4.74 Seguridad en el aeropuerto Suponga que, en una determinada ciudad, el aeropuerto A controla 50% del tránsito aéreo, y que los aeropuertos B y C manejan en los tres aeropuertos son 0.9, 0.5 y 0.4 respectivamente. Si se detecta que alguno de los pasajeros intenta pasar un arma, ¿Cuál es la probabilidad de que el pasajero este usando el aeropuerto A?, ¿el aeropuerto C? 𝑷(𝑨) = 𝟓𝟎% = 𝟎. 𝟓 𝑷(𝑩) = 𝟑𝟎% = 𝟎. 𝟑 𝑷(𝑪) = 𝟐𝟎% = 𝟎. 𝟐 Evento (D): detección de armas 𝑷(𝑫|𝑨) = 𝟎. 𝟗 𝑷(𝑫|𝑩) = 𝟎. 𝟓 𝑷(𝑫|𝑪) = 𝟎. 𝟒 Ley de la probabilidad total: 𝑃 (𝐷 ) = 𝑃 (𝐴 ∩ 𝐷 ) + 𝑃 (𝐵 ∩ 𝐷 ) + 𝑃 (𝐶 ∩ 𝐷 ) 𝑃(𝐷) = 𝑃(𝐴). 𝑃(𝐷 |𝐴) + 𝑃(𝐵). 𝑃(𝐷|𝐵) + 𝑃(𝐶). 𝑃(𝐷|𝐶 ) 𝑃(𝐷) = 0.5 ∗ 0.9 + 0.3 ∗ 0.5 + 0.2 ∗ 0.4 𝑷(𝑫) = 𝟎. 𝟒𝟓 + 𝟎. 𝟏𝟓 + 𝟎. 𝟎𝟖 𝑷(𝑫) = 𝟎. 𝟔𝟖 ¿Cuál es la probabilidad de que el pasajero este usando el aeropuerto A? ¿el aeropuerto C? 𝑷(𝑨|𝑫) = 𝑷(𝑪|𝑫) =
𝑷(𝑨∩𝑫)
𝑷(𝑨).𝑷(𝑫/𝑨) 𝟎.𝟓∗𝟎.𝟗
𝑷(𝑫) 𝑷(𝑪∩𝑫)
𝑷(𝑫) 𝟎.𝟔𝟖 𝑷(𝑪).𝑷(𝑫/𝑪) 𝟎.𝟐∗𝟎.𝟒
𝑷(𝑫)
=
=
=
𝑷(𝑫)
=
𝟎.𝟔𝟖
=0.66
=0.12
4.75 Estrategia de futbol Se sabe que un determinado equipo de futbol americano ejecuta 30% de sus jugadas por la izquierda y 70% por la derecha. Un linebacker del equipo contrario observa que el defensa derecho, cambia su posición la mayoría de las veces (80%) cuando el juego va por la derecha y adopta una posición de equilibrio el resto de las veces. Cuando el juego va por la izquierda, el defensa toma una posición de equilibrio 90% de las veces y la posición modificada el restante 10%. En un juego determinado el linebacker observa que el defensa adopta una posición de equilibrio. J: jugadas por la izquierda P (J)= 30 % = 0.3 J’: jugadas por la derecha P (J’)= 70 % = 0.7
SOLUCION: Evento E: posición de equilibrio 𝑷(𝑬|𝑱)=90%=0.9 P (J) 𝑷(𝑬′|𝑱)=90%=0.1 𝑷(𝑬|𝑱′)=20%=0.2 P (J’) 𝑷(𝑬′|𝑱′)=80%=0.8
Ley de la probabilidad total: 𝑃(𝐷) = 𝑃(𝐽 ∩ 𝐸 ) + 𝑃(𝐽′ ∩ 𝐸 ) 𝑃(𝐷) = 𝑃(𝐽). 𝑃(𝐸 |𝐽) + 𝑃(𝐽′). 𝑃(𝐸|𝐽′) 𝑃(𝐷) = 0.3 ∗ 0.9 + 0.7 ∗ 0.2 𝑃(𝐷) = 0.27 + 0.14 𝑃(𝐷) = 0.41 a. ¿Cuál es la probabilidad del que el juego vaya por la izquierda? 𝑃 (𝐽 | 𝐸 ) =
𝑃(𝐽∩𝐸) 𝑃(𝐸)
=
𝑃(𝐽).𝑃(𝐸/𝐽) 0.3∗0.9 𝑃(𝐸)
=
0.41
=0.6585
𝑷(𝑱|𝑬) = 𝟎. 𝟔𝟓𝟖𝟓 b. ¿del que el juego vaya por la derecha? 𝑃(𝐽′|𝐸 ) =
𝑃(𝐽′∩𝐸) 𝑃(𝐸)
=
𝑃(𝐽′).𝑃(𝐸/𝐽′) 0.7∗0.2 𝑃(𝐸)
=
0.41
=0.3415
𝑷(𝑱′|𝑬) = 𝟎. 𝟑𝟒𝟏𝟓
c. si usted fuera el linebacker, ¿en qué dirección atacaría si observa la posición de equilibrio? Izquierda
4.76 Reprobado, no juega Muchas escuelas públicas se rigen por la regla “No apruebas, no juegas” para los atletas. Según este sistema, un alumno que no aprueba un curso queda descalificado y no participa en las actividades extracurriculares durante el periodo siguiente. Suponga que la probabilidad de un atleta que no ha sido descalificado sea calificado es de 0.15 y la probabilidad de que un atleta que ha sido calificado, sea descalificado de nuevo en el siguiente periodo es de 0.5. Si el 30% de los atletas han sido descalificados antes. ¿Cuál es la probabilidad de que un atleta sea descalificado para el siguiente periodo? SOLUCION: C C´
D 𝑪∩𝑫 𝑪´ ∩ 𝑫
D´ 𝑪 ∩ 𝑫´ 𝑪´ ∩ 𝑫´
𝑷(𝑫|𝑪´) = 𝟎. 𝟏𝟓 𝑷(𝑫´|𝑪´) = 𝟎. 𝟓 𝑷(𝑫) = 𝟎. 𝟕 𝑷(𝑫´) = 𝟎. 𝟑 𝑃(𝐶´) = 𝐶´ ∩ 𝐷 + 𝐶´ ∩ 𝐷´ 𝑃(𝐶´) = 𝑃(𝐷) ∗ 𝑃(𝐷|𝐶´) + 𝑃(𝐷´) ∗ 𝑃(𝐷´|𝐶´) 𝑃(𝐶´) = 0.7 ∗ 0.15 + 0.3 ∗ 0.5 𝑷(𝑪´) = 𝟎. 𝟐𝟔
4.77 Diagnósticos médicos Las historias de casos médicos indican de enfermedades diferentes producen síntomas idénticos. Suponga que un conjunto particular de síntomas, que se denotará como evento H .ocurre solo cuando se presenta cualquiera de tres enfermedades A, B o C. (Con el fin de simplificar el problema, se supondrá que las enfermedades A, B y C son mutuamente excluyentes.) Los estudios muestran estas probabilidades de padecer las tres enfermedades: 𝑷(𝑨) = 𝟎. 𝟎𝟏 𝑷(𝑩) = 𝟎. 𝟎𝟎𝟓 𝑷(𝑪) = 𝟎. 𝟎𝟐
Las probabilidades de manifestar los síntomas H, dada cada enfermedad específica, son: 𝑷(𝑯|𝑨) = 𝟎. 𝟗𝟎 𝑷(𝑯|𝑩) = 𝟎. 𝟗𝟓 𝑷(𝑯|𝑪) = 𝟎. 𝟕𝟓
Si se supone que una persona enferma manifiesta los síntomas H, ¿Cuál es la probabilidad de que padezca la enfermedad A?
SOLUCION: B
A
𝑷(𝑯|𝑨)
𝑷(𝑯´|𝑨)
𝑷(𝑯|𝑩)
C
𝑷(𝑯|𝑪)
𝑷(𝑯´|𝑩)
𝑷(𝑯´|𝑪)
𝑷(𝑯) = 𝑷(𝑨) ∗ 𝑷(𝑯|𝑨) + 𝑷(𝑩) ∗ 𝑷(𝑯|𝑩) + 𝑷(𝑪) ∗ 𝑷(𝑯|𝑪) 𝑷(𝑯) = 𝟎. 𝟎𝟑 𝑷(𝑨) = 𝟎. 𝟎𝟏 𝑷(𝑩) = 𝟎. 𝟎𝟎𝟓 𝑷(𝑪) = 𝟎. 𝟎𝟐 𝑷(𝑯|𝑨) = 𝟎. 𝟗𝟎 𝑷(𝑯|𝑩) = 𝟎. 𝟗𝟓 𝑷(𝑯|𝑪) = 𝟎. 𝟕𝟓
𝑷(𝑨|𝑯) =
𝑷(𝑨) ∗ 𝑷(𝑯|𝑨) 𝑷(𝑯)
𝑷(𝑨|𝑯) = 0.1 ∗ 0.9/0.03
𝑷(𝑨|𝑯) = 0.30
4.78 ¿Trampa en los impuestos? Suponga que 5% de todas las personas que llenan el formulario de impuestos sobre la renta busca deducciones que saben son ilegales, y que un 2% adicional lista de manera incorrecta las deducciones porque desconoce las regulaciones del impuesto sobre la renta. Del 5% culpable de evasión, 80% negara saber del error si lo confronta un investigador. Si quien llena el formulario hace una deducción injustificada y niega conocer el error al ser confrontado. ¿Cuál es la probabilidad de que sea culpable?
4.73 Error en el trabajador Una maquina operada por un obrero produce una pieza defectuosa con probabilidad de 0.01. Si el obrero sigue con exactitud las instrucciones de operación de la máquina, y con probabilidad de 0.03 si no lo hace. Si el obrero sigue las instrucciones 90% de las veces, ¿Qué proporción de todas la piezas producidas por la maquina será defectuosa?
𝑷(𝑪) = 𝟎. 𝟗 𝑷(𝑰) = 𝟎. 𝟏 𝑷(𝑫|𝑪) = 𝟎. 𝟎𝟏 𝑷(𝑫|𝑰) = 𝟎. 𝟎𝟑 𝑷(𝑫) = 𝑷(𝑪 ∩ 𝑫) + 𝑷(𝑰 ∩ 𝑫) 𝑷(𝑫) = 𝑷(𝑫|𝑪) ∗ 𝑷(𝑪) + 𝑷(𝑫|𝑰) ∗ 𝑷(𝑰) 𝑷(𝑫) = 𝟎. 𝟎𝟏 ∗ 𝟎. 𝟗 + 𝟎. 𝟎𝟑 ∗ 𝟎. 𝟏 𝑷(𝑫) = 𝟎. 𝟎𝟏𝟐
