Interes Simple Interes compuesto
F=P(1+n*i) F=P(1+i)^n
interes Efectivo
ie=(1+rm)^m - 1
Valor futuro serie uniforme Amortizacion de una suma futura Valor presente de serie uniforme
F=[ A((1+i)^n - 1]/[ i ] A=[ F* i ]/[(1+i)^n -1] P=[A((1+i)^n -1]/[i*(1+i)^n ]
rm=i/m
para A en i se tiliza ie ? Pag 113
Para A en i se Utiliza rm? Pag 114
anticipado Vencido
rma=inoma/m rm=[1/(1-rma)]-1 r m =i / m
ie=(1+rm)^m ie=(1+rm)^m
rm i m ie F P n inom
-1 -1
Tasa Tasa de interes por periodo de liquidacion liquidacion o capitalizacion capitalizacion Tasa Tasa de interes por periodo # DE PERIODOS DE CAPITAI!ACIO" DE A TASAperiodo de inversion$
Tasa Tasa efectiva anual anual Suma %utura Suma Presente Tasa Tasa nominal anual anual
Capitalizacion de interes
tasa simples y compuestas
frecuencia de capitalizacion
Tasas nominales y efectivas
el momento de pago de intereses
tasas vencidas y anticipadas
Tasa Tasa nominal : tasa pagada durante un periodo de inversion, sin tener en cuenta la a comulacion de intereses y forma de pago
cuando el periodo de capitalizacion es mas corto que el de inversion , la tasas efectiva es mayor que la nomial
periodos de inversion
(po lo general son anuales)
periodos de liquidacion o capitalizacion de intereses
diarios, semanales, …,anuales u otros
Forma de pago de los intereses
*+ ,os- prest. a su sue/ra la suma de 01+222+222 el * de ma3o del 122*+ El * de 4unio del 1225 le devuelve 01+622+222+ (7u- tasa de inter-s mensual le pa/a) Considere un inter-s compuesto+$ compuesto+$ (Cu8l es la tasa efectiva anual) prestamo
&allar i 'allar % &allar P 'allar n
(tasa efectiva anual)
0 192229222 6:*:122* inicio 0 196229222 ;:*:1225 %in Interes compuesto %
n %% $>%*2 *2 f uturo F Valor futuro 0 196229222 0 196229222 0 196229222 0 196229222
P<C*2 P<C*2:* :*=E* =E*2$> 2$>%*2 %*2$$ i
rm=i/m
Tasa Tasa de interes interes nominal nominal Periodos Periodos de capitalizacion capitalizacion
i **+*5
m *
tasa periodica periodica
rm **+*5
dias
meses aos ;* ;* 16+5 16+5;; ;;;; ;; 1+** 1+**5@ 5@@@ @@F F
n<OGC**$BOGD**$$:OG*=E**$ n periodos 1+**5@@@@@@F 1+**5@@@@@@F 1+**5@@@@@@F 1+**5@@@@@@F
ie=(1+rm)^m -1
tasa efectiva anual
ie **+*5
1+ El dueo de un pro3ecto toma un cr-dito por HS05 millones en el ao 2+ "o repa/a repa/a nada &asta &asta el nal del ao 6+ En ese momento9 repa/ar8 todos los intereses 3 todo el capital prestado+ a+ Calcule el repa/o total al nal del ao 6 si pa/a intereses simples+ J+ Calcule el repa/o total al nal del ao 6 si pa/a inter-s compuesto+ c+ EKplique la diferencia 3 por qu- un repa/o es ma3or que el otro+ Interes compuesto Interes Simple
pa/ **1
%n %
6+ Calcule la tasa efectiva anual correspondiente correspondiente a una tasa nominal anual del 619 si los intereses son vencidos 3 se liquidanL a$ semanalmente J$ mensualmente c$ Jimestralmente d$ trimestralmente e$ semestralmente Tasa Tasa "ominal Anual Anual 61 a$ J$ c$ d$ e$
semanalmente mensualmente Jimestralmente trimestralmente semestralmente
r m =i / m
ie=(1+rm)^m -1
Tasa Tasa de interes interes nominal
Periodos de capitalizacion
tasa periodica
tasa efectiva anual
i 61 61 61 61 61
m 61 *1 ; M 1
rm *+22 M+55 @+; *5+22 1;+22
ie ;+ ;;+5 ;M+;; ;5+26 6@+;
# DE PERIODOS DE CAPITAI!ACIO" DE A TASA TASA
DIARIA SENA"A NE"SHA INESTRA TRINESTRA TRINESTRA CHATRINESTRE SENESTRE AO
m 5;6 61 *1 ; M 5 1 *
;+ ,uan Die/o 3 ,os- Ni/uel proponen crear una pequea empresa de consultarQa en asuntos relacionados con comercio internacional+ Estiman que necesitan 0@2+222+222 para iniciar sus actividades+ ,uan Die/o identica una fuente de nanciamiento que les permite repa/ar en una sola cuota 0*22+222+222 al caJo de tres aos+ ,os- Ni/uel9 en camJio9 reciJe la oferta de un pr-stamo Jancario que nancia tamJi-n los S@2+222+2229 a anual9 capitalizaJle mensualmente+ (Cu8l de los nanciamientos implica menor costo para los empresarios O sea+ (Cu8l ofrece una menor tasa de inter-s)
opcion a
Opcion J
Implica menos costos la opcion de ,ose mi/uel 3a que tiene un interes de anual capitalizaJle mensual 3 la de de ,uan die/o seria equivalente a 91
a tasa efectiva anual es i/ual a la tasa nominal9 cuando esta ltima se capitaliza una sola vez al ao+
P 0
0
n @292229222
% 5 0
*2292229222
@292229222 anual9 capitalizaJle capitalizaJle mensualmente
&allar i
F Valor futuro f uturo
0
P Valor presente
*2292229222 0
@292229222
i Tasa Tasa periodica pe riodica Tasa "ominal anual$ +1
n periodos 5
Tasa Tasa de interes interes nominal
Periodos de capitalizacion
tasa periodica
tasa efectiva anual
4 +1
m *1
rm 2+;M
ie +FFF
Encontrar la tasa nominal correspondiente a una tasa peri.dica del *2 s+a+L ipa < *2 s+a+ n < 1 semestres por ao ina < *2 K 1 < 12 a+s+a+
Tasa Nominal j tasa de inter!s por per"odo # n$mero de per"odos
# DE PERIODOS DE CAPITAI!ACIO" DE A TASA
m
NE"SHA
*1
**+ Hna compaQa9 que produce 3 vende equipo de eKcavaci.n9 acaJa de sacar al precio es de 0*2+222+222+ DeJido a las condiciones del mercado9 la compaQa se sus clientes+ 'a decidido coJrar una tasa de inter-s anual del *2 capitalizada a Opci.n *L Pa/ar en cuatro cuotas anuales i/uales+ Opci.n 1L Pa/ar Pa/ar el inter-s al nal de cada uno uno de los primeros tres aos aos 3 pa/ar e cuarto ao+ Opci.n 5L 'acer un solo pa/o de capital e inter-s al nal del cuarto ao+ Calcul Calcule e los los pa/os pa/os que los client clientes es tend tendr8n r8n que &acer &acer se/n se/n cada cada una de las las opci opcio o *$ A=[ P(1+i)^n * i ]/[(1+i)^n -1] Amortizacion de una suma futura
cuatro cuotas anuales de L 5$
un solo pa/o de capital e inter-s al nal del cuarto ao de L 1$
0
59*6M92@
F=P(1+i)^n
$
14,641,000
mercado una nueva m8quina eKcavadora9 cu3o a visto oJli/ada a ofrecer facilidades de pa/o a ualmente9 3 dar a los clientes 5 opcionesL l inter-s del cuarto ao 3 el capital al nal del es+ DiJu4e el u4o de fondos para cada una+ A<) 0 59*6M92@ P 0 *292229222 i *2 anual n
M
$12,618,832
%<) P i n
0 0
*M9;M*9222 *292229222 *2 anual M
*5+ Calcule la tasa de inter-s efectiva anual en los si/uientes casosL a+ tasa nominal nominal del 1M anual anual pa/adera pa/adera mes vencido9 vencido9 J+ tasa nominal del 559; anual pa/adera quincena vencida+ c+ tasa nominal del 1M anual pa/adera trimestre vencido+ d+ tasa nominal anual del 56 capitalizada diariamente diariamente por perQodo vencido+ e+ tasa nominal anual del 56 capitalizada semanalmente por perQodo vencido+ f+ tasa nominal anual del 56 capitalizada mensualmente por perQodo vencido+ /+ tasa nominal del 1*9; anual pa/adera mes anticipado+ &+ tasa nominal del 15 anual pa/adera semana anticipada+ i+ tasa nominal del 5;9M anual pa/adera pa/adera semana anticipada+ anticipada+ ,+ tasa nominal del del 62 anual pa/adera pa/adera trimestre vencido+ vencido+ U+ tasa nominal anual anual del 62 pa/adera pa/adera trimestre anticipado+ anticipado+
tasa nominal del 1M anual pa/adera mes vencido9 tasa nominal del 559; anual pa/adera quincena vencida+ tasa nominal del 1M anual pa/adera trimestre vencido+ tasa nominal anual del 56 capitalizada diariamente por perQodo vencido+ tasa nominal anual del 56 capitalizada semanalmente por perQodo vencido+ tasa nominal anual del 56 capitalizada mensualmente por perQodo vencido+ tasa nominal del 1*9; anual pa/adera mes anticipado+ anticipado+ tasa nominal del 15 anual pa/adera semana anticipada+ tasa nominal del 5;9M anual pa/adera semana anticipada+ tasa nominal del 62 anual pa/adera trimestre vencido+ tasa nominal anual del 62 pa/adera trimestre anticipado+
Vencido
Tasa Tasa de interes interes nominal
Periodos Periodos de capitaliza capitalizacion cion tasa periodica anticipada
i 1M+2 55+; 1M+2 56+2 56+2 56+2 1*+; 15+2 5;+M 62+2 62+2
VE"CIDA VE"CIDA VE"CIDA VE"CIDA VE"CIDA VE"CIDA A"TICIPADA A"TICIPADA A"TICIPADA VE"CIDA A"TICIPADA
inoma
anticipado
m *1 NE"SHA 1M 7HI"CE"A M TRINESTRA 5;6 DIARIA 61 SENA"A *1 NE"SHA *1 NE"SHA 61 SENA"A 61 SENA"A M TRINESTRA M TRINESTRA
rma
*+@2 2+MM 2+2 *1+62 rma=inoma/m
rm=i/m
ie=(1+rm)^m -1
tasa periodica
tasa efectiva anual
rm 1+22 *+M2 ;+22 2+*2 2+; 1+F1 *+@5 2+MM 2+2 *1+62 *M+1F
ie 1;+@1 5F+;* 1;+16 M*+@@ M*+M M*+12 1M+56 16+F1 MM+2F ;2+*@ 2+;2
rm=[1/(1-rma)]-1
ie=(1+rm)^m -1
# DE PERIODOS DE CAPITAI!ACIO" DE A TASA
DIARIA SENA"A 7HI"CE"A NE"SHA INESTRA TRINESTRA TRINESTRA CHATRINESTRA SENESTRA AO
m 5;6 61 1M *1 ; M 5 1 *
5;6 DIARIA 61 SENA"A 1M 7HI"CE"A *1 NE"SHA ; INESTRA M TRINESTRA TRINESTRA 5 CHATRINESTRA 1 SENESTRA * AO
*;+ Determine las si/uientes tasas de inter-sL a. a tasa de inter-s nominal pa/adera dQa anticipado equivalente a una tasa b. a tasa de inter-s nominal pa/adera dQa anticipado equivalente a una tasa c. a tasa de inter-s nominal pa/adera pa/adera dQa vencido equivalente equivalente a una tasa d d+ a tasa de inter-s nominal pa/adera pa/adera ao anticipado equivalente a una tas e. a tasa de inter-s nominal nominal pa/adera pa/adera ao vencido vencido equivalente equivalente a una tasa d inoma
anticipado Vencido
Tasa Tasa de interes interes nominal
a$ a$ J$ J$ c$ c$ d$ d$ e$ e$
i M6+222 MM+*62 M6+222 M6+@5 M6+222 MM+12M M6+222 5;+112 M6+222 66+6M6
Ipt < *=i$
forma de pa/o
VE"CIDA A"TICIPADA A"TICIPADA A"TICIPADA VE"CIDA VE"CIDA VE"CIDA A"TICIPADA VE"CIDA VE"CIDA
B*
n:t
DondeL Ipt < tasa peri.dica a la cual quer T < es el periodo al cual querem " < periodos de la tasa tasa actual+ actual+
de inter-s inter-s nominal nominal del M69 pa/adera pa/adera mes vencido+ vencido+ Asimismo9 Asimismo9 determi determi de inte interr-ss nom nomin inal al del del M69 M69 pa/a pa/ade dera ra mes mes ant antic icip ipad ado+ o+ Asim Asimis ismo mo99 det deter er inter-s nominal del M69 pa/adera mes vencido+ Asimismo9 determine de inter inter-s -s nomin nominal al del del M69 M69 pa/adera pa/adera dQa vencido vencido++ Asimism Asimismo9 o9 deter determi mi e inter-s inter-s nominal del M69 pa/adera mes vencido+ vencido+ Asimismo9 determin
Periodos de capitalizacion
rma=inoma/m
rm=[1/(1-rma)]-1 rm=i/m
tasa periodica anticipada
tasa periodica
rma
rm 5+62 2+*1* 5+@F; 2+*1; 5+62 2+*1* 2+*15 6;+@@ 5+62 66+6M6
m *1 NE"SHA 5;6 DIARIA *1 NE"SHA 5;6 DIARIA *1 NE"SHA 5;6 DIARIA 5;6 DIARIA * AO *1 NE"SHA * AO
2+*1* 5+62 2+*1;
5;+112
i " T emos convertir s convertir
*+11F
ne la tasa de inter-s anual efectiva equivalente a las dos+ ine la tasa de inter-s anual efectiva equivalente a las dos+ la tasa de inter-s anual efectiva equivalente a las dos+ e la tasa de inter-s anual efectiva equivalente a las dos+ la tasa de inter-s anual efectiva equivalente a las dos+ ie=(1+rm)^m -1 ie=(1+rm)^m -1
tasa efectiva anual
ie 66+6M6 66+6M6 6@+*FM 6@+*FM 66+6M6 66+6M6 6;+@@ 6;+@@ 66+6M6 66+6M6
2 forma de pa/o
2 Periodo de
capitalizacion
m A"TICIPADA 5;6 DIARIA A"TICIPADA 5;6 DIARIA VE"CIDA
5;6 DIARIA
A"TICIPADA * AO VE"CIDA
* AO
rm=(ie+1)^(1/m) -1 rm=(ie+1)^(1/m) -1
rma= 1 - 1/(rm+1) i=rma*m i=rm*m
camJio de periodo a tasa periodica rm
Tasa Tasa "ominal "ominal Equivalente Equivalente
rm 2+*1*
i MM+*62
2+*1;
M6+@5
2+*1*
MM+12M
6;+@@
5;+112
66+6M6
66+6M6
5;6 DIARIA 61 SENA"A 1M 7HI"CE"A *1 NE"SHA ; INESTRA M TRINESTRA 5 CHATRINESTRA 1 SENESTRA * AO
12+ Hs Hsted9 co como d diirector n nanciero d de e un una em empresa9 de deJe ca calcular la la ce cesantQa qu que le le co cor empr empres esa9 a9 dent dentro ro de vein veinte te aos aos++ a a liq liqui uida daci ci.n .n corr corres espo pond nde e a vein veinte te suel sueldo doss men mensu sual ales es i tenien teniendo do en en cuent cuenta a que que el emple empleado ado inicia inicia con con 01@+2 01@+222 22 3 el sueldo sueldo se le rea4 rea4ust usta a a una una t a+ (Cu8nto deJe depositar depositar &o3 la empresa en una corporaci.n corporaci.n que pa/a el 52 efectivo J+ Resuelva a&ora el proJlema teniendo en cuenta9 primero9 que el sueldo se le rea4usta 11 efectivo anual durante los *2 aos restantes 39 se/undo+ 7ue el dinero rinde el 56 efectivo anual por el resto del tiempo+ n 12 aos p 0 1@ 1@9222 ie 11 anual
esponder8 a un empleado cuando -ste nalice el servicio en la /uales al sueldo deven/ado en el ltimo ao de traJa4o9 sa de 11 anual efectiva+ anual para oJtener la suma necesaria el dQa de la liquidaci.n) n un 16 efectivo anual durante los *2 primeros aos 3 en un efectivo anual durante los cinco primeros aos 3 el 52
