Universidad de Cuenca Ingeniería Electrónica y Telecomunicaciones Telecomunicaciones
Investigación de Operaciones TRABAJO EXAMEN FINAL EJERCICIOS PROPUESTOS DEL LIBRO DE WINSTON
Ejercicio 12.- Una compañía planea abrir unas bodegas en cuatro ciudades; Nueva York, Los Ángeles,
Chicago y Atlanta. Desde cada bodega se pueden embarcar 100 unidades por semana. El costo fijo por semana por mantener en operación cada bodega es de 400 dólares para Nueva York, 500 dólares para los Ángeles 300 dólares para Chicago y 150 dólares para Atlanta. La región 1 del país requiere 80 unidades por semana, la región 2 demanda 70 unidades por semana y la región 3 necesita 40 unidades por semana. Los costos (sin olvidar los costos de producción y embarque) por enviar una unidad desde una planta a una región se señalan en la tabla 11. Se desea cumplir con las demandas semanales a un costo mínimo, sujeto a la información precedente y a las restricciones siguientes: 1. si se abre la bodega de Nueva York, entonces entonces se debe abrir la bodega de los Ángeles. Ángeles. 2. Es posible abrir a lo más dos bodegas. 3. Se tiene que abrir la bodega de Atlanta o la de los Ángeles Formule un PE que se pueda que se pueda usar para minimizar los costos semanales de cumplir con las demandas. Solución:
Desde
Región 1
Hasta (dólares) Región 2
Nueva York Los Ángeles Chicago Atlanta
20 48 26 24
40 15 35 50
Región 3
50 26 18 35
Tabla 11 Formulación:
Xi { = 1 Si se abre la bodega i (i=0,1,2,3,4) = 0 En caso contrario Yj = Cantidad de unidades destinadas para la región j (j=1,2,3) Yj = Cantidad de unidades trasladadas de la bodega i (i=1,2,3,4) Yij = Cantidad de unidades trasladadas de la bodega i (i=1, 2, 3, 4) hasta la región j (j=1, 2, 3) Programación Entera:
Min z = 400X1 + 500X2 + 300X3 + 150X4 +20Y11 + 40Y12 + 50Y13 +48Y21 + 15Y22 + 26Y23 +26Y31 + 35Y32 + 18Y33 +24Y41 + 50Y42 + 31Y43 S.a:
Y11 + Y21 + Y31 + Y41 = Y1 Y12 + Y22 + Y32 + Y42 = Y2 Y13 + Y23 + Y33 + Y43 = Y3 Y11 + Y12 + Y13 <= 100 Y21 + Y22 + Y23 <= 100 Y31 + Y32 + Y33 <= 100 Y41 + Y42 + Y43 <= 100 X1 <= MY11 X2 <= MY21 X3 <= MY31 X4 <= MY41 X1 <= MY12 X2 <= MY22 X3 <= MY32 X4 <= MY42 X1 <= MY13 X2 <= MY23 X3 <= MY33 X4 <= MY43 Y1=>80 Y2=>70 Y3=>40 X1 – X2 <= 0 X1 + X2 + X3 + X4 <= 2 X4 + X2 <= 1 X1,X2,X3=0 o 1; Y1,Y2,Y3,Y11,Y12,Y13,Y21,Y22,Y23,Y31,Y32,Y33,Y41,Y42,Y43 = # enteros M = Un número muy grande. Ejercicio 16.- El proyecto Lotus Point Condo contendrá casas y apartamentos. En el lugar se pueden
acomodar hasta 10000 viviendas. El proyecto debe incluir un proyecto recreativo: ya sea un complejo para natación y tenis, o bien, una dársena para veleros, pero no ambas cosas. Si se construye una dársena, el número de casas en el proyecto tendrá que ser por lo menos el triple del número de departamentos. Una dársena costará 1.2 millones de dólares, y un complejo para natación y tenis costará 2,8 millones de dólares. Los promotores creen que cada apartamento proporcionará ingresos con un valor actual neto de 48000 dólares, y que cada casa proporcionará ingresos con un valor actual neto de 46000 dólares. El costo de construcción de cada casa (o departamento) es de 40000 dólares. Formule un PE para ayudar a Lotus Point a maximizar las g anancias. Solución: Variables de decisión:
x1 = número de casas construidas. x2 = número de departamentos construidos.
1 si se construyeun complejo de natación y tenis y 1 0 caso contrario 1 si se construyeuna dársena para veleros y 2 0 en casocontrario Modelo:
Maximizar objetivo = (46x1 + 48x2)-(40x1 + 40x2)-2800 y1-1200 y2
Restricciones:
1. Restricción del número máximo de viviendas que pueden acomodarse: x1 + x2 10.000 2. Restricciones de no negatividad y de valor entero de las variables x1 y x2 : x1, x2 0 ; x1, x2 enteros. 3. Las variables y1, y2 serán binarias: y1, y2, {0, 1}.
4. El proyecto debe incluir un complejo para natación y tenis, o bien, una dársena para veleros, pero no ambas: y1+ y2 = 1 5. Si se construye una dársena para veleros, el número de casas en el proyecto tendrá ser por lo menos el triple del número de departamentos (restricción de la “M grande”):,
3x2 - x1 M(1- y2) M = 30000. Elegimos M=30000 ya que, si 10000 es el número máximo de viviendas que se pueden construir, el valor máximo posible de la restricción 3x 2 – x1 será 30000, y se alcanza cuando x1=0 y x2=10000. Ejercicio 23.- En una planta de maquinas herramienta se deben terinar cinco trabajos cada dia. El tiempo
que toma efectuar cada trabajo depende de la maquina usada para ejecutar dicho trabajo.Si usa en modo algun una maquinam, entoces hay un tiempo de preperacin o de puesta a punto necesario. Los tiempos realcionados se proporcionan en la tabla mostrada. El objetivo de la compañía es minimizar la suma de los tiempos de preparacion y de operación necesaria para completar todos los trabajos. Formule y resuelva un PE(con LINDO, LINGO o el Solver para Excel) cuya solucion lo haga posible. Trabajo Maquina
1 2 3 4 5
1
2
3
4
5
42 X 58 58 X
70 85 X X 60
93 45 X 55 X
X X 37 X 54
X X X 38 X
Tabla 1 Solución:
Definiendo cuyos indices representan: i = numero de maquina j = trabajo realizado por la maquina i Por lo tanto sus ecuaciones son:
Tiempo de preparacion de las maquinas(min) 39 49 50 60 20
Donde las soluciones son, ysu solución se realizo en el programa WinQSB:
Ejercicio 26.- El gobernador Blue del estado de Berry pretende conseguir la legislatura del estado para
dividir injusta y arbitrariamente los distritos electorales de de Berry. El estado consiste en 10 ciudades y el numero de republicanos y democratas (en miles) en cada ciudad es el que se presenta en la tabla. Berry tiene cinco representantes electorales. Para formar los distritos electorales; las ciudades se tienen que agrupar segun las restricciones siguientes. 1.- Todos los electores en un a ciudad deben estar en el mismo distrito. 2.- cada distrito debe tener entre 150000 y 250000 electores (no hay electores independientes). El gobernador Blue es democrata. Suponga que cada votante siempre vota por todos los candidatos de un partido. Formule un PE que para ayudar al gobernador Blue a maximizar el numero de democratas que ganaran curules en el congreso. Ciudad Republicanos Demócratas
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
80 60 40 20 40 40 70 50 70 70 Tabla 2
34 44 44 24 114 64 14 11 54 64
Solución:
Xi = 1: si ganan los demócratas en el distrito i Xi = 0: caso contrario Yij =cantidad de votantes del tipo j (1=Demócratas, 2= Republicanos) Wij = 1 si los pobladores de la ciudad j pertenecen al distrito i
0 caso contrario Max Z = X1 + X2+ X3+ X4 + X5 Y11 + Y12 ≥ 150000 Y21 + Y22 ≥ 150000 Y31 + Y32 ≥ 150000 Y41 + Y42 ≥ 150000 Y51 + Y52 ≥ 150000 Y11 + Y12 ≥ 250000 Y21 + Y22 ≥ 250000 Y31 + Y32 ≥ 250000 Y41 + Y42 ≥ 250000 Y51 + Y52 ≥ 250000 Y12 = 80 W11 + 60 W12 + 40 W13 + 20 W14 + 40 W15+40 W16+70 W17 +50 W18 +70 W19+70 W1 10 Y22 = 80 W21 + 60 W22 + 40 W23 + 20 W24 + 40 W25+40 W26+70 W27 +50 W28 +70 W29+70 W2 10 Y32 = 80 W31 + 60 W32 + 40 W33 + 20 W34 + 40 W35+40 W36+70 W37 +50 W38 +70 W39+70 W3 10 Y42 = 80 W41 + 60 W42 + 40 W43 + 20 W44 + 40 W45+40 W46+70 W47 +50 W48 +70 W49+70 W4 10 Y52 = 80 W51 + 60 W52 + 40 W53 + 20 W54 + 40 W55+40 W56+70 W57 +50 W58 +70 W59+70 W5 10 Y11 = 34 W11 + 44 W12 + 44 W13 + 24 W14 + 114 W15+64 W16+14 W17 +44 W18 +54 W19+64 W1 10 Y21 = 34 W21 + 44 W22 + 44 W23 + 24 W24 + 114 W25+64 W26+14 W27 +44 W28 +54 W29+64 W2 10 Y31 = 34 W31 + 44 W32 + 44 W33 + 24 W34 + 114 W35+64 W36+14 W37 +44 W38 +54 W39+64 W3 10 Y41= 34 W41 + 44 W42 + 44 W43 + 24 W44 + 114 W45+64 W46+14 W47 +44 W48 +54 W49+64 W4 10 Y51 = 34 W51 + 44 W52 + 44 W53 + 24 W54 + 114 W55+64 W56+14 W57 +44 W58 +54 W59+64 W5 10 W11 + W21+ W31 + W41 + W51 = 1 W12+ W22+ W32 + W42 + W52 = 1 W13+ W23+ W33+ W43 + W53= 1 W14+ W24+ W34 + W44 + W54 = 1 W15+ W25+ W35+ W45+ W55 = 1 W16+ W26+ W36 + W46 + W56 = 1 W17+ W27+ W37 + W47 + W57 = 1 W18+ W28+ W38 + W48 + W58 = 1 W19+ W29+ W39 + W49 + W59 = 1 W1 10 + W2 10 + W3 10 + W4 10 + W5 10 = 1 Y11 - Y12 = a11 – a12 Y21 - Y22 = a21 – a22 Y31 - Y32 = a31 – a32 Y41 - Y42 = a41 – a42 Y51 - Y52 = a51 – a52
a11 ≥ X1 a21 ≥ X2 a31 ≥ X3 a41 ≥ X4 a51 ≥ X5 Ejercicio 28.- Tailandia admite reclutas navales en tres centros de reclutamiento. Luego, los reclutas
tienen que ser enviados a una de tres bases navales para capacitarlos. El costo del trasporte de un recluta desde un centro de reclutamiento a una base se presenta en la tabla 26. Todos los años se admiten 1000 hombres en el centro 1; 600 en el centro 2 y 700 en el centro 3. La base 1 puede entrenar 1000 hombres al año; la base 2, 800 hombres y la base 3, 700 hombres. Después que los reclutas son capacitados se envían a la base naval principal de Tailandia (B). Se les puede transportar en un barco pequeño o en uno grande. Cuesta 5000 más 2 dólares por milla usar un barco pequeño. Un barco pequeño es capaz de llevar hasta 200 hombres a la base principal y podría visitar hasta dos bases en su camino a la base principal. Están a disposición siete barcos pequeños y cinco grandes. Cuesta 10000 más 3 dólares por milla utilizar un barco grande. Un barco grande podría visitar hasta tres bases en su camino a la base principal y podría transportar hasta 500 hombres. Los “tours” posibles para cada tipo de embarcación se proporcionan en la tabla 27. Suponga que la asignación de reclutas a las bases de entrenamiento se efectúa aplicando el método de transporte. Luego formule un PE con la que se minimice el costo total en que se incurre por enviar a los hombres desde las bases de entrenamiento hasta la base principal.
Desde
Centro 1
Hasta (dólares) Centro 2
Centro 1 Centro 2 Centro 3
200 300 300
200 400 400 Tabla 26
Numero de Tour
1 2 3 4 5 6 7
Solución:
Lugares visitados
B-1-B B-1-2-B B-2-3-B B-2-B B-3-B B-1-3-B B-1-2-3-B Tabla 27
Millas recorridas
370 515 665 460 600 640 720
: hombres del centro de reclusión i en el tour j a la base principal : barcos del centro i en el tour j {1,0} : barcos grandes {1,0} : barcos pequeños {1,0}: tour
Centro 3
300 220 250
Las variables son binarias:
∑ = 1 ∑ = 1∑ ∑
para cada P para cada G
∑ para cada , Ct : Costo total función objetivo
Ejercicio 33.- La firma financiera Boris Milkem posee seis bienes. El precio de venta esperado (en
millones de dólares) por cada bien se presenta en la tabla 32. Si el bien 1 se vende en el año 2, la firma recibe 20 millones de dólares. Para conservar un flujo de efectivo regular, Milkem debe vender por lo menos 20 millones de dólares en el año 1, por lo menos 35 millones de dólares en el año 2 y por los menos 30 millones de dólares en el año 3. Prepare un PE que Milkem pueda usar para determinar cómo maximizar el rendimiento total de los bienes vendidos durante los años siguientes. A poner en marcha este modelo, ¿cómo se podría aplicar el concepto de horizonte de planeación rodante?
Bien
Año 1
Vendido en Año 2
1 2 3 4 5 6
15 16 22 10 17 19
20 18 30 20 19 25 Tabla 32
Solución:
Año 3
24 21 36 30 22 29
Función a maximizar Un bien solo puede ser vendido una vez Debe vender 20 millones mínimo el 1er año Debe vender 35 millones mínimo el 1er año Debe vender 20 millones mínimo el 1er año Ejercicio 34.- El servicio de bomberos de Smalltown tiene en la actualidad siete equipos con escaleras
ordinarias y siete cajas de alarma. Los dos equipos más cercanos con escalera a cada caja de alarma se dan en la tabla 3. Los padres de la ciudad desean maximizar el número de equipos con escalera ordinaria que se puedan reemplazar por equipos con escaleras extensibles. Las consideraciones políticas establecen infortunadamente que es posible reemplazar un equipo ordinario solo si, después del reemplazo por lo menos uno de los equipos más cercanos a cada caja de alarma todavía es un equipo ordinario. · Formule un PE que se pueda usar para maximizar la cantidad de equipos convencionales que es posible reemplazar por equipos con escaleras extensibles. Solución:
Xij = escalera j cercana a la caja i que va a ser cambiada Xij = 1 si se cambia el equipo ordinario por el extensible Xij = 0 caso contrario ZMAX = X12+ X13+ X23+ X24+ X31+ X35+ X42+ X46+ X53+ X56 + X64+X67+X75+ X77 S.a:
X12+ X13>= 1 X23+ X24>= 1 X31+ X35>= 1 X42+ X46>= 1 X53+ X56>= 1 X64 +X67>= 1 X75+ X77>= 1
X12 =X42 X13= X23= X53 X24= X64 X35= X75 X46 = X56 X67= X77 Xij= 0 o 1(i =j= 1, 2, 3, 4, 5, 6,7) Ejercico 40.- Con el fin de satisfacer las demandas de las telecomunicaciones en los 20 años siguientes,
Telstar Corporation estima que la cantidad de circuitos requeridos entre Estados Unidos y Alemania, Francia, Suiza y Reino Unidos era como se indica en la tabla45 . Se pueden crear dos tipos de circuitos: cable y satélite. Se dispone de dos tipos de circuitos de cable (TA7 y TA8). El costo fijo de construir cada tipo de cable y la capacidad de circuito de cada tipo se dan en la tabla 46. Los cables TA7 y TA8 van desde Estados Unidos hasta el Canal de la Mancha. Por lo tanto, hay un costo adicional por prolongar estos circuitos hasta otros países europeos. El costo variable anual por circuito se da en la tabla 47. Para crear y usar un circuito por satélite. Telstar debe lanzar un satélite y cada país que lo utiliza debe tener una estación (o estaciones) terrena(s) para recibir la señal. Cuesta 3 mil millones el lanzamientos de un satélite. Cada satélite lanzado es capaz de manejar hasta 140000 circuitos. Todas las estaciones terrenas tienen una capacidad máxima de 190 circuitos y cuesta 6000 dólares anuales operarlas. Formule un modelo de programación entera para ayudar a determinar de qué modo suministrar los circuitos necesarios y minimizar el costo total en que se incurra durante los 20 años siguientes. Luego, mediante LINDO (o LINGO) encuentre una solución cercana a la óptima. Después de 300 pivoteos, ¡LINDO opina que no hay una solución óptima! A propósito, no se requiere que cantidad de circuitos o de cables en un país sea entera, porque si no ¡el modelo nunca encontrara solución! Sin embargo, por lo que se refiere a algunas variables ¡el requisito de ser enteras es vital!
Pais
Circuitos necesarios
Francia Alemania Suiza Reino Unido
20000 60000 16000 60000 Tabla 45
Tipos de Cables
TA7 TA8
Costos Fijos de operación (miles millares de dólares)
Capacidad
8500 37800
1.6 2.3 Tabla 46
Pais
Costo variable por circuito (dólares)
Francia Alemania Suiza
0 310 290
Reino Unido
0 Tabla 47
Solución:
: cables TA7 para cada país : cables TA8 para cada país :satélites : estación terrena para cada país i=1 ;Francia i=2 ; Alemania i=3 ; Suiza i=4 ; Reino Unido
Sujeto A: 8500 8500 8500 8500