Ejercicios resueltos T6 Problema nº1 El 238 92 U inicia una serie radiactiva cuyos primeros
emisores son : α, β, β, α, α, α, α.
Escribir todos los procesos que tienen lugar. Solución 238 92
U α →
234 90
Th β →
234 91
Pa β →
234 92
U α →
230 90
Th α →
226 88
Ra α →
222 86
Rn α →
218 84
Po
Problema nº2 El período de semidesintegración de un nucleido radiactivo de masa atómica 200 u, que emite partículas beta, es de 50 s. Una muestra, cuya masa inicial era 50 gr, contiene en la actualidad 30 gr del nucleido original. a) Indica las diferencias entre el nucleido original y el resultante y representa gráficamente la variación con el tiempo de la masa del nucleido original. b) Calcula la antigüedad de la muestra y su actividad actual. Solución
a)
200 Z
X β →
200 Z+ 1
Y
N = N0 ⋅ e − λ t
Como la masa es proporcional al número de átomos ( N = λ
=
ln 2 50 s
=
0,01386 s
Ln3 − Ln5 =
−
λ t →
−
masa 200
⋅
N A ), podemos poner directamente : 30 = 50 ⋅ e
−
λ t
1
Ln5 - Ln3 = λ t
→
t=
Ln5 - Ln 3 λ
=
36,86 s. Actividad = λ ⋅ N = 0,01386 ⋅
30 200
⋅
N A
=
1,25 ⋅ 10 21Bq
Ejercicio nº3 9 En 1932, el inglés Chadwick bombardeó 4 Be con partículas α, apareciendo un nueva partícula que confirmaba la existencia del neutrón. ¿De dónde se obtienen las partículas α? b) Escribir el proceso descrito. Solución a) De fuentes radiactivas, en este caso el Polonio. b) 94 Be + 24 α → 126 C + 01n Problema nº4 El Radio-228 emite cinco partículas α y cuatro α hasta su estabilización en: a) Tl b) Pb c) Bi d) d) Po Solución La respuesta correcta es la b). Ejercicio nº5 Completar este cuadro descriptivo de las radiaciones α, β,o γ .
1
a)
→
emisión
Definición • Son núcleos de He formados por ……… …..
alfa
Beta
gamma
Descripción (Leyes de Soddy y Fajans) • Cuando un núcleo emite una partícula se convierte en ………… ……… X –––>
• Son electrones nucleares que proceden de la …… ………………. n ––>
• Cuando un núcleo emite una partícula se convierte en …………..
• es radiación ……… …………..
• Cuando un núcleo emite ondas …………………… X* –––>
X –––>
Solución alfa
• Son núcleos de He formados por • Cuando un núcleo emite una partícula α se convierte 2p + 2n. en otro situado dos lugares antes en la Tabla Periódica. X –––> Y + α
beta
• Son electrones nucleares que proceden de la desintegración de un neutrón: n ––>p+n+ υ
• Cuando un núcleo emite una partícula β se convierte en el que le sigue en la Tabla Periódica. X –––> Y + β
Es radiación electromagnética a la velocidad de la luz.
• Cuando un núcleo emite ondas γ no sufre transformación, simplemente se estabiliza. γ X* –––> X +
gamma
Ejercicio nº6 La proporción de
14 6
C en la atmósfera terrestre se mantiene constante gracias al equilibrio que se
establece entre su producción y su destrucción espontánea. Los vegetales vivos, debido a la absorción de CO2.Contienen la misma proporción de 14 6
14 6
C que la existente en la atmósfera. Cuando un vegetal muere, el
C continúa desintegrándose sin ser renovado.
Sabiendo que el período de semidesintegración del
14 6
C es de 5570 años y que una determinada masa de
madera arqueológica emite ocho veces menos partículas beta que la misma masa de madera de un espécimen análogo vivo, Escribe la reacción y¿en cuántos años se puede situar la muerte del e spécimen? Solución
a)
14 6
C→
b) λ =
14 7
N + β
0,693 5570
= 1,24 ⋅ 10 − 4 años − 1 N = N 0 e − λ t →
1 1 N 0 = N 0 ⋅ e − λ t ; Ln = − 1,24 ⋅ 10 − 4.t t = 16769 años 8 8
Ejercicio nº7 ¿Cómo varía la proporción N/Z en los núcleos a lo largo de la tabla periódica? ¿A partir de qué elemento los núcleos son inestables? Solución A medida que aumente el valor de Z, aumenta más la proporción de neutrones. A partir de Z = 20, la proporción N/Z se aleja de 1 y se aproxima 1,5 en los núcleos pesados. La curva de estabilidad indica cuáles son los núcleos estables. A partir del Bismuto (Z= 83) todos los núcleos son inestables. Problema nº8 a) Interpretar la gráfica
2
O
Fe
He
U Li
H H A
H Núcleos intermedios
Núcleos ligeros
Núcleos pesados 56 26 Fe
b) Si el máximo lo da el
con 8,5 MeV/ nucleón, ¿cuánta masa se ha perdido
en la formación de 1 mol de hierro? Solución a) La gráfica da la Energía de Enlace por nucleón (EE/A). Cuanto mayor sea ese cociente más estable es el núcleo. Los núcleos de masa intermedia son los más estables. b ) EE = 8,5 ⋅ 10 6 ⋅ 56 eV = 4,76 ⋅ 10 8 eV = 7,62 ⋅ 10 -11 J E = ∆ m ⋅ c
2
→ ∆m=
7,62 ⋅ 10 -11 J 2
c
= 8,46 ⋅ 10 − 28 kg = 8,46 ⋅ 10 -25 g perdidos en la formación de 1 núcleo.
Por tanto, en 1mol : ∆ m = 8,46 ⋅ 10 -25 g ⋅ 6,02 ⋅ 10 23 = 0,51 g Ejercicio nº9 Interpretar el gráfico y escribir el proceso. Solución Representa el proceso de la fisión nuclear. Cuando se bombardea con neutrones un núcleo pesado como el uranio, se produce una ruptura o "f isión nuclear" de la que surgen núcleos más pequeños y dos o tres nuevos neutrones, los cuales originan a continuación sucesivas fisiones, iniciando una "reacción en cadena" que se propaga p or sí misma. Esta división del núcleo supone el desprendimiento de gran cantidad de energía: si el proceso avanza sin limitación alguna se puede convertir en una bomba atómica. Si se controla el número de neutrones de la reacción en cadena, la energía se puede aprovechar de manera escalonada. Es lo que se hace en un reactor. 235 1 141 92 1 92 U + 0 n → 56 Ba + 36 Kr + 3 0 n Ejercicio nº10 Al bombardear el
27 13 Al
con partículas α se detectaron neutrones; pero además apareció
un elemento X que era radiactivo, transmutándose en
30 14 Si.
a) Escribir las ecuaciones correspondientes a esos procesos. b) ¿Se trata de reacciones nucleares? Solución a)
27 13
Al + 24α →
30 15
P∗ →
0
30 15
+ 1 β
P ∗ + 01n
+
30 14
Si
b) En realidad sólo el primer proceso es propiamente una reacción nuclear. La segunda es un proceso espontáneo.
3
Problema nº11 a) Interpretar la gráfica siguiente. b) ¿Cómo habría que disponer un campo eléctrico y otro magnético para que sus acciones se anulen y las partículas? viajen en línea recta? Solución a) La gráfica representa las investigaciones de Rutherford sobre las radiaciones invisibles. Las estudió, disponiendo un campo magnético en su trayectoria. Descubrió que algunas tenían carga. b) Habría que ponerlos en forma de caja. Al dibujo que se da habría que añadir unas placas de condensador con el positivo arriba. Ejercicio nº12 a)¿Por qué nos protegemos de la radiación con pantallas, delantales, y otros útiles de plomo? ¿Dónde acaban las series radiactivas? b) ¿Qué se entiende por "semivida"? ¿Qué fracción de sustancia quedará sin desintegrarse después de un tiempo igual a tres veces su semivida? Solución a) Las series radiactivas son el conjunto de elementos que resultan a partir de las desintegraciones sucesivas de un cabeza de serie, hasta que acaban en un núclido estable que es siempre un isótopo de plomo. Por esto, el plomo ofrece una estabilidad especial frente a la radiación. b) Es lo mismo que "período de semidesintegración", que es el tiempo necesario para que se desintegren la mitad de los átomos iniciales de una muestra. Después del primer período, quedan 1/2 de los átomos iniciales. Depuse del 2º período, quedan 1/2·1/2 = 1/4 de los átomos iniciales. Después del tercer período, quedan 1/2·1/2·1/2 = 1/8 de los átomos iniciales. Ejercicio nº13 ¿Qué se entiende por vida media de un isótopo radiactivo? ¿En qué unidades se mide? Solución Es el tiempo promedio de vida de los núcleos presentes en una muestra y se cumple que τ = 1/λ. Por tanto, sus unidades son de tiempo: s, día, año… Ejercicio nº14 En un libro, se dan tablas de datos sobre estabilidad nuclear en la que pone: 23 238 11Na : 7,74 MeV; 92 U : 7,15 MeV ¿A qué corresponden los datos y cuál es más estable? ¿Son correctas las unidades? Solución A juzgar por las unidades, se trata de Energías de Enlace, pero no puede ser porque éstas son mucho mayores que las aquí presentes, y porque además en ningún caso sería mayor la del sodio. En realidad se trata de EE/A, magnitud que al ser un promedio por nucleón nos permite comparar y ver que el Na es más estable. En este caso las unidades deberían ser MeV/nucleón. Ejercicio nº15 Se tiene una muestra de radio de 2 kg, cuyo período de semidesintegración es 1620 años. Cuando han pasado 6480 años: a) ¿Cuántos semiperíodos han pasado? b) ¿Cuánto se ha desintegrado? Solución 6 480 a) = 4 veces T1/2 1620 b ) 2 000 g → 1 000 g T → 500g T → 250 g T → 125g T 1/2
1/2
1/2
1/2
Queda 125 g, se han desintegrado 2 000 g − 125 g = 1 875 g
4
Problema nº16 Analiza el proceso :
7 3
8 Li(p, γ) 4 Be a partir de los datos :
masa del Be = 8,00777 u; masa del Li = 7,01818 u; m p
=
1,00728u
a) Hacer un balance de masa del proceso. b) Si el resultado se transfiere en forma de energía, hallar la energía transferida. Solución a ) 37 Li + 11H →
8 4 Be
Balance de masa : 8,00777 − 7,01818 − 1,00728 = − 0,01769 u de masa perdida.b) E = m ⋅ c 2 = 2,64 ⋅ 10 − 12 J
Problema nº17 Completar la tabla siguiente haciendo un esquema de resolución (trabajar en S.I.) Núcleo
Masa real ( u ) 25,98260
26 12
Mg
Defecto de masa ( u )
EE/A ( J/nucleón) 1,14 . 10-12
235 92
U
Solución Núcleo 26 12
Masa real ( u ) 25,98260
Mg
235 92
Defecto de masa ( u ) 12 mP+14 mn – 25,98260 =0,22614
92mP + 143 mn – 1,79317=235,1164
U
1,14·10 –12·235/c2 = Δm=1,79317 u
EE/A ( J/nucleón) Δm·c2/12(Δm en kg) = 1,3.10-12 1,14.10-12
Ejercicio nº18 Decir si son verdaderas o falsas. a) La actividad de 1 kg de radio es la misma que la de 1 kg de cloruro de radio.
b)
N 0 4
= N 0 ⋅ e − λ ⋅ T
1/2 /4
c) Si el período de semidesintegración del Ra-226 es de 1620 años, podemos deducir que su actividad es mayor que la del Po-210 cuyo período es de 140 días. Solución Las tres son falsas. Problema nº19 La edad de un sarcófago de madera egipcia se puede determinar mediante datación radiocarbónica. El núclido C-14 se genera en la tierra por acción de neutrones sobre el N-14 y es absorbido por los seres vivos manteniendo una tasa determinada de él; cuando llega la muerte, la actividad de ese isótopo decae con el tiempo. a) Escribir la reacción nuclear que genera el C-14. Escribir su desintegración sabiendo que es
emisor β . b) Se ha medido la actividad del sarcófago y resulta 4/7 de la actividad de la madera de un árbol recién cortado. Sabiendo que el semiperíodo del C-14 es de 5730 años, hallar la edad del sarcófago. Solución a)
14 1 14 1 7 N + 0 n→ 6 C + 1H
14 14 6 C→ 7 N +
0,693 = 1,21 ⋅ 10 − 4 años − 1 5730 4 1 t = − Ln ⋅ = 4 625 años 7 λ
b) λ =
β
N = N0 e − λ t →
4 4 N0 = N 0 ⋅ e − λ t ; Ln = − λ t 7 7
5
Ejercicio nº20 Un gramo de masa aniquilada produce: a) 9 . 1010 J b) 9 . 1011 J c) 9 . 1013 J d) 9 . 1016 J Solución La respuesta correcta es la c). Problema nº21 Se tienen 100 g de una muestra radiactiva cuya velocidad de desintegración es tal que en un día se ha transformado el 20 por 100 de la masa original. Calcula; a) la constante de desintegración y el periodo, b) la vida media y el descenso de su actividad hasta ese momento, c) la masa que quedará a l cabo de 20 días. Solución SOL: λ= 0,223 dia –1 T= 3,11dias,τ= 4,48 días, un 20%,m= 1,15g La cantidad de materia radiactiva que queda en el instante t es: N =No e -λt.;si se ha transformado el 20% quedará un 80%⇒ N No
=
e
,
=
− λ t
= 0,8;
=
Ln
− Ln
N
Noλ
, 0,223
= − λ ⋅ t ⇒ λ =
= 3,11días;τ =
1 λ
=
N No
t
1 0,223
=
− Ln(0,8) 1dia
= 4,48días.A =
λ
= 0,223dia − 1
⋅ N; Ln A = Lnλ τ + LnN derivando
=
=
m=mo e -λt : mo es la masa inicial y m la masa en el instante t, por tanto al cabo de 20 días; m=100g e –0,223·20 = 1,15 g Ejercicio nº22 Una de las reacciones posibles de fisión del
235 92
U es la formación de
94 38
Sr y
140 54
Xe liberándose 2
neutrones. Formular la reacción y calcular la energía liberada por 50 g de uranio. ¿Cuánto
235 92
U se gasta
por día en una central nuclear de 2000 MW de potencial?. (Datos U= 234,9943 umas, Sr = 93,9754 umas, Xe=139,9196 umas y n=1,0086 umas). Sol: 235 92
U + 01n →
94 38
Sr +
140 54
Xe + 2 01n + 84,385 MeV
b) E= 1,728 1012 J c) 5 Kg. Ejercicio nº23 a) Describir brevemente las interacciones fundamentales del universo. b) Ordenarlas por intensidad creciente. c) ¿Cuál de ellas puede relacionarse directamente con la radiactividad y de qué modo? Solución Todas las fuerzas presentes en la naturaleza pertenecen a uno de estos grupos: a) Fuerza gravitatoria: Se ejerce entre dos masas cualesquiera. b) Fuerza electromagnética: Se ejerce entre partículas cargadas. Es de mayor intensidad que la gravitatoria y a distancias mayores de 10 –15 m, supera a la nuclear fuerte. c) Interacción nuclear fuerte: Mantiene unidos a los nucleones y es la que actúa entre los quarks. d) Interacción nuclear débil: es la responsable de la desintegración β, de muy corto alcance (nula para >10 –17m). Es más débil que la nuclear fuerte y la electromagnética, a distancias nucleares supera a la gravitatoria. b) Gravitatoria < interacción débil < electromagnético < interacción fuerte. c) La interacción débil es la responsable de la emisión β, que transcurre según el proceso: n –––> p + e + Ejercicio nº24 10 g de muestra radiactiva se reducen a 1,25 g en 18 años. Su período es: a) 18 años b) 6 años c) 12 años d) 2 años
6
Solución
10g → 5g → 2,5g → 1,25g Han pasado tres periodos de semidesintegración en 18 años, luego su periodo será de 18/3 = 6 años. Por tanto, la respuesta correcta es la b). Problema nº25 El núcleo
16 8O
tiene una masa de 15,9949 u. Calcula su energía de enlace por nucleón en MeV.
Datos : m ( protón) = 1,00728 u; m ( neutrón) = 1,00867 u).Datos : 1 u = 931MeV Solución 931 8 ⋅ ( 1,00728 + 1,00867) - 15,9949 = ∆ m = 0,1327 EE/A = ∆ m ⋅ = 7,72 MeV / nucleón 16 nucleones Problema nº26 a) Explica brevemente qué es la fusión nuclear. b) Calcula la energía que se libera en el siguiente proceso nuclear y expresa el resultado en julios y MeV. 2 1H 2 1H
+ 21H →
3 1H
+11 H
= 2,014102; 31H = 3,016049; 11H = 1,007825
Solución a) Cuando dos o más núcleos pequeños se unen o fusionan, dan lugar a un núcleo más pesado. Es necesaria una gran energía de activación para vencer las fuerzas de repulsión, lo cual puede conseguirse con temperaturas del orden de 106 K. Los primeros intentos fusionaron dos isótopos de hidrógeno (H, H), para obtener helio (He), proceso que también tiene lugar en el interior del Sol y a partir del cual las estrellas obtienen la energía que irradian. H + H ––––> He + n En esta reacción los productos presentan un defecto de masa de 0,0189 u, que corresponde a una energía de 17,6 MeV por cada 4He. b ) ∆ m = 3,016049E + 1,007825 − 2 ⋅ 2,014102 = 0,00433 u
En MeV :
6,47 ⋅ 10 − 13 J
1,6 ⋅ 10 Ejercicio nº27
− 19
Al bombardear el
E = 0,00433 ⋅ 1,66 ⋅ 10 − 27 kg ⋅ c 2 = 6,47 ⋅ 10 − 13 J
= 4,04 ⋅ 10 6 eV = 4,04MeV
27 13 Al
con partículas α se detectaron neutrones; pero además aparecióun elemento X
que era radiactivo, transmutándose en
30 14 Si.
a) Escribir las ecuaciones correspondientes a esos procesos. b) ¿Se trata de reacciones nucleares? Solución 4 a ) 27 13 Al + 2 α →
30 ∗ 15 P
+ 01n
30 ∗ 15 P
→
0
+ 1 β
+
30 14 Si
b) En realidad sólo el primer proceso es propiamente una reacción nuclear. La segunda es un proceso espontáneo. Ejercicio nº29
¿De qué está constituida una partícula α? ¿Sería correcta la expresión 2 ⋅ m p + 2 ⋅ m n para hallar su masa? ¿Calcula la energía desprendida en la formación de una partícula alfa si su defecto de masa es ∆m=0,03021 umas y c=3 108 m/s?. Solución Una partícula α es un núcleo de Helio, por lo que se puede escribir como:
4 2
α
No. Hay una pérdida de masa (defecto de masa) en el proceso de formación del núcleo que constituye la partícula
4 2
α
. 28,1 MeV
7
Ejercicio nº30 Sabiendo que el periodo de semidesintegración del Ra es de 1620 años. Calcular: a) La constante de desintegración y su vida media. b) ¿Cuántos átomos de radio se desintegran en un segundo en una muestra de 1g (actividad)?. Solución
a) λ =
Ln2
0,693
=
= 1,35 ⋅ 10 − 11 s − 1 τ =
1
= 7,4 ⋅ 1010 s
λ 1620 ⋅ 365 ⋅ 24 ⋅ 3600 1g b)N(t) = ⋅ 6,02310 23 = 2,66 10 21 átom Ra ⇒ A = λ N (t ) = = 1,35 ⋅ 10 − 11 s − 1 ⋅ 2,66 ⋅ 10 21 = 3,6 ⋅ 1010 226 g/mol Este es el número de desintegraciones por segundo en un gramo de radio⇒definición del curio como unidad de actividad.1Cu= 3,7 10 10 desintegraciones. T
Ejercicio nº31 99 43
Tc presenta un estado excitado que se desintegra emitiendo rayos gamma. La vida media ζ de
El
este estado excitado es de 520,23 minutos. ¿Cuál es la actividad de 1mg de este isótopo?. ¿Qué tiempo debe transcurrir para que en la muestra quede 0,25 mg de átomos radiactivos? Solución
a) A = λ N (t ) =
1
τ
N (t ) =
1
⋅
10 − 3 g
520,23 ⋅ 60 99 g/mol
b)0,25 = 1e − λ t ⇒ Ln(0,25) = -
1 520,23 ⋅ 60
6,02310
23
= 1,95 ⋅ 1014 Bq
⋅ t ⇒ , t = 3,310 4 s
Ejercicio nº32 Una muestra de uranio-238 tiene una actividad de 800 milicurios; determinar, sabiendo que período de semidesintegración es de 4,5 10 9 años: a) Ecuación de la desintegración sabiendo que se transforma en 234 Th y una partícula alfa . b)Su constante de desintegración y la masa de uranio de la que se dispone en ese momento. Solución a)
283 92
U →
a) λ =
Ln2 T
234 90
Th + 24 He
=
0,693 9
4,5 ⋅ 10 ⋅ 365 ⋅ 24 ⋅ 3600
b) A = λ ⋅ N(t) = λ ⋅
mo 238 g/mol
= 4,88 ⋅ 10 − 18 s − 1
⋅ 6,02310 23 ⇒ mo =
800 ⋅ 10 − 3 ⋅ 3,7 ⋅ 1010 ⋅ 238 6,023 ⋅ 10 23 ⋅ 4,88 ⋅ 10
− 18
= 2395620 gdeU
8
