TASAS DE VARIACION RELACIONADAS ENTRE SI g a g
Solución de problemas sobre tasas de variación relacionadas entre sí Solución de variantes de estos problemas Tres pasos importantes que se deben recordar
El p¡esente capitulo le enseñará al esrudianre a resolver p.oblemas sobre lasas de variación rclacionadas €ntre si. Dichos problenas examinan las tasas de va¡iación de diferentes cantidades.
10-1. Solución de problemas sobre tasas de variación relacionadas entre sí A,
iBúsqueda de una ecuación que relaciore las cantidades! En un problema básico sobre tasas de variación relacionadas enrre si. sc le pedirá al estudiante quc halle la iasa de variación de una canridad que está \,inculadá a la rasa de variación de alguna orfa canrid¿d. La relación enlre estas dos canlidades puede expresarse mediánre una ccuación. Puede resultar útil hacer un dibujo de la situación v desarrolla. lucso una ecuacion que reldciol.e ld, d.men,rore. Je orDUjo
B. ;Diferenciación de la
ecuación!
Para obtener una ecuación que relacione las tasas de variación (derivadat de las cantidades, debe diferenciarse la ecuación con respecro al tienpo. Se usará la diferenciación implicita. así que debe aplicarse cuidadosamente la regla de la cadena. La nuevá ecuación puede conleñer también las varia, bles orlginales. Podrán entonces susrituirse en la ecuación los valo¡es dados en el proble¡na v encont.ar la iolución para l¡ tasa de variacjón que responda a la pregunta planteada orieinalmenre.
EJEMPLO r0-r: Una bola de nieve hora. Si mantiene su éste
foma
nide 20 pulsadas?
(l
se está derritiendo a razón de 2 pies'por €sférica, ¿a qué tasa está variando el |adio cuando
pie
=
12 pulgadas).
S¿tu¿iád Primero se identifican las dos cantidades cuyas tas¿s de vari¡ción estén ¡elacionadas. En ere caso, se le pide al esrudianre que d€termine la razón de cambio del radio, ¡. y se le da la tasa de variación del voiumen, I/ (observe que I¿s unidades. pies' por hora, expresan que ésra es la rasa de va¡iación del volumen). Ahora se debefá obtener una ecuación que f€lacione esras canlidades. Debido a que s€ tra|a de las dimensiones de una €sfera. se sabe que
, =:rr' 224
Tasos de
eaiación rclaciotta.los ¿nt.
(ver fisura l0-l). Al derivar la ecuación tela€iona¡do t/ y ¡. resulúrá una nueva ecuación que relaciona sus tasas de vaiación. Derivando con respecto ai tiempo. s€ obtiene:
lY . tLr ,t, "n''' l, Habrá qu€ determinar el valor de dri d/ cuando r = 20 puls (5/3 piet. Para hallar este valor, se resuelve la ecuació¡ para d/idl cuando r = 5/l y dvldt =-2 (se r€quiere el signo menos porqüe el volurnen está disminu-
/sY
'\3/
dl d¡
Figum l0-l
9
Ejemplo 10-1
d¡
El radio está canbiando a una tasa de
pies por hora.
-9/(50Í)
Antes de dejar este ejempio. es bueno concentrarse en él nuevarnente fijándose en las unidades. En la ecuación inicial
I/=(constant€)xr'3 y las unidades debe¡ ser claras:
Pre\'
Pie'-
(una medida de tiemDebe recordarse que al derilar se está dividiendo po. qu€ lasunidades ^t tiende a 0. lo cual significa po) y tomando un límite cuando se han conveftido en pies'i h en^,el lado izquierdo ¿Qué pasa entonces en el
lado derecho? Se tiene que
d/ piesr ¿th Las unidades de
r:
(consran¡e)
'dt x r-.t
son pies:. y las unidades de
drrdl son pieslh. Asi. veriñ-
pies'
. Dies pies' r*'r' h= h =
Tantos detalles no son necesa¡ios en cada problema, pefo los ejemplos podrán ent€ndefie meior si se tienen en cuenta las unidades. pie eñ un sitio fijo elevando una coneta La 30 pies po¡ encima de las manos del niño,
EIEMPLO 10-2: Un niño
est.á de
comeia se mantiene a una
altura de
se desplaza pa¡alelarnente al terreno a razón de l0 pi€lseg. se halla a 50 p'es de distancia del niño, ¿con qué rapidez la cometa Cu¿ndo éste la cuerda de 1¿ cometa? suelta
a medida que
Solución El ejemplo pide que se halle la velocidad a la cual el niño está soltando la cuerda d€ la cometa y da la v€locidad lateral de Ia cometa. Primero, s€ hace un dibu.jo (ver figura l0-2) EI lado marcado "v" no debe indicárse con ei número 50, ya que en caso contrario, Ío se trataría de variables. En ef€cto, €l ejemplo pide qüe se halle d/i d/ cuando -t' : 50. Observe que la tasa de variación de x es la velocidad lateral de la cometa (10 pies/s€g) y que la tasa d€ variación de v es la tasa a la cual el niño €stá soltando la cuerda de la
Figor¡ l0-2 Ejemplo 10-2
sl
22!i
226
Cólculo Seglrn €1 reorema de Pitágoras, s. puede escribifi
i{'z+900:}''¿ Diferencia¡do con respecto al riempo
I
,,4I -"
se obriene
^¿y
.lt
dy
Resolvemos esta ecuación para dlld/r conocemos ,y (50 pies)y puede obtenerse de ia ecuación originali
seg), y el valor de
¡
drldr
(10 piesi
.r'+9oo=50, r?:1600
¡:40 Ahora sustitui¡¡osl (40)(l0l
=
El niño es¡á soltando Ia cuerda de
La
50
:¿
coúeta a razón de
8 piesi seg. Es preciso
verificar las unidades.
l0-2. Solución de va¡iantes
de estos problemas
La mayoria de los problenas sot're tasas d€ variación relacionadas entre si son más complicados que los que se vieron en la sección t0-l; pero veremos que todos tienen en común lo siguienre:
(t) (2)
Se pueden esc.ibir una o más ecuaciones relacionando Ias cantidades. Se puede usar la diferencjación para hallar ias relaciones enrre las tasas de
variación de
A.
1as
cantidades.
Cantidades relacionadas por más de una ecuación Presentaremos problemas en los cual€s ias cantidades están relacionadas por varras ecuaciones. Posiblemenre el esrudianre será capaz de tratar estas ecuaciones para obtener una sola ecuación. pero a menudo esro no es necesario. Debe¡ derivarse todas las ecuaciones y luego resotve¡las para hallar la cantidad buscada.
EIEMPLO l0-3: Un cubo de hielo se esrá der¡itiendo. Cu¿ndo su volumen cm', el cubo se está de¡ritiendo a razón de 4 cmrr seg. Hallar la tasa de \¿flación del ;rea de la 'Jperlicie del cubo en e.e in.ranre.
es de 8
Solución: En esle ejenplo se da la tasa de variación del volunen del cubo y se pide que se obtenga la razón de cambio del área de la supe¡ficie. Por consiguient€, se deben buscar €cuaciones que relacionen el área del cubo con su volumen. El volumen r de un cubo cuyos lados tienen una longitud .r, es ¡r. Debido a qu€ el cubo tiene seis lados, cada uno con un área de .rr, et áre¿ del cubo es .l : 6irr. E¡ lugar de tratar de r€solver mediante una sola ecuación
Tasas de
que relacione S y ,/ por medio de la eliminación de la variable anbas ecuaciones con respecto al tiempo:
dS .^ tlt
r,
se
t'aiación rclacioñadas entrc
derivan
l-r 4t
Cuando el volunen del cubo es 8 cmj. ¡ debe ser 2 cm Deberá hallarse enio¡ces dsid¡ cuando i = 2, dado que df rlt = -l en ese tiempo. Asi,
-1 = 3(2)2 .,q (.r"ndo
' - ), d, d! -l I
De e.re modo.
^ = ,c,(,:) B.
Problemas que contienen más de dos cantidades
relacionadas entre sí La tasa de variación que se busca puede depender de las lasas de variación de diferenres cantidades. Como en los c¿sos anteriores, se debe hallaf la ecuación (o ecuaciones) que relacionen estas cantidades y diferencias
EJEMPLO 10-4: Un auronóvil está 30 millas al norte de la ciudad y se dirF ge hacia el norte a razón de 25 millas por hora AL rnismo tienpo, un camión está 40 millas al este de la ciudad y se desplaza hacia el este a razón de 50 mi' llas por hora. ¿Cuál €s la rasa de variación de la d¡tancia entre los dos vehicuSoluciót': Debe comenzárse por dibuiar un diasrana (\'er fisura 10-3) Por el reofe.na de Pirágor¿...e.¿be qJ(
Diferenciando con respecto al tiempo,
dr ...r1 t1t ¡1t
... o
a¡
simplemenie 'Jt
Se quiere halla¡ d.zrdl cuando
¡=
40.
!=
- t'lula
.- 1.
ecu"ción que
'elaciun¿
dl =
5
30, dxi
dt
JI
=
50
y dy dt =
25
30 -5n
1". Ias". de \arraLrón e'
(40)(50) de rnodo que ¿zr
Jt
+
(30)(25)
:
(50)¿:
5. I-os vehiculos están separándose a razón de 55 millasi h
Figüra 10-3 Ejernplo 10-4
sl
227
228
Cálculo
10-3. Tres pasos importantes que se deben recordar A. ¡Elaborar el dibujo cuidadosamente! Al hacer el dibujo correspondie¡re, se debe tener la seguridad de inciuir rodas las variables que intervienen en el problema.
B, iNo deben
marcarse las variables como consiantes! Algunas de las dinensiones que se dan en el probtema pernanecen fijas a nedida que t¡anscurre el riempo_ Esras dinensjones constantes en el diagrama. Cualquier¡ olra información define el insrante en el cual se debe calcular la tasa de variación; esras dimensjones no deben marcane como conraDtes, va que varian con el tiempo.
C, ¡Convertir la in{ormación
en un problema matemático! Una vez dibujado el diasrama. se tr¿slada la info¡mació¡ que se da en el problcma a modelos matemáricos sobre las variables conrenidas en el diagrama. L¿ pregunta del problema se plantea cono una pregun¡a acerca de las lariablcs o de sus tasas de variación.
D. :Dererm¡nar
dónde debe evaluar\e la ecuac¡ón que relaciona las tasas de vari¡ciónl Se debe examinar cuidadosamente Ia ecuación antes de decidir en dónde ha de ev:rluarse.
EJEMPLO l0-5: lln obrero sostiene un errremo de una cuefda de 36 pies de aL otro extrcno hay un peso. La cuerda pasa por una polea que está a 20 pies de al¡ura directamente sobre ln mano del obrero. Si ésre se áleja de la polea a razón de 5 piesr seg. ¿a qué velocidad se eieva el peso cuando esrá t0 pies por encima de la posición original? largo y
Solución: Ptin¡,erc se hace el dibujo (ver ñgura l0-4). Se quie¡e haltar ¿zid¡, dado que lri ¿, = 5. Según el diagratna. puede observarse que
I '!']+ '1oo: l'
I
Como se busca una ecuación que relacione r y z. se puede hallar una ecüación que ¡elacione dx ¿t y ¿zi¡lt. Puesto que lá cue¡da tiene una longiind de 3ó pies. _f + z : 36. De modo que ¡"'z
Figura 10.4 Ejemplo 10-5
+
400
= 136
:1']
Derivando,
,,40,
- 2lló :)l 136
4:
Aho.a, deberá hallarse dzidt cüúdo z es l0 pies más corta de Io que fue inicialmeñte,
es
decir, cuando
:=
ó. En ese instante.
x'z+100:(36-6)l
Tasas de
,t' qr.":.500.
Finalmenre..e
r"ila
J
d¡cu¿ndo
vatia.ión rctacionadas ente
/_ ó) - \.00
,r¡*ol = -f,u of, -3 El peso se levanra a razón de
(jv6)/3
piesr ses
l.
En un problema básjco sobre tasas de va¡iación relacionadas enrre sí, se le pjde al esrudianre que halle ta tasa de variación de una cantidad, d;da la tasa de variación de una caniidad ¡elacion¡da con elta. 2. L" relacron enr.e t". canrid¿de. pLede e\orr.r
r, Er¿\ ecu¿crone\ se deriv"n 4.
re,prcto
"t rieflpo
pa,¿ naita, ta retac.ó1 enlre
ras rasas de cambio de las cantidades. Se resuelven la o las ecuaciones para con¡efar ta pregun!a. puede ser nece_
5.
¿- ta ecLraL.or or,g rdt p" a ho, c. td. ,r.rrtJ, rone. \ofiert¿\ en ta ecuacron irnal Es indispensable dibujar un diagrama para obiener las ecuacion€s co¡rec¡as.
PROBLEMAS RESAELTOS 10n CLrando Ia profundid¿d det.tíquido contenido en un recipienre delermF \orum€nder iq u,do e\ de ¡r cn,. cuando ¿ : 3 ;;, l;';;;i;;d,;;o oo :idg,esdelci,er ¡rqurso en er rec prerre e\r' ¿umenr¿.do PROBLE-I4A
trando el Iiquido en el recipienre en Solución: Dado qüe dhi.tt que relacion¿ h con y(V :
a ¡dlón de
dv
,=
Lm nrn. Ha ar
r¿ rasa
d ra cu"resrá en_
= 2, debe ha[ane drr¿i cuando , = 3. Se obliene rr) y se derjva con respec¡o ar tr€mDo ¡i
la ecuacron
,*#
rlV
Cuando
2
ese momenro.
3(3r .2 = s4
3, el líquido está en!¡ando en el recipiente a razón de 54 cmrlmin. Lver sección
t0-t.l
PROBLEMA.l0-2 Un automó\it !a por una auroprsta hacia el oeste.90 metros al norte
era
esra esracronada una parrulla de Ia poticia
cle
vial. El patrullero observa el radar y ve que el au_
Nt
22g
2i0
Cálctlo tomóvil está a
150 metros de distancia de la pairulla y que la distancia que los separa esrá aumentando a razón de 72 metrosr seg. Hallar la velocidad del auromóvil en ese instante.
Sotación: Primerc se dibuja el diagrama (ver figura l0-5). EI problema dice que cuando .r = 150, ¿xidt : 72; se busca d]rd¡. Po¡ el Teorema de Pitágoras,
l'1+90'z:x' Derivando con respecro al tiempo /:
-d\
^dt 'dl
Cuando
r=
dy
dx
dt
¡1t
150,
t'z+ a.i que
r:
Fieura l0-5
!
150,
dl
901
:150,
120. Debe hall¡.,e ¡1) dr cJando 120 dx dt = 72. hacer
]=
\
Al
las sustituciones en la segunda ecuación, se
r20*: Cuando .!
=
l5O,
dr dl =
Sor¡c¡dt.
Se
90 metrosrseg.
] = r'
l0-3 Si d:1rdlrcuandor=2 PROBLENIA
y dx¡ttt
h ttr :
¿)
=
2,
tllt¿t
)
y
^"
4 duranre todo el tiempo
;= Cuando -y
durante todo el tiempo
=,1
derila Ia ccuación que relaciona
Debido a que djlld¡
:
r.ori2)
r
¡,
hallar ¡l! ut
!
con respeclo al tiempoi
tLx
¿t
l,
2-r'1:
8r
16. Diferenciando nuevamente con respecto al riempo. se obtiene
,l't ,t¿-:
., d-\
B¿i
=_8.4:_12
[v., scc.ió.
r0-2.]
10-1 Un hombre de 5 pies de estatura se aleja de un poste de alumbrado a razón de 7 piesr scg. El fafol del poste está a 20 pies del suelo. Hallar la tasa a la cual se mueve el extremo de la sombra del hombre cuando éste se encuentra a 8 pies del poste. PROBLEMA
Solución: Se dibuja el diagrama (ver figura l0 6). En términos de r. _r y z, el problena dice qú. d\idt = 7 y pide hallar dz ¡lr. La ecuación que relaciona I J, I proviene d€ la geomerría de triángulos s€meianles. El t¡iángulo cuyos vértices están en la cabeza. los pies y el extremo de
Tasas de vorioción relacionadas entrc
la sombra de la persona. es semejante al triángulo cüyos \,értices esián en cada uno de los extremos del poste y en el extreno de Ia sornb¡a. De modo que,
.t20
:
(z
-
x)15
:
Asi que 3z S€ sabe que
4x y 3(dztdt) = 4(dxidr). dii d¡ : 7, en consecuencia,
"dz
:
v drid¡
28i 3
piesrseg.
tv*scción l0 r.l
I i<-:__-_--Figu¡a
10-6
Problema 10-4
PROBLEMA 10-5 Cada uño de los lados de un estadio de béisbol mide 90 pies. Si la pe lota se batea por la linea hacia la te¡cera base con una velocidad de 100 pies por segundo. ¿con qué ¡apidez está cambiando la distancia entre la pelota y la primera base cuando la pelola sc halla a mitad dei camino haci¿ la tercera base? Soluciótt: El diagrama de la figura l0-7 ilüsrru J .rurc ón. I I problema d.ce qJe d' ¿ ¿5. Según 100 \ prdc halLr dr d/ cu¿ndo r
el teurem" de Pir;eor¿.. .r
xz +902
\ I e.rr-
elaLiu-
-yz
fnroncc' .e deri\d con re'pccro al t.empo
^dx
^JY
dt
Cuardo 4J
!/r.
y
Cuando x
=
Figum l0-7
dt
- 90) - r'). a'i que . -
¿5.,15)
En ese punro:
2(4s){l00t
¡
- l,) :2(45J5r;
45, ¿)y'd¡
:
20Vt
piesr seg.
PROBLtrMA l0{ por la ecuación ,/
La velocidad de üna partícula que s€ desplaza a lo largo deleje = 6ir"'. Halla¡ la aceleración de la particula cuando está e¡ ir
Sr¡¡ciórr
hallar la aceleración de la particula,
Se desea
respecto al liempo: ú
= !|vidt. Deri\ando la dv
r
=
está dada 27.
es decir, la derivada de su velocidad coü ecuación de la velocidad co¡ respecto al iiem-
.(l). " #: ..
.#
sí
231
232
Cólctio Dado que dridr es la lasa de variación de la posición, o velocidad, puede sustituirse la expresión original pafa r en la segunda ecuación;
dv : 4x- |3y : 4x r,3(6r?¡) = dr Asi. cuando
r = 27, dyidt = 24127)t ! :
24,11'3
72.
PROBLEMA l0-7 Un aviso rectangular, que tiene 24 m de ancho y una profundidad no pertinenle. da vueltas sobre un eje vertical que pasa por su centro, a razón de 5 revoluciones por minuto. Una persona que obserua a distanci¡ €l aviso lo ve como un rectángulo de ¡ncho variable. ¿Con qué ¡apidez está carnbiando el ancho aparente del aviso cuando éste liene 12 m de ancho. según lo ve el observado¡, y su ancho €stá aumentandol Solución: Se dibuja un dias¡ama del aviso como si se le efuviera viendo desde arriba (ver fiSura l0-8). Según el diagrama. w es el ancho aparenie del aviso. El problema dice que el a\ iso gna a nzón de 5 revoluciones por minuto. Por consiguiente, d0id¡ = l0r¡ radianesrmin. Se busca la relación entre w y á. Según la trigonometría.
¡ =
24send
Derivando con respecto al ticmpo ¡.
dlr -. ne _:l4co(r,._ Cuando ,r = 12. sen á = j. Dado que el ancho del aviso está aumentando, d debe estar enr¡e 7rl2 y 0. asj qu€ 0 - r¡i6. En consecuenFigura 10-8
$
=
"(*f)r'*r: 120r15
mr min.
fver sección l0-2.1
PROBLEMA 10-8 Se está vaciando arena sobre un nontón de forma cónica a razón de 20 m', min. La ahura del nontón es sienpre igual al radio de su base. Cuando el montón trene 3 melros de altura, ¿con qué rapid€z esrá aumentando su alrural S¿/¡r¿¡¡irr Se hace el dibujo (v€r figura 10-9). El voiunen del coño €s
j?¡l¡.
Dado que
r = l',
f = iÍh,h = :rh] Luego se diferencia para hallar:
El
Figur¡ 10-9 Problema 10-8
problema dice qlle dV dt
dh
=
20. Cuando
20
lv{
$cción l0_l
l
Tosas d¿
'aiacióñ
rclacio^ada! e
10-9 Considere un rriángulo rectángulo variable en un sistema de coordenadas rectangulares. El vérlice ,.1 es el origen, el áñgulo recto está en el vértice A sobre el ele ¡ y el vértice C está sobre la panibola y : ll tqx1 + 1. Si el punio , comienza en (0. l) y se mueve hacia arriba a una tasa constante de 2 unidades/seg, ¿con qué rapidez está aumentando el área del triángulo cuando ¡ = 7/2 scgündosl
PROBLEMA
S¿r¡¡c¡ó Primero se dibuja un diasr¿ma (ver ligura 10-10). Cuando B está en (0, r,). C debe estar en €l punto (.x, l), en donde (?r4)r: + I : ),. Es decir,
f4
I t/2
': Lrtl 't El área del triángulo
es
r
1t4
= a tl
-\!-
',l
'
Derivando con respecto al tiemPo /,
#:t,*11,,
,1" r [i,, ',]"' "a(1,)
i"i[i'' "] '' (iX#). [;,' ',]'(r(#) :i[i,, "'1o)ti[i"" "] "]"'# =
Debido a que B conienza en (0, l) y se nueve hacia arriba a una tasa consiante de 2 unidades .eg ldl, ¡|t - 2t. cuando t - 7 2. ) | + (7i2J2 = 8. En ese instante,
,jr -,
e.f¿. I .-l-'8-l,l UL,LI].L'j
:
r,
rf4 ]r'¡ r2l ,2r',1,'8-lrl
2217 unidadesi ses
Figura l0-10 Problema 10-9
PROBLEMA 10-10 Una p¿rricula se nueve a lo largo de la parábola l' = r'). ¿En qué punto de su recorrido están la abscisa y la ordenada de la partícula cambiando a Ia misna veloci'ladl Solucíó
:
Asi que
d//dr =
Debe set dx
d.v
dt:
dlldt.
d/ cuando 2r
Dilerenciando la ec¡ración que rel¿ciona a
=I
Esro sucede
si
-L
con
r:
x: i; es Aeci¡' en (j.i) lver scción l0-21
tft sl
233
234
Cdlculo
PROBLEMA 10-11 Considere una arandela de caucho que esrá siendo comprimida. En un determinado momento, se obri€nen las siguienles medidas: el diánetro exrerno de la arañoe¡a de 3 crn; su diámetro interno es de I cmi el grosor de la a¡andela disrninuye a una tasa de cm/ l min; y el diámetro externo es!á aumentando a una tasa de + cmr min. Si el volumen de la arandela se mantiene en r cmr en ¡odo momen!o. ¿a qué rasa está cambiando eldiárnetro in¡erno en el instante en que se toman las medidas? es
So/rrc¡lr. Podemos observar la arandela en la figura 10-11. El volumen Z, el grosor c, el diámelro inierno H y eldiámerro externo , de la a¡andela esrán relacionados po¡i
'
="["(f'-'tt)']: !o'-
u't
Difefenciando con respecto al tiempo I,
|--D-'-'''--.-.'.'}]
#4 ". *r" n,¡,|t,. -n,¡.f :14.-# ,,ff'),io' -n'¡! En el tiempo que
interesa,
dDdt=:, D=3, H= L. Figura 11-l
Es
necesario
halLar G en ese momento. asi
I
"= v =ic1o' n'¡: ; c(3' - l') de modo
Debido a que el !'olumeD es siempre
0=
r.dy
.]t
=
quec
=j
0. En el instante e¡ cuestión,
;(:)[',,(j) -,t,¡#f . Ip' ",( l)
i? ,#) ; y
lflld¡ =
-i
c]Tlin1in.
a y ¡ el área, el diánetro, la circunferencia y el ¡adio de un chculo. respectivamente. En un deterninado inrante, / = 6 y drid¡ = 3 crnr seg. Hallar la tasa de \'ariación con ,.1 respecto a: (q) r, (b) r, (c) C y (d) ¡. PROBLEMA 10-12 Sean ,4. D.
Solación:
A ,\ r erán
relacionados por ¡rz.
(a) Dil¡renciando con respecto a /.
tb Cuando
(b)
r=
Se sabe que
6, ¿'1idt = \2n 2r = D, así que
^
=
: 2Ír
cm'1icm.
"(',f :1""
fr-)"u=)"r't=*
Tasas de ratiación rclacionadas entrc
(c)
S€ sabe
que 2,rr
de C:
=
C, asi que hay que derivar tanto esta ecuación como ,4
dC
De modo qu€
=
nr¿ respecro
,"r#
dc.
,^r(:\ =,
dC
Cuando ¡ = 6, dAi dC = 6 cm'iün. (4) Difefenciando ,4 = Í/'z respecto del tiempo ¡,
,",L dt: "'' n
dA
Cua¡do
¡ = 6 .\ dr dt =
3,
d,4rd¡: 36zcn-rsec.
PROBLEMA 10'13 Dos motociclelas que viajan de noche en dirección opüesta por una carret€ra recta de doble via están aproximándose la una a la otra. Cada mo¡o va por ei centro de su ¡espectivo carril y los centros de los dos cairiles es!án a l0 metros de djslancra uno del otro. La motocicleta que viaja hacia el oeste esrá desplazándose a razón de 25 mi s€g. I"a morociclela que viaja hacia ei este se desplaza a razón de l0 ni ses, y la luz de su faro troyecta la sombra de la ot¡a motocicleta sobre la ce¡ca que bordea l¡ carretera. a 20 mctros del centro del carril contrario. ¿Con qué rapidez se mueve la sombra que proyecra sob.e la cerca la notocicleta que \iaja en dirección oeste? Solución: La fieura 10-12 ilustra lá sitüación. un buen dibujo es la clave para solucionar satisfacto¡iamente este problema. Se trata de hallar d.ri dl. Sin algo de investigaciós, eL hecho de que d¡i d¡ sea independiente del tiempo no parece claro. El problena drce que !/-z'dl = lü y .tidt = 25. Por la geometria de los triángulos semejantes, renemos que
30
20
22:3y-\ Derivando
y
sustiluyendo las cantidades
conocidas se obtiene
.dt ^dz -dt -dr
dx dt
: 2l l0): 312$ 'dl l]5 Figura l0-12
Así que la sombra
se
Prob ema 10 13
135 mi seg.
PROBLEMA 10-1,1 Un farol d€ aLumbrado público tiene 20 pies de altura y está a
5 pies de la
acera. Si un policía que mide 6 pies de esratura camina sobre laacera a razón de 4piesr seg,¿con qué rapidez está cambiando ia longit¡id de su sombra cuando él está a 13 pies de distancia de la b¿se del ooste de alumbrado?
sí
235
236
Cólculo
Solució
Se dibuja el diasrama cuidadosamente (ver fisura i0-13). Se quiere hallar ¿zld¿ cuando r = 13. El problena dice que dt, ¿¡ = 4. Se verifica que )r y: eslén relacionadas por dos ecuaciones, la prim€ra de las cr¡ales es un resultado del teorema de Piiágoras:
tz+25:x2 y la segunda un resultado d€ triángulos s€mejant€s:
12:3x Se combinan entonces estas dos ecuaciones para obrenerl
98
"dJ "¡h Es nec€sario hallar
dz
9'd!
]r y z cuando.r=
13:
Jrz+25=131
7z:3(13)
'7 Finalmenie, s€ usa
Figrra l0-13
l/r
l9
] =
z:
39i 7
fcción
r0,2.1
12.
,:: )r¿r: 0!:.: ¡4,¡? 91dl lv{
Ejercicios complementarios l0-15 suponga que ra alrJ-a de Ln Jererrilado arbol e,40/, pulg. donde D es el diáme. tro del tronco del árbol. Si el diámetro del lronro aumenta a irna tasa (onstante de i puLg por año. la qué rasa está canbiando la altura del á¡bol cuando su diámetro es de 4 pulg? 10-16 Un pescador atrapa un pez con su caña de pescar. El pez se desplaza en dir€cción es1€oesie a lo largo de una recla situada 30 netros al no(e dcl pescador. Siel s€dal esrá desenroliándose a razón de ó n/seg cuando el p€z se halla a 50 rn€tros del pescador, ¿con qué rapidez está desDlazándose el Dezl
Tosss de
wiací6n rclaciona,los eltte
10-17 Un bo¡e
es tirado hacia un mu€lle por un cable renso. Si elbote está 20 pies más bajo que el nivel del muelle y el cable se tira a razón de 36 piesi rnin. ¿con qué rapidez se está moviendo el bote cuando se encuentra a 48 pies de distancia de la base d€l muell€?
10-18 Un automóül que viaja a 40 m/ seg cruza un pue¡te sobre un canal l0 seg antes de que un bote que viaja a m rni seg pas€ por debajo del puente. Tanto €l canal como la carrelera son recios y fbrman un ángulo recto. ¿Cuál es la tasa a la que se están separando el automóvil y el seg después de que el bote pasa por debajo del puente?
bote l0
10-19 Un determinado árbol
de pino mantiene la lorma de un cono. Cuando la base del árbol tiene 28 pi¿s de diámetro, esta m€dida aum€nta a razón de 2 piesr año. Al mismo tiernpo, el ár, bol mide 60 pies de aho y su altura está aumentando a rarón de 4 piesi año. ¿A qué tasa esrá cambiando el volumen delárbol en ese tiempo? (El voiumen ,/ de un cono con radio / y ahu¡a
h,es y:!trzh.)
lF20
Un globo de forma esférica está siendo inflado a Ézón de 4 piessi min. ¿Cuál n1en del globo cuando su radio está aumentando a razón de 6 pulgtminl
es el
volu-
10-21 Al
caer uDa piedra en un estanque de aguas tranquilas forma una onda circular cuvo radio aumenta a una tasa constante de I miseg. r:A qué rasa está aumentando el área encerrada por l¿ onda 8 segundos después de haber caido Ia piedra en el estanque?
10-22 Una escal€ra
qu€ mide 15 pies de largo está apoyada contra una pared v€rtical;la parte inferior de la escalera está a 5 pies de distancia de la pared sobre un piso horizontal. Si en €se instame el extremo inferior de la escale¡a esiá siendo sepa¡ado de la pared a razón de 2 piesi seg. ¿a qué tasa se estará resbalando por la pared el ext¡emo superior de la escaleral
10-23 Una
escalera está apoyada contra una pared vertical y su extremo inferior está a 8 pies de distancia de la pared sobre u¡ piso horizonr¿I. En ese instante el extremo i¡ferior de la escalera está siendo apartado dela pared a una tasa de 3 piesi seg y el extremo superior esta reF balando por la pared a razón de 4 piesi seg. ¿Cuál es la longitud de Ia escaleral
10-24 El radio
de un cilindro aumenta a una tasa constante. Su altura es una fu¡ción lineal de su radio y aumenta tres veces más rápido que el radio. Cuando el ¡adio €s de un m€t¡o, la altura es de 6 merros- Cuando el radio es de 6 netros, el volunen está aumentando a razón de I m'r seg. Hallar la ta$a a la cual está aumentaDdo el lolumen cuando el radio es de 36 melros.
l0-25
Un satélite se es!á moviendo €n una órbita elíptica alrededo¡ de un planeta. La ecuación de su órbita plana esjr' + ¿l' :0. Si la velocidad del satélite en la dirección es 10 cuan, do la coo¡denada del sarélite €s 2, ¿cuál es la velocidad en la dnección en ese instante?
:
/
r
]
10-2ó Un tanque cilíndrico que tiene un radio de 5 me¡ros y una altura de 20 metros se liena con un determinado líquido quimico. Se perfora un agujero en €l fondo del tanque. En ese momento el llquido qulmico sale del ranque a razón de 2 m' r¡rn. ¿A que rasa está cambrando la altura del líquido en €l tanque? 10-27 Un punio se desplaza sobre la gráfica de I : xr - n de modo que, cuando el punto está en (x, jr' - .r), la iasa de variación de x con respecto al tiempo es lr jr. Hallar la tasa de varjación de ], con respec¡o al ti€mpo cuando l = 6. 10-28 Los barcos ,4 y 3 salen del mismo puerto. El barco ,! navega hacia el oeste a razón l5 nudos. ¿A qué rasa
de 20 nudos (millas náu¡icas por hora) y el barco B navega hacia el sur a esta cambiando la distancia entre los dos barcos a las 2 p.m., si:
,
(a) ,.1 y salen ambos a las 12 del díal (b) ,{ sal€ a las 12 del dí¿ y sale a la I p.m.?
,
sl
237
238
Cólcalo se eleva ver¡icalmente a razón de l0 miseg. Una persona lo observa desde la rierra a 100 merros de distancia del sitio donde aquél se es¡á el€vando. ¿A qué tasa cambia la distancia entre el globo y el observador cuando el globo está a 100 metros sobre el terrero?
10-29 Un globo
10-30 Un slobo se eleva verricalmenie a razón de l0 Inrseg Una persona lo obse¡va en un punto sobre la 1i€rra a 100 metros de distancia del srtio que es1á direcram€nte debajo del globo que se eleva. i,A qué tasa (radianes/seg) están moviéndose hacia arriba los oios del observador para seguir el novimiento del globo, cuando el globo está 50 metros por encima del nivel de Ióq ojos del obs€rvador'?
10-31 Un globo se elev¿ ve¡ticalmente a razón de l0 n1i seg. Un poste de luz está a 20 metros de distancia del sitio que está debajo del globo El farol del poste está a 25 metros de altura- ¿A qué tasa se mueve la sombra del globo cuando el globo está l5 ¡letros porencima del tereno? se eleva verticalmente a razón de l0 mi seg. Un poste de luz se halla a 20 me tros del silio que cslá debajo del globo qüe se eleva El farol del poste está a 25 melros de altura. Al otro lado del globo hay una pared vertical. que está a l0 metros de distancia del globo (30 rnetros de distancia del post€ de la luz). ilA qué tasa se mueve la sombra sobre la pared cuando el slobo está l5 metros oor encima del terreno?
10-32 Un giobo
Soluciones a los ejercicios complementarios (r0-2r) (l0ls) 30 pulg,¿ño (10'16) l5i2merros,seg (10-U)
39 piesi
m'¡
(10-28) (a) 25 nudos
{bl
(r0-22)
(r0-r8)
;
úises
00-21)
!i¡
-i*e
(r0-30) 2i25 radiancsrsc8 (10_25)
1,t0,,-1:
(10-19) 2.164nr3 piesrl (r0-20)
nudós
(r0-23)
(to-us) :,/2 180.,¡1t
'
(10-2ó) 2i25¡ 00-271
lli
ñlnjn
(10-31) 50 niseg
(10-32) 1s ni ses 2
EXAMEN 4 (CAPITULOS l.
y 10)
Hailar los valores náxirno y minimo de cada una de las siguientes funciones sobre el intef
(¡r 2.
9
' ,,\r Yr+Y+4 , ¡-,
en
I0.2i
(b)./1.,
-
en t2, 51.
Hallar el área del r€ctángulo de mayor área que pueda dibuiarse con dos vértices en la gráfica de
) : 8/(r' + a).
su base en el eje ir y con
,/, el volumen d€ un cilindro circular recto de á¡ea la¡eral fija en 1r m'. S€a I/: el volumen de un hemisferio cuyo radio es igual al de dicho cilind¡o. Hallar las dimensioncs del
3. Sea
cilindro que maximiarán
,/r
t/j.
4. En un determinado insiante, la longitud de un rectángulo es de 3 cm y está aumentando a
lr2 cmrmin.
razón de I cmimin¡ su ancho está disminuyendo ¿ razón de ¿el área aumenta o disminuye? ¿A qué tasa? 5. Un
punto
P(i, ],)
se desplaza
En ese instan¡e
a lo largo de la mitad superior de la rama d€recha de la hipér'
boia;' - ¡,' = l.Sean,4(0.r))B(r,0)lasproyeccionesdePsobrelosejeslyr,tespectivamente. Si ir está cambiando ¡ razón de 2 cmr scg cuando I : !'tl cnr, halla¡ ]a lasa a la cual está cambiando la longitud de
,4'
.
SOLUCIONES AL EXAMEN 4 1.
Se hallan los pumos críticos y se
exaninan los valores de la función en eros punlos
!
cn lós
trnros eitrcmo. del 'nle v"lo d¿do.
(¡,
J'(¡)
(:r'¿+ ¡ +4) : (ir + 1){2j( +(r1) + 1)l
.l t\)
- 0 pamr:-3
Debido a que
-3
En el intervalo [0, 2].
. I{r) =e'(r)
:
1)
I
no está €n [0,2], se examlnan:
"r(0)
(b)
ypa¡¿r =
+ 21 3 (r + 3)(-r (r + 1)' (r + l)'
x?
o
sQ)=a
/
:4
/(1): l
lr:l
tiene un valor máximo de 4 en
r. -
s121 1:-1:1:,
-tx
:. -
st
: ]! ] =0I
2(3r
un valor minimo de 3 en
- 5)
l-r \
5l'
3)r
3x-10
'
10
/10\ {: llt"t: 3
u(5)
:
v/i¡
239
240
Cálculo
En el intervalo [2,5], en r = 10/314.//5/3
É'
^,
tiene un valor máximo de 4 en .x 2,98 < 1,16 vt¡).
!
:
2 y ün valor mínimo de
4J5lJ
2. sea (r, )) un punto sobre } = 8/(x'?+ 4)con x > 0y sean (r,Jr),(i,0). ( r, 0) y (-i, l') los vértices del ¡ectángulo, según se muesrra en la figura. El área del rectángulo es
4:¿\j--
16¡
2r
De.ivando:
.,
,.rr
- 4rló Io\r2jr- ó¿ Ió..: lb,,a \),
4rr
rY: ,
^r
¿l-
- lJ-
,/,
Asi que ,.1'(.r): 0 cuando r = 2. Si 0 < r<2, entonces /'(r) >0. Si x > 2, entonces ,4'(x) < 0. Así, por la prueba de ia primera derivada,
,r(i)
es
un máxi¡1¡o cuando ir
=
2y
32--- ¿ Jnrdades'
412\-
^ , 3. El área de la superficie lateral de un cilindro es ,{ : 2,¡¡l; el volumen de un cilindro es I/1 = rrzlr y el volumen de un hemisferio es v, : (2i3),¡rr El problema dice que ,1 = 2n 1 = 4r. Asíque¡¡=2,oh=21r.
|/\
*,,,-
Pero
r<
O
v,:
*zh
-
v) = 1t(2
¡o tiene sentido, de inodo que
i-,- "(,,-;.J
It'z)
d€b€ examinarse
, = t, !V,
4) >0para
l. De esta manera 11 I/2 esunmáximocuandhcuando r = I (ycuando / = 1, h = 2). 4. Sean r la longitud y ), el ancho del rectángulo. Enlonces ,4 = jr],, y 0
Sustituyendo
x=3,d\ldt = l,r:2,drldt= -1t2:
!j=,1 ll*,,,r:l tlt \ tl El área está aumentando a razón de
lr2 cml/min.
Exanen
5. La distancia
18-: r
eslá
dadr por
- !.r- +
s
debido a que
¡: = r' '
L
.1,,,.'l'/J\-
: \,\_ + \-
Derivando:
;r
l
l._
I
1
.,.
¿ ¡
¿.¡
L
I
241
