Variable Compleja Ejercicios y Aplicaciones Manuel Manuel Mac´ıas, ıas , Freddy red dy Le´on 30 de noviembre de 2017
´Indice general 1. Ejercicios de varible compleja 1.1. Matem´ a ticas Avanzadas para Ingenier´ıa, Glyn James . . . . . 1.1.1. Ejercicio 1 (Cauchy-Riemann) . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2. Ejercicio 2 (Verificaci´ on de f (z ) arm´onica) . . . . . . . 1.2. Variable Compleja, Eduardo Espinoza Ramos . . . . . . . . . 1.2.1. Ejercicio 1 (Continuidad) . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2. Ejercicio 2 (Continuidad) . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3. Ejercicio 3 (Continuidad) . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.4. Ejercicio 4 (Verificaci´ on de u(x, y) arm´onica) . . . . . . 1.2.5. Ejercicio 4 (Expresar F = u + jv en funci´ on de z) . . . 1.2.6. Ejercicio 4 (Verificaci´ on de armon´ıa) . . . . . . . . . . 1.3. C´ alculo vectorial, an´ alisis de Fourier y an´alisis complejos, Dennis G. Zill . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1. Ejercicio 1 (Analiticidad) . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2. Ejercicio 2 (Curvas de nivel) . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.3. Ejercicio 3 (Funciones exponenciales y logar´ıtmicas) . . 1.3.4. Ejercicio 4 (Funciones exponenciales y logar´ıtmicas) . . 1.3.5. Ejercicio 5 (Funciones trigonometricas e hiperb´ olicas) .
5 5 5 6 7 7 8 9 10 11 13 14 14 14 15 15 15
2. Aplicaciones de complejos 17 2.1. An´a lisis de circuitos de corriente alterna . . . . . . . . . . . . 17 Bibliograf´ıa
18
3
Cap´ıtulo 1 Ejercicios de varible compleja 1.1.
Matem´ aticas Avanzadas para Ingenier´ıa, Glyn James
1.1.1.
Ejercicio 1 (Cauchy-Riemann)
Dada u(x, y) = x2 − y 2 + 2x, encuentre la funci´on conjugada v(x, y) tal que f (z ) = u(x, y) + jv(x, y) es una funci´ on anal´ıtica de z en todo el pano z . Procedimiento ∂v ∂u = = 2x + 2 ∂y ∂x Integramos respecto a y v = 2xy + 2y + F (x) donde F(x) es una funci´ on arbiraria de x, ya que la integraci´on se realiz´o suponinedo x constante y derivamos v con respecto a x y tenemos. ∂u dF = 2y + ∂x dx pero esto es igual a −∂u/∂y por la segunda de las ecuciones de CauchyRiemann ∂u dF = −2y − ∂x dx Pero dado que u = x 2 − y 2 + 2x, ∂u/∂y = −2y, y al comparar con la ecuaci´ on preia se tiene que F (x) = constante. Esta constante se iguala a cera ya que no se dio ninguna condici´ on para que pueda determinarse. Entonces u(x, y) + jv(x, y) = x 2 − y 2 + 2x + j(2xy + 2y) 5
Para confirmar que es una funci´ on de z , observe que f (z ) es f (x + jy) y se convierte precisamente en f (x) si tomamos y = 0. Por tanto, tomamos y = 0 para obtener f (x + j0) = f (x) = u(x, 0) + jv(x, 0) − x2 + 2x y se sigue que f (z ) = z 2 + 2z la cual puede verificarse f´acilmente separando las partes real e imaginaria.
1.1.2.
Ejercicio 2 (Verificaci´ on de f (z ) arm´ onica)
Demuestre que las partes real e imaginaria u(x, y) y v(x, y) de una funci´ on compleja anal´ıtica f (z ) son arm´onicas. Resoluci´ on f (z ) = u(x, y) + jv (x, y) es anal´ıtica, las ecuaciones de Cauchy-Riemann ∂v ∂u ∂u ∂v =− , = ∂x ∂y ∂x ∂y Derivamos
∂ 2 v ∂ 2 u ∂ 2 u ∂ = = − = − ∂x 2 ∂y 2 ∂y∂x ∂y
∂u ∂x
Por lo tanto ∂ 2u ∂ 2 v = 2; ∂x 2 ∂y
∂ 2 v ∂ 2 v + =0 ∂x 2 ∂y 2
y v es una funci´on arm´onica. ∂ 2u ∂ 2 ∂ = = − − ∂y 2 ∂y∂x ∂x
∂v ∂ 2u = − 2 ∂y ∂x
asi que ∂ 2 v ∂ 2 v = 2 =0 ∂x 2 ∂y y u tambien es una funci´ on arm´onica para que ∂ 2 u ∂ 2 u ∂ 2 v ∂ 2 v = , = ∂x∂y ∂y∂x ∂x∂y ∂y∂x
1.2.
Variable Compleja, Eduardo Espinoza Ramos
1.2.1.
Ejercicio 1 (Continuidad)
¿Es continua f (z ) = z 2 = (x + jy)2
(Im (z 2 )) z 3
2
0
z 2 = x 2 + 2 jxy − y 2 z 2 = x 2 − y2 + 2 jxy
R
f (z ) =
Im
(2 jxy)2 , z =0 (x + jy)3
0
−4x2 y 2
f (z ) =
(x + jy)3
0
i) f (z ) esta definida f (0) = 0 ii)
, z = 0 , (x, y) = (0, 0) , (x, y) = ( 0, 0)
, z =0 , z = 0
?
l´ım f (z ) =
z →0
=
= =
l´ım
(x,y)→(0,0)
l´ım
(x,y)→(0,0)
l´ım
(x,y)→(0,0)
−4x2 y 2
(x + jy)3 −4x2 y 2
(x3 + 3x2 jy + 3x( jy)2 + ( jy)3 − j −4x2 y 2
(x3 + 3x2 jy + 3x( jy)2 − jy 3
0 =0 (0,0) 0 + 0 + 0 + 0
l´ım
(x,y)→
iii) l´ım f (z ) = f (z ) z →0
0=0 ∴
1.2.2. f (z ) =
f (z ) es continua en z = 0
Ejercicio 2 (Continuidad) z 2 + 1 es continua en todo z 2 − 3z + 2
C
Discontinuidades: z = 2 , z = 1
f (x, y) =
(x + jy)2 + 1 (x + jy)2 − 3(x + jy) + 2
x2 + 2 jxy − y 2 + 1 f (x, y) = 2 x + 2 jxy − y2 − 3x − 3 jy + 2 x2 − y 2 + 1 2xy f (x, y) = 2 + j x − 2 jxy − y2 − 3x − 3 jy + 2 2xy − 3y
x2 − y 2 + 1 x2 + 1 1 l´ım l´ım 2 = l´ ım = x 0 y 0 x − y 2 − 3x + 2 x 0 x2 − 3x + 2 2 →
→
→
x2 − y 2 + 1 x2 + 1 1 l´ım l´ım 2 = l´ ım = y 0 x 0 x − y 2 − 3x + 2 y 0 x2 − 3x + 2 2 →
→
→
2xy l´ım l´ım = l´ım 0 = 0 x 0 y 0 2xy − 3y x 0 →
→
→
2xy 0 l´ım l´ım = l´ım − = 0 y 0 x 0 2xy − 3y y 0 3y →
∴
1.2.3.
→
→
∃ el limite existe por lo tanto es continua en z = 0
Ejercicio 3 (Continuidad)
Si f (x) =
Re(z ) , z = 0 Verificar si f (x) es continua en z = 0. z z = (x + jy)
i)f (z )esta definido ii)∃ l´ım f (z ) z →z0
x (x − jy) x2 − jxy f (z ) = = 2 (x + jy) (x − jy) x − jxy + jxy + y 2 x (x − jy) x2 − jxy f (z ) = = 2 (x + jy) (x − jy) x + y 2
f (x, y) =
(1)
x2 xy − j x2 + y 2 x2 + y 2
x2 u(x, y) = 2 x + y 2
v(x, y) = − j
(2)
(1)
xy x2 + y 2
x2 x2 l´ım l´ım = l´ım 2 = 1 x 0 y 0 x2 + y 2 x 0 x →
→
→
x2 0 l´ım l´ım 2 = l´ ım =0 y 0 x 0 x + y 2 y 0 y2 →
(2)
→
→
xy l´ım l´ım − 2 = l´ım 2 = 0 x 0 y 0 x 0 x x + y 2 →
→
→
xy 0 l´ım l´ım 2 = l´ ım =0 y 0 x 0 x + y 2 y 0 y2 →
→
l´ım
∴
(x,y)→(0,0)
∴
1.2.4.
→
f (z ) no existe,
f (z ) no es continua en ningun punto de z = 0
Ejercicio 4 (Verificaci´ on de u(x, y ) arm´ onica)
Determinar si la funci´on u(x, y) = 3x2y + 2x2 − 2y2 − y 2 es arm´onica de ser afirmativa calcular el conjugado arm´ onico v(x, y) y expresar F = u + iv en funci´ on de z . u(x,y u(x, y) es arm´onico si ∂ ∂x + ∂ u∂y(x,y) = 0 2
2
2
u(x, y) = 3x2y + 2x2 − 2y2 − y3
∂u(x, y) = 6xy + 4x ∂x ∂ 2u(x, y) = 6y + 4 ∂x 2
2
∂u(x, y) = 3x2 − 4y − 3y 2 ∂y ∂ 2u(x, y) = −4 − 6y ∂y 2 ∂ 2 u(x, y ∂ 2 u(x, y + =0 ∂x 2 ∂y 2 6y + 4 − 4 − 6y = 0
0=0
∴
F es anal´ıtica si y solo si
u(x, y) es arm´ onico
∂u ∂v ∂u ∂v = y =− ∂x ∂y ∂y ∂x
∂u(x, y ∂u(x, y = = 6xy + 4x ∂x ∂y Integramos respecto a y v(x, y) =
6xy 2 (6xy + 4x)dy + g(x) = + 4xy + g(x) 2
Derivamos ∂v(x, y) ∂u(x, y) = 3y3 + 4y + g (x) = − = −(3x2 − 4y − 3y2 ) ∂x ∂y
g (x) = −3x2 de donde g(x) = −x3
∴
1.2.5.
v(x, y) = 3xy 2 + 4xy − x3
Ejercicio 4 (Expresar F = u + jv en funci´ on de z) 2
2
Comprobar que u(x, y) = e x y cos(2xy) es arm´onica, hallar su conjugado arm´onico v tal que F = u + iv y expresar F en funci´ on de z . −
2
u(x, y) = e x
−y
2
cos(2xy) calculamos las derivadas parciales
∂u(x, y) = 2xex y cos(2xy) − 2ye x y sin(2xy) ∂x ∂u(x, y) = −2xex y cos(2xy) − 2yex y sin(2xy) ∂y ∂ 2 u(x, y) = 4x2 ex y cos2xy −4xex y sin2xy −4xye x 2 ∂x ∂ 2 u(x, y) = 4y2 ex y cos2xy −4xye x y sin2xy+4xye x 2 ∂y 2
2
−
2
−
2
2
−
−
2
2
−
2
2
2
2
−
2
2
∴
−
2
2
−
2
2
−y
2
2
−y
2
sin2xy −4y2 ex 2
−y
2
sin2xy −4x2 ex
2
−y
∂ 2 u(x, y) ∂ 2 u(x, y) + =0 ∂x 2 ∂y 2
como u(x, y) es arm´onica, entonces ∃∀/f = u + iv por las ecuaciones de Cauchy - Rieman se tiene : ux = v y , uy = −vx , de donde: ∂v(x, y) = 2xex ∂y
2
v(x, y) =
2
v(x, y) = e x
2xe
−y
2
2
2
−y
2
2
2
cos2xy − 2ye x
x2 −y 2
cos2xy − 2ye
−y
2
2
sin2xy − 2ye x
2
−y
2
= e(x
2
sin2xy
x2 −y 2
sin2xy dy + g(x)
−y
2
cos2xy + g (x) = −
∂u(x, y) ∂y
sin2xy + c
f (z ) = u(x, y) + iv(x, y) = e x = ex
−y
sin2xy + g(x)
∂v(x, y) = 2xex ∂y v(x, y) = e x
−y
2
−y
2
−y
2
2
cos2xy + iex 2
cos2xy + i sin2xy) + i = e x
2 2
)
2
+ ic = e z + ic
−y
2
−y
2
sin2xy + ic 2
ei2xy + ic = e x
+2ixy−y2
+ ic
cos2y 2
cos2xy
1.2.6.
Ejercicio 4 (Verificaci´ on de armon´ıa)
Analizar si la funci´on u(x, y) = e
2xy
−
sin(x2 − y2 ) es arm´onica.
∂ 2 u(x, y) ∂ 2 u(x, y) + =0 ∂x 2 ∂y 2
u(x, y) = e
2xy
−
sin(x2 − y2 ) ⇒
∂u(x, y) = 2xe ∂x
∂ 2 u(x, y) = −4x2 e 2xy sin(x2 −y2 )+e 2 ∂x 2 y ) + 4y2 ex y sin(x2 − y 2 ) −
2
−
2xy
−
(2−4xy)cos(x2 −y 2 )−4xye
sin(x2 − y 2 ) + (2 − 8xy)e
2xy
−
∂ 2 u(x, y) = −4y 2 e 2xy sin(x2 −y2 )+e 2 ∂y 2 y ) + 4x2 ex y sin(x2 − y 2 ) −
−
2xy
−
cos(x2 − y2 ) − 2y sin(x2 −y 2 )
2xy
−
cos(x2 −
2
∂ 2 u(x, y) = (y 2 − x2)4e 2 ∂x
2
2xy
−
2xy
−
cos(x2 − y2 )
(4xy −2) cos(x2 −y 2 )−4xye
2xy
−
2
∂ 2 u(x, y) = 4(x2 − y 2 )e 2 ∂y
2xy
−
sin(x2 − y 2 ) + (8xy − 2)e
2xy
−
cos(x2 − y2 )
∂ 2 u(x, y) ∂ 2 u(x, y) + =0 ∂x 2 ∂y 2
∴
u(x, y) = e
2xy
−
onica sin(x2 − y 2) es arm´
cos(x2−
1.3.
C´ alculo vectorial, an´ alisis de Fourier y an´ alisis complejos, Dennis G. Zill
1.3.1.
Ejercicio 1 (Analiticidad)
Demuestre que la funci´on indicada no es anal´ıtica en un punto alguno pero es derivable a lo largo de la curva o las curvas indicadas. f (z ) = x 2 − x + y + i(y 2 − 5y − x); y = x + 2 u(x, y) = x 2 − x + y
v(x, y) = y 2 − 5y − x
ux = 2x − 1
vx = −1
uy = 1
vy = 2y − 5
ux = v y
2x − 1 = 2y − 5
∴
al no cumplir con las ecuaciones de Cauchy-Riemann, la funci´ on no es anal´ıtica
1.3.2.
Ejercicio 2 (Curvas de nivel)
1 Considere la funci´on f (z ) = . Describa las curvas de nivel. z x y f (x) = 2 − i x + y 2 x2 + y 2 Las curvas de nivel u(x, y) = c1 y v(x, y) = c2 son familia de una circunferencia de ecuaci´ on
x = c1 x2 + y 2 y
−y = c 2 x2 + y 2 .
con la exepci´o n en el punto (0, 0) que no es circunferencia ni familia de circunferencias.
1.3.3.
Ejercicio 3 (Funciones exponenciales y logar´ıtmicas)
Exprese ez en la forma a + ib z = π + πi eπ+πi =
eπ eπi
eπ+πi =
eπ (cos(−1) + i sin(−1))
eπ+πi =
−eπ
1.3.4.
Ejercicio 4 (Funciones exponenciales y logar´ıtmicas)
Exprese ln z en la forma a + ib ln(−e3) =
ln e3 + πi
ln(−e3) =
3 + πi
1.3.5.
Ejercicio 5 (Funciones trigonometricas e hiperb´ olicas)
Exprese la cantidad indicada en la forma a + ib E tg(i)
tg(i) =
i sinh(1) cosh(1)
tg(i) =
0,7616i
Cap´ıtulo 2 Aplicaciones de complejos 2.1.
An´ alisis de circuitos de corriente alterna
Se desea encontrar la variaci´ o n en la impedancia Z y la admitancia Y conforme la capacitancia C del Capacitor varia de 0 a ∞. 1 1 1 = + jwC, γ = Z R Z Al escribir
1 1 + jωCR = Z R
tenemos claramente
R 1 + jωCR La eciaci´ o n puede ser interpretada como un mapeo bilineal con Z y C como las dos variables. Examinamos lo que pasa con el eje real en el plano C(C varia de 0 a ∞ y, por supuesto, es real) bajo el inverso del mapeo dado. Despejando C tenemos R − Z C = jωRZ Al tomar Z = x + jy Z =
C =
R − x − jy x + jy − R (x + jy − R)(y + jx) − = jωR(x + jy) ωR(y − jx) ωR(x2 + y 2 )
Igualando las partes imaginarias y recordando que C es real, tenemos 0 = x 2 + y 2 − Rx
que representa un circulo con centro en 12 R, 0 y radio 21 R. As´ı el eje real en el plano C es mapeado en el circulo dado en el plano Z. Pr su puesto C 17
es positivo. Si C=0 indica que Z=R. El circuito de la figura confirma que, en este caso la impedancia es R. Si C→ ∞ entonces Z→ 0, asi el eje real positivo en el plano es mapeado en el semicirculo superior o en el inferior. Igulando las partes reales. C =
−y
ω (x2 + y 2 )
asi que C 0 da y < 0, esto implica que el semicirculo inferior es la imagen en el plano Z del eje real positivo del plano C. Un diagrama como el de la figura da una idea gr´ afica inmediata de como var´ıa la impedancia Z conforme var´ıa C. La admitancia Y = 1/Z est´a dada por Y =
1 + jωC R
Bibliograf´ıa [1] Glyn James, Matem´aticas avanzadas para ingenier´ıa, Pearson, Mexico 1997 [2] Eduardo Espinoza Ramos, Variable Compleja, Per´ u 2008 [3] Dennis Zill, Matem´aticas avanzadas para ingenier´ıa 2 C´ alculo vectorial, an´alisis de Fourier y an´alisis complejo, Mc Graw Hill, Mexico 2008
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