Ejemplo •
RM produce pinturas para interiores y exteriores con dos materias primas M1 y M2. Toneladas Mat Prim por Tonelada de
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Pint Ext
Pint Int
Disponib. diaria maxima (Toneladas)
M1
6
4
24
M2
1
2
6
Utilidad Utilida d ($1000)/T ($1000 )/Ton on
5
4
Una encuesta de mercado indica que la demanda diaria di aria de pint. Int. no puede exceder la de pint. Ext. en más de 1 Ton. Ton. Asimismo, la demanda diaria máxima de pint. Ext. es de 2 Ton. Cuál es la combinación óptima que maximiza la utilidad diaria total?
Planteamiento •
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Sean : x1, x2 las Ton producidas por dia de pintura para exteriores e interiores, respectivamente. Funcion Objetivo : Max z = 5x1 + 4x2 Sujeto a : 6x1 + 4x2 <= 24 (Ton M1/dia) 1x1 + 2x2 <= 6 (Ton M2/dia) x2 – x1 <= 1 (Límite del mercado) x2 <= 2 (Límite de la demanda) x1, x2 >= 0
Otro Ejemplo •
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En ejemplo anterior : Incluir la pintura Marina (x3), que requiere 0.5 y 0.75 Ton de M1 y M2 respectivamente. La demanda de la nueva pintura oscila entre 0.5 y 1.5 toneladas. La utilidad por tonelada es $3.5 (miles)
Problema de la granja •
Una granja requiere diariamente un mínimo de 800 kls de un alimento especial, el cual es una mezcla de maíz y soya con las siguientes composiciones : Kg / kg de forraje Forraje
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Proteina
Fibra
Costo ($/Kg)
Maiz
0.09
0.02
0.30
Soya
0.60
0.06
0.90
Las necesidades dietéticas del alimento especial son un mínimo de 30% de proteína y un máximo de 5% de fibra. Determinar la mezcla diaria de alimento a un costo mínimo.
Planteamiento •
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Sean x1, x2 los Kgs de maiz y soya (respectivamente) en la mezcla requerida. Funcion Objetivo : Min z = 0.3x1 + 0.9x2 Sujeto a : x1 + x2 >= 800 (kg/dia) 0.9x1 + 0.6x2 >= 0.3(x1 + x2) proteina 0.02x1 + 0.06x2 <= 0.05(x1 + x2) fibra x1, x2 >= 0 (valores positivos)
Problema Línea de Ensamble •
Una línea de ensamble compuesta por 3 estaciones consecutivas produce 2 modelos de radio HiFi1 y HiFi2. La tabla muestra los tiempos de ensamble de las 3 estaciones de trabajo : Minutos por unidad
Estac Trabajo
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HiFi 1
HiFi 2
1
6
4
2
5
5
3
4
6
El mantenimiento diario de las estaciones 1, 2 y 3 consume 10, 14 y 12% respectivamente, de los 480 minutos máximos disponibles por cada estación/dia. Determine la combinación de productos óptima que minimizará el tiempo ocioso (no utilizado) en las 3 estaciones de trabajo.
Planteamiento •
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Sean x1 y x2 la cantidad de unidades de HiFi1 y HiFi2 respectivamente. Función Objetivo Min z = 1267.2 – (15x1 + 15x2) Sujeto a : 6x1 + 4x2 <= 432 5x1 + 5x2 <= 412.8 4x1 + 6x2 <= 422.4 x1, x2 >= 0
Ejercicio (Produc Máquinas)
PRODMAQ produce 2 líneas de maquinaria pesada. Una de excavación E-9 y otra maderera F-9. Las proyecciones económicas indican que se podrán vender todas las E-9 y F-9 que la compañía sea capaz de producir El margen de contribución unitaria es $5000 por cada E-9 y $4000 por cada F-9 Datos de maquinado
Depto
Pruebas de productos terminados
HORAS
Cada Cada Horas totales E-9 F-9 requeridas
cada E-9 cada F-9 Disponibles
A
10
15
150
B
20
10
160
Horas de prueba
30
10
135
Como política operativa, deben contruirse cuando menos 1 F-9 por cada 3 E-9 que sean fabricadas. El principal cliente ya ordenó un total de cuando menos 5 E9 y F-9 (en cualquier combinación), por lo que debe producirse cuando menos esa cantidad.
Planteamiento
Sean
Función Objetivo : Max G = 5000E + 4000F
Sujeto a :
E = cantidad de E-9 por producir F = cantidad de F-9 por producir
10E + 15F <= 150 (Horas del dpto A) 20E + 10F <= 160 (Horas del dpto B) 30E + 10F >= 135 (Horas para pruebas) E <= 3F E 3F <= 0 (Política productividad) E + F >= 5 (Pedido cliente) E >= 0, F>= 0 (Condición de no negatividad) ≡
–
Problema •
Se desea mezclar mineral de hierro de 4 minas, para darle cualidades especiales al hierro resultante, que debe poseer los siguientes elementos básicos :
Elemento
Req minimo/Ton mezcla
A
5
B
100
C
30
MINA •
Elemento
Mina (Kg/Ton cada elemento) 1
2
3
4
A
10
3
8
2
B
90
150
75
175
C
45
25
20
37
Costo $/Ton mineral
1
Cuál será800 la mezcla que cumpla al costo mínimo?
2
400
3
600
4
500
Planteamiento •
Sean : –
T1, T2, T3, T4 = Cantidad de Ton de mineral de la mina 1, 2, 3 o 4 respectivamente.
•
F.O. Min 800T1 + 400T2 + 600T3 + 500T4
•
S.a. –
10T1 + 3T2 + 8T3 + 2T4
>= 5 (Kg Elemento A)
–
90T1 + 150T2 + 75T3 + 175T4 >= 100 (Kg Elemento B)
–
45T1 + 25T2 + 20T3 + 37T4
>= 30 (Kg Elemento C)
–
T1 + T2 + T3 + T4
= 1 (Tonelada de mezcla)
–
T1, T2, T3, T4
>= 0 (No negatividad)
Planteamiento : Inversiones Inti •
•
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• •
Inversiones Inti maneja fondos para diversas compañías y clientes acaudalados. La estrategia de inversión se hace a la medida de las necesidades de cada usuario. Para un cliente nuevo, Inti ha sido autorizada a invertir hasta $1.2 millones en dos fondos de inversión: un fondo de acciones y un fondo de mercado de dinero. Cada unidad del fondo de acciones cuesta $50 y proporciona una Tasa Rend. Anual de 10%; cada unidad del fondo de mercado de dinero cuesta $100 y proporciona una Tasa Rend. Anual de 4%. El cliente desea minimizar el riesgo sujeto al requerimiento de que el ingreso anual de la inversión sea al menos $60,000. Según el sistema de medición de riesgo de Inti, cada unidad invertida en el fondo de acciones tiene un riesgo de 8, y cada unidad invertida en el fondo de mercado de dinero tiene un riesgo de 3; el índice de riesgo mayor asociado con el fondo de acciones sólo indica que es la inversión más arriesgada. El cliente de Inti también especificó que al menos $300,000 se deben invertir en el fondo de mercado de dinero. Cuántas unidades de cada fondo debería comprar Inti para su cliente para minimizar el índice de riesgo total del portafolio? Cuanto ingreso anual generará esta estrategia de inversión? Suponga que el cliente desea maximizar el interés anual. Cómo deberían invertirse los fondos?
Solución Suponga que la solución del planteamiento anterior es : •
S
= Unidades compradas en el fondo de acciones
•
M
= Unidades compradas en el fondo de mercado de dinero
Min
8S
+
3M
Sujeto a : 50S + disponible (0.1*50)S
100M <=
+ (0.04*100)M >=
1’200,000
Inversion
60,000 Ingreso anual
M
>=
(300,000/100) UU Mercado
S, M
>=
0
dinero
Solucione por método simplex
No negatividad
Problema Refinería •
•
Oil Co está construyendo una refinería para producir 4 productos: diesel, gasolina, lubricantes y combustible para avión. La demanda mínima (barriles/día) de c/u de los productos es 14,000, 30,000, 10,000 y 8,000 respectivamente. Iraq y Dubai firmaron un contrato para enviar crudo a Oil Co. Debido a las cuotas de producción especificadas por la OPEP, la nueva refinería puede recibir por lo menos 40% de su crudo de Iraq y el resto de Dubai. Oil Co pronostica que la demanda y las cuotas de petróleo crudo no cambiarán en los próximos 10 años. Las especificaciones de los 2 crudos conducen a mezclas de productos diferentes : Un barril de crudo de Iraq rinde 0.2 barriles de diesel, 0.25 barriles de gasolina, 1 barril de lubricante y 0.15 barriles de combustible de avión. Los rendimientos del crudo de Dubai son 0.1, 0.6, 1.5 y 0.1 respectivamente. Oil Co necesita determinar la capacidad mínima de la refinería (barriles/día)
Planteamiento •
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Sean x1 y x2 los miles de barriles/dia de Iraq y Dubai respectivamente. Funcion Objetivo : Min z = x1 + x2 Sujeto a : -0.6x1 + 0.4x2 <= 0 0.2x1 + 0.1x2 >= 14 0.25x1 + 0.6x2 >= 30 0.1x1 + 0.15x2 >= 10 0.15x1 + 0.1x2 >= 8 x1, x2 >= 0
Problema reciclaje •
Un centro de reciclaje utiliza 2 chatarras de aluminio A y B, para producir una aleación especial. La chatarra A contiene 6% de aluminio, 3% de silicio, y 4% de carbón. La chatarra B contiene 3% de aluminio, 6% de silicio y 3% de carbón. Los costos por tonelada de las chatarras A y B son de $100 y $80, respectivamente. Las especificaciones de la aleación especial requieren que (1) el contenido de aluminio debe ser mínimo de 3% y máximo de 6%; (2) el contenido de silicio debe ser entre 3 y 5%; y (3) el contenido de carbón debe ser entre 3 y 7%. Determine la mezcla óptima de chatarras que deben usarse para producir 1000 toneladas de la aleación.
Planteamiento •
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Sean x1 y x2 las cantidades porcentuales de chatarras A y B que tiene la aleación, respectivamente. Función Objetivo : Min z = 100x1 + 80x2 Sujeto a : 0.03 <= 0.06x1 + 0.03x2 <= 0.06 0.03 <= 0.03x1 + 0.06x2 <= 0.05 0.03 <= 0.04x1 + 0.03x2 <= 0.07 x1 + x2 = 1 x1, x2 >= 0
