ejercicios para practicar INVESTIGACION OPERATIVA

Lic. Juan M. Eguivar G.

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Investigación operativa I

Investigación operativa I Ejercicios 1. La fábrica de muebles Harvy es especialista en la producción de dos clases de comedores muy de moda en la ciudad: El estilo imperial y el estilo Luis XV. Cada comedor requiere de una cantidad de tiempo diferente para la construcción y para la pintura. Harvi desea determinar el número de unidades de cada tipo de comedor que debe producir diariamente, de tal manera que se maximicen las utilidades. La empresa Harvi logra una utilidad (precio neto de venta-costo variable de fabricación) de $us 200 y $us 240 por la venta de un comedor imperial y uno Luis XV, respectivamente. Harvy ha experimentado una alta demanda de ambos comedores. En consecuencia, el gerente general cree que puede vender todos los comedores que produzca. Los comedores requieren tiempo de proceso en producción y de pintura. Los requerimientos y capacidades de producción diaria están resumidos en la tabla siguiente:

Recursos requeridos para producir una unidad

Producto vs. Recursos Imperial Luis XV

Disponibles

Tiempo de construcción C [h] Tiempo de pintura P [h] Utilidad unitaria

6 10 120 8 4 64 200 240 2. El alcalde de Montero, Santa Cruz de la Sierra, controla la venta de perfumes a través de un monopolio operado por él mismo. El ingreso que percibe es precisamente de la venta de tres clases de perfumes: A, E, P. En vista de que el alcalde no dispone de una destilería propia, importa tres tipos de perfume: C, B, M; y entonces los mezcla como se muestra en las tablas siguientes. Estas tablas también contienen: Fórmula, precio de compra y de venta, y disponibilidad de botellas al mes.

Clase de perfume

C

Tipo de perfume B

A

Al menos 50%

Cualquier cantidad

E

Cualquier cantidad

Al menos 20%

P

Cualquier cantidad

Cualquier cantidad

M No más de 30% No más de 80% No más de 20%

Precio de venta por botella $us 1000 $us 2000 $us 3000

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C

B

M

Precio de compra por botella $us 1500 $us 1000 $us 1200 Disponibilidad de [botellas/mes] 3000 2000 4000 3. Una cadena de almacenes tiene 1.5 millones para asignarlos a uno de sus almacenes. Tres productos: 1, 2, 3; requieren: 30, 3 y 15 pies cúbicos de espacio, respectivamente. Hay disponibles 300000 [pies 3]. El producto 1 cuesta $us 12; el producto 2 $us 4.5; y el tercero $us 15?. ¿Qué cantidad debe adquirirse de cada grupo si los precios de venta de 1, 2, 3 son: $us 15, $us 6 y $us 21, respectivamente? 4. El siguiente es el número mínimo de meseras necesarias para que una cafetería pueda funcionar las 24 horas del día:

Periodo Número de meseras 6-10 10 10-14 12 14-18 7 18-22 8 22-2 12 2-6 7 Cada mesera trabaja ocho horas consecutivamente por día. El objetivo es encontrar el menor número requerido para cumplir con las condiciones anteriores. 5. En las cercanías de la Universidad, Saira Orihuela tiene un negocio de transcripción en microcomputadores y fotocopiado de textos. Tiene 3 microcomputadores con una capacidad de memoria de 1 Tera c/u, velocidad de 1000Mhz, 8 Gb de memoria RAM. Hay una impresora láser que sirve a los tres microcomputadores con una capacidad de 5 hojas (full color) por minuto. Igualmente, tiene dos fotocopiadoras que tienen una capacidad de 70 copias por minuto; una fotocopiadora a color con una capaciadad de 10 copias por minuto, y una máquina offset con capacidad de 150 copias por minuto. En los microcomputadores trabajan 3 transcriptores a quienes se les paga $us 180 mensual c/u. Para las demás funciones de copiado se tiene 2 personas que ganan $us 150, uno de los cuales lleva la contabilidad. La resma de papel para fotocopias cuesta $us 9; los cartuchos de tinta para la impresora cuestan $us 70 c/u y alcanzan para 1000 hojas. Las barras de tinta para las fotocopiadoras cuestan $us 15 y $us 150 para la fotocopiadora a color y alcanzan para 15000 y 500 hojas, respectivamente. La caja de formas contínuas tiene un costo de $us 25 y trae 1000 hojas. En servicios públicos se pagan $us 700 mensuales. Saira administra en negocio y devenga un sueldo de $us 400 mensuales. Por el mantenimiento de cada fotocopiadora y la máquina offset se paga $us 50 y $us 150 por los tres microcomputadores.

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La demandad por los cuatro servicios del negocio es: 1800 hojas transcritas diarias y 8000 copias diarias, de las cuales el 20% son por copiar en el offset y el 10% son copias a color. Diariamente, en promedio, se transcriben 1200 hojas, se hacen 1000 copias en offset, 5000 hojas fotocopiadas en blanco y negro y 40 copias a color. Para determinar el precio, los costos fijos se deben distribuir proporcionalmente al número equivalente de hojas (transcritas, fotocopiadas a color, en blanco y negro, en offset) y al promedio de los servicios prestados. Cuando es necesario hacer parte o la totalidad de un trabajo en otro negocio, porque se excede la capacidad, el costo por unidad en cada uno de los servicios se eleva en un 30%. Las personas que se encargan del offset, de las fotocopiadoras en blanco y negro, y de la fotocopiadora a color distribuyen su tiempo así, respectivamente: 20%, 70% y 10%. Estos porcentajes determinan la capacidad de atención en los servicios de copiado. El personal de fotocopiado gasta el 10% de su tiempo laboral en la preparación de las máquinas. Las personas que transcriben pueden digitar e imprimir 1 hoja por minuto, cada uno. Las fotocopias, hoja a hoja sólo permiten hacer como máximo 8 hojas por minuto La jornada laboral es de 10 horas diarias. Saira cobra 2 veces el costo por hoja de fotocopia, 3 veces el costo por hoja transcrita, 1.5 veces por hoja offset y 3.5 veces por fotocopia a color. 6. Aura Villarreal, debe encontrar la forma de minimizar sus costos en su negocio de alimentos “Deliciosísimo”. Aura, tiene 4 gamas de productos: Pastelitos de

dulce, pastelitos de queso, croquetas de pescado y pastelitos de pollo. En la tabla se indican los precios de venta de cada producto y las cantidades promedio, vendidas por día. Aura produce deacuerdo con los pedidos de colegios y universidades, y se encarga de distribuir los pedidos. Para ello a contratado dos repartidores, a quienes paga el salario mínimo. El alquiler del local donde prepara los alimentos es de $us 300000 mensuales y $us 200000 en servicios públicos. Hay cuatro señoras que se encargan de prepara los alimentos, cada una de las cuales devenga $us 180000 mensuales. La gasolina y el mantenimiento de las dos motos repartidoras tiene un costos de $us 300000 al mes. Aura administra el negocio y se ha asignado un sueldo de $us 600000. El aseo del local esta a cargo de las cocineras. Los costos fijos se distribuyen proporcionalmente a la cantidad equivalente de unidades producidas y a la producción promedio mensual.

Producto Precio de venta unitario Producción diaria Pastelitos de dulce $us 200 1000 Deditos de queso $us 150 1500 Croquetas de pescado $us 400 800 Pastelitos de pollo $us 250 1200 pág. 3


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El negocio funciona de lunes a domingo, 8 horas al día. Aura ha notado que se gasta 500 gr de harina en 100 pastelitos de dulce, de pollo o deditos y esta tiene un costo de $us 450. El frasco de dulce de guayaba le cuesta $us 2.7 y alcanza para 150 pastelitos; 500 gr de queso blanco cuesta $us 1500 y rinde para 200 deditos. El kilo de pescado cuesta $us 3525, y se puede hacer 15 croquetas; el kilo de pollo $us 3400, y alcanza para 100 pastelitos. El costo de condimentos, aceite y verduras ha sido distribuido por Aura de la forma siguiente: 7 $us/unidad  Croquetas de pescado:  Pastelitos de pollo: 6 $us/unidad  Dedito de queso: 2 $us/unidad Los pastelitos de dulce no se preparan con ninguno de estos ingredietes. Aura debe tener en cuenta que no puede producir menos unidades de aquellas que absorben por lo menos sus costos totales para cada gama de producto. Por otra parte, de acuerdo con un análisis que hizo, llegó a la conclusión de que los repartidores no pueden distribuir más de 16000 unidades al día. 7. Higgins Company fabrica piezas de metal de alta precisión que se utilizan en los motores de automóviles de carrera. Cada pieza se fabrica en un proceso de forjado y refinación, y para ello se requiere cantidades mínimas de diversos materiales. cada pieza requiere 40 [oz] de pb, 48 de cu y 60 de fe colado. Hay cuatro tipos de minerales disponibles para el proceso de forjado y refinación. El mineral de tipo 1 contiene 4 [oz] de pb, 2 de cu y 2 de fe colado por lb. Una libra de mineral de tipo 2 contiene 2 [oz] de pb, 6 de cu y 6 de fe colado. Una lb del mineral del tipo 3 contiene 1 [oz] de pb, 4 de cu y 4 de fe colado. Por último, el mineral de tipo 4 contiene 2 [oz] de pb, 1 de cu y 8 de fe colado por lb. El costo por lb, para los 4 minerales es de: $us 20, $us 30, $us 60, $us 50; respectivamente. A la empresa Higgins le gustaría mezclar los minerales de manera que se satisfagan las especificaciones de las piezas y se minimice el costo de fabricación. 8. La compañía De la Costa, acaba de adquirir una licencia de operación para el servicio de automóviles entre el aeropuerto y el centro de la ciudad. Antes, en el servicio de estos automóviles operaba una flota de 30 vagonetas; sin embargo, el volúmen del negocio justifica la adición de otro vehículo. Además, la mayoría de los vehículos son muy viejos y requieren un mantenimiento muy costoso. Debido a la baja inversión que se necesita para la adquisición de la licencia, la Cia., está en disposición de reemplazar todos los vehículos existentes. Se estan considerando tres tipos de vehículos: Vagonetas, autobuses pequeños y autobuses grandes. La compañía ha examinado cada tipo de vehículo y ha recopilado los datos que se muestran en la tabla. El pág. 4


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consejo de administración de la Cia. ha autorizado $us 500000000 para la adquisición de vehículos. Las instalaciones de servicio y mantenimiento pueden manejar 30 vagonetas. En la actualidad, la compañía, no desea ampliar dichas instalaciones. Puesto que la nueva flota puede incluir buses pequeños y grandes, el departamento de mantenimiento debe estar en posibilidad de trabajar con ellos. Un autobus pequeño equivale

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a 1

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vagonetas, y cada autobus grande es equivalente a tres vagonetas. Plantee un modelo de programación lineal que permita a la Cia. determinar el número óptimo de cada uno de los tipos de los vehículos que se debe adquirir con objeto de maximizar las utilidades anuales esperadas.

Tipo de vehículo Precio de compra Utilidad anual neta esperada Vagoneta $us 6500000 $us 2000000 Autobus pequeño $us 10000000 $us 2800000 Autobus grande $us 29000000 $us 6500000 9. Termec Ltda. se desenvuelve en el negocio de reparación de máquinas lavadoras y secadoras domésticas. La compañía brinda servicios a clientes en toda la ciudad. Tiene cinco empleados de servicio que viven en diferentes lugares de la ciudad. Con el objeto de ahorrar tiempo de manejo y costos al inicio de cad día, el personal de servicio se dirige directamente de sus casas a los lugares donde se les requiere. La tabla presenta las distancias asociadas con los primeros cinco trabajos que deben llevarse a cabo. A cada empleado de servicio se le paga por conducir. Por ello la compañía desea minimizar la distancia extra de trabajo.

Empleado de servicio

Empleado de trabajo 1 2 3 4 5

1 2 3 4 5

20 14 6 10 22 16 8 22 20 10 8 6 24 14 12 20 22 2 8 6 4 16 22 6 24 10. Para la formulación de una diaria para pollos, el lote diario requerido de la mezcla son 100 lb de alimento, y la dieta debe contener: i) Al menos 0.8% pero no más de 1.2% de ca. ii) Al menos 22% de proteínas. iii) A lo más 5% de fibras crudas. Suponga, además, que los principales ingredientes utilizados incluyen maíz, soya y caliza (carbonato de calcio). El contenido nutritivo de estos ingredientes se resume a continuación en la tabla. El objetivo es minimizar el costo total del lote dado de la mezcla, de manera que satisfaga las restricciones físicas y nutritivas. Ingredientes Libras de contenido nutritivo por libra de Costo

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Calcio

ingrediente Proteínas


libra Fibra

Piedra caliza 0.380 0.00 0.00 0.0164 Maíz 0.001 0.09 0.02 0.0463 Alimento 0.002 0.50 0.08 0.1250 soya 11. Una fábrica de papel recibió tres pedidos de rollos de papel con los anchos y longitudes indicados en la tabla. Los rollos se producen en la fábrica con 2 anchos estándar, 10 y 20 [pies], los cuales hay que recortar a los tamaños especificadospor los pedidos. No existen límites sobre la longitud de los rollos estándar, ya que para propósitos prácticos los rollos de longitud limitada pueden unirse para proporcionar la longitud requerida. El objetivo es determinar el esquema de producción (modelo de corte) que minimice la pérdida por ajuste y satisfaga la demanda dada.

Número de pedido Anchura [pies] Número de rollos 1 5 10000 2 7 30000 3 9 20000 12. Motores recreativos fabrica carritos para golf y vehículos para niños en sus tres plantas. La planta A produce diariamente 40 carritos para golf y 35 para niños; la planta B produce diariamente 65 carritos para golf y ninguno para niños; la plnata C produce diariamente 53 vehículos para niños y ninguno para golf. Los costos diarios de operación de las plantas A, B y C son: $us 210000, $us 190000 y $us 182000. ¿Cuántos días, incluyendo domingos y feriados debe operar cada planta durante el mes de septiembre, a fin de lograr una producción de 1500 carritos de golf y 1100 vehículos para niños, a un costo mínimo? Considérese que lso contratos de trabajo especifican que una vez que la planta se abre, los trabajadores reciban el pago de todo el día. 13. Problema de inversión dinámica Un inversionista tiene la intención de hacer varias inversiones, las cuales se extenderán por un periodo de cinco años, al final del cual necesitará todo el capital. Las inversiones se hacen el primero de enero de cada año y son: a) Inversión A: Disponible el primero de enero de cada año y produce el 15% de interés al final de cada año. b) Inversión B: Disponible en dos añoa a partir de ahora (comienza el tercer año) y produce un retorno del 25% al final del tercer año, y lo máximo que el inversionista considerará son $us 40000 c) Inversión C: Disponible en un año a partir de ahora (comienza en el segundo año) y produce 40% al final del cuarto año. Esta inversión será de $us 30000 como máximo. El inversionista tiene $us 100000 disponibles para las inversiones.

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¿Cuál debe ser el portafolio de inversión que permita obtener la máxima utilidad en el periodo dado? 14. Inurbe posee 800 hectareas de tierra de primera clase, pero no urbanizada, en un lago escénico al noreste de la ciudad. En el pasado se aplicaba poca o ninguna regulación a nuevas urbanizaciones en torno al lago. Debido a la falta de servicio de drenaje, o desagüe para alcantarillado, se utilizan muchos tanques sépticos, la mayoría instalados en forma inadecuada. Con el paso de los años, la infiltración de los tanques sépticos ha provocado un grave problema de contaminación del agua. Para controlar la degradación de la calidad del agua, los funcionarios del municipio presentaron y aprobaron algunos reglamentos estrictos aplicables a todas las urbanizaciones que se proyecte construir en el futuro: a) Sólo se pueden construir casas para una, dos y tres familias, donde las unifamiliares constituyen cuando menos el 50% del total. b) Para limitar el número de tanques sépticos, se requieren tamaños de lote mínimo de 2, 3 y 4 hectáresas; para casas de 1, 2 y 3 familias. c) Se deben establecer áreas de recreo de una hectárea cada una, a razón de un área por cada 200 familias. d) Con miras a preservar el ecosistema del lago, no se puede extraer agua del subsuelo para uso en la casa o el jardín El presidente de Inurbe estudia la posibilidad de urbanizar 800 hectareas que posee ésta corporación en el lago. La nueva urbanización incluirá casas para una, dos y tres familias. Estima que el 15% del terreno se utilizará en la apertura de calles y vías de acceso para servicios. Así mismo, calcula que sus ingresos derivados de la venta de las diversas unidades habitacionales serán los siguientes:

Unidades habitacionales Ingreso neto por unidad [Sus] Simple Doble Triple 10000 15000 20000 El costo de conexión del servicio de agua al área es proporcional al número de unidades que se construyan. Sin embargo, la comunidad considerá que se deberá conectar a un costo mínimo de $us 100000 para que el proyecto sea económicamente factible. Además, la expansión del sistema acuífero más allá de su capacidad actual está limitado a 200000 [gal/día] durante un periodo de consumo máximo. Los datos que se presentan resumen el costo de conexión del servicio de agua y del consumo de ésta, suponiendo una familia de tamaño promedio. Unidad habitacional Sencilla Doble Triple Recreo Costo del servicio de agua por unidad [$us] 1000 1200 1400 800 Consumo de agua por unidad [gal/día] 400 600 840 650

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15. Un enfermo de un clínica requiere una dieta que debe tener 16 nutrientes escenciales. Suponga que hay 116 alimentos. Una libra del alimento Y contiene aij libras en el nutriente i. Si el enfermo debe tener N i libras de cada nutriente i en la dieta diaria y que una libra del alimento j cuesta C j bolivianos, ¿cuál es el costo mínimo de la dieta diaria que satisface todos los requerimientos nutricionales? ¿Qué aspecto importante se ha omitido en éste problema? 16. Juan Perez, exentrenador de encuentros vacunos, se ha convertido en operador de lotes alimenticios. Desea alimentar a sus animales de modo que alcance los requerimientos nutricionales a un costo mínimo. Juan está pensando utilizar maíz, soya, avena y alfalfa. La tabla siguiente muestra la información dietética relevante por libra de grano (por ejemplo, 1 lb de maíz proporciona 10 mg de proteína). Formule éste problema como un problema de programación lineal, para determinar una mezcla dietética que satisfaga las recomendaciones diarias a un costo mínimo. Nutrientes por libra de grano Nutriente Maíz Soya Avena Alfalfa Ración diaria recomendada Proteínas [mg] 10 9 11 8 20 [mg] Calcio [mg] 50 45 58 50 70 [mg] Hierro [mg] 9 8 7 10 12 [mg] Calorías 1000 800 850 9000 4000 Costo por libra 55 94 50 55 17. La compañía XYZ de inversiones tiene actualmente $us 10 millones para invertir. La meta es maximizar los réditos que se espera devengar en el próximo año. Las cuatro probabilidades de inversión se resumen en la tabla siguiente. Además, la compañía ha establecido que por lo menos el 30% de los fondos que debe ser colocado en el fondo común y en bonos de la tesorería, y no más del 40% en el mercado de valores y bonos municipales. Se debe colocar todos los $us 10 millones actualmente disponibles. Formule éste problema como un modelo de programación lineal que determine cuánto dinero invierte en cada agencia.

Resumen de las probabilidades de inversión Posibilidades de Réditos Inversión máxima permisible inversión esperados [%] [millones] Bonos de la tesorería 8 5 Fondo común 6 7 Mercado de dinero 12 2 Bonos municipales 9 4 18. La compañía DAM de inversiones debe escoger entre cuatro proyectos que estan compitiendo por una bolsa fija de inversiones de $us 1200000. La inversión neta y los réditos estimados de cada proyecto se dan en la tabla

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siguiente. Cada uno de los proyectos se puede consolidar a cualquier nivel fraccionario <=100%. Formule éste problema como un modelo de programación lineal que determine que fracción de cada proyecto contratar para maximizar los réditos esperados.

Proyectos de inversión Inversión [$us] Réditos esperados [$us]

Proyecto Centros comerciales Aceites exquisitos Casa de bajos ingresos Lou-Income Housing

400000 575000 500000 750000 300000 425000 450000 510000 19. Frutas de la Costa empaca frutas exóticas para regalos de aniversario. Sus paquetes son envueltos en dos tiendas diferentes, desde las cuales son enviados a cinco diferentes vendedores. El costo de empacar los productos en las tiendas 1 y 2 es de $us 5.25 y $us 5.70; respectivamente. La predicción del gerente sobre la demanda indica que los embarques deben ser como se indica en la primera tabla. La capacidad de empaque de la tienda 1 es de 20000 paquetes y de la tienda 2 es de 12000 paquetes. Los costos de distribución desde las tiendas se dan en la segunda tabla. Formule éste problema como un modelo de programación lineal para determinar cuántos paquetes debe enviar Frutas de la Costa desde cada tienda hasta cada vendedor.

Demanda de mayoristas Vendedor mayorista 1 2 3 4 5 Embarques requeridos 4000 6000 2000 10000 8000 De la tienda

Al vendedor mayorista 1 2 3 4 5

1 2

0.06 0.04 0.12 0.09 0.05 0.15 0.09 0.05 0.08 0.08

20. Problema de contaminación Acerías Paz del Río, una de las mayores productoras de acero, se ha preocupado por el problema de la contaminación del aire exhalado por sus altos hornos, debido que además de arruinar la apariencia de la ciudad, pone en peligo la salud de sus habitantes. Los tres principales tipos de contaminantes son partículas de materia, óxidos de azufre e hidrocarburos (sus tasas de emisión se listan en la tabla siguiente) cuyas fuentes principales de contaminación son los altos hornos para fabricar arrabio y los hornos de hogar abierto para transformar el hierro en acero.

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Contaminanate Partículas xido de azufre Hidrocarburos

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Chimenéas más altas Hornos de Altos hogar hornos abierto


Filtros Hornos de Altos hogar hornos abierto

Mejores combustibles Hornos de Altos hogar hornos abierto

12

9

25

20

17

13

35

42

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Para solucionar el problema, los ingenieros de la compañía determinaron que los métodos de abatimiento más efectivos son: 1) Aumentar la altura de las chimenéas. 2) Usar filtros (incluyendo trampas de gas) en las chimenéas. 3) Incluír limpiadores de alto grado en los combustibles de los hornos. Todos éstos métodos tienen limitaciones tecnológicas en cuanto a la cantidad de emisión que pueden eliminar como se muestra en la tabla siguiente, en millones de libras por año, y la capacidad de eliminación de cada uno es independiente de la de los demás; sin embargo se ha determinado que la reducción requerida de la tasa de emisión anual de contaminanates es: Contaminanate Reducción de la tasa de emisión [millones de lb] Partículas 60 Óxido de azufre 150 Hidrocarburos 125

Por otra parte, los costos se han estimado de la siguiente manera: Costo anual para el uso máximo factible:

Método Chimenéas más altas Filtros Mejores combustibles

Altos hornos Hornos de hogar abierto

8 10 7 6 11 9 21. Mi alimentación diaria requiere que todo lo que coma pertenezca a uno de los cuatro grupos básicos de alimentos (pastel de chocolate, helados, refrescos y pastel de queso). En la Heladería Americana se encuentran de éste tipo, de los cuales voy a comprar lo siguiente: Bizcocho de chocolate y nueces, frozomalt, Coca Cola y pie de queso con piña. Cada bizcocho cuesta $us 600; cada vaso frozomalt $us 1200; una botella de Coca Cola de 350 ml, $us 300 y cada porción de pie de queso con piña $us 800. Cada día debo ingerir por lo menos 500 [cal], 6 [oz] de chocolate, 10 de azúcar y 8 de grasa. El contenido nutritivo por unidad de cada alimento se muestra en la tabla siguiente. Formule un modelo de programación lineal que se pueda utilizar para satisfacer mis requerimientos alimenticios diarios a un costo mínimo. Alimentos Bizcochos Frozomalt (1 vaso) Coca Cola (botella 350 ml) Pie de queso con piña

Calorías Chocolate [oz] Azúcar [oz] Grasa [oz] 400 200 150 500

3 2 0 0

2 2 4 4

2 4 1 5

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