EJERCICIOS 2.1 Y 2.3 DE VARIABLES ALEATORIAS DEL LIBRO DE ESTADISTICA (RUFINO MOYA) 7) Durante el curso de un día, una maquina produce tres artículos, cuya calidad individual, definida como defectuosos o no defectuoso, se determina al final del día. Sea X la variable aleatoria que representa al número de unidades defectuosas. Suponga que cada punto del espacio maestral tiene igual probabilidad. Determinar: a) el dominio de X
Ω=,,,,,,,} DOMINIO
B: Bueno D: Defectuoso X: Número de unidades defectuoso
=0,1,2,3} b) la función de probabilidad de X y su gráfica Xi 0 1 2 3
Pi=f(Xi) 1/4 1/4 1/4 1/4
FUNCIÓN DE PROBABILIDAD
c) la función de distribución de X y su gráfica.
0; <0 1 / 4 ; 0 ≤ < 1 () = 32//44;; 12 ≤≤ << 23 1; ≥ 3
RANGO
8) EN el problema anterior (7), suponga que un artículo defectuoso representa una pérdida de $250.00. Sea X la variable aleatoria que representa la utilidad total diaria. Suponiendo que cada punto del espacio muestral tiene igual probalidad, hallar la distribución la probabilidad para X. Un artículo no defectuoso representa una ganancia de $1000.
Ω=,,,}
X: Utilidad total diaria
=3000,1750,500,−750} Xi 0 1 2 3
RANGO
Pi=f(Xi) 1/4 1/4 1/4 1/4
FUNCIÒN DE PROBABILIDAD
FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN
0;1/4; <−750 −750≤<500 2/4;; 1750 500≤<1750 () = 3/4 ≤ < 3000 1; ≥ 3000
9) Una urna contiene 10 bolas numeradas 1, 2, 3,4,…,10 respectivamente. Sea X el número que se obtiene al extraer al azar una bola de la urna. Hallar:
Ω=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} X: Numero que se obtiene al extraer al azar una bola de la urna.
a) La función de probabilidad de X y su gráfica FUNCIÒN DE PROBABILIDAD Xi 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Pi=f(Xi) 1/10 1/10 1/10 1/10 1/10 1/10 1/10 1/10 1/10 1/10
b) La función de distribución de X y su gráfica FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN
0; <1 1/10; 1 ≤ < 2 2/10; 2≤<3 3/10 ; 3 ≤ < 4 4/10; 4≤<5 5/10; 6≤<7 5≤<6 () = 6/10; 7/10;7≤<8 8/10;8≤<9 9/10;9≤<10 1;≥10
c) Generalice el problema a una urna con n bolas numeradas de 1,2,…,n
Ω=1,2,3,4,5,6,7,8,9,. ,} X: Numero que se obtiene al extraer al azar una bola de la urna. FUNCIÒN DE PROBABILIDAD
Xi 1 2 3 4 … 20
Pi=f(Xi) 1/n 1/n 1/n 1/n 1/n 1/n
…
n
1/n
FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN
0; <1 1/10; 1≤<2 2≤<3 () = 2/10; …/;; …≤≥<...
10) Sea la urna definida en el problema 9. Se extraen dos bolas sin reemplazamiento, y sea X la suma de los números que se obtienen. Hallar la distribución de probabilidad de X. Bosquejar su gráfica. La función de distribución de X.
Ω = (1;2),(1;3),…,(1;10),(2;1),..,(10;1),…,(10;9)} X: Suma de los números que se obtienen
= 3;4;5;6;7;8;9;10;11;12;13;14;15;16;17;18;19}
RANGO
FUNCIÒN DE PROBABILIDAD
Xi 3 4 5 6
Pi=f(Xi) 2/90 2/90 4/90 4/90
…
…
11
10/90
…
…
20
2/90
16) Una urna contiene 8 bolas numeradas de 1 a 8. Se extrae dos bolas sucesivamente y con reposición, X representa el mínimo entre los dos números anotados en l bolas extraídas. Determinar: a) el dominio de X.
Ω = (1;1),(1;2),…,(1;8),(2;1),..,(2;2),…,(8;8)} X: Mínimo número en la extracción de 2 bolas sucesivas b) el rango y la función de cuantía de X.
=1,2,3,4,5,6,7,8,}
RANGO
FUNCIÒN DE PROBABILIDAD Xi 3 4 5 6
Pi=f(Xi) 2/90 2/90 4/90 4/90
…
…
11
10/90
…
…
20
2/90
d) los elementos de los eventos
c) la función de distribución de X
0; <1 15/64; 1 ≤ < 2 28/64; 2≤<3 39/64 ; 3 ≤ < 4 48/64; 4≤<5 () = 55/64; 5≤<6 60/64; 6≤<7 63/64;7≤<8 1;8≤
[≤2.5],[≤5.75],[>6.90],
[≤2.5] = 13+15 = 28 [≤5.75] = 15+13+11+9+7 = 55 [>6.90] =3+1=4 elementos
e) P
[≤5.75], [1.75≤6.75]
[≤5.75] =55/64 [1.75≤≤6.75] =45/64
26) La urna I contiene 1 ficha blanca y 2 negras, la urna II contiene 3 fichas blancas y 2 negras, la urna II contiene 2 fichas blancas y 3 negras. Extraemos una ficha de cada urna y llamamos X a la variable aleatoria que representa el número de fichas blancas extraídas. Determinar la función de cuantía de la variable aleatoria X (los valores que toma y las probabilidades asociadas) SOLUCIÓN
Ω = (,,),(,,),(,,),(),(,,),(,,)(,,),(,,)} X: Número de fichas blancas extraídas
=0,1,2,3} FUNCIÒN DE PROBABILIDAD
Xi 0 1 2 3
Pi=f(Xi) 1/8 3/8 3/8 1/8
DOMINIO
[ = 0] = (,,) =1/8 [ = 1] = (,, ó ,, ó ,,) = 3/8 [ = 2] = (,, ó ,, ó ,,) =3/8 [ = 3] = (,,) =1/8 27) En una caja hay 8 fusibles buenos y 15 defectuosos. Se necesitan 5 fusibles buenos. Se extraen los fusibles uno a uno sin reposición y se va probando, hasta que se obtenga los 5 fusibles buenos. Determinar la función de probabilidad del número de extracciones: SOLUCIÓN
Ω = (),(),(),(),…,(..)} X: Número de fichas blancas extraídas
=5,6,7,…,20}
RANGO
FUNCIÒN DE PROBABILIDAD Xi 5 6 7 8
Pi=f(Xi) 1/200 6/200 7/200 8/200
…
…
20
20/200
FUNCIÓN DE PROBABILIDAD
28) En el problema 27, calcular la probabilidad que la variable aleatoria tome un valor impar.
=0,04