Al eje de una polea móvil se sujeta una carga de peso P
. ¿Con qué fuerza F es
necesario tirar del extremo de la cuerda, apoyada sobre la segunda polea, para que la carga P se mueva hacia arriba con aceleración a? ¿Para qué la carga esté en reposo? Menospreciar la masa de las poleas y de la cuerda.
Solución al ejercicio 83:
Si las mas masas as de las las polea leas y de la la cu cuerda rda so son su suficiente enteme men nte pequeñas entonces
, . Para
. , tenemos
Resolviendo .
las
ecuaciones
, obtenemos
Solución al ejercicio 84:
Las ecuaciones del movimiento para los pesos con masas siguiente forma:
,
,
, tienen la
, , , donde a, b y c son las aceleraciones respecto a la polea inmóvil A. La aceleración se considera positiva, si está dirigida hacia abajo. Si la masa de la cuerda es insignificante en comparación con las masas
,
,
; entonces la tensión será constante en toda
la cuerda. De aquí concluimos que
y la fuerza con que la cuerda, pasando a
través de la polea A, actúa sobre la polea B es
.
Analicemos la parte de la cuerda que se encuentra en el momento dado del tiempo en la polea B. Sobre esta parte el extremo izquierdo pendiente de la cuerda actúa con una fuerza igual a y el extremo derecho actúa con una fuerza . Como la masa de cualquier parte de la cuerda es muy insignificante la suma de todas las fuerzas que actúan sobre ella deberá tender a cero. Por consiguiente, la polea B actúa sobre la parte de la cuerda situada en la polea con una fuerza , dirigida hacia arriba. Según la tercera ley de Newton, la cuerda deformada, a su vez, actúa sobre la polea con una fuerza
. Como la masa de la polea
B
es insignificante, tenemos que
. Al pasar cierto tiempo (muy corto) después del comienzo del movimiento de los cuerpos, la deformación de las cuerdas cesa y las longitudes después de esto, no cambian con el tiempo. Esto significa que la aceleración de la polea B será igual a y la aceleración de las cargas
y
, respecto a la polea B serán iguales y dirigidas
en sentidos contrarios. Designando por d la aceleración de la carga polea B, recibimos que
respecto a la
, , Donde ecuaciones:
. Por consiguiente, tenemos finalmente el siguiente sistema de
, , , . Resolviendo este sistema de ecuaciones, tenemos (considerando
,
.
,
.
En el caso general
.
E jercicio
87:
)
Un sistema consta de dos poleas con ejes fijos y una polea móvil
. Sobre las
poleas se apoya una cuerda en cuyos extremos fueron colgadas las cargas con masas y ; y en el eje de la polea móvil fue colgada una carga de masa . Los sectores de la cuerda que no se encuentran en las poleas se hallan en el plano vertical. Determinar la aceleración de cada una de las cargas si las masas de las poleas y de la cuerda, así como la fricción pueden menospreciarse.
Solución al ejercicio 87:
Como la masa de las poleas y de la cuerda se menosprecian, la tensión de la cuerda será única en todas las partes Tenemos entonces ,
.
, , . Resolviendo el sistema, obtenemos
,
,
.
E jercicio
88:
Determinar las aceleraciones de los pesos en el sistema mostrado en la . Las masas de las poleas, de la cuerda y la fricción pueden prescindirse. ¿En qué dirección girarán las poleas cuando los pesos comienzan a moverse?
Solución al ejercicio 88:
Puesto que la masa de las poleas y de la cuerda es insignificante, la tensión de la cuerda es igual en todas las partes. Por eso tenemos , , . Resolviendo el sistema, obtenemos libremente con aceleración g . Las poleas B y gira en sentido horario.
y . Ambos pesos caen C giran en sentido antihorario; la polea A