ejercicios propuestos para lo que se refiere netamente a lo que es matematicas, siendo este solamente una etapa super basica esperamos que puedan resolverlos sin ninguna dificultad.Descripción completa
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Capítulo 7 ANUALIDADES 7.1.
Conceptos
Una anualidad es un conjunto de pagos iguales
que se repiten en un espacio de tiempo también igual a!o trimestre trimestre mes para lo cual se "ja una tasa e#ecti$a del período igual. Los factores nancieros. %&rmulas de capitali'aci&n ( actuali'aci&n de capital )nico o de una serie de dep&sitos o rentas de igual cuantía llamadas anualidades
7. 2. Problemas propuestos. Anualidad
*+ E#ectué las seis trans#ormaciones "nancieras equi$alentes entre stoc,s ( -ujos de e#ecti$o dado un capi ca pita tall inici nicial al de ./// um+ um+ una una 0N 0NA A de 123 co con n capitali'aci&n mensual ( . rentas uni#ormes trimestrales $encidas+
Solución:
4+ Con una 0E5 de 13 ( 46 cuotas cuotas mensuales mensuales uni#ormes uni#ormes $enc $encid idas as ca calc lcul ule e los los $alor alores es de los los se seis is #act #actor ores es "nancieros+ Solución
1+ Co Con n una una 0E5 0E5 de a 13 ( cuot cuotas as trim trimes estr tral ales es uni# uni#or orme mess $encidas calcule los $alores de los seis #actores "nancieros+ Solución Monto de una anualidad simple encida
6+ Una persona persona deposita deposita en una cuenta de a8orros a8orros al "nal de cada ca da trim trimes estr tre e un impo import rte e co cons nsta tant nte e de 4/// 4/// um+ um+ 9:ué 9:ué *
mont monto o se 8abr 8abr; ; ac acum umul ulad ado o en el pla' pla'o o de dos dos a!os a!os si percibe una 0NA de 463 capitali'able trimestralmente< Solución=
.+ 9:ué monto puede acumularse durante 1 a!os consecuti$os si se depositan */// um cada "n de mes ( se percibe una 0NA de 463 con capitali'aci&n capitali'aci&n mensual+ Solución:
2+ 9Cu;l ser; el importe importe capitali'ado capitali'ado al "nal del se>to se>to mes al e#ectuar dep&sitos de */// um al "nal de cada 1/ días en una instituci&n bancaria que paga una 0NA de 123 con capitali'aci&n trimestral< Solución:
7+ 9:ué monto monto se 8abr; 8abr; acumulado acumulado en una una cuenta cuenta de a8orros a8orros si a "n de mes ( durante meses se deposit& // um+ En un banco que paga una 0EA de *43< Solución
!alor presente de una anualidad simple encida
+ En el proceso de adquisic sici&n de una maquinari aria se recibieron recibieron las siguientes propuestas a+ Al contado contado por *//// *////++ b+ A crédito con una cuota inicial de 6/// um+ ( seis cuotas mensuales de **// um+ 9:ué 9:ué opci opci&n &n ac acep epta tarí ría a si el co cost sto o del del dine dinerro es 63 e#ecti$o mensual (
no tiene restricciones restricciones de capital<
Solución
7+ Un crédi crédito to bancar bancario io que de$e de$eng nga a una una 0N 0NA A de 123 capi apitali'abl able trimestralmente se pact& para ara cancelarse en el pla'o de . a!os con cuotas trimestrales uni#ormes $encidas de 4./ um+ El cliente cumpli& puntualmente con sus pagos ( el 4
mont monto o se 8abr 8abr; ; ac acum umul ulad ado o en el pla' pla'o o de dos dos a!os a!os si percibe una 0NA de 463 capitali'able trimestralmente< Solución=
.+ 9:ué monto puede acumularse durante 1 a!os consecuti$os si se depositan */// um cada "n de mes ( se percibe una 0NA de 463 con capitali'aci&n capitali'aci&n mensual+ Solución:
2+ 9Cu;l ser; el importe importe capitali'ado capitali'ado al "nal del se>to se>to mes al e#ectuar dep&sitos de */// um al "nal de cada 1/ días en una instituci&n bancaria que paga una 0NA de 123 con capitali'aci&n trimestral< Solución:
7+ 9:ué monto monto se 8abr; 8abr; acumulado acumulado en una una cuenta cuenta de a8orros a8orros si a "n de mes ( durante meses se deposit& // um+ En un banco que paga una 0EA de *43< Solución
!alor presente de una anualidad simple encida
+ En el proceso de adquisic sici&n de una maquinari aria se recibieron recibieron las siguientes propuestas a+ Al contado contado por *//// *////++ b+ A crédito con una cuota inicial de 6/// um+ ( seis cuotas mensuales de **// um+ 9:ué 9:ué opci opci&n &n ac acep epta tarí ría a si el co cost sto o del del dine dinerro es 63 e#ecti$o mensual (
no tiene restricciones restricciones de capital<
Solución
7+ Un crédi crédito to bancar bancario io que de$e de$eng nga a una una 0N 0NA A de 123 capi apitali'abl able trimestralmente se pact& para ara cancelarse en el pla'o de . a!os con cuotas trimestrales uni#ormes $encidas de 4./ um+ El cliente cumpli& puntualmente con sus pagos ( el 4
$encimiento de la duodécima cuota decide cancelarla conj co njun unta tame ment nte e co con n las las cuot cuotas as inso insolu luta tas s co con n la condici&n que estas sean descontadas con una misma tasa pactada+ 9Cu;l es el importe por pagar en esa #ec8a<
Solución:
*/+ */+ Una Una m;qu m;quin ina a se $en $ende de con con una una cuot cuota a inic inicia iall de 4// 4/// / um ( *4 cuotas de 1// um cada una a pagarse cada 1/ días+ Calcule su respecti$o $alor presente equi$alente con una 0E0 de ?3+ Solución:
**+ **+ Cal Calcul cule e el $alor $alor pre presen sente te de de una una anual anualida idad d compu compuest esta a de 4/ rentas uni#ormes $encidas de 4/// um cada una con una 0E5 de 63+ La primera renta se pagara dentro de tres meses ( las siguientes en periodos de 1 meses cada una+ Solución
*4+ La em empr pre esa Al#a l#a alqu alquil ila a un loc ocal al comer omerccial duran urante te . a!os por una merced conducti$a de 1/// um+ por trimestre $enci $encido do++ Al#a Al#a recib recibe e como como alter alternat nati$a i$a del arrend arrendata atario rio la propuesta de e#ectuar un )nico pago de *7/// um al inicio del contrato por cinco a!os+ Dado que Al#a puede in$ertir el importe de los alquileres que perc percib ibir ir; ; a una una 0E5 0E5 de .3 .3 9le 9le co con$ n$ie iene ne la alte altern rnat ati$ i$a a propuesta< Solución
*1+ Un departamento se o#erta para su $enta con las siguientes opciones= a+ *7.// *7.// um al contado contado b+ *//// *//// um de cuota inicial ( un pago de 77// um dentro dentro de 2/ días+ c+ /// /// um de cuota inicial ( pagos de 2/// 2/// um ( 12/ 12/ um ( cada uno se 1
reali'ara dentro de 1/ días ( de 2/ días respecti$amente+ d+ 2/// um de cuota inicial ( pagos de 6/// um dentro de 1/ 2/ ( ?/ días respecti$amente+ 9Cu;l es la mejor alternati$a para un cliente cu(o costo de oportunidad es una de 0E5 43 Solución
"enta Uniforme en función de S
*6+ Calcule el importe de la renta constante que colocada al "nal de cada trimestre durante 6 a!os permite constituir un monto de 4//// um+ La 0NA aplicable es de 123 con capitali'aci&n mensual+
Solución:
*.+ La empresa @roductos Industriales S+A+ planea adquirir dentro de seis meses un equipo de computaci&n interconectado para toda su empresa a un precio de *//// um+ Con este objeti$o la gerencia "nanciera puede colocar sus e>cedentes mensuales de caja estimados en 1/// umB en una instituci&n "nanciera que paga una 0E5 de 43+ 9:ué importe constante al "n de mes deber; a8orrar para acumular los *//// al "nal del se>to mes< Solución:
*2+ Se planea rempla'ar una m;quina dentro de 6 meses cu(o precio se estima que en dic8a #ec8a ser; ./// um+ 9:ué importe constante a "n de mes deber; depositarse durante ese pla'o en un banco que paga una 0E5 de .3 a "n de comprar dic8a maquina con los a8orros capitali'ados< Solución:
*7+ Un préstamo de ./// um se contrata en el anco del riente para de$ol$er el principal dentro de un a!o ( pagar 6
trimestralmente solo los intereses con una 0E0 de 3+ El prestatario para cancelar el principal a su $encimiento desea acumular un #ondo ( para ello e#ect)a dep&sitos constantes trimestrales en el anco del Sur con una 0E5 de 43F Calcule la cuota trimestral total que le permita acumular el #ondo ( pagar los intereses trimestrales Solución: "enta uniforme en función de P
*+ Un préstamo de ./// um debe amorti'arse en el pla'o de un a!o con cuotas uni#ormes mensuales con una 0NA de 123 capitali'able mensualmente+ Calcule el importe de esa cuota constante+ Solución
*?+ La empresa Delro( S+A+ $ende sus m;quinas al contado en *//// um pero debido a que consigue un "nanciamiento del e>terior est; planeando e#ectuar $entas a crédito con una cuota inicial de ./// um ( seis cuotas uni#ormes con $encimiento a 1/ días cada una+ Si la 0EA por cargar al "nanciamiento es 4.3 calcule el importe de las cuotas del programa de $entas a pla'o+ Solución
4/+ Se compr& un autom&$il cu(o precio de contado #ue *4/// um se pago una cuota inicial de 4/// um ( el saldo amorti'able en el pla'o de 6 meses es con cuotas mensuales iguales+ 9Cu;l es el importe de la cuota uni#orme si el costo del "nanciamiento es 43 e#ecti$o mensual< Solución
4*+ @repare una alternati$a de "nanciamiento para una m;quina que se $ende al contado a un precio de 6/// um+ A crédito se otorgar; con una cuota inicial equi$alente a 4.3 del precio de contado ( seis cuotas uni#ormes pagaderas cada 1/ días+ Se cargara una 0E5 de .3 sobre el saldo deudor+ .
Solución
44+ En la adquisici&n de una m;quina una empresa recibe las siguientes propuestas= @ropuestas
A
Gida )til a!osB
*/
*4
@recio de contado .///
.//
um 9Cu;l es la propuesta m;s con$eniente dado un costo de oportunidad de *.3 e#ecti$o anual< Solución
41+ Una empresa solicita a una entidad "nanciera un préstamo de 4//// um para ser reembolsado en 4 a!os con cuotas uni#ormes cada ?/ días con una 0E5 de 43+ Durante el primer a!o las cuotas deben ser equi$alentes a 6/3 del préstamo ( durante el segundo a!o deben ser equi$alentes a 2/3 del préstamo+ Calcule el importe de las cuotas durante el primer ( segundo a!o+ Solución:
46+ Una deuda de *//// um se pact& para de$ol$erse en 6 pagos bimestrales proporcionales a 4 6 2 ( + Calcule el importe de cada pago con una 0NA de 123 capitali'able mensualmente+ Solución: Calculo de n en una anualidad encida
4.+ 9En cu;nto tiempo podr; acumularse un monto de 4/// si se e#ect)an dep&sitos de *./ um cada "n de quincena en un banco que paga una 0NA de 463 anual con capitali'aci&n mensual< Solución
2
42+ 9@or cu;ntos meses una persona debe depositar 4./ um cada "n de mes en un banco para acumular un monto de 4/// um en la #ec8a de ultimo deposito si percibe una 0E5 de 13< Solución
47+ 9En cu;ntas cuotas de *.72*6 um pagaderas cada "n de mes podr; amorti'arse un préstamo de /// um< La entidad "nanciera cobra una 0E5 de .3+ Solución
4+ 9Cu;ntas cuotas mensuales $encidas de *2./ um son necesarias para cancelar un préstamo de .// um< La deuda se contrajo en un banco que cobra una 0NA de 463 anual con capitali'aci&n trimestral+ Solución
4?+ Con el objeto de retirar // um cada 1/ días una persona deposita *//// um en un banco ( gana una 0E5 de 43+ 9Cu;ntos retiros podr; e#ectuar< Solución
1/+ Una m;quina cu(o precio al contado es ./// um se compra a crédito+ El 42 de ma(o paga al contado 4/// um ( las cuotas de amorti'aci&n de */// um se pagan cada 1/ días+ 9En qué #ec8a quedar; cancelada totalmente la m;quina si se supone que los pagos se e#ect)an puntualmente ( que la empresa que concedi& el crédito carga una 0E5 de .3 sobre los saldos pendientes de pago< Solución Calculo de i en una anualidad encida
1*+ @or campa!a escolar una casa comercial o#rece Hpaquetes escolares en productos por una importe de 7
*4// um ( cobra una cuota inicial de 4// um ( ** cuotas mensuales de *4/ um+ 9Cu;l es la tasa mensual de interés cargada< Solución:
14+ Calcule la 0E5 de una anualidad de 4/ rentas trimestrales $encidas de 6/// um cada una cu(o $alor presente es 4??2* um+ Solución:
11+ Un préstamo de 1.6.+?. um debe amorti'arse con cuotas constantes mensuales $encidas+ Se cuenta con las siguientes opciones= a+ 6 cuotas de */// um b+ 2 cuotas de 2?2* um 9:ué 0E5 se aplic& en cada alternati$a Solución:
16+ Una persona deposit& *// um en su cuenta de capitali'aci&n de una administradora de #ondos de pensiones A%@B cada "n de mes durante */ a!os+ Al "nali'ar este pla'o la A%@ le in#orm& que su #ondo acumulado era *246716 um+ 9Cu;l #ue la tasa e#ecti$a anual que rindi& sus dep&sitos< Solución:
1.+ Un préstamo de *.?4.+27 um se reembolsa con dos cuotas la primera de /// um al $encimiento del cuarto mes ( la segunda de *//// um al $encimiento del octa$o mes+ Calcule la 0E5 aplicada al préstamo+ El c;lculo debe e#ectuarlo directamente sin tantear ni interpolar+ Solución:
12+ Un arte#acto electrodoméstico tiene un precio al contado de // um ( al crédito lo o#recen con una inicial de 1// um+ ( el saldo amorti'able en dos meses con cuotas mensuales de 1// um+ 9:ué 0EA se est; cargando en el "nanciamiento< Solución
17+ La compa!ía SIJA S+A+ $ende un artículo al contado en *./ um pero a crédito si se Hcarga en cuenta lo o#rece para pagarlo sin cuota inicial ( dos cuotas iguales de ?/ um que deben cancelarse dentro de *. ( 6. días cada una+ 9:ué 0E5 esta carg;ndose en el programa de crédito< Solución:
1+ Un autom&$il K(undai tiene un precio al contado de **2?/ um+ A crédito puede adquirirse con una cuota inicial de 6264 um ( cuotas mensuales de 12/ um+ Dado que el programa de crédito sea de 46 cuotas 9Cu;l es el costo e#ecti$o mensual ( anual del "nanciamiento< Solución:
1?+ 9Cu;l es la 0E5 que est; cargando el anco de los @roductores por el "nanciamiento de un préstamo de 4//// um que debe cancelarse en el pla'o de cuatro meses con cuotas uni#ormes mensuales de .1/+.6 um< Solución:
#actores nancieros
6/+ Se necesita un "nanciamiento bancario de 6/// um que puede obtenerse bajo la modalidad de descuento de pagare+ 9@or qué monto debe aceptarse dic8o pagare con $encimiento a 6. días si se aplica una 0E5 de 43 para obtener ese $alor presente< Solución
6*+ 9@or qué monto debe e>tenderse una letra de cambio con un $encimiento a ?/ días para obtener un $alor presente de 4/// um después de descontarla con una 0NA de *43 con capitali'aci&n diaria< ?
Solución
64+ Dentro de 7/ días se recibir; 4/// um+ 9Cu;l es su $alor actual si se aplica una 0NA de *3 anual con capitali'aci&n mensual<
Solución
61+ Si se descont& el día de 8o( una letra de cambio con $alor nominal de */// um con una 0E5 de .3 que $encer; dentro de 64 días 9Cu;l es el importe neto que abonar; el banco en la cuenta corriente del descontante<
Solución
66+ 9Cu;l #ue el capital que al cabo de 2 meses se con$irti& en 4/// um con una 0EA de 4/3<
Solución
6.+ Una casa comercial o#rece al contado en 61/ um un &rgano electr&nicoF a crédito lo o#erta con una cuota inicial de 4// um ( una letra que puede otorgarse en los siguientes pla'os= a *. días por 41. um a 1/ días por 41? um a 6. días por 46. um+ 9Cu;l es la mejor o#erta para un cliente dado que su costo de oportunidad es .3 mensual ( que le es indi#erente disponer del bien a8ora o dentro de 6. días< Solución
62+ Una empresa solicita a un banco un préstamo de *//// um que de$enga una 0NA de 463 capitali'able mensualmente para reembolsarlo en el pla'o de 6 a!os con cuotas uni#ormes cada "n de trimestre+ Inmediatamente después de 8aber pagado la décima cuota decide cancelar el resto de la deuda+ 9:ué importe tendr; que cancelar al banco< Solución
*/
67+ Una maestría en administraci&n de negocios tiene un costo de *?/ um por cada crédito de estudios+ El plan curricular contempla 2/ créditos que pueden aprobarse satis#actoriamente en el pla'o de 4 a!os+ oberto ojo estudiante de contabilidad a quien a la #ec8a le #altan 1 a!os para concluir su bac8illerato decidi& seguir la maestría al término de sus estudios b;sicos+ @ara estos e#ectos a partir de 8o( ( a "n de cada mes durante los 1 a!os siguientes a8orrar; un determinado importe constante que le permita su#ragar el costo de su maestría+ Dado que oberto puede recibir una 0E5 de /+.3 por sus a8orros ( que los pagos de la maestría se reali'ar;n en cuotas iguales cada "n de mes 9Cu;nto debe a8orrar oberto cada mes< Solución
7. $ .Problemas diersos
*+ Si se tienen que reali'ar 12 mensualidades $encidas de 67/7+?6 a una 0NA de 46 3 capitali'able mensualmente+ Encontrar **
aB El tipo de anualidad bB La cantidad que se prest& al inicio del pla'o Solución
4+ Si se tiene una deuda de *.//// impuesta con el 463 capitali'able quincenalmente por lo que se deciden reali'ar 64 pagos al "nal de cada quincena+ Encontrar aB 9De qué anualidad se trata< bB El importe de cada una de las rentas Solución
1+ @ara llegar a acumular *6//// en una in$ersi&n que da el *43 capitali'able mensualmente se deciden reali'ar al "nal de cada período dep&sitos mensuales de *+4 cada uno+ Encontrar= aB 9De qué tipo de anualidad se est; 8ablando< bB 9Cu;ntos dep&sitos debe 8acerse< Solución
6+ @ara llegar a acumular 4// /// al cabo de tres a!os ( medio se deciden reali'ar dep&sitos bimestrales en una instituci&n que da el *.3 capitali'able bimestremente+ Encontrar= aB 9De qué tipo de anualidad se trata< bB El importe de cada uno de los dep&sitos+ Solución
.+ 5e dan un crédito de 1//// a una tasa de interés del *2 3 con$ertible trimestralmente ( pago 16*77+24 cada trimestre+ 9Cu;ntos son los períodos a pagar< Solución
2+ Si deseo in$ertir 4*7// cada trimestre ( la tasa de interés es del *23 compuesto en #orma trimestral $encida durante /. a!os+ Kallar el #ondo acumulado al "nal del pla'o Solución
7+ Calcular el $alor de contado de una propiedad $endida en las siguientes condiciones= 4/+/// de contadoF *+/// por mensualidades $encidas durante 4 a!os ( 2 meses ( un )ltimo pago de 4+.// un mes después de pagada la )ltima *4
mensualidad+ @ara el c;lculo utili'ar el ?3 con capitali'aci&n mensual+ Solución:
+ Una mina en e>plotaci&n tiene una producción anual de M///+/// ( se estima que se agotar; en */ a!os+ Kallar el $alor presente de la producci&n si el rendimiento del dinero es del %&. Solución:
?+ En el momento de nacer su 8ija un se!or deposit& *+.// en una cuenta que abona el 3F dic8a cantidad la consigna cada cumplea!os+ Al cumplir *4 a!os aumento sus consi'naciones a 1+///+ Calcular la suma que tendr; a disposici&n de ella a los * Solución
*/+ Una persona deposita mensualmente la suma de *// soles durante 4/ a!os+ Desea saber cu;nto acumular; al "nal de ese período si el anco le paga Una 0NA de 2 3 con capitali'aci&n mensual+ Solución
7.(. Problemas propuestos
*+ Kallar el monto ( el $alor presente de las siguientes anualidades ordinarias+ *1
aB 6// anuales durante *4 a!os al 4 3 bB *./ mensuales durante 2 a!os 1 meses al 23 con$ertible mensualmente+ cB .// trimestrales durante a!os ? meses al 23 con$ertible trimestralmente+ Solución
4+ @atricia Sam a8orra 2// cada a!o ( los in$ierte al 13 con$ertible semestralmente+ Kallar el importe de sus a8orros después de */ a!os+ Solución
1+ Kallar el $alor e#ecti$o equi$alente a una anualidad de *// al "nal de cada 1 meses durante *. a!os suponiendo un interés de .3 con$ertible trimestralmente+ Solución
6+ 5anuel Sil$a est; pagando 44./ al "nal de cada semestre por concepto de la prima de una p&li'a dotal la cual le pagara */// al término de 4/ a!os+ 9:ué cantidad tendría si en lugar depositara cada pago en una cuenta de a8orros que le produjera el 13 con$ertible semestralmente< Solución
.+ 9:ué cantidad debi& ser depositada el * de junio de *?./ en un #ondo que produjo el .3 con$ertible semestralmente con el "n de poderse 8acer retiros semestrales de 2// cada uno a partir del * de diciembre de *?./ ( terminando el * de diciembre de *?27< Solución
2+ se estima que un terreno boscoso producir; *.+/// anuales por su e>plotaci&n en los pr&>imos */ a!os ( entonces *6
la tierra podr; $enderse en */+///+ Encontrar s $alor actual suponiendo intereses al .3 Solución
7+ suponiendo intereses al .+43 con$ertible trimestralmente 9:ué pago )nico inmediato es equi$alente a *. pagos trimestrales de *// cada uno 8aciéndose el primero al "nal de tres meses< Solución
+ 5 in$ierte 4./ al "nal de cada 2 meses en un #ondo que paga el 1 O3 con$ertible semestralmente+ 9Cu;l ser; el importe del #ondo aB precisamente después del *4 deposito< bB antes del *4 deposito< cB @recisamente antes del *. deposito< Solución
?+ al comprar 5 un coc8e nue$o de 17./ le reciben su coc8e usado en *4./+ 9Cu;nto tendr; que pagar en e#ecti$o si el saldo restante lo liquidara mediante el pago de *4. al "nal de cada mes durante * meses carg;ndole intereses al 23 con$ertible mensualmente< Solución
*.
CA@P0UL ANUALIDADES AN0ICI@ADAS %.1. Concepto
Una anualidad anticipada es aquella en la cual las cuotas "jas peri&dicas se ubican al comien'o de cada período+ Con respecto a la anualidad ordinaria el n)mero de cuotas es el mismo pero todas se despla'an un período 8acia atr;s+ 5iremos la comparaci&n de los diagramas de tiempoQ$alor=
@ ANUALIDAD ANTICIPADA
*
A
A
4
A
6
1
A
A
.
A
nQ*
n
nQ*
n
A
@ ANUALIDAD ORDINARIA O VENCIDA
*
A
4
A
6
1
A
A
@ara la anualidad ordinaria=
.
A
@ R A > an i
A R
*2
A
A
Si aplicamos la misma #&rmula para la anualidad anticipada el $alor presente se despla'aría también un período 8acia atr;s es decir 8allaríamos el $alor presente en el período T*+ @
ANUALIDAD ANTICIPADA
Q* *
/
A
A
1
4
A
A
6
A
nQ*
n
A
@ara 8allar el $alor presente en el período cero sería necesario capitali'ar el $alor presente del período T* un período 8acia delante+ 0endremos entonces que para la anualidad anticipada= @ período T*B R A > ani @ período /B R @ período T *B > *iB @ período /B R A > ani > *i B o simplemente= @ R A > an i > *iB Nota= en el c;lculo actuarial es costumbre denotar el #actor que encuentra el $alor de una anualidad anticipada como Vni @ R A > Vni W por consiguiente= Vni R ani > *i B
*7
De igual manera puede demostrarse que para calcular el $alor #uturo de una anualidad anticipada= % R A > sni > * iB s RnA > #)S
i
*+emplo 1= Un colegio cobra sus pensiones mensuales en
#orma anticipada+ El $alor de la pensi&n mensual para un alumno de octa$o grado es de *./+///+ Si un padre de #amilia desea cancelar en #orma anticipada las ** mensualidades del a!o escolar a cuanto asciende el $alor presente si suponemos una tasa del *.3 mensual< @ R A > ani > *i B * *+.3B ** T * > * *+.3B *+.3 * *+.3B ** @ R *.//// > */ 444* R *+.11+1472 Note que el #actor Vni es igual a */444*
@ R *./+/// >
*+emplo 2= Una persona 8a planeado e#ectuar un a8orro
mensual de 1//+/// el primer día de cada mes en un #ondo de in$ersi&n que rinde el *.3 anual e#ecti$o+ De cuanto dispondr; el )ltimo día del a!o< Wa que el a8orro se e#ect)a el primer día de cada mes la anualidad es anticipada ( consiste en doce cuotas de 1//+///+ Calculemos la tasa mensual= * i B *4 T * R /*. i R * //*. B*X*4 T * i R **7*.3 A8ora calculemos el $alor #uturo de la anualidad anticipada= % R A > sni > * iB * //**7*. B *4> T %RA> ** //**7*.B //*7*. % R 1//+/// > *4+?.6* % R 1+2+4.261 Note que= sn R R *4?.6* i
*
8.2. Anualidades con Excel. Sintaxis
#unción PA,- /
La #unci&n @AJ B calcula el $alor de la cuota uni#orme de una anualidad+ Sinta0is ) PA,- tasaF nperF $aF $#F tipoB asa= es la tasa de interés peri&dica del préstamo que no
$aría durante la $igencia del mismo+ per: es el n)mero total de cuotas del préstamo+ !a: es el $alor actual o lo que $ale a8ora la cantidad total de una serie de pagos #uturos es decir su $alor presente+
@ara el caso de una amorti'aci&n este se
constitu(e en el $alor del préstamo+ !f: es el $alor #uturo o saldo en e#ecti$o que desea
lograr después de e#ectuar el )ltimo pago+ Si el argumento $# se omite se asume que el $alor es / por ejemplo el $alor #uturo de un préstamo es /B+ de"ne si las cuotas son $encidas o anticipadas+ Si la cuota es $encida el tipo se omite ( se asume un ceroF si las cuotas son anticipadas debe especi"carse el $alor de *+ ipo:
-bseraciones:Y
5antenga uni#ormidad en el uso de las unidades con las que especi"ca los argumentos tasa ( nper+ Si e#ect)a pagos mensuales de un préstamo de 6 a!os con un interés anual nominal del *4 por ciento use *43X*4 para el argumento tasa ( 6Z*4 para el argumento nper+
*+emplo 1: esol$amos el ejercicio de la secci&n utili'ando la
#unci&n @AJ B
*?
Una persona 8a e#ectuado un préstamo de 4+///+/// que deber; pagar en un a!o con cuotas trimestrales al 463 anual nominal+ 9Cu;l ser; el $alor de cada cuota< R @AJ /46X6F 6F 4//////B R Q.77+*4?
-bseraciones: -
El $alor de la cuota es negati$o por el simple 8ec8o de que en el diagrama econ&mico los $ectores que describen la cuota ( el $alor del préstamo tienen di#erente sentido+ @ara que el signo de la cuota "ja sea positi$o el $alor del préstamo debe especi"carse con signo negati$o+
-
El $alor del cuarto par;metro G# se omite pues el $alor #uturo del préstamo es cero una $e' éste 8a(a sido cancelado+
-
El quinto par;metro tipo también se omite pues las cuotas se pagan en #orma $encida+
*+emplo 2: un padre de #amilia desea programar un a8orro
mensual para disponer al "nal de 2 meses de 4+7//+/// correspondientes al $alor de la matricula de su 8ijo+ Si la tasa de interés que le reconocen sobre sus a8orros es del *43 anual nominal cual es el $alor de la cuota que debe a8orrar mensualmente< R@AJ /*4X*4F 2F /F 47/////B R Q61+/.? mensuales
#unción !A /
La #unci&n GA B de$uel$e el $alor actual $alor presente B de una in$ersi&n+ @ara el caso de una anualidad+ GA B es el $alor
4/
actual de la suma de una serie de pagos uni#ormes ( peri&dicos que se e#ectuar;n en el #uturo+ Sinta0is !AtasaF nperF pagoF $#F tipoB asa= es la tasa de interés por período+ per= es el n)mero total de períodos en una anualidad o
n)mero total de pagos+ Pa'o= es el pago que se e#ect)a en cada período ( que
no cambia durante la $ida de la anualidad+ !f = es el $alor #uturo o el saldo en e#ecti$o que desea
lograr después de e#ectuar el )ltimo pago+ Si el argumento $# se omite se asume que el $alor es / por ejemplo el $alor #uturo de un préstamo es /B+ ipo= es el n)mero / & * e indica el $encimiento de los
pagos+ Si la cuota es $encida el tipo se omite ( se asume un ceroF si las cuotas son anticipadas debe especi"carse el $alor de *+ *+emplo 1: Una persona desea e#ectuar una in$ersi&n de tal
manera que el )ltimo día de cada mes pueda retirar 4./+/// durante los pr&>imos tres a!os+ Cu;nto debe in$ertir 8o( al *43 anual nominal liquidado mensualmente< RGA /*4X*4F 1Z*4F 4.////B R Q7+.42+72 *+emplo 2: Una persona desea
comprar una p&li'a de seguros que pague .//+/// al "nal de cada mes durante los pr&>imos 4/ a!os+ El costo de la p&li'a es 2/+///+/// ( la persona estima que sus in$ersiones rinden apro>imadamente un 73 anual nominal+ Determine si la compra de la p&li'a es una buena in$ersi&n para esta persona+ @ara determinar si debe 8acerse o no la in$ersi&n calculemos el $alor presente de las 46/ cuotas+ Si este $alor es menor que el costo de la p&li'a la adquisici&n de la misma no satis#ace el criterio de rentabilidad de la persona+ RGA//7X*4F *4Z4/F ./////B es igual a Q26+6?*+4.14. 4*
Lo anterior signi"ca que para generar una renta de .//+/// mensuales durante 4/ a!os la persona debe in$ertir 26+6?*+4.14. si la tasa es del 73 anual nominal+ L&gicamente concluimos que la in$ersi&n de 2/+///+/// es atracti$a para la persona+
#unción !# /
La #unci&n G%B de$uel$e el $alor #uturo de una in$ersi&n bas;ndose en pagos peri&dicos constantes ( en una tasa de interés constante+ Sinta0is !# tasaF nperF pagoF $aF tipoB asa= es la tasa de interés por período+ per: es el n)mero total de pagos de una anualidad+ Pa'o= es el pago que se e#ect)a cada período ( que no
puede cambiar durante la $igencia de la anualidad+ !a: es la suma del $alor actual o presente de una serie
de pagos uni#ormes ( constantes #uturos+ Si el argumento Ga se omite se considerar; / ceroB+ ipo= es el n)mero / & * e indica el $encimiento de los
pagos+ Si la cuota es $encida el tipo se omite ( se asume un ceroF si las cuotas son anticipadas debe especi"carse el $alor de *+ *+emplo 1: esol$amos el ejercicio de la Utili'ando la #unci&n
G% B 44
El )ltimo día de cada mes una persona a8orra *4.+/// durante dos a!os ( le reconocen una tasa del *63 anual e#ecti$o+ De cu;nto dispondr; al cabo de los dos a!os< En primer lugar calculemos la tasa peri&dica= i R * /*6 B *X*4Q* R //*/?7.4 R */?7.43 mensual+
A8ora encontremos el $alor #uturo= G%
/
*
4
6
1
.
**
*4
*4.+///
RG% */?7.43F 46Q*4.///B R 1+6**+*/167 *+emplo 2: esuel$a el ejercicio anterior si los dep&sitos de
*4.+/// se e#ect)an el primer día de cada mes+ 0asa peri&dica= i R * /*6 B*X*4Q * R //*/?7.4 R */?7.43 mensual+ Desde E>cel= R0asa+ nominal/*6F*4BX*4 Encontremos el $alor #uturo para una anualidad anticipada=
41
G%
/
*
4
6
1
.
**
*4
*4.+///
R G%*/?7.43F 46Q*4.///FF *B R1+66+.*.21 bser$e con respecto al ejercicio anterior que el $alor #uturo se incrementa por el 8ec8o de adelantar en un mes la #ec8a en que se reali'a cada dep&sito+ *+emplo $: Una persona desea a8orrar
para un pro(ecto especial que tendr; lugar dentro de un a!o+ @ara ello deposita *+///+/// en una cuenta de a8orros que de$enga un interés anual nominal del 23 capitali'ado mensualmente+ Adem;s tiene planeado depositar *//+/// el )ltimo día de cada mes durante los pr&>imos *4 meses+ 9Cu;nto dinero tendr; en su cuenta al "nal de los *4 meses< G%
/
*
4
1
6
.
**
*//+// /
*+///+// RG% / 23X*4F *4F Q*/////F Q*//////B R 4+4?.+416/. *+emplo (= Se 8a otorgado un crédito por 1+4./+/// a tres
a!os con cuotas mensuales al *3 anual nominal+ 0ranscurridos dos a!os la persona desea conocer el estado de su crédito para mirar la posibilidad de cancelarlo por completo+ 9Cu;l es el $alor de la deuda en este momento< 0asa peri&dica= i R *3 X *4 R *.3 mensual 46
*4
Cuota "ja R @AJ *.3F 12 F 14.//// B R Q**7+6?.4? 1+4./+///
/
*
4
6
1
.
41
46
**7+6?.4?
G%
Galor de la deuda en el mes 46= RG% *.3F 46F Q**76?.4?F 14.//// B R *+4*+../66 *+emplo 3= Geamos como la #unci&n G% puede utili'arse para
problemas en que no se tiene una anualidad+ Si 8o( in$ertimos 6+.//+/// al */.3 anual e#ecti$o ( los intereses se liquidan ( capitali'an trimestralmente de cu;nto dispondremos dentro de dos a!os< El problema no 8ace re#erencia a una anualidad pues no tenemos un sistema de cuotas "jas ( peri&dicas sino que solo deseamos capitali'ar una in$ersi&n puntual+ 0asa peri&dica= i R * /*/.B*X6Q* R 4.47.3 trimestral Desde E>cel= R0asa+ nominal /*/.F6BX6 Galor %uturo= RG% 4.47.3F F F Q6.///// B R .+6?6+2*4./ Note que se omite el par;metro @AJ (a que no 8a( un sistema de cuotas+
#unción ASA /
La #unci&n 0ASA B de$uel$e la tasa de interés por período de una anualidad+ 0ASA se calcula por iteraci&n ( puede tener cero o m;s soluciones+ Si los resultados consecuti$os de 0ASA 4.
no con$ergen en ///////* después de 4/ iteraciones 0ASA de$uel$e el $alor de la tasa utili'ada+ Sinta0is ASA nperF pagoF $aF $#F tipoF estimarB per: es el n)mero total de períodos de pago en una
anualidad+ es el pago que se e#ect)a en cada período ( que no puede cambiar durante la $ida de la anualidad+ Pa'o:
!a: es el $alor actual de la cantidad total de una serie de
pagos #uturos+ !f: es el $alor #uturo o un saldo en e#ecti$o que desea
lograr después de e#ectuar el )ltimo pago+ Si el argumento $# se omite se asume que el $alor es /+ ipo: es el n)mero / & * e indica el $encimiento de los
pagos+ *stimar= es la estimaci&n de la tasa de interés+ Si el
argumento estimar se omite se supone que es */3+ Si 0ASA no con$erge trate de usar di#erentes $alores para el argumento estimar+ 0ASA generalmente con$erge si el argumento estimar se encuentra entre / ( *+ *+emplo 1: esol$amos el ejercicio siguiente
utili'ando la
#unci&n 0ASAB Un capital de *+///+/// se est; amorti'ando con *4 cuotas mensuales de ?.+///+ Cual es la tasa que se est; cobrando< ecordemos que el c;lculo anterior se e#ect)o por iteraciones ( que como acabamos de mencionarlo el E>cel lo calcula de la misma manera+ R0ASA *4F Q?.///F *//////B R //4/7.76 R 4/7.763 mensual *+emplo 2: Calcular la tasa de un préstamo de +///+/// a
cuatro a!os con pagos mensuales de 4//+///+ En primer 42
lugar supongamos que los pagos se e#ect)an mes $encido es decir tenemos una anualidad ordinaria o $encida+ 0ASA 6F Q4/////F //////B es igual a /77/*3 mensual+ La tasa anual nominal es /77/*3Z*4 que es igual a ?46*3+ Supongamos a8ora que los pagos se e#ect)an al comien'o del periodo lo que con$ierte la anualidad en anticipada aumentando l&gicamente el $alor de la tasa+ 0ASA6F Q4/////F //////F F*B es igual a //.13 mensual+ La #unci&n 0ASA puede utili'arse en algunos casos en los cuales no se trabaja con una anualidad sino que de una manera m;s simple a partir del $alor presente del $alor #uturo ( del n)mero de períodos de una in$ersi&n se requiere calcular la tasa de interés peri&dica+ *+emplo $= Una persona 8a e#ectuado una in$ersi&n de
4+.//+/// ( después de a!o ( medio se 8a con$ertido en 1+4./+///+ Si los intereses se liquidaron ( capitali'aron mensualmente cual es la tasa de interés mensual< 0asa mensual= R0ASA*FFQ4./////F14.////B R *6213
#unción P*" /
La #unci&n N@EB de$uel$e el n)mero de períodos de una in$ersi&n bas;ndose en los pagos peri&dicos constantes ( en la tasa de interés constante es decir calcula el n)mero de periodos de una anualidad+ Sinta0is P*" tasaF pagoF $aF $#F tipoB asa= es la tasa de interés por período+ Pa'o= es el pago e#ectuado en cada períodoF debe
permanecer constante durante la $ida de la anualidad+ !a= es el $alor actual o la suma total de una serie de
#uturos pagos+ 47
es el $alor #uturo o saldo en e#ecti$o que se desea lograr después del )ltimo pago+ Si $# se omite el $alor predeterminado es / por ejemplo el $alor #uturo de un préstamo es /B+ !f:
ipo= es el n)mero / & * e indica el $encimiento de los
pagos+ Si la cuota es $encida el tipo se omite ( se asume un ceroF si las cuotas son anticipadas debe especi"carse el $alor de *+ *+emplo 1: esol$amos el ejercicio
siguiente utili'ando la
#unci&n N@EB Una persona 8a e#ectuado un préstamo de *.+///+/// para comprar un autom&$il ( se le "jan cuotas mensuales de 6/.+// al 4*3 nominal liquidado mensualmente+ Cuantas cuotas debe pagar para cancelar la deuda< RN@E 4*3X*4F Q6/.//F *.//////B R 2/
%.$. Problemas propuestos
*+ Demuestre que=
a+
b+ 4
Solución:
4+ Con los datos @ R */// um i R 13 ( nR6 calcule los importes de a S ( @F aplique los #actores "nancieros= %C %CS %D%A W %AS Solución:
1+ Con los datos iR 13 ( n R*4 calcule los siguientes #actores "nancieros anticipados= %C %CS %D%A W %AS Solución:
6+ Con$ierte una anualidad $encida cu(o 8ori'onte temporal es seis meses ( se compone de rentas uni#ormes mensuales de .// um cada una en una anualidad anticipada+ Utilice una 0E5 de 63+
Solución
.+ Sustitu(a una serie de cuatro imposiciones mensuales uni#ormes de 6/+77 um cada una por otra equi$alente con pagos mensuales $encidos+ Utilice una 0E5 de 63+ Solución:
Monto de una anualidad simple anticipada
2+ En un cuatrimestre se e#ect)an dep&sitos de */// um al inicio de cada mes en un banco que remunera esos dep&sitos con una 0NA 123 capitali'able mensualmente+ 9:ué monto se acumular; al "nal del cuarto mes< Solución
7+ El primer día )til de cada mes la compa!ía @rotecta coloca en un banco 4/3 de sus e>cedentes de caja que ascienden a .// um+ Si por dic8os dep&sitos percibe una 0E5 de 13 9Cu;nto 8abr; acumulado al termino del se>to mes < + Solución
+ Una persona deposita en una cuenta de a8orros a inicios de cada trimestre un importe constante de 4/// um+ 9:ué monto acumular; en el pla'o de dos 4?
a!os si percibe una 0NA de 463 capitali'able trimestralmente< Solución:
?+ 9:ué monto puede acumularse durante 1 a!os consecuti$os si se depositan */// um al inicio de cada mes en un banco que remunera esos dep&sitos con una 0NA de 463 capitali'able mensualmente< Solución
*/+ 9Cu;l ser; el importe del monto al "nal del se>to mes si se e#ect)an dep&sitos de */// um a inicios de cada mes en una instituci&n bancaria que paga una 0NA de 123 con capitali'aci&n trimestral< Solución
**+ 9:ué monto se 8abr; acumulado en una cuenta de a8orros si a inicios de mes ( durante meses consecuti$os se deposit& // um en un banco que remunera a esos a8orros con una 0EA de *43< Solución
!alor presente de una anualidad simple anticipada
*4+ El alquiler de un local comercial es .// um pago que debe e#ectuarse a inicios de cada mes+ El due!o del local le propone al arrendatario e#ectuar un descuento en las cuotas mensuales con una 0E5 de 63 en el caso que le abone anticipadamente los alquileres correspondientes a un a!o+ Calcule el $alor presente de los doce pagos anticipados+
Solución:
*1+ Un crédito mutual que de$enga una 0NA de 123 capitali'able trimestralmente #ue contratado para amorti'arse con 4/ imposiciones trimestrales uni#ormes de 4./ um+ Al $encimiento de la imposici&n *4 el cliente decide cancelarla conjuntamente con las 1/
cuotas insolutas+ 9Cu;l es el importe total por cancelar en esa #ec8a<
Solución:
*6+ 9Cu;l es el precio de contado equi$alente de una m;quina que se $ende a crédito con *4 cuotas mensuales anticipadas de 4// cada una< El costo de oportunidad es una 0E5 de 43<
Solución:
*.+ Calcule el importe total del interés por pagar en la amorti'aci&n de un préstamo pactado a una 0E5 de 63 durante medio a!o con imposiciones iguales mensuales de .// um+
Solución:
*2+ @ara la adquisici&n de una maquina se dispone de 4/3 de su precio de contado+ El saldo ser; "nanciado por el mismo pro$eedor con *4 imposiciones iguales mensuales de .// um cada uno con una 0E5 de 13+ Calcule el precio de contado equi$alente de la m;quina+
Solución:
*7+ Calcule el $alor presente de una anualidad compuesta de 4/ rentas uni#ormes trimestrales anticipadas de 4/// um+ cada um+ aplicando una 0E5 de *+.3+
Solución: "enta uniforme anticipada en función de S
*+ La compa!ía [acobs tomo la decisi&n de adquirir dentro de seis meses una nue$a camioneta para distribuir sus productos se estima que el precio de la camioneta ser; de *1/// umB+ @ara este e#ecto decide a8orrar mensualmente en ese pla'o una determinada cantidad uni#orme al inicio de cada mes+ Calcule el importante de la cuota constante anticipada que le permita #ormar dic8o #ondo a "nes del se>to mes si sus a8orros perciben una 0E5 de 43+ Solución:
1*
*?+ Se estima que dentro de cuatro meses deber; adquirirse una maquina cu(o precio ser; ./// um+ Si se empie'a 8o( 9:ué cantidad uni#orme deber; depositarse cada 1/ días durante ese periodo de tiempo en un banco que paga una 0E5 de *3 a "n de comprar dic8a m;quina con los a8orros capitali'ados< Solución:
4/+ Calcule el importe de la imposici&n uni#orme que colocada cada mes en un banco con una 0E5 de *.3 durante el pla'o de 6 a!os permita acumular un #ondo para rempla'ar una maquina cu(o precio se estima al "nali'ar ese periodo en 14/// um+ Solución
4*+ Calcule el importe de la renta constante que colocada al inicio de cada trimestre durante 6 a!os permita constituir un monto de 4//// um+ La 0EA aplicable es *43+ Solución "enta uniforme anticipada en función de P
44+ Un préstamo de ./// um debe cancelarse en el pla'o de un a!o con cuotas uni#ormes mensuales anticipadas+ El préstamo de$enga una 0EA de 463+ Calcule el importe de la cuota anticipada+ Solución:
41+ La empresa equipos S+A $ende sus m;quinas al contado en *//// um pero debido a que consigui& un "nanciamiento del e>terior est; planeando e#ectuar $entas a crédito con una cuota inicial ( seis cuotas mensuales uni#ormes todas iguales+ Si la 0EA que se piensa cargar al "nanciamiento es 4. 3 calcule el importe de las cuotas del programa de $entas a pla'o+ Solución:
46+ La empresa EletroSur dedicada a la $enta de grupos electr&genos con un precio al contado de 1/// um est; planeando e#ectuar $entas al crédito sin cuota inicial ( seis cuotas mensuales uni#ormes anticipadas 14
cargando una 0E5 de 63+ 9Cu;l ser; el importe de cada cuota< Solución: Calculo de n en una anualidad anticipada
4.+ En cu;nto tiempo podr; acumularse un monto de 4/// um si se e#ect)an dep&sitos quincenales anticipados de *./ um< El banco paga una 0NA de 463 capitali'able mensualmente+ Solución
42+ 9Cu;ntos dep&sitos mensuales anticipados de 4./ um deben e#ectuarse en un banco para acumular un monto de 4/// si se percibe una 0E5 de 13< Solución
47+ 9Cu;ntas cuotas mensuales anticipadas de *2./ um ser;n necesarias para cancelar un préstamo de .// um< La deuda se contrajo en un banco que cobra una 0NA de 463 con capitali'aci&n trimestral+ Solución
4+ Un electrodoméstico tiene un precio de *4// um al contado+ @ara incrementar las $entas se piensa o#recer a crédito sin cuota inicial ( con cuotas mensuales iguales anticipadas de *// um+ 9Cu;ntas cuotas deben tener ese programa de crédito al que se le carga una 0E5 de 63< Solución
C4lculo de i en una anualidad anticipada
4?+ @or campa!a escolar una casa comercial o#rece Hpaquetes escolares por un importe de *4// um que se amorti'ar; en el pla'o de un a!o con cuotas mensuales anticipadas de *4/ um cada una+ 9Cu;l es la 0E5 cargada< Solución
1/+ Una m;quina puede adquirirse de contado en 4.// um ( a crédito 11
con 2 cuotas iguales mensuales anticipadas de 6./ um+ Calcule la 0NA+ Solución %.( Problemas diersos
*+ Calcular el $alor de contado de una propiedad $endida a *. a!os de pla'o con pagos de 1+/// mensuales por mes anticipado si la tasa de interés es del *43 con$ertible mensualmente+ Solución= 4+ Una persona recibe tres o#ertas para la compra de su propiedad= aB 6//+/// de contadoF bB *?/+/// de contado ( ./+/// semestrales en #orma anticipada durante 4 a!os cB 4/+/// por trimestre anticipado durante 1 a!os ( un pago de 4./+/// al "nali'ar el cuarto a!o+ 9:ué o#erta debe escoger si la tasa de interés es del 3 anual< Solución= 1+ 9Cu;l es el $alor presente de una renta de .// depositada a principio de cada mes durante *. a!os en una cuenta de a8orros que gana el ?3 con$ertible mensualmente< Solución= 6+ 9:ué suma debe depositarse a principio de cada a!o en un #ondo que abona el 23 para pro$eer la sustituci&n de los equipos de una compa!ía cu(o costo es de 4+///+/// ( con una $ida )til de . a!os si el $alor de sal$amento se estima en el */3 del costo< Solución:
.+ Sustituir una serie de pagos de +/// al "nal de cada a!o por el equi$alente en pagos mensuales anticipados con un interés del ?3 con$ertible mensualmente+ Solución:
2+ Un empleado consigna 1// al principio de cada mes en una cuenta de a8orros que paga el 3 con$ertible mensualmente+ 9En cu;nto tiempo lograr; a8orrar 1/+///<+ Solución
7+ Una persona recibe por concepto de arriendo mes anticipadoB la suma de *+///+/// mensuales ( deposita el 6/3 en una cuenta de a8orros en una instituci&n "nanciera que le reconoce el 43 de interés mensual+ El dep&sito lo reali'a un $e' recibe el $alor de la renta+ Si el inmueble estu$o 16