Arq. Eduardo Salgado : Lisseth Salazar M04 16 de julio de 2013
Pag 4 1. Demostrar que los puntos A(7;5); B(3;1); C(-1;-3) son colineales:
m1 m 2 m1
m1
m1
m2
m2
m2
tan
4
4
1 5 3 7
1 tan
4
4
1
m1 m 2
3 1 1 3
22
2.
A (7; 8) B (3; -1) C (-1; -6)
m1 m2
1 8 3 7
m1 tan m1 m1
7 4 7 4
m2 tan m2 m2
6 1 1 3
5 2 5
2 m1 m 2
no son colineales
3. ABCD Cuadrado A (6; 8) B (7;-1) AB BC CD AD c
6 7 x 8 1 y
2 c 6.5 x 3.5 y Gy 0.5 sen45 DC / 9.06 DC 6.41 sen45 x / 6.41 x 4.5 B (6.5 4.5) x (3.5 0.5) B (11;4) D (6.5 4.5) x * (3.5 0.5) D ( 2;3)
4. ABCD Cuadrado A (6; 8) B (2;3) Dif ( 5,4) R
P D
C (6 5) x (8 4) y C (11 x 8 y ) D
( 2 5) x (3 4) y
D
(7 x y )
Dif ( 5,4) R
P D
C (6 5) x (8 4) y C ( x 12 y ) D
( 2 5) x (3 4) y
D
( 3 x 7 y )
Pag 10 5.- H) ABC A(-7;8) B(5;10) C(1;-14) T) Ángulo de inclinación BC ? Ángulo entre hc y ha ? Ángulo de inclinación BC mbc
tanΘ tanΘ
Θ=80,53ª
Ángulo entre hc y ha
Recta ha: mbc ┴
Recta hc:
mab
mab ┴ Punto A(-7;8)
Punto C(1;-14)
Y-Y1=m(X-X1)
Y-Y1=m(X-X1)
Y-8= - (X+7)
Y+14=-6(X-1)
X+6Y-41=0
6X+Y+8=0
mha
mhc
Ángulo entre las dos rectas :
()
tanΘ
tanΘ
Θ= 71,07ª
;
β= 180 -71,07ª = 108,93ª
6. H) ABCD Cuadrilátero
T) SEFGH=? ; EFGH Paralelogramo
A(-1;12) B(13;13) C(7;-8) D(-3;-5) E,F,G,H. Puntos medios de los lados Punto medioAB x y
1 13 2 12 13
2 E (6;12,5)
Punto medioBC
; x 6
x
; y 12,5
y
13 7 2 13 8
2 F (10;2,5)
Punto medioCD
; x 10
x
; y 2,5
y
73
; x 2
2 85
2 G (2;6,5)
; y 6,5
Punto medioDA x
3 1
; x 2 2 5 12 ; y 3,5 y 2 H ( 2;3,5)
Área EFGH
A
6
12,5
1 10
2,5
22
6,5
2
3,5
A 116
7.-
H) ∆ABC
T)Ángulo de inclinación de BC?
A(-7;8), B(5;10), C(1;-14)
y y1
x x1 y 8 x 7 y 8
y1
y 2
y
ABC
?
y1
8 10 75
1
?
x x1
x 7 6 x 6 y 55 0
8.-
y
x1 x 2
C (1;14)
B (5;10)
A( 7;8)
A (6 ; 8)
10
x 5 y 10 x 5 6 x y B (4 ; 1)
y1
y2
x1
x2
10 14 5 1 6 20
tg tg tg
0
A1 B2 A2 B1 A1 A2 B1 B2 1(1) 6( 6) 1(6) (6)(1) 35
12 71,08
dAC = dBC
4x-12y+40=-8x-2y+17
12
1
dAB = dBC
√ () ( ) | | [] 2
12 61 =
400(61)= 100 244
= 5.33
= -3.33
C (5.33 ; 8.7)
C (-3.33 ; -1.7)
S = 26.42
Pag12 9.- H) Triángulo ABC A=(2,6) B = (4.-4) C = (6,-1)
T) Ecuaciones de las alturas. Ortocentro.
H) Triángulo ABC
T) Ecuación de los lados
10.
H) Triángulo ABC
1;0)
T) Ecuaciones de bisectrices. Incentro
Ecuaciones de los lados del triángulo.
Bisectriz que pasa por A.
√ √
Bisectriz que pasa por B.
√ √
-
Bisectriz que pasa por C.
√ √
Incentro
̅ 11.- H) Triángulo ABC
T) Ecuaciones de las alturas. Ortocentro.
A=(2,6) B = (4.-4) C = (6,-1)
M(AC).M(BE)=-1
. M(BE)= -1
M(BE)=
4x+16=7y-28 (1) 4x-7y-44=0
M(CB).M(AF)=-1
. M(AF)= -1 M(AF)=
-2x+4=3y-18 (2) 2x+3y-22=0
M(AB).M(CD)=-1 -5 . M(ACD)= -1
M(CD)=
x-6=5y+5 (3) x-5y-11=0
DESPEJE DE (1) x=
(4)
(4) en (3)
(5 )en (4)
4x-5(-6)-11=0
(5)
y= 0 ORTOCENTRO
12.- H) TRIANGULO ABC A = (2,2) B = (-3,0) C = (16, -3)
x= 11
T) Ecuacion de las medianas. Baricentros.
BA
AC
CB
x = -0.5
y=1 D = (-0.5, 1)
x=8
y = -0.5
x = 13/2
E = (9, -0.5)
F=
y = -3/2
( )
-x-6 = y+3 (1) 8x+33y-29=0
-x-3 =24 y-0 (2)
x+24y+3=0
-7x+14 = 9y-18 (3) 7x+9y-32=0
DESPEJE DE (1)
(4) en (2)
(5) en (4)
x=
+24y +3=0
) ( x= x=
(4)
29 -33y+192y+24=0 y=
( )
BARICENTRO:
(5)
x= 5
Pag 20 13.-
H) L1: 3X+2Y+12=0 L2: 4X+7Y+12=0 L pasa por la intersección de L1 y L2 A(2,3) E L T) Ecuación de L=? sin determinar el punto de intersección
Reemplazar en L1 (4) 3x+2y+12=0→ 12x+8y+48=0 (-3)4x+7y+12=0 → -12x-21y-36=0 -13y-12=0
y= -12/13
y-yo=m(x-xo)
55x-37y 1=0
3x+2y+12=0
( )
14.- H) L1: 3x+5y-4=0 L2: 4X+3Y-7=0 L pasa por la intersección de L1 y L2 y tiene M= 1/3 T) Ecuación de L=? sin determinar el punto de intersección Reemplazamos en L1 (4) 3x+5y-4=0 → 12x+20y -16=0 (-3)4X+3Y-7=0 → -12x - 9y+21=0 11y+5=0 y= -5/11
( ) 15.- Sean: L1: 3x – y – C = 0 L2: 3X + 4Y + 6 = 0 L3: X – 5 = 0 L1 pasa por la intersecci{on de L2yL3 Hallar C De L3: X=5 3(5) + 4y + 6 = 0 Y= -21/4 P (5; -21/4) P en L1 3(5) + 21/4 – C = 0 C = 81/4
3x+5y-4=0
( )
16.-
L pasa por la intersección de L1 Y L2 Y tiene m=1/2 T) Ecuación de L=? *Punto de intersección
y en (1)
( ) m=1/3
y+37/11=1/3(x-47/11) 22y + 111 = 22 x - 141
Pag 23 17.- H ) ∆ABC
T)Ecuación circulo circunscrito
A(-1;1), B(3;5), C(-4;3) (-1;1)
–D+E+F=-2
(3;5)
3D+5E+F=-34
(-4;3)
–4D+3E+F=-25
3 D 3 E 3 F 6 3 D 5 E F 34 8 E 4 F 40
12 D 20 E 4 F 136
12 D 9 E 3 F 75 29 E 7 F 211
56 E 28 F 280
116 E 28 F 844 60 E 564 E
47 5
47 4 F 40 5
8
4 F 40 F
5
44 5
D
47
5
D D
376
44 5
2
7 5
7 47 44 x 2 y 2 x y 0 5 5 5
7 5
18.- H) ) ∆ABC A(8;4), B(-1;7), C(4;-8) Ecuacion1 y y1 x x1 y 4 x 8 y 4
y1
T)Ecuación circulo inscrito
Ecuacion2 y 2
y y1
x1 x 2
x x1
47
y 7
8 1 1
x 1 y 7
3 2 12
y1
y 2
y y1
x1 x 2
x x1
78
y 4
1 4
x 8 y 4
3 x 1 3 x y 4 0
x 8 3 x 3 y 20 0
3 x y 20
Ecuacion3
y 2
x1 x 2
48 84
3 x 8 3 x y 20 0
3 x y 4
3 x y 20
3 2 12
3 2 12
x 3 y 20 3 2 12
3 x y 20 3 x y 4
3 x y 20 x 3 y 20
3 x y 20 3 x y 4
3 x y 20 x 3 y 20
x 4
y1
y 2
I (4;2)
d d
ax by c a 2 b2 1(4) (3)(2) 20 12 3 2
d 10
( x h) 2 ( y k ) 2 r 2 ( x 4) 2 ( y 2) 2 ( 10 ) 2 x 2 8 x 16 y 2 4 y 4 10 x 2 y 2 8 x 4 y 10 0
19.-ABC A(-1; 1) B(3; 5) C(6; 2)
(1)
(2)
(3)
(
3
(
20.-
(-2)
H) A (-1;3)
T) Ecuación circunferencias ex inscrita
B (7;1) C (-4;3)
s:
t:
