ANÁLISIS DE CABLES CABLES Ejercicios Resueltos: Cables Rectos o Tensos Tensos con Cargas Puntuales Analizar como elementos sometidos a dos fuerzas con la tensión como incógnita:
Las incógnitas son la tensiones en cada segmento y la altura de cada punto de aplicación de las fuerzas Escribir las Ecuaciones de Equilibrio (EE) en x e y en los puntos de carga Igualar el largo total del cable con los segmentos entre los puntos de aplicación de fuerzas y las coordenadas coordenadas de los extremos
La estrategia de solución solución es dibujar los DCL de cada punto punto y aplicar las EE, incluyendo la Σ M. M. Esto se aprecia en el siguiente desarrollo:
Un cable tenso está apoyado en los extremos como indica la figura y se encuentra bajo la acción de tres cargas verticales. Para su análisis esquematizamos el diagrama de cuerpo libre del cable.
Ahora planteamos las ecuaciones de equilibrio:
Fy 0 Fx 0 MA 0
P1 P2 P3 Ay By 0
Ax B x 0 x1 P1 x2 P2 x3 P3 L By d Bx 0
Tenemos tres ecuaciones y 4 incógnitas, por tanto requerimos una ecuación adicional. Si se conoce la coordenada de un punto D se puede obtener la información adicional que se requiere. Alternativamente se requeriría la tensión máxima en el cable. La tensión máxima en los cables se encuentra en la sección con más alta pendiente.
Ejemplo 1.- Un cable está sometido a cargas concentradas de 2,5 KN y 1 KN, según se
indica en la figura. Si la máxima tensión que puede soportar el cable es de 5 KN, Determinar las reacciones en los apoyos A x y Ay, y el ángulo entre ellos. Solución:
Solución: En la figura se ha representado un diagrama de solido libre para el cable. De la ecuación de equilibrio ∑MD = 0,
= 10,1 2 . [2,5 (6,6) + 1(3)] =1,912 La tensión máxima de 5 KN tendrá lugar en el tramo AB del cable, así pues del diagrama de solido libre en el punto A del cable:
= − = √ 5 − 1,912 = 4,62 Resp Además,
= = 1,4,96122 = 22,48 º Ejemplo 2 Se tiene un cable fijo en sus extremos, a la misma altura, sometido a cargas concentradas.
Para determinar la tensión en cada tramo primero es necesario conocer las reacciones en los apoyos.
Se tienen cuatro incógnitas por lo cual el sistema es estáticamente indeterminado. Para obviar esta indeterminación se da como dato la posición de una de las cargas .
M A 0 M A QB b ·
E y
–
QC b c ·
–
QD b c d Ey b c d e ·
·
Q B ·b QC · b c QD · b c d
b c d e 0, 50 N 0, 30m 0, 50 N 0, 60 m E y 1, 20m
0,50 N 1, 00 m
E y 0, 79 N
M E 0 M E Ay · b c d e QB · c d e QC · d e QD · e Q c d e QC d e QD e A y B b c d e 0,50 N 0,90m 0,50 N 0, 60 m 0,50 N 0, 20 m A y 1, 20m
A y 0, 71N
Para determinar las componentes horizontales se corta el cable en el punto en el que conocemos la posición con respecto a la línea que une los soportes. Se dibujan los DCL para los tramos a la izquierda y a la derecha del punto de corte.
M C = 0 M C = E y (d+e) - E x (h) - Q D (d) Ex =
E y (d+e)- Q D (d) h
=
0,79N (0,60 m)-0,5 N 0, 4 m 0, 4 m
=0,69 N
Se verifica que la suma de fuerzas verticales y horizontales es cero.
Ejemplo 3 Determinar: 1- Tensiones actuantes en cada tramo 2- Forma del cable cargado
Datos: Luz del cable: L 10m: Diferencia de altura entre apoyos: Δh= - 1 m Ángulo que forma la cuerda AB: α= atg(Δh/L)=-5,711º Cargas actuantes: PC=50 kN PD=30 kN PE=40 kN Solución:
Cálculo de la componente horizontal de tensión en el cable.
Equilibrio general
Distancia del cable al punto D
yD=5 m+xD·tgα
yD=4,7 m
Momento de las fuerzas respecto a B:
M
B
3m PE +7m PD 9m PC 780 kN m
Momentos de la fuerzas a la izquierda de D respecto a D:
M
D
2m PC 100 kN m
Cables bajo la acción de su propio peso: Catenarias. Relaciones básicas:
Altura del Cable en un punto:
y
T o
cosh
w
dy
Pendiente del Cable en un punto:
Tensión del Cable en un punto:
Largo del Cable:
dx
T
s csenh
1 T o
wx
senh
T o
x To2 w s 2 c2
2 2
wx
c
T 0 w
x c
2 y 2 2 y 4 2 y 2 2 y 4 L x A 1 A A xA 1 B B 3 x A 3 xA 3 xB 3 xB El Cable tiene peso propio por unidad de largo [N/m], indicado por el símbolo , el peso total es W.
s = c senh (x/c) 2
2
y = c cosh (x/c)
2
y - s = c T = O
c
W=
s
T=
y
Si yA = yB h = yA - c
Cables Parabólicos Los cables bajo la acción de cargas horizontalmente distribuidas uniformemente se denominan cables parabólicos debido a la curvatura que adquieren para responder a dicha acción.
Cable bajo carga horizontal distribuida uniformemente con [N/m], colgando del mismo:
y
Altura del Cable en un punto:
dy
Pendiente del Cable en un punto:
dx
x
2
2T o
x
T o
T T 0 w2 x 2 2
Tensión del Cable en un punto:
tg
Largo del Cable:
2 y 2 2 y 4 2 y 2 2 y 4 s x A 1 A A ... x B 1 B B ... 3 x A 5 x A 3 x B 5 x B Otras relaciones útiles: y
w L2 8 T0
T 0
w L2 8y
w x T 0
Ejemplo cable parabólico:
El cable de la figura soporta una carga distribuida de 100 N/m. ¿cuál es la tensión máxima del cable?
Dado que se conocen las coordenadas de los puntos de soporte y el punto inferior se puede utilizar directamente la ecuación de los cables parabólicos. 2 x L 2 x R
2
yL 40 m yR 20 m
1 2 1 2
axL2 2 axR
Con: x R x L = 40 m Se llega a: x L = 23,4 m y x R = 16,6 m. 2 1 a y ax 2 40 23, 4 a 0,146 m 1 2 2
T0 se obtiene de:
T 0
Por tanto T max se obtiene de:
a
100 N/m 686 N 0,146 m1 Tmax = T0 1 + a 2xL2 2
2
= 686 N 1 + 0,146 m-1 -23,4 m Tmax = 2.440 N
Ejemplos de catenarias.
Ejemplo 1. Un cable que pesa 3 [N/m] está suspendido entre los soportes A y B distantes 500 [m], siendo de 100 [m] la flecha en el punto medio. Determinar: a) calcular los valores máximo y mínimo de la tensión en el cable. b) Calcular la longitud del cable.
Solución Ecuación del cable: ubicación del origen de coordenadas a la distancia “c” por debajo del punto más bajo “C” del cable.
y c cosh
x c
Del punto B se conoce: xB=250 m
yB=100+c m
Por tanto:
100 c c cosh
250 c
100 c
1 cosh
250 c
El valor de c de la ecuación trascendente anterior, se puede obtener en calculadoras avanzadas o por interpolación:
c 300 350 330 327,9
Pero:
100/c+1 1,333 1,286 1,303 1,305
Cosh(250/c) 1,368 1,266 1,301 1,305
yB=100+c =428 m
Tensiones máximas y mínimas:
T0=·c=3·328=984 N
Tmax=·yB=3·428=1284 N
Largo del cable: sAB=2·csenh(x/c)=2·328·senh(0,7622)=656·0,8382=549,86 m Pero también se puede usar:
y B2 sB2 c 2 sB 4282 3282 274, 95 m stotal 549,91 m
Ejemplo 2:
Un cable de una línea de conducción de energía eléctrica pesa 30 N/m y está sujeto a dos torres situadas a uno y otro lado del valle según se indica en la figura. El punto B está 10 m por debajo del punto A. El punto más bajo del cable está 5 m por debajo del punto B. Si la tensión máxima es 900 N, calcular: a) Parámetro de la catenaria b) Tensión en los puntos A y B (módulo y vector) c) Longitud del cable entre los puntos A y B Solución
h B
f
c
A
a) En una catenaria la tensión es función de la altura, la tensión en el punto A permite obtener el valor del parámetro de la catenaria c: TA = w (c + f+ h)= 30 (c+15) = 900 N
c = 15 m
b) El módulo de la tensión en el punto B se obtiene a partir de la expresión: TB = (c + f) = 30 (15 + 5)
T B =600 N
Las componentes horizontales de las tensiones son: T0 =TA x =TBx =c = 450 N las componentes verticales son : TAy = TA2 TA2 779, 4 N
TBy = TB 2 TB2 396,9 N
x
x
TA 450i
Las tensiones en forma vectorial son:
TB 450i
779, 4 j N
396,9,4 j N
c) largo del cable: En cualquier punto : T=
2 2
2
2
2
ω x + To = s + c
TA =900N
c=15; =30 ;
TB =600 N
s 30 15 sA 25,98 m sB 13,23 m L 39,21 m 2 A
2
2
