Ejercicios de Distribuciones muestrales de la media, proporción y diferencia de proporciones 1) La media del diámetro interior de una muestra de 200 lavadoras producidas por una máquina es 1,275cm. y la desviación estándar de 0,0125cm. se permite una tolerancia en el diámetro de 1,26cm. a 1,29cm., de otra forma las lavadoras son defectuosas. basados en la muestra determinar el porcentaje de lavadoras defectuosas producidas por la máquina. suponga que los diámetros son una variable aleatoria normal rta. a) .0000 2) El precio medio por galón de gasolina regular vendida vendida en colombia es de $9830. suponga que el precio medio de la población es $9830 por galón, y que la desviación estándar de la población es $995. también suponga que se seleccionará una muestra muestra aleatoria simple de 50 gasolineras y que se calcula un precio de la media de la muestra. ¿cuál es la probabilidad de que la muestra aleatoria simple simple produzca una media: media: a) a menos de $200 de la media media de la población? b) a menos de $132 de la media de la población? rta. a) .9224 b) .6518rta. a) .9987 b) ta. a) .7078 3) Usted está preocupado por el número de artículos producidos por su empresa que tienen defectos. en promedio, 110 artículos al día son devueltos por este problema, con una desviación estándar de 64. y ha decidido que a menos que pueda estar 80% seguro de que, en promedio, no se devolverán más de 120 teléfonos al día durante los siguientes 48 días, ordenará una reparación general del proceso. ¿ordenarías la reparación general? rta. a) .8605 no.
4) Se sacan 36 mediciones de zinc en aguas del canal del dique, si el contenido medio de zinc del agua en esta zona es de 2,57mg/l y la d.t. es de 0,3mg/l ¿Entre que valores cae el contenido medio de zinc: a) a) El 57% de las veces? veces? b) El 89% de las veces? veces? c) Cuál es es la probabilidad de que la media muestral esté comprendida entre 2,5 y 2,7mg/l? Rta. a) 2,531 y 2,609 b) 2,490 y 2,650 c) .9146 5) Se espera que el diámetro de las pelotas de ping-pong fabricadas en una planta sea una variable aleatoria normal con media de 1,30pulg. y desviación estándar de 0,04pulg. si se seleccionan muchas muestras muestras de tamaño 16. a) ¿cuál ¿cuál será la distribución distribución de la la media muestral? muestral? b) ¿cuál es la probabilidad de que la media muestral muestral esté entre 1,28 y 1,30pulg? c) ¿entre que valores estará el 60% central de las medias muestrales? d) ¿qué es más probable que ocurra: conseguir una pelota con más de 1,34pulg. en una muestra de tamaño 4 o una de más de 1,31pulg. en una muestra de 16? rta. b) .4772 c) 1.292 y 1,308 d) .0228 .0000 6) El año pasado las tasas de rentabilidad de las acciones de isa siguieron una distribución normal con una media de 14,8% y desviación estándar de 6,3%. se extrae una muestra aleatoria simple de 9 de estas acciones. a) ¿cuál es la probabilidad de que la media muestral de la tasa de rentabilidad sea mayor de 19? b) se hará un estudio al 25% de aquellos meses cuya tasa de rentabilidad sean menores. ¿cuál es la mayor tasa que pudo presentarse en un mes para ser incluido en el estudio? c) se considerará que un mes tuvo una tasa estándar si se encuentra en el 50% central de la distribución de tasas. ¿qué valores menor y mayor pudo tener un mes para estar dentro de los límites estándar? rta. a) .0228 b) 13,384% c) 13,384% y 16,216% 7) De una población de parados con una media de 10 meses en el paro y una d.t. de 1, se extrae una m.a.s. de 1000personas. Suponiendo que los tiempos de esta población se distribuyen según una ley normal ¿Entre ¿Entre que valores cae el tiempo tiempo medio de paro: a) El 93% de las veces? b) El 98% de las veces? c) Cuál es la probabilidad de que la media muestral muestral esté comprendida comprendida entre 9,8 y 10,5 meses? d) Resuelva a, b, c si la muestra fuese fuese de 500 personas, ¿que concluye? concluye? Rta. a) 9,943 y 10,057 b) 9,926 y 10,74 c) 1.0000 d) 9,919 y 10,081; 9,896 y 10,104; 1.000
8) Si se extraen todas las muestras posibles de tamaño 16 de una población normal con media igual a 50 y desviación estándar igual igual a 5, ¿cuál es la probabilidad de que una media muestral " caiga en el intervalo que va de #$ % &'()$ * #$ % +',) $ ? rta. a) .9426 9) La longitud de determinados fósiles es una variable aleatoria normal con media 185 mm y desviación estándar estándar 12 mm ¿cuál es la probabilidad probabilidad de que una muestra muestra aleatoria aleatoria simple de tamaño 25 de fósiles tenga media mayor que 190 mm.? rta. .0186 10) La duración de las películas que programan en RCN sigue una distribución normal de media 105 min y d.t. 35 min. Calcula la probabilidad de que la duración media de una muestra de 40 películas: a) Supere los 110 min. b) Sea menor de 1 ! de hora c) esté entre 100 y 112min. Rta. a) .1831 b) .0000 c) .7139 11) Un fabricante de barras de cereal bajo en grasa afirma que su contenido promedio de grasa saturada es 0,5 gr. en una muestra de 8 barras de cereal el contenido de grasa saturada fue: 0,6 0,7 0,7
0,3
0,4
0,5
0,4
0,2.
¿Estaría de acuerdo con la afirmación? Suponga normalidad rta. a) no no se puede 12) una empresa manufacturera afirma que las baterías que utiliza en sus juegos electrónicos duran un promedio de 30 h. para mantener este promedio se prueban 16 baterías cada mes. si el valor de t que se calcula cae entre –t 0,025 y +t0,025, la empresa queda satisfecha con su afirmación. ¿qué conclusiones extraería la empresa de una muestra que tiene una media de 27,5 horas y una desviación estándar estándar de 5 horas? suponga que la distribución de las duraciones de las baterías es normal. rta. a) queda satisfecha 13) Se toma una muestra aleatoria aleatoria simple de 12 agujas de tejer en un estudio de prueba de dureza. dureza. los valores medidos son 48
49 49 50 51
45
47
48,5
48
50
48,5 48
Proponga dos valores entre los cuales cae la dureza media con una p robabilidad: a) .235 b) .900 c) .750 rta. s=1,5 a) 30,118 y 30,478 b) 29,322 y 30,678 c) 29,537 y 30,463
14) La vida media de una máquina para hacer pasta es de 7 años. suponga que la vida de estas máquinas es una variable aleatoria normal si la desviación estándar de una muestra aleatoria simple de 9 de estas máquinas caiga caiga es de 1 año encuentre: a) la probabilidad probabilidad de que la vida media esté entre 6,4 y 7,2 años. b) el valor de la media muestral a la derecha de la cual caería el 15% de las medias. rta. a) .4885 b) 7,369 15) Se tiene un programa de entrenamiento entrenamiento para mejorar la calidad de los supervisores de la línea de producción. como el programa es auto administrativo, administrativo, los supervisores supervisores requieren requieren diferentes diferentes tiempos para terminarlo. un estudio de los participantes anteriores indica que el tiempo medio que lleva completar el programa es de 500h. y que es variable aleatoria normal ¿cuál es la probabilidad de que el tiempo medio requerido para completar el programa por una muestra aleatoria simple simple de 29 participantes con desviación desviación estándar de 100h. sea: a) más de 500h.? b) entre 500h. y 650h.? c) más de 700h.? 700h.? d) entre 550 y 650 h.? e) menos de 580 h.? f) entre 420h.y 570h? rta. a) .5000 b) .5000 c) .0000 d) .0059 e) .9941 f) .9995
16) Asistentes del presidente uribe acaban de expresar su preocupación sobre el exceso de gasto en contratos militares. el presidente lo nombró a ud. en un comité de expertos que estimase la cantidad media que cada contrato cuesta por encima de la cantidad acordada. el comité ha determinado ya que los costos excesivos p arecen seguir una distribución normal. a) si se elige una muestra de 25 contratos y arroja una desviación estándar de $17500 billones. ¿cuál es la probabilidad de que la muestra haga una estimación de la media p oblacional que la supere en más de $10000 billones? billones? b) el presidente aceptará aceptará un error error de $5000 billones en la estimación ¿cuál es la probabilidad de que reciba una estimación del comité dentro del intervalo especificado? rta. a) .0043 b) .8343 17) Un proceso en petroquímica (cartagena) debe producir por día, en media, 800 ton. de un producto. las producciones diarias de la semana pasada fueron de (en toneladas): 785
805
790
793 802
Si se supone normal la distribución de la producción diaria, ¿indican estos datos que la producción media está siendo inferior a las 800 ton. y que, algo está fallando en el proceso de producción? rta. no es posible 18) El tiempo que dedican a estudiar los estudiantes de economía la semana anterior a los exámenes finales es una variable aleatoria normal se toma una muestra aleatoria simple de 4 estudiantes y arroja una desviación estándar 8h. ¿cuál es la probabilidad de que la media muestral: a) exceda a la media poblacional en más de 2h? b) esté a más de 3h por debajo de la poblacional? c) difiera de la media poblacional en más de 4h? rta. a) .3257 b) .2539 c) .3910 19) Se ha tomado una muestra de los precios de un mismo producto alimenticio en 16 comercios, elegidos al azar en un barrio de una ciudad, y se han encontrado los siguientes precios: precios: 0 ,95 1,08 0,97 1,12 0,99 1,06 1,05 1,00 0,99 0,98 1,04 1,10 1,07 1,11 1,03 1,10. 1,10. Suponiendo que los precios de este producto se distribuyen según una ley normal con media 0,9 ¿entre que valores cae el precio precio medio del artículo: a) el 77% de las veces? veces? b) el 99% de las veces? c) cuál es la probabilidad de que la media muestral esté comprendida entre 0,98 y 1,05? rta. s=0,0547 a) 0,883 0,883 y 0,917 0,917 b) .0000 .0000 20) Decoración johan se especializa en arreglos de jardines jardines residenciales. residenciales. el costo estimado de mano de obra en determinada oferta de decoración se basa en la cantidad de árboles, arbustos, etc., que se plantan en el proyecto. para fines de estimación de costos, los gerentes aplican como norma dos horas de mano de obra para plantar un árbol mediano. los tiempos reales, en horas, para una muestra de 10 árboles plantados durante el mes pasado son los siguientes: 1.9
1.7
2.8 2.4 2.6 2.5 2.8 3.2 1.6 2.5.
¿es esta muestra suficiente para concluir que los gerentes están sobrevalorando el tiempo por lo menos en 30min.? rta. s=0,5164 a) no. 21) En colombia el 30% votarían al partido de la u en caso de que se celebraran mañana las elecciones. si seleccionamos al azar a una muestra de 200 personas y las encuestamos, obtenga las probabilidades probabilidades de que: a) las personas que expresen esa esa intención de voto superen superen el 38% b) el porcentaje de personas que expresen esa intención se separe del porcentaje poblacional en .8778 más del 5%. rta. a) .0068 b) .8778
22) Supongamos que con una terapia para tratar el miedo a volar en avión se recupera el 80% de los pacientes. si seleccionamos al azar 16 pacientes que han acudido a la consulta de un psicólogo clínico con este tipo de fobia, ¿cuál es la probabilidad de que al menos 12 se hayan recuperado y puedan tomar aviones? rta. a) .6915 23) Tras varios años examinando a los alumnos de la asignatura de estadística ii, he observado que en el primer corte de la asignatura aprueban el 60% de los alumnos. antes de empezar el curso se toma una muestra muestra aleatoria simple de 10 alumnos matriculados. matriculados. conteste a las siguientes cuestiones: a) ¿cuál es la probabilidad de que en la muestra apruebe el 20% o más?, b) ¿cuál es la probabilidad de que más del 50% apruebe? y c) ¿cuál es la probabilidad de que pierdan menos del 30%? rta. a) .9951 b) .7407 c) .9162 24) Tras un estudio de habitabilidad de los hogares cartageneros, se ha descubierto que el 60% están por debajo del límite de habitabilidad. se ha tomado una muestra aleatoria aleatoria simple de 40 hogares cartageneros. conteste a las siguientes cuestiones: a) ¿cuál es la probabilidad de que como máximo el 50% esté por debajo del nivel de habitabilidad? ; b) ¿cuál es la probabilidad de que como mínimo lo esté el 48%? rta. a) .0984 b) .9393 .9393 25) El partido de la u cree que el 60% del electorado está a favor de su programa. uribe encuentra esta predicción muy optimista y decide hacer un sondeo con una muestra de 90 personas. a) ¿cuál es la probabilidad de que máximo 60 personas estén a favor del partido? b) ¿de que el partido tenga la razón? c) ¿de que no tenga desventaja con los demás partidos? rta. a) .9016 b) .5000 c) .9736 26) Disponemos de los datos del dane sobre el aumento del empleo durante el año 2008, el cual se encuentra en un 40%. si tomamos tomamos una muestra aleatoria aleatoria simple de 200 ciudadanos. cuál cuál es la probabilidad de que: a) ¿más del 50% tenga empleo? b) ¿menos del 78% tenga empleo? c) ¿entre el 60 y 82% no tenga empleo? d) ¿más del 60% no tenga empleo? rta. a) .0019 b) 1 c) .7200 d) .5000 e).5000 27) Se toma una muestra de 250 edificios del centro amurallado para estimar la proporción de edificios antiguos. supongamos que el 30% de todos los edificios son antiguos. hallar la probabilidad de que la proporción de edificios edificios antiguos: antiguos: a) esté entre 0,25 y 0,35 b) sea mayor de 0,28 c) sea menor que 0,25 d) esté entre entre 0,275 y 0,316. rta. a) .9155 b) .7549 c) .0422 d) .5154 28) En laboratorio de cartagena sostiene que uno de sus p roductos para curar alergias es efectivo en el 90% de los casos. si en una muestra realizada con 173 personas que padecían de esa alergia, el medicamento dio buen resultado en 142, ¿puede considerarse la afirmación del laboratorio como legítima? sustente su afirmación. rta. a) si. 29) En cierta universidad universidad se toma una muestra al azar de 256 docentes. de esta muestra, el 20% de los docentes lleva gafas graduadas graduadas y el resto no. ¿cuál es la probabilidad de que la muestra de 256 docentes hubiese arrojado: arrojado: a) 62 docentes con gafas graduadas? graduadas? b) 85 sin gafas graduadas? c) entre 43 y 58 docentes sin gafas graduadas? graduadas? rta. a) .0458 b) .0000 c) .0000 30) El área de servicios sociales de la alcaldía mayor de cartagena decide poner en marcha un servicio de atención domiciliaria a personas mayores, siempre que la proporción de personas mayores de 65 años que vivan solas sea al menos del 55%. se tomaron al azar 150 cartageneros mayores de 65 años, de los cuales 93 resultaron vivir solas. ¿se pondrá en marcha el programa? rta. a) .9613 si
31) Se realiza una encuesta en dos zonas distintas de cartagena para conocer el grado de implantación de internet en los hogares. en la zona norte se visitaron 200 domicilios de las mismas características seleccionados al azar y el 88% de ellos estaban conectados en internet. este número descendía al 59% en la zona sur donde se visitaron 240 hogares. a) ¿estaría justificado afirmar que en la zona norte hay más gente gente conectada a internet que en la zona sur? sur? b) si hay diferencia entre las zonas y esta es mayor que 0,27 entonces se ejecutara un plan de mercadeo, ¿es necesario aplicar el plan? rta. a) si b) si 32) Para investigar si la proporción de matrimonios civiles es la misma en bogotá que en cartagena, se tomaron al azar 100 matrimonios en cada una de estas ciudades. en bogotá, 62 eran civiles, mientras que en cartagena, lo eran 49. ¿cuál es la probabilidad de que en muestras de los mismos tamaños establecidos para el estudio el porcentaje de matrimonios civiles sea: a) mayor en bogotá? b) mayor en bogotá por 23%? c) menor en cartagena cartagena por 10%? 10%? rta. a) .9690 b) .0756 c) .6666 33) Se quiere investigar si el porcentaje de niños vacunados contra la poliomielitis es superior en colombia que en chile, tras una campaña de información llevada a cabo por una ong que trabaja en ambos países. entre los 500 niños elegidos al azar en colombia, el 90% estaban vacunados, mientras que el 87.5% de los 800 niños chilenos elegidos, lo estaban. ¿puede pensarse que el índice de vacunados en colombia es, en efecto, superior que en chile? rta. a) si. 34) Se sabe que el número de iguanas en la zona del canal del dique ha descendido enormemente en los últimos años. para declarar a la especie potencialmente extinta en dicha zona, ha de verificarse verificarse que la proporción de machos y hembras son significativamente significativamente distintas. cardique le ha entregado a ud. un informe de 240 ejemplares observados, de los cuales 100 son machos. analice y concluya. rta. si es 35) Su empresa utiliza dos máquinas diferentes para cortar trajes de spandex destinados a los acróbatas que realizan exhibiciones sobre hielo. se han p resentado problemas en el ensamblaje de las piezas a causa del comportamiento de las máquinas. como director de control de calidad, su trabajo consiste en estimar la diferencia entre la proporción de defectos producidos por cada máquina. se toman muestras de tamaños 120 y 105. la primera máquina produjo el 38% de defectos y la segunda el 43%. si las proporciones de defectos superan el 5%, todos los trajes serán fabricados en la máquina que parece tener menor índice de defectos. ¿qué decisión tomará? rta. a) la segunda tiene mas defectos. 36) De barranquilla y cali se extraen dos muestras de personas empleadas, en barranquilla, la proporción de mujeres es 30%, en cali es 39%, si la primera muestra es de 1200 personas y la segunda muestra de 2000 personas. a) ¿se puede decir que las proporciones de mujeres son diferentes para las ciudades ciudades respectivas? respectivas? b) ¿cuál es la probabilidad de que la diferencia entre cali y barranquilla sea mayor que 5%? rta. a) si b) .0000 37) Como trabajo de grado, un estudiante de último año de economía quiere determinar si existe alguna diferencia en la proporción de hombres y mujeres que responden favorablemente a un determinado anuncio. anuncio. de 875 hombres, 412 informan que tienen una impresión positiva; de las 910 mujeres encuestadas, encuestadas, sólo 309 están a favor. a) ¿son diferentes las proporciones de aceptación? b) ¿cual es la probabilidad de que la proporción de mujeres sea superada por la de hombres en 0,28? rta. a) si b) .0000 .0000 38) Un estudio realizado por sao reveló que 131 de 468 mujeres pagaron sus compras al por menor con una tarjeta de crédito concreta, mientras que de 237 hombres 57 utilizaron la misma tarjeta: a) ¿hay datos indicadores de una diferencia en la proporción de mujeres y hombres que utilizan esa tarjeta? b) ¿cuál es la probabilidad de que la proporción de mujeres sea mayor que la de
hombres en 0,1 o menos? c) ¿cuál es la probabilidad probabilidad de que la proporción de hombres sea mayor que la de mujeres en 0,235 o más? rta. a) si b) .9598 c) .0000 .0000 39) Un vendedor de autos ha planteado que el grado de satisfacción de las mujeres cartageneras con sus vehículos es mayor que el de los hombres de la misma ciudad. para ello el concesionario en que trabaja ha encuestado a 250 mujeres y a 200 hombres obteniendo que 200 mujeres estaban satisfechas con su vehículo, mientras 140 hombres también lo estaban. a) ¿hay datos indicadores de una diferencia en la proporción de mujeres y hombres que están satisfechos? b) ¿cuál es la probabilidad de que la proporción de mujeres sea mayor que la de hombres en 0,287 o más? c) ¿cuál es la probabilidad de que la proporción de hombres sea menor que la de mujeres en 0,135 o más? rta. a) si b) .0000 c) .1973 40) Históricamente se ha planteado que las proporciones de anuncios cómicos en revistas colombianas y venezolanas son aproximadamente iguales. un crítico colombiano sin embargo plantea que eso no es así, que en los diarios venezolanos se publican mucho más artículos cómicos. de una muestra muestra aleatoria simple simple de 203 anuncios venezolanos venezolanos 52 eran humorísticos, humorísticos, mientras que de 270 anuncios colombianos 62 eran cómicos. a) ¿hay datos indicadores de una diferencia en la proporción de artículos cómicos? b) ¿cuál es la probabilidad de que la proporción de colombia sea mayor que la de venezuela venezuela en 0,087 o más? c) ¿cuál es la probabilidad de que la proporción de venezuela sea menor que la de colombia en 0,105 o más? rta. a) si b) .0000 c) .0005
