M´ et o dos eto do s Mate Ma tem´ m´ atic at icos os de la F´ısic ıs ica a II Tarea 6 ´ el M´endez Dr. Jos´e Angel Ang endez Gamboa Gamb oa 8 de abril de 2016 Nombre: 1. En los siguiente siguientess problemas, problemas, resuelv resuelvaa la ecuaci´ on de onda, sujeta a las condiciones dadas: on a ) u(0, t) = 0,
u(L, t) = 0,
u(x, 0) = 41 x (L − x) ,
b ) u(0, t) = 0,
u(L, t) = 0,
u(x, 0) = f (x),
c ) u(0, t) = 0,
u(π, t) = 0,
∂u = ∂t t=0
f (x) mostrado en la figura,
u(L, t) = 0,
u(x,
0) = 2 1 L
h
−
∂u = ∂t t=0
u(x, 0) = 61 x (π 2 − x2 ) , 2hx
d ) u(0, t) = 0,
0
x L
∂u = ∂t t=0
0
si 0 < x < L2 , si L2 < x < L
∂u = ∂t t=0
0
0
2. Una cuerda estirada est´a anclada en el eje x en x = 0 y x = π en t > 0. Si las vibraciones transversales tienen lugar en un medio que ejerce una resistencia proporcional a la velocidad instant´ anea, entonces la ecuaci´on anea, on de onda toma la forma ∂ 2 u ∂ 2 u ∂u = + 2 β , ∂x 2 ∂t 2 ∂t
0 < β < 1 ,
t > 0
encuentre el desplazamiento u (x, t) si la cuerda parte del reposo desde el desplazamiento inicial f (x).
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Figura 1: Gr´afica afica del ejercicio 1 b
3. El desplazamiento vertical u(x, t) de una cuerda infinitamente larga se determina mediante el problema de valor inicial ∂ 2 u ∂ 2 u α = 2 , ∂x 2 ∂t 2
−∞
con las condiciones
u(x, 0) = f (x),
,
∞
t > 0
= g (t)
t=0
Este problema puede resolverse sin separar variables.
a ) Demuestre que la ecuaci´on de onda puede expresarse en la forma sustituciones ξ = x + αt y η = x − αt.
∂ 2 u = ∂η∂ξ
0 mediante las
b ) Integre la ecuaci´on diferencial parcial de la parte 3 a , primero respecto a η y despu´es respecto a ξ , para demostrar que u(x, t) = F (x + αt ) + G (x − αt), donde F y G son
funciones arbitrarias diferenciables dos veces, es una soluci´on de la ecuaci´o n de onda. Utilice esta soluci´on y las condiciones iniciales dadas para demostrar que x 1 1 F (x) = f (x) + g (s)ds + c 2 2α x y x 1 1 G(x) = f (x) − g (s)ds − c 2 2α x donde x0 es arbitraria y c una constante de integraci´on. c ) Utilice los resultados del inciso 3 b para demostrar que 1 u(x, t) = [ f (x + αt) + f (x − αt)] , −∞ < x < ∞. 2 La u ´ltima soluci´on puede interpretarse como una superposici´on de dos ondas viajeras, una movi´endose hacia la derecha (esto es, 21 f (x − αt )) y la otra movi´endose hacia la izquierda (esto es, 21 f (x + αt)). Ambas ondas tienen velocidad α y la misma forma b´asica o n de que el desplazamiento inicial f (x). La forma de u(x, t) obtenida se llama soluci´ d’Alembert.
0
0
4. El desplazamiento transversal u(x, t) de una barra vibratoria de longitud L, se determina a partir de la ecuaci´on diferencial parcial de cuarto orden ∂ 4 u ∂ 2 u α + 2 = 0, 0 < x < L, t > 0 . ∂x 4 ∂t Si la barra est´a simplemente apoyada, como ilustra la figura ?? , las condiciones de frontera 2
e iniciales son u(0, t) = 0, ∂ 2 u = 0, ∂x 2 x=0
u(x, 0) = f (x),
u(L, t) = 0, t > 0 ∂ 2 u = 0, t > 0 ∂x 2 x=L
∂u ∂t
= g (x),
0 < x < L
t=0
Despeje u (x, t). [ Sugerencia : Por comodidad, utilice λ = α 4 cuando separe las variables.]
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Figura 2: Gr´afica del ejercicio 4 !
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Figura 3: Gr´afica del ejercicio 6 5. Encuentre la temperatura u(x, t) de una varilla de longitud L = 2 si la temperatura inicial es f (x) en toda su longitud y los extremos x = 0 y x = 2 est´ an aislados, donde f (x) =
x
0
si 0 < x < 1 si 1 < x < 2 .
6. Supongs que se libera calor desde la superficie lateral de una varilla delgada de longitud L hacia el medio circundante que tiene temperatura de cero. Si aplicamos la ley lineal de transferencia de calor, entonces la ecuaci´on de calor toma la forma ∂ 2 u k 2 ∂x
−
hu =
∂u , ∂t
0 < x < L,
t > 0 ,
donde h es una constante. Determine la temperatura u (x, t) si la temperatura inicial es f (x) y los extremos x = 0 y x = L est´an aislados. Vea la figura 3.
