RESOLUCION DE EJERCICIOS DE ESTADISTICA ESTADISTICA II 28 de agosto de 2014 EJERCICIOS DE LA pag:624 (1-7)
1. Ejercicio N 01 (a) 2 si r = = 10 hallar x 0,01
˘ soluci Ałn 2 ≤ a ] = 0,01 P [ X 10
(b) 2 = 29 hallar x 0,975 si r =
˘ soluci Ałn 2 ≤ 0,975] = 16,047 P [ X 29
2. Ejercicio N 02 2 ,hallar las constantes a y b tales que si X es x 12 P [a < X < P [ X < < b ] = 0,90 y P < a ] = 0,05 2 X es es X 12 hallar a y y b b
˘ soluci Ałn
(a) P [a < X 2 < b ] = 0,90 P [ X 2 < b ] − P [ X 2 < a ] = 0,90 2 < b ] − P [ X 2 < a ] = 0,90 P [ X 12 12 2 < b ] − 0,05 = 0,90 P [ X 12 2 < b ] = 0,95 P [ X 12 b = 21,0
(b) P [ X 2 < a ] = 0,05 a = 5,23
1
3. Ejercicio N 03 ˘ chi-cuadrado con 19 grados de libertad, si X es una variable aleatoria que tiene distribuci Ałn ˘ P [ X ≥ 20] ; (c ) P [16 ≤ X ≤ 21] soluci Ałn calcular: (a ) P [ X ≤ 20] ; (b )
(a) 2 ≤ 20] interpolando p [ X 19 2 ≤ 20] = 0,61 p [ X 19
(b) 2 ≥ 20] p [ X 19 2 ≤ 20] interpolando 1 − p [ X 19 = 1 − o ,28
p = 0,28
= 0,72 (c)
2 ≤ 21] p [16 ≤ X 19 2 ≤ 21] − P [ X 2 ≤ 16] P [ X 19 19
= 0,66 − 0,34 = 0,32
4. Ejercicio N 04 suponga que X 1 , X 2 ,..., X 10 es una muestra aleatoria de una variable aleatoria normal est A˘ An˛ dar.Calcular: P [2,56 < 10 X 2 < 18,3] i =1 i ˘ soluci Ałn
P [2,56 < 10 X 2 < 18,3] i =1 i P [ X 92 < 18,3] − P [ X 92 < 2,56]
= 0,97 − 0,022 = 0,948
5. Ejercicio N 05 en el problema 4.Calcular P [S 2 < 1,88], donde S 2 es la varianza de la muestra. ˘ soluci Ałn 2
S < 1,88(9) P [ (n −σ1) 2 1 ] P [ X 92 < 16,92] = 0,9502]
2
6. Ejercicio N 06 ˘ chi-cuadrada con 7 grados de libertad y X 2 tiene una distribusi X 1 tiene una distribuci Ałn ˘ con tras grados de libertad, independiente de X 1, calcularla probabilidad que X 1 + X 2 exceda ci Ałn a 12. ˘ soluci Ałn P [ X 72 + X 32 > 12] 2 > 12] P [ X 10 = 1 − P [ X 102 ≤ 12]
= 1 − 0,7125 = 0,2875
7. Ejercicio N 07 2
 z˙ cu A˘ Antas ˛ observaciones son necesarias para asegurar que P [0,618 ≤ σS 2 ≤ 1,60] ≥ 0,95?donde S 2 es la varianza de la muestra, tomada de una variable aleatoriay distribuida normalmente con media µ y varianza σ2 ˘ soluci Ałn
EJERCICIOS DE LA pag:597 (1-15)
8. Ejercicio N 1 una poblacion consiste de las edades de los ni A˘ aos ˛ de una familia de cuatro ni A˘ aos. ˛ en las edades son: 2,4,6 y 8 a A˘ aos ˛ .
(a) ˘ est A˘ Andar ˘ . σ de la poblaci Ałn determinar la media µ y la desviaci Ałn ˛ 20 µ= 4 =5 2 (2 −5)2 +(4−5)2 +(6−5)2 +(8−5)2 σ = 4 2 9 +1+1+9 = 5 σ = σ
=
5
4
(b) 2 4 6 8
2 4 6 8 0 (2,4) (2,6) (2,8) (4,2) 0 (4,6) (4,8) (6,2) (6,4) 0 (6,8) (8,2) (8,4) (8,6) 0
estos son las medias muestrales para la tabla anterior de 2 ni A˘ aos ˛ que pueden de esta familia
3
seleccionarse
0 3 4 5
3 0 5 6
4 5 0 7
5 6 7 0
9. ejercicio Nro 2 ˘ la distribuci Ałn ˘ de la poblaci Ałn ˘ X por muestreo con n=2 de una poblaci Ałn ˘ 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.suEvalu AŠ ˘ (b) sin reposici Ałn ˘ ponga que se hace el muestreo (a)con reposici Ałn ˘ de una distribuci Ałn ˘ de muestreo supone enumerar todo los valores posibles Nota : la evaluaci Ałn ˘ de la estad Astica con probabilidad asociada , calcular su valor esperado y su error est A˘ Andar ˛
(a) con reposicion 0 (0,0) (1,0) (2,0) (3,0) (4,0) (5,0) (6,0) (7,0) (8,0) (9,0)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 (0,1) (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1) (7,1) (8,1) (9,1)
2 (0,2) (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2) (7,2) (8,2) (9,2)
3 (0,3) (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3) (7,3) (8,3) (9,3)
4 (0,4) (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4) (7,4) (8,4) (9,4)
5 (0,5) (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5) (7,5) (8,5) (9,5)
6 (0,6) (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6) (7,6) (8,6) (9,6)
7 (0,7) (1,7) (2,7) (3,7) (4,7) (5,7) (6,7) (7,7) (8,7) (9,7)
8 (0,8) (1,8) (2,8) (3,8) (4,8) (5,8) (6,8) (7,8) (8,8) (9,8)
9 (0,9) (1,9) (2,9) (3,9) (4,9) (5,9) (6,9) (7,9) (8,9) (9,9)
2 (0,2) (1,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2) (7,2) (8,2) (9,2)
3 (0,3) (1,3) (2,3) (4,3) (5,3) (6,3) (7,3) (8,3) (9,3)
4 (0,4) (1,4) (2,4) (3,4) (5,4) (6,4) (7,4) (8,4) (9,4)
5 (0,5) (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (6,5) (7,5) (8,5) (9,5)
6 (0,6) (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (7,6) (8,6) (9,6)
7 (0,7) (1,7) (2,7) (3,7) (4,7) (5,7) (6,7) (8,7) (9,7)
8 (0,8) (1,8) (2,8) (3,8) (4,8) (5,8) (6,8) (7,8) (9,8)
9 (0,9) (1,9) (2,9) (3,9) (4,9) (5,9) (6,9) (7,9) (8,9) -
(b) sin reposicion 0 (1,0) (2,0) (3,0) (4,0) (5,0) (6,0) (7,0) (8,0) (9,0)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 (0,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1) (7,1) (8,1) (9,1)
distribuciones de probabilidad de la muestras _
X _
P ( X )
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
(1/100) (2/100) (3/100) (4/100) (5/100) (6/100) (7/100) (8/100) (9/100) (10/100) (9
4
10. EJERCICIO Nro 3 ˘ constituida por 2,4,6. Calcular: si X es una poblaci Ałn ˘ Se extrae una muestra de tama A˘ ao (a) la media µ y la varianza σ de la poblaci Ałn. ˛ 54 con empla˘ Calcular zamiento de la poblaci Ałn. _ _ _ ˘ ˘ σ de las X (b) la media_ µ X y la desviaci Ałn est A Andar ˛ X (c) P [4,1 < X < 4,4] ˘ N:2,4,6 soluci Ałn
(a) 2
µ
= 2 +43+6 = 4
= 2 +(4−4)2 +(6−4)2 = 4+0+4 = 2,7 = (2 −4) 3 3 s i g m a = 2,7 = 1,64
σ
2 σ
10.1. (b) n = 54
sabemos que 2
σ_ X
2 σ
= µ = 4
µ_ X
= n = 2,7 54 = 0,05
10.2. (c) _
_ P [4,1 < X <_4,4] P [ X _ ≤ 4,4] − P [ X ≤ 4,1] _
−4 ] − P [ X − ≤ 4,1−4 ] ≤ 4,41,64 1,64 54 54 = 0,96327 − 0,67364 = 0,28963 X −µ
P [ σ n
µ
σ
n
11. EJERCICIO Nro 4 ˘ X que consiste en 8 billetes de 5 soles cada 1 y 2 billetes de 10 soles considere una poblaci Ałn cada 1. Determine la E ( X ) y la V ar (x ). _ ˘ X ponga los billetes en una urna y seleccione al azar 2 billetes con reposici Ałn. Sea la media muestral _
˘ _ de probabilidad de X (a) halle la distribuci Ałn _ ˘ de que (a) calcule E ( X ) y V ar ( X ) que se verifica? repita el experimento anterior con la excepci Ałn ˘ se selecciona los 2 billetes al azar sin reposici Ałn ˘ soluci Ałn
(a)
5
(b)
12. EJERCICIO Nro 5 ˘ con media 25 y varianza 10 se extrae una muestra aleatoria de 25 observade una poblaci Ałn ciones (a) cual es la probabilidad que la media muestral se encuentre entre 24 y 27 ˘ datos (b) que supone para responder (a) soluci Ałn µ = 25 (σ2 ) = 10 y n = 25
(a) σ
2
= 1025 = 2
2 luego tenemos _ P [24 ≤ X ≤_ 27] −25 ≤ X −µ ≤ 27 −25 ] P [ 24 σ 2 2 P [ Z ≤ 2,12] − P [ Z ≤ 0,71] = 0,98300 − 0,76115 = 0,22185 σ
=
(b) que supone para responder (a) por el teorema central de limites ya que el numero de muestras es menor a 30
13. EJERCICIO Nro 6 ˘ con distribuci Ałn ˘ Sea X 1 , X 2 ,..., X 36 . Una muestra aleatoria de tama A˘ ao ˛ 36 de una poblaci Ałn ˘ ˘ de probabilidad es geom AŠtrica cuya funci Ałn f ( x ) = (1/4)x (3/4) , x _= 0,1,2,3,4..... calcular : (a) P [1/4 < X < 1/2] (b) P [10 < 36 i =1 X i < 13]
14. EJERCICIO Nro 7 _
sea X la media de una muestra aleatoria de 12 observaciones, de una variable aleatoria con ˘ _ de distribuci Ałn ˘ uniforme en el intervalo [0,1]. Calcular aproximadamente funci Ałn 1 2 P [ 2 ≤ X ≤ 3 ] ˘ soluci Ałn
datos: n=12 µ
= a +2 b = 0 +2 1 = 12 6
= ( b _−12a )2 = (1 −120)2 = 121 P [ 12 ≤ X ≤ 23 ] _ X − − 1/2 1/2 −1/2 ] P [ 1/12 ≤ ≤ 2/3 1/12 12 12 P [ Z ≤ 2] − P [ Z ≤ 0] = O ,97725 − 0,50000 = 0,47725 σ
2
µ
σ
n
15. EJERCICIO Nro 8 ˘ En determinada ciudad grande 1/3 de las familias no tienen autom Ałvil,1/3 tiene 1, 1/6 tiene ˘ ˘ 2, 1/12 tiene 3 y 1/12 tiene 4 autom Ałvil. cada autom Ałvil tiene cinco llantas .Sea X la variable aleatoria que representa el numero de llantas por familia .Se toma una muestra aleatoria de 100 familias .Determinar
(a) ˘ est A˘ Andar la media µx y la desviaci Ałn ˛ σ de la media muestral
(b) _
P [ X < 5]
16. EJERCICIO Nro 9 unamaquina vendedorade refrescos esta regulada de modo que la cantidad despachada tenga ˘ normal con u = 7 y σ = 0,5 onzas si se toman muestras de 9 vasos . una d distribuci Ałn
a de que valor exceder A˘ A˛ el 95 de las medias de la muestra ˘ u = 7 σ = 0,5 soluci Ałn n =_ 9 P [ X _ > a ] = 0,95 X −µ −7 P [ > a 0,5 ] = 0,95 σ
n
9
1 − P [ Z < P 0] = 0,95 P [ Z < P 0 ] = 0,05 P 0 = −1,64 a −7 0,5 = −1,64 9
(b) es necesario que se cumpla el teorema central de limites para responder (a) explique si,que las muestras son menores que 30; el teorema central de limite garantiza para aproximarnos a una ˘ normal distribuci Ałn
7
17. EJERCICIO Nro 10 ˘ de los ejecutivos de una agencia de publicidad tiene las cuentas de gasto de representaci Ałn ˘ est A˘ Andar una media de 100 dolare por persona que una desviaci Ałn ˛ de 16 dolares por persona . si se selecciona muestras aleatorias de 16 cuentas datos : µ = 100 σ = 16 n = 16
a _
por abajo de que valor el dinero caer A˘ A˛ el 99porciento de las medias muestrales ? P [ X < a ] = 0,99_ X −µ P [ < a − 16100 ] = 0,99 n 16 a −100 p [ Z < ] = 0,99 σ
4
a = 109,32
b _
˘ de las medias muestrales estar A˘ A˛ entre 90 dolar y 110 dolares ? P [90 < X < que proporci Ałn 110] _ X −µ 110 −100 − 90 100 P [ 4 < < ] 4 σ
n
P [ Z < 2,5] − P [ Z < −2,5]
= 0,99379 − 0,00621 = 0,98758 c
˘ se debe hacer para resolver (a) y (b) se debe cumplir el teorema central de que suposici Ałn limites
18. EJERCICIO Nro 11 de sus archivos , un ingeniero mec A˘ Anico ˛ observa que el tiempo empleado en ensamblar ˘ cierto dispositivo aun equipo se distribuye normalmente con media µ = 22 minutos y desviaci Ałn σ = 6 . el ingeniero planea ensamblar 16 de esos dispositivos hoy . suponga: datos est A˘ Andar ˛ µ = 22 σ = 6 1) que el tiempo en colocar un dispositivo es independiente en ensamblar otro; (2) y que estos 16 ensamblajes representan una muestra aleatoria de la experiencia pasada
a cual es la probabilidad que 25 minutos o mas sean el tiempo promedio por dispositivo para _ este_ ingeniero P [ X ≥ 25] X −µ P [ ≥ 25 −6 22 ] σ
n
16
= p [Z ≥ 2] = 1 − P [Z ≤ 2] = 1 − 0,9772 = 0,0228
8
b cual es la probabilidad de emplear 20 minutos o menos en el primer ensamble P [ X σ−µ ≤ 20 −6 22 ] = P [Z ≤ −0,33] = 0,3707
c con el fin de poder llegar a una cita para jugar golf ,el ingeniero tiene que emplear un promedio _ P X ≥ 20] de 20 minutos o menos por dispositivos cual es la probabilidad de poder llegar a la cita [ _ X −µ P [ ≥ 20 −6 22 ] σ
n
16
= P [Z ≥ −1,33] = 1 − P [Z ≤ −1,33] = 1 − 0,0918 = 0,9082 d
el ingeniero empieza a las 8 A.M si en el almuerzo se demora 40 minutos ,a que hora es la cita para el golf se sabe que el ingeniero llega a la cita de golf si emplea un promedio de 20 minutos o menos por dispositivo . de esta manera se demora 20 ∗ 16 = 320 minutos a los mas en ensamblar los dispositivos, mas el tiempo que demora en almorzar de un total de 360 minutos en total (6 horas) si comienza a las (8 A.M) la cita sera a a las 14 horas(2 P.M)
19. EJERCICIO Nro 12 el numero de clientes por semana en cada tienda de una cadena de autoservicio tiene una ˘ est A˘ Andar media poblacional µ = 5000 clientes y una desviaci Ałn ˛ σ = 500.si se selecciona una muestra aleatoria de 25 tiendas datos
= 5000 σ = 500 µ
n = 25
(a) Cual es la probabilidad que la media muestral se inferior a 5075 clientes por semana _
P [ X _ ≤ 5075] X −µ
−5000 ] P [ σ ≤ 5075100 n p [ Z ≤ 0,75]
=
0,77337
9
(b) Dentro de que limite se puede tener la certeza que caer A˘ A˛ el 95 por ciento de las medias mues˘ trales alrededor de la media poblaci Ałn _ P [µ − x < X <_ µ + x ] = 0,95 (µ−x )−µ X −µ ( µ+x )−µ < < ] = 0,95 p [ n n n − x x P [ < Z < ] = 0,95 σ
100
σ
σ
100
x x P [ Z < 100 ] − P [ Z < − 100 ] = 0,95 x x P [ Z < 100 ] − (1 − P [ Z < 100 ]) = 0,95 x 2P [ Z < 100 ] = 1,9512 x 2P [ Z < 100 ] = 1,9512 x = 196
20. EJERCICIO Nro 13 ˘ est A˘ Andar cierta marca de bombillas tiene una vida media de 257.1 horas y una desviaci Ałn ˛ de ˘ el AŠc˘ 20 horas . Un pasadizo sin ventana de un edificio de apartamentos , tiene una instalaci Ałn trica ,planeada para iluminar continuamente . El pasadizo consiste de 4 bombillas , pero solo una ˘ se enciende a las ves. Cuando esta se quema , la pr Ałxima bombilla se enciende autom A˘ Atica˛ ˘ ,el mente .Este proceso continua hasta que se quemen las 4 bombillas, cada semana al medio d Aa administrador viene y reemplaza las cuatro bombillas . cual es la probabilidad que se quemen las 4 bombillas antes que llegue el administrador para reemplazarlo ˘ soluci Ałn datos: ˘ stil de una bombilla X:vida A¸ µ = 357,1 σ = 20 n = 4 P [se qumen l as 4 bombillas ] _ < 252] p [ X _ X −µ 252 −257,1 < 20 ] P [ σ µ
P [ Z < −0,51]
2
= 0,6949
21. EJERCICIO Nro 14 un fabricante de radio recibe semanalmente un cargamento de 100,000 pilas de 6 voltios . para ˘ stil decidir si acepta o rechaza el cargamento , utiliza la siguiente regla de muestreo : mide la vida A¸ de 36 pilas de cada cargamento . si la media de la muestra es de 50 o mas horas acepta el cargamento en caso contrario , lo rechaza datos: N=100000 µ ≥ 50 acepta µ < 50 rechaza
10
(a) ˘ stil media de 49 horas y cual es la probabilidad de aceptar un cargamento que tiene una vida A¸ ˘ est A˘ Andar una desviaci Ałn ˛ de 3 horas ˘ soluci Ałn
= 49 σ=3 µ
_
P [ X _ ≥ 50] X −µ
P [ σ ≥ 50 −3 49 ] n 36 P [ Z ≥ 2] = 1 − P [Z ≥ 2]
= 1 − 0,97725 = 0,02775 (b)
˘ stil media de 50.5 y cual es la probabilidad de rechazar un cargamento que tiene una vida A¸ ˘ est A˘ Andar una desviaci Ałn ˛ de 3 horas ˘ soluci Ałn µ
= 50,3 _
P [ X _
> 50] X − 50,3 P [ < 50− 3 ] 36 P [ Z < 1] = 0,84134 µ
σ
n
(c) ˘ stil media de 50 horas cual es la probabilidad de rechazar un cargamento que tiene una vida A¸ cual de aceptarlo ˘ soluci Ałn µ
= 50 _
P [ X _ X
< 50] −µ < 50−50 ]
P [ σ n P [ Z < 0]
3
36
= 0,50000
11
22. EJERCICIO Nro 15 ˘ en frascos de 400 gramos para controlar el proceso un procesador de alimentos envasa caf AŠ , se utiliza la siguiente regla de muestreo : se selecciona 64 frascos cada hora si su peso medio es inferior aun valor critico L ,se define el proceso y se reajusta en caso contrario , se continua la ope˘ sin detener el proceso . determinar el valor de L de modo que haya una probabilidad de raci Ałn solo 0.05 debe detener el proceso cuando esta envasando a un promedio de 407.5 gramos con una ˘ desviaci Ałn est A˘ Andar ˛ de 2.5 gramos n = 64 µ < L de detiene el proceso µ > L continua el proceso _ P [ X _ < L ] = 0,05 X −µ P [ < L −407,5 ] 2,5 σ
n
8
P [ Z < Z 0 ] = 0,05 Z 0 = −1,64 L −407,5 2,5 8
= −1,64
L = 406,9875
12