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Ejercicios de Distribucion de La Varianza
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Descripción: varianza...
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Anthony AR
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Varianza de dispersión
Geoestadística Capítulo V
1. Si
X X
2
con 15 grados de libertad, hallar:
a)
P( X >27.5)
b)
P(7.26 ≤ X ≤ 25.0)
c)
P( X ≤ 23.5)
d) Hallar a y b tal que
P ( X
y
P ( a ≤ X ≤ b ) =0.95
Solución Para obtener las probabilidades solicitadas, en la fila de 15 g.l de la tabla 2 se buscan los valores dados para X y se leen las probabilidades (acumuladas menores que) correspondientes en el encabezamiento de las columnas así: a)
P [ X> 27.5 ] =1−P ( X ≤ 27.5 )=1−P [ X < x 0.9752 ]=1−0.975=0.025
b)
P [ 7.26 ≤ X ≤25.0 ] =P [ X ≤ 25.0 ] −P [ X ≤7.26 ] =¿ P [ X < x 0.9752 ]−P [ X < x 0.052 ]=0.95−0.05=0.9 0 P ( X ≤ 23.5 ) =p
c)
Como en la tabla 2, de chi cuadrado, para 15 grados de libertad, no se encuentra el valor 23.5, pero este se encuentra entre los valores 22.3 (con probabilidad 0.90) y 25.0 (con probabilidad 0.95) para hallar p interpolamos de la siguiente manera:
X α2
P
22.3
0.90
23.5
p
25.0
0.95
Luego: d)
⇒
25.0−22.3 23.5−22.3 = 0.95−0.90 p−0.90
⇒ 54=
1.2 ⟹ 54 p−48.6=1.2⟹ p=0.9222 p−0.90
P ( X ≤ 23.5 ) =0.9222 P ( X ≤ a )=0.025
Para r = 15 g.l
a=X 0.025 ,152=6.26
0.95=P [ a ≤ X ≤b ] =P [ X ≤ b ] −P [ X ≤ a ] =P [ X ≤ b ] −0.025
2
P [ X ≤ b ]=0.975∴ b=X 0.975 ,15 =27.5
Luego:
2.De una población X: N (u, 18), se extrae una muestra aleatoria de tamaño n= 21. Calcule e interprete :
[ 3.291<( ´x −μ )2 <5.683 ]
a) P
b) ¿Entre que valores se encontrara el 90% central de las varianzas muestrales? Solución n
a) Se sabe que
X´ =
∑ XI
~
i=1
n
es N (0,1) entonces,
Z 2=
N (μ ,
σ2 ) y por lo tanto n
Z=
( ´x −μ ) √ n σ
( ´x −μ )2 n ( ´x −μ )2∗21 = X 12 . 2 18 σ
Para obtener la probabilidad solicitada se multiplica dentro de la desigualdad por 21/18 y se construye una
P
[ 3.291<( ´x −μ )2 <5.683 ]
[ 3.84< X 12< 6.63 ]
=P
X 12
así:
=P
[
2
3.291∗21 ( ´x −μ ) ∗21 5.683∗21 < < 18 18 18
[ X 12 ≤6.63 ]
-P
[ X 12 ≤3.84 ]
]
=P
= 0.99-0.95 = 0.04.
Interpretación. En el 4% de las muestras de tamaño 21, de una población X: N (u, 18), las desviaciones al cuadrado, de las medias muestrales
´x
con respecto a la media poblacional
encuentran entre 3.291 y 5.683.
μ
, se
b) Sean a y b los valores centrales dentro de los cuales se encuentra el 90% de la varianza muestrales (S2), con el 5% hasta a y 95% hasta, es
0.90=P ( a≤ S2 ≤b ) , con
decir:
(n−1)S 2 → X n−12 2 σ
Se sabe que:
P ( S 2 ≤ a ) =0.05
y
P ( S 2 ≤ b ) =0.95
2
entonces,
(21−1) S 20 S 2 2 = → X 20 18 18
Multiplicando en la probabilidad anterior por 20/18 se tiene una
0.05=P
(
2
) (
X 20
2
así:
20 S 20 a 20 a 20 a ≤ =P X 202 ≤ → =X 20, 0.052=10.9 18 18 18 18
)
Luego: a =9.81. Además:
0.95=P
(
20 S2 20 b 20 b 20 b ≤ =P X 202 ≤ → =X 20, 0.9 52=31.4 18 18 18 18
) (
)
Luego: b =28.26. Entonces:
0.90=P ( 9.81≤ S 2 ≤ 28.26 )
Interpretación. En las muestras de tamaño 21, de una población X: N (u, 2 18), el 90% central de las varianzas muestrales ( S ¿ se encuentran entre 9.81 y 28.26.
3. De una población X: N (u, 18), se extrae una muestra aleatoria de tamaño n=21. Calcule e interprete:
[
21
a)
P 208.7< ∑ ( X i−μ )2 <638.7
b)
P ( 9.77< S2 <30.78 )
i=1
]
Solución a) Se sabe que para muestras de una población normal se cumple que: n
∑ ( X i−μ )2 i=1
σ
2
n
∑ ( X i−μ ) 2
→ X n2 ∴ i=1
18
→ X 212
Para obtener la probabilidad solicitada se divide dentro de la desigualdad por 18 y se construye una
[
21
X 212 así:
]
P 208.7< ∑ ( X i−μ )2 <638.7 = P i=1
[
]
n
∑ ( X i−μ ) 2
208.7 i=1 < 18 18
<
638.7 =¿ 18
P [ 11.6< X 212 <35.5 ] =P [ X 212 ≤ 35.5 ]−P [ X 212 ≤11.6 ]=0.975−0.05=0.925 Interpretación. En el 92.5% de las muestras de tamaño 21, de una población X: N (u, 18), las sumas de desviaciones al cuadrado, de los valores observados con respecto a la media proporcional
b) Se sabe que:
(n−1) S 2 → X n−12 2 σ
μ , se encuentran entre 208.7 y 638.7 2
entonces,
(21−1) S 20 S 2 = → X 20 2 18 18
Multiplicando en la probabilidad anterior por 20/18 se tiene una
P ( 9.77< S2 <30.78 ) =P
(
2
X 20
2
así:
)
20∗9.77 20 S 20∗30.78 < < =¿ 18 18 18
P [ 10.9< X 202< 34.2 ]=P [ X 202 <34.2 ]−P [ X 202 <10.9 ] =0.975−0.05=0.925 Interpretación. En el 92.5% de las muestras de tamaño 21, de una 2 población X: N (u, 18), las varianzas muestrales ( S ¿ se encuentran entre 9.77 y 30.78.
4. Suponga el número de horas semanales que las amas de casa ven TV tiene distribución normal con una varianza de 3. Al escoger una muestra
de 17 amas de casa y registrar el número de horas a la semana que ven TV, calcule e interprete la probabilidad de que la varianza muestral obtenidos sea mayor que 5.4 (horas)2. Solución Sean X= número de horas semanales que las amas de casa ven TV, n = 2 17 y σ =3 2
Se sabe que:
(n−1) S → X n−12 2 σ
(17−1) S 2 16 S2 = → X 16 2 3 3
entonces,
Multiplicando en la probabilidad anterior por 16/3 se tiene una
X 162
así: P ( S 2> 5.4 ) =1−P ( S 2 ≤ 5.4 )=1−P
(
2
)
16 S 16∗5.4 < =¿ 3 3
1−P [ X 162 <28.8 ] =1−0.975=0.025 Interpretación. En el 92.5% de las muestras de 17 amas de casa, las varianzas 2
muestrales ( S ¿ del número de horas semanales que ven TV es mayor que 5.4 (horas)2.
5. La duración de los transistores fabricados por una compañía tienen una media de 2000 horas y una desviación típica de 60 horas. Se selecciona 10 transistores al azar. Calcule e interprete la probabilidad que la desviación típica muestral se encuentra entre 50 y 70 horas. Solución Sean X= duración de los transistores,
μ=2000
2
Se sabe que:
(n−1)S → X n−12 2 σ
,
σ 2= ( 60 )2=3600
y n=10.
2
(10−1)S S2 2 = → X9 3 600 400
entonces,
Dividiendo en la probabilidad solicitada entre 400 se tiene una
P (50 ≤ S ≤70 ) =P ( 2500 ≤ S 2 ≤ 4900 )=P
(
2
2500 S 4900 ≤ ≤ 400 400 400
)
X9
2
así:
¿ P [ 6.25≤ X 92 ≤12.25 ]=P [ X 92 ≤12.25 ]−P [ X 92 ≤6.25 ]=0.80−p Como en la tabla 2. De chi-cuadrado, para 9 grados de libertad, no está el valor 6.25, pero este se encuentra entre los valores 5.38 (con probabilidad 0,20) y 6.39 (con probabilidad 0.30) para hallar p interpolamos así:
Xα
2
P
5.38
0.20
6.25
P
6.39
0.30
⇒
6.39−5.38 6.25−5.38 = 0.30−0.20 p−0.20
⇒ 10.1=
0.87 ⇒10.1 p−2.02=0.87⇒ p=0.2861 p−0.20
Reemplazando p=0.2861 en la última expresión se tiene que:
P (50 ≤ S ≤70 ) =0.80−0.02861=0.5139 Interpretaciones el 51.4% de las muestras de 10 transistores, la desviación estándar muestral de la duración de dichos transistores se encuentran entre 50 y 70 horas. 6. De una población X: N (0,1) se extrae una muestra aleatoria de tamaño n=15. Calcule e interprete:
[
21
2 a) P 7.26 ≤ ∑ X i ≤ 27.5
b) )
i=1
]
P ( 0.4693
Solución a) Se sabe que las observaciones muestrales tienen la misma distribución que la población, luego 15
∑ X i2 i=1
X 152
.
X i N (0,1) , entonces
Xi
2
X1
2
y por tanto
La probabilidad solicitada es: 21
(
P 7.26 ≤ ∑ X i2 ≤ 27.5 i=1
)
(7.26 ≤ X 152 ≤ 27.5 )
=P
=P
[ X 152 ≤27.5 ] −P [ X 152 ≤ 7.26 ]
= 0.975 -0.05=0.925. Interpretacion.En el 92.5% de las muestras de 15 observaciones de la distribución normal estándar, la suma de los valores observados al cuadrado se encuentra entre 7.26 y 27.5.
b) Dado que:
(n−1) S 2 → X n−12 2 σ
2
entonces,
(15−1) S 2 2 =14 S → X 14 1
Para obtener la probabilidad solicitada se multiplica dentro de la desigualdad
X 142
por 14 y se construye una
así:
P ( 0.4693
Interpretación. En el 92.5% de las muestras de 15 observaciones de la distribución normal estándar, la varianza muestral se encuentra entre 0.4693 y 1.964. 7. De una población
X : N ( μ , 10 )
n=9 y de una población
se extrae una muestra aleatoria de tamaño
Y : N ( μ , 12 )
se extrae una muestra aleatoria de
tamaño m=4. Calcule e interprete: a) P
b) P
( (
9
2 21.8 ≤ ∑ ( X i − X´ ) ≤175 i=1
4
)
5.81 ≤ ∑ ( Y i−μ )2 ≤133.2 i=1
)
Solución n
a) Si
X 2=
2
(n−1) S i=1 = σ2 σ2
9
2
∑ ( X i− X´ )
→ X n−12
entonces
2
∑ ( X i− X´ ) i=1
10
→ X 82
Para obtener la probabilidad solicitada se divide dentro de la desigualdad entre 10 y se construye una
P
(
9
2
X 82 asi:
)
21.8 ≤ ∑ ( X i − X´ ) ≤175 =P i=1
(
9
∑ ( X i− X´ ) 2
21.8 i=1 ≤ 10 10
≤
)
175 =¿ 10
P ( 2.18 ≤ X 82 ≤ 17.5 ) =P [ X 82 ≤ 17.5 ]−P [ X 82 ≤ 2.18 ]=0.975−0.025=0.955
Interpretación. En el 92.5% de las muestras de 9 observaciones de la población
X : N ( μ , 10 )
, la suma de las desviaciones al cuadrado de los valores
observados respecto a la media muestral, se encuentra entre 21.8 y 175.
b) Para una muestra de una población normal, se sabe que: m
∑ ( Y i−μ ) i=1
σ
4
2
2
→ Xm2
∑ ( Y i−μ )2
entonces:
i=1
12
→ X 42 . Para obtener la
probabilidad solicitada se divide dentro de la desigualdad por 12 y se
X 4 2 así:
construye
P
(
4
)
5.81 ≤ ∑ ( Y i−μ )2 ≤133.2 =P i=1
(
4
∑ ( Y i−μ )2 2
5.81 i=1 ≤ 12 12
≤
)
133.2 =¿ 12
P [ 0.484 ≤ X 42 ≤11.1 ]=P [ X 42 ≤ 11.1 ] −P [ X 42 ≤0.484 ]=0.975−0.025=0.95 Interpretación. En el92.5% de las muestras de 4 observaciones de la distribución normal
Y : N ( μ , 12 )
, la suma de las desviaciones al
cuadrado de los valores observados respecto a la media poblacional , se encuentra entre 5.81 y 133.2
μ
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