Ejercicios 2. Un inspect inspector or de Control Control de Cal Calida idad d seleccio selecciona na una pieza para probar probarla. la. Luego Luego la declara aceptable, reparable o chatarra. Entonces se prueba otra pieza. Elabore una lista de los posibles resultados de este experimento relacionado con dos piezas.
Primer pieza aceptable Segunda pieza aceptable. Primer pieza reparable Segunda pieza reparable. Primera pieza chatarra Segunda pieza chatarra. Primer pieza aceptable Segunda pieza reparable. Primer pieza aceptable Segunda pieza chatarra. Primer pieza reparable Segunda pieza aceptable. Primer pieza reparable Segunda pieza chatarra. Primera pieza chatarra Segunda pieza aceptable. Primera pieza chatarra Segunda pieza reparable 4. Una compañía compañía grande grande ue debe contrat contratar ar un nue!o preside presidente nte prepara prepara una lista lista "inal "inal de cinco candidatos, todos con las mismas cualidades. #os de ellos son miembros de un grupo minoritario. $ara e!itar ue el prejuicio in"lu%a en el momento de elegir al presidente, la compañía decide elegirlo e legirlo por sorteo. a. &Cu &Cu'l 'l es la probabi probabili lidad dad de ue uno de los los candida candidatos tos ue ue pertenec pertenecee a un grupo minoritario sea contratado( N =5 R= P ( A ) =n ( A ) P ( A ) =
2 5
= 0.4
b. &)u* concepto de probabilidad utiliz+ para hacer este c'lculo( $robabilidad Cl'sica. . Una Una em empr pres esaa pr prom omo!e o!er' r' a dos dos em empl plea eado doss de un gr grup upo o de seis seis hom hombr bres es % tr tres es mujeres. a. El Elab abor oree una lista lista de lo loss re resu sult ltado adoss de es este te ex expe peri rime ment nto, o, si existe existe in inte ter* r*ss particular por la igualdad de g*nero. 3 / 9 o 33 de ue sean dos mujeres.
6/9 o 66% de ue sean dos hombres. H1 h2 h3 h4 h5 h6 m1 m2 m3 1. H1 h2 2. H1 h3 3. H1 h4 4. H1 h5 5. H1 h6 6. H1m1 . H1 m2
!. H1 m3 9. H2 h3 1". H2 h4 11. h5
H2
12.
H2
h6 13.
H2
m1 14.
H2
m2
15. m3 16. h4 1. h5 1!. h6 19. m1 2". m2 21. m3 22.
H2
h5 23.
H3
h6 24.
H3
m1 25.
H3
m2 26.
H3
m3 2.
H3
h6 2!.
H3
m1 29.
H4
H4 H4 H4 H4 H5 H5 H5
3".
H5
m3 31.
H6
m1 32.
H6
m2 33.
H6
m3 34.
#1
m2 35.
#1
m3 36.
#2
m3
m2
1!/ 36 o el 5"% de probabilidade$ de $ea un hombre una mu&er la elecci'n. b. &)u* concepto de probabilidad utilizaría para calcular estas probabilidades(
Probabilidad cl($ica. -. Una muestra de 2 conductores con licencia re!el+ la siguiente cantidad de !iolaciones al límite de !elocidad. Cantidad
de
)antidad
violaciones
conductore$
0 1 2 3 4 5 o más Total
/0/ 4 //2 0 1 2
de
a. &En u* consiste el experimento( *eterminar +u, porcenta&e de conductore$ comete - cantidad de iolacione$ al lmite de elocidad. b. ndiue un posible e!ento. *e cada 2""" conductore$ 9" o el 405% ha cometido una o m($ iolacione$ al lmite de
elocidad. /. Un in!ersionista compra / acciones de 35 % registra los cambios de precio diariamente. a. Elabore una lista de los posibles e!entos para este experimento.
ue la$ accione$ $uban ue la$ accione$ ba&en ue $e mantenga el precio de la$ accione$ b. Calcule la probabilidad de cada e!ento descrito en el inciso a. 1 3
=0.33 o 33
c. &)u* concepto de probabilidad utiliz+ en b(
Probabilidad cl($ica /2. Los e!entos 6 % 7 son mutuamente exclu%entes. 8i $96:;.1 % $97:;.2, &cu'l es la probabilidad de ue 6 o 7 ocurran( &cu'l es la probabilidad ue ni 6 ni 7 sucedan( P ( X )=0.05 P ( Y )=0.02 P ( XUY )= 0.05 + 0.02= 0.07 P ( X ∩Y )=1− 0.07= 0.93
/4. El presidente de la junta directi!a a"irma <=a% 1> de probabilidades de ue esta compañía obtenga utilidades? @> de ue termine sin p*rdidas ni ganancias % 2> de ue pierda dinero durante el pr+ximo trimestre<. a. 3pliue una de las reglas de la adici+n para determinar la probabilidad de ue la compañía no pierda dinero el siguiente trimestre. A = obtieneutilidadesP ( A )=0.5 B =¿ pierde , ∋ ganaP ( B )=0.3 C = pierde P ( C )=0.2 P ( AoB )= P ( A ) + P ( B )=0.5 + 0.3 =0.8
b. 3pliue la regla del complemento para determinar la probabilidad de ue no pierda dinero el pr+ximo trimestre. P ( A )=1− P ( A ´ ) P ( AoB )=1 − P ( C )=1 −0.2=0.8
/. 8e lanza al aire dos monedas. 8i 3 es un e!ento
Si $on mutuamente ecluente$ por no $e puede obtener m($ de do$ po$ibilidade$. Si pue$to +ue la probabilidad e$ igual a 1. /-. 8ean $96:;.11 % $97:;.@1 8uponga ue la probabilidad de ue ambos ocurran es de .2. &cu'l es la probabilidad de ue 6 o 7 ocurran( P ( x )= 0.55 P ( y )=0.35 P ( x o y )= P ( x )+ P ( y ) =0.55 + 0.35
".9"
2. Un estudiante toma dos cursos, historia % matem'ticas. La probabilidad de ue pase el curso de historia es de . % la de ue apruebe el de matem'ticas es de .B. La probabilidad de pasar ambas es de .1 &cu'l es la probabilidad de pasar por lo menos uno( = .
3 .1.B
P ( A )= P ( H ) P ( M ) P ( A )=( 0.60)( 0.70)( 0.50) P ( A )=0.21
22. Un estudio lle!ado a cabo por la Dational 8er!ice $ar re!el+ ue 1> de los !acacionistas ue se dirigen a la regi+n de las ontañas Focallosas !isitan el parue de 7elloGstonne, 4> de los etons % @1> ambos lugares. a. &cu'l es la probabilidad de ue un !acacionista !isite por lo menos una de estas atracciones(
¿ D
¿
P ( D o B )= P ( D ) + P ( B ) P ¿
b. &u* nombre recibe la probabilidad de .@1( Probabilidad con&unta. c. &Los e!entos son mutuamente exclu%entes( Expliue su respuesta.
o $on eento$ mutuamente ecluente$ a +ue en e$te ca$o $e dan do$ eento$ a la ez0 por lo +ue e$ una probabilidad con&unta0 a +ue un turi$ta puede i$itar do$ lugare$ dierente$. 24. 8uponga ue
P ( X 1 )=.75
%
P ( Y 2| X 1 )=.40
. &Cu'l es la probabilidad conjunta
de
X 1
Y 2
%
(
P ( X 1 )= 0.75 P ( Y 2| X 1 )= 0.40 P ( X 1|Y 2 )=! P ( X 1|Y 2 )= P ( X 1) − P ( Y 2| X 1 )= 0.75−0.40 =0.35
2. 3ll 8easond $lumbing tiene dos camiones de ser!icio ue se descomponen con "recuencia. 8i la probabilidad de ue el primer cami+n est* disponible es de .B1 la probabilidad de ue el segundo est* disponible es de .1 % la probabilidad de ue ambos est*n disponibles es de .@ &cu'l es la probabilidad de ue ningHn cami+n se encuentre disponible( C/ .B1
3
C2
.@
.1
P ( No D )= P ( C 1) P ( C 2 ) P ( A )− 1=( 0.75 )( 0.50 )( 0.30 )=1.55−1 =0.1125
2-. CleanIbrush $roducts en!ío por accidente tres cepillos dentales el*ctricos de"ectuosos a una "armacia, adem's de /B sin de"ectos. a. &cu'l es la probabilidad de ue los primeros dos cepillos el*ctricos !endidos no sean de!ueltos a la "armacia por estar de"ectuosos( P ( A )=0.15 b.
&#e u* los primeros dos cepillos el*ctricos !endidos no est*n de"ectuosos( P ( A )=0.10
@. Un in!ersionista cuenta con tres acciones ordinarias. Cada una de ellas, independiente de las dem's, tiene la misma probabilidad deJ /: incrementar su !alor? 2: bajar su !alor? @: permanecer con el mismo !alor. Elabore una lista de los posibles resultados de este experimento. Calcule la probabilidad de ue por lo menos dos de las acciones aumente su !alor.
a 7cci'n ordinaria 81:e$ultado$
1. ;ncrementar $u alor 2.
1 3
=0.33
P ( A + B )= P A 1+ P A2 =0.333 + 0.333 =0.67
=a probabilidad de +ue por lo meno$ do$ accione$ aumenten $u alor e$ del 6%. @2. 8i pregunta a tres extraños las "echas de sus cumpleaños, &cu'l es la probabilidad de ue a. todos ha%an nacido el mi*rcoles? b. todos ha%an nacido en di"erentes días de la semana? c. todos ha%an nacido el s'bado( @4. P ( A 1 )=.20, P ( A 2 )=.40, P ( A 3 )=.40, P ( B1| A 1) =.25, P ( B1| A2 ) =.05 y P ( B 1| A 3 )=.10
3pliue el teorema de Aa%es para determinar P ( A 1 )=0.20 P ( A 2 )=0.40 P ( A 3 )= 0.40 P ( B1| A 1) =0.25 P ( B1| A 2) =0.05
P ( A 3|B 1 )
.
.
P ( B1| A 3 )=0.10 P ( A 3|B 1 )=! P ( A 2 ) P ( B1| A3 ) P ( A 3|B 1 )= P ( A 1 ) P ( B1| A 1 ) + P ( A 2 ) P ( B1| A2 ) + P ( A3 ) P ( B1| A 3 )
P ( A 3|B 1 )=
P ( A 3|B 1 )=
( 0.40 ) ( 0.10 ) 0.04 = ( 0.20 ) ( 0.25 ) +( 0.40 ) ( 0.05 ) +( 0.40 ) ( 0.10 ) 0.05 +0.02 +0.04 0.04 0.11
=0.3636
@. La doctora 8tallter ha enseñado estadística b'sica por !arios años. Ella sabe ue -> de los estudiantes terminar' los problemas asignados. ambi*n ue entre uieres hacen sus tareas, 0> pasar' el curso. Entre los ue no hacen su tarea, > pasar' el curso. ie Kishbaugh curs+ estadística el semestre pasado con la doctora 8tallter % pas+. &cu'l es la probabilidad de ue ha%a terminado sus tareas( P (" )= P ( A1 ) =0.80 + P ( A2 ) =0.90 P ( A3 )=0.60 A P ( A 1 ) + P
(¿¿ 2 ) 1.70 = =2.83 P ( A3 ) 0.60 P ( A 4 )=¿
@-. Una cuarta parte de los residentes de Aurning Fidge Estates dejan las puertas de sus cocheras abiertas cuando salen de su hogar. El je"e de la policía de la localidad calcula ue a 1> de las cocheras les robar'n algo, pero s+lo el /> de las cocheras con puertas cerradas les robar'n algo. 8i roban una cochera, &cu'l es la probabilidad de ue se ha%an dejado las puertas abiertas( C C =1 C a=
0.05 0.06
0.05
P ( 1 # C a ∩ 2 #C C )=
0.06
∗0.01
0.05
1
= =0.16 6
4. Fesuel!a las siguientes operacionesJ a. 2M/B 20 $ 17 $
b.
=6840
% 9 P3
P ( 9,3 )=
c.
9$
( 9− 3 ) $
=504
07 C 2
C ( 7,2 )=
7$ 2 $ ( 7 −2 ) $
=302400
42. Un nHmero tele"+nico consta de siete dígitos, los primeros tres representan el enlace, &cu'ntos nHmeros tele"+nicos son posibles con el enlace 1@B( 9∗10∗10∗10= 9000 n& 'erostele( ) ni*os
44. Una representante de la En!ironmental $rotection 3genc% 9E$3: piensa seleccionar muestras de / terrenos. El director tiene /1 terrenos, de los cuales la representante puede recoger las muestras. &cu'ntas di"erentes muestras son posibles( 15 $ C ( 15,10 )= = 4.712322276 x 1017 10 $ ( 15−10 ) $ 4. Una nue!a compañía !a a crear tres nue!as di!isiones. $ara dirigir cada una de ellas ha% siete gerentes elegibles. &#e cu'ntas "ormas se podrían elegir a los tres nue!os directores( 8ugerenciaJ 3sume ue la asignaci+n de la di!isi+n sí hace di"erencia.
10203 10204 10205 10206 1020 10304
10305 10306 1030 10405 10406 1040
10506 1050 1060 20304 20305 20306
2030 20405 20406 2040 20506 2060
30405 30406 3040 30506
3050 3060 40506 4050
4060 5060
4-. El nHmero de !eces ue ocurri+ un e!ento en el pasado se di!ide entre el nHmero de !eces ue ocurre. &C+mo se llama este en"oue de la probabilidad(
>no+ue de recuencia relatia. 1. AerdineNs Chicen Kactor% posee !arias tiendas en el 'rea del =ilton =ead, Carolina del 8ur. 3l entre!istar a los candidatos para el puesto de mesero, al propietario le gustaría incluir in"ormaci+n re"erente a la propina ue un mesero espera ganar por cuenta 9o nota:. Un estudio de 1 cuentas recientes indic+ ue el mesero ganaba las siguientes propinas por turno de - horas. Propina
Númer
o 2 $0 a $20 20 a 50 / B1 50 a 100 B1 100 a 200 1 200 o más 1 Total a. &cu'l es la probabilidad de ue una propina sea de O2 o m's( 50 500
= 0.1 e+ui,alenteal 10
b. Las categorías O a O2, O2 a O1, etc.. &se consideran mutuamente exclu%entes(
S'lo ba&o la premi$a de +ue lo$ alore$ $on tomado$ en cuenta en un $olo interalo0 pue$to +ue el lmite $uperior de un interalo el lmite inerior del $iguiente interalo $on lo$ mi$mo$0 entonce$
$e puede a?rmar +ue lo$ eento$
de?nido$
categora$
por
dicha$
con$tituen
eento$
mutuamente ecluente$. c. 8i las probabilidades relacionadas con cada resultado se sumaran, &cu'l sería el total( 200 500 100 500
75 500
=0.40 = 0.20 = 0.15
75 500 50 500
= 0.15 = 0.10
0.40 + 0.20 + 0.15+ 0.15 + 0.10 =1.00
d. &cu'l es la probabilidad de ue una propina sea de O1(
Si de?nimo$ +ue el alor de @5" pertenece al interalo @5" a @1""0 entonce$A P ( x = 50 )=
75 500
=0.15
e. &#e ue una propina sea in"erior a O2(
Sea el alor de la propina0 entonce$A P ( x < 200 ) =1− P ( x > 200 )= 1− 0.1=0.9
12. La primera carta de una baraja de 12 cartas es un re%. a. 8i lo regresa a la baraja, &cu'l es la probabilidad de sacar un re% en la segunda selecci+n(
Sea el eento de $acar un re0 entonce$A P ( x )=
4 52
=0.0769
b. 8i no lo regresa a la baraja, &cu'l es la probabilidad de sacar un re% en la segunda selecci+n(
Sea el eento de $acar un re0 entonce$A P ( x )=
3 51
=0.0588
c. &Cu'l es la probabilidad de seleccionar un re% en la primera carta ue se toma de la baraja % otro re% en la segunda 9suponiendo ue el primer re% no "ue reemplazado( 8ea x el e!ento de sacar un re% en la primera carta % sea % el e!ento de sacar un re% en la segunda carta, entoncesJ P ( x ) P ( y ) =( 1 )
( )= 3
51
0.0588
14. Pbser!e el siguiente dibujoJ
A
B
a. &u* nombre recibe el dibujo( *iagrama de Benn b. &u* regla de la probabilidad se ilustra( :egla del complemento c. A representa el e!ento ue se re"iere a la selecci+n de una "amilia ue recibe prestaciones sociales, &3 u* es igual P ( B ) + P ( B ) ( 1 1. 8uponga ue la probabilidad de ue cualuier !uelo de DorthGest 3irlines llegue /1 minutos despu*s de la hora programada es de .0. 8eleccione cuatro !uelos de a%er para estudiarlos. a. &cu'l es la probabilidad de ue los cuatro !uelos seleccionados lleguen /1 minutos despu*s de la hora programada( P=( 0.90 ) ( 0.90 ) ( 0.90 ) ( 0.90 )= 0.6561 b. &de ue ninguno de los !uelos seleccionados lleguen /1 minutos despu*s de la hora programada( P=( 0.10 ) ( 0.10 ) ( 0.10 ) ( 0.10 )= 0.0001 c. &#e ue por lo menos uno de los !uelos seleccionados no llegue /1 minutos despu*s de la hora programada( P=1 −( 0.10 ) ( 0.10 ) ( 0.10 ) ( 0.10 )=0.9999 1-. Qoe auer, de los Remelos de innesota, tu!o el promedio de bateo m's alto en la temporada 20 de la liga ma%or de b*isbol. 8u promedio "ue de .@1. 3sí ue suponga ue la probabilidad de conector un hit es de .@1 en cada turno al bate. En cierto juego en particular, suponga ue bate+ tres !eces. a. &)u* tipo de probabilidad constitu%e este ejemplo( $robabilidad Empírica b. &cu'l es la probabilidad de conectar tres hits en un juego( P-=0.365 Pb=3 P ( -|b ) =
0.365 3
= 0.1216
c. &de ue no conecte ningHn hit en un juego( - ∨ P ( -|b )= 0.365∗0.1216 =0.0443 P ¿ d. &de conectar por lo menos un hit(
P ( x . 1 ) =0.1216 + 0.0443 +0.365 =0.5309
. Una encuesta reciente publicada en AusinessSee aborda el tema de los salarios de los directores ejecuti!os de grandes compañías % si los accionistas ganan o pierden dinero.
os accionistas !anan "inero os accionistas pier"en "inero Total
Director ejecutivo con un salario mayor que $1 000 000 2
Director ejecutivo con un salario menor que $1 000 000 //
Total
4
@
B
/4
2
/@
8i se selecciona al azar una compañía de la lista de 2 estudiadas, &cu'l es la probabilidad de ueJ a. el director ejecuti!o gane m's de O/ ( P=
6 20
=0.30
b. gane m's de O/ o los accionistas pierdan dinero( P=
6 20
+
4 20
= 0.50
c. gane m's de O/ dado ue los accionistas pierden dinero( P=
4 20
=0.20
d. 8e seleccionen 2 directores ejecuti!os % se descubran ue ambos ganan m's de O/ ( P=
6 20
+
5 19
=0.5631
B4. $ara el juego diario de la Lotería en linois, los participantes seleccionan tres nHmeros entre % 0. Do pueden seleccionar un nHmero m's de una !ez, así ue un billete ganador podría ser, por ejemplo, @B, pero @@B. La compra de un billete le permite seleccionar un conjunto de nHmeros. Los nHmeros ganadores se anuncian en
tele!isi+n todas las noches. a. &cu'ntos di"erentes resultados 9nHmero de tres dígitos: es posible "ormar( 10∗9∗ 8=720
b. 8i compra un billete para el juego de la noche, &cu'l es la probabilidad de ue gane( P=
1 12 0
=1.38 x 10−
3
c. suponga ue compra tres boletos para el juego de lotería de la noche % selecciona un nHmero di"erente para cada boleto, &cu'l es la probabilidad de ue no gane con cualuiera de los boletos( P=
3 119
=0.02521
B. 8e descubri+ ue > de los turistas ue "ue a China !isitaron la Ciudad $rohibida, el emplo del Cielo, la Rran uralla % otros sitios hist+ricos dentro cerca de Aeijing. Cuarenta por ciento de ellos !isit+ 6iNan, con sus magní"icos soldados, caballos % carrozas de terracota, ue %acen enterrados desde hace 2 años. reinta por ciento de los turistas "ueron tanto a Aeijing como a 6iNan. &cu'l es la probabilidad de ue un turista ha%a !isitado por lo menos uno de esto lugares(
P ( AUB )= P ( A ) + P ( B ) P ( A ∩ B )= P ( 0.60 ) + P ( 0.40 )− P ( 0.60∗0.40 ) P ( AUB )=0.76
B-. Fe%nolds Construction Compan% est' de acuerdo en no construir casas iguales en una subdi!isi+n. 8e o"recen cinco diseños de exterior a los posibles compradores. La constructora ha uni"ormado tres planos de interior ue pueden incorporarse a cualuiera de los cinco modelos de exteriores. &cu'ntos planos de exterior e interior se pueden o"recer a los posibles compradores(
-. En el estado de ar%land, las placas tienen tres nHmeros seguidos de tres letras. &cu'ntas di"erentes placas son posibles(
Cm
1
ero$
"
9
!
=etra
2
2
2
$
6
5
2"
10
55" 1!0 2"
-2. im Aecie es propietario de Alecie n!estment % Feal Estate Compan%. La compañía recientemente compr+ cuatro terrenos en =oll% Karms Estates % seis terrenos en DeGburg Soods. Los terrenos eran igual de atracti!os % se !enden en el mismo precio aproximadamente. a. &cu'l es la probabilidad de ue los siguientes dos terrenos ue se !endan se ubiuen en DeGburg Soods( 2
P ( A ∩ B)= P ( A )∗ P ( B )= P ( N ∩ N )=
6
∗2 4
=0.1666
b. &cu'l es la probabilidad de ue por lo menos uno de los siguientes cuatro
ue se !endan se ubiue en =oll% Karms( 1
P ( A ∩ B)= P ( A )∗ P ( B )= P ( H ∩ H )=
4
∗1 6
=0.0416
c. &Estos e!entos son independientes o dependientes(
Son eento$ independiente$ -4. Una caja con 24 latas contiene / lata contaminada. res latas se !an a elegir al azar para probarlas. a. &cu'ntas di"erentes combinaciones de @ latas podrían seleccionarse( 24∗23∗22=12144
b. &cu'l es la probabilidad de ue la lata contaminada se seleccione para la prueba( P=
1 24
= 0.04166
-. #os componentes, 3 % A, operan en serie. 9#os componentes 3 % A est'n en series si ambos deben trabajar para ue el sistema "uncione.: 8uponga ue los dos componentes son independientes. &cu'l es la probabilidad de ue el sistema "uncione en estas condiciones( La probabilidad de ue 3 "uncione es de .0, igual ue la de A. P ( A ∩ B)= P ( A )∗ P ( B )= P ( 0.90 )∗ P ( 0.90 )=0.81 --. 3AC auto nsurance clasi"ica a los conductores en buenos, de riesgo medio o malos. Los conductores ue solicitan un seguro caen dentro de estos tres grupos en porcentajes de @, 1 % 2>, respecti!amente. La probabilidad de ue un buen conductor tenga un accidentes es de ./? la probabilidad de un conductor de riesgo medio es de .@ % la probabilidad de ue un mal conductor tenga un accidente es de ./. La compañía le !ende al 8eñor Aroph% un p+liza de seguro % *l tiene un accidente. &cu'l es la probabilidad de ue el señor Aroph% seaJ
a. un buen conductor( P=0.303 b. un conductor de riesgo medio( P=0.015 c. un mal conductor( P=0.02 0. La probabilidad de ue un ser!idor de red =$ se caiga es de .1. 8i usted tiene tres ser!idores independientes, &cu'l es la probabilidad de ue al menos uno de ellos sea "uncional( −4 P ( / 1 ∩ / 2 ∩ / 3 ) = P ( / 1 )∗ P ( / 2 )∗ P ( / 3 )=0.05∗0.05∗0.05=1.25 X 10
