UNIVERSIDAD ANDRES BELLO CAMPUS GRAN CONCEPCION Métodos Cuantitativos Prof.: Yerko Sánchez EJERCICIOS RESUELTOS 1. En una ciudad, se solicitaron 1.118 créditos hipotecarios el año pasado. Una muestra aleatoria de 60 de estos créditos era de una cuantía media de $ 87.300 y tenía una desviación típica de $ 19.200. Estime la cantidad media de todos los créditos hipotecarios solicitados en esta ciudad el pasado y halle el intervalo de confianza al 95%. Solución: Sea µ la media poblacional. Se sabe que
Para obtener estimaciones de intervalos, utilizamos la ecuación:
Y usamos la raíz cuadrada para hallar el error típico estimado,
Por lo tanto, el intervalo de confianza al 95% de la cantidad media de todas las hipotecas solicitadas en esta ciudad al año pasado es
O sea
Es decir, el intervalo va de $ 82.574 a $ 92.026
2. Supongamos, como en el ejemplo anterior, que en una ciudad se solicitaron 1.118 créditos hipotecarios el año pasado y que se toma una muestra aleatoria simple para estimar la cantidad media de créditos hipotecarios. Basándose en estudios anteriores realizados con esas poblaciones, se estima que la desviación típica poblacional es de $20000 aproximadamente. El intervalo de confianza al 95% de la media poblacional debe tener una amplitud de $ 4.000 a cada lado de la media muestral. ¿Cuántas observaciones muestrales se necesitan para lograr ese objetivo? Solución: En primer lugar,
El tamaño de la muestra necesario es, pues,
Por lo tanto, debería ser suficiente una muestra aleatoria simple de 89 observaciones para alcanzar nuestro objetivo.
3. Se ha observado en una muestra aleatoria simple de 400 universidades de las 1395 que hay en una nuestra población que el curso de estadística para los negocios era un curso anual en 141 de la universidades de la muestra. Estime la proporción de todas las universidades en la que el curso es anual y halle el intervalo de confianza al 90%. Solución: Dados
̂
Nuestra estimación puntual de la proporción poblacional, P, es simplemente Es decir, el curso es anual en alrededor del 35,25% de todas las universidades. Para calcular estimaciones de intervalos, la varianza de nuestra estimación se halla mediante la ecuación:
Por lo que
̂
En el caso de un intervalo de confianza al 90%, confianza al 90% se halla por medio de la ecuación:
O sea
El intervalo de
O sea
Por lo tanto, el intervalo de confianza al 90% del porcentaje de todas las universidades en las que el curso de estadística para negocios es anual va del 31,93% al 38,57%.
4. Supongamos, al igual que en el ejemplo anterior, que se toma una muestra aleatoria simple de 1395 universidades que hay en un país para estimar la proporción en la que la asignatura de estadística para negocios es anual. Cualquiera que sea la verdadera proporción, el intervalo de confianza al 95% no debe tener una amplitud de más de 0,04 a cada lado de la proporción muestral. ¿Cuántas observaciones muestrales deben tomarse? Solución: Sabemos que
O sea
El tamaño de la muestra necesario es, pues,
Por lo tanto, se necesita una muestra de 421 observaciones.
5. Una cadena de restaurantes tiene 60 en Illinois, 50 en Indiana y 45 en Ohio. La dirección está considerando la posibilidad de añadir un nuevo plato a su menú. Para averiguar cuál es la demanda probable de este plato, se introduce al menú de muestras aleatorias de 20 restaurantes: Illinois12 de Illinois, 10 de Indiana y 9 de Ohio. Utilizando los subíndices 1, 2 y 3 para representar Illinois, Indiana y Ohio, respectivamente, las medias y las desviaciones típicas muestrales del número de pedidos de este plato por restaurante en los tres estados de una semana es
Estime el número medio de pedidos semanales por restaurante,
µ,
en todos los
restaurantes de esta cadena. Solución: Se sabe que
Nuestra estimación de la media poblacional es
Por lo tanto, el número medio estimado de pedidos semanales por restaurante es 20,1. El paso siguiente es calcular cantidades
Estas cantidades, junto con las medias muestrales de cada estrato, pueden utilizarse para calcular intervalos de confianza de las medias poblacionales de los tres estratos, exactamente como en el ejercicio 1 (aunque en este caso el tamaño de la muestra es demasiado pequeño por comodidad). Centramos la atención en la media del conjunto de la población. Para obtener intervalos de confianza para esta cantidad,
Y, tomando la raíz cuadrada,
Por lo tanto, el intervalo de confianza al 95% del número de pedidos por restaurante realizados en una semana es
O sea
El intervalo de confianza al 95% va de 16,5 a 23,7 pedidos por restaurante.
6. Tomamos, al igual que en el ejemplo anterior, una muestra aleatoria estratificada para estimar el número medio de pedidos por restaurante de un nuevo plato cuando el número de restaurantes que hay en los tres estados es
Supongamos también que la experiencia de la cadena de restaurantes sugiere las desviaciones típicas poblacionales de los tres estados es probable que sean aproximadamente
Si se necesita un intervalo de confianza al 95% de la media poblacional cuya amplitud sea de 3 pedidos por restaurante a cada lado de la estimación puntual muestral, ¿cuántas observaciones muestrales se necesitan en total? Solución: Obsérvese que
Y
En el caso de la afijación proporcional, el tamaño de la muestra necesario es
∑ ∑ ⁄ Por lo tanto, bastará una muestra de 41 observaciones para conseguir el nivel de precisión necesario. Si se utiliza la afijación óptima, el tamaño de la muestra necesario es
∑ ∑ Por lo que puede conseguirse el mismo grado de fiabilidad con 40 observaciones si se utiliza este método de afijación. En este caso concreto, como las desviaciones típicas poblacionales son bastante cercanas, la afijación óptima sólo representa un ahorro muy pequeño en comparación con la afijación proporcional.
7. Se toma una muestra aleatoria simple de 20 manzanas de una zona residencial que contiene un total de 1100 manzanas. A continuación, se entra en contacto con cada hogar de las manzanas de la muestra y se obtiene información sobre la renta familiar. El fichero de los datos Income Clusters contiene la renta anual media y la proporción de familias que tienen una renta de menos de $ 15.000 al año y que viven en las manzanas de la muestra. Estime la renta familiar media y proporción de familias que tienen una renta de menos de $ 15.000 al año en esta zona residencial. Solución: Se sabe que
El número total de hogares que hay en la muestra es
Para obtener estimaciones puntuales,
Y
Nuestras estimaciones puntuales son, pues,
∑∑ ∑ Por lo tanto, basándose en esta evidencia muestral, se estima que en esta zona residencial la renta anual media de los hogares es de $ 26.109 y el 25,21% de los hogares tiene una renta de menos de $ 15.000 al año. Para obtener estimaciones de intervalos de la media poblacional, el tamaño medio de los conglomerados debe ser
∑ Además,
∑ Por lo que
∑ Y tomando la raíz cuadrada,
El intervalo de confianza al 95% de la media poblacional es
O sea
El intervalo de confianza al 95% de la renta media de todas las familias de esta zona va, pues, de $ 22.346 a $ 29.872 Para obtener estimaciones de intervalos de la proporción poblacional,
∑ De donde
(∑ ) Y tomando la raíz cuadrada,
El intervalo de confianza al 95% de la proporción poblacional es
O sea
Nuestro intervalo de confianza al 95% del porcentaje de los hogares cuya renta anual es de menos de $ 15.000 va de 16,4% a 34,0%.
8. Un auditor desea estimar el valor medio de las facturas pendientes de cobro en una población total de 1.120 facturas. Quiere hallar un intervalo de confianza al 95% de la media poblacional que tenga una amplitud de aproximadamente $4 a cada lado de la media muestral. Para empezar, toma una muestra aleatoria simple de 100 facturas y observa una desviación típica muestral de $ 30,27. ¿Cuántas facturas más debe tener la muestra? Solución: El tamaño de la muestra necesario es
Donde N=1.120 es el número de miembros de la población en este caso. Para que el intervalo de confianza al 95% tenga la amplitud exigida,
Por lo que
̅
, la desviación típica de la media muestral, debe ser
La desviación típica poblacional, , se desconoce. Sin embargo, como consecuencia del estudio inicial de 100 facturas pendientes de cobro, se estima que es 30,27. El número total de observaciones muestrales necesario es, pues,
Dado que ya se ha tomado 100 observaciones, serán suficientes 85 más para satisfacer el objetivo del auditor.
9. Un investigador quiere tomar una muestra aleatoria estratificada para estimar la renta familiar media de una ciudad en la que el número de familias que hay en cada uno de los tres distritos es
Para empezar, el investigador hace un estudio piloto, tomando una muestra de 30 hogares de cada distrito y obteniendo desviaciones típicas muestrales de $ 3.657, $ 6.481 y $ 8.403 respectivamente. Supóngase que el objetivo es obtener, con el tamaño más posible, un intervalo de confianza al 95% de la media poblacional que tenga una amplitud de $ 500 a cada lado de la estimación muestral. ¿Cuántas observaciones adicionales deben tomarse en cada distrito? Solución: El requisito de que debe conseguirse un grado especificado de precisión con el menor número de observaciones muestrales posible implica q ue debe utilizarse la afijación óptima. Los números n1, n2 , n3 que deben muestrearse en los tres estratos son los siguientes:
∑
Donde los son las desviaciones típicas poblacionales de los estratos. Utilizando nuestras estimaciones muestrales en lugar de estas cantidades,