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Estadística I
EJERCICIOS DE ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA. Profesor : Germán Rojas C. Ejercicio 1: Imagina que hemos preguntado a un conjunto de N personas qué opinión tienen acerca de la seguridad en el trasporte escolar. Las n respuestas se encuentran en una escala que va de 1 a 9, donde 1 represe representa nta un total total inseguri inseguridad, dad, mientra mientras s que 9 quiere significar una total seguridad. El resultado de la medición es el siguiente: 7 4 7 6 4 3 5 2 6 5
H M H H M H M M H M
5 5 4 2 4 6 8 6 5 7
M H M H M H M H M M
6 6 2 5 7 5 5 3 7 3
H M H M H M H M H M
8 5 4 5 4 5 4 4 5 2
M H M H M M H M M H
6 8 6 6 2 2 2 6 6 8
H H M M H M H H H M
5 5 4 5 1 6 4 1 7 5
M M M H M H M H M M
9 4 4 4 8 6 1 4 6
M M H H M M H H M
5 7 6 4 2 4 3 5 6
M M M M M H H H M
8 4 7 3 7 6 6 4 7
M M H H H M M H M
6 3 5 5 4 4 3 1 7
H M H M M H H M H
5 5 8 5 5 8 1 6 5
H 7 M M 3 H H 5 M M 9 M H 5 H M 4 M H 2 M M 5 H M 2 M
5 4 7 4 7 3 4 6 5
M H M H M H M H M
5 9 6 3 5 4 4 5 6
M H H M H M M H M
4 4 5 6 5 3 6 5 5
H H H M H H M H M
1 4 4 5 5 3 2 5 8
M H M H M M H M M
Se pide: 1. ¿Cuántas ¿Cuántas persona personas s fueron fueron encuesta encuestadas? das? 2. ¿Cuál ¿Cuál fue fue la respuesta respuesta más frecuente frecuente? ? 3. ¿Cuán ¿Cuántas tas person personas as tienen, tienen, como como máxim máximo, o, una actit actitud ud de cuatro cuatro puntos puntos en la escala (es decir, cuántas personas se encuentran que hay un alto grado de inseguridad en el trasporte)? 4. ¿Existe ¿Existe la misma misma percep percepción ción entre entre Hombres Hombres y mujere mujeres? s?
Ejercicio2: En un centro hospitalario de la Región Metropolitana se ha tratado, con un nuevo medicam medicamento ento llamado llamado SINDOLOR SINDOLORCABE CABEZA, ZA, durante durante 5 días a un grupo grupo de paciente pacientes, s, todos ellos padecen de jaqueca crónica (se despiertan todos los días con dolor de cabeza). Se realiza un estudio sobre el número de días que un paciente sufre mejoría con el anterior medicamento obteniendo la tabla:
Valores xi
Frecuencias ni
0
100
1
250
2
300
3
500
4
450
5
2000
Se pide:
Profesor. Germán Rojas Cabezas
1
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1. Realizando el gráfico adecuado y hallando los promedios (Media aritmética, Media ponderada, Media armónica, Media geométrica, Moda, y Mediana), indicar cuál sería el que mejor representaría los datos, (Contesta razonadamente y con el mayor detalle posible). 2. Calcula también el porcentaje de pacientes que sienten mejoría con el medicamento en todos los días del tratamiento. 3. ¿Por qué no calculamos el coeficiente de variación para ver la representatividad de la media? ¿Habría que hallarlo?. 4. Calcula el D 3.¿Qué significado tiene?
A aquellos pacientes que sienten mejoría todos los días del tratamiento se les realiza un estudio sobre el tiempo de reacción del medicamento (en minutos), encontrándose recogido los datos en la siguiente tabla:
Tiempo reacción
de Nº pacientes
0-10
300
10-20
500
20-30
400
30-40
500
40-60
300
de
Se pide: 5. Escribir las fórmulas de las diferentes medias e indicar cuál de las cuatro te parece más adecuada para aplicar en este ejercicio (Razonadamente). 6. A todos los pacientes que tardan en reaccionar más de 35’ se le aplica el medicamento complementario PAQUENODUELA para acelerar los efectos de SINDOLORCABEZA. Hallar el número de pacientes a los que se le aplica este segundo medicamento. 7. Estudiar la representatividad del tiempo medio de reacción. ¿Es representativo? ¿ Por qué? El Gobierno está pensando en introducir un medicamento con las características de SINDOLORCABEZA. Existen en el mercado junto con este dos productos más PALACABEZA y SINJAQUECAHOY. El tiempo medio de reacción de cada uno de ellos es respectivamente 25 y 30 minutos, con una varianza de 200 y 300 minutos 2. Se pide: Explica detalladamente que criterio de selección estadístico podría aplicar el Gobierno. Según el criterio anterior que medicamento sería el que pasaría a engrosar la lista de medicamentos del Instituto de Salud Pública.
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Ejercicio 3: La empresa automovilística COCHESALMENDRON ha realizado un control de potencia sobre los 1000 motores diesel que se han fabricado a lo largo del mes de noviembre del año 1997 obteniendo la siguiente tabla:
Potencia en CC
Frecuenci as
0-50
50
50-60
200
60-65
400
65-70
300
Más de 70
50
xi ni
4000 (*)
Se pide: 1. Sin utilizar el dato en negrita que aparece en la tabla anterior, ¿podrías representar gráficamente el histograma de frecuencias? ¿Por qué? (Razona detalladamente) 2. Calcula la potencia mediana de los motores. Sin el dato en negrita no podrías calcular ni la media (¿Por qué?) ni la moda (¿Por qué?), sin embargo calcular ambos promedios haciendo uso del dato en negrita. e indicando que se ha supuesto para estos cálculos. 3. En la especificación técnica del motor se indica que tiene una potencia mínima de 55 CC. Hallar el porcentaje de motores con una potencia mayor que está (Nota: Realizarlo por dos métodos: Cuartiles y proporcionalidad). 4. Estudiar la representatividad de la media aritmética. ¿Sería representativa? Los motores con menos de 55 CC se apartan de los demás y se estudia el número de piezas defectuosa que han motivado la pérdida global de potencia, obteniéndose la siguiente tabla:
Valore Frecuencia s s xi ni
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1
40
2
30
3
20
4
10
3
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Se pide : 5. 6. 7. 8. 9.
¿La media armónica, la media geométrica, la media ponderada y la media aritmética guardan alguna relación de orden? Calcular estás medias y compruébalo. Representa gráficamente los distribución de frecuencias de la tabla. Calcula la moda y el recorrido intercuartílico. ¿Qué diferencia existe entre subpoblación y encuesta? ¿Según que criterio nos permite diferenciar las características de una población?
Ejercicio 4: Se ha realizado una estadística en el centro comercial ALTOMAULE sobre los gastos (en miles de pesos) que una familia tiene cuando realiza sus compras un día cualquiera de la semana. Este estudio nos aporta la siguiente tabla:
Intervalos (M$)
Frecuencia s
[0-5]
1000
(5-10]
1100
(10-20]
1600
(20-50]
1000
(50-100]
300
Se pide: 1. 2. 3. 4.
5. 6.
¿Cuál es el motivo por el que los datos se presentan en intervalos? ¿ Te parece coherentes los datos de la tabla, o bien tendrías que estudiar su procedencia antes de continuar el estudio? Halla los ingresos que en ese día tuvo el centro comercial y el gasto medio, modal y mediano de cada familia. Si a todas las familias que gastan más de 40.000 pesos, se les obsequia con una bolsa de deporte o una cafetera, ambas valoradas en 2.500 pesos. Hallar el número de regalos que realiza el centro comercial, así como el porcentaje de clientes que se benefician de ellos. (Nota: utilizar percentiles ) Hallar el primer cuartil. ¿Qué significado tiene? Estudiar la representatividad del gasto medio. ¿Es representativa? ¿ Por qué?
De las diez personas encargadas de realizar la encuesta se sabe, de años anteriores, que tres de ellos se equivocan al elaborar la encuesta un 10% de las veces; cuatro rellenan ellos mismos el cuestionario y se equivocan el 75% de las veces y el resto son muy detallistas y cumplen perfectamente su trabajo.
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4
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Se pide: 1. 2. 3. 4.
¿Cuál es la variable? ¿Cuál es la frecuencia? ¿Por qué los datos no se dividen en intervalos? Hallar la media de la variable.
Ejercicios 5: Se realiza una estadística en dos centros de enseñanza, uno público y otro privado, referente a la nota global de la prueba para optar a una determinada beca, de cada uno de los alumnos que van a acudir a los exámenes de selectividad. Las distribuciones de frecuencias son las siguientes:
Centro privado Puntaje global de cada alumno.
Frecuencias
5,5
10
6.5
15
7.5
20
8.5
30
9.5
15
Centro público Puntaje global de cada alumno.
Frecuencias
[5 , 6]
250
(6 , 7]
150
(7 , 9]
100
(9, 10]
20
Se pide: 1.
A la vista de la tabla, te sugiere algún comentario de especial importancia. ¿Cuál es el motivo de que los datos se presente en dos tablas de diferente tipo?
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5
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2.
Estudiar las diferentes medidas de tendencia central (promedios) en las dos distribuciones. En cada distribución ¿cuál te parece más representativo? ¿por qué?
3.
Hallar el porcentaje de alumnos que en cada centro tiene un puntaje global superior al 7.
4.
Hallar los cuartiles primero y tercero de las dos distribuciones.
5.
Estudiar la representatividad de las medias obtenidas en las distribuciones por separado. ¿En cuál de las dos es más representativa?
6.
Dos alumnos pertenecientes el primero al centro privado y el segundo, al centro público, solicitan una beca para continuar sus estudios en el INACAP. El primero tiene una nota global de un 8.5 y el otro de un 7. Si sólo se concede una beca ¿quién sería el candidato a obtenerla aplicando el criterio estadístico de la variable tipificada?
Ejercicios 6: A la finalización del curso "Informática e Internet" se realizó un examen tipo test a los 300 alumnos obteniéndose la siguiente tabla relativa al número de preguntas acertadas:
Nº preguntas Nº acertadas alumnos 0-10
10
10-15
20
15-20
60
20-23
100
23-25
70
25-30
30
30-40
10
de
Se pide: 1.
Representa gráficamente la distribución de frecuencias anterior
2.
Hallar la media
3.
¿Cuál será el número de preguntas tal que la mitad de los alumnos obtengan un número de preguntas acertadas mayor que está?
4.
¿Cuál es el número de preguntas que más se repite? Contesta con todo detalle.
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Para la realización de la segunda parte del curso se convocan sesenta plazas. Hallar el número de preguntas mínima que ha debido acertar un alumno para poder realizar la continuación del curso. Una vez finalizado este segundo curso, se realiza un examen a los alumnos obteniéndose las siguientes notas:
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7
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Puntaj e
Nº Alumnos
4
8
5
12
5.5
15
6
14
6.5
6
8
5
Se pide: 1. 2. 3. 4. 5.
¿Por qué no se agrupan los datos en intervalos, como anteriormente? Halla la mediana, la moda, la media armónica y el recorrido intercuartílico. Hallar y estudiar la media y su representatividad. ¿Qué resulta más meritorio, obtener 28 preguntas acertadas en el primer examen u obtener un 6.5 puntos en el segundo? Si se concede un 15% de diplomas entre los alumnos de la segunda parte del curso. ¿A partir de qué puntaje se concederán?
Ejercicio 7: Un prevencionista escolar ha diseñado un método de capacitación de prevención de riesgo y lo ha aplicado a algunos de los trabajadores de un conjunto de empresas para evaluar su eficacia. En concreto dispone de los datos de un grupo de 20 trabajadores (grupo 1) de los cuales 8 no reciben el método y 12 sí lo reciben. Las calificaciones obtenidas (en una escala de 1 a 5) por estos 20 trabajadores a final de curso han sido los siguientes: Trabajadores que no reciben el método: 1, 2, 1, 4, 3, 3, 1, 2. Trabajadores que reciben el método: 4, 3, 2, 3, 3, 5, 3, 3, 4, 4, 4, 5. 1.
Construya la distribución de frecuencias de las calificaciones obtenidas en el grupo total, en el de Trabajadores que no reciben el método y en el de los que sí lo reciben
2.
Obtenga la representación gráfica que considere más adecuada para cada una de las variables del problema
3.
Confeccione el correspondiente histograma de las calificaciones obtenidas en el grupo total
4.
Con la información obtenida hasta ahora, ¿qué se podría comentar el prevencionista sobre la eficacia de su método?
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8
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5.
¿Cuál es la puntuación que deja por debajo de sí al 75% de los trabajadores que han recibido el método?
6.
¿Cuántos trabajadores de los que reciben el método han puntuado más de 3,5 puntos?
7.
¿Quiénes rinden más: los que reciben el método o los que no?
8.
¿Cuál ha sido la calificación media que se ha alcanzado en ambos grupos?
9.
¿Entre qué puntuaciones se halla el 50 por 100 medio de las calificaciones obtenidas en el grupo total?
10.
Obtenga la amplitud total, la varianza, la cuasivarianza y la desviación típica para el grupo total
11.
¿Cuál de los grupos es más homogéneo: los que reciben el método o lo que no?
12.
Obtenga la amplitud semi-intercuartil para el grupo total e interprete el resultado
13.
Si se construye la variable: Y = X + 5, ¿cuál es la media y la varianza de Y en el grupo total?
14.
Si se construye la variable: V = 2 X, ¿cuál será la media y la varianza de V en el grupo total?
15.
Si se construye la variable: W = 2X + 10
16.
Calcule las puntuaciones correspondientes a la escala W para los alumnos que no reciben el método
17.
Calcule la media en W
18.
Calcule la varianza y desviación típica para W
19.
El prevencionista decide recoger datos sobre el rendimiento de los trabajadores con su método de enseñanza en otro grupo diferente de 15 sujetos (grupo 2). Todos reciben el método y obtienen los siguientes resultados:
X i 1 2 3 4 5
ni 0 2 4 6 3
20.
Calcule la varianza y desviación típica de los datos en el nuevo grupo.
21.
¿Qué grupo obtiene mejores resultados el primero o el segundo?
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9
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22.
Calcule el coeficiente de variación en cada grupo
23.
Calcule la media y varianza total en ambos grupos
24.
El prevensionista decide transformar las puntuaciones para facilitar la interpretación de su método de enseñanza mediante la escala: Ti = 2 zi + 10
25.
Calcule las puntuaciones correspondientes a esta nueva escala en el grupo de trabajadores del grupo 1 que no reciben el método
26.
Calcule la media y la varianza para la escala Ti
27.
Obtenga la puntuación de CI de los sujetos del grupo 1 que no reciben el método
28.
Obtenga el índice de asimetría basado en la media y la moda, el índice de asimetría de Fisher y el índice intercuartílico en el grupo 1. Interprete los resultados.
29.
Obtenga algún indicador de la curtosis e interprete lo obtenido en las puntuaciones del grupo 1
Ejercicio 8: Diversos estudios han puesto de manifiesto la existencia de cierta relación entre la Accidentes Laborales y el Consumo de Tabaco. Para probar dicha hipótesis, se eligieron 2 muestras representativas de 10 fumadores y 8 no fumadores.
Las puntuaciones de la muestra de fumadores fue : 9, 17, 18, 25, 27, 33, 33, 34, 35, 35
Las puntuaciones del grupo de no fumadores fueron: 7, 10, 23, 12, 10, 21, 9, 25 Según estos datos calcule lo siguiente: 1.
Distribución de frecuencias del grupo de fumadores, del grupo de no fumadores y del grupo total
2.
¿Quiénes presentan más accidentes: los fumadores o los nofumadores? (justifique estadísticamente su respuesta)
3.
Calcule la media del grupo total de sujetos
4.
Calcule en las tres distribuciones obtenidas en la pregunta 1 la mediana y el centil correspondiente a la media de cada una de ellas
5.
Si se construyen las variables: Y = X + 3 y V = 2 X ¿Cuál es la media y la varianza de Y y V en el grupo total?
6.
Supongamos que queremos hacer 4 grupos en la distribución de fumadores del apartado 1:
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Nada Accidentados: 10% Poco Accidentados: 40% Bastante Accidentados: 40% Muy Accidentados: 10% ¿Qué puntuaciones delimitan esos 4 grupos? 7.
¿Qué grupo es más homogéneo en accidentes: los fumadores o los no-fumadores? Representar la variabilidad en un diagrama
8.
¿Qué puntuación típica corresponde al centil 75 del grupo de nofumadores?
9.
EVA, fumadora y JORGE, no-fumador, obtienen en extroversión una puntuación igual a 12. ¿Qué significa esto?
10.
Obtenga sus puntuaciones típicas
11.
Obtenga sus puntuaciones en una escala derivada de media 50 y desviación típica 4.
12.
Obtenga un indicador de la asimetría y otro de la curtosis para el grupo de fumadores
Ejercicio 9: La tabla de distribución de frecuencias relevada el peso de mujeres pacientes sometidos a régimen alimentario de un determinado Consultorio Local.
L
i-1
1.
Complete las distribución de pesos de los pacientes
2.
¿Cual es el peso que más mujeres tienen en común?
Li
60
62
63
65
66
68
69
71
72
71
Xi
ni
Ni
f i
Fi
pi
Pi
Xi●ni
5 0.18 65 1890 73
8
Ejercicio 10: En el mes de abril del 1999, El Banco Central de Chile, realizó un estudio urbano, de carácter local, con el propósito de estimar el ingreso per capita mensual. Con estos resultados se procedió a realizar una clasificación del nivel socioeconómico (N.S.E.)de la población de Talca.
N.S.E.
Población
%
ABC1 C2 C3 D
5.542 23.553 30.480 56.803
4,0 17,0 22,0 41,0
Profesor. Germán Rojas Cabezas
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Estadística I E
22.173 16,0 Total 138.551 100,0
En base a estos antecedentes SERNATUR, decidió realizar un estudio de 421 casos, dirigido a los estratos ABC1, C2 y C3 de la ciudad de Talca, para determinar el aporte del turismo al producto interno regional, medido a través del gasto.
Gasto Turístico Cifras en $ Li L i-1
N.S.E.
ni
ABC1
800.000
1.200.00
141
C2
318.000
800.000
139
C3
25.000
318.000
141
1. ¿Cual es el gasto turístico de los estratos estudiados? 2. ¿En cuantía de la media diferencia respecto a la media del gasto en la muestra analizada ?
Ejercicio 11: En razón de la alta cesantía imperante en la ciudad, la Dirección de Desarrollo Comunitario a decidido implementar una serie de asistencias sociales en función del puntaje de la encuesta CASEN.
Li 15 30 45 60 75 90 105 120
L
i-1
30 45 60 75 90 105 120 135
ni 84 136 216 272 244 112 84 68
1. Si se entrega un pensión de $3.589 a cada persona del 25% más pobre. ¿Cuánto dinero tendría que desembolsar el municipio? 2. Al 50% menos pobre se le entrega una carta de recomendación para incorporarse a programas de empleos ¿Cuántos empleos se necesitaran para contratar a todos los que llegan con carta de recomendación del municipio? 3. Dado los recursos escasos del municipio solo el 3% menos pobre no recibirá ayuda. ¿A partir que puntaje de la encuesta CASEN no recibirá asistencia?
Ejercicio 12:
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En el Plan anual de Desarrollo Educativo Municipal (PADEM), se plantea que 3 establecimientos inviertan un total de M$ 7.200 para nueva infraestructura tendiente a generar impartir clases en jornada completa. Cada establecimiento dispuso de M$ 2.400 para distribuirlo en infraestructura, mobiliario y nuevas tecnologías. La inversión anual de cada unidad educativa fue la siguiente
Establecimiento Educacional
Inversión anual
Técnico Humanista Medio-Básico 1.
M$ 560 M$ 757 M$ 890
¿Cuál es la tasa de inversión promedio de los tres establecimientos en este periodo?
Ejercicio 13: La delincuencia en una amenaza social que ha afectado la convivencia local. Con el propósito de indagar cuál es la situación actual de la cuidad de Talca en materia de seguridad ciudadana, se consulto a distintas personas acerca de este concepto. A esta muestra se solicito que indicara de 1 a 7 cuán seguro era su entorno, en donde 1 significaba muy peligro a 7 que representaba muy seguro
L
L
I
1 2 3 4 5 6
i-1
Hombre ni
Mujeres ni
14 24 63 73 25 8
7 39 63 56 26 23
2 3 4 5 6 7
1. ¿La distribución de la seguridad ciudadana presenta mayor dispersión en los hombres que en las mujeres? 2. ¿Una mayor cantidad de mujeres percibe una inseguridad ciudadana, es decir, esta bajo la media
Ejercicio 14: La Dirección de Desarrollo Comunitario mantiene en sus bases de datos (ordenada por los ingresos mensuales) los registros de personas que han acudido por ayudad social al municipio. En consideración a la crisis asiática a decidido implementar una serie de asistencias sociales en función del ingreso per capita del beneficiario.
Li
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L
i-1
ni
13
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Estadística I 15.000 30.000 45.000 60.000 75.000 90.000 105.000 120.000
30.000 45.000 60.000 75.000 90.000 105.000 120.000 135.000
84 136 216 272 244 112 84 68
1. Si se entrega un pensión de $3.589 a cada persona del 18% más pobre. ¿Cuánto dinero, en total, tendría que desembolsar el municipio? 2. Al 25% menos pobre se le entrega una carta de recomendación para incorporarse a programas de empleos ¿Cuántos empleos se necesitaran para contratar a todos los que llegan con carta de recomendación del municipio? 3. Dado los recursos escasos del municipio solo el 7% menos pobre no recibirá ayuda. ¿A partir que ingreso per capita no recibirá asistencia?
Ejercicio 15: El programa Pro-Empleo que lleva a cargo la Intendencia Regional, tendiente a dar trabajo a los jefes de hogar que se encuentran cesantes. Según sus antecedentes esta variable presenta la siguiente distribución según el numero de integrantes que componen familia
L
i-1
1 3 5 7 9 11 13
L
I
ni
3 5 7 9 11 13 15
84 136 216 272 244 112 84
1. Si se entrega un trabajo al 21% de los jefes de familia que más carga tienen. ¿Cuántos empleos directos debieran darse? 2. Para navidad se planifica un bono de fiestas de fin de años de la siguiente manera. Al 20% de menor carga un bono de $1.000 por integrante, al 60% de cargas promedio un bono de $1.500 por carga y al 20% de mayores cargas un bono de $2.000¿Cuánto dinero debe ser presupuestado para cumplir con este aguinaldo?
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