CAPITULO 2, PROBLEMAS PROPUESTOS GABRIEL BACA URBINA 1.- En México se anunciaban hace muchos años: “Invierta en Bonos del Ahorro Nacional, que duplican su valor a los 10 años”. ¿Cuál era la tasa de interés anual que pagaban los BNA?
2.- Si en un banco se ahorran $ 75 cada año, a una tasa de interés del 5% capitalizada anualmente, ¿Cuánto se tendrá al final de 8 años?
3.- Una persona ahorró durante cuatro años, al finalizar cada uno de ellos, $ 125 en un banco que pagaba 10% de interés anual. Inmediatamente después de hacer su cuarto depósito, el banco bajó la tasa de interés al 8%. Luego de hacer el quinto depósito y hasta el décimo, el banco mantuvo la tasa inicial de 10% anual. ¿De cuánto dispondrá el ahorrador al final de los 10 años, si durante ese tiempo mantuvo constante su ahorro de $ 125 anual?
4.- Calcule P en el siguiente diagrama de flujo si i=10%
5.- Calcule B del siguiente diagrama de flujo, si i=8%
6.- Calcule C del siguiente diagrama de flujo, si i=12%
7.- Si i=5%, calcule D en el siguiente diagrama de flujo.
8.- El exclusivo club deportivo Failured Camps ofrece dos opciones a quienquiera ser socio: un pago de contado de $ 10 000 que da derecho a una membresía por 10 años, o pagos anuales al inicio de cada año. En el primer año se pagaran $ 1 200 y este pago se incrementara en $ 100 anualmente. Si se considera una tasa de interés del 12% capitalizado cada año, ¿Cuál plan escogería usted en caso que deseara pertenecer al club por un periodo de 10 años? 9.- Una persona compró un televisor en $ 750 y acordó pagarlo en 24 mensualidades iguales, comenzando un mes después de la compra. El contrato también estipula que el comprador deberá pagar en el mes de diciembre de ambos años anualidades equivalentes a 3 pagos mensuales. Si el televisor se adquirió el 1 de enero de 1990, tendrá que pagar, en diciembre de 1990 y diciembre de 1991, 4 mensualidades en cada periodo (una normal mas la anualidad). Si el interés que se cobra es del 1% mensual, ¿A cuánto ascienden los pagos mensuales? 10.- La misma persona del problema anterior decide que en vez de pagar dos anualidades equivalentes a 3 mensualidades cada una, pagará una sola en diciembre de 1990 por $ 200. ¿A cuánto ascienden ahora los 24 pagos mensuales uniformes, si el interés se mantiene igual? 11.- Una universidad local ofrece estudios de licenciatura por una cantidad anual de $ 4 500 pagaderos al principio del año escolar. Otra forma de pagar los estudios es mediante la aportación de 10 mensualidades iguales. La primera se paga el 1 de septiembre y la ultima el 1 de julio del siguiente año. En los meses de diciembre y agosto no hay pago por estar de vacaciones. ¿A cuánto ascienden los 10 pagos mensuales uniformes para se equivalente a un pago de contado de $ 4 500 el 1 de septiembre de cada año, si la universidad aplica una tasa de interés del 2% mensual? 12.- Un padre de familia ha pensado en ahorrar $80 al mes durante cierto periodo de la vida de su hijo pequeño, en n banco que paga un interés del 12% anual capitalizado mensualmente. Los ahorros se harían hasta que el hijo cumpliera 17 años. Una año después, es decir, cuando el joven tuviera 18 años, empezaría su educación universitaria que el padre ha calculado que costara $ 4 500. costará $ 5 000 cuando cumpla 19 años y $ 5 500 a los 20 años, $ 6 000 a los 21 y $ 6 500 a los 22 años. ¿Qué edad debe tener el hijo para que el padre empiece a ahorrar $ 80 al mes, desde ese momento y hasta
que cumpla los 17 años, para que pueda disponer de las cantidades mencionadas en esas fechas? 13.- El joven futbolista Inocencio del Campo recientemente cumplió 21 años y su futuro en el campo es muy prometedor. Su contrato con el equipo “Jamelogos” terminó y el mismo equipo ya le ofreció un nuevo contrato durante seis años por la suma de $ 1.6 millones de dólares, pagaderos al momento de la firma. Por otro lado, él piensa que si eleva continuamente su nivel de juego, puede conseguir contratos anuales, el primero de los cuales sería por $ 250 000 dólares y, con cada contrato sucesivo, pedir una suma adicional de $ 50 000 dólares. Todos los contratos pagan lo convenido a principio de año. Si la tasa de interés que se considera es del 15 % anual, ¿Qué deberá hacer Inocencio si quiere planear sus próximos seis años de carrera deportiva? 14.- Una persona piensa depositar $ 150 cada mes durante el siguiente año en un banco que paga una tasa de interés del 1.5% mensual. Considera que después de hacer los 12 depósitos del primer año, puede aumentar su ahorro mensual a $ 180. ¿Cuánto tendrá al final de dos años, si no retira ninguna cantidad de dinero durante ese tiempo? 15.- Hay un depósito de $ 2 699 en un banco que paga una tasa de interés del 10% anual. Si es necesario retirar una cantidad de $ 300 dentro de un año y los retiros al final de los años sucesivos se incrementan por $ 50, ¿en cuántos años se extinguirá totalmente el fondo de $ 2 699? 16.- Una familia cuenta con un fondo de $ 30 000 para remodelar su casa en el futuro. El dinero está depositado en un banco que paga un interés de 7% anual. Si la familia considera que gastará $ 10 000 al final del segundo año y $ 15 000 al final del cuarto año, ¿Con qué cantidad podrá contar al final del quinto año? 17.- Calcule P del siguiente diagrama de flujo, si i=20%
18.- Una persona se propuso ahorrar $ 1 000 cada fin de año durante 10 años en un banco que paga interés del 12% anual. Sin embargo, al final de los años 5 y 7, en vez de ahorrar, tuvo que disponer de $ 500 en cada una de esas fechas. ¿Cuánto acumuló al final de los 10 años si hizo 8 depósitos de $ 1 000? 19.- Un matrimonio compró una casa en $ 180 000 mediante una hipoteca que cobra 10% de interés anual. Si el matrimonio puede dar pagos de $ 23 000
cada fin de año, comenzando un año después de la compra, a) ¿Cuándo terminaran de pagar la casa? b)si dan un enganche de contado de $ 35 000 y desean pagar la casa en el mismo plazo calculado en el inciso a), ¿Cuánto ascenderán ahorrar los pagos de fin de año? 20.- Se han pedido prestados $ 1 000 a una tasa de interés de 5% anual y se acuerda pagar cada fin de año, principiando un año después de hacer el préstamo, de forma que cada pago disminuya en $ 75 cada año, es decir, el segundo pago será menor que el primero por $ 75, el tercero menor que el segundo por $ 75m etc. Si se desea liquidar totalmente el préstamo en 6 años, ¿Cuál será el pago al final del sexto año? 21.- Durante 10 años una persona ahorró una cierta cantidad de tal forma que el depósito del año siguiente siempre fue superior en $ 1 000 a la cantidad depositada el año anterior. El interés que se pagó por este tipo de ahorros fue de 6% anual. Si al final de los 10 años se contaba con $ 66 193, ¿Cuál fue la cantidad que se depositó el primer año? 22.- Se depositaron $ 33 000 en un banco que paga un interés anual de 9%. Al final del primer año de haber hecho el depósito y al final de los siguientes cuatro, se hicieron retiros por $ 4 000, es decir, se hicieron 5 retiros de fin de año. Después de estos cinco años, se desea hacer retiros de $ 3 000 cada fin de año en lo sucesivo. ¿Cuántos retiros de $ 3 000 se podrán hacer antes de extinguir totalmente la suma depositada? 23.- Un equipo viejo produce una gran cantidad de piezas defectuosas. Se calcula que durante los siguientes cuatro años se producirán 1 200 piezas defectuosas por año y a partir del quinto, éstas aumentarán en 150 unidades anuales. La empresa que tiene este equipo usa como referencia una tasa de interés del 12% anual y esta haciendo un estudio para un periodo de 8 años. Si cada pieza defectuosa le cuesta $ 10, ¿Cuánto estará dispuesta a pagar ahora por una máquina nueva que evite totalmente este problema? 24.- Por medio de la aplicación de técnicas de ingeniería industrial, una empresa logró ahorrar $ 28 000 el primer año disminuyendo los ahorros en $ 4 000 cada año durante un periodo de 5 años. A una tasa de interés del 12% anual, ¿A cuánto equivalen los ahorros de los 5 años al final del quinto año? 25.- Se compró un equipo de sonido por $ 1 100. Se acordó pagarlo en 36 pagos iguales mensuales, principiando un mes después de la compra. La tasa de interés es del 1% mensual. a) Calcule el pago mensual que deberá hacerse. b) Al final de los meses 12,24 y 36 es posible hacer un pago adicional a la mensualidad de $ 100; si se desea pagar el equipo en 36 mensualidades iguales, ¿A cuánto ascienden ahora estos pagos?
26.- Calcule F del siguiente diagrama de flujo, si i=15%
27.- Un préstamo de $ 4 500 se liquidará pagando $ 800 al final de los años primero, segundo, cuarto y quinto. Si la tasa que se considera es de 10% de interés anual, ¿Cuál debe ser el pago en el tercer año, para saldar exactamente el préstamo? 28.- Se compró un equipo de cómputo en $ 3 200 a una tasa de 1% mensual; el primer pago se hace un mes después de la adquisición. Si la cantidad más alta que se puede pagar al mes es $ 100 durante los 12 primeros meses y $ 120 del mes 13 en adelante, ¿Cuántos meses tardaría en liquidarse el equipo de cómputo? Si el último pago no es exactamente de $ 120, ¿A cuánto asciende este último pago? 29.- Una persona quiere comprar un perro de un mes de nacido. Calcula que los gastos de manutención del animal serán de $ 20 durante el segundo mes de edad, cantidad que se incrementará en $ 3 cada mes hasta que el perro tenga 12 meses. Después, esta cantidad permanecerá constante a través de los años, es decir, costará $ 50 al mes mantener al perro. Si al momento de hacer la adquisición, deposita $ 3500 en un banco que paga 1% de interés mensual, ¿Durante cuánto tiempo podrá mantener al perro con el dinero que tiene en el banco, sin inversión adicional?
30.- Calcule I del siguiente diagrama de flujo si i=20%
31.- Un préstamo de $ 10 000 se paga con anualidades iguales de $ 1 200 a una tasa de interés anual de 8% principiando un año después de hecho el préstamo. Después de 5 pagos, por problemas financieros, se suspende el pago y se acuerda liquidar con una sola suma toda la deuda al final del año 10. ¿A cuánto ascenderá este pago único?
32.- Una empresa depositó $ 1 000 al final de cada año durante 5 años. Al final del año 6 depositó $ 1 250, al final del 7, $ 1 500; y al final del octavo año depositó $ 1 750. Si por estos ahorros lo pagaron una tasa de interés del 7.5% anual, ¿Cuánto tendrá acumulado al final del año 10?
33.- El banco A paga un interés del 8% anual capitalizado semestralmente. El banco B paga 7.9% anual capitalizado mensualmente, y el banco C paga una tasa de 7.8% anual capitalizada diariamente. Si usted tiene $ 500 para invertir, ¿Qué banco elegiría si el periodo de depósito es de, al menos, un año?
34.- Una persona depositó $ 5 000 en la institución A que paga un interés del 10% capitalizado anualmente. También depositó $ 5 000 en la institución B que paga 10% anual capitalizado mensualmente. a) ¿Cuánto dejó de ganar en el primer caso si el dinero permaneció en ambas instituciones por tres años? b) ¿Si dejó el dinero por 3.5 años?
35.- Se depositan $ 3 000 cada año en un banco que paga una tasa de interés anual del 12% capitalizada mensualmente, ¿Qué cantidad se acumulará al final de 5 depósitos anuales?
36.- Se depositan mensualmente $ 100 en un banco que paga 12% de interés anual capitalizado trimestralmente. ¿Cuánto se habrá acumulado después de hacer 36 depósitos mensuales?
37.- Una casa comercial: “Compre cualquier artículo de esa tienda con un cargo de interés del 12% anual. Para su comodidad salde su deuda en cómodos pagos semanales iguales ¿Cuál es la tasa de interés efectivo anual que cobra la tienda?
38.- Algunos planes de empresas automotrices dicen: “Adquiera su auto sin enganche y sin interés. Páguelo en 40 mensualidades congeladas (iguales)”. El plan que lo presenta a un comprador es el siguiente: Valor del auto de contado = $ 25 000 Costos de investigación y apertura de crédito, 20% del valor del auto = $ 5 000 Deuda inicial = $ 30 000 Liquidación en 40 pagos mensuales iguales de 30 000 = 750 40 La primera mensualidad se dará un mes después de haber hecho el trato. ¿Cuál es la tasa de interés efectivo anual que se cobra por este tipo de ventas?
39.- Se anuncia la venta de un mueble de cocina por $ 2 000 de contado. Otra forma de pagar el mueble es mediante 6 mensualidades iguales, empezando a pagar la primera tres meses después de hecha la compra. Si el vendedor aplica una tasa de interés del 18% anual capitalizada mensualmente. ¿de cuánto serán los 6 pagos iguales necesarios para cubrir la deuda?
40.- El popular cantante Thomas D´Mass decidió retirarse del medio artístico dentro de dos años. La promotora artística Broken le ha ofrecido un jugoso contrato por 2 000 000 de dólares, pagaderos de contado al momento de firmar un contrato donde se especifica que los dos últimos años de su vida artística, el cantante dará todos los conciertos que la empresa logre conseguir. Por otro lado, Thomas piensa que gracias a su popularidad, él puede conseguir conciertos libremente en cada uno de los cuales cobrará 50 000 dólares. En cualquier caso, Thomas ahorraría todas sus ganancias en un banco que paga un interés del 12% anual, capitalizado quincenalmente, con lo que podría vivir decorosamente en su retiro. ¿Cuántos conciertos necesita dar Thomas independientemente para que le resulte igual firmar el contrato por dos años?
41.- En México hay la llamada Lotería Nacional, juego que consiste en que si se gana el premio mayor, por cada unidad monetaria que se apueste se recibirán 10 000 a cambio. Una persona jugó $ 10 por semana durante muchos años y nunca obtuvo el premio mayor. Si se considera una tasa de interés del 18% anual capitalizada mensualmente, ¿Cuánto tiempo sería necesario para que, si hubiera ahorrado ese dinero a la tasa mencionada en vez de jugar, la ganancia fuera igual a la del premio mayor?
42.- Se deposita $ 100 cada fin de mes en un banco que paga una tasa del 16% anual capitalizado trimestralmente. Al cabo de un año, es decir, después de hacer 12 depósitos, en el banco decide capitalizar la tasa de interés mensualmente. Si se continúa haciendo depósitos $ 100 cada fin de mes, ¿Cuánto se tendrá acumulado al final de dos años?
43.- Se depositan $ 2 500 en un banco que paga un interés del 14% anual capitalizado cada semana. Seis meses después del primer depósito se retiran $ 1 000. Al cabo de un año del depósito inicial, vuelven a depositarse los $ 1 000. Si en los sucesivo ya no hay movimientos de dinero, ¿cuánto se tendrá acumulado después de 18.5 meses de haber iniciado las operaciones?
44.- En México, mucha gente participa en las llamadas tandas, que consisten en reunir cierto número de personas, quienes periódicamente aportan una cantidad fija de dinero. Cada una de ellas sucesivamente recibe el total de las aportaciones del resto del grupo. Supóngase que se reúnen 30 personas, y que cada quincena cada una aporta $ 1 000, de forma que en el primer periodo de aportación una de ellas recibe $ 30 000, en el segundo periodo otra recibe la misma cantidad, y así durante 29 quincenas. La última persona en cobrar, también recibe $ 30 000. Si la persona que cobra en primer lugar ahorra ese dinero en un banco que paga un interés del 18% anual capitalizado cada semana, a) ¿cuánto dinero extra tendrá al final de la quincena 29, respecto de la persona que en ese momento apenas está recibiendo $ 30 000? b) ¿ a cuánto asciende esta diferencia si el banco paga un interés del 18% anual capitalizado mensualmente?
45.- Si un usurero presta $ 1 000 a cambio de recibir $ 1 100 al cabo de una semana y si se supone que esta práctica la realiza en forma continua durante todo un año, ¿Cuál es la tasa efectiva de interés anual que habrá ganado?
46.- Se ahorran $ 7 000 en un banco que paga interés del 8% anual capitalizado trimestralmente. Se desean hacer diez retiros semanales iguales, empezando a retirar tres meses después de haber hecho el depósito inicial. ¿A cuánto ascienden cada uno de los diez retiros semanales, para que con el último se extinga el fondo?
47.- Se depositan $ 12 222 en un banco que paga un interés del 15% anual capitalizado cada mes. Si se estima que será necesario retirar $ 1 800 cada tres meses, ¿Cuántos retiros de $ 1 800 se podrán hacer hasta extinguir totalmente el depósito?
48.- Se dice que el crecimiento de la población se rige por la misma formula F = P(1 + i)∧n del interés capitalizado, donde P es la población actual, i es la tasa de natalidad, n los periodos considerados y F la población futura que desea calcular. Las tasas de natalidad se dan en forma anual, pero es obvio que los niños nacen en forma continua, es decir, diario y a cualquier hora. Si en México se ha calculado que la tasa de natalidad es del 2% anual, ¿Cuál es la tasa de natalidad en forma continua?
49.- Se depositan $ 750 mensuales en un banco que paga un interés del 14% anual capitalizado cada mes. Si se hacen 15 depósitos en forma consecutiva, ¿Cuánto se tendrá cumulado al final del mes 20?
50.- Se compra un equipo de sonido en $ 5 500 y se acuerda pagarlo en 36 mensualidades iguales, a una tasa de interés del 18% anual, capitalizado cada mes. Después de hacer el pago numero 18, por problemas inflacionarios, la tasa se eleva al 22% de interés anual capitalizado mensualmente. Si quien hizo la compra puede pagar el resto del adeudo, exactamente con el mismo pago mensual de las primeras 18 mensualidades, a)¿Cuándo terminará de pagar la deuda?, b) el último pago no es exactamente igual al resto de las mensualidades, ¿A cuánto asciende el pago del último mes para liquidar la deuda?