58
Física I
Observa que q 180° 45° 225° V x V cos q V x (80.0 m/s) (cos 225°) V x 80.0 m/s ( 0.707) 56.6 m/s V x =
+
=
=
= =
−
= −
V y = V sen q V y = (80.0 m/s) (sen 225°) V y = 80.0 m/s (−0.707) V y = −56.6 m/s
Ejemplo 1.34 Determina los componentes rectan-
gulares del vector de la siguiente gura.
Suma de vectores por el método de los componentes La solución de vectores, es decir, decir, la descomposición de un vector en sus componentes, se puede utilizar para sumar vectores. El procedimiento consiste en los siguientes pasos: 1. Determinar el componente horizontal y vertical de cada vector. 2. Sumar los componentes horizontales para obtener un vector en la dirección horizontal, denotado por R x . 3. Sumar los componentes verticales para obtener un vector en la dirección vertical, denotado denotado por R y . 4. El vector resultante se determina por la suma vectorial R x R y y dado que R x y R y son perpendiculares entre sí, entonces: +
R 2 = R x 2 + R y 2
y
20
R y y
x
°
6 0 0. 0 N
α
F R x x
Solución
Observa que 20° es la medida del ángulo de referencia (ángulo que forma el vector con el eje x ). q 360° qR q 360° 20° q 340° =
−
=
−
=
tan a R en donde a es el ángulo que forma el vector resultante con el eje x . =
y
x
Representaremos la dirección del vector resultante por el símbolo q.
y
q
=
A continuación mostraremos cómo determinar la me dida de ángulo q según el cuadrante donde se localice el vector resultante.
°
340
x F
Caso 1 Si R x y R y tienen signo positivo, la resultante R x se
localiza en el primer cuadrante. En este caso: a
=
.
q
y
F x = F cos q F x = 60.0 N (cos 340°) F x = 56.4 N
R R y y α = q
R x x
x
F x = 56.4 N F y = 60.0 N (sen 340°) F y = −20.5 N
Caso 2 Si R x es negativo y R y positivo, el vector resultante se
localiza en el segundo cuadrante. En este caso: q 180° =
.
− a
Tema 3 Introducción a los vectores
R
q
α
(180 20)° 200° q5 270° q6 (360 15)° 345° Entonces los vectores son: F 1 140 N a 60° F 2 60 N a 140° F 3 100 N a 180° F 4 30 N a 200° F 5 100 N a 270° F 6 80 N a 345° Determinemos a continuación los componentes rectangulares de cada vector: q4
R y =
=
+
=
−
=
=
180° – α
=
R x
=
Caso 3 R x y R y son negativos. En este caso, el vector resul -
tante queda en el tercer cuadrante, entonces: q 180° =
.
+ a
y
= = = =
q
R x
=
α
°
180 + α x
=
R y
F x = F cos q
Caso 4 R x tiene signo positivo y R y negativo. En este caso, el vector resultante queda en el cuarto cuadrante y : q =
360°
Comprueba que: F 1x = 70.0 N
.
− a
F 2x = −46 N y
F 3x = −100 N
q
F 4x = −28 N
R x
F 5x = 0 N
A
α
R y
F 6x = 77 N R x = −27 N q
=
°
360 – α
F y = F sen q
Ejemplo 1.35 Calcula la magnitud y la dirección
Comprueba que:
del vector resultante del siguiente sistema de fuerzas.
F 1 y = 121 N F 2 y = 39 N
y
60
°
40 F 3 = 100 N
F 3 y = 0 N
F 1 = 140 N
F 2 = 60 N
20
F 4 y = −10 N
°
°
°
15
F 5 y = −100 N
x
F 6 y = −21 N
F 6 = 80 N F 4 = 30 N
R y = 29 N
F 5 = 100 N
De acuerdo con lo anterior tenemos: Solución
De acuerdo con la gura, la dirección de cada una de las fuerzas es: q1 60° q2 (180 40)° 140° q3 180° = = =
−
=
y
29 N
R q R
– 27 N
q
x
59
60
Física I R 2 = (−27 N)2 + (29 N)2 R 2 = 729 N2 + 841 N2 R 2 = 1570 N2
R 39.6 N 40 N Observa que redondeamos 39.6 N a dos cifras signicativas. =
tan θ R
≈
29 =
θ R
=
tan
1
−
29 27
47° q 180° 47° q 133° La magnitud de la fuerza resultante es de 40 N a 133°. qR = = =
27
ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE
I. Realiza la suma de los siguientes vectores colineales. 1. D1 = 40 m al Oeste D2 = 30 m al Oeste
2. D1 = 400 m al Sur D2 = 80 m al Sur
3. F 1 = 4 N a 0° F 2 = 9 N a 180°
4. F 1 = 60 N a 90° F 2 = 75 N a 270°
5. V 1 = 8 m/s al Este V 2 = 12 m/s al Oeste
6. D1 = 70 m al Norte D2 = 90 m al Sur
−
Tema 3 Introducción a los vectores
7. V 1 = 15 m/s a 20° V 2 = 10 m/s a 200°
61
8. F 1 = 15 N a 0° F 2 = 15 N a 180°
II. Suma de dos vectores cuyas líneas de acción son perpendiculares entre sí. 1. Determina la magnitud y la dirección de la fuerza resultante del siguiente sistema de fuerzas: F 1 = 40 N a 90° F 2 = 30 N a 0° F R a) b ) c ) d )
60 N 50 N 56 N 45 N
qr
a) b) c) d)
53.1° 60° 48° 50°
2. Un hombre camina 400 m hacia el Oeste y luego 200 m hacia el Norte. Determina la magnitud y la dirección del
desplazamiento resultante. D r a) b ) c ) d )
460 m 438 m 465 m 447 m
qr
a) b) c) d)
26.6° al norte del Oeste 26.6° al sur del Oeste 32° al norte del Oeste 20° al norte del Oeste
3. Un avión que vuela hacia el Oeste a 250 km/h es empujado hacia el Sur por una ráfaga de viento de 50.0 km/h. ¿Cuál
es la magnitud y la dirección de la velocidad resultante del avión? V R a) b ) c ) d )
255 km/h 270 km/h 240 km/h 248 km/h
qr
a) b) c) d)
13° al sur del Oeste 15° al sur del Oeste 11.3° al sur del Oeste 18° al sur del Oeste
62
Física I 4. Una persona camina 50.0 m hacia el Sur, y luego, 80.0 m hacia el Este. Calcula la magnitud y la dirección del despla-
zamiento resultante. D R a) b ) c ) d )
qr
99.0 m 92.0 m 94.3 m 100 m
a) b) c) d)
40° al sur del Este 32° al sur del Este 46° al sur del Este 58° al sur del Este
III. Suma de dos vectores sin origen común y cuyas líneas de acción no son perpendiculares entre sí. 1. Un avión vuela 400 km hacia el Este, luego cambia de ruta y vuela 500 km a 60° al norte del Este. Determina la mag-
nitud y dirección del desplazamiento resultante. N 500 km °
60
O
E
400 km
S
DR = 781 km
q =
33.7° 34° al norte del Este ≈
2. Un avión vuela 200 km hacia el Este, luego cambia de ruta y vuela 100 km hacia el suroeste. Determina la magnitud y
dirección del desplazamiento resultante. N
O
N 200 km 45
°
E
m k 0 S 1 0
DR = 147 km
28.75° 29° al sur del Este
q =
≅
Tema 3 Introducción a los vectores
63
3. Un barco navega 80.0 km hacia el Oeste y luego 30.0 km hacia el suroeste. Determina la magnitud y dirección del
desplazamiento resultante. N
N 80.0 km E
°
45
30.0 km S
S
DR = 103 km
11.9° 12° al sur del Oeste
q =
≅
4. Si un auto recorre 26.0 km hacia el Norte y luego recorre 62.0 km a 30° al norte del Este, ¿cuál es la magnitud y di-
rección del desplazamiento resultante. m k 0 . 2 6
N
30
26.0 km a O
q
R
°
DR
E
S
DR = 78.3 km
46.7° 47° al norte del Este
q =
≅
5. Dos fuerzas de 40.0 N y 60.0 N, respectivamente, actúan sobre una caja. Si el ángulo entre las dos fuerzas es de 60°, determina la magnitud y dirección de la fuerza resultante con respecto a F 2. F 1
N . 0 0 4 60
°
6 0 .0 N F 2
F R = 87.2 N
23.4° 23° respecto a la fuerza de 60 N
qR =
≅
64
Física I 6. Dos fuerzas de 30.0 N y 40.0 N, respectivamente, se aplican sobre un mismo cuerpo. Si el ángulo entre las dos fuerzas es de 25.0°, calcula la magnitud y dirección de la fuerza resultante con respecto a F 2. N 3 0. 0 25.0
F 1
°
4 0 .0 N
F 2
F R a) b ) c ) d )
60.8 N 62.0 N 68.4 N 72.5 N
con respecto a F 2 a) 10.7° b) 13° c ) 12° d ) 20°
qr
7. Dos fuerzas de 600.0 N y 750.0 N, respectivamente, se aplican sobre un auto para arrastrarlo. Si el ángulo entre las dos fuerzas es de 50°, calcula la magnitud y dirección de la fuerza resultante con respecto a F 2. F R qr con respecto a F 2 F 1 a) 1225 N a) 18° N 6 0 0 b) 26° b ) 1300 N c ) 32° c ) 1180 N 50 d ) 22° d ) 1200 N °
7 5 0 N
F 2
8. Calcula los componentes rectangulares de un desplazamiento de 80.0 m a 150°. D x a) b ) c ) d )
40 m 69.3 m 69.3 m 40 m − −
D y a) b) c) d)
69.2 m 40.0 m 40.0 m 69.2 m −
−
Tema 3 Introducción a los vectores
65
9. ¿Cuáles son los componentes rectangulares de una fuerza de 64.0 N a 300°? F x a) b ) c ) d )
F y
55.4 N 55.4 N 32.0 N 32.0 N −
−
a) b) c) d)
32.0 N 32.0 N 55.4 N 55.4 N −
−
10. De acuerdo con el siguiente sistema de fuerzas, calcula la magnitud y dirección de la fuerza resultante. y F R F 2 a) 85.6 N F 1 8 5 . 0 b ) 90.0 N N .0 N 6 0 c ) 92.4 N 40 30 x d ) 80.0 N °
°
11. Determina la magnitud y la dirección de la fuerza resultante del siguiente sistema de fuerzas. F R y F 1 a) 70.4 N 4 3 b ) 60.0 N N c ) 67.5 N 40 x d ) 75.2 N °
55
°
N 6 5 F 2
qR
a) b) c) d)
85° 99° 115° 105°
qR
a) b) c) d)
205° 175° 195.6° 196° 215° ≈
66
Física I
12. ¿Cuál es la magnitud y dirección de la fuerza resultante del siguiente sistema de fuerzas? F R
y
°
x
°
20
30
N 5 0 .0
a) b ) c ) d )
8 0 .0 N
qr
66.9 N 55.0 N 61.3 N 70.6 N
a) b) c) d)
300° 280° 320° 291°
13. De acuerdo con el siguiente sistema de fuerzas, halla la magnitud y dirección de la fuerza resultante. F 1 = 60.0 N a 45° F 2 = 20.0 N a 90° F 3 = 40.0 N a 300° F R a) b ) c ) d )
qr
76.1 N 60.4 N 68.3 N 62.06 N
a) b) c) d)
20° 32° 24° 29°
Fx 1 =
Fy 1 =
Fx 2 =
Fy 2 =
Fx 3 =
Fy 3 =
Rx =
Ry =
Diferencia de vectores
ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE
Para determinar la diferencia de vectores A B procedemos a determinar la suma vectorial A ( B), donde el vector B es el negativo de B. El vector B y su negativo B son vectores paralelos de igual magnitud pero de sentido contrario. −
+
−
−
−
1. Elabora una lista de cantidades físicas presentes en
nuestro entorno inmediato, donde es posible observar cuáles son las magnitudes escalares y cuáles son vec toriales. 2. Redacta un informe donde se observe la aplicación de los vectores de manera cotidiana. 3. Marca con una X, según la magnitud que corresponda, la cantidad física que se te indica.
→
B →
Magnitud
B
−
Figura 1.53 B y −B son vectores paralelos de igual magnitud pero de sentido contrario.
En la siguiente gura se ilustra cómo obtener la diferencia vectorial. →
R
B
−
→
→
→
R = A + ( B) = A −
→ −
B
A B Figura 1.54 Diferencia vectorial.
Temperatura Masa Tiempo Desplazamiento Área Aceleración Distancia Volumen Velocidad Fuerza Densidad
Escalar
Vectorial
Tema 3 Introducción a los vectores
1. ( a) b) c ) d )
) Las cantidades físicas vectoriales tienen… sólo magnitud sólo dirección sólo sentido todo lo anterior 2. ( ) Las cantidades físicas escalares tienen… a) sólo magnitud b) sólo dirección c ) sólo sentido d ) todo lo anterior 3. ( ) Es una cantidad física vectorial: a) distancia b) masa c ) desplazamiento d ) tiempo 4. ( ) Es una cantidad física escalar: a) desplazamiento b) fuerza c ) masa d ) velocidad 5. ( ) Una persona camina 100 m hacia el Norte y se detiene a comprar un café. Después continúa su ruta en la misma dirección y camina 400 m. Por último, decide caminar hacia el Sur y recorre 600 m. Determina la magnitud y dirección del desplazamiento resultante. a) 1100 m b) 100 m hacia el Norte c ) 100 m hacia el Sur d ) 100 m 6. ( ) Una persona camina 400 m al Este y luego 100 m al Oeste. Calcula la magnitud y dirección del desplazamiento resultante. a) 500 m al Este b) 300 m al Oeste c ) 300 m al Este d ) 500 m al Oeste e ) 300 m Un automóvil recorre 16 km al Este y luego toma la carretera hacia el Norte y recorre 10 km. De acuerdo con estos datos, responde las preguntas 7 y 8. 7. ( ) ¿Cuál es la magnitud del desplazamiento resultante? a) 22 km b) 28 km c ) 19 km d ) 26 km 8. ( ) ¿Cuál es la dirección del desplazamiento resultante? a) 28° al norte del Este b) 35° al norte del Este
c ) d )
67
58° al norte del Este 32° al norte del Este
Un avión se desplaza hacia el Oeste y recorre 300 km. Después cambia de dirección hacia el Norte y recorre 400 km. Responde las preguntas 9 y 10. 9. ( ) ¿Cuál es la magnitud del desplazamiento resultante? a) 700 km b) 480 km c ) 600 km d ) 500 km 10. ( ) ¿Cuál es la dirección del desplazamiento resultante? a) 62° al norte del Oeste b) 58° al norte del Oeste c ) 53.1° al norte del Oeste d ) 50° al norte del Oeste Un avión toma su ruta desde el aeropuerto y vuela 200 km hacia el Este, y luego recorre 300 km a 60.0° al norte del Este. Responde las preguntas 11 y 12. 11. ( ) ¿Cuál es la magnitud del desplazamiento resultante? a) 436 km b) 410 km c ) 280 km d ) 470 km 12. ( ) ¿Cuál es la dirección del desplazamiento resultante? a) 42° al norte del Este b) 36.6° al norte del Este c ) 30° al norte del Este d ) 40° al norte del Este Dos fuerzas de 60.0 N y 80.0 N, respectivamente, se aplican sobre un mismo cuerpo. Si el ángulo entre las dos fuerzas es de 35°, responde las preguntas 13 y 14. 13. ( ) ¿Cuál es la magnitud de la fuerza resultante? a) 134 N b) 128 N c ) 140 N d ) 183.4 N N 8 0. 0 35
F 1
°
6 0. 0 N F 2
68
Física I
14. ( ) ¿Cuál es la dirección de la fuerza resultante respecto
a la fuerza de 60.0 N? a) 25.0° b) 17.0° c ) 20.0° d ) 27.0°
Respecto a la siguiente gura, contesta las preguntas 17, 18 y 19. B
A →
V 1
De acuerdo con el siguiente sistema de fuerzas, contesta las preguntas 15 y 16.
→
→
Q
C
y
→
R
→
P
D
V 2
F 1 45.0 N =
25.0
F 2 90.0 N =
30.0
°
°
x
F 4 30.0 N =
F 3 24.0 N =
17. ( ) ¿Cuál de los vectores corresponden a la suma V 1 + V 2? a) P b) Q c ) R
18. ( ) ¿Cuál de los vectores corresponden a la diferencia 15. ( a) b) c ) d )
) ¿Cuál es la magnitud de la fuerza resultante? 0.30 N 35 N 30.6 N 28.2 N 16. ( ) ¿Cuál es la dirección de la fuerza resultante? a) 211° b) 205° c ) 221° d ) 240°
V 1 − V 2 a) P b) Q c ) R
19. ( a) b) c )
) ¿Cuál de los vectores corresponden a
−
V 1?
P Q R
Comunicar para aprender 1. Explica con tus propias palabras la diferencia entre un 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11.
conocimiento cotidiano y uno cientíco. Menciona las etapas del método cientíco. Explica la diferencia entre las ciencias formales y las ciencias factuales. Explica a uno de tus compañeros por qué son necesarias unidades patrón o estándar en el proceso de la medición. Explica a uno de tus compañeros como expresar 108 km/h en m/s. Explica con tus propias palabras como convertir 20m/s a km/h. Explica a uno de tus compañeros en qué casos es importante la notación cientíca. Explica cómo expresar 0.000 000 78 en notación cientíca. Explica con tus propias palabras cómo expresar 98 000 000 000 000 en notación cientíca. Menciona los tipos de errores que se cometen en la me dición. Explícale a uno de tus compañeros qué son las cifras signicativas.
12. Explica con tus propias palabras la diferencia entre un
vector y un escalar.
13. Explícale a uno de tus compañeros cómo se determinan los componentes rectangulares del vector F = 40 N a 30°. 14. Con respecto al sistema de fuerza que corresponde a las
preguntas 15 y 16 de tu evaluación (pág. 68), explica a uno de tus compañeros cómo hallar la magnitud y la di rección de la fuerza resultante. 15. Explica con tus propias palabras cómo sumar vectores por el método gráco del polígono. y
d 2 = 6m →
40° d 1 = 8m →
x
Explica a uno de tus compañeros cómo hallar la suma de los vectores a y b de la gura anterior, por métodos analíticos. →
→