ESTA TAD DÍST ICA Ejercicio nº 1.- Al preguntar a 20 individuos por el número de personas que viven en su casa, hemos obtenido las siguientes respuestas: 5
3
4
4
1
2
4
4
5
3
4
4
3
5
4
3
2
4
5
3
a) labora una tabla de !recuencias" b) #epresenta gr$!icamente la distribuci%n" E jercicio nº 2.- 2.- n una empresa de tele!on&a est$n interesados en saber cu$l es el número de aparatos tele!%nicos 'incluidos tel(!onos m%viles) que se tiene en las viviendas" e hace una encuesta *, hasta ahora, han recibido las siguientes respuestas: 2
2
1
2
3
4
3
2
4
3
4
3
3
1
2
3
2
3
2
3
a) labora una tabla de !recuencias" b) #epresenta gr$!icamente la distribuci%n"
E jercicio nº 3.- 3.- +emos preguntado a 20 personas por el número medio de d&as que practican deporte a la semana * hemos obtenido las siguientes respuestas: 3
3
2
1
3
1
0
2
-
3
2
3
4
3
5
3
2
a) +a. una tabla de !recuencias" b) #epresenta gr$!icamente la distribuci%n"
E jercicio nº 4.- 4.- +emos lan.ado un dado 20 veces * hemos ido anotando los resultados que obten&amos: 2
3
5
3
1
5
4
2
3
5
3
2
1
5
4
4
1
1
a) /rdena estos datos en una tabla de !recuencias" b) #epresenta gr$!icamente la distribuci%n" E jercicio nº 5.- 5.- n una clase se ha reali.ado un eamen tipo test de 40 preguntas" l número de respuestas correctas conseguidas por cada uno de los alumnos de esa clase ha sido: 1
20
10
40
5
30
40
20
10
15
20
25
30
10
30
40
20
10
5
25
30
2
a) #esume estos datos mediante una tabla de !recuencias" b) #epresenta gr$!icamente esta distribuci%n"
Ejercicio nº 6.- e un grupo de 30 personas hemos ido apuntando la edad de cada uno, obteniendo lo siguiente: 3
25
30
5
-
1
25
23
35
43
2
1-
15
12
4
3-
32
41
3
2
2
15
1
20
1
2-
25
40
a) +a. una tabla de !recuencias, agrupando los datos en los intervalos: 0 4, 5 , 10 14, 15 1, 20 24, 25 2, 30 34, 35 3, 40 44 b) #epresenta gr$!icamente la distribuci%n"
E jercicio nº 7.- n un reconocimiento m(dico que se ha reali.ado en un grupo de 30 nios, uno de los datos que se han tomado ha sido el peso, en 6ilogramos, de cada uno, obteniendo los siguientes resultados: 30
32
2-
25
33
34
32
32
25
40
33
35
3
30
33
35
34
3-
32
3-
35
34
30
2
2
32
31
33
2
34
a) +a. una tabla de !recuencias, agrupando los datos en intervalos de longitud 3, empe.ando en 24,5" b) #epresenta gr$!icamente la distribuci%n"
E jercicio nº 8.- n una clase del instituto se ha preguntado a los alumnos por el número de horas que dedican a la semana a estudiar" 7as respuestas han sido las siguientes: 15
10
1
12
10
5
1
-
10
12
15
20
2
3
4
10
5
3
10
5
10
1
1
10
2
3
10
a) /rdena los datos en una tabla de !recuencias, agrup$ndolos en los intervalos: 0 2, 3 5, , 11, 12 14, 15 1-, 1 20 b) #epresenta gr$!icamente la distribuci%n"
E jercicio nº 9.- n unas pruebas de velocidad se ha cronometrado el tiempo que tardaba cada participante en recorrer cierta distancia !i8a" 7os tiempos obtenidos, en segundos, han sido los siguientes: 10
,5
, 3 ,1 , 2 , 4
,3 ,3
14
10 14,5
12
13
10,1 ,2 10
,5
10
,1 ,2 ,1 ,5
12
,1
a) labora una tabla de !recuencias, agrupando los datos en intervalos de longitud 1, empe.ando en -," b) #epresenta gr$!icamente la distribuci%n"
Ejercicio nº 10.- +emos medido la estatura, en cent&metros, de 30 personas, obteniendo los siguientes resultados: 13 15 1 0 14 1 3
1 1 -5 1 1 5 1 0
11 14 1 - 1 1 55
13 1 4 1 1 4 1 -
1- 1 1 5 1 - 1
14 1 50 1 1 4- 1 -0
a) labora una tabla de !recuencias, agrupando los datos en intervalos de longitud 5, empe.ando en 14,5" b) #epresenta gr$!icamente la distribuci%n"
E jercicio nº 11.- +alla la media * la desviaci%n t&pica correspondientes a la siguiente distribuci%n de edades: 9ntervalo
05
5 10
10 15
15 20
20 25
25 30
:recuencia
3
12
15
2
;
E jercicio nº 12.- n un autobús escolar se les pregunta a los alumnos por el tiempo que tardan en llegar de su casa al autobús" 7os resultados se recogen en la siguiente tabla: >9?@/ 'minutos)
05
5 10
10 15
15 20
20 25
"° de alumnos
20
13
1
5
4
Balcula la media * la desviaci%n t&pica de esta distribuci%n" ;
E jercicio nº 13.- +emos lan.ado un dado 100 veces, anotando el resultado obtenido cada ve." 7a in!ormaci%n queda re!le8ada en la siguiente tabla:
a) Balcula la media * la desviaci%n t&pica" b) ;
x − C * x + C =
c) ;n qu( tanto por ciento de los lan.amientos reali.ados, se ha obtenido una puntuaci%n ma*or que la media=
Ejercicio nº 14.- 7as notas de una clase obtenidas en un eamen de matem$ticas vienen recogidas en la siguiente tabla: Aota
1
2
3
4
5
-
10
"° de alumnos
1
1
2
2
4
5
3
3
2
a) Balcula la media * la desviaci%n t&pica" b) ;
x − C * x + C ?
c) ;
E jercicio nº 15.- Al preguntar en 50 !amilias por el número de personas que !orman el hogar !amiliar, hemos obtenido la in!ormaci%n que se recoge en la siguiente tabla:
a) Balcula la media * la desviaci%n t&pica" b) ;
E jercicio nº 16.- l sueldo medio de los traba8adores de una empresa, A, es de 00 euros al mes, con una desviaci%n t&pica de 100 euros" n otra empresa, B, el sueldo medio es de 0 euros al mes con una desviaci%n t&pica de 150 euros" Balcula el coe!iciente de variaci%n * di cu$l de las dos empresas tiene ma*or variaci%n relativa en los sueldos"
E jercicio nº 17.- l peso medio de una especie de animales, A, es de 21,3 6g * la desviaci%n t&pica es de 2,5 6g" n otra especie de animales, B, el peso medio es de 125 6g * la desviaci%n t&pica es de 13 6g" Balcula el coe!iciente de variaci%n * di cu$l de las dos especies tiene ma*or variaci%n relativa en los pesos"
E jercicio nº 18.- l tiempo medio empleado en la !abricaci%n de un cierto producto, A, es de 235 minutos con una desviaci%n t&pica de 55 minutos" n otro producto, B, el tiempo medio empleado en su !abricaci%n es de 42 minutos, con una desviaci%n t&pica de minutos" Balcula el coe!iciente de variaci%n * di en cu$l de los dos casos ha* ma*or variaci%n relativa" E jercicio nº 19.- 7a estatura media de un grupo, A, de personas es de 1 cm * su desviaci%n t&pica es de 12 cm" n otro grupo, B, la estatura media es de 154 cm * su desviaci%n t&pica, de - cm" Balcula el coe!iciente de variaci%n * compara la dispersi%n de ambos grupos" E jercicio nº 20.- 7a nota media de una clase, A, en un eamen ha sido 5,5, con una desviaci%n t&pica de 2,1" n otra clase, B, la nota media en el mismo eamen ha sido -,3 * la desviaci%n t&pica, de 2," Balcula el coe!iciente de variaci%n * compara la dispersi%n de ambos grupos"
SOLUCIÓN PROBLEMAS DE ESTADÍSTICA Ejercicio nº 1.- Al preguntar a 20 individuos por el número de personas que viven en su casa, hemos obtenido las siguientes respuestas: 5
3
4
4
1
2
4
4
5
3
4
4
3
5
4
3
2
4
5
3
a) labora una tabla de !recuencias" b) #epresenta gr$!icamente la distribuci%n" Solución: a) x i
f i
1 2 3 4 5
1 2 5 8 4 20
b)
E jercicio nº 2.- n una empresa de tele!on&a est$n interesados en saber cu$l es el número de aparatos tele!%nicos 'incluidos tel(!onos m%viles) que se tiene en las viviendas" e hace una encuesta *, hasta ahora, han recibido las siguientes respuestas: 2
2
1
2
3
4
3
2
4
3
4
3
3
1
2
3
2
3
2
3
a) labora una tabla de !recuencias" b) #epresenta gr$!icamente la distribuci%n" Solución: a)
x i
f i
1 2 3 4
2 7 8 3 20
b)
Ejercicio nº 3.- +emos preguntado a 20 personas por el número medio de d&as que practican deporte a la semana * hemos obtenido las siguientes respuestas: 3
3
2
1
3
1
0
2
-
3
2
3
4
3
5
3
2
a) +a. una tabla de !recuencias" b) #epresenta gr$!icamente la distribuci%n"
Solución: a)
b)
x i
f i
0
1
1
2
2
4
3
7
4
1
5
1
6
3
7
1 20
Ejercicio nº 4.- +emos lan.ado un dado 20 veces * hemos ido anotando los resultados que obten&amos: 2
3
5
3
1
5
4
2
3
5
3
2
1
5
4
4
1
1
a) /rdena estos datos en una tabla de !recuencias" b) #epresenta gr$!icamente la distribuci%n"
Solución: a) x i
f i
1 2 3 4 5 6
4 3 4 3 4 2 20
b)
E jercicio nº 5.- n una clase se ha reali.ado un eamen tipo test de 40 preguntas" l número de respuestas correctas conseguidas por cada uno de los alumnos de esa clase ha sido: 20
10
40
5
30
40
20
10
15
20
25
30
10
30
40
20
10
5
25
30
a) #esume estos datos mediante una tabla de !recuencias" b) #epresenta gr$!icamente esta distribuci%n"
Solución: a)
x i
f i
5
2
10
4
15
1
20
4
25
2
30 35 40
4 0 3 20
b)
Ejercicio nº 6.- e un grupo de 30 personas hemos ido apuntando la edad de cada uno, obteniendo lo siguiente: 3
25
30
5
-
1
25
23
35
43
2
1-
15
12
4
3-
32
41
3
2
2
15
1
20
1
2-
25
40
a) +a. una tabla de !recuencias, agrupando los datos en los intervalos: 0 4, 5 , 10 14, 15 1, 20 24, 25 2, 30 34, 35 3, 40 44 b) #epresenta gr$!icamente la distribuci%n"
Solución: a)
Intervalo
Frecuencia
0-4
2
5-9
4
10 - 14
1
15 - 19
6
20 - 24
2
25 - 29
7
30 - 34
2
35 - 39
3
40 - 44
3 30
b)
Ejercicio nº 7.- n un reconocimiento m(dico que se ha reali.ado en un grupo de 30 nios, uno de los datos que se han tomado ha sido el peso, en 6ilogramos, de cada uno, obteniendo los siguientes resultados: 30
32
2-
25
33
34
32
32
25
40
33
35
3
30
33
35
34
3-
32
3-
35
34
30
2
2
32
31
33
2
34
a) +a. una tabla de !recuencias, agrupando los datos en intervalos de longitud 3, empe.ando en 24,5" b) #epresenta gr$!icamente la distribuci%n"
Solución: a) Intervalo
Frecuencia
24,5 - 27,5
3
27,5 - 30,5
6
30,5 - 33,5
10
33,5 - 36,5
8
36,5 - 39,5
2
39,5 - 42,5
1 30
b)
Ejercicio nº 8.- n una clase del instituto se ha preguntado a los alumnos por el número de horas que dedican a la semana a estudiar" 7as respuestas han sido las siguientes: 15
10
1
12
10
5
1
-
10
12
15
20
2
3
4
10
5
3
10
5
10
1
1
10
2
3
10
a) /rdena los datos en una tabla de !recuencias, agrup$ndolos en los intervalos: 0 2, 3 5, , 11, 12 14, 15 1-, 1 20 b) #epresenta gr$!icamente la distribuci%n"
Solución: a)
Intervalo
Frecuencia
0-2
3
3-5
7
6-8
3
9 - 11
9
12 - 14
2
15 - 17
5
18 - 20
1 30
b)
Ejercicio nº 9.- n unas pruebas de velocidad se ha cronometrado el tiempo que tardaba cada participante en recorrer cierta distancia !i8a" 7os tiempos obtenidos, en segundos, han sido los siguientes: 10
,5
, 3 ,1 , 2 , 4
10
,3 ,3
14,5
14
12
13
10,1 ,2 10
,5
10
,1 ,2 ,1 ,5
12
,1
a) labora una tabla de !recuencias, agrupando los datos en intervalos de longitud 1, empe.ando en -," b) #epresenta gr$!icamente la distribuci%n"
Solución: a)
Intervalo
Frecuencia
7,9 - 8,9
12
8,9 - 9,9
8
9,9 - 10,9
5
10,9 - 11,9
0
11,9 - 12,9
2
12,9 - 13,9
1
13,9 - 14,9
2 30
b)
1
Ejercicio nº 10.- +emos medido la estatura, en cent&metros, de 30 personas, obteniendo los siguientes resultados: 13 15 1 0 14 1 3
1 1 -5 1 1 5 1 0
11 14 1 - 1 1 55
13 1 4 1 1 4 1 -
1- 1 1 5 1 - 1
14 1 50 1 1 4- 1 -0
a) labora una tabla de !recuencias, agrupando los datos en intervalos de longitud 5, empe.ando en 14,5" b) #epresenta gr$!icamente la distribuci%n"
Solución: a)
Intervalo
Frecuencia
146,5 - 151,5
2
151,5 - 156,5
1
156,5 - 161,5
4
161,5 - 166,5
12
166,5 - 171,5
10
171,5 - 176,5
1 30
b)
E jercicio nº 11.- +alla la media * la desviaci%n t&pica correspondientes a la siguiente distribuci%n de edades: 9ntervalo
05
5 10
10 15
15 20
20 25
25 30
:recuencia
3
12
15
2
;
1
Solución: Hallamos la marca e clase,
x
x i ,
e caa intervalo ! con"eccionamos la tabla# 2
Intervalo
x i
f i
x i f i
0-5
2,5
3
7,5
18,75
5 - 10
7,5
9
67,5
506,25
10 - 15
12,5
12
150
1875
15 - 20
17,5
9
157,5
2 756,25
20 - 25
22,5
15
337,5
7593,75
25 - 30
27,5
2
55
1512,5
50
775
14 262,5
f x i i
Σ f i x i = 775 = 15,5 = n 50
σ=
Σ f i x i 2 n
− x 2 =
14262,5 50
2 − 15,5 = 45 = 6,71
$a ea meia el %ru&o es e 15,5 a'os, con una esviaci(n t&ica e 6,71 a'os* +e 50 &ersonas, 3 + 9 + 12 = 24 tienen menos e 15 a'os* or tanto# 24 ⋅ 100
= 48 50 $ue%o el 48 tienen menos e 15 a'os* Ejercicio nº 12.- n un autobús escolar se les pregunta a los alumnos por el tiempo que tardan en llegar de su casa al autobús" 7os resultados se recogen en la siguiente tabla:
>9?@/ 'minutos)
05
5 10
10 15
15 20
20 25
"° de alumnos
20
13
1
5
4
Balcula la media * la desviaci%n t&pica de esta distribuci%n" ;
1
x
2
Intervalo
x i
f i
x i f i
f i xi
0-5
2,5
20
50
125
5 - 10
7,5
13
97,5
731,25
10 - 15
12,5
18
225
2 812,50
15 - 20
17,5
5
87,5
1 531,25
20 - 25
22,5
4
90
2 025
60
550
7 225
Σ f i x i = 550 = 9,17 = n 60
σ=
Σ f i x i 2 n
7225
− x 2 =
60
2 − 9,17 = 36,33 = 6,03
$os alumnos taran, &or t.rmino meio, 9,17 minutos, con una esviaci(n t&ica e 6,03 minutos* +e un total e 60 alumnos taran m/s e 10 minutos 18 + 5 + 4 = 27 alumnos* $ue%o# 27 ⋅ 100 = 45 60 l 45 e los alumnos taran m/s e 10 minutos*
Ejercicio nº 13.- +emos lan.ado un dado 100 veces, anotando el resultado obtenido cada ve." 7a in!ormaci%n queda re!le8ada en la siguiente tabla:
a) Balcula la media * la desviaci%n t&pica" x − C * x + C =
b) ;
c) ;n qu( tanto por ciento de los lan.amientos reali.ados, se ha obtenido una puntuaci%n ma*or que la media=
Solución: a) x
i
f
i
x i f
i
f i x
2 i
1
12
12
12
2
20
40
80
3
10
30
90
4
15
60
240
5
20
100
500
6
23
138
828
100
380
1750
x
=
Σ f i x i = 380 = 3,8 100
n
Σ f i x i 2
σ=
n
− x 2 =
1750 100
− 3,82 = 3,06 = 1,75
Hemos obtenio una &untuaci(n meia e 3,8, con una esviaci(n t&ica e 1,75 &untos* b)
− σ = 2,05 n el intervalo ( 2,05 5,55 ) a! 45 resultaos, ue re&resentan un 45 el total* x + σ = 5,55 x
c) +e un total e 100 lanamientos, se a obtenio una &untuaci(n ma!or ue la meia en 15 + 20 + 23 = 58 lanamientos* $ue%o en el 58 e los lanamientos se obtiene como resultao un nmero ma!or ue x *
Ejercicio nº 14.- 7as notas de una clase obtenidas en un eamen de matem$ticas vienen recogidas en la siguiente tabla: Aota
1
2
3
4
5
-
10
"° de alumnos
1
1
2
2
4
5
3
3
2
a) Balcula la media * la desviaci%n t&pica" x − C * x + C ?
b) ;
c) ;
Solución: a)
x
=
σ=
2
x i
f i
x i f i
f x i i
1
1
1
1
2
1
2
4
3
2
6
18
4
2
8
32
5
6
30
150
6
4
24
144
7
5
35
245
8
3
24
192
9
3
27
243
10
2
20
200
29
177
1 229
Σ f i x i n
=
Σ f i x i 2 n
177
29
= 6,1
− x 2 =
1229 29
− 6,12 = 5,17 = 2,27
$a nota meia e la clase es e 6,1, con una esviaci(n t&ica e 2,27* b) x − σ = 3,83 ntre 3,83 ! 8,37 a! 20 alumnos, ue re&resentan un 68,97 el total* x + σ = 8,37 1
c) or encima e 6,1 a! 13 alumnos, ue re&resentan un 44,83 el total*
Ejercicio nº 15.- Al preguntar en 50 !amilias por el número de personas que !orman el hogar !amiliar, hemos obtenido la in!ormaci%n que se recoge en la siguiente tabla:
a) Balcula la media * la desviaci%n t&pica" b) ;
Solución: a) x
x
=
σ=
f
2
i
x i f
1
3
3
3
2
10
20
40
3
23
69
207
4
9
36
144
5
3
15
75
6
2
12
72
50
155
541
i
i
f i x i
Σ f i x i = 155 = 3,1 50
n
Σ f i x i 2 n
− x 2 =
541
− 3,12
1,21 = 1,1
=
50
l nmero meio e &ersonas ue "orman el o%ar "amiliar es e 3,1, con una esviaci(n t&ica e 1,1 &ersonas* b) x − σ = 2 x
+ σ = 4,2
n el intervalo
[ 2 4,2 ]
a! 42 "amilias, ue re&resentan un 84 el total*
c ) or ebao e x = 3,1 a! 3 + 10 + 23 = 36 "amilias e un total e 50* $ue%o# 36 ⋅ 100 = 72 50 l 72 e las "amilias est/n &or ebao e la meia*
E jercicio nº 16.- l sueldo medio de los traba8adores de una empresa, A, es de 00 euros al mes, con una desviaci%n t&pica de 100 euros" n otra empresa, B, el sueldo medio es de 0 euros al mes con una desviaci%n t&pica de 150 euros" Balcula el coe!iciente de variaci%n * di cu$l de las dos empresas tiene ma*or variaci%n relativa en los sueldos"
1
Solución: ** A = **B =
σ
A
x A
σB x B
=
100
=
= 0,11 → 11- 900
150 980
= 0,15
$a variaci(n es ma!or en la em&resa → 15-
B*
Ejercicio nº 17.- l peso medio de una especie de animales, A, es de 21,3 6g * la desviaci%n t&pica es de 2,5 6g" n otra especie de animales, B, el peso medio es de 125 6g * la desviaci%n t&pica es de 13 6g" Balcula el coe!iciente de variaci%n * di cu$l de las dos especies tiene ma*or variaci%n relativa en los pesos"
Solución: ** A = **B =
σ
A
x A
σB x B
=
2,5
= 0,117 → 11,7- 21,3 13
$a variaci(n es un &oco ma!or en la &rimera*
= = 0,104 → 10, 4- 125
E jercicio nº 18.- l tiempo medio empleado en la !abricaci%n de un cierto producto, A, es de 235 minutos con una desviaci%n t&pica de 55 minutos" n otro producto, B, el tiempo medio empleado en su !abricaci%n es de 42 minutos, con una desviaci%n t&pica de minutos" Balcula el coe!iciente de variaci%n * di en cu$l de los dos casos ha* ma*or variaci%n relativa"
Solución: ** A = *.B
σ
A
x A
=
55
= 0,234 → 23, 4- 235
8 = σB = = 0,190 → 19 42
x B
$a variaci(n es menor en
B.
E jercicio nº 19.- 7a estatura media de un grupo, A, de personas es de 1 cm * su desviaci%n t&pica es de 12 cm" n otro grupo, B, la estatura media es de 154 cm * su desviaci%n t&pica, de - cm" Balcula el coe!iciente de variaci%n * compara la dispersi%n de ambos grupos"
Solución: ** A =
σ
A
x A
=
12
7 **B = σB = 0,045 = x B
= 0,071 → 7,1 168 154
$a is&ersi(n es ma!or en el %ru&o → 4,5-
A*
E jercicio nº 20.- 7a nota media de una clase, A, en un eamen ha sido 5,5, con una desviaci%n t&pica de 2,1" n otra clase, B, la nota media en el mismo eamen ha sido -,3 * la desviaci%n t&pica, de 2," Balcula el coe!iciente de variaci%n * compara la dispersi%n de ambos grupos" 1
Solución: ** A = **B =
σ
A
x A
σB x B
= =
2,1
= 0,382 → 38,2- 5,5 2,6 7,3
= 0,356 →
$a variaci(n es un &oco ma!or en el %ru&o 35,6-
A*
1