5.1 Dada la densidad de corriente
: a) en la región
Encontrar la corriente total que cruza el plano en la dirección de b) Encontrar la corriente total que abandona la región integrando sobre la superficie del cubo. c) Repetir el inciso b) utilizando el teorema de la divergencia.
Solución:
a) Como tenemos en la dirección
y en el plano
| | | | | | | | | ||
b) La corriente a través de las superficies superior e inferior no existirá, ya que J no tiene
ningún componente z. También no habrá corriente a través del plano solo en
c) Utilizando el teorema de la divergencia tenemos:
ya que
5.2 una cierta densidad de corriente esta dada por
. Encontrar la
corriente total que pasa a través de las superficies: a) b) c)
a.- z=0 ,
en la dirección en la dirección Cilindro cerrado definido por
. .
en la dirección saliente.
.
Como z=0 entonces
.
b.- z=1,
.
.
Como z=1 entonces
c.- Cilindro cerrado definido por
en la dirección saliente.
3. Sea
a) Encontrar la corriente total q fluye a través de la porsion
de la superficie esférica r=0.8 , limitada por
b) Encontrar el valor promedio de J en el área en cuestión
b) primero encontramos el área en cuestión que va a ser
5.4. Suponer que un rayo electrónico uniforme de sección circular de radio de 0.2 mm lo genera un cátodo en x=0 y lo recibe un ánodo en x=20 cm. La velocidad de electrones
varía en función a x en la forma , dado x en metros. Si la densidad de corriente en el ánodo es de , encontrar la densidad volumétrica de carga y la densidad de corriente como función de x
Se tiene que en términos de la densidad corriente en función de x:
Por tanto expresándolo en función ya que es una constante se lo puede expresar de la siguiente manera:
Para la otra parte que es la densidad volumétrica
tenemos que:
√ ∫ | 5.5 Sea
. a) Encontrar la corriente total que cruza el plano
en la dirección para . b) Calcular . c) Encontrar la corriente saliente que cruza a la superficie cerrada definida por . d) demostrar que J y la superficie definida en el inciso c) satisfacen el teorema de divergencia.
SOLUCION:
a) Como se toma la dirección
se suprime el resto de coordenadas.
b)
c)
∫
Para cada lado
d) si consideramos que la divergencia del apartado b) es 0 y la integral de volumen de la sección c) también es 0 podemos observar que el teorema de divergencia ( La divergencia de un vector de tipo de flujo A es el límite de la cantidad de flujo por unidad de volumen que sale de una pequeña superficie cerrada cuando el volumen tiende a cero ) se cumple ya que son iguales.
6. La densidad de corriente en una cierta región es de aproximadamente J=(0.1/r)exp(106t)ar A/m2 en coordenadas esféricas.
a) En 1us. ¿Qué cantidad de corriente atraviesa la superficie r=5.?
b) Repetir lo anterior para r=6
c) Utilizar la ecuación de continuidad para encontrar medida que
suponiendo que
a
Ahora
como
, así f(r)=0, entonces la respuesta es
a) Encontrar una expresión para la densidad de carga.
5.7) Suponiendo que no hay transformación de masa a energía y viceve rsa, se puede escribir una
ecuación de continuidad para la masa. a) Si se utiliza la e cuación de continuidad para la carga como en nuestro modelo, ¿qué cantidades corresponden a J y a
. b) Dado un cubo de 1cm de
lado, algunos datos empíricos demuestran que las velocidades a las que la masa abandona las caras son 10.25, -9.85, 1.75, -2.00, -4.05 y 4.45 mg/s. Si se supone que el cubo es un elemento de volumen incremental, determínese un valor aproximado de la rapidez de cambio de la densidad en su centro. DESARROLLO a) La ecuación de continuidad para la corriente es:
Por lo tanto la ecuación correspondiente para la e cuación de continuidad para la masa sería:
Sabemos que:
Se sabe que cada valor de las expresiones sería en kilogramos dado que se trata de la masa:
Remplazando en la ecuación se tendría:
=
Densidad de flujo de masa.
Densidad de masa.
b) Tenemos la ecuación de la continuidad para la masa como sigue
Las velocidades de masa que abandonan la superficie del cubo son las siguientes:
∮
10.25 -9.85 + 1.75 -2.00 -4.05 + 4.45= 0.55 mg/s
Dado que cada lado del cubo es de 1 cm, su volumen (v) será igual a 1 c centro de cubo es:
, la masa que sale del
1000000 c
g/
s
5.8) La conductividad del carbón es de .a) ¿Qué forma y tamaño de una muestra de carbón tiene una conductancia de ?b) ¿Cuál es la conductancia si todas las dimensiones de la muestra encontrada en el inciso a) se redujeran a la mitad? En la figura 5.3 nos dicen
que la resistencia es igual a
; donde
es
conductividad, L es longitud y S es el área de la sección transversal. Sabemos que la conductancia (G), es el inverso de la resistencia; por lo tanto
Para obtener una conductancia (G) igual a la conductividad ( ), tanto el área como la longitud tendrían que ser iguales, es decir con A=L tendríamos Esto se puede dar en una lámina cuadrada de dimensiones , el area es entonces Área
b) Si las dimensiones de las muestras (longitud y área de sección transversal) se redujeran a la mitad, la conductancia también se reduce a la mitad y se lo demuestra con la misma fórmula de conductancia
Para el caso de la lámina cuadrada tendríamos
Otro caso es un bloque de sección transversal cuadrada que tiene una longitud y el área de la sección transversal es .
√ √ √ √ , el área es
Área
entonces
; por lo tanto
Por lo tanto si las dimensiones se reducen a la mitad, la conductancia también se reduce a la mitad.
EJERCICIO 9 a) Utilizando los datos tabulados en el apéndice C , calcular en diámetro que se requiere para que un alambre de nicromo de 2m de longitud disipe una potencia promedio de 450W cuando se le aplique un voltaje de 120Vrms a 60Hz. b) Calcular el valor rms de la densidad de corriente en el alambre. SOLUCIÓN:
a)
b)
5.10 Un alambre solido con una conductividad y un radio tiene una cubierta exterior de un material que tiene conductividad , su radio interior es a y su radio exterior es b. demostrar que la relación de las densidades de corriente de los dos materiales es independiente de a y b
De la ecuación 8 del CAP 6 tenemos que
Por lo que tendremos que
Lo que muestra que son independientes de la dimensión de sus radios.
Ejercicio 11:
Dos superficies cilíndricas conductoras de longitud están ubicados en y La corriente total que fluye radialmente hacia fuera a través del medio entre los dos cilindros es de 3A de cd. a) Encontrar el voltaje y la resistencia entre los
cilindros y E en la región entre los cilindros si un material que tiene una está presente en b) Demostrar que integrando la potencia disipada por unidad de volumen a través de todo el volumen se obtiene la potencia disipada total. Solución:
y
a)
b)
12.-) Dos placas conductoras idénticas que tienen un área A se ubican en
y
.
La región entre las placas está llena de un material cuya conductividad depende de z, donde es una constante. Un voltaje se aplica a la placa ; en , la placa esta a cero potencial. Encontrar en términos de los parámetros dados; a) la resistencia del material; b) la corriente total que fluye a través de las placas; c) la intensidad del campo eléctrico E dentro del material.
a) Para el análisis, se inicia con la resistencia diferencial de una lámina fina del material de espesor , que es.
De modo que
b) utilizando la ley de ohm
c) para encontrar el campo eléctrico primero encontramos la densidad e carga
Por lo tanto
⁄
5.13 Un tubo cilíndrico hueco con una sección rectangular mide externamente 0.5 pulgada por 1 pulgada y un grosor de pared de 0.05 pulgadas. Suponer que el material es latón y tiene una . Por el tubo fluye una corriente de 200 A de cd. a) ¿Qué caída de voltaje se presenta en un metro de tubo? b) encontrar la caída de voltaje si el interior del tubo se llena con material conductor cuyo valor de
⁄
.
a) Transformamos las medidas del tubo:
1 pulgada = 2.54 cm = 0.0254 m 0.5 pulgada = 1.27 cm = 0.0127 m 0.05 pulgada = 0.127 cm = 0.4 pulgada = 1.016 cm = 0.01016 m
m
b) Transformamos las medidas del tubo:
0.9 pulgadas = 2.286 cm = 0.02286 m 0.4 pulgadas = 0.01016 m
‖ ⁄
La resistencia de los dos materiales en paralelo:
5.14 una placa conductora rectangular está ubicada en el plano xy y ocupa la región 0
,
aca está a potencial cero en z=0. Encontrar en términos de los parámetros dados: a) la intensidad de campo eléctrico E dentro del material; b) la corriente que fluye entre las placas; c) la resistencia del material. Solución: a) La conductividad varía con x, por lo tanto, no hay ninguna variación de z en E y tener
en cuenta que la integral de línea de E entre las placas superior e inferior siempre deben dar .
b)
⁄ ⁄ ⁄ ⁄
⁄
c)
5.15.- Sea
a) Una superficie equipotencial superficie conductora.
en el espacio libre.
define la superficie conductora. Encontrar la
b) Encontrar y en el punto de la superficie del conductor donde
y
c) Encontrar
|| || || || || || en ese punto
EJERCICIO 5.16
en coordenadas cilíndricas.
a) Si la región 0.1< < 0.3 m es el espacio libre mientras que las superficies y m son conductores, especificar la densidad de carga de superficie de cada conductor.
PARA
PARA
dentro del conductor
fuera del conductor
b) ¿Cuál es la carga total en un metro de longitud de la región del espacio libre, 0.1< < 0.3 (sin incluir los conductores)?
c) ¿Cuál es la carga total en un metro de longitud incluyendo ambas cargas de superficie?
Carga superficie
Carga superficie
5.17) Dado el campo de potencial V=100xz/(x 2+4) V en el espacio libre: a) Encontrar D en la superficie z=0
b) Demostrar que la superficie z=0 es una superficie equipotencial.
Existen dos razones para demostrar: 1) El campo E en z = 0 tiene la dirección z en todas partes, y así mover una carga alrededor de la superficie implica hacer ningún trabajo; 2) Al evaluar la función potencial dado en z = 0, el resultado es 0 para todo x e y. c) Suponer que la superficie z=0 es un conductor y encontrar la carga total en la porción del conductor definida por 0
{[ ][ ]}
5.18.- Un campo de potencia está dado por
se sabe que el P (2, 1, 1) está en una superficie conductora y que el conductor se encuentra en el espacio libre. En el punto P encontrar un vector unitario normal a la superficie, así como el valor de la densidad de carga de superficie en el conductor.
Solución
Ahora evaluando en P(2, 1, 1)
| |
Obtenemos el vector unitario
5.19 Sea V= 20x 2yz-10z 2 en el espacio libre.
a) Determinar las ecuaciones de las superficies equipotenciales en las que V=0 y 60V. V= 20x2yz-10z 2
V= 0V
0 = 10z(2x2y - z)
60 = 10z(2x2y - z)
2x2y – z = 0
2x2y – z =
V = 60V
2x2y – z =
b) Suponer que estas son superficies conductoras y encontrar la densidad de carga de superficie en el punto de la superficie V =60V donde x=2 y z=1. Se sabe que 0 es la región que contiene el campo.
En la superficie en que V = 60V tenemos:
2x2y – z - = 0 Reemplazamos los valores x=2 y z=1 para obtener el valor de “y”
2(2)2y – 1 - = 0 8y – 7 = 0 y=
⁄ ⁄ ⁄ || ⁄ ⁄ ==-
V= 20x2yz-10z2 -
-
c) Proporcionar el vector unitario en el punto que es normal a la superficie conductora y está dirigida hacia la superficie V = 0.
||
EJERCICIO 5.20
Dos cargas puntuales de se ubican en y . La superficie es una superficie conductora. a) determinar la densidad de carga de superficie en el origen. b) determinar en
Desarrollo: a) si denotamos
en
y
en
aplicando el método de las imágenes tenemos q las posiciones de las cargas estarán en los puntos
| | | | | | √ | | √ √ en
y
Para una carga puntual tenemos
Para
Donde
Remplazando
en
en
| | | | | | | | | | √ | √ | | | √ | | √ √ √ | | | | √ | | √ | | √ Para
Para
en
en
Donde
Donde
Remplazando
Remplazando
Para
en
Donde
Remplazando
Sumando tenemos
|| | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | b)
Para una carga puntual tenemos
Para
en
Donde
Para
en
Donde
Remplazando
Remplazando
Para
Donde
en
| | | | Remplazando
| | | | | | | | Donde
Remplazando
Para
en
Sumando tenemos
|| ( ) 5.21Sea la superficie
infinitas y uniformes de a) Sea b)
un conductor perfecto en el espacio libre. dos cargas lineales están ubicadas en
en la superficie
Encontrar E en P.
.
, encontrar V en p(1,2,0).
Solución Se encuentra las distancias desde el punto de la carga lineal hasta el punto P
√ √ √ √
En este caso como son cuatro cargas tendremos cuatro distancias
a)
Para encontrar V en el punto primeramente calculamos las distancias del punto hacia la carga lineal . el campo en una carga lineal es
√ √ √ | √ √ √ √ | √ √ √ √ | √ √ √ √ | √ Y el potencial es
El potencial total sería igual a la suma de cada uno de los potenciales de c ada carga lineal Para la carga 30nC/m en el punto (0, 2,0) entre los intervalos desde el radial
hasta la dirección
Para la carga de 30nC/m en el punto (0, 1,0) entre los intervalos desde el
dirección radial
Para la carga de -30nC/m en el punto (0, -1,0) entre los intervalos desde el dirección radial
Para la carga de -30nC/m en el punto (0, -2,0) entre los intervalos desde el dirección radial
Entonces el potencial total será
hasta la
hasta la
hasta la
b)
√ √ √ | | | | √ | √ | √ | √ | √ [√ √ √ √ ] [√ √ √ √ ] √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √
Para encontrar el campo en una c arga lineal y un punto
El campo total es igual a la suma de cada campo de línea de carga
||
5.22 El segmento de línea , sea
,
,
tiene una densidad de carga lineal
una superficie conductora y determinar la densidad de carga de
superficie en: a) (0,0,0); b) (0,1,0).
] [ [ ]
Consideremos a la line de carga como una cadena de segmentos diferenciales de longitud de carga
. Para el segmento dado en la ubicación (0, y’ , 1) tendremos su
correspondiente imagen en el segmento de carga localizado en (0, y’, -1). El diferencial de la
densidad de flujo en el eje y esta asociado con la imagen del segmento entonces tenemos.
El total de la densidad de flujo de la línea de carga es
| |
, y
| *√ √ + | *√ √ √ +
Evaluando este resultado en el origen (0,0,0) tenemos a)
Evaluando en el punto (0,1,0) b)
5.23.- Un dipolo cuyo valor de está ubicado en A (1, 0, 0) en el espacio libre de la superficie es perfectamente conductora. a) Encontrar V en P (2, 0, 1), b) Encontrar la ecuación de la superficie equipotencial de 200V en coordenadas cartesianas.
a)
* +
Tenemos un dipolo en x = 1 entonces tendremos un segundo dipolo en orientación opuesta que será en x = -1. Nuestro potencial en cualquier punto es:
√ √
Ahora sustituimos en el P(2,0,1)
b)
√ √
5.24) a cierta temperatura, las movilidades de electrones y huecos en el germanio son de , respectivamente. Si las concentraciones de huecos y electrones son de , encontrar la conductividad a esa temperatura.
La concentración de huecos y electrones depende significativamente de la temperatura.
| |
A 300°K la densidad volumétrica, tanto de electrones como de huecos es de germanio puro. Este valor da una conductividad de en el germanio.
en
5.25 las concentraciones de electrones y huecos se incrementan con la temperatura. Para el silicio puro movilidades con la temperatura esta dada por
.La dependencia funcional de las y
en: a)
donde la temperatura T esta en grados kelvin. Encontrar .
a)
