Problema 7.1
Considere los siguientes fluidos a una temperatura de película de 300 K en un flujo paralelo sobre una placa plana con velocidad de 1 m/s: aire atmosférico, agua, aceite de motor y mercurio. a) Para cada fluido determine los espesores de la capa límite de velocidad y de la capa térmica a una distancia de 40 mm desde el borde o inicio de la placa. b) Para cada fluido establecidos y en las mismas coordenadas, trace el espesor de la capa límite como función de la distancia desde el inicio y una longitud de placa de 40 mm.
Solución
1 ⁄ 3
y δ (x)
L = 40 mm x
El método utilizado para resolver el problema planteado será el de solución de similitud o método de Blasius:
⁄ Al definir el espesor de la capa límite δ como el valor de y para y para que el obtiene que
⁄
⁄
se
Donde
Se sigue que la razón de la velocidad al espesor de la capa límite térmica es
√ √ 1 1 ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ 1 ⁄ 1 ⁄ 3 1 1 131 ⁄ ⁄ ⁄ 1 11 1 √ 1 1 3 3√ En las tablas del apéndice A (Fuente: Introduction to Heat Transfer, 6ta ed. Incropera &
Dewitt). Tabla A.4, Aire (300 K, 1 atm):
A.6,
Agua
(300
,
. Tabla
K):
,
. Tabla A.5, Aceite de Motor (300 K):
. Mercurio (300 K):
,
,
. De forma que
para el Aire
En la siguiente tabla se mostrar estos cálculos para los fluidos dados requeridas
Fluidos
Aire
2517
3,99
4,47
Agua
46 620
0,93
0,51
73
23,45
1,26
353 982
0,34
1,15
Aceite de Motor Mercurio
25
20
)15 m m (
Aire Agua Aceite de Motor Mercurio
δ
10
5
0 0
10
20
30
40
L (mm)
5 4.5 4 3.5
) 3 m 2.5 m ( t δ
2
1.5 1 0.5 0 0
10
20
30
40
L (mm)
Do los que se deduce que aceite de motor y que
, para el aire;
, para el agua;
, para el
; par el mercurio. Como era de esperar, el espesor de la
capa límite aumento al aumentar la distancia desde el borde de la placa.
Problema 7.2
Sobre ambas superficies de una placa plana de 1 m de longitud que se mantiene a 20 ºC fluye aceite de motor a 100 ºC y a una velocidad de 0,1 m/s: determine: a) Los espesores de las capas límite de velocidad y térmica al final de la placa. b) El flujo local de calor y el esfuerzo cortante superficial al final de la placa. c) La fuerza total de arrastre y la transferencia de calor por unidad de ancho de la placa. d) Elabore una gráfica de los espesores de placa límite y los valores locales de esfuerzo cortante superficial, coeficiente de convección y flujo de calor como función de x de x para para
1
m
Solución
1 ⁄ 1 1 ℃
y
℃
δ (x)
x
L=1m
333 333 1 ⁄ 3 333 3 1 ⁄ 11 ⁄ 11 ⁄ 1 1 11 ⁄ 111 1111 11 √ 111 √ 1√ 11 13 11 13 Tabla Para el aceite de motor ( ,
):
.
,
El coeficiente de transferencia de calor por convección
33 3 √ 11 1 ⁄ 33√ 3√ 111√ 111√ 11 11 1⁄ Por tanto el flujo de calor será
1⁄ 33 33 1333 ⁄ Y el esfuerzo cortante superficial al final de la placa, es:
⁄ ⁄ 3 1 ⁄ √ 111 111 1 ⁄ 33 ⁄ ̅ ̅ 3 ⁄
Con la fuerza de arrastre por unidad de anchura dada por
y se multiplicara
por 2 de esta manera se da cuenta de ambos lados de la placa.
Para flujo laminar, el valor medio de el valor local
sobre la distancia desde 0 hasta L es dos veces
La tasa de transferencia de calor total por unidad de anchura de la placa es
̅̅ ̅ 1 3 ⁄ 333 1 ⁄
0.16
0.016
Capa Límite Capa Térmica Límite
0.14
0.014
0.12
0.012
0.1
0.01
) m0.08 (
0.008
0.06
0.006
0.04
0.004
0.02
0.002
δ
0
) m ( t δ
0 0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
(m) (m)
x
Se puede observar que número de Prandtl.
, como sabemos esta relación depende directamente de
14000
180
Transferencia de Calor Local 160
Coeficiente de Transferencia de Calor
12000
140 10000 120
) 8000 m / W ( q 6000
2
100 80 60
4000
) K · 2 m / W ( L
h
40 2000
20
0
0 0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
(m)
x
Al igual que en la gráfica anterior esta grafica muestra que las variables contra puestas, son directamente proporcionales.
Problema 7.3
Considere un flujo paralelo estable de aire atmosférico sobre una placa plana. El aire tiene una temperatura y velocidad de flujo libre de 300 K y 25 m/s: a) Evalúe el espesor de la capa límite a distancias de
111 11
desde el
inicio de la placa. Si se instalara una segunda placa paralela a la primera placa y a una distancia a de
3
de la misma. ¿Cuál es la distancia desde el inicio a la
que ocurriría la fusión de la capa límite? b) Evalúe el esfuerzo cortante superficial y la componente de la velocidad en la orilla externa de la capa límite para la placa sola en
111 1 1
.
c) Comente la validez de las aproximaciones de capa límite.
Solución
⁄ 3
3 mm
x
Parte “a”
⁄ ⁄ √ 111⁄ 1 1 ⁄ ⁄ √ 3 31 1√ 11 ⁄ 3 11113 13 311 11 1111
El Aire (300 K, 1 atm):
,
.
Si se instalara una segunda placa paralela a la primera placa y a una distancia a de 3 mm, entonces la capa límite se encontraría aproximadamente a la mitad de la distancia, es decir,
1 1 (31) (31) 11 11 1111
, seamos a que distancia de la orilla de la placa ocurre esto
Parte “b”
⁄ √ ⁄ ⁄ 1 1 1 ⁄ √ √ 1 ⁄ 11 ⁄ Evaluando
√ 111 ⁄ ⁄ √ 11 ⁄ 1⁄ Para hallar la distribución de la velocidad en la orilla externa de la capa límite, se utiliza la ecuación 7.11 (esta ecuación y los valores para ella se encuentran en “Introduction to Heat Transfer”, 6ta ed., Incropera & Dewitt):
1 ( ) 1 3
Se había asumido un valor de 5 para , para la cual 7.1), de manera que:
y
⁄ ⁄ 1 3 1 1 1 1 13√ ⁄
(Tabla
Evaluando,
Observe, que
3√ 111 ⁄ ⁄ 31√ 1 ⁄ 3 ⁄ y que
, esto concuerda con las aproximaciones del método
de Blasius. Nótese también que cuando
, tiende al infinito. Véase que el número
de Reynolds cuando las dos capas límites se cruzan es aproximadamente igual a 2·10 5, siendo la transición a 5·10 5, puede asegurarse de que la suposición de flujo laminar por el método de Blasius es correcta.
Problema 7.41
Considere aire atmosférico a
⁄ 3 1 3 1 y
placa plana isotérmica de longitud
en flujo paralelo sobre una
y temperatura
.
a) Calcule el coeficiente local de convección al inicio y al final de la placa calentada con y sin una longitud inicial sin calentar de
.
b) Calcule el coeficiente promedio de convección para la placa en las mismas condiciones de la parte “a”. c) Elabore una gráfica de la variación del coeficiente local de convección sobre la placa con y sin longitud inicial no calentada. Solución
⁄ 3
x
Longitud de partida sin calentar
1
De la tabla A.4 Aire (325 K, 1 atm):
⁄
.
3
x Longitud caliente
m
1
1 1 ⁄ 3 ,
,
1 1⁄ 11 11⁄1
El número de Reynolds para
, es:
El número de Reynolds de transición es 5·10 5, entonces podemos concluir que el flujo es laminar en toda la placa (con o sin longitud de partida. En general el número de Nusselt, es
33√ 3√ 1 ⁄ y el coeficiente de transferencia de calor local
33 √ 1 ⁄ √ 1 3⁄ 33 √ 333 1 ⁄
Para longitud de partida con calentamiento:
1 ⁄ 1 11 33 ⁄ 33 √ 111 3 ⁄
Borde principal ( (
:
Borde posterior ( (
:
, como
entonces
y
Para longitud de partida sin calentamiento:
1 33 √ 111 ⁄
Borde principal (
): entonces
Borde posterior (
):
.
̅ 1 ̅ ∫
El coeficiente promedio de convección para la placa
, será
Donde L es la ubicación al final de la sección calentada.
.
; por lo que
̅ 1 ∫ 3 √ ⁄ 1 √ ̅ 33 ∫ 1 ⁄ Obteniendo los siguientes valores
⁄
⁄
0
2,74
5,41
1
2,62
4,22
Sin Longitud de Partida 12
Con Longitud de Partida Sin Calentamiento
) 8 K · 2 m / W ( x h
4
0 0
0.2
0.4
0.6
Distancia, x - ξ (m)
0.8
1
Problema 7.42
Considere la posibilidad de una celda delgada de combustible 50 x 50 mm similar a la del Ejemplo 1.5, con el aire en flujo paralelo sobre sus superficies. Alambres muy pequeño diámetro se estiran a través de ambos lados de la pila de combustible a una
distancia
desde el borde de ataque con el fin de disparar el flujo en condiciones
turbulentas. Usando una correlación apropiada del Capítulo 7, determinar la velocidad mínima necesaria para mantener la pila de combustible a
℃ ℃
, y la ubicación
asociada del alambre. El entorno de aire y grandes están en pila de combustible se disipa
.
̇ 11
y la
. La emisividad de pila de combustible es
Solución
̇
℃
℃
℃
Aire
Para determinar la velocidad del aire de refrigeración necesaria, hay que realizar primero un balance de energía en la pila de combustible. Teniendo en cuenta que no hay
̇ ̇ ̇ ̇ 11
ningún componente de energía mecánica, vemos que
y
Donde
1 ⁄ 3 3 1 Por lo tanto, podemos encontrar
11 1 31 33√ 3√ √ √ 1 1 ⁄ 3 ⁄ 1 ⁄ 33 1 1 3 ⁄ ⁄ 3 31 3 33 1 1 De la tabla A.4 Aire (325 K, 1 atm):
. Se sabe que por el método de Blasius
Reynolds es
.
,
,
ocurre cuando el número de
1 1 1 1 ⁄ 1131⁄
Problema 7.64
Se desarrolla un código de computadora para analizar un sensor de temperatura de 12,5 mm de diámetro que experimenta un flujo cruzado de agua agua a una temperatura de flujo libre de 80 ºC y velocidad variable. Derive una expresión para el coeficiente de transferencia de calor por convección en función de la temperatura de la superficie del
⁄
sensor
para el rango
℃
1
y para velocidades V en el rango de
. Utilice la correlación Zukauskas para el rango de
y
suponer que el número de Prandtl del agua tiene una dependencia lineal de la
temperatura.
Solución
La correlación de Zhukauskas
⁄ ̅ () ⁄ ̅ () Esta correlación es válida para
[ 1 1 ] 1 3 1 3 ⁄ 31 ⁄ ⁄ ⁄ 31 ⁄ ⁄ 1 1 ⁄ 1 ̅ () ⁄ ⁄ ⁄ 1 ̅ 11 () Y donde todas las propiedades se evalúan en ,
y si
,
excepto
que se evalúa en
. Tabla A.6 (Agua a 353 K) ;
. Para el intervalo
. Si
;
,
y
.
⁄ ̅ 3 ⁄ ⁄ 1 1 31 33 ⁄ 1 ⁄ ̅ 3 1⁄ ⁄ ⁄ ̅ 1 ⁄⁄ ⁄
Suponiendo que el
Ts (K)
293
353
Prs
7,00
2,20
tiene una relación lineal con el número de Prandtl, entonces se
33 33 333 333 33 3
puede encontrar cualquier valor para de
en el intervalo interpolando como sigue
Entonces
⁄ ̅ 1 3⁄ ⁄ O
̅ 1⁄3⁄ ⁄
Problema 7.65
Una línea de alta tensión de 25 mm de diámetro, tiene una eléctrica resistencia de
1 ⁄
1 1 ℃ ⁄
y transmite una corriente de
a) Si hay aire ambiental a
y
.
en flujo cruzado sobre la línea, ¿cuál es
la temperatura de la superficie?
b) Si la línea se aproxima como una varilla de cobre sólido, ¿cuál es su temperatura central? c) Generar una gráfica que describa la variación de la temperatura de la superficie con la velocidad del aire de
1 1 1 1 ⁄
.
Solución El balance de energía será
̅ Haciendo uso de la correlación de Churchill y Bernstein , donde
⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ̅ 3 3 1 ⁄ ⁄⁄ 1( ) 3 3 11 ⁄ 3 ⁄ ⁄ 1 1 11 ⁄ 133 ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ 133 133 ̅ 3 3 1 ⁄⁄⁄ 1()
Si
, se aproximaras
. De manera que se puedan determinar las
propiedades del fluido. De la Tabla A.4 aire (300 K): y
.
Esto permitirá encontrar
3 ⁄ ⁄ ̅ ̅ 1
Del balance de energía se despeja
;
̅ 1 1 1 ⁄ ℃ 1℃ ⁄ 1 3 ⁄ ̇
El cobre ( como:
Donde:
):
. El flujo de calor se puede definir también
es la temperatura central y
es el radio de la varilla.
Se sabe que
11 ⁄ 1 ⁄ 1 ⁄ 3133 ⁄ ̇ 1 ⁄ 3 1 3 3 1 1 ℃ ⁄ ℃ 80
60 ) C ˚ ( s T
40
20 1
4
7
V (m/s)
10
