(λ )∗ − Utilizando la fórmula de distribución de Poisson: P(x)= x! En el ejercicio 57 se presenta una distribución de Poisson ya que nos dan como dato a lambda. 57.- Dado que λ=4.2, para una distribución de Poisson, encuentre: Aquí en este ejercicio se muestra que la probabilidad que queremos saber es menor o igual que 2, en donde x tomara valores de 0,1,2 y solo se sustituye con la fórmula de distribución de Poisson. a) P(x≤2) = P(x=0) + P(x=1) + P(x=2)
(.)∗ −. (.)∗ −. (.)∗ −. = ! + ! + ! =0.0150 + 0.0630 + 0.1323 = 0.2130
b) P(x≥5) = 1- P(x≤4) = 1- P(x=4) -P(x=3) -P(x≤2)
(.)∗ −. (.)∗ −. = 1 ! - ! – 0.2103 =1 -0.1944 – 0.1852 – 0.2103 = 0.4101
c) P(x=8):
(.)∗ −. = ! = 0.360 En el ejercicio 58 se muestra una distribución distribución binomial porque nos dan n y p y para sacar np se multiplica n * p y después se sustituye sustituye en la fórmula de distribución binomial, muy parecida a la de distribución de Poisson, pero en el en unciado no nos dan como dato a “lambda”, ya solo se sustituye para saber la probabilidad de P donde r =25. 58.- Dada una distribución binomial con n=30 ensayos y p=0.04, use la aproximación de Poisson a
la binomial para encontrar: np=1.2
(np)∗ − Utilizando la fórmula de distribución binomial: P(x)= donde np = n*p x! (.) )∗ −. . = a) P(r=25)= !
0.0000000000000000000000005139859743
(.)∗ −. = 0.867 b) P(r=3) = ! (.)∗ −. = 0.0062 c) P(r=5) = ! Conceptos básicos: 527.- Dada una distribución binomial con n=28 ensayos y p=0.025, use la aproximación de Poisson
a la binomial para encontrar: np = 0.7
(np)∗ − Utilizando la fórmula de distribución binomial: P(x)= donde np = n*p x! a) P(r≥3) = 1 – P(x≤2) = 1 – [ P(x=0) + P(x=1) + P(x=2)]
(.) ∗−. (.)∗ −. (.) ∗ −. = 1 [ ! = 0.49+ = ! = 0.34 + ! =
0.12] = 0.05
b) P(r<5) = P(x=0) + P(x=1) + P(x=2) + P(x=3) + P(x=4)
(.)∗ −. (.)∗ −. (.)∗ −. (.)∗ −. (.)∗ −. + ! + ! + ! + ! = ! =0.49+0.34+0.12+0.028+0.0004967922143 = 0.982
(.)∗ −. = 0.0000 c) P(r=9) = ! 528.- Si los precios de los automóviles nuevos se incrementan en un promedio de cuatro veces
cada 3 años, encuentre la probabilidad de que:
(λ )∗ − Utilizando la fórmula de distribución de Poisson: P(x)= x! e= 2.178, λ=3 a) ningún precio se incremente en un periodo de 3 años seleccionado de manera aleatoria: P(x=0)
()∗ − = ! = 0.049
b) dos precios aumenten: P(x=2)
()∗ − = ! =0.22 c) cuatro precios aumenten: P(x=4)
()∗ − = ! =0.16 d) aumenten cinco o más: P(x=5)
()∗ − = ! = 0.10 529.- Dada una distribución binomial con n=25 y p=0.032, use la aproximación de Poisson a la
binomial para encontrar: np = 0-8
(np)∗ − Utilizando la fórmula de distribución binomial: P(x)= donde np = n*p x! (.)∗ −. a) P(r=3) = ! = 0.038 (.)∗ −. = 0.00012 b) P(r=5) = ! c) P(r≤2) = 1- P (x=1) = 1 – [ P(x=0) + P(x=1)]
(.)∗ −. (.)∗ −. + ! = ! =0.44 + 0.35 = 0.79
530.- Dado que λ=6.1 para una distribución Poisson, encuentre:
(λ )∗ − Utilizando la fórmula de distribución de Poisson: P(x)= x! a) P(x≤3) = P(x=0) + P(x=1) + P(x=2) + P(x=3)
(.)∗ −. (.)∗ −. (.)∗ −. (.) ∗−. + ! + ! = ! + ! =0.0002242867719+0.013+0.041+0.084 = 0.13822 b) P(x≥2) = 1 – P(x=1) = 1 – [ P(x=0) + P(x=1)]
(.)∗ −. (.)∗ −. + ! = ! =0.0002242867719+0.013 = 0.015
(.)∗ −. c) P(x=6) = ! = 0.16 d) P(1≤x≤4) = P(x=0) + P(x=1) + P(x=2) + P(x=3) + P(x=4)
(.)∗ −. (.)∗ −. (.)∗ −. (.)∗ −. (.)∗ −. + ! + ! + ! + ! = ! =0.0002242867719+0.013+0.041+0.084+0.129= 0.26
Aplicaciones: 531.- La concertista de piano Donna Prima está muy molesta por el número de tosidos que se
presentan en la audiencia justo antes que empiece a tocar. Durante su última gira, Donna estimó un promedio de ocho tosidos justo antes de empezar su concierto. La señora Prima le ha advertido a su director que, si escucha más de cinco tosidos en el concierto de esa noche, se rehusará a tocar. ¿Cuál será la probabilidad de que la artista toque esa noche? Respuesta: La probabilidad será de 0.122
(λ )∗ − Utilizando la fórmula de distribución de Poisson: P(x)= x! λ= 8, e=2.718
P(x>5)
=P(x=6)
()∗ − = ! = 0.122 532.- Guy Ford, supervisor de Producción de la planta de Charlottesville de la compañía Winstead,
está preocupado por la habilidad de un empleado ya mayor para mantener el menor ritmo de trabajo. Además de los descansos diarios obligatorios, este empleado deja de trabajar durante periodos cortos un promedio de 4.1 veces por hora. El periodo de descanso que se toma es de 3 minutos cada vez. Ford ha decidido que si la probabilidad de que el descanso adicional, 12 minutos o más por hora, del empleado (es decir, además del obligatorio), es mayor que 0.5, entonces lo cambiará a una tarea diferente. ¿Deberá hacer esto? Respuesta: Si porque son 3*4.1= 12.3 minutos por hora, entonces es mayor que los 12 minutos que asigna adicionalmente, entonces tendrá que cambiarlos de tarea. 533.- En promedio, cinco pájaros chocan contra el monumento a Washington y mueren por este
motivo cada semana. Bill Garcy, un oficial del Servicio de P arques Nacionales de Estados Unidos, ha solicitado que el Congreso estadounidense asigne fondos para adquirir equipo que aleje a los pájaros del monumento. Un 5.5 La distribución de Poisson 207 subcomité del Congreso le ha respondido que no pueden asignarle fondos para tal fin a menos que la probabilidad de que mueran más de tres pájaros cada semana sea mayor a 0.7. ¿Deben destinarse los fondos para espantar pájaros? Respuesta: No porque la probabilidad es de 0.14 es inferior a 0.7
(λ )∗ − Utilizando la fórmula de distribución de Poisson: P(x)= x! λ=5
x=3
=
(5)∗ − = 0.14 3!
534.- La compañía Southwestern Electronics ha diseñado una nueva calculadora de bolsillo con
una serie de funciones que otras calculadoras todavía no t ienen. El Departamento de Comercialización está planeando hacer una demostración de la calculadora a un grupo de clientes potenciales, pero está preocupado por algunos problemas iniciales: el 4% de las calculadoras nuevas produce ciertas incongruencias matemáticas. El vicepresidente de Comercialización planea seleccionar aleatoriamente un grupo de calculadoras para su demostración y está preocupado por la posibilidad de elegir una que empiece a funcionar mal. Tiene la creencia de que el hecho de que una calculadora funcione o no es un proceso de Bernoulli, y está convencido de que la probabilidad de que se presente un mal funcionamiento es en realidad de alrededor de 0.04:
a) Suponiendo que el vicepresidente elija exactamente 50 calculadoras para ser utilizadas en la demostración y utilizando la distribución de Poisson como aproximación de la binomial, ¿cuál es la probabilidad de obtener al menos tres calculadoras que no funcionen bien? Respuesta: La probabilidad es de 0.18
(np)∗ − Utilizando la fórmula de distribución binomial: P(x)= donde np = n*p x! n=50 y p=0.04, np=2
()∗ − P(x=3) = ! = 0.18 b) ¿Cuál es la probabilidad de no tener ninguna calculadora que funcione mal? Respuesta: La probabilidad es de 0.13 n=50 y p=0.04, np=2
()∗ − P(x=0) = ! = 0.13 535.- El Centro Contencioso del Condado de Orange, en California, maneja varios tipos de litigios,
pero casi todos ellos son de tipo conyugal. De hecho, el 96% de los pleitos que atiende el centro es de esta naturaleza: a) ¿Cuál es la probabilidad de que, de 80 litigios atendidos por el centro, exactamente siete no sean de tipo conyugal? Respuesta: La probabilidad es de
0.000005708807412
(λ )∗ − Utilizando la fórmula de distribución de Poisson: P(x)= x! λ=0.96
(.)∗ −. = 0.000005708807412 P(x=7) = ! b) ¿Cuál es la probabilidad de que ninguno sea de carácter no conyugal? Respuesta: La probabilidad es de
0.38
λ=0.96
(.)∗ −. = 0.38 P(x=0) = !
536.- La Oficina de Impresión y Grabado de Estados Unidos es la responsable de imprimir el papel
moneda en ese país. El departamento tiene una sorprendente baja frecuencia de errores de impresión; sólo el 0.5% de los billetes presenta errores graves que no permiten su circulación. ¿Cuál es la probabilidad de que de un fajo de 1,000 billetes:
(np)∗ − Utilizando la fórmula de distribución binomial: P(x)= donde np = n*p x! n= 1000 y p=0.05, np= 50 a) Ninguno presente errores graves?
()∗ − = 0.00000000000000000000001928749848 P(x=0) = ! b) Diez presenten errores que no permitan su circulación?
()∗− = 0.0000000000005190544459 P(x=10) = ! c) Quince presenten errores que no permitan su circulación?
()∗ − = 0.0000000004501179774 P(x=15) = !
Bibliografía Levin, R. I., Rubin, D.S., Balderas Lozada, M., Del valle Sotelo, J. C., & Gómez Castillo, R. (2004). Estadística para Administración y Economía. México: PEARSON EDUCACIÓN.