INFORME TALLER No 3 TRANSFERENCIA DE CALOR Y MASA
PROBLEMA 1
Se realizaron pruebas de lixiviación en reactor agitado con 2 diferentes tipos de minerales de cobre. Las Tablas 1.1 y 1.2 muestran los datos cinéticos para el mineral tipo A y respectivamente. !tilizando el modelo de n"cleo no reaccionado determinar si existe un cont contro roll de tipo tipo ciné cinéti tico co o difu difusi sion onal al para para los los dos dos tipo tiposs de mine minera ral. l. #e #ete term rmin inar ar adicionalmente el tiempo $ue demora en reaccionar completamente el mineral. La masa inicial de mineral es de 2%% gr y el volumen de solución es de &%% cm '. Tabla 1.1
#atos cinéticos para el (ineral A t *+r, %.% %. 1. '.% .% . 1%.& 1/.% 1&.% 22. 2. ''.% '.% /. 2. 0%.%
)u *g-l, %.% /.% /.& 01. '. &/. 0.' 1%.& 11&.' 1'%.% 1/1.% 11.% 101. 12.& 1&/.& 12.'
Tabla 1.2
#atos cinéticos para el (ineral t *+r, %.% %. 1. '.% .% . 1%. 1/.' 1&.& 22. 2. '2.% './ /. 2. 0%.
Solución:
)u *g-l, %.% /&.& .' 01.& 1.' &/. . 112.& 12.& 1/2.' 1. 11. 1&.% 2%.% 21.& 2'.'
Ecuación para calcular la con!r"ión #$
La masa inicial de )u es m % 3 2%% gr4 y representar5a el sólido a extraer con el l5$uido reactivo de acuerdo a la teor5a del n"cleo sin reaccionar4 (ineral de )u6sólido7 8 9eactivo 6 l5$uido7 : ;roducto 6)u en disolución 74 .
61.17
;ara > 3 &%% cm ' 3 %.& litros4 la ecuación anterior $ueda ;
=
%.& ) 4
61.27
donde C es dada en gr-lt y la masa P ?convertida@ en gr de )u.
%.&) m%
4
61.'7
)on m% 3 2%% gr la expresión matem=tica para calcular calcular la conversión es 3 %.%%/B)4
61./7
donde la constante de %.%%/ tiene las unidades de l-gr. Cótese $ue la conversión es adimensional y var5a entre cero y uno. Ca"o &in!ral A
;or eDemp eDemplo4 lo4 para para el segund segundoo dato dato de la tabla tabla 1.1 se tien tienee t 3 %. s y ) 3 /.% gr-l4 gr-l4 entonces seg"n la ecuación 61./74 3 %.%%/B) 3 %.%%/B/.% 3 %.1&. An=logamente se +ace los c=lculos para los otros datos de la cinética del mineral A y se obtiene los resultados de la conversión expuestas en la tabla 1.'. Tabla 1.'
9esultados de la conversión para el mineral A 1
olumen del n"cleo sin reaccionar->olumen total de la part5cula4 en base al modelo del n"cleo sin reaccionar. La "ltima definición es "til cuando se conoce la variación del tamaGo de part5cula del sólido con el tiempo. ;ara la resolución del problema en este trabaDo4 la expresión de la conversión se +a basado en la definición general.
Ecuación para calcular la con!r"ión #$
La masa inicial de )u es m % 3 2%% gr4 y representar5a el sólido a extraer con el l5$uido reactivo de acuerdo a la teor5a del n"cleo sin reaccionar4 (ineral de )u6sólido7 8 9eactivo 6 l5$uido7 : ;roducto 6)u en disolución 74 .
61.17
;ara > 3 &%% cm ' 3 %.& litros4 la ecuación anterior $ueda ;
=
%.& ) 4
61.27
donde C es dada en gr-lt y la masa P ?convertida@ en gr de )u.
%.&) m%
4
61.'7
)on m% 3 2%% gr la expresión matem=tica para calcular calcular la conversión es 3 %.%%/B)4
61./7
donde la constante de %.%%/ tiene las unidades de l-gr. Cótese $ue la conversión es adimensional y var5a entre cero y uno. Ca"o &in!ral A
;or eDemp eDemplo4 lo4 para para el segund segundoo dato dato de la tabla tabla 1.1 se tien tienee t 3 %. s y ) 3 /.% gr-l4 gr-l4 entonces seg"n la ecuación 61./74 3 %.%%/B) 3 %.%%/B/.% 3 %.1&. An=logamente se +ace los c=lculos para los otros datos de la cinética del mineral A y se obtiene los resultados de la conversión expuestas en la tabla 1.'. Tabla 1.'
9esultados de la conversión para el mineral A 1
olumen del n"cleo sin reaccionar->olumen total de la part5cula4 en base al modelo del n"cleo sin reaccionar. La "ltima definición es "til cuando se conoce la variación del tamaGo de part5cula del sólido con el tiempo. ;ara la resolución del problema en este trabaDo4 la expresión de la conversión se +a basado en la definición general.
t-+r % %4 14 '4% 4% 4 1%4& 1/4% 1&4% 224 24 ''4% '4% /4 24 0%4%
% %41&% %421 %42/0 %42/ %4''& %4'& %4/2' %4/' %42% %40/ %40%/ %40/0 %401 %4' %40
Los datos tabulados en la tabla 1.' se asumen como datos experimentales de la conversión en función del tiempo. A continuación4 se presentan una ecuación generalizada $ue resume el modelo de n"cleo sin reacc reaccion ionar4 ar4 emplea empleadas das para para determ determina inarr la etapa etapa con contro trolan lante te de la veloc velocida idadd de transformaciónH F6A7
=
t I
4
61.7
donde difusión en la capa l5$uida 4 2-' 2-' F67 = 1 − '61 − 7 + 261 − 74 difusión en la capa ceniza 1-' 1 − 61 − 7 1-' . cuando la etapa es la reacción $u5mica
)on los datos experimentales de se obtienen valores de F67 en función del tiempo4 si existe al menos perceptiblemente una relación lineal de F67 con el tiempo t4 entonces la etapa controlante ser= la correspondiente.
9esultados de la evaluación de F67 para el mineral A #atos t-+r %
%
Li$uido %
F67 )eniza %
9. $u5mica %
%4 14 '4% 4% 4 1%4& 1/4% 1&4% 224 24 ''4% '4% /4 24 0%4%
%41&% %421 %42/0 %42/ %4''& %4'& %4/2' %4/' %42% %40/ %40%/ %40/0 %401 %4' %40
%41&% %421 %42/0 %42/ %4''& %4'& %4/2' %4/' %42% %40/ %40%/ %40/0 %401 %4' %40
%4%11& %4%1& %4%22& %4%''/ %4%/' %4%0% %4%/& %4%0& %412% %41/% %41/2 %42%0 %42/% %42% %4''2&
%4%0/% %4%2 %4%&& %41%0 %412& %41/ %4100 %412/ %421% %42/1 %420 %4220 %4'2/1 %4'011 %4'&00
1,2
1 y = 0,0163x R2 = 0,4383
0,8 n ó i s r 0,6 e v n o C
0,4
0,2
0 0
10
20
30
40
50
60
Tiempo t/hr
Fi)ura 1.1 )onversión versus tiempo t para el mineral A de )u en la etapa de difusión
a través de la pel5cula l5$uida. J4 dato experimentalK 4 dato calculado con la recta regresión.
0,35
0,3
y = 0,00548x 2
R = 0,99707 0,25 n ó i 0,2 s r e v n 0,15 o C
0,1
0,05
0 0
20
40
60
Tiempo t/hr
Fi)ura 1.2 )onversión versus tiempo t para el mineral A de )u en la etapa de difusión
a través de la capa de ceniza. J4 dato experimentalK 4 dato calculado con la recta regresión.
0,5 0,45 0,4 y = 0,0075
0,35 X n ó i s r e v n o C
R2 = 0,768
0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0 0
10
20
30
40
50
60
T i e m p o t/ Fi)ura 1.' )onversión versus tiempo t para el mineral A de )u en la etapa de reacción
$u5mica. J4 dato experimentalK 4 dato calculado con la recta regresión.
#e las figuras se observa notoriamente $ue la función F67 con el tiempo guarda una relación lineal para el caso de la difusión a través de la capa de ceniza4 por lo tantoH La etapa controlante es la difusión a través de la capa de ceniza. La recta de regresión y 3 %.%%/&x 6véase figura 1.27 corresponde a la ecuación F6A7
=%.%%/&
t
61.07
con F6A7
=1 −'61 −A7
2-'
+261 −A7
4
en base a lo argumentado sobre la ecuación 61.7. Mtra importante conclusión es la $ue se desprende al comparar la ecuación 61.07 con la ecuación 61.7K esto es4 1 I
= %.%%/&
de esta relación se determina f=cilmente el tiempo necesario para $ue el mineral A reaccione completamente 6 3 17H I = 1&2./&
+r.
Ca"o &in!ral B
A partir de la ecuación general 61./74 escrita nuevamente a$u5 para seguir una meDor compresión4 puede determinarse los valores de la conversión para el mineral de H 3 %.%%/B).
61./7
;or eDemplo4 para el $uinto dato de la tabla 1.2 se tiene t 3 .% s y ) 3 1.' gr-l4 la conversión ser=H 3 %.%%/B1.' 3 %.2&. As54 para los dem=s datos de tiempo y concentración se entregan los resultados en la tabla 1.. Tabla 1.*
9esultados de la conversión para el mineral t-+r % %4 14 '4% 4% 4 1%4 1/4'
% %41 %4221 %42/ %42& %4''& %4'% %4/1
t-+r 1&4& 224 24 '24% '4/ /4 24 0%4
%41 %40 %4022 %40&0 %40 %4&2% %4& %4/
An=logamente al caso del mineral A4 se utiliza la ecuación general 61.7 para determinar los valores de F67 con datos experimentales de y t dados en la tabla 1.' para el mineral
4 con el obDeto de determinar la etapa controlante de la velocidad de transferencia de materia. Los resultados se muestran en la tabla 1.0. Tabla 1.+
9esultados de la evaluación de F67 para el mineral #atos t-+r % %4 14 '4% 4% 4 1%4 1/4' 1&4& 224 24 '24% '4/ /4 24 0%4
% %41 %4221 %42/ %42& %4''& %4'% %4/1 %41 %40 %4022 %40&0 %40 %4&2% %4& %4/
Li$uido % %41 %4221 %42/ %42& %4''& %4'% %4/1 %41 %40 %4022 %40&0 %40 %4&2% %4& %4/
F67 )eniza % %4%1' %4%1&2 %4%2'% %4%'1' %4%/' %4%022 %4%&0 %412%/ %41%/ %41&0 %42/21 %4'100 %4/%'0 %4%& %40%1
9. $u5mica % %4%0& %4%&%% %4%%' %41% %412& %411 %41&1' %42100 %42// %42% %4'2%' %4'1 %4/'/ %4% %4020
Se grafican los datos de F67 y el tiempo t en +oras para cada caso4 al mismo tiempo se determina la recta regresión y 3 bx mediante el criterio de m5nimo cuadrados4 en las figuras 1./4 1. y 1.0 se ex+iben los resultados. 1,4
1,2
y = 0,0189x R2 = 0,672
1
n ó i s r e v n o C
0,8
0,6
0,4
0,2
0 0
10
20
30
40
50
60
Tiempo t/hr
Fi)ura 1.( )onversión versus tiempo t para el mineral de )u en la etapa de difusión
a través de la pel5cula l5$uida. J4 dato experimentalK 4 dato calculado con la recta regresión.
0,8 0,7 0,6 0,5 n ó i s r e 0,4 v n o C 0,3
y = 0,00916x 2
R = 0,94031
0,2 0,1 0 0
20
40
60
Tiempo t/hr
Fi)ura 1.* )onversión versus tiempo t para el mineral de )u en la etapa de difusión
a través de la capa de ceniza. J4 dato experimentalK 4 dato calculado con la recta regresión.
0 ,7 0 ,6 0 ,5
y = 0 , 01 0 1 R2 = 0 , 9 4 6
X n ó i s r e v n o C
0 ,4 0 ,3 0 ,2 0 ,1 0 0
10
20
30
40
50
60
T i e m p o t/ Fi)ura 1.+ )onversión versus tiempo t para el mineral de )u en la etapa de reacción
$u5mica. J4 dato experimentalK 4 dato calculado con la recta regresión.
La figura 1./ rebela $ue los datos de F67 no est=n sobre una l5nea recta y por consiguiente la etapa de difusión a través de la pel5cula l5$uida no es la controlante. Si bien las figuras 1. y 1.0 no discrepan significativamente en los valores de los coeficientes de determinación4 la figura 1.0 muestra una tendencia lineal perceptible de los datosK en cambio4 en la figura 1. se observa $ue los datos de F67 y t no forman una relación lineal4 a pesar de tener un 9 2 3 %./4 para valores muy baDos del tiempo la función F67 podr5a confundirse con una recta4 no obstante esta conclusión es discutible. Se puede decir $ue la etapa controlante en este caso es parcialmente la de reacción $u5mica.
0,05
0
o u d i s e R -0,05
-0,1
-0,15 0
10
20
30
40
50
60
Tiempo t/h
Fi)ura 1., Nr=fica de los residuos para el mineral A
0,04
0,02
0 u d i -0,02 s e R
-0,04
-0,06
-0,08 0
10
20
30
40
50
60
Tiempo t/hr
Fi)ura 1.- Nr=fica de los residuos para el mineral
A$u54 la figura 1.& manifiesta $ue los datos tienen una cierta tendencia aleatoria perceptible si se trunca los datos en el tiempo mayor a las 12 +oras4 lo cual indica $ue el modelo matem=tico para la conversión en el tiempo es consistente con los datos experimentales. Sin embargo4 para tiempos por debaDo 12 +oras la etapa controlante puede no ser la de reacción $u5mica. Se puede concluir $ue el método de los residuos puede ser "til en la decisión de la etapa controlante4 el resultado del coeficiente estad5stico 9 2 3 14 o muy cerca de uno4 no siempre indica una excelente calidad del aDuste del modelo a los datos4 el an=lisis del método de los residuos es m=s significativo en la calidad del aDuste de los m5nimos cuadrados.
=1 −61 −A7
1-'
.
La ecuación 61.7 es la misma $ue aparece en la figura 1.04 a saber4 y 3 %4%1%1x4 comparando la ecuación 61.7 con la ecuación general 61.74 se desprende la relación 1 I
= %.%1%1 4
de donde se obtiene I 3 +r como el tiempo m5nimo para la reacción completa del mineral . PROBLEMA 2
Se realizó prueba en pila piloto de & m de altura. Se cargaron 1%%%%% T de mineral de cobre con leyes $ue se muestran en la tabla 2.1. La pila se regó por 2/% d en forma continua a una tasa de riego de 1% lt-+r-m 2. Tabla2.1
Ley de )obre
= A61 −e EPt 7 .
62.17
!tilizando los datos de la tabla 2.2 determinarH i. ii. iii.
)urva de extracción de cobre en función del tiempo )urva de concentración de cobre en función del tiempo. Asumir densidad de la pila de 1. T-m '. )onsumo teórico total de Fe'8 al cabo de los 2/% d. Tabla 2.2
;ar=metros )urvas de
A 1%% &% '% %
P *dE1, %.%' %.%2 %.%1 %.%%&
CotaH )onsiderar la densidad de la pila igual a 1. T-m '. Solución:
Ca"o i
;uesto $ue la solución de riego no contiene las especies de la solución de drenaDe o del mineral4 la expresión para calcular el porcentaDe de extracción de )u se simplifica llega a serH
(i Qi
× 1%% O 4
62.27
#onde (i es la masa en toneladas de la especie i extraida4 Q i es la masa inicial en toneladas de la especie i en la pila piloto. SeaH
=
⋅ Qi 4
62.'7
;or otro lado4 la cantidad de cada especie en el mineral de ley L i y peso ; 3 1%%%%% ton4 puede calcularse comoH Qi
=
Li 1%%
×; 4
62./7
de acuerdo a la definición de ley de un mineral. ;or eDemplo4 para los datos de la calcosinaH L1 3 %.1 O4 entonces seg"n la ecuación 62./7 Q1
=
%41 1%%
×1%%%%% = 1%% ton.
An=logamente se calcula Q i para las restantes especies4 en la tabla 2.' se muestran los resultados obtenidos en base a la ecuación 62./7. Tabla 2.'
Toneladas de especie en la pila de peso ; 3 1%%%%% ton i 1 2 ' /
Qi -ton 1%% % '%% '%%
La sustitución de la ecuación 62.17 en la ecuación 62.'7 da la siguiente relación funcionalH (i =
A i 61 − e
− P i t
1%%
7
Qi 4
62.7
es decir (i depende exclusivamente del tiempo para cada especie i. As54 por eDemplo4 después de 1% d5as de operación4 la masa extra5da de la especie calcocina 6de la tabla 2.2 A1 3 1%%4 P 1 3 %.%' d E17 ser=H (1 61% 7 =
1%%61
−e −%.%' ×1% 7 1%%
1%%
= 2 .1& ton.
0'.R i
mi = ( i
;(i
4
62.07
Ri es el n"mero de =tomosEmol de )u en un mol de la especie i4 por eDemplo4 para la especie )u 2S se tiene R 1 3 2. Siguiendo con el caso particular fiDado para t 3 1% d5as4 la masa extra5da de )u contenida en 2.1& ton de calcosina ser=H m1 = (1
0/R1 ;(1
= 2.1&
0/ × 2
= 2%.0& ton
1 .1
La sustitución de la ecuación 62.7 en la ecuación 62.07 da una relación directa entre la masa extra5da mi de )u en la especie i con el tiempo t en d5as. 0/ A i Q i 61 − e − P t 7 i
mi =
1%%
⋅
R i ;( i
.
62.7
As54 por aplicación de esta ecuación para t 3 1% d5as4 las toneladas m i de )u contenidas en las otras especies4 se muestra la tabla 2./. Tabla 2.(
Toneladas de )u en extra5da por especie para 1% d5as
mi- ton 2%40& /4&10 240/ 42&
La masa total de )u extra5da al cabo de 1% d5as de operación es m 61% 7
= 2% .0& + /.&10 + 2.0/ + .2& = ' .0 ton
m = ∑ mi = i =1
0'. 1%%
/
∑ i =1
R i A i Q i 61 − e − P i t 7 ;( i
.
62.&7
9esultados de las toneladas extra5das de especie y de cobre t-d5as % 1%
)uS2 % 241&
2%
/411
'%
4'/'
/%
04&&1
%
40&
0%
&'4/%
%
&4/
&%
%42&
%
'42
1%%
4%21
11%
04'12
12%
420&
1'%
40
1/%
&4%%
1%
&4&&
10%
41
1%
4'%
1&%
4/&
1%
400
2%%
42
21%
4&10
22%
4&0/
2'%
4&
2/%
42
Toneladas de especie )uS )uFeS2 )uFeS/ % % % 421 &40 114'' 1'41& 104'1/ 2241& 1&4%/ & 2'4'20 '24%%0 224%2 2401 /14%& 242& '4/12 /4/2 24 2 /%40% 41&2 '%41' 0 /4'% 0/4'1 '142 / /40% %4%0 ''4'& & '4/% 04& '/4& 04&1 &240%1 '40 & 0%4%/2 &4&' '04' 1 024&' 2400 '4%2 04/2 04&2 '40 & 04&%0 1%14%& '&4%% 041& 1%/4&21 '&4' % 14&2 1%&42/ '&400 '4& 1114%1 '&4% 412' 11/4/01 '41% 04' 1141' '420 4&2% 11410 '4/% % &4 1224%// '4% &%4%2& 12/41' '4 & &%4 12041 '40 1 &14&' 12&4%%
)uS2 )u-ton % 2%40&
)uS )u-ton % /4&10
)uFeS2 )uFeS/ )u-ton )u-ton % % 240/ 42&
'04%10
&4
40/0
1/4%'0
/4'%
114&&
&4%2
2%42
4&1
1/40'1
1%420&
240
024%1'
104
1242/
'1420
00402
1&40
1/4%2
'041&&
%4%/
2%4%1
140
/%4%/
24&'
2142%
141%
//4&'
/4/
2241
1&4/&2
/&421
4&%
224'
140&
242/
04&&%
2'402
2%4
4'
40/'
2/41
2140/
&4&%
&42%&
2/40
2240
014'
&402
2/4'
2'4/0/
0'4/
&4'
242/0
2/41
004''0
410
24/&0
2/4&0
0&4'/
4''
240&2
24/
%40'
4/0'
24&/'
240
24/'0
4
24
204/&0
/4100
4020
204%&2
2042
402
40
20411
24''1
42'
41
2042/'
240/
&40
4//
204'%2
2&4%22
4&1
40/
204'%
2&4'1
&14%1%
Tabla 2.+
9esultados del total de toneladas de )u extra5dos t-d5as %
m - ton )u %
t-d5as 1'%
m - ton )u 1&04&'
1% 2% '% /% % 0% % &% % 1%% 11% 12%
'40 0/4/0 &40& 1%0400 1224'& 1'4/'0 1/04// 14&11 10'4&/% 1%4&/ 104&' 1&241/0
1/% 1% 10% 1% 1&% 1% 2%% 21% 22% 2'% 2/%
1%4 1/41/ 1&4%// 2%14%'& 2%'4' 2%041&' 2%&4/%% 21%4/1/ 21242/ 21'41 214///
;ara expresar los resultados de la tabla 2.0 en términos relativos es necesario calcular la masa inicial total de )u en la pila para luego finalmente calcular el porcentaDe de extracción )u total. Si Q i es la cantidad de masa de la especie i $ue contiene )u4 entonces la masa $ i de )u en la especie i se obtiene f=cilmente por este$uiometr5a4 esto es $ i = Qi
0'.R i ;(i
4
62.7
Ri tiene el mismo significado $ue en la ecuación 62.074 o sea representa el n"mero de =tomosEmol de una un mol de la especie i4 el n"mero 0'. es el peso atómico del )u en gr-mol. ;ara el caso de la calcosina )u 2SH R1 3 24 ;(1 3 1.1 y Q 1 3 1%% ton4 este "ltimo extra5do de la tabla 2.'K la masa de )u contenida en )u 2S es $1 = Q1
0/R1 ;( 1
= 1%%
0'. × 2 1 .1
= .&2/ ton
(asa inicial de )u en cada especie de la pila i 1 2 ' /
$i - ton )u 4&2/ ''4211 1%'4&1 1&4&/
;or consiguiente4 el contenido total $ o de )u en la pila es /
$ o = ∑ $ i = .&2/ + ''.211 + 1%'.&1 + 1&.&/ = /%0.% i =1
ton
/
$o
= ∑Q i i
=1
0'. R i ;( i
.
62.1%7
A+ora bien4 con los valores conocidos de la masa inicial y total $ o de )u y la masa total m de )u extra5da 6véase valores de m en la tabla 2.07 es posible calcular el porcentaDe de extracción de )u como
m $o
× 1%% O 4
62.117
para cual$uier tiempo.
=
'.0 /%0.%
×1%% O = &. O.
;orcentaDe de extracción total de )u para /%0. % ton de )u inicial en la pila t-d5as % 1% 2% '% /% % 0% % &% % 1%% 11% 12% 1'% 1/% 1% 10% 1% 1&% 1% 2%% 21% 22% 2'% 2/%
m - ton )u % '40 0/4/0 &40& 1%0400 1224'& 1'4/'0 1/04// 14&11 10'4&/% 1%4&/ 104&' 1&241/0 1&04&' 1%4 1/41/ 1&4%// 2%14%'& 2%'4' 2%041&' 2%&4/%% 21%4/1/ 21242/ 21'41 214///
O
!na expresión general para la extracción porcentual de )u para cual$uier tiempo puede ser derivado si se considera la ecuación 62.&7H
0'. $o
/
R i A i Q i 61 − e
∑
− P i t
;( i
i =1
7
4
62.127
con $o 3 /%0.% ton4 los resultados de extracción en función del tiempo se obtienen en tanto por ciento en peso de toneladas.
50
40 C e d n ó i 30 c c a r t x E %
20
10
0 0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
220
240
Tiempo t/días
Fi)ura 2.1 )urva de la extracción de cobre en función del tiempo obtenida con
los datos de la tabla 2.& y consistentes con la ecuación 62.127.
Ca"o ii
dm d>
.
62.1'7
(ultiplicando y dividiendo el segundo miembro de la ecuación 62.1'7 por el diferencial de tiempoH
dm )=
dm dt d> dt
dt d>
=
.
62.1/7
dt
-dt4 luego la ecuación 62.1/7 se transforma en )=
1 dm $ s dt
4
62.17
lo cual implica obtener la derivada de m con respecto a t4 afortunadamente la función /
m = ∑ mi =
0'.
i =1
/
∑ 1%%
R i A i Q i 61 − e
− P i t
7
;( i
i =1
4
/
=∑ i =1
dmi dt
=
0'. 1%%
/
R i A i P i Qi e
∑ i =1
− P i t
;( i
.
62.107
;ila de Lixiviación
U3&m
$s lt-m2 Fi)ura 2.2 ;ila de lixiviación.
#el balance global de materia se deduce $ s = $A
4
62.17
.
62.1&7
siendo A el =rea media de la pila4 el cual es A=
> p U
La densidad de la pila V p 3 ;-> p4 donde ; y > p es la masa y el volumen de la pila4 respectivamente. As5 se tiene
=
> p
;
.
V p
62.17
;ara los datosH ; 3 1%%%%% ton y V p 3 1. ton-m'4 > p =
1%%%%% 1.
≈ &&%% m'.
A partir de la ecuación 62.1&7 A=
&&%%
= '% m2.
&
9eemplazando este "ltimo valor de $ s en la ecuación 62.17 da )=
1 1.0/
dm
×1%
0
dt
4
en unidades ton-ltK si el segundo miembro de esta ecuación se multiplica por el facto de conversión 1%0 gr-1ton se llega a la siguiente expresión para determinar ) en las unidades usuales de gr-ltH ) =
1
dm
1.0/
dt
.
62.2%7
;or eDemplo para el primer componente )u 2S y t 3 1% d5asH R 1 3 24 ;(1 3 1.14 A1 3 1%%4 P 1 3 %.%'d5as E1 y Q1 3 1%% ton. Wnmediatamente de la ecuación 62.2%7 se deduce $ue la derivada de m1 6masa de )u extra5da en la especie 17 respecto de t es dm1 dt
=
0'. R i A i P i Qi e 1%%
;( i
− P i t
0'. 2 × 1%% × %.%' × 1%% e −%.%'×1% = ⋅ = 1./1 ton-d5as 1%% 1.1
#e manera similar se calcula para las otras derivadas de la masa de )u en las otras especies con respecto al tiempo4 en la tabla 2. se ex+iben los resultados para t 3 1% d5as. Tabla 2.
9esultados de las derivadas en /on Cu0a" para t 3 1% d5as i 1 2 ' /
dmi-dt 14/1 %4/'1 %42&1& %4%1%
Sumando las derivadas para todos los valores de i se obtiene la derivada de la masa total de )u respecto al tiempo4 esto es
dm dt
/
=∑ i =1
dmi dt
=1./1 + %./'1 + %.2&1& + %.%1% = '.12 ton-d5as
9eemplazando esta derivada expresada en ton-d5as en la ecuación 62.2%74 la concentración de )u en unidades de gr-lt ser=H )=
1
dm
1.0/ dt
=
1 1.0/
× '.12 = 1.&% gr-lt.
;ara determinar las concentraciones para cual$uier tiempo se sigue el mismo procedimiento de c=lculo empleado antes para la calcocina y t 3 1% d5as4 en la tabla 2.1% se entregan los resultados del c=lculo de la concentración para tiempos desde % +asta 2/% d5as4 en intervalos de 1% d5as.
t-d5as % 1% 2% '% /% % 0% % &% % 1%% 11% 12% 1'% 1/% 1% 10% 1% 1&% 1% 2%% 21% 22% 2'% 2/%
9esultados de las derivadas de la m=sa extra5da y concentración de )u dm1-dt dm2-dt dm'-dt dm/-dt dm-dt )-6gr-lt7 14/1 14'1/' %4'0 %421' %4'/' %4'& %42'2 %4212 %410% %4112 %4%&&' %4%0/ %4%/& %4%' %4%200 %4%1 %4%1/0 %4%1%& %4%%&% %4%% %4%%// %4%%'' %4%%2/ %4%%1&
%4/'1 %4'02 %4210 %42'&& %41 %410%% %41'1% %41%' %4%&& %4%1 %4%& %4%/&2 %4%' %4%'2' %4%20 %4%21 %4%1 %4%1/ %4%11 %4%% %4%%&% %4%%0 %4%%' %4%%//
%42&1& %42% %42'% %42%&& %41&& %41% %41/ %41' %41200 %411/0 %41%' %4%'& %4%&/ %4%0& %4%0 %4%02 %4%0 %4%1 %4%/00 %4%/21 %4%'&1 %4%'/ %4%'12 %4%2&'
%4%1% %40/1 %4/ %41 %4%1 %4/0 %4/''& %4/%%/ %4'00 %4'/12 %4'1% %42%& %420&/ %42/& %422& %42111 %41/ %41 %41001 %41'' %41/1 %41'% %412%0 %4111'
'411 2420 24%'/ 142%' 14/2& 1410 14%12 %4&0/ %4/% %40/0 %40 %4/&2 %4//12 %4'2& %4'1' %4'1/ %42&/1 %420 %42'20 %42111 %412% %41/ %410 %41/&
14&% 14/& 141& %4 %4&% %40& %4/ %4/% %4/22 %4'0 %4'21 %42&2 %42% %422' %41 %41 %4101 %41/0 %41'2 %412% %41% %4% %4%% %4%&'
2,500
2,000 / r g ( / C 1,500 n ó i c a r t n e 1,000 c n o C
0,500
0,000 0
50
100
150
200
2
Tiempo t/días
Fi)ura 2.' )urva de la concentración de )u versus el tiempo
La concentración de )u disminuye exponencialmente al transcurrir el tiempo4 la concentración se +ace cero para un tiempo infinito. )uando el tiempo tiende a cero4 la concentración instant=nea tiende a un valor menor a 2.' gr-lt 6véase figura 2.'7 pero no igual a este ya $ue la derivada en t 3 % no est= definida. Al principio la velocidad con $ue disminuye la concentración es alta y luego var5a cada vez m=s lenta. )on la expresión anal5tica para la derivada4 dm-dt4 ecuación 62.107 y la ecuación 62.2%7 se obtiene una función continua para la concentración4 es decir4 se puede evaluar la concentración para cual$uier tiempo desde % X t 2/% d5as. Mtro procedimiento para la obtención de la concentración pero no como una función continua sino m=s bien discreta con el tiempo4 es el uso del método numérico aproximado para calcular la derivada como diferencia finita4 as5 la ecuación 62.2%7 se transforma aproximadamente en 1 ∆m )= 4 62.217 1.0/ ∆t Ytil cuando la derivada de la función m6t7 sea compleDa de derivar. La precisión con este método depende de las caracter5sticas propias de m6t74 del tamaGo del intervalo y del error de redondeo. ;or eDemplo4 a partir de los valores obtenidos de m en la tabla 2.0 se puede obtener f=cilmente la derivada aproximada Zm-Zt4 en la $ue Zt 3 1% d5as y Zm ser= la diferencia entre un valor de m y el inmediato inferior4 previamente se calculan los valores medios del tiempo $ue corresponden a la derivadas as5 obtenidas.
9esultados de la derivada y la concentración por el método numérico t-d5as % 1% 2%
#atos Ton )u % '40 0/4/0
>alor medio t - d5as 1 2
Zm-Zt ton-d5as '40 24&0& 24'22&
)oncentración )-6gr-lt7 24%2& 14020 14'1
'% /% % 0% % &% % 1%% 11% 12% 1'% 1/% 1% 10% 1% 1&% 1% 2%% 21% 22% 2'% 2/%
&40& 1%0400 1224'& 1'4/'0 1/04// 14&11 10'4&/% 1%4&/ 104&' 1&241/0 1&04&' 1%4 1/41/ 1&4%// 2%14%'& 2%'4' 2%041&' 2%&4/%% 21%4/1/ 21242/ 21'41 214///
' / 0 & 1% 11 12 1' 1/ 1 10 1 1& 1 2% 21 22 2'
14&1 140&2 14'%& 141%1' %4'02 %4&%2 %40// %40%2 %4'11 %4/0& %4/10/ %4'1 %4''2 %42/ %42%2 %42/// %42210 %42%1/ %41&'' %4101 %4120
14% %4&& %4/1 %402/ %4'1 %4/ %4'/ %4'/' %4'%1 %4200 %42'0 %4211 %41& %41% %41' %41' %4120 %411/ %41%/ %4% %4%&0
2,000
) t l / r g 1,500 ( / C n ó i c a r t n e c 1,000 n o C
0,500
0,000 0
50
100
150
Tiem po t/días
200
2
Fi)ura 2.* )oncentración de )u versus tiempo.
4 curva obtenida con el método anal5ticoK EEE4 curva con el método de diferencia finita.
Mbsérvese $ue la curva trazada con el método de diferencia finita coincide pr=cticamente con la curva obtenida anal5ticamente4 no +abiendo diferencia significativa.
Al cabo de los 2/% d5as las cantidades de )u extra5das por cada especie del mineral +an sido calculadas y est=n expuestas como el dato final en la tabla 2.0 y 2.&4 en la siguiente tabla 2.12 se muestra ordenadamente los valores numéricos de las toneladas de )u extra5das con las especies $u5micas.
Tabla 2.12
Toneladas de )u extra5dos del mineral al cabo del tiempo de 2/% d5as
Ton de )u extra5dos 40/ 204'% 2&4'1 &14%1%
A partir de las reacciones $u5micas involucradas para cada especie con la sal de Fe 26SM/7'4 )alcosinaH )u2S 8 Fe26SM/7' 3 )uS 8 )uSM / 8 2FeSM /
62.227
)uS 8 Fe26SM/7' 3 )uSM/ 82FeSM/ 8 S
62.2'7
)uFeS2 8 Fe26SM7' 3 )uSM/ 8 FeSM / 8 2S
62.2/7
)uFeS/ 8 2Fe26SM7' 3 )uSM/ 8 FeSM / 8/)uS
62.27
)ovelinaH )alcopiritaH ornitaH
puede obtenerse f=cilmente mediante la este$uiometr5a directa entre los iones )u 28 y Fe '84 el consumo teórico de Fe '8 en toneladas4 primero por cada especie y finalmente el total. 2 #e la ecuación $u5mica 62.227H ;eso de Fe
'+
= .0/ton)
#e la ecuación $u5mica 62.2'7H 2
u
2+
×
2 × .&tonFe
'+
2 × 0'.ton)u
2+
= %.%2 ton.
Los pesos atómicos relativos de los elementos involucrados +an sido extra5dos de una tabla periódicaH A6Fe7 3 .&4 A6S7 3 '2.1 y A6)u7 3 0'..
;eso de Fe
'+
= 20.'%ton)
u
2+
×
2 × .&tonFe 0'.ton)u
'+
2+
= 20.'% ton.
#e la ecuación $u5mica 62.2/7H ;eso de Fe
'+
= 2&.'1ton)
u
2+
×
2 × .&tonFe 0'.ton)u
'+
2+
= ./% ton.
#e la ecuación $u5mica 62.27H ;eso de Fe
'+
= &1.%1%ton)
u
2+
×
/ × .&tonFe
'+
× 0'.ton)u
2+
= 0./ ton.
;or lo tanto4 )onsumo teórico total de Fe '8 3 %.%2820.'%8./%80./ 3 22. ton.
PROBLEMA '
Se realizó experimento en el cual se midió la presión capilar a diferentes alturas dentro de una columna en función del tiempo. !tilizando los datos en planilla
)urva de variación de la +umedad en función del tiempo para las diferentes alturas. )urva de variación de la conductividad +idr=ulica en función del tiempo para las diferentes alturas. )urva de variación del fluDo de salida de la columna en función del tiempo. Asumiendo $ue +ay una pérdida de un 1%O del fluDo de alimentación por evaporación4 determinar el fluDo con el cual se alimentó la columna.
;ara el c=lculo considerar los valores de los par=metros $ue se muestran en la tabla '.1 CotaH ;ara el c=lculo considere z 3 E z 6eDe z va desde la parte superior de la columna +acia abaDo7 Tabla '.1 ;ar=metros
;ar=metro C [ *mE1, #ensidad (ineral *T-m', #ensidad Lec+o *T-m ', Uumedad 9esidual *m' solución- m' lec+o, ;ermeabilidad *darcy, #ensidad L5$uido *T-m ', >iscosidad L5$uido *poise, \z *m,
>alor 1. E 2.2 1.'& %.%%1 /% 1.1% %.%%1 1.0
Solución: ]ste
es uno de los problemas de modelado del proceso de lixiviación en pilas. ;ara el inci"o i4 la correlación de van Nenuc+ten da la relación de la +umedad ^ con la cabeza capilar _4 a través de la ecuaciónH ^ − ^ r ^s
−
^ r
=
1
[1
+
( [ ⋅ _)
]
n m
4 con
m =1−
1 n
4
6'.17
donde ^r representa la +umedad residual en m ' l5$uido-m' lec+o4 ^ s representa la +umedadde saturación4 [4 n y m son constantes determinadas. Adem=s4 con base a los datos dados en una planilla de (icrosoft
4
6'.27
z es la profundidad de la columna en la dirección negativa de z en el instante t. #e las anteriores ecuaciones se deduce inmediatamente ^
=^6_6t4
z77
4
6'.'7
con t ` %4 z % y rango ^ r ^ ^ s.
^
φ
4
$ue para la saturación completa del lec+o4 se cumple S 3 1 y la ecuación anterior $ueda como ^ s = φ K 6'./7 es decir4 la +umedad de saturación ^ s es igual numéricamente a la porosidad del lec+o. A+ora bien4 dado la densidad aparente del lec+o V a y la densidad del mineral V m 6o densidad del sólido74 la porosidad puede ser calculado en función de estas variables ' mediante φ = 1 −
Va Vm
4
6'.7
;ara Va 3 1.'& T-m' y Vm 3 2.2 T-m'4 se obtiene φ = 1 −
'
1.'& 2.2
= %.'2
La densidad del lec+o y la densidad aparente del lec+o son dos conceptos muy diferentes. (ientras la densidad del lec+o es la relación de la masa del lec+o y el volumen del lec+o4 la densidad aparente del lec+o es masa del sólido sobre el volumen del lec+o.
ó bien ^s
= %.'2 4
en virtud a la ecuación 6'./7. Uasta a$u5 se tiene casi todos los par=metros conocidos a excepción del valor de m4 este "ltimo se obtiene a partir de la ecuación m 3 1E1-n4 esto es4 m =1 −
1 1.
=
1 '
.
Finalmente4 sustituyendo los valores numéricos de los par=metros en el modelo de van Nenuc+ten4 se obtiene la ecuación particular ^ − %.%%1 %.'1
=
1
[1 + ( − _) ]
1. 1-'
4
6'.07
donde _ tiene unidades de metros4 pues as5 los miembros de la ecuación se +acen adimensionalmente +omogéneos. La expresión matem=tica anterior para la +umedad ^ es escrita de una manera m=s elegante como ^
= %.%%1 +
%.'1 '
1 − _
− _ 4
_
≤%
4
4'.,5
La función _ es dada en forma tabular en la tabla de abaDo4 extra5da de la planilla de (icrosoft
t-d5as %41 %42 %4' %4/ %4 %40 %4 %4& %4 14% B B B 4& 4 &4%
1 E'4'% E1/4%2% E4&' E4120 E'4&& E'4% E24// E241&& E1412 E14%/ B B B E%4&&% E%4&&% E%4&&%
2 E'204%1 E'1'4' E2241'% E114&2 E0%4// E''420 E2%4/& E1'41& E401 E410/ B B B E%4&&% E%4&&% E%4&&%
' E'24%1% E'24%1% E'24%1% E'24%%% E'204&&1 E'24&10 E'2%4%' E24%1 E2/4/1 E11422& B B B E%4&&% E%4&&% E%4&&%
/ E'24%1% E'24%1% E'24%1% E'24%1% E'24%1% E'24%1% E'24%1% E'24%1% E'24%1% E'24%% B B B E%4&&% E%4&&% E%4&&%
E'24%1% E'24%1% E'24%1% E'24%1% E'24%1% E'24%1% E'24%1% E'24%1% E'24%1% E'24%1% B B B E%4&&% E%4&&% E%4&&%
0,18
0,16
1,6 m 0,14
0,12 d a d e 0,1 m u H
0,08
3,2 m 4,8 m 6,4 m 8m
0,06
0,04
0,02
Fi)ura '.1 )urva
de la +umedad en función del tiempo para cinco alturas diferentes obtenida con el modelo de van Nenuc+ten ecuación 6'.7 en combinación con la tabla '.2. Los segmentos de curva con l5nea discontinua representa una extrapolación de ^ t/días es ^ 3^ 3%.%%1. para valores de tiempo t X %.1 d5as.
/
0 0,0
1,0
2,0
3,0
4,0
5,0
6,0
7,0
-50 3,2 m m-100 / #
4,8 m 6,4 m
r a l i -150 p a c a " e ! -200 a C
8m
-250
-300
Fi)ura '.2 >ariación de _ con el tiempo t para diferentes profundidades
%.
b ( ^ )
= b s ^ − ^ r φ − ^ r
m 1-m 1 − 1 − ^ − ^ r φ − ^ r
6'.7
con b s
=
PV g c
4
6'.&7
siendo s la conductividad +idr=ulica de saturación en m-d5as4 P la permeabilidad de la pila en m24 V4 son la densidad y la viscosidad del l5$uido4 respectivamente4 y g representa la aceleración de la gravedad. #e la tabla '.14 P 3 /% darcy4 V 3 1.1% T-m ' y 3 %.%%1 poise.
=1.1%T-m
= %.%%1
⋅
. ×1% −1' m 2 1% / cm 2
'
⋅
1darcy
=1.1%gr-cm
'
1m
2
= /./ ×1% −0 cm 2 4
4
gr cm ⋅ s
Sutituyendo estos valores4 adem=s de g 3 &1 cm-s 24 en la ecuación 6'.&7 se obtieneH b s =
E0 /./ ×1% ×1.1% × &1
%.%%1
= /.&%cm-s .
= /.&%
cm '0%%s s
⋅
1+
⋅
2/+
⋅
1m
1d5a 1%%cm
= /1'.2
m-d5a
.
9emplazando este "ltimo valor de s y simult=neamente también los otros par=metros conocidos en la ecuación 6'.74 se tiene 2
b ( ^ )
^ − %.%%1 = /1'.2 %.'1
1-' ' 1 − 1 − ^ − %.%%1 . %.'1 %.
6'.7 M bien 2
b ( ^ )
= /1'.2
^ − %.%%1 %.'1
' ^ − %.%%1 ' 1 − 1 − 4 %.'1
4'.135
donde ^ est= dada por la otra ecuación de van Nenuc+tenH ^
= %.%%1 +
%.'1 '
1 − _
− _ 4
_
≤%
.
Tomando en cuenta las ecuaciones anteriores y la tabla de valores para _4 la función es una composición de las funciones de ^ y _4 en otras palabras as54 3 ^_4 _ 3 _6t4 z7. )on esto y los datos de la tabla '.24 los resultados de en función del tiempo para las cinco alturas dadas se muestran en la tabla A.' del Anexo 1
3,0 ) s a 2,5 í d / m ( / % a c 2,0 i l u $ r d i h d 1,5 a d i v i t c u d n 1,0 o C
1,6 m 3,2 m 4,8 m 6,4 m 8m
0,5
Fi)ura '.' )onductividad +idr=ulica en función del tiempo a diferentes
profundidades. Tiempo t/días
#e la figura '.'4 de inmediato se desprende $ue la familia de curvas pasa por el origen de coordenadas y a medida $ue se incrementa el tiempo la conductividad aumenta m=s r=pidamente a baDas profundices $ue a altas profundidaesK después de t 0 d5as la
conductividad var5a imperceptiblemente alcanzando un valor casi constante de '.2%1 m-d5a. La curvas obtenidas as5 son consistentes con las determinadas para ^ 3 ^ 6t7.
= −b ( ^ ) ⋅ ∇( z + _ ) 4
6'.117
;uesto $ue el problema de transferencia de materia es unidireccional en el sentido negativo del eDe z4 Celson ;arra 62%%7 sugiere la siguiente ecuación al +acer el cambio z 3 Ez para obtener un $ siempre positivo. $
d_ = −b ( ^ ) ⋅ −1 + 4 dz
6'.127
Si se aplica a+ora el teorema del valor medio de las integrales4 la ecuación anterior puede escribirse de manera m=s pr=ctica donde la derivada d_-dt es reemplazada por diferencias finitasH ∆_ $ = −b ( ^ ) ⋅ − 1 + 4 6'.1'7 ∆z donde b representa el valor medio de la conductividad +idr=ulica obtenida por la evaluación de la función 6^7 en el valor promedio de la variable _ en el intervalo de Z_ y Zz. La aplicación anterior est= intr5nsecamente relacionada con las definiciones de diferencial exacta e inexacta y el teorema de 9olle para las derivadas e integrales. As5 por eDemplo4 el caudal o el calor son variables $ue no tiene diferencial exacta pues no son propiedades de estado.
Al +acer un cambio de variable por m=s simple $ue sea4 dentro la expresión de una ecuación diferencial4 es necesario4 paralelamente4 indicar la relación de las diferencialesK si z 3 Ez4 entonces debe cumplirse dz 3Edz. A+ora bien4 en la ecuación sugerida 6'.127 para tener un $ %4 no $ueda otra $ue dz es positivo4 ya $ue en los datos de la tabla '.1 aparece la diferencia finita correspondiente Zz 3 1.0 m dado como valor positivo4 en cual$uier caso la verificación de la expresión 6'.127 se manifestar= en la obtención de los resultados positivos de $.
3,5
3,0 / 2,5 m ( / & a d i 2,0 l a s e d 1,5 l a d u a C 1,0
3.2 m 4.8 m 6.4 m 8m
0,5
0,0 0,0
2,0
4,0
6,0
8,0
10
Tiempo t/días
Fi)ura '.( )audal de salida en función del tiempo.
elemento de pila pero evaluada en el punto medio de cada elemento de pila. z3%
_1 _2 _' _/ _
1
Zz 31.0 m
2
$2
'
$'
/
$/
$
Fi)ura '.*
Cótese $ue la deriva d_-dt con los datos de _ no puede estimarse en los extremos relativos inferiores de cada elemento de pila sino estar5a en contra de la definición y existencia de la derivada de una función4 pero si puede estimarse la derivada en el valor promedio de _ de cada elemento4 incluso en los extremos absolutos de la columna. ;or consiguiente4 el caudal se +a calculado en los promedios de _ pero pueden ser indicados para las profundidades de cada base del elemento ya $ue el caudal es un fluDo de salida. 0
)uando una función f6x7 se define en un intervalo a x b existe la derivada de la función f 6x7 en el intervalo abierto a X x X bK es decir4 no est= definida en los extremos relativos.
