TAREA # 1 PRESENTADO POR: DAYSI ASTUDILLO. 1.1.PROBLEMAS SOBRE VECTORES EN EL PLANO. 1) Encuentre la magnitud y dirección del vector dado. a) ⃗ = (4,-4)
Módulo: |⃗ |
Representación gráfica
√( ) √
( ) √
Ángulo: ( )
Figura 1.
b)
= (√ , 1) Módulo: |⃗ |
Representación gráfica
√(√ )
( )
√ Ángulo: ( ) √
Figura 2.
c) ⃗ = (-1, -√ )
Módulo: |⃗ |
√(
Representación gráfica )
( √ )
√ Ángulo: (
√
)
Figura 3 . 2) Encuentre la magnitud y dirección del vector ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ cuyo punto inicial P está en (2, 3) y punto final Q está en (5, 8). Representación gráfica Módulo: |⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |
)
√( √
(
)
Ángulo: (
)
Figura 4.
3) Sean ⃗ = (2, 3) y ⃗ = (-5, 4). Representación gráfica
⃗
⃗
( ( (
(
)
)
(
( )
)
) )
Figura 5. 4) Sean ⃗ =2 -3 ; ⃗ = - +2 ; ⃗⃗⃗ = 7 -2 , encuentre un vector unitario que tenga la misma dirección del vector dado: a)
⃗⃗ . Representación gráfica
⃗⃗⃗⃗⃗
(
)
√
(
(
)
) (
√ √
) √
√
Figura 6.
b) 2 ⃗ -3 . Representación gráfica ⃗
(
⃗
)
(
(
)
(
)
(
)
(
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗
)
)
(
) (
√ (
) )
(
√
) √
√
√
Figura 7. c) 3 ⃗ +8 . Representación gráfica ⃗
(
⃗
)
(
)
( (
)
(
) (
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗
)
(
)
√(
)
( )
(
)
(
√ √
)
) √
√
Figura 8.
5) Encuentre un vector ⃗ que tenga la magnitud y dirección dadas. a) ⃗ =8, α = . Desarrollo.Sabemos que ⃗
√
También sabemos que
(1)
( )
donde
√
Þ
luego se tiene que √
(2)
Luego reemplazando (2) en (1) √
Þ
(√
Þ
√
√
reemplazando este valor en (2) √ .
Tenemos que Luego el vector ⃗ será: ⃗
)
(
√ )
o ⃗
Gráficamente tenemos la siguiente figura:
Figura 9.
√ .
( )
b)
⃗
= 6, α =
.
Sabemos que ⃗
√
También sabemos que
(1) ( )
donde
luego se tiene que
Þ
√
√
(2)
Luego reemplazando (2) en (1) √
( √
( ) Þ
(√
Þ
)
) Þ Þ
Reemplazando este valor en (2), tenemos que Luego el vector ⃗ será: ⃗
(
√
√
√ )
o ⃗
Gráficamente tenemos la siguiente figura:
Figura 10.
puesto que √ . √ .
( )
6) Determine el ángulo entre los vectores: a) ⃗ = 5 +3 ; = -4 +3 . Representación gráfica (
)
√(
√
√
)(
√
Þ
)
√
(
√
)
Figura 11. b) ⃗ = +3 ; = 3 - . Representación gráfica ( √
√
Þ
)(
)
√
(
)
√
( )
Figura 12.
7) Diga si los vectores dados son ortogonales, paralelos o ninguna de las dos cosas. Dibuje cada par. a) ⃗ =3 +5 ; = -6 -10 . Representación gráfica (
)(
√ =
√
)
√(
)
(
)
(
)
√
Þ
Vectores paralelos pero de sentido contrario
Figura 13. b) ⃗ =2 +3 ; = 6 +4 . Representación gráfica (
√( )
√
√
Þ
)(
) ( )
√
( )
Vectores ni paralelos, ni ortogonales
Figura 14.
c) ⃗ =4 ; = -7 . Representación gráfica (
)(
)
√( )
√
√
√
(
)
√
Þ
( )
Son vectores ortogonales
Figura 15.
8) Sean ⃗ =3 +4 ; ⃗ = +α . Encuentre α tal que: a) ⃗ y sean ortogonales. Representación gráfica (
√( )
√
√
)(
√
) ( )
( )
Þ 3+4 Þ
Figura 16.
b) ⃗ y
sean paralelos Representación gráfica (
√( )
√
√
Þ
)(
√
) ( )
( )
( )
√
Þ Þ (
)
Þ Figura 17. , los vectores ⃗ =
9) Muestre que para cualquier par de números reales y ⃗ = son ortogonales.
+
Desarrollo.Sea el ángulo entre ⃗ = + y diferentes de cero, luego se tiene que: ⃗ | ⃗ || |
= (
√
-
, y sean
)(
)
√( )
(
)
Pero se sabe que para ⃗ y sean ortogonales se debe cumplir que también que ⃗ , teniendo entonces que
√
√( )
(
números reales
y
)
Þ ⃗ ⃗ Podemos decir entonces que es la condición sobre ortogonales.
para que ⃗ y
sean
Particularizando, sea
y
aplicando la condición demostrada se tiene que
( )( )
( )( )
Luego los vectores formados tomando en cuenta que ⃗ = +
= (1,2) y
que el
=
-
y
serán
= (2,-1); Probaremos ahora que son ortogonales es decir
. ⃗ | ⃗ || |
(
)(
)
√( )
√
(
)
√ √
Þ Lo que implica que ⃗ y Gráficamente también se demuestra que ⃗ y
son ortogonales
son ortogonales
Figura 18.
10) Demuestre que el vector ⃗ = b -a es paralelo a la recta Demostración.Sea
, una recta cualquiera; y el vector definido así:
Consideremos la pendiente de la recta l:
, y también
= b -a (1),
donde es la dirección del vector . Sabemos además que la pendiente de la recta l y la tangente del ángulo son iguales. Ahora escribamos de manera distinta la ecuación de la recta l: ver que la pendiente es: (2)
; podemos
Comparando (1) y (2), logramos ver que las pendientes son iguales, por lo que implica que la recta l y el vector son paralelos. Particularizando, tomemos valores para a, b y c tales como a = 3, b = 2 y c = 1, por lo tanto el vector ⃗ y la recta . Podemos verificarlo mediante la construcción de su grafico como se muestra en la siguiente figura.
Figura 19.
