El espacio vectorial R 3 sobre R La determinación determinación de un punto en el espacio euclidiano se puede realizar por medio de un sistema de coordenadas que consta de tres rectas, usualmente perpendiculares perpendiculares dos a dos, que concurren en un punto (origen) de modo similar a las líneas que confluyen en un rincón de una habitación normal. Es usual también designar designar a estas rectas con los nombres de: eje x eje x,, eje y eje y,, eje z eje z . En cada uno de estos ejes se define un sistema de coordenadas abscisas cuyas unidades de medida son congruentes, a menos que se advierta lo contrario.
Cada dos de los ejes nombrados determinan un plano. Se determinan entonces tres planos (planos coordenados) que se designan así: plano xy plano xy,, plano xz plano xz , plano yz plano yz . Estos tres planos determinan una división del espacio euclidiano en ocho regiones angulares triédrica triédricass (octantes), una de los cuales se representa en la figura anterior; las triplas ordenadas para cada uno de los puntos de esta región (no situados en los planos coordenados) son números reales positivos. Los planos coordenados se pueden caracteriza caracterizarr como sigue: en cualquier punto del plano plano xy xy,, la tercera componente es cero; un punto típico es ( x plano xz , la segunda componente es cero; x,, y y,, 0) En cualquier punto del plano xz un punto típico es ( x 0, y ). En cualquier punto del plano yz plano yz , la primera componente es cero; un punto típico es x0, y). (0, y (0, ). y,, z ). En cada uno de los ejes se define un sistema de coordenadas abscisas. De modo que a cada punto del espacio euclidiano le corresponde una tripla ordenada de números reales. Así, (a, (a, b, c) c ) es la tripla ordenada en la cual a representa la abscisa de un punto del eje x eje x;; b, representa la abscisa de un punto situado sobre el eje y eje eje z . El punto correspondie correspondiente nte se determina como y;; c, representa la abscisa de un punto situado sobre el eje z b), el punto correspondiente en el plano xy sigue: se sitúa, por medio de (a, ( a, b), plano xy;; a continuación, se traza por dicho punto la recta paralela al eje z eje z ; sobre dicha recta se determina el punto correspondiente a la abscisa representada c ). También se puede situar el por el número real c. Este es el punto correspondiente a la tripla ordenada (a, ( a, b, c). punto (a, (a, c), plano xz , trazar por dicho punto la recta paralela al eje y c), en el plano xz y,, y determinar sobre esa recta la abscisa representada por el número real b. O se puede situar el punto (b, (b, c), plano yz , trazar por ese punto la recta c), sobre el plano yz paralela al eje x eje x,, y determinar sobre esa recta la abscisa representada por el número real a. Si se realizan estas tres construcciones, construccio nes, se puede verificar que el punto determinado por (a, b, c) c) es uno de los vértices de un paralelepípedo paralelepípe do rectángulo (u ortoedro), cuyos otros vértices son, el origen (0, 0, 0) y los puntos (a ( a, 0, 0), (0, b, 0), (0, 0, c), (a, (a, b, (a, 0, c), (0, b, c). b, 0), (a c). c ) de Recíprocamente, dado un Recíprocamente, u n punto P punto P del del espacio euclidiano, la determinación de la tripla ordenada (a, (a, b, c) números reales que le corresponde se puede realizar localizando la proyección ortogonal de P de P sobre sobre el plano xy plano xy,,
por ejemplo, lo que determina el punto (a, b) en dicho plano. A continuación se determina la distancia, c, entre este punto y el punto P . Se puede comenzar, naturalmente, por localizar la proyección ortogonal de P sobre cualquiera de los otros dos planos coordenados.
Orientación dextrógira o levógira La posición relativa de los ejes determina si el sistema de coordendas es dextrógiro o no lo es. La orientación positiva del eje z, usualmente es "hacia arriba". Si al girar el eje x hacia el eje y, el sentido en que avanzaría un tornillo de rosca derecha es el sentido positivo del eje z , se dice que el sistema es dextrógiro ; si en la misma operación (giro del eje xhacia el eje y) el sentido de avance de un tornillo de rosca derecha fuera el sentido negativo del eje z, se dice que el sistema es levógiro. Nota.- Las denominaciones "dextrógiro" y "levógiro" se han tomado de las que se usan para designar a las substancias que desvían la luz polarizada hacia la derecha o hacia la izquierda, respectivamente. Un tornillo de rosca derecha penetra en la madera (por ejemplo), cuando se gira la cabeza hacia la derecha (sentido de las agujas de un reloj). Un tornillo de rosca izquierda retrocede (con respecto a la posición del operario) cuando la cabeza gira hacia la derecha.
La selección de los ejes y de las unidades de medida en cada uno de ellos es completamente libre, como en el plano. Sin embargo, las descripciones dadas antes corresponden a lo que es más usual; también lo más usual es que el sistema sea monométrico; es decir, que la unidad de medida adoptada en cada eje es la misma. Al privilegiar el punto O, que corresponde a la tripla (0, 0, 0), si A, B son dos puntos del espacio, el vector [ AB] tiene como representante canónico a (O, P ), donde [OP ] = [OB] - [OA]. El vector [OP ] se designará con P , lo mismo que se ha hecho en el plano. La correspondencia entre puntos, vectores de translación y triplas ordenadas de números reales, y el hecho de que la la adición se preserve a través de esta correspondencia, justifica, lo mismo que en la recta y en el plano, que se identifique un punto con el vector de translación que lo determina y con la tripla ordenada de números reales que le corresponde.
El espacio vectorial A la adición de vectores de translación en el espacio, se puede hacer corresponder la adición entre triplas ordenadas de números reales de manera similar a lo que se ha hecho con las duplas ordenadas en un plano. Si se usan los representantes de origen O, P + Q se puede determinar por el método del paralelogramo y se verifica que si P corresponde a la tripla ordenada de números reales (a, b, c) y Q corresponde a la tripla ordenada (d, e, f ), entonces, P +Q corresponde a la tripla ordenada de números reales ( g, h, j), donde g = a + d , h = b + e, j = c + f ; es decir, si P + Q =R , entonces R = (a + d, b + e, c + f ). Por otra parte, si al vector [ AB] corresponde la tripla ordenada de números reales (a, b, c), entonces al vector t [ AB] le corresponde la tripla (ta, tb, tc), o sea que se puede definir la multiplicación entre números reales y triplas ordenadas, así: t .(a, b, c) = (ta, tb, tc). A partir de las definiciones anteriores, se demuestra que R 3 es un espacio vectorial sobre R. La correspondencia biyectiva entre puntos del espacio y vectores de translación (cuando se ha privilegiado un punto como origen) y la correspondencia entre dichos vectores y las ternas ordenadas de números reales, además de la preservación de las operaciones de adición y de multiplicación externa, determinan lo que en matemática se designa como isomorfismo. Debido a este isomorfismo, se justifica un abuso de notación consistente en identificar, cuando no haya ambigüedad, vectores con puntos y con triplas ordenadas de números reales. Así, se
dirá, por ejemplo: "el punto (3, 4, -1)" o "el vector (3, 4 -1)", o también, “[OP ] = (3, 4, -1)”, o “ P = (3, 4, -1)” Esto se ha hecho ya en un plano y en una recta.
Norma de un vector en R 3 La distancia desde el punto P = (a, b, c) hasta el origen se puede obtener de manera similar a como se hizo en el plano, usando el teorema de Pitágoras.
Como S = (a, b), |[OS ]| =
. El triángulo OSP es rectángulo; por tanto, |[OP ]|2 = |[OS ]|2 + |[SP ]|2; se
tiene entonces, |[OP]| = En una situación más general, si A = (m, n, t ) y B = ( f, g, h), entonces [ AB] = ( f – m, g – n, h – t ). Por lo tanto se tiene,
|[AB]| =
. Esta fórmula, similar a la que se obtuvo para el plano,
permite determinar la medida de la distancia entre dos puntos de R 3.
Subespacios de un espacio vectorial Un subconjunto de un espacio vectorial que tenga él mismo estructura de espacio vectorial, sobre el mismo cuerpo (en nuestro caso sobre R) se denomina subespacio vectorial. Por ejemplo, el conjunto de las triplas ordenadas de números reales cuya primera componente es 0, es un subespacio vectorial de R³; es el plano yz . En realidad, cualquier plano que contenga a (0, 0, 0) es un subespacio de R³. También, por ejemplo, el conjunto de las parejas ordenadas de números reales cuya primera componente es cero (eje y) es un subespacio vectorial de R². En realidad, cualquier recta que contenga a (0, 0) es un subespacio de R².
Una ojeada a R n A partir del conocimiento y manejo de R, R², R³, resulta fácil pensar en el conjunto de todas las n-plas (énuplas) ordenadas de números reales, o sea pensar en el conjunto R n. La representación de puntos en forma gráfica, resulta imposible para n > 3. Pero el manejo algebraico de las n-plas, con las definiciones de adición y de multiplicación externa, similares a las que se dieron para n ≤ 3, es perfectamente posible y tiene aplicaciones
importantes. Permite, entre otras cosas, pasar del espacio tridimensional, que suele identificarse con el espacio físico, a espacios n-dimensionales.
