalón unitario sea del 25% y el tiempo pico sea de 2 seg. Suponga que J % 1 kg-m2. Solución.
La función de transferencia en lazo cerrado es C (s) R(s)
K
%
Js2 ! Kks ! K
Sustituyendo J % 1 kg-m2 en esta última ecuación se tiene que C (s) R(s)
% 2
s
K ! Kks ! K
Observe que en este problema
un % ∂ K,
2fun % Kk
La sobreelongación máxima M p es fn/ 1 f2 M p % e. ∂ .
que se especifica como 25%. Por tanto, fn/ 1 f2 e. ∂ . % 0.25
de donde
fn
∂ 1 . f
Figura 5-53.
2
% 1.386
Sistema en lazo cerrado.
236
Ingeniería de control moderna
o bien
f % 0.404
El tiempo pico t p se especifica como 2 seg. Y, por tanto, t p %
n %2 ud
o bien
ud % 1.57 En este caso la frecuencia natural no amortiguada u n es un %
ud
1.57
%
∂ 1 . f2 ∂ 1 . 0.4042
% 1.72
Por tanto, se obtiene K % u2n % 1.722 % 2.95 N-m k % A-5-5.
2fun K
%
2 # 0.404 # 1.72 2.95
% 0.471
seg
La Figura 5-54(a) muestra un sistema vibratorio mecánico. Cuando se aplica al sistema una fuerza de 2 lb (entrada escalón), la masa oscila como se aprecia en la Figura 5-54(b). Determine m , b y k del sistema a partir de esta curva de respuesta. El desplazamiento x se mide a partir de la posición de equilibrio. Solución.
La función de transferencia de este sistema es X (s) P(s)
%
1 ms2 ! bs ! k
Como P(s) %
2 s
se obtiene X (s) %
2 s(ms2 ! bs ! k )
de lo cual se deduce que el valor en estado estacionario de x es 2 x(ä) % lím sX (s) % % 0.1 ft sr0 k
Figura 5-54.
(a) Sistema vibratorio mecánico; (b) curva de respuesta a un escalón.
Capítulo 5. Análisis de la respuesta transitoria y estacionaria
237
Por tanto, k % 20 lbf /ft
Observe que M p % 9.5% corresponde a f % 0.6. El tiempo pico t p se obtiene mediante t p %
n n n % % ud un ∂ 1 . f2 0.8un
La curva experimental muestra que t p % 2 seg. Por tanto,
un %
3.14 2 # 0.8
% 1.96
rad/seg
Como u 2n % k / m % 20/ m, se obtiene m%
20
20
un
1.962
2%
% 5.2
slug % 166 lb
(Observe que 1 slug % l lbf -seg2 /ft.) Después b se determina a partir de 2fun %
b m
o bien b % 2funm % 2 # 0.6 # 1.96 # 5.2 % 12.2 lbf /ft/seg A-5-6.
Considere la respuesta escalón unitario del sistema de segundo orden
u2n % 2 R(s) s ! 2funs ! u2n C (s)
La amplitud de la sinusoide exponencialmente amortiguada cambia como una serie geométrica. En el tiempo t % t p % n/ ud , la amplitud es igual a e (p/ u )n. Después de una oscilación, o en t % t p ! 2n/ ud % 3n/ ud , la amplitud es igual a e (p/ u )3n; después de otro ciclo de oscilación, la amplitud es e (p/ u )5n. El logaritmo de la razón de las sucesivas amplitudes se denomina logaritmo decremental. Determe el logaritmo decremental para este sistema de segundo orden. Describa un método para determinar experimentalmente la razón de amortiguamiento a partir de la razón con la que decae la oscilación. .
.
.
d
d
d
Solución.
Se define la amplitud de la oscilación de salida en t % t i como xi, donde t i % t p ! (i . 1)T ( T % periodo de oscilación). La razón de amplitud por un periodo de oscilación amortiguada es x1 e (p/ u )n 2(p/ u )n 2fn/ ∂1 f % %e (p/ u )3n % e x2 e .
d
.
d
.
2
d
Por tanto, el logaritmo decremental d es
d % ln
x1 x2
%
2fn
∂ 1 . f2
Es una función exclusivamente del coeficiente de amortiguamiento f . Por tanto, el coeficiente de amortiguamiento f se puede determinar utilizando el logaritmo decremental. En la determinación experimental del coeficiente de amortiguamiento f a partir de la razón con que decae la oscilación, se mide la amplitud x 1 en t % t p y la amplitud x n en t % t p ! (n . 1)T . Observe que es necesario escoger n lo suficientemente grande para que la razón o bien x 1/ xn no sea cercano a la unidad. Entonces, x1 (n.1)2fn/ ∂1 .f %e xn 2
238
Ingeniería de control moderna
o bien ln
x1 xn
2fn
% (n . 1)
∂ 1 . f2
De ahí
A B J n C A BD 1
f%
n.1
2
4
A-5-7.
ln
x1 xn
1
!
ln
n.1
x1
2
xn
En el sistema de la Figura 5-55, los valores numéricos de m , b y k son m % 1 kg, b % 2 N-seg/m, y k % 100 N/m. La masa se desplaza 0.05 m y se libera sin velocidad inicial. Encuentre la frecuencia observada en la vibración. Además, encuentre la amplitud cuatro ciclos después. El desplazamiento x se mide a partir de la posición de equilibrio. Solución.
La ecuación de movimiento para el sistema es 5
mx¨ ! bx ! kx % 0
Sustituyendo los valores numéricos para m , b y k en esta ecuación se tiene Figura 5-55. Sistema de masa-resorteamortiguador.
5
x¨ ! 2 x ! 100 x % 0 5
donde las condiciones iniciales son x (0) % 0.05 y x (0) % 0. A partir de esta última ecuación, la frecuencia natural no amortiguada u n y el factor de amortiguamiento relativo f resultan
un % 10,
f % 0.1
La frecuencia observada en realidad en la vibración es la frecuencia natural amortiguada u d .
ud % un ∂ 1 . f2 % 10 ∂ 1 . 0.01 % 9.95 rad/seg 5
En el análisis actual, x (0) se obtiene como cero. Por tanto, la solución x (t ) se escribe como x(t ) % x(0)e
A
fu t
.
n
cos ud t !
f
∂ 1 . f
2
B
sen ud t
de lo que se deduce que, en t % nT , donde T % 2n/ ud , x(nT ) % x(0)e
.
fu nT n
En consecuencia, la amplitud cuatro ciclos después se convierte en x(4T ) % x(0)e
.
% 0.05e
A-5-8.
fu 4T
.
n
2.526
% x(0)e
.
(0.1)(10)(4)(0.6315)
% 0.05 # 0.07998 % 0.004
m
Obtenga tanto la solución analítica como la computacional de la respuesta escalón unitario del sistema de orden alto siguiente: C (s) R(s)
% 4
s
3s2 ! 25s2 ! 72s ! 80 3 2 ! 8s ! 40s ! 96s ! 80
[Obtenga la expansión en fracciones simples de C (s) con MATLAB cuando R(s) es una función escalón unitario.]
Capítulo 5. Análisis de la respuesta transitoria y estacionaria Solución.
239
El Programa de MATLAB 5-18 proporciona la curva de respuesta escalón unitario que aparece en la Figura 5-56. También origina la expansión en fracciones simples de C (s) siguiente: 3s3 ! 25s2 ! 72s ! 80 1 C (s) % 4 s ! 8s3 ! 40s2 ! 96s ! 80 s %
.0.2813 . j 0.1719
s ! 2 . j 4 !
%
.0.4375
s!2
!
.
0.4375 s!2
.
.0.2813 ! j 0.1719
s ! 2 ! j 4
.0.375
1
(s ! 2)
s
.0.5626(s ! 2)
(s ! 2)2 ! 42
!
!
2!
(0.3438) # 4 (s ! 2)2 ! 42
0.375
2!
(s ! 2)
1 s
MATLAB Programa 5-18 % ------- Respuesta a escalón unitario de C(s)/R(s) y desarrollo % en fracciones simples de C(s) ------num % [3
25
den % [1
8
72 40
80]; 96
80];
step(num,den); v % [0
3
0
1.2]; axis(v), grid
% Para obtener el desarrollo en fracciones simples de C(s), % introduzca las órdenes %
num1 % [3
25
%
den1 % [1
8
%
[r,p,k] % residue(num1,den1)
num1 % [25 den1 % [1
72 8
40
72 40
80]; 96
80
80]; 96
80
0];
[r,p,k] % residue(num1,den1) r% –0.2813 – 0.1719i –0.2813!0.1719i –0.4375 –0.3750 1.0000 p% –2.0000!4.0000i –2.0000 – 4.0000i –2.0000 –2.0000 0 k
%
[]
0];
240
Ingeniería de control moderna
Figura 5-56.
Curva de respuesta a un escalón unitario.
Por tanto, la respuesta temporal c (t ) está dada por .
2t
cos4t ! 0.3438e
.
2t
. 0.375te
c(t ) % . 0.5626e . 0.4375e
.
2t
.
2t
sen4t
!1
En la Figura 5-56 se observa el hecho de que la curva de respuesta es una curva exponencial superpuesta a una sinusoide amortiguada.
A-5-9.
Cuando un sistema en lazo cerrado involucra un numerador con dinámica, la curva de respuesta a un escalón unitario puede presentar una sobreelongación grande. Obtenga la respuesta a un escalón unitario del siguiente sistema utilizando MATLAB: C (s) R(s)
% 2
s
10s ! 4 ! 4s ! 4
Obtenga también la respuesta a una rampa unitaria con MATLAB. Solución.
El Programa de MATLAB 5-19 calcula la respuesta del sistema a un escalón unitario y a una rampa unitaria. En las Figuras 5-57(a) y (b) se muestran, respectivamente, la curva de respuesta al escalón unitario y a la entrada rampa unitaria junto con la entrada rampa unitaria. Observe que la curva de respuesta al escalón unitario presenta una sobreelongación de más del 215%. La curva de respuesta a la rampa unitaria tiende a la curva de entrada. Estos fenómenos se producen por la presencia de un término derivativo grande en el numerador.
Capítulo 5. Análisis de la respuesta transitoria y estacionaria
MATLAB Programa 5-19 num % [10 den % [1
4]; 4
4];
t % 0:0.02:10; y % step(num,den,t); plot(t,y) grid title('Respuesta a un escalón unitario') xlabel('t (seg)') ylabel('Salida') num1 % [10 den1 % [1
4]; 4
4
0];
y1 % step(num1,den1,t); plot(t,t,'--',t,y1) v % [0
10
0
10]; axis(v);
grid title('Respuesta a una rampa unitaria') xlabel('t (sec)') ylabel('Entrada rampa unitaria y salida') text(6.1,5,0,'Entrada rampa unitaria') text(3.5,7.1,'Salida')
Figura 5-57.
(a) Curva de respuesta a un escalón unitario; (b) curva de respuesta a una rampa unitaria junto con entrada rampa unitaria.
241
242
Ingeniería de control moderna A-5-10.
Considere el sistema de orden alto definido por C (s) R(s)
% 4
s
6.3223s2 ! 18s ! 12.811 3 2 ! 6s ! 11.3223s ! 18s ! 12.811
Dibuje la curva de respuesta a un escalón unitario de este sistema utilizando MATLAB. Obtenga también utilizando MATLAB el tiempo de subida, el tiempo de pico, la máxima sobreelongación y el tiempo de asentamiento. Solución.
El Programa de MATLAB 5-20 dibuja la curva de respuesta a un escalón unitario y calcula el tiempo de subida, el tiempo de pico, la máxima sobreelongación y el tiempo de asentamiento. En la Figura 5-58 se muestra la curva de respuesta a un escalón unitario.
MATLAB Programa 5-20 % ------- Este programa representa la respuesta a un escalón % unitario, así como encuentra el tiempo de subida, tiempo % de pico, sobreelongación máxima, y tiempo de asentamiento. % En este programa el tiempo de subida se calcula como el % tiempo requerido para que la respuesta pase del 10% % al 90% de su valor final. ------num % [6.3223 18 12.811]; den % [1 6 11.3223 18 12.811]; t % 0:0.02:20; [y,x,t] % step(num,den,t); plot(t,y) grid title('Respuesta a un escalón unitario') xlabel('t (seg)') ylabel('Salida y(t)') r1 % 1; while y(r1) a 0.1, r1 % r1!1; end; r2 % 1; while y(r2) a 0.9, r2 % r2!1; end; tiempo–subida % (r2-r1)*0.02 tiempo–subida
%
0.5800 [ymax,tp] % max(y); tiempo–pico % (tp-1)*0.02 tiempo–pico
%
1.6600 sobreelongacion –max % ymax-1 sobreelongacion –max
%
0.6182 s % 1001; while y(s) b 0.98 & y(s) a 1.02; s % s-1; end; tiempo–asentamiento % (s-1)*0.02 tiempo–asentamiento 10.0200
%
Capítulo 5. Análisis de la respuesta transitoria y estacionaria
Figura 5-58.
A-5-11.
243
Curva de respuesta a un escalón unitario.
Considere el sistema en lazo cerrado definido por
u2n % 2 R(s) s ! 2funs ! u2n C (s)
Utilizando un «bucle for», escriba un programa en MATLAB para obtener la respuesta de este sistema en los cuatro casos siguientes: Caso 1:
f % 0.3,
un % 1
Caso 2:
f % 0.5,
un % 2
Caso 3:
f % 0.7,
un % 4
Caso 4:
f % 0.8,
un % 6
Solución.
Se define u 2n % a y 2fun % b. Entonces, a y b tienen cada uno cuatro elementos,
que son: a % [1
4
b % [0.6
16 2
36] 5.6
9.6]
Utilizando los vectores a y b , el Programa de MATLAB 5-21 calculará las curvas de respuesta al escalón unitario que se muestran en la Figura 5-59.
244
Ingeniería de control moderna
MATLAB Programa 5-21 a % [1
4
b % [0.6
16 2
36]; 5.6
9.6];
t % 0:0.1:8; y % zeros(81,4); for i % 1:4; num % [a(i)]; den % [1
b(i)
a(i)];
y(:,i) % step(num,den,t); end plot(t,y(:,1),'o',t,y(:,2),'x',t,y(:,3),'-',t,y(:,4),'-.') grid title('Respuesta a un escalón unitario para cuatro casos') xlabel('t Seg') ylabel('Salidas') gtext('1') gtext('2') gtext('3') gtext('4')
Figura 5-59.
Curvas de respuesta a un escalón unitario para cuatro casos.
Capítulo 5. Análisis de la respuesta transitoria y estacionaria A-5-12.
245
Utilizando MATLAB, obtenga la respuesta a una rampa unitaria del sistema de control en lazo cerrado cuya función de transferencia en lazo cerrado es C (s) R(s)
% 3
s
s ! 10 2 ! 6s ! 9s ! 10
Obtenga también la respuesta de este sistema cuando la entrada está dada por r % e
0.5t
.
Solución.
El Programa de MATLAB 5-22 calcula la respuesta a una rampa unitaria y la respuesta a la entrada exponencial r % e 0.5t . Las curvas de respuesta que resultan se muestran en las Figuras 5-60(a) y (b), respectivamente. .
MATLAB Programa 5-22 % --------- Respuesta a una rampa unitaria --------num % [1
10];
den % [1
6
9
10];
t % 0:0.1:10; r % t; y % lsim(num,den,r,t); plot(t,r,'-',t,y,'o') grid title('Respuesta a una rampa unitaria con la orden "lsim"') xlabel('t Seg') ylabel('Salida') text(3.2,6.5,'Entrada rampa unitaria') text(6.0,3.1,'Salida')
% --------- Respuesta a entrada r1 % exp(–0.5t). --------num % [0
0
1
10];
den % [1
6
9
10];
t % 0:0.1:12; r1 % exp(–0.5*t); y1 % lsim(num,den,r1,t); plot(t,r1,'-',t,y1,'o') grid title('Respuesta a la entrada r1 % exp(–0.5t)') xlabel('t Seg') ylabel('Entrada y salida') text(1.4,0.75,'Entrada r1 % exp(–0.5t)') text(6.2,0.34,'Salida')
246
Ingeniería de control moderna
Figura 5-60. (a) Curva de respuesta a rampa unitaria; (b) respuesta a entrada exponencial r % e 0.5t . .
A-5-13.
Obtenga la respuesta del sistema en lazo cerrado definido por C (s) R(s)
% 2
s
5 !s!5
cuando la entrada r (t ) está dada por r (t ) % 2 ! t
[La entrada r (t ) es una entrada escalón de magnitud 2 más una rampa unitaria.]
Capítulo 5. Análisis de la respuesta transitoria y estacionaria
247
Solución.
El Programa MATLAB 5-23 es una posible solución. En la Figura 5-61 se muestra la curva de respuesta resultante junto con un dibujo de la función de entrada. MATLAB Programa 5-23 num % [5]; den % [1 1 5]; t % 0:0.05:10; r % 2 !t ; c % lsim(num,den,r,t); plot(t,r,'-',t,c,'o') grid title('Respuesta a la entrada r(t) % 2 ! t') xlabel('t Seg') ylabel('Salida c(t) y entrada r(t) % 2 ! t')
Figura 5-61. A-5-14.
Respuesta a entrada r (t ) % 2 ! t.
Obtenga la respuesta del sistema que se muestra en la Figura 5-62 cuando la entrada r (t ) está dada por r (t ) %
1 2
t 2
[La entrada r (t ) es una entrada aceleración unitaria.]
Figura 5-62.
Sistema de control.
248
Ingeniería de control moderna Solución.
La función de transferencia en lazo cerrado es C (s) R(s)
% 2
s
2 !s!2
El Programa MATLAB 5-24 calcula la respuesta a la aceleración unitaria. En la Figura 5-63 se muestra la respuesta resultante junto con la entrada aceleración unitaria.
MATLAB Programa 5-24 num % [2]; den % [1
1
2];
t % 0:0.2:10; p
r % 0.5*t. 2; y % lsim(num,den,r,t); plot(t,r,'-',t,y,'o',t,y,'-') grid title('Respuesta a aceleración unitaria') xlabel('t Seg') ylabel('Entrada y salida') text(2.1,27.5,'Entrada aceleración unitaria') text(7.2,7.5,'Salida')
Figura 5-63.
A-5-15.
Respuesta a entrada aceleración unitaria.
Considere el sistema definido por C (s) R(s)
% 2
s
1
fs ! 1
!2
Capítulo 5. Análisis de la respuesta transitoria y estacionaria
249
donde f % 0, 0.2, 0.4, 0.6, 0.8 y 1.0. Escriba un programa en MATLAB utilizando un «bucle for» para obtener las gráficas en dos y en tres dimensiones de la salida del sistema. La entrada es una función escalón unitario. Solución.
El Programa MATLAB 5-25 es una posible solución para obtener los diagramas en dos y en tres dimensiones. La Figura 5-64(a) es el dibujo en dos dimensiones de las curvas de respuesta al escalón unitario para distintos valores de f . La Figura 5-64(b) es el dibujo en tres dimensiones obtenido utilizando el comando «mesh(y)», y la Figura 5-64(c) se ha obtenido utilizando el comando «mesh(yñ)». (Estos dos dibujos en tres dimensiones son prácticamente iguales. La única diferencia es que el eje x y el eje y están intercambiados.)
MATLAB Programa 5-25 t % 0:0.2:12; for n % 1:6; num % [1]; den % [1
2*(n–1)*0.2
1];
[y(1:61,n),x,t] % step(num,den,t); end plot(t,y) grid title('Respuestas a un escalón unitario') xlabel('t Seg') ylabel('Salidas') gtext('\zeta % 0'), gtext('0.2') gtext('0.4') gtext('0.6') gtext('0.8') gtext('1.0') % Para dibujar una gráfica tridimensional, introduzca las órdenes: mesh(y) o mesh(y'). % Se mostrarán dos gráficas tridimensionales, usando en una "mesh(y)" y en la otra % "mesh(y')". Las dos gráficas son iguales, excepto que se intercambian los ejes x e y. mesh(y) title('Representación tridimensional de la respuesta escalón con la orden "mesh(y)" ') xlabel('n, donde n % 1,2,3,4,5,6') ylabel('Puntos de tiempo de cálculo') zlabel('Salidas') mesh(y') title('Representación tridimensional de la respuesta escalón con la orden "mesh(y transpose)" ') xlabel('Puntos de tiempo de cálculo') ylabel('n, donde n % 1,2,3,4,5,6') zlabel('Salidas')
250
Ingeniería de control moderna
Figura 5-64. (a) Gráfica bidimensional de las curvas de respuesta a un escalón unitario; (b) gráfica tridimensional de las curvas de respuesta a un escalón unitario con la orden «mesh(y)»; (c) gráfica tridimensional de las curvas de respuesta a un escalón unitario con la orden «mesh(y ñ)». A-5-16.
Considérese el sistema sujeto a la condición inicial descrita a continuación. 5
CD C x1 5
x2 5
x3
%
D CD C D C D CD
0
1
0
0
0
1
.10
.17
.8
x1(0)
x1
%
x2 x3
%
x2(0) x3(0)
2
%
1
0.5
x1
y % [1
0
0] x2 x3
(No hay entrada o función forzante en este sistema.) Obténgase la respuesta y (t ) frente a t para la condición inicial utilizando las Ecuaciones (5-58) y (5-60).
Capítulo 5. Análisis de la respuesta transitoria y estacionaria Solución.
251
El programa MATLAB 5-26 es un posible programa en MATLAB basado en las Ecuaciones (5-58) y (5-60). En la Figura 5-65 se muestra la curva de la respuesta obtenida. (Obsérvese que este problema se resolvió en el Ejemplo 5-16 utilizando la orden «inicial». La curva de la respuesta obtenida aquí es la misma que se mostró en la Figura 5-34.) MATLAB Programa 5-26 t % 0:0.05:10; A % [0 1 0;0 0 1;-10 -17 -8]; B % [2;1;0.5]; C % [1 0 0]; [y,x,t] % step(A,B,C*A,C*B,1,t); plot(t,y) grid; title('Respuesta a condición inicial') xlabel('t (seg)') ylabel('Salida y')
Figura 5-65. Respuesta y (t ) a entrada aceleración unitaria. A-5-17.
Considere la siguiente ecuación característica: s4 ! Ks3 ! s2 ! s ! 1 % 0
Determine el rango de valores de K para la estabilidad. Solución.
El array de coeficientes de Routh es s4
1
1
1
s3
K
1
0
s2 s1 0
s
K . 1
1.
K K 2 K . 1 1
1
252
Ingeniería de control moderna
Para la estabilidad, es necesario que K b 0 K . 1 K
1.
K 2 K . 1
b0
b0
A partir de la primera y segunda condición, K debe ser mayor que 1. Para K b 1, observe que el término 1 . [K 2/ (K . 1)] siempre es negativo, ya que K . 1 . K 2 K . 1
%
.1 ! K (1 . K )
K . 1
a0
Por tanto, no es posible cumplir con las tres condiciones en forma simultánea. Por tal razón, no existe un valor de K que permita la estabilidad del sistema. A-5-18.
Considere la ecuación característica obtenida mediante a0sn ! a1sn
1
.
n. 2 ! a2s ! ñ ! an.1s ! an % 0
(5-67)
El criterio de estabilidad de Hurwitz, que se presenta a continuación, ofrece las condiciones para todas las raíces que tienen partes reales negativas en función de los coeficientes del polinomio. Como se planteó en el análisis del criterio de estabilidad de Routh, de la Sección 5-6, para todas las raíces que tengan partes reales negativas, todos los coeficientes de las a deben ser positivos. Esta es una condición necesaria, pero no suficiente. Si no se satisface esta condición, quiere decir que algunas de las raíces tienen partes reales positivas, son imaginarias o son cero. Una condición suficiente para que todas las raíces tengan partes reales negativas se obtiene mediante el siguiente criterio de estabilidad de Hurwitz: si todos los coeficientes del polinomio son positivos, arréglelos en el determinante siguiente:
Bn %
G
a1
a3
a5
ñ
0
0
0
a0
a2
a4
ñ
·
·
·
0
a1
a3
ñ
an
0
0
0
a0
a2
ñ
1
0
0
·
·
2
an
0
· 0
an
.
·
an
.
·
·
an
.
0
0
ñ
an
3
an
4
an
.
1
0
2
an
.
.
G
donde los ceros se sustituyen por as si s b n. Para todas las raíces que tienen partes reales negativas, es necesario y suficiente que los menores principales de Bn sean positivos. Los menores principales sucesivos son los determinantes siguientes:
Bi %
G
a1
a3
ñ
a2i
.
a0
a2
ñ
a2i
.
0
a1
ñ
a2i
.
·
·
0
0
1 2
·
ñ
ai
3
G
(i % 1, 2, ..., n . 1)
donde a s % 0 si s b n. (Se observa que se incluyen algunas condiciones para los determinantes de orden inferior en las condiciones para los determinantes de orden superior.) Si todos estos
Capítulo 5. Análisis de la respuesta transitoria y estacionaria
253
determinantes son positivos, y si se ha supuesto a0 b 0, el estado de equilibrio del sistema cuya ecuación característica se obtiene mediante la Ecuación (5-67) es asintóticamente estable. Observe que no se necesitan valores exactos de los determinantes; sólo se requieren los signos de estos determinantes para el criterio de estabilidad. Ahora considere la siguiente ecuación característica: a0s4 ! a1s3 ! a2s2 ! a3s ! a4 % 0
Obtenga la condición para la estabilidad mediante el criterio de estabilidad de Hurwitz. Solución.
Las condiciones para la estabilidad son que todas las a sean positivas y que
B2 % B3 %
G
a1
a3
a0
a2
G
G
a1
a3
0
a0
a2
a4
0
a1
a3
% a1a2 . a0a3 b 0
G
2 % a1(a2a3 . a1a4) . a0a3 2 % a3(a1a2 . a0a3) . a1a4 b 0
Es evidente que todas las a son positivas y que, si se satisface la condición B3 b 0, también se cumple la condición B2 b 0. Por tanto, para todas las raíces de la ecuación característica determinada que tengan partes reales negativas, es necesario y suficiente que todos los coeficientes de a sean positivos y B3 b 0. A-5-19.
Demuestre que la primera columna del array de Routh de sn ! a1sn
1
.
n.2 ! a2s ! ñ ! an.1s ! an % 0
se obtiene mediante
B2 B3 , , B1 B2
B1,
1,
Bn Bn 1
...,
.
donde
Br %
G
1
0
0
·
0
a3
a2
a1
1
·
0
a5
a4
a3
a2
·
0 ,
ó
ó
ó
ó
·
ó
·
·
·
·
ar
a2r
ak % 0 Solución.
a1
.
1
G
(n n r n 1)
si k b n
El array de coeficientes de Routh tiene la forma de 1
a2
a4
a6
a1
a3
a5
ñ
b1
b2
b3
ñ
c1
c2
·
ó
ó
ó
ñ
an
254
Ingeniería de control moderna
El primer término de la primera columna del array de Routh es 1. El término siguiente de la primera columna es a 1, que es igual a B1. El término siguiente es b 1, que es igual a a1a2 . a3
%
a1
B2 B1
El término que sigue en la primera columna es c 1, que es igual a
C
D C
a1a2 . a3
b1a3 . a1b2 b1
%
%
%
a1
a3 . a1
C D
a1a4 . a5 a1
D
a1a2 . a3 a1
a1a2a3 . a23 . a21a4 ! a1a5 a1a2 . a3
B3 B2
Los términos restantes de la primera columna del array de Routh se encuentran en forma similar. El array de Routh tiene la propiedad de que los últimos términos diferentes de cero de cualquier columna son iguales; es decir, si el array se obtiene mediante a0
a2
a4
a6
a1
a3
a5
a7
b1
b2
b3
c1
c2
c3
d 1
d 2
e1
e2
f 1 g1
entonces a7 % c3 % e2 % g1
y si el array se obtiene mediante a0
a2
a4
a6
a1
a3
a5
0
b1
b2
b3
c1
c2
0
d 1
d 2
e1
0
f 1
entonces a6 % b3 % d 2 % f 1
En cualquier caso, el último término de la primera columna es igual a a n, o bien an %
Bn 1an Bn % Bn 1 Bn 1 .
.
.
Capítulo 5. Análisis de la respuesta transitoria y estacionaria
255
Por ejemplo, si n % 4, entonces
B4 %
G
a1
1
0
0
a3
a2
a1
1
a5
a4
a3
a2
a7
a6
a5
a4
GG %
a1
1
0
0
a3
a2
a1
1
0
a4
a3
a2
0
0
0
a4
G
%
B3a4
Por tanto, se ha demostrado que la primera columna del array de Routh se obtiene mediante
A-5-20.
B2 B3 , , B1 B2
B1,
1,
Bn Bn 1
...,
.
Demuestre que el criterio de estabilidad de Routh y el criterio de estabilidad de Hurwitz son equivalentes. Solución.
Si se escriben los determinantes de Hurwitz en la forma triangular
Bi %
G
*
a11 a22
· · · 0
aii
G
,
(i % 1, 2, ..., n )
en la que todos los elementos debajo de la línea diagonal son cero y todos los elementos sobre la línea diagonal son cualquier número, las condiciones de Hurwitz para la estabilidad asintótica se convierten en
Bi % a11a22 ñ aii b 0,
(i % 1, 2, ..., n )
que equivalen a las condiciones a11 b 0,
a22 b 0,
ann b 0
...,
Ahora se demostrará que estas condiciones equivalen a a1 b 0,
b1 b 0,
c1 b 0,
...
donde a 1, b 1, c 1, ..., son los elementos de la primera columna en el array de Routh. Por ejemplo, considere el siguiente determinante de Hurwitz, que corresponde a i % 4:
B4 %
G
a1
a3
a5
a7
a0
a2
a4
a6
0
a1
a3
a5
0
a0
a2
a4
G
El determinante no se altera si se resta de la i-ésima fila la j-ésima fila multiplicado por k . Restando de la segunda fila a 0/ a1 veces la primera fila, se obtiene
B4 %
G
a11
a3
a5
a7
0
a22
a23
a24
0
a1
a3
a5
0
a0
a2
a4
G
256
Ingeniería de control moderna
donde a11 % a1 a22 % a2 .
a23 % a4 .
a24 % a6 .
a0
a3
a1 a0
a5
a1 a0
a7
a1
Asimismo, restando de la cuarta fila la tercera fila multiplicado por a 0/ a1 resulta
B4 %
G
a11
a3
a5
a7
0
a22
a23
a24
0
a1
a3
a5
0
0
a43
4
4
a44
G
donde 4
a43 % a2 .
4
a44 % a4 .
a0 a1 a0 a1
a3
a5
A continuación, restando de la tercera fila la segunda fila multiplicada por a 1/ a22 resulta
B4 %
G
a11
a3
a5
a7
0
a22
a23
a24
0
0
a33
a34
0
0
a43
4
a44
4
G
donde a33 % a3 .
a34 % a5 .
a1 a22 a1 a22
a23
a24 4
Por último, restando de la última fila la segunda fila multiplicada por a 43/ a33 resulta
B4 %
G
a11
a3
a5
a7
0
a22
a23
a24
0
0
a33
a34
0
0
0
a44
donde 4
a44 % a44 .
4
a43 a33
a34
G
Capítulo 5. Análisis de la respuesta transitoria y estacionaria
257
A partir de este análisis, se observa que
B4 % a11a22a33a44 B3 % a11a22a33 B2 % a11a22 B1 % a11 Las condiciones de Hurwitz para la estabilidad asintótica
B1 b 0,
B2 b 0,
B3 b 0,
B4 b 0,
a22 b 0,
a33 b 0,
a44 b 0,
...
se reducen a las condiciones a11 b 0,
...
El array de Routh para el polinomio a0s4 ! a1s3 ! a2s2 ! a3s ! a4 % 0
donde a 0 b 0 y n % 4, se obtiene a partir de a0
a2
a1
a3
b1
b2
a4
c1 d 1
A partir de este array de Routh se observa que a11 % a1 a22 % a2 .
a33 % a3 .
a0 a1
a3 % b1
a1 a22
4
a44 % a44 .
a23 %
4
a43 a33
a3b1 . a1b2 b1
% c1
a34 % a4 % d 1 4
(La última ecuación se obtiene utilizando el hecho de que a34 % 0, a44 % a4 y a4 % b2 % d 1.) Por tanto, las condiciones de Hurwitz para la estabilidad asintótica se transforman en a1 b 0,
b1 b 0,
c1 b 0,
d 1 b 0
De esta manera, se demuestra que las condiciones de Hurwitz para la estabilidad asintótica se reducen a las condiciones de Routh para la estabilidad asintótica. El mismo argumento se extiende para los determinantes de Hurwitz de cualquier orden, y es posible establecer la equivalencia entre el criterio de estabilidad de Routh y el criterio de estabilidad de Hurwitz. A-5-21.
Considere la ecuación característica s4 ! 2s3 ! (4 ! K )s2 ! 9s ! 25 % 0
Utilizando el criterio de estabilidad de Hurwitz, determine el rango de K para la estabilidad. Solución.
Comparando la ecuación característica dada s4 ! 2s3 ! (4 ! K )s2 ! 9s ! 25 % 0
258
Ingeniería de control moderna
con la ecuación característica estándar de cuarto orden a0s4 ! a1s3 ! a2s2 ! a3s ! a4 % 0
se tiene a0 % 1,
a1 % 2,
a2 % 4 ! K ,
a3 % 9,
a4 % 25
El criterio de estabilidad de Hurwitz indica que B4 está dado por
B4 %
G
a1
a3
0
0
a0
a2
a4
0
0
a1
a3
0
0
a0
a2
a4
G
Para que todas las raíces tengan partes reales negativas es necesario y suficiente que los menores principales sucesivos a B4 sean positivos. Los menores principales sucesivos son
B1 % a1 % 2 B2 % B3 %
G
a1
a3
a0
a2
G G
G
a1
a3
0
a0
a2
a4
0
a1
a3
%
G
2
9
1
4 ! K
GG %
2
% 2K . 1
9
1
0
4 ! K 25
0
2
9
G
% 18K . 109
Para que todos los menores principales sean positivos, se requiere que Bi (i % 1, 2, 3) sean positivos. Por tanto, se exige que 2K . 1 b 0 18K . 109 b 0 de lo cual se obtiene que la región de K para la estabilidad es K b A-5-22.
109 18
Explique por qué el control proporcional de una planta que no posee una propiedad de integración (lo que significa que la función de transferencia de la planta no incluye el factor 1/ s) sufre un offset en la respuesta a las entradas escalón. Solución.
Considere, por ejemplo, el sistema de la Figura 5-66. En estado uniforme, si c fuera igual a una constante r diferente de cero, entonces e % 0 y u % Ke % 0, resultando que c % 0, lo cual contradice la suposición de que c % r % constante diferente de cero. Debe existir un offset diferente de cero para la operación adecuada de un sistema de control. En otras palabras, en estado estacionario, si e fuera igual a r /( 1 ! K ), entonces u % Kr / (1 ! K ) y c % Kr /( 1 ! K ), lo cual provocaría la señal de error supuesta e % r / (1 ! K ). Por tanto, el offset de r /( 1 ! K ) debe existir en tal sistema. r
e +
u K
–
Figura 5-66.
1 Ts + 1
Sistema de control.
c
Capítulo 5. Análisis de la respuesta transitoria y estacionaria A-5-23.
259
El diagrama de bloques de la Figura 5-67 muestra un sistema de control de velocidad en el cual el miembro de salida del sistema está sujeto a una perturbación de par. En el diagrama, L r (s), L (s), T (s) y D (s) son las transformadas de Laplace de la velocidad de referencia, la velocidad de salida, el par de excitación y el par de perturbación, respectivamente. En ausencia de un par de perturbación, la velocidad de salida es igual a la velocidad de referencia.
Figura 5-67.
Diagrama de bloques de un sistema de control de velocidad.
Investigue la respuesta de este sistema para un par de perturbación escalón unitario. Suponga que la entrada de referencia es cero, es decir, L r (s) % 0. Solución.
La Figura 5-68 es un diagrama de bloques modificado, conveniente para el análisis presente. La función de transferencia en lazo cerrado es L D(s)
D(s)
%
1
Js ! K
donde L D(s) es la transformada de Laplace de la velocidad de salida producida por el par de perturbación. Para un par de perturbación escalón unitario, la velocidad de salida en estado estable es
u D(ä) % lím s L D(s) sr0
s
% lím sr0 Js ! K
%
1 s
1 K
A partir de este análisis se concluye que, si se aplica un par de perturbación escalón al miembro de salida del sistema, se producirá una velocidad de error tal que el par del motor resultante cancelará exactamente el par de perturbación. Para desarrollar el par del motor es necesario que exista un error en la velocidad para que se produzca un par diferente de cero. (La discusión continúa en el Problema A-5-24.)
Figura 5-68.
Diagrama de bloques del sistema de control de velocidad de la Figura 5-67 cuando L r (s ) % 0.
260
Ingeniería de control moderna A-5-24.
En el sistema considerado en el Problema A-5-23, se pretende eliminar lo más posible los errores de velocidad producidos por los pares de perturbación. ¿Es posible cancelar el efecto de un par de perturbación en estado estacionario para que un par de perturbación constante aplicado al miembro de salida no produzca un cambio de velocidad en estado estable? Solución.
Suponga que se elige un controlador conveniente cuya función de transferencia sea G c(s), como se observa en la Figura 5-69. En ausencia de la entrada de referencia, la función de transferencia en lazo cerrado entre la velocidad de salida L D(s) y el par de perturbación D(s) es 1 L D(s)
D(s)
%
Js
1 1! Gc(s) Js 1
%
Js ! Gc(s)
La velocidad de salida en estado estable producida por el par de perturbación escalón unitario es u D(ä) % lím s L D(s) sr0 s
% lím sr0 Js ! Gc(s)
%
1 s
1 Gc(0)
Para satisfacer el requerimiento de que
u D(ä) % 0 se debe seleccionar G c(0) % ä. Esto se comprende si se elige Gc(s) %
K s
Una acción de control integral seguirá corrigiendo hasta que el error sea cero. Sin embargo, este controlador presenta un problema de estabilidad, debido a que la ecuación característica tendrá dos raíces imaginarias. Un método para estabilizar un sistema como éste es agregar un modo proporcional al controlador, o elegir Gc(s) % K p !
Figura 5-69.
K s
Diagrama de bloques de un sistema de control de velocidad.
Capítulo 5. Análisis de la respuesta transitoria y estacionaria
261
Figura 5-70. Diagrama de bloques del sistema de control de velocidad de la Figura 5-69 cuando G c (s ) % K p ! (K / s ) y L r (s ) % 0.
Con este controlador, el diagrama de bloques de la Figura 5-69, ante la ausencia de la entrada de referencia, se convierte en el de la Figura 5-70. La función de transferencia en lazo cerrado L D(s)/ D(s) se convierte en L D(s) s D(s)
%
Js2 ! K ps ! K
Para un par de perturbación escalón unitario, la velocidad de salida en estado estacionario es 1 s2 %0 u D(ä) % lím s L D(s) % lím 2 sr0 sr0 Js ! K ps ! K s Por tanto, se observa que el controlador proporcional-integral elimina el error de velocidad en estado estacionario. El uso de una acción de control integral ha aumentado el orden del sistema en 1. (Esto tiende a producir una respuesta oscilatoria.) En el problema actual, un par de perturbación escalón provocará un error transitorio en la velocidad de salida, pero el error se convertirá en cero en estado estacionario. El integrador proporciona una salida diferente de cero con un error de cero. (La salida diferente de cero del integrador produce un par del motor que cancela exactamente el par de perturbación.) Observe que el integrador de la función de transferencia de la planta no elimina el error en estado estacionario debido a un par de perturbación escalón. Para eliminar dicho error, se debe tener un integrador antes del punto en el que se introduce el par de perturbación. A-5-25.
Considere el sistema de la Figura 5-71(a). El error en estado estacionario para una entrada rampa unitaria es e ss % 2f / un . Demuestre que el error en estado estacionario se elimina para seguir una entrada rampa si la entrada se incorpora al sistema a través de un filtro proporcional-derivativo, como se observa en la Figura 5-71(b), y el valor de k se establece en forma proporcional. Observe que el error e (t ) se obtiene mediante r (t ) . c(t ). Solución.
La función de transferencia en lazo cerrado del sistema de la Figura 5-71(b) es C (s) R(s)
% 2
s
(1 ! ks)u2n
funs ! u2n
!2
Por tanto, R(s) . C (s) %
Figura 5-71.
A
B
s2 ! 2funs . u2nks s2 ! 2funs ! u2n
R(s)
(a) Sistema de control; (b) sistema de control con filtro de entrada.
262
Ingeniería de control moderna
Si la entrada es una rampa unitaria, el error en estado estacionario es e(ä) % r (ä) . c(ä) % lím sr0
%
s
A
B
s2 ! 2funs . u2nks
1
s2 ! 2funs ! u2n
s2
2fun . u2nk
u2n
Por tanto, si se selecciona k como k %
2f
un
el error en estado estacionario después de una entrada rampa es igual a cero. Observe que, si existen variaciones en los valores de f y/o un debido a los cambios ambientales o al envejecimiento, puede producirse un error en estado estacionario diferente de cero para una respuesta rampa. A-5-26.
Considere el sistema estable de control con realimentación unidad con una función de transferencia de trayectoria directa G(s). Suponga que la función de transferencia en lazo cerrado se escribe como C (s) R(s)
%
G(s)
1 ! G(s)
%
(T as ! 1)(T bs ! 1) ñ (T ms ! 1) (T 1s ! 1)(T 2s ! 1) ñ (T ns ! 1)
(m m n)
Demuestre que
I
=
e(t ) dt % (T 1 ! T 2 ! ñ ! T n) . (T a ! T b ! ñ ! T m)
0
donde e (t ) % r (t ) . c(t ) es el error en la respuesta escalón unitario. Asimismo, demuestre que 1 K
v
%
1 lím sG(s) sr0
% (T 1 ! T 2 ! ñ ! T n) . (T a ! T b ! ñ ! T m)
Solución. Sean
(T as ! 1) (T bs ! 1) ñ (T ms ! 1) % P(s) y (T 1s ! 1)(T 2s ! 1) ñ (T ns ! 1) % Q(s) Por tanto, C (s) R(s)
%
P(s) Q(s)
y E (s) %
Q(s) . P(s) Q(s)
R(s)
Para una entrada escalón unitario, R (s) % 1/ s y E (s) %
Q(s) . P(s) sQ(s)
Capítulo 5. Análisis de la respuesta transitoria y estacionaria
263
Como el sistema es estable, : = e(t ) dt converge a un valor constante. Obsérvese que 0
I
=
e(t ) dt % lím s sr0
0
Por tanto,
I
=
0
E (s)
e(t ) dt % lím sr0 % lím sr0 % lím sr0
Como
s
% lím E (s) sr0
Q(s) . P(s) sQ(s) Qñ(s) . Pñ(s) Q(s) ! sQñ(s)
[Qñ(s) . Pñ(s)]
lím Pñ(s) % T a ! T b ! ñ ! T m
sr0
lím Qñ(s) % T 1 ! T 2 ! ñ ! T n
sr0
se tiene que
I
=
e(t ) dt % (T 1 ! T 2 ! ñ ! T n) . (T a ! T b ! ñ ! T m)
0
Para una entrada escalón unitario r (t ), como
I
=
0
1 1 1 1 1 % % e(t ) dt % lím E (s) % lím R(s) % lím sr0 sr0 1 ! G(s) sr0 1 ! G(s) s lím sG(s) K sr0
v
se tiene que 1 K
v
%
1 lím sG(s) sr0
% (T 1 ! T 2 ! ñ ! T n) . (T a ! T b ! ñ ! T m)
Observe que los ceros en el semiplano izquierdo del plano (es decir, T a, T b, ..., T m positivos) aumentan K . Los polos cerca del origen provocan constantes de error de velocidad bajas a menos que haya ceros cercanos. v
PROBLEMAS B-5-1. Un termómetro requiere de un minuto para al-
canzar el 98% del valor final de la respuesta a una entrada escalón. Suponiendo que el termómetro es un sistema de primer orden, encuentre la constante de tiempo. Si el termómetro se coloca en un baño, cuya temperatura cambia en forma lineal a una velocidad de 10o /min, ¿qué error muestra el termómetro? B-5-2. Considere la respuesta escalón unitario de un
sistema de control realimentado unitariamente cuya función de transferencia en lazo abierto es G(s) %
1 s(s ! 1)
Obtenga el tiempo de subida, el tiempo pico, la sobreelongación máxima y el tiempo de asentamiento. B-5-3. Considere el sistema en lazo cerrado dado por
u2n % 2 R(s) s ! 2funs ! u2n C (s)
Determine los valores de f y u n para que el sistema responda a una entrada escalón con una sobreelongación de aproximadamente el 5% y con un tiempo de asentamiento de 2 seg. (Utilice el criterio del 2%.)
264
Ingeniería de control moderna
B-5-4. Considere el sistema de la Figura 5-72. Inicial-
mente el sistema está en reposo. Suponga que el carro se pone en movimiento mediante una fuerza de impulso unitario. ¿Puede detenerse mediante otra fuerza de impulso equivalente?
Figura 5-72.
Sistema mecánico.
Suponga que existe un registro de una oscilación amortiguada, tal como aparece en la Figura 5-73. Determine el factor de amortiguamiento relativo f del sistema a partir de la gráfica.
Figura 5-73.
Oscilación amortiguada.
B-5-5. Obtenga la respuesta impulso unitario y la res-
B-5-7. Considere el sistema de la Figura 5-74(a). El fac-
puesta escalón unitario de un sistema realimentado unitariamente cuya función de transferencia en lazo abierto sea
tor de amortiguamiento relativo de este sistema es 0.158 y la frecuencia natural no amortiguada es de 3.16 rad/seg. Para mejorar la estabilidad relativa, se emplea una realimentación tacométrica. La Figura 5-74(b) muestra tal sistema de realimentación tacométrica. Determine el valor de K h para que el factor de amortiguamiento relativo del sistema sea 0.5. Dibuje curvas de respuesta escalón unitario tanto del sistema original como del sistema de realimentación tacométrica. También dibuje las curvas de error frente al tiempo para la respuesta rampa unitaria de ambos sistemas.
G(s) %
2s ! 1 s2
B-5-6. Se sabe que un sistema oscilatorio tiene la si-
guiente función de transferencia:
u2n G(s) % 2 s ! 2funs ! u2n
Figura 5-74. (a) Sistema de control; (b) sistema de control con realimentación tacométrica.
Capítulo 5. Análisis de la respuesta transitoria y estacionaria
265
B-5-8. Remitiéndose al sistema de la Figura 5-75, de-
B-5-11. Utilizando MATLAB, obtenga la respuesta es-
termine los valores de K y k tales que el sistema tenga un factor de amortiguamiento f de 0.7 y una frecuencia natural no amortiguada u n de 4 rad/seg.
calón unitario, rampa unitaria e impulso unitario del sistema siguiente: 5
CD C x1
B-5-9. Considere el sistema de la Figura 5-76. Determi-
ne el valor de k de modo que el factor de amortiguamiento f sea 0.5. Después obtenga el tiempo de subida t r , el tiempo pico t p, la sobreelongación máxima M p y el tiempo de asentamiento t s en la respuesta escalón unitario.
5
x2
%
.1
x1
0
x2
1
y % [1
0]
DC D C D
.0.5
!
0.5 0
u
CD x1 x2
donde u es la entrada e y es la salida. B-5-12. Utilice MATLAB para obtener la respuesta es-
calón unitario, la respuesta rampa unitaria y la respuesta impulso unitario del sistema siguiente: C (s) R(s)
% 2
s
10 ! 2s ! 10
donde R (s) y C (s) son transformadas de Laplace de la entrada r (t ) y la salida c (t ), respectivamente.
Figura 5-75.
Figura 5-76.
B-5-12. Obtenga de forma analítica y de forma compu-
tacional el tiempo de subida, el tiempo de pico, la máxima sobreelongación y el tiempo de asentamiento como respuesta a un escalón unitario del sistema en lazo cerrado dado por C (s) R(s)
% 2
Sistema en lazo de control.
Diagrama de bloques de un sistema.
s
36 ! 2s ! 36
266
Ingeniería de control moderna
B-5-13. La Figura 5-77 muestra tres sistemas. El siste-
B-5-14. Considere el sistema de control de posición de
ma I es un sistema de control de posición. El sistema II es un sistema de control de posición con acción de control PD. El sistema III es un sistema de control de posición con realimentación de velocidad. Compare las respuestas escalón unitario, de impulso unitario y rampa unitaria de los tres sistemas. ¿Qué sistema es mejor con respecto a la velocidad de respuesta y la sobreelongación máxima en la respuesta escalón?
la Figura 5-78. Escriba un programa de MATLAB para obtener una respuesta escalón unitario y una respuesta rampa unitaria del sistema. Trace las curvas de x1(t ) frente a t , x 2(t ) frente t , x 3(t ) frente t , y e (t ) frente t [donde e (t ) % r (t ) . x1(t )] para la respuesta a un escalón unitario y la respuesta a una rampa unitaria.
Figura 5-77. Servosistema posicional (sistema I), servosistema posicional con acción de control PD (sistema II), y servosistema posicional con realimentación de velocidad (sistema III).
Figura 5-78.
Sistema de control de posición.
Capítulo 5. Análisis de la respuesta transitoria y estacionaria
267
B-5-15. Obtenga, utilizando MATLAB, la curva de
B-5-19. Considere la ecuación diferencial de un siste-
respuesta escalón unitario para el sistema de control con realimentación unidad cuya función de transferencia en lazo abierto es 10 G(s) % s(s ! 2)(s ! 4)
ma dada por
Obtenga además, utilizando MATLAB, el tiempo de subida, el tiempo de pico, la máxima sobreelongación y el tiempo de asentamiento en la curva de respuesta a un escalón unitario.
B-5-20. Determine el rango de valores de K para la es-
5
y¨ ! 3 y ! 2 y % 0,
y(0) % 0.1,
Obtenga la respuesta y(t ), sujeta a la condición inicial dada.
tabilidad de un sistema de control con realimentación unitaria cuya función de transferencia en lazo abierto es G(s) %
B-5-16. Considere el sistema en lazo cerrado definido
por C (s) R(s)
% 2
s
5
y(0) % 0.05
K s(s ! 1)(s ! 2)
B-5-21. Considere la ecuación característica siguiente:
2fs ! 1
s4 ! 2s3 ! (4 ! K )s2 ! 9s ! 25 % 0
fs ! 1
!2
donde f % 0.2, 0.4, 0.6, 0.8 y 1.0. Dibuje, utilizando MATLAB, un diagrama en dos dimensiones de las curvas de respuesta a un impulso unitario. También dibuje un diagrama en tres dimensiones de las curvas de respuesta.
Utilizando el criterio de estabilidad de Routh, determinar el rango de estabilidad de K . B-5-22. Considere el sistema en lazo cerrado que se
muestra en la Figura 5-79. Determine el rango de estabilidad para K . Suponga que K b 0.
B-5-17. Considere el sistema de segundo orden defini-
do por C (s) R(s)
% 2
s
s!1
fs ! 1
!2
donde f % 0.2, 0.4, 0.6, 0.8 y 1.0. Dibuje un diagrama en tres dimensiones de las curvas de respuesta a un escalón unitario. B-5-18. Obtenga la respuesta a una rampa unitaria del
sistema definido por
CD C 5
x1 5
x2
%
y % [1
0
1
.1
.1
0]
DC D C D x1 x2
!
0 1
u
CD x1 x2
donde u es una entrada rampa unitaria. Utilice el comando lsim para obtener la respuesta.
Figura 5-80. (a) Sistema de control de altitud de satélites inestables; (b) sistema estabilizado.
Figura 5-79.
Sistema de lazo cerrado.
B-5-23. Considere el sistema de control de altitud de
satélites que se muestra en la Figura 5-80(a). La salida de este sistema ofrece constantes oscilaciones no deseadas. El sistema puede ser estabilizado mediante el uso de realimentación tacométrica, como se muestra en la Figura 5-80(b). Si K / J % 4, ¿qué valor de K h llevará a que el coeficiente de amortiguamiento relativo sea 0.6?
