Ejercicios de Logica de Proposicional "CONTENIDO TOMADO DE EL LIBRO INTRODUCCIÓN A LA MATEMATICAS DISCRETAS SEGUNDA EDICIÓN DE JORGE GALVEZ Y MIGUEL LOPÉZ " LÓGICA PROPOSICIONAL EJERCICIOS SI SON PROPOSICIONES PORQUE ES UNA ENUNCIACIÓN QUE NIEGA O AFIRMA ALGO. 1.Juan trabaja 2.Marcos es primo de Maribel 3.4 es un número impar 4.El duplo de 10 es 20 5.X > 44 6.Aquello no es azul 7.Algunas aves no vuelan 8.Ningún número par es menor que dos 9. 5+6 ≠11 10.Todos los políticos aman la paz
NO SON PROPOSICIONES PORQUE NO AFIRMAN, NI NIEGAN NADA, NI PUEDE DECIRSE DE ELLAS QUE SEAN VERDADERAS, NI FALSAS. 1.Donde esta Juan?
2.Vete a tu asiento! 3.Tal vez te encontremos 4.Me gustaría pasear contigo 5.Que hermosura de día! 6.El cuadrado de 35 7.Las aguas del mar 8.El niño que esta estudiando 9.(3+9) x 3 10.1 + 1
PROPOSICIONES ATÓMICAS 1.Martha baila 2.Juan es hermano de Lorena 3.El cuadrado de 2 es 4 4.4 < 40 5.9 es un número par 6.Pablo se encuentra entre Juan y Roberto 7.Esto es una casa 8.La madre de Miguel es Marlene 9.5 Є Z 10.Aquello es amarillo
PROPOSICIONES MOLECULARES O COMPUESTAS 1.Juan y Lorena son hermanos
2.Juan y Lorena
son trabajadores
3.Pablo pasea y descanza 4.3<7< X 5.Nosotros estudiamos 6.Esta escalera esta rota 7.Esto no es verde 8.7 < 80 y esto es una casa 9.X ≤z 10.Mario
y Eduardo
son Ingenieros
CONECTIVAS NEGACIÓN(“no ”,”es falso que”,”no es cierto que”,”no sucede que”) a)Susi estudia 1.Susi no estudia 2.No es cierto que 3.No sucede que 4.Es falso que
Susi estudia
Susi estudia Susi estudia
b)Nosotros estudiamos 5. Nosotros no estudiamos 6. No es cierto que 7. No sucede que
nosotros estudiamos
nosotros estudiamos
8. Es falso que nosotros estudiamos
c)5 es un número par 9. 5 no
es un número par
10.No es cierto que 11.No sucede que 12.Es falso que
5 es un número par
5 es un número par 5 es un número par
CONJUNCIÓN (“y”,”pero”,”no obstante”,”sin embargo”,”e”) 1.x
= 4
y
6 < z
2.Franco lee pero Juan escribe 3.4 < 7 no obstante 9>4 4.Hace frio sin embargo Jackeline estudia 5.El fuego calienta e ilumina
DISYUNCIÓN(“o”,“al menos ”,”como mínimo”, ”u”, ”o bien”) 1.Estudias o pierdes el año 2.Miguel lee al menos escribe 3.hace sol como mínimo hace frio 4.Marcos tiene una expresa u organización 5.A es una vocal o bien es una letra mayúscula
CONDICIONAL (“Si……entonces”, “….solo si….”,”….si….”,”es necesario para que”, ”….implica….”,”cada vez que…”, ”siempre que…”,”….cuando….”)
1.Si hace frio entonces llueve 2.Hace frio solo si llueve 3.Hace frio si ¬ llueve 4.Hace frio si es necesario para que llueva 5.Hace frio implica que llueve 6.Cada vez que hace frio llueve 7.Llueve siempre que hace frio 8.Hace frio cuando llueve
BICONDICIONAL(“si y solo si”, “solo y cuando”,”cuando y solo cuando”) 1.Marcos trabaja si y solo si Juan estudia 2.Marcos trabaja solo y cuando Juan estudia 3.Marcos trabaja cuando y solo cuando Juan estudia
SIMBOLIZACIÓN Y TABLAS DE VERDAD NEGACIÓN (¬) 1.Laura no estudia (¬p)
2.5 no es un número par (¬q)
3.No es cierto que 4 > 1(¬r)
CONJUNCIÓN ( ^ ) 1.Juan canta y estudia (p ^ q)
2.Carlos y Kevin son hermanos (q ^ r)
3.Lorena sonríe y x + 2 = 7 (r ^ s )
DISYUNCIÓN ( V )
1.Mañana llueve o hace sol (p v q)
2.María sonríe o bien Luis es amigo de Rosa (q V r)
3.Marcos canta o Pedro trabaja (r V s)
CONDICIONAL( → ) 1.Si x + 2 = 7, entonces z > 9 (p → r)
2.Si llueve entonces es una ciudad (s → t)
3.6 es numero par, entonces 6 < 9 cuando 9 es un número impar ( p→ q)→ r
BICONDICIONAL(↔) 1. Z > 9 si y solo si Z > 9 (p↔ q)
2. Si nieva cuando y solo cuando llueve (s↔ t)
3. 2 + 3 = 5 si y solo si 2 < 10 (p ↔ q)
TAUTOLOGÍA, CONTINGENCIA, CONTRADICCIÓN TAUTOLOGIA 1.¬ q V q
2.(p V¬ q) V(qV ¬ p )
3.[(¬P V q ) ^ (¬ q V ¬ p)] ¬ p
CONTINGENCIA
1.(P v q )
2.(P V P) ^ (q V¬ p)
3.(p V ¬ p ) ^ (q V q )
CONTRADICCIÓN 1.¬ q ^ q
2.(P ^ ¬ q) v ¬p
3.(P ^ ¬q) ^ q
EQUIVALENCIAS POR LAS LEYES DE MORGAN EJERCICIO 1 ¬(pVq)Ξ¬pΛ¬q Si se escriben las tablas de verdad para P=¬(pVq) y Q=¬pΛ¬q, se puede verificar que ; a partir de cualesquiera valores de verdad para p y q, son ambas verdaderas o
Entonces
P y Q son ambas falsas.
P y Q son equivalentes lógicos
EJERCICIO 2 Demuestre que la negación de p →q es equivalente lógico de pΛ¬q.Debe demostrar que ¬(p→q)ΞpΛ¬q
PyQ
Al escribir las tablas de verdad para
P=¬(p→q) y Q=pΛ¬q, se puede
verificar que, a partir de cualesquiera valores de verdad de p yq, o bien P y Q son ambas verdaderas o P y Q son ambas falsas:
Entonces P y Q son equivalentes lógicos
EJERCICIO 3 ‘’’Use la equivalencia lógica de ¬(p→q) y pΛ¬q, para escribir la negación de: Si Jesus recibe una beca, entonces va a la universidad, Con símbolos y palabra Sean: < CENTER>P: Jesús recibe una beca
Q: Jesús va a la universidad La proposición se escribe con símbolos como p→q. Su negación lógicamente equivalente a pΛ¬q. En palabras esta última expresión es Jesús recibe una beca y no va a la universidad Ahora se demostrará que, según estas definiciones p↔q es equivalente lógico de p→q y
q→p. En palabras, Si p entonces q y si q entonces p.
La tabla de verdad muestra que
p↔q Ξ (p→q) Λ (q→p)
Se concluye esta sección con la definiciónR de la contrapositiva de una
proposición condicional. Se verá que la contrapositiva es una forma alternativa, lógicamente equivalente de la proposición condicional.
SIMPLIFICACION de PROPOSICIONES En esta sección explicaremos los siguientes ejercicios: Para realizar estos ejercicios es necesario plantear las leyes de proposiciones.
EJERCICIO N .- 1<>BR
EXPLICACIÓN PASO1.- Aplicamos
[ Morgan]
^ [( ¬qvr) ^Morgan]
PASO2.- Aplicamos conmutativa PASO3.- Aplicamos
1
PASO4.- Aplicamos
1 ^
^
^
[ complemento] ^
^ [ ¬qvr]
[condicional] [asociativa]
^ [idenpotencia v p v¬q]
[ ¬qvr] ^
[asociativa v ¬q]
PASO5.- Aplicamos
1 ^
[ ¬qvr] ^
[Morgan v ¬q ]
PASO6.- Aplicamos
1
[ ¬qvr] ^
[conmutativa]
^
PASO7.- Aplicamos PASO8.- Aplicamos PASO9.- Aplicamos PASO10.-- Aplicamos resultado
[ asociativa] ^ complemento [ conmutativa ]^1 (complemento) ^ 1 (complemento ) y esto es el mínimo es decir el
EJERCICIO N.-2
EXPLICACIÓN PASO1.- Aplicamos
[(¬pvq)
^
¬ (Morgan)]
PASO2.- Aplicamos
[Complemento]
↔
↔p
p
PASO3.- Aplicamos [(bicondicional)] PASO4.- Aplicamos PASO5.- Aplicamos PASO6.- Aplicamos PASO7.- Aplicamos
[(condicional)
^
(condicional)]
[(conmutativa ) [(p v morgan ) (p v 0 )
^
^
^
( ¬pv1)]
(¬p v 1)]
complemento
PASO8.- Aplicamos resultado
(complemento ) y esto es el mínimo es decir el
EJERCICIO N.-3
EXPLICACIÓN PASO1.- Aplicamos
[idempotencia]
PASO2.- Aplicamos
[(morgan^morgan)
PASO3.- Aplicamos PASO4.- Aplicamos resultado
[(p ^ q)
v (¬pv¬q)]
v ¬(morgan ^ morgan)]
(morgan ) y esto es el mínimo es decir el
EJERCICIOS PROPUESTOS a.En el siguiente listado verificar si son o no son proposiciones. 1.Marcos esta en su casa 2.La casa de la montaña 3.4 + 6 + 45 4.El doble de 23 5.Caminemos más lento! 6.Donde te encuentras? 7.Regrese a su puesto! 8.Dios mío! 9.7 Є N 10.Los políticos de Ecuador
3.X ≥ 4 4.Platón fue filosofo 5.Santiago no esta en casa 6.Luis es primo de Rosa 7.Juan canta y Rosa estudia 8.Hace frio siempre que Susi estudia 9.Susi estudia hasta que hace frio 10.X > 4 o X = 2
llueve y hace sol entonces b ≤ 4 a = b entonces b ≠ 4 sucede que si llueve y hace sol, entonces b ≤ 4 no se da a la vez que llueve y hace sol, entonces b ≠ 4 dan a la vez a ≤ b y b ≠ c si y solo si también se da a la
Determinar con las tablas de verdad si son o no son equivalentes 1.¬(pΛq)Ξ¬pΛ¬q 2.p→q Ξ ¬pVq 3.p↔q Ξ (¬p V q) Λ (p V ¬q) REALIZAR LAS SIGUIENTES SIMPLIFICACIONES 1.
1
^ [ ¬qvr]
2. ¬qvr) ^1]
^
^ [¬p v p v¬q]
[¬pv(¬pv(pv¬q))]
3. [¬p v p v¬q] v [(¬p v 1)]
↔
q
