EJERCICIOS 1.1
En los ejercicios 1 a 4, determine si el conjugado es una función. Si es una función determine su dominio
x , y )│ y =√ x x −4 } es una función; Dominio 4,¿ [∞ {( x, ¿
1. (a)
− ∞ , −2
x −4 } es una función; Dominio (b) {( x , y ) │ y =√ x 2
2, ∞
¿∪ [ ¿ ¿¿
2 (c) {( x , y ) │ y = √ 4 − x } es una función; Dominio función; Dominio ¿ [ −2,2 ]
(d)
{( x, x , y ) │ x 2 + y 2= 4 } no es una función
x , y )│ y =√ x x + 1 } 2. (a) {( x, x , y )│ y =√ x x −1 } (b) {( x, 2
(c)
{( x , y )│ y =√ 1− x 2 }
x , y )│ x + y =1 } (d) {( x, 2
2
3. (a)
{( x x , y )| y ¿ x }
es una función; Dominio = (-
∞ ,∞¿
(b)
{( x x , y )| y ¿ x }
es una función; Dominio = (-
∞ ,∞¿
(c)
{( x x , y )| x x ¿ y }
no es una función
(d)
{( x x , y )| x x ¿ y }
es una función; Dominio = (-
2
3
2
3
∞ ,∞¿
4. (a)
{( x x , y )| y ¿ ( x −1 ) +2 }
es una función; Dominio = (-
(b)
{( x x , y )| x x ¿ ( y − 2) +1 }
no es una función
(c)
{( x x , y )| y ¿ ( x +2 ) −1 }
es una función; Dominio = (-
∞ ,∞¿
(d)
{( x x , y )| x x ¿ ( y +1 ) −2 }
es una función; Dominio = (-
∞ ,∞¿
2
2
3
3
5. Dada (a)
f ( ( x x )=2 x −1
f ( ( 3 ) =2 ( 3 )−1=5
, determine
∞ ,∞¿
(b)
f ( ( −2 )=2 (−2 )−1=−5
(c)
f ( ( 0 )=2 ( 0 )−1=−1
(d)
f ( ( a + 1 )=2 ( a + 1 )−1 =2 a + 1
(e)
f ( ( x x + 1 )=2 ( x x + 1 )−1=2 x +1
(f)
f ( ( 2 x )=2 (2 x )−1= 4 x −1
x )=2 x ( x −1 )=4 x −2 (g) 2 f ( ( x (h) (i)
f ( ( x x + h )= 2 ( x x + h ) −1=2 x + 2 h −1 f ( ( x x ) + f ( ( h ) =( 2 x − 1 )+ (2 h −1 )=2 x + 2 h −2 f ( ( x x )= 3 x
. Dada
ca!cu!e"
(a)
f ( ( 1 )= 3 =3
(b)
f ( ( −3 )=
(c)
f ( ( 6 )= 3 = 1
(d)
(e)
(f)
1
3
−3
6
f f
()
2 3
1 3
1
=
( a) 3
=−1
=9
3
3
3a
3
3
= =
= asia≠ 0
a
f
( x ) 3
3 3 = = x = x si x≠ x≠ 0 3
3
x 3
(g)
( )
(h)
f ( ( x x −3 )= 3 x − 3
f ( ( 3 ) 3 3 x x = = = six≠ 0 f ( ( x ) 3 9 3 x
(i)
f ( x )− f ( 3 )= 3 − 3 = 3 −1 x 3 x
(#)
f ( x + h )− f ( x ) ,h≠ 0 h f ( x )=2 x 2+ 5 x −3
$. Dada
, determine"
(a)
f ( −2 )=2 (−2 )2+5 (−2 )−3 =−5
(b)
f ( −1 )=2 (−1)2 +5 (−1 )−3 =−6
(c)
f ( 0 )=2 (o )2 + 5 ( 0 )−3 =−3
(d)
f ( 3 ) =2 (3 )2+ 5 ( 3 ) −3=30
(e)
f ( h + 1 ) =2 (h + 1 )2+ 5 ( h+ 1 )−3 =2 h 2+ 9 h +4
(f)
f ( 2 x 2 )=2 (2 x 2)2 + 5 ( 2 x 2 ) −3=8 x 4 + 10 x 2−3
(g)
f ( x 2 + 3 ) =2 ( x 2 + 3 ) +5 ( x 2 + 3 ) −3=2 x 4− 7 x 2
(h)
f ( x + h )= 2 ( x + h)2 +5 ( x + h )−3 =2 x2 + 4 xh + 2 h2 + 5 x +5 h −3
(i)
f ( x ) + f ( h ) =( 2 x2 + 5 ( x )−3 ) + ( 2 h2+ 5 ( h )−3 ) =2 x2 +2 h2 +5 x + 5 h−6
(#)
f ( x + h )− f ( x ) ,h≠ 0 h f ( x + h )− f ( x ) ( 2 ( x + h ) + 5 ( x + h )−3 ) −(2 ( x ) + 5 ( x )−3 ) 4 xh + 2 h + 5 h = = = 4 x + 2 h + 5 h h h 2
g ( x ) =3 x 2− 4
%. Dada (a) (b) (c)
, ca!cu!e"
g (−4 ) =3 (−4 )2− 4 g
() 1 2
1
2
=3 ( ) −4 = 2
13 4
g ( x2 ) =3 ( x 2)2 −4 2
(d) (e) (f)
g ( 3 x 2− 4 )=3 ( 3 x 2−4 ) − 4 g ( x −h )=3 ( x −h )2− 4 g ( x )2 −g ( h )=( 3 x 2−4 ) −( 3 h2− 4 ) =3 x 2−3 h2
2
2
(g)
g ( x +h )− g ( x ) ,h ≠ 0 h g ( x +h )− g ( x ) = [ 3 ( x + h )2−4 ]−(3 x 2−4 ) = 3 ( x 2+ 2 xh + h2 )−3 x 2 = 6 xh + 3 h 2 = + 6 x 3 h h h h h
&. Dada
F ( x )=√ x + 9
, encuentre"
(a)
F ( x + 9 )= √ ( x + 9 ) + 9 =√ x + 18
(b)
F ( x 2−9 )=√ ( x 2−9 ) + 9= √ x 2= x
(c)
F ( x 4 −9 ) =√ ( x 4−9 ) + 9= x 2 x
| | (d) (¿¿ 2 + 6 x )+ 9 =√ x + 6 x + 9 =√ ( x + 3 )( x + 3)= x + 3 2
F ( x 2+ 6 x ) =√ ¿
(e)
F ( x 4 −6 x2 ) =√ ( x 4−6 x 2 ) +9 =√ x 4−6 x 2 + 9 =√ ( x 2− 3 ) ( x2 −3 )=| x2 −3|
(f)
F ( x +h )− F ( x ) √ x + h + 9−√ x + 9 √ x + h + 9− √ x +9 √ x +h + 9 + √ x + 9 ( x + h +9 ) −( x + 9 ) = = = = ∙ h h h √ x +h + 9 + √ x + 9 h ( √ x + h + 9 + √ x + 9 ) 1'.Dada
G ( x )= √ 4 − x
, determine"
(a)
G ( 4 − x )=√ 4 −( 4 − x )=√ x
(b)
G ( 4 − x 2 )=√ 4 −( 4 − x 2 )=√ x2 = x
(c)
G ( 4 − x 4 ) =√ 4 −( 4 − x 4 )= √ x 4 = x2
(d)
G ( 4 x − x 2 )= √ 4 −( 4 x − x 2) =√ x2 −4 x + 4 = √ ( x −2 )( x −2)=| x −2|
(e)
G ( − x 4 −4 x 2 ) =√ 4 −(− x 4 −4 x 2)=√ x 4+ 4 x 2 +4 = x 2 + 2 x +2
(f) 4 − x
√ 4− x + h + √ ¿ G ( x + h )−G ( x ) √ 4− x + h −√ 4 − x √ 4 − x + h−√ 4 − x √ 4 − x + h + √ 4 − x ( 4 − x + h )−( 4 − x ) = = = = ∙ h h h h (¿ ) √ 4 − x + h + √ 4 − x Dibujar una gráfica de la función y determine su dominio y su contradominio.
11.
f ( x )=3 x −1
Dominio :(−∞ , + ∞) Contradominio : (−∞, + ∞)
12.
g ( x ) =4 − x Dominio :(−∞ , + ∞)
Contradominio : (−∞, + ∞)
13.
F ( x )=2 x2
Dominio :(−∞ , +∞) Contradominio : ¿
14.
G ( x )= x 2 + 2
Dominio : (−∞ , + ∞)
Contradominio : ¿
15.
g ( x ) =5− x 2
Dominio :(−∞ , + ∞) Contradominio : ¿
1.
f ( x )=( x −1)2 Dominio :(−∞ , + ∞)
Contradominio : ¿
1$.
G ( x )= √ x −1
Dominio : ¿
Contradominio : ¿
1%.
F ( x )=√ 9 − x
Dominio : (−∞, 9 ] Contradominio : ¿
1&.
f ( x )=√ x 2−4
Dominio : (−∞, −2 ] ∪ ¿ Contradominio : ¿
2'.
g ( x ) =√ 4 − x 2
Dominio :[−2,2 ] Contradominio : ¿
21.
g ( x ) =√ 9− x 2
Dominio :[−3,3 ] Contradominio : ¿
22.
f ( x )=√ x 2−1
Dominio : (−∞, −1 ] ∪ ¿ Contradominio : ¿
23.
h ( x )=| x −3|
Dominio : (−∞ , + ∞)
Contradominio : ¿
H ( x )=|5− x|
24.
Dominio : (−∞ , + ∞ ) Contradominio : ¿
25.
F ( x )=|3 x +2|
Dominio :(−∞ , + ∞)
Contradominio : ¿
2.
2 x G ( x )= − 4 x −2
Dominio : Rx ≠ { 2 } Contradominio : R { y ≠ 4 }
2$.
2 x H ( x )= −25 x −5
Dominio : R { x≠− 5 } Contradominio : R { y ≠−10 }
2%.
f ( x )=
2 x
+7 x + 3 x + 3
2
Dominio : R { x≠− 3 } Contradominio : R { y ≠−5 }
x −4 x +3 ( ) = f x 2&. x −1 2
Dominio : R { x≠ 1 } Contradominio : R { y ≠− 2 }
( x 2−4 )( x −3) 3'. g ( x ) = x 2− x −6
Dominio : R { x ≠− 1,3 } Contradominio : R { y ≠− 4,1 }
31.
{
f ( x )= −2 six≤ 3 2 si 3 < x
Dominio : (−∞ , +∞ ) Contradominio : R {−2,2 }
{
−4 si x<−2 f ( x )= −1 si−2 ≤ x ≤ 2 32. 3 si 2 < x
Dominio :(−∞ , + ∞)
Contradominio : R {− 4,−1,3 }
33.
{
f ( x )= 2 x −1 six≠ 2 0 si x=2
Dominio :(−∞ , + ∞) Contradominio : R {3 }
34.
{
f ( x )= 3 x +2 six≠ 1 8 si x=1
Dominio :(−∞ , + ∞)
Contradominio : R {5 }
35.
{
2 F ( x )= x −4 six≠ 3
−2
Dominio :(−∞ , + ∞)
Contradominio : [ −4, + ∞ ) {5 }
3.
{
2 G ( x )= 9 − x six≠−3 4 si x=−3
Dominio :(−∞ , + ∞) Contradominio : [ 9, + ∞) {0 }
3$.
{
2 G ( x )= 1− x si x< 0 3 x + 1 si 0 ≤ x
Dominio :(−∞ , + ∞)
Contradominio : R {1 }
3%.
{
F ( x )= x − 4 si x < 3 2 x −1 si 3 ≤ x 2
Dominio :(−∞ , + ∞) Contradominio : ¿
3&.
{
g ( x ) = 6 x +7 six≤ −2 4 − x si−2 < x
Dominio :(−∞ , + ∞)
Contradominio : (−∞, 6 )
4'.
{
2 six≤ 0 f ( x )= x − 2 x + 1 si 0 < x
Dominio :(−∞ , +∞ ) Contradominio : (−∞, −2) ∪ (1, + ∞ )
41.
{
x + 3 si x<−5 h ( x )= √ 25 − x 2 si−5 ≤ x ≤ 5 3− x si 5 < x
Dominio : (−∞ , +∞ )
Contradominio : (−∞ ,−2 ) ∪ (−2, −∞ ) ∪ [ 0,5 ]
42.
{
x + 2 si x <−4 H ( x )= √ 16 − x2 si −4 < x < 4 2− x si 4 ≤ x
Dominio : (−∞ , +∞ ) Contradominio : (−∞ ,−2 ) ∪[ 0,4 ]
43.
3 2 − 2 x x F ( x )= x −2
Dominio : (−∞, + ∞ ) {2 } Contradominio : ( 0, + ∞ ) { 4 }
44.
3 2 − x 3 x F ( x )= x + 3
Dominio : (−∞, + ∞ ) {3 } Contradominio : ( 0, + ∞ ) { 9 }
45.
f ( x )=⟦ x −4 ⟧
Dominio : (−∞, + ∞ ) Contradominio : R
4.
g ( x ) =⟦ x + 2 ⟧
Dominio : (−∞, + ∞ ) Contradominio : R
4$.(a) Dibu#e !a grca de !a función esca!ón (o sa!to) unitario denotada *or + denida *or"
{
U ( x ) = 0 si x< 0 1 si 0 ≤ x
Dena cada una de !as siguientes funciones a troos dibu#e sus gracas" (b)
U ( x −1 )
(c)
U ( x ) −1
(d)
U ( x ) −U ( x −1 )
4%.Dena cada una de !as siguientes funciones a troos dibu#e su grca, donde + es !a función esca!ón unitario denida en e! e#ercicio 4$" (a)
x.U ( x )
(b)
( x + 1 ) . U ( x + 1 )
(c)
( x + 1 ) .U ( x + 1 ) − x .U ( x )
4&.(a)Dibu#e !a grca de !a función signo denotada *or sgn denida *or
{
−1 si x < 0 sgnx = 0 si x =0 1 si 0 < x sgn() se !ee /signo de 0. Dena cada una de !as siguientes funciones a troos dibu# su graca
(b)
x.sgn ( x )
(c)
2− x sgn ( x )
(b)
x −2 sgn ( x )
5'.Dena cada una de !as siguientes funciones a troos, donde sgn es !a función signo denida en e! e#ercicio 4&" (a)
sgn ( x + 1)
(b)
sgn ( x −1 )
(c)
sgn ( x + 1)
-
sgn ( x −1 )
51.a graca de !a función f de !a gura se *arece a !a !etra W . Dena f(x) a troos
o!ución"
{
2− 2 ( x + 2 ) si−2 ≤ x ≤−1
f ( x )=
0 + 1 ( x + 1 ) si −1 < x ≤ 0 1−1 x si 0 < x ≤ 1 0 + 2 ( x −1 ) si 1 < x ≤ 2
{
−2 x −2 si−2 ≤ x ≤−1 = x + 1 si−1 < x ≤ 0 1− x si 0 < x ≤ 1 2 x −2 si 1< x ≤ 2
52.a graca de !a función f de !a gura se *arece a !a !etra M. Dena
f(x) a troos
o!ución"
{
0 + 2 ( x + 2 ) si− 2 ≤ x ≤−1
f ( x )=
2 −1 ( x + 1 ) si −1 < x ≤ 0 1 −1 x si 0 < x ≤ 1 2−2 ( x −1 ) si 1 < x ≤ 2
=
{
2 x + 4 si − 2 ≤ x≤ −1 1 − x si−1 < x≤ 0 1 + x si 0 < x ≤ 1 4 x −2 si 1< x≤ 2
53.n !a gura, !a grca se *arece a !a !etra es !a grca de dos funciones f₁ f₂ traadas en e! rectngu!o ins*ección de
{−1,1 } por [−1,1 ] o!ución"
. Denida
f 1 ( x ) y f 2 ( x )
f 1 = x ,f 2=− x
54.isten tres funciones
f 1 ,f 2 y f 3
cuas gracas traadas
simu!tneamente en e! rectngu!o de ins*ección de
[ −1,1 ]
se *arece a !a !etra 6. Dena
n !os e#ercicio 55 a 5%, haga !o siguiente"
[ −1,1 ]
f 1 ( x ) ,f 2 ( x ) y f 3 ( x )
*or
(a) Dena !a función a troos sin em*!ear !as barras de 7a!or abso!uto; (b) Dibu#e !a grca de !a función denida en e! inciso (a) (c) 8*oe sus res*uestas en !os inciso (a) (b) traando !a grca de!a función
55.
f ( x )=| x 2−1|
{
x 2−1 si ≤−1 f ( x )= 1− x 2 si−1 < x < 1 x2 −1 six≥ 1
5.
g ( x ) =|4 − x 2|
{
x 2− 4 si x≤ −2 g ( x ) = 4 − x2 si −2 < x < 2 x 2−4 si x≥ 2
5$.
g ( x ) =| x|.|5 − x|
{
x 2−5 x si x < 0 g ( x ) = 5 x − x 2 si 0 ≤ x ≤ 5 x 2−5 x si x > 5
5%.
g ( x ) =| x|.| x −3|
{
x 2−3 x si x < 0 g ( x ) = 3 x − x 2 si 0 ≤ x ≤ 3 x 2−3 x si x > 3
n !os e#ercicios 5& ', dibu#e !a grca de !a función determine su dominio contra dominio. 5&.
.
h ( x )= x −⟦ x ⟧
D : (−∞ , + ∞ ) ; R : ¿
'.
.
F ( x )= x + ⟦ x ⟧
D : R ; R : ¿