EJERCICIOS MODELADO CON PROGRAMACIÓN LINEAL
2.2A.13 Show & Sell puede publicitar sus productos en la radio y la televisión locales. El presupuesto para publicidad se limita a $10,000 al mes. Cada minuto de publicidad en radio cuesta $15 y cada minuto de comerciales en televisión $300.Show & Sell quiere anunciar- se en radio por lo menos dos veces más que en televisión. Por el momento, no es práctico utilizar más de 400 minutos de publicidad por radio al mes. Por experiencias pasadas, se estima que la publicidad por televisión es 25 veces más efectiva que la de la radio. Determine la asignación óptima del presupuesto a publicidad por radio y televisión. Solución. x 1=minutosen radios
x 2=minutos entv Maximizar
z=x 1+25 x 2
15 x 1+300 x 2 ≤10000
x1 ≥ 2∨−x 1+2 x 2 ≤0 x2 x 1 ≤ 400, x 1, x 2 ≥ 0
Tenemos x 1=60.61
x 2=30.3 z=60.61+25(30.3)
Z=818.11
2.2B.4 John debe trabajar cuando menos 20 horas a la semana para complementar sus ingresos al mismo tiempo que asiste a la escuela. Tiene la oportunidad de trabajar en dos tiendas de menudeo. En la tienda 1 puede trabajar entre 5 y 12 horas a la semana, y en la tienda 2 le permiten trabajar entre 6 y 10 horas. Ambas tiendas pagan el mismo salario por hora. Para decidir cuántas horas trabajar en cada tienda,John desea basar su decisión en la tensión del trabajo. Basado en entrevistas con otros empleados, John estima que, en una escala del 1 al 10,los factores de tensión son 8 y 6 en las tiendas 1 y 2,respectivamente.Como la tensión aumenta cada hora, supone que la tensión total en cada tienda al final de la semana es proporcional a las horas que trabaja en las tiendas. ¿Cuántas horas debe trabajar John en cada tienda? Solución.
x 1=numeros de horas por semanas en la tienda 1
x 2=numeros de horas por semanas en la tienda 2 Maximizar z=8 x 1+6 x 2
Capacidad: x 1+ x 2≥ 20 Restricciones: 5 ≤ x 1≤ 12
6 ≤ x 1≤ 10
10+10=20
Optimización: x 1=10
Horas
x 2=10 Horas
Por lo tanto:
z=8 ( 10 ) +6 ( 10 ) z=140
horas de estrés
3.6C.5 La división de educación continua del Colegio Comunitario Ozark ofrece un total de 30 cursos cada semestre. Los cursos ofrecidos suelen ser de dos tipos prácticos y de humanidades. Para satisfacer las demandas de la comunidad, se deben ofrecer por lo menos 10 cursos de cada tipo cada semestre. La división estima que los ingresos por el ofrecimiento de cursos prácticos y humanistas son aproximadamente de $1500 y $1000 por curso, respectivamente. (a) Idee una oferta de cursos óptima para el colegio. (b) Demuestre que el costo por curso adicional es de $1500,el cual es igual al ingreso por curso práctico.¿Qué significa este resultado en función de la oferta de cursos adicionales?
Solucion. x 1=curos practicos x 2=cursos de humanidades
Maximizar Restricciones x 1 ≥10
x 2 ≥10 x 1, x 2 ≥ 0
z=1500 x 1+1000 x 2
Optimización: x 1=10
x 2=20
z=1500(10)+1000(20)
z=40000 B) cambio x1=11 x 1+ x 2≤ 30
por
x 1+ x 2≤ 31 para que optimización sea :
z=1500 ( 11 ) +1000 ( 20 ) z=41500
∆z=41500-40000=15000 Conclusión: cualquier curso adicional será de tipo práctico. 2.2ª.5 Una compañía fabrica dos productos,A y B. El volumen de ventas de A es por lo menos 80% de las ventas totales de A y B. Sin embargo, la compañía no puede vender más de 100 unidades de A por día. Ambos productos utilizan una materia prima, cuya disponibilidad diaria máxima es de 240 lb.Las tasas de consumo de la materia prima son de 2 lb por unidad de A y de 4 lb por unidad de
B. Las utilidades de A y B son de $20 y $50, respectivamente. Determine la combinación óptima de productos para la compañía. x 1=Producto A
x 2=Praducto B
Maximizar z=20 x 1+50 x 2
Restricciones: x1 ≥ 8 o tambien−2 x 1+ 8 x 2≤ 0 x 1−x 2 x 1 ≤100 2 x 1+4 x 2≤ 240
x 1, x 2 ≥ 0
Optimización se produce en B: x 1=80
x 2=20
z=20(80)+50(20) z=2600
3.6ª.2 Wild West produce dos tipos de sombreros texanos. Un sombrero tipo A requiere dos veces la mano de obra que el tipo 2.Si toda la mano de obra disponible se dedica sólo al tipo 2,la compañía puede producir un total de 400 sombreros tipo 2 al día. Los límites de mercado respectivos para los dos tipos son 150 y 200 sombreros por día. El ingreso es de $8 por sombrero tipo 1 y de $5 por sombrero tipo 2. (a) Use la solución gráfica para determinar la cantidad de sombreros de cada tipo que maximice el ingreso. (b) Determine el precio dual de la capacidad de producción (en función del sombrero tipo 2) y el intervalo dentro del cual es aplicable. (c) Si el límite de la demanda diaria del sombrero tipo 1 se reduce a 120, use el precio dual para determinar el efecto correspondiente en el ingreso óptimo. (d) ¿Cuál es el precio dual de la participación en el mercado del sombrero tipo 2? ¿Qué tanto se puede incrementar la participación en el mercado al mismo tiempo que se obtiene el valor calculado por unidad? SOLUCION X1= SOMBRERO TIPO 1 X2= SOMBRERO TIPO 2 Maximizar. Z =8 X 1+ 5 X 2 Restricciones. 2 X 1+ X 2 ≤ 400 X 1≤ 150
X 2≤ 200 X 1, X 2 ≥ 0
A) Óptima se produce en B: X 1=100 X 2=200 Z =8(100)+5(200)
z=1800
b) A= ( 0,200 ) C=(150,200) Capcidad A 2 X ( 0 )+ X ( 200 )=200 8 X ( 0 ) +5 X ( 200 ) =1000 C 2 X ( 150 ) + X ( 200 )=500 8 X ( 150 ) +5 X ( 200 )=2200 TRABAJO 2200−1000 = =$ 4 por sombrero tipo 2 CAPACIDAD 500−200 Rango = (200,500) c) precio dual= 0 en el rango (100, infinito) esta forma de cambio x1 <= 150 a x1 <= 120 no tiene ningún efecto sobre ingreso optimo Z.
d) Sea d = límite de demanda del sombrero tipo 2 D (150,100 ) 100 8 X ( 150 ) +5 X ( 100 )=1700 F ( 0,400 ) 400 8 X ( 0 ) +5 X ( 400 )=2000 precio dual=
2200−1000 =$ 1 por sombrero tipo2 500−200
Rango (100,400) Máximo incremento en el límite de la demanda de sombrero tipo 2. 400 - 200 = 200 sombreros.
Bibliografía TAHA, H. A. (2012). INVESTIGACION DE OPERACIONES NOVENA. MEXICO: PEARSON EDUCACION.
