Métodos cuantitativos para los negocios por David R. Anderson, Dennos J. Sweeney y Thomas a. Williams. Séptima edición, 1999, Internacional Thomson Editores. Capitulo 4º RESUMEN En este capítulo mostramos cómo se puede utilizar el análisis de decisión para resolver problemas con un mínimo razonable de alternativas de decisión y con un número razonable de estados de la naturaleza. La meta del análisis de decisión es identificar la mejor alternativa de decisión frente a eventos (es decir estados de la naturaleza) futuros inciertos o riesgosos. Hemos presentado tres procedimientos para la toma de decisiones sin probabilidades y analizamos el uso del procedimiento del valor esperado para la toma de decisiones con probabilidades. Acto seguido mostramos cómo utilizar información adicional sobre los estados de la naturaleza con objeto de revisar o actualizar las estimaciones de probabilidad y desarrollar una estrategia óptima de decisión. Utilizamos los conceptos de valor esperado de la información muestral, del valor esperado de la información perfecta y de la eficiencia de la información para evaluar la contribución de la información muestral. GLOSARIO Estados de la naturaleza Eventos futuros no controlables que afectan el resultado asociado con una alternativa de decisión. Resultado La medida de resultado como utilidad, costo o tiempo. Cada combinación de alternativa de decisión y de un estado de la naturaleza tiene un resultado asociado. Tabla de resultados Una representación tabular de los resultados de un problema de decisión. Árbol de decisión Una representación gráfica del problema de decisión que muestra la naturaleza secuencial de la toma de decisiones. Nodo Un punto de intersección o de unión en un árbol de decisión. Enfoque optimista Un procedimiento para la selección de una alternativa de decisión sin utilizar probabilidades. Para un problema de maximización, lleva a escoger la alternativa de decisión que corresponda al resultado más grande; para un problema de minimización, lleva a la selección de la alternativa de decisión que corresponda al resultado más pequeño. Enfoque conservador Un procedimiento para escoger una alternativa de decisión sin uso de probabilidades. Para un problema de maximización, lleva a la selección de la alternativa de decisión que maximice el resultado mínimo; para un problema de minimización, lleva a elegir la alternativa de decisión que minimice el resultado máximo. Enfoque minimax de arrepentimiento Un procedimiento para seleccionar una alternativa de decisión sin uso de probabilidades. Para cada una de las alternativas se calcula el máximo arrepentimiento. Este procedimiento lleva a escoger la alternativa de decisión que minimice el arrepentimiento máximo. Pérdida de oportunidades o arrepentimiento La pérdida (utilidad menor o costo superior) debido a no tomar la mejor decisión para cada estado de la naturaleza. Enfoque del valor esperado Un procedimiento de seleccionar una alternativa de decisión que se basa en el valor esperado de cada alternativa de decisión. La alternativa de decisión recomendada es aquella que proporcione el mejor valor esperado. Valor esperado (EV) Para una alternativa de decisión, es el promedio ponderado de los resultados. Las ponderaciones son las probabilidades del estado de la naturaleza. Análisis de sensibilidad El estudio de cómo las modificaciones en las estimaciones de probabilidades para los estados de la naturaleza afectan la alternativa de decisión recomendada. Valor esperado de información perfecta (VEIP) Valor esperado de información que le diría al que toma la decisión exactamente qué estado de la naturaleza va a ocurrir (es decir, una in-
formación perfecta). Probabilidades previas Las probabilidades de estados de la naturaleza previos a obtener información de muestra. Probabilidades posteriores (revisadas) Las probabilidades de los estados de la naturaleza después de revisar las probabilidades previas con base en información indicadora dada. Información de muestra Nueva información obtenida a través de la investigación o de la experimentación que permite una actualización o revisión de las probabilidades del estado de la naturaleza. Revisión Bayesiana El proceso de revisar probabilidades previas para crear probabilidades posteriores con base en información muestral. Valor esperado de la información muestral (VEIM) Diferencia entre el valor esperado de una estrategia óptima, con base en información perfecta y el "mejor" valor esperado , sin ninguna información de muestra. Eficiencia La relación de VEIP con VEIM; la información perfecta tiene una eficiencia de 100 por ciento.
PROBLEMAS 1.
La siguiente tabla o matriz de pagos muestra las utilidades para un problema de análisis de decisión con dos decisiones y tres estados de la naturaleza. a. Construya un árbol de decisión para este problema. b. Si quien toma las decisiones no sabe absolutamente nada de las probabilidades de los tres estados de la naturaleza, ¿cuál es la decisión recomendada utilizando los enfoques optimista, conservador y de arrepentimiento minimax? Alternativa de
2.
Estado de la naturaleza
decisión
s1
s2
s3
d1
250
100
25
d2
100
100
75
Suponga que quien debe tomar la decisión frente a cuatro alternativas de decisión y cuatro estados de la naturaleza desarrolla la siguiente tabla o matriz de pago de utilidades: Alternativa de decisión
Estado de la naturaleza s1 14
s2 9
s3 10
s4 5
d2
11
10
8
7
d3
9
10
10
11
d4
8
10
11
13
d1
a.
b.
c.
3.
Si quien toma las decisiones no sabe nada de las probabilidades de los cuatro estados de la naturaleza, ¿cuál es la decisión recomendada utilizando los enfoques optimista, conservador y de arrepentimiento minimax? ¿Qué enfoque prefiere usted? Explique. ¿Es importante establecer el enfoque más apropiado antes de analizar el problema para quien toma la decisión? Explique. Suponga que la tabla o matriz de pagos nos da costos en vez de pagos en utilidades. ¿Cuál es la decisión recomendada utilizando los enfoques optimista, conservador y de arrepentimiento minimax?
La decisión de Southland Corporation de producir una nueva línea de productos recreativos ha resultado en la necesidad de construir o una planta pequeña o una grande. La selección del tamaño de la planta depende de la forma en que reaccione el mercado a la nueva línea de productos. A fin de conducir un análisis, la administración de mercadotecnia ha decidido considerar la demanda posible a largo plazo como baja, media o alta. La siguiente tabla o matriz de pagos muestra la utilidad proyectada en millones de dólares: Alternativa de decisión Planta pequeña Planta grande
a. b.
Baja 150 50
Estado de la naturaleza Media Alta 200 200
200 500
Construya un árbol de decisión para este problema. Recomiende una decisión con base en los enfoques optimista, conservador y de arrepentimiento minimax.
4.
Investment Advisors, Inc., considera tres estrategias de inversión. Las utilidades de dichas estrategias dependerán de lo que ocurra con la tasa de interés bancario a lo largo de los siguientes 3 meses. Los resultados (en miles de dólares) aparecen en la tabla siguiente. a. ¿Qué estrategia de inversión recomendaría con base en uso de los enfoques optimista, conservador y de arrepentimiento minimax?
5.
La tabla o matriz de pagos de utilidades presentada en el problema 1 se repite aquí. Suponga que quien toma la decisión ha obtenido las siguientes estimaciones de probabilidades: P(s1) = 0.65, P(s2) = 0.15, y P(s3) = 0.20. Utilice el enfoque de valor esperado para determinar la decisión óptima. Alternativa de decisión
Estado de la naturaleza Reducción de Sin cambio de Aumento de la tasa la tasa la tasa s1
s2
s3
Estrategia, d1
14
9
10
Estrategia, d2
11
10
8
Estrategia, d3
9
10
10
6.
Para la tabla o matriz de pagos de utilidades presentada en el problema 2. Suponga que quien toma la decisión obtiene información que permite que se hagan las siguientes estimaciones de probabilidades: P(s1) = 0.5, P(s2) = 0.2, P(s3) = 0.2, y P(s4) = 0.1. a. Utilice el enfoque de valor esperado o de la esperanza matemática para determinar la decisión óptima. b. Determine los valores esperados en los nodos de un árbol de decisión. c. Ahora suponga que las entradas que aparecen en la tabla o matriz de pagos son costos; utilice el enfoque del valor esperado para determinar la decisión óptima. Alternativa de
7.
Estado de la naturaleza
decisión
s1
s2
s3
s4
d1
14
9
10
5
d2
11
10
8
7
d3
9
10
10
11
d4
8
10
11
13
Una empresa está considerando tres opciones para administrar su operación de procesamiento de datos: continuar con su propio personal, contratar un proveedor externo para que haga la administración (outsourcing), o una combinación de su propio personal y un proveedor externo. El costo de la operación depende de la demanda futura. El costo anual de cada alternativa de decisión y de estado de la naturaleza (en miles de dólares) es como sigue: Estado de la naturaleza Demanda Elevada Media
Alternativa de decisión
Baja
s1
s2
s3
Personal propio, d1
650
650
600
Proveedor, d3
900
600
300
Cambinación, d4
800
650
500
Si las probabilidades de la demanda son .2, 0.5 y 0.3. ¿Qué alternativa de decisión minimizará el costo esperado de la operación de procesamiento de datos? ¿Cuál será el costo anual esperado asociado con dicha recomendación?
8.
La siguiente tabla o matriz de pagos muestra la utilidad para un problema de decisión con dos estados de la naturaleza y dos alternativas de decisión. Alternativa de
Estado de la naturaleza
decisión
s1
s2
d1
10
1
d2
4
3
Utilice el análisis de sensibilidad gráfico para determinar los valores de la probabilidad del estado de la naturaleza s1 que haga que cada una de las alternativas de decisión tenga el valor esperado más elevado. 9.
La siguiente tabla o matriz de pagos muestra la utilidad para un problema de decisión con dos estados de la naturaleza y tres alternativas de decisión. Alternativa de
Estado de la naturaleza
decisión
s1
s2
d1
80
50
d2
65
85
d3
30
100
Utilice el análisis de sensibilidad gráfico para determinar los valores de la probabilidad del estado de la naturalezas, que haga que cada una de las alternativas de decisión tenga el valor esperado más elevado. 10.
Political Systems, Inc., es una nueva empresa que se especializa en servicios de información tales como encuestas y análisis de datos para individuos que se postulen para puestos públicos. La empresa está instalando sus oficinas centrales en Chicago y está pensando en tres oficinas que difieren en costo por su superficie y sus necesidades de equipo de oficina. Las proyecciones de utilidades mostradas (en miles de dólares) en cada localización se basaron tanto en estados de la naturaleza de demanda alta y baja. Estado de la naturaleza Alternativa de Demanda Demanda decisión Alta Baja Localizacion A Localizacion B Localizacion C
s1 200 120 100
s2 -20 10 60
a. Al principio la administración no se sintió cómoda para fijar probabilidades a los estados de la naturaleza. Suponga que p corresponde a la probabilidad del estado de la naturaleza de demanda elevada. ¿qué es lo que el análisis de sensibilidad gráfico le indica a la administración sobre preferencias de localización? ¿Podrá alguna de las localizaciones ser eliminada del análisis? ¿Por que sí o por que no? b. Después de una revisión adicional, la administración estimó la probabilidad de una demanda elevada en 0.65. Con base a los resultados de inciso (a), ¿Qué localización deberá seleccionarse? ¿Cuál es el valor esperado asociado con dicha decisión? Señalen los procedimientos de la solución por medio de la fórmula de valor esperado y por medio del árbol de toma de decisiones. 11.
Hace 6 meses, Doug Reynolds pagó 25 mil dólares por una opción para la adquisición de un terreno que está pensando en desarrollar. Otro inversionista ha ofrecido adquirir la opción de Doug en 275,000 dólares. Si Doug no acepta la oferta de este inversionista, adquirirá la propiedad, limpiará el terreno y lo preparará para su edificación. Él cree que una vez hecho esto podrá venderlo a algún constructor. Sin embargo, el éxito de la
inversión dependerá de cómo esté el mercado de bienes raíces en el momento que venda la propiedad. Si el mercado de bienes raíces está a la baja, Doug cree que perderá 1.5 millones de dólares. Si las condiciones del mercado se mantienen a su nivel actual, estima que su utilidad será de 1 millón de dólares. Si las condiciones del mercado se elevan en el momento que venda, estima una utilidad de 4 millones de dólares. Debido a otros compromisos, Doug no cree factible que pueda conservar el terreno una vez desarrollado, por lo que la única alternativa es vender la opción o desarrollar el terreno. Suponga que la probabilidad de que el mercado de bienes raíces esté a la baja,a nivel actual o ala alza sean 0.6, 0.3 y 0.1, respectivamente. a. ¿Qué decisión deberá tomar Doug, utilizando el procedimiento del valor esperado? b. Suponga que las probabilidades de que el mercado de bienes raíces sea a la baja, al nivel actual o a la alza son 0.5, 0.3 y 0.2, respectivamente. ¿Qué decisión debería tomar Doug con base en el enfoque de valor esperado? ¿Qué pasaría si las probabilidades fueran 0.4, 0.4 y 0.2? ¿Qué sugieren los resultados en relación con la inversión propuesta? c. Suponga que, después de consideraciones adicionales, Doug llega a la conclusión de que 0.1 es una buena estimación de la probabilidad de que el mercado de bienes raíces esté a la alza. Sin embargo, no es capaz de llegar a ninguna conclusión definida en relación con las probabilidades de los demás dos estados de la naturaleza. ¿Cuál debería ser la probabilidad de que el mercado esté a la baja para que el enfoque de valor esperado recomendase que vendiera su opción en 275 mil dólares? ¿Ayudaría esta información a Doug a tomar una decisión respecto a si debe o no vender la opción, o desarrollar el sitio? Explique. 12.
La tabla o matriz de pagos de utilidades que se presentó en los problemas 1 y 5 se repite a continuación. Alternativa de
Estado de la naturaleza
decisión
s1
s2
s3
d1
250
100
25
d2
100
100
75
Las probabilidades de los estados de la naturaleza son: P(s1) = 0.65, P(s2) = 0.15 y P(s3) = 0.20. a. ¿Cuál sería la estrategia óptima de decisión si estuviera disponible información perfecta? b. ¿Cuál es el valor esperado de la estrategia de decisión desarrollada en el inciso (a)? c. Utilizando el procedimiento del valor esperado, ¿cuál sería la decisión recomendada? ¿Cuál es el valor esperado correspondiente? d. ¿Cuál es el valor esperado de la información perfecta? 13.
La tabla o matriz de pagos de utilidades que se presentó en los problemas 2 y 6 se repite a continuación. Las probabilidades son: P(s1) = 0.5, P(s2) = 0.2, P(s3) = 0.2 y P(s4) = 0.1. a. ¿Cuál es la estrategia óptima de decisión si estuviera disponible información perfecta?
b. c.
¿Cuál es el valor esperado para la estrategia de decisión desarrollada en el inciso (a)? Utilizando el enfoque de valor esperado, ¿cuál sería la decisión recomendada? ¿Cuál sería su valor esperado? ¿Cuál es el valor de la información perfecta? Alternativa de
14.
Estado de la naturaleza
decisión
s1
s2
s3
s4
d1
14
9
10
5
d2
11
10
8
7
d3
9
10
10
11
d4
8
10
11
13
Suponga que se le plantea una situación de decisión con tres estados posibles de la naturaleza: S1, S2 y S3. Las probabilidades previas son: P(S1) = 0.2, P(S2) = 0.5 y P(S3) = 0.3. Con información muestral T, P(T | S1) = 0.1, P(T | S2) = 0.05 y P(T | S3) = 0.2, calcule las probabilidades revisadas o posteriores: P(S1| T), P(S2| T) y P(S3 | T).
15. La siguiente tabla o matriz de pagos de utilidades para un problema de decisión con 2 estados de la naturaleza y 3 alternativas de decisión, tiene las probabilidades previas s1 y S2 como P(S1) = 0.8 y P(S2) = 0.2. Alternativa de Estado de la naturaleza
a. b.
c. d.
decisión
s1
s2
d1
15
10
d2
10
12
d3
8
20
Utilice únicamente las probabilidades previas y el enfoque de valor esperado para determinar la decisión óptima. Utilice el análisis de sensibilidad gráfico para determinar los valores de la probabilidad del estado de la naturaleza si para el cual cada una de las alternativas de decisión tiene el valor esperado más grande. Encuentre el VEIP. Suponga que se obtiene información muestral T, con P(T | S1) = 0.2, y P( T | S2) = 0.75. Determine las probabilidades posteriores P(S1| T) y P(S2| T). Recomiende una alternativa de decisión con base en estas nuevas probabilidades.
16. Considere la siguiente representación en árbol de decisión de un problema de análisis de decisión, con 2 resultados de información muestral T1 y T2, 2 alternativas de decisión d1 y d2, y 2 estados de la naturaleza S1 y S2. Las probabilidades son: P(S1)=0.4 P(S2) = 0.6
P(T1| S1)=0.8 P(T1| S2) = 0.4
P(T2| S1)=0.2 P(T2| S2) = 0.6
S1 100 D1 0 S2 300 T1 0 S1 400 D2 0 S2 200 #1
1 S1 100 D1 0 S2 300 T2 0 S1 400 D2 0 S2 200
a. b. c.
17.
¿Cuáles son los valores para P(T1) y P(T2)? ¿Cuáles son los valores de P(S1 | T1) P(S2| T1), P(S1| T2) y P(S2| T2)? Determine la estrategia óptima de decisión y su valor esperado utilizando el procedimiento del árbol de decisión.
Un inversionista en bienes raíces tiene la oportunidad de adquirir terreno que actualmente tiene uso de suelo residencial. Si el siguiente a o el consejo municipal aprueba una solicitud de rezonificar la propiedad como comercial, el inversionista podrá rentar el terreno a una gran empresa de ventas de descuento, que desea abrir una nueva tienda sobre la propiedad. Sin embargo, si no se aprueba el cambio en la clasificación o uso del suelo, el inversionista tendrá que vender la propiedad con pérdida. Las utilidades (en miles de dólares) aparecen en la siguiente tabla o matriz de pagos.
a.
Alternativa de Estado de la naturaleza Rezonificación Rezonificación decisión aprobada no aprobada s1 s2 Adquisisción, d1 600 -200 No adquisición, 0 0 d2 Si la probabilidad de que se apruebe la rezonificación es de 0.5, ¿qué decisión se recomienda? ¿Cuál es la utilidad esperada?
b.
c.
18.
El inversionista puede adquirir una opción para comprar el terreno. Bajo la opción, el inversionista conservará el derecho de adquirir el terreno en cualquier momento durante los siguientes 3 meses, mientras aprende más sobre la posible resistencia presentada por los residentes del área a la propuesta de reclasificación del uso de suelo. Las probabilidades históricas de esta resistencia por parte de los residentes del área, para cada uno de los estados de la naturaleza, son como sigue: Elevada Baja resistencia resistencia H L Rezonificación aprobada, s1 0.2 0.8 Rezonificación no aprobada, s2 0.9 0.1 ¿Cuál es la estrategia óptima de decisión, si el inversionista utiliza el periodo de opción para aprender más sobre la resistencia de los residentes del área antes de tomar la decisión de adquisición? Si la opción le cuesta al inversionista 10,000 dólares adicionales, ¿deberá adquirir esta opción? ¿Por qué sí o por qué no? ¿Cuál es el máximo que el inversionista deberá estar en condiciones de pagar por la opción?
McHuffter Condominiums, Inc., de Pensacola, Florida, recientemente adquirió terrenos cerca del Golfo de México y está intentando determinar el tama o del proyecto de condominios que debe construir. Está considerando 3 tama os: peque o, d1; medio, d2, y grande, d3. Simultáneamente, una economía incierta hace difícil juzgar la demanda de los nuevos condominios. La administración de McHuffter se da cuenta de que un desarrollo grande seguido por una baja demanda podría resultar muy costoso para la empresa. Sin embargo, si McHuffter toma una decisión conservadora de un desarrollo peque o y a continuación se encuentra ante una demanda elevada, las utilidades de la empresa serán inferiores a las que podrían haber sido. Con los 3 niveles de demanda —baja, media y alta— la administración de McHuffter ha preparado la siguiente tablao matriz de pagos de utilidades (en miles de dólares). Alternativa de decisión
a. b.
c. d.
Baja
Demanda Media
Alta
s1
s2
s3
Pequeña, d1
400
400
400
Media, d2
100
600
600
Grande, d3
-300
300
900
Construya un árbol de decisión para este problema. Si no se sabe nada sobre las probabilidades de la demanda, ¿cuáles son las decisiones recomendadas utilizando los enfoques optimista, conservador y de arrepentimiento minimax? Si P(baja) = 0.20, P(media) = 0.35 y P(alta) = 0.45, ¿cuál es la decisión recomendada utilizando el procedimiento del valor esperado? ¿Cuál es el valor esperado de la información perfecta?
Suponga que McHuffter Condominiums hace una encuesta para ayudar a evaluar la demanda del nuevo proyecto de condominios. La encuesta informa sobre 3 indicadores de la demanda: débil (W), promedio (A) y fuerte (S). Las probabilidades condicionales se encuentran aquí:
e. f. g.
W
A
S
P(W | s1) = 0.6
P(A | s1) = 0.3
P(S | s1) = 0.1
P(W | s2) = 0.4
P(A | s2) = 0.4
P(S | s2) = 0.2
P(W| s2 ) = 0.1
P(A| s2 ) = 0.4
P(S| s2 ) = 0.5
¿Cuál es la estrategia óptima de McHuffter? ¿Cuál es el valor de la información de la encuesta? ¿Cuáles son el VEIP y la eficiencia de la información de la encuesta?
Soluciones a los problemas pares: 2.
a. Optimista: d1, Conservador: d3 Arrepentimiento minimax: d3 c. Optimista: d1, Conservador: d2 o d3 Arrepentimiento minimax: d2 4. Optimista: d1, Conservador: d1, Arrepentimiento minimax: d2, 6. a. d1 b. d4 8. p = 0.25 10. a. Si p > 0.44, localización A; si p < 0.44, localización C b. Localización A ya que 0.65 > 0.44 12. a. Si s1, entonces d1 ; si s2, entonces d1, o bien d2; si s3, entonces d2 b. 192.5 c. d1; 182.5 d. 10
