En los siguientes problemas, halle la pendiente (si es posible) de la recta que pasa por el par de puntos dado. Usandola Usandola formula formula de pend pendient ientee donde donde m =
( 2,−3 ) y (0,4 )
m=
m=
( 2,0 ) y (0,2 )
( )( 1 7
, 5 y
−1 11
,5
)
0−2
2 −0 0 −2
m=
( 2,6 ) y ( 2, −4 )
4 −(−3 )
=
2
=
Δ y y 2− y 1 = Δ x x 2− x 1
7
−2
=−1
−2
−4 −6 −10 = =indefinida =∞ 2 −2 0
m=
5−5
−1 11
−
1 7
=
0
−18
=0
77
En los siguientes problemas, halle la la pendiente y los interceptos de la recta mostrada. Luego determine una ecuación para la recta.
Hallando dos puntos de la gráfica( 0,0)
5
Hallandodos puntos de la gráfica (−4,0 ) , ( 0, ) 2
5
Hallandola pendiente m =
y =
2
−0
0+ 4
=
5 8
5 ( x + 4 ) 8
ecuación de larecta−5 x + 8 y −20 =0
Hallando dos puntos de la gráfica ( 3,0 ) , ( 0,5 )
m=
5 −0 0 −3
=
−5 3
Sustituyendo m y usandoun puntode la recta y −0 =
−5 ( 3
x −3 )=
−5 3
x + 5
5 x + 3 y − 15=0
Hallando dos puntos de la gráfica (
−5 2
, 0 ) , ( 0,−3 )
m=
−3 −0 −3 −6 = = 5 5 −5 0−( ) 2
y +3=
y = 6 x + 5 y + 15 =0
2
−6 ( 5
−6 5
x − 0 )
x −3
En los siguientes problemas, halle la pendiente y los interceptos de la recta cuya ecuación se da, y dibuje la gráfica de la recta. x =3 Dada la ecuación se deduce que su ecuaciones 1 x + 0 y =3,
entonces usandola fórmulam =
− A −1 = =indefinida = ∞, intercepto x =3 B
0
y =3 x Dada la formula y =mx + b ,donde mes la pendiente , entonces m=3, coninterceptos b= 0
3 x + 2 y = 6
Dada la formula y =mx + b 2 y =−3 x + 6
y =
−3 2
x + 3
ntoncesla pendiente m =
x y 2
+ =1 5
−3 2
con intercepto y =3, intercepto x = 2
Usandola fórmula m =
− A B
− =
1 2
1
=
−5 2
5 5
y =5 − x , coninterceptos x =2, y =5 2
En los siguientes problemas, escriba una ecuación para la recta con las propiedades indicadas. Usandola fórmula y − y 0= m ( x − x0 )
Pasa por (,!) y su pendiente es " y −0 =1 ( x −2 ) y = x −2
−1 Pasa por (#, $) y su pendiente es y −(−2 )=
y + 2=
−1 2
−1 2
x +
( x −5 ) 5 2
2
1 x y = − 2
2
Pasa por (,#) y es paralela al eje % Si es paralelaal e!e x entonces su pendiente esigual a 0 y =5
Pasa por (",!) y (!,") Hallando la pendiente m=
1−0 0 −1
=
1
−1
=−1, sustituendoen la formula tomandouno de los puntos "
y −0 =−1 ( x −1 ) y =− x + 1
( ) −1
Pasa por
5
2 1
, 1 y ( , ) 3 4
1
Hallando la pendiente m=
4 2 3
−3
−1 +
1 5
=
4 13
−45 52
x +
−45 52
15
Sustituyendo en la formula = y −1 =
y =
=
− 45 52
1
( x + ) 5
43 52
Pasa por (",#) y (&,#) Hallandola pendiente m = y −5 =0 ( x −1 )
5 −5 3 −1
0
= =0, sustituendoenlaformula tomandounodelos puntos " 2
y =5
Pasa por (',") y es paralela a la recta % y & Dadala ecuacion 2 x + y =3 su pendiente es igual −
A −2 = =−2, al ser paralela se cumple que m 1=m 2, ento 1 B
y −1 =−2 ( x −4 ) y −1 =−2 x + 8 y =−2 x + 9
Pasa por (&,#) y es perpendicular a la recta % y ' Dadala ecuacion x + y = 4, #allamos su pendiente conla formula −
A −1 = =−1, como es perpendicular a nue 1 B
y = x + 2
Problemas aplicados a los negocios y la econom*a
"+.$ tilidad de fabricación
Un fabricante estima que cada unidad de un artículo particular puede venderse por $3 más que lo que cuesta producirlo. También hay un costo fijo de $1 !!! asociado con la producci"n del artículo. a# %prese la utilidad total &'%# como una funci"n del nivel de producci"n % b# ()uánta utilidad 'o pérdida# se *enera cuando se producen % + , !!! unidades- ()uándo se producen % + ! !!!- ()uál es el n/mero más
peque0o de unidades que se deben vender para que la producci"n sea rentablec# ncuentre la funci"n de utilidad promedio &'%#. ()uál es la utilidad promedio cuando se producen 1! !!! unidadesa) $ ( x )= 3 x −17000
b) $ ( x )= 3 ( 5000 )− 17000=Una perdidade 2000 $ ( x )= 3 ( 20000 )−17000= 42000 enganancias $ara quesea rentabletengo querecuperar loin%ertido entonces : 3 x =17000
x =5666.666 & 5667 deart'culos %endidos se puededecir que se #arecuperado lain%erción
-entas al menudeo
Un fabricante vende lámparas a $,! la unidad2 a este precio los consumidores compran 3 !!! unidades al mes. 4ste desea reducir el precio y estima que por cada $1 de rebaja cada mes se venderían 1 !!! lámparas más. 5i el fabricante puede producir las lámparas a $6 por unidad e%prese su utilidad mensual como
una funci"n del precio al que se venden las lámparas dibuje la *ráfica y calcule el precio "ptimo de venta.
mpuesto sobre el ingreso
n la si*uiente tabla se muestra la tasa de impuestos federales !1! para contribuyentes solteros. a# %prese el impuesto sobre el in*reso de un individuo como una funci"n del in*reso *ravable % para 0 ( x ( 171850 . 7ibuje la *ráfica b# 8a *ráfica del inciso 'a# debe constar de cuatro se*mentos de recta. )alcule la pendiente de cada se*mento. (9ué sucede a las pendientes en la medida que aumenta el in*reso *ravable- %plique el comportamiento de las pendientes en términos prácticos. 5i el in*reso *ravable es :ás de 'límite inferior#
&ero no más de
! $; 3, $3< !!! $;
$; 3, $3< !!! $;
l impuesto es 7el e%cedente del límite inferior 1!= $;3.,! > 1,= $< ?;1., > ,= $1? ;1., > ;=
! $; 3, $3< !!! $;
/osecha
l 1 de @ulio los a*ricultores pueden obtener $; por arroba de papa2 después de esa fecha el precio disminuye en , centavos diarios por arroba. l 1 de @ulio un a*ricultor tiene 1
dibuje la *ráfica y calcule cuándo debería cosechar el a*ricultor la papa para ma%imiAar el in*reso.
/osto de transporte
Una compa0ía de autobuses adopt" una política de precios para *rupos que desean contratar sus vehículos. 7e este modo a los *rupos de no más de
+.$0ecisión del editor
Un autor debe decidir entre dos editores para publicar su nuevo libro. l editor le ofrece re*alías de 1= de las utilidades netas de los primeros 3! !!! ejemplares y 3.,= de todos los ejemplares que superan esa cifra con quien espera *anar $ netos de cada ejemplar vendido. l editor B no le pa*a re*alías de los primeros < !!! ejemplares vendidos pero le pa*a = de las utilidades netas de todas las copias que superen los < !!! ejemplares con quien espera *anar $3 netos de
cada ejemplar vendido. 5upon*a que el autor espera vender C ejemplares2 estableAca un criterio simple con base en C para decidir c"mo es que podría ele*ir entre los dos editores.
/osto de producción
Una compa0ía ha decidido un pedido del departamento de recreaci"n de la ciudad para fabricar ; !!! tablas de espuma de poliestireno las cuales se utiliAarán en el pro*rama de nataci"n del si*uiente verano. 8a compa0ía posee varias máquinas cada una de las cuales puede producir 3! tablas por hora. l costo de ponerlas en marcha para producir las tablas es $! por máquina. Una veA que éstas se han puesto en marcha la operaci"n se automatiAa por completo y puede ser vi*ilada por un solo supervisor de producci"n que *ana $16.! por hora. %prese el costo de producir ; !!! tablas como una funci"n del n/mero de máquinas utiliAadas dibuje la *ráfica y calcule el n/mero de unidades que la compa0ía debería utiliAar para minimiAar el costo.
Equilibrio de mercado
n los problemas si*uientes las funciones de oferta y demanda 5'%# y 7'%# se dan para un artículo dado en términos del nivel de producci"n %. n cada casoD a# ncuentre el valor de
x e para el cual se alcanAa el equilibrio y el
correspondiente precio de equilibrio $e b# 7ibuje en la misma *ráfica las curvas de oferta y demanda p + 5'%# y p + 7'%# c# (&ara qué valores de % hay escaseA en el mercado- (&ara cuales abundancia-
1(%) '% !! y 0(%) $&% '2!
1(%) &% "#! y 0(%) $% +#
1(%) x
2
% & y 0(%) " 3 & x
1(%) % +.'& y 0(%) $!." x
2
2
3 !.2'% #!
4ferta y demanda
8os productores ofertarán % unidades de un artículo en el mercado cuyo precio es p + 5'%# d"lares por unidad2 mientras que los consumidores demandarán 'comprarán# % unidades cuyo precio es p + 7'%# cada una donde S ( x ) =2 x + 15 y D ( x )=
385
x + 1
a# ncuentre el nivel de producci"n de equilibrio x e y el precio de equilibrio de $e b# 7ibuje en la misma *ráfica las curvas de oferta y demanda c# (7"nde cruAa el eje y la curva de oferta- 7escriba el si*nificado econ"mico de este punto
5nálisis del punto de equilibrio
Una comerciante puede vender cierto producto a $11! por unidad. l costo total consiste en un costo indirecto fijo de $ ,!! más costos de producci"n de $?! cada una. a# %prese el in*reso total de la comerciante el costo total y la utilidad total en términos de % 'n/mero de unidades vendidas#. 7ibuje en el mismo conjunto de ejes las funciones de in*reso total y costo total b# ()uántas unidades debe vender la comerciante para alcanAar el punto de equilibrioc# ()uál es su utilidad o pérdida si vende 1!! unidadesd# ()uántas unidades debe vender para lo*rar una utilidad de $1 ,!a) •
•
•
)ngreso= 110 x
*osto +otal =7500 + 60 x Utilidad = ) −* =110 x − (7500 + 60 x ) + 50 x −7500
b) 110 x =7500 + 60 x 50 x =7500
x =150 unidadesdeben %enderse
c) 110 x −( 7500 + 60 x ) 50 x −7500 50 ( 100 )−7500=−2500 existe una perdida
d) Utilidad = )ngresos−*osto de producción 1250=50 x −7500 50 x =8750
x =175 unidades deben ser %endidas
/osto de construcción
Una compa0ía planea construir un nuevo edificio y un estacionamiento sobre un terreno rectan*ular de 1!! metros de ancho y 1! de lar*o. l edificio tendrá ! metros de altura y una planta rectan*ular con perímetro de 3! metros como se muestra en la fi*ura de este problema.
a# %presa el volumen E'%# del edificio como una funci"n de la lon*itud de su lado más lar*o % b# Frafique la funci"n de volumen del inciso 'a# y determine las dimensiones del edificio de mayor volumen que satisfa*an los requerimientos se0alados c) 5upon*a que la compa0ía decide construir el edificio de volumen má%imo. 5i construir el edificio cuesta $, el metro c/bico y construir el estacionamiento $,! el metro cuadrado (cuál es el costo real-
